差分方程
差分方程
练习 18 证明：若 a>1，对任意的 >0,>0，若 ≠ ，则按上述法构造的数列{ }满足
.
这样，我们得到了计算 的一个方法： 1． 给定 （作为误差控制），任取初始值 ，
令 n=1;
2． 若
，
则终止计算，输出结果；否则 ，令 n ：=n+1，转
第3步；
3． 令，转第2步.
练习 19 对 a=1.5,10,12345，用上述方法求 .
由 ，得
.
从而可将原来的非齐次线性差分方程化为齐次线性差分方程.
如果方程（8.5）的平衡值不存在，可以将方程（8.5）中所有的 n 换为 n+1，得到
（8.6）
方 程（ 8.6 ）和（ 8.5 ）相 减 得
.
于是可将原来的非齐次线性差
分方程化为高一阶的齐次线性差分方程.
练习17 分别求差分方程 及 的通解.
能 够 使 国 民 经 济 处 于 一 种 良 性 循 环 之 中 。如 何 配 各 部 分 投 资 的 比 例 ，才 能 使 国 民 经 济
处于稳定状态呢？这就是本节要讨论的问题。
我们首先给出一些假设条件：
1． 国民收入用于消费、再生产投资和公共设施建设三部分。
2． 记 分别为第
k 个周期的国民收入水平和消费水平。的值与前一个周期的国民收入成正比例。即
定理8。1 若数列的通项是关于 n 的 k
次多项式，则 k 阶差分数列为非零数列，k+1阶差分数列为0。
练习3 证明定
理8。1。
定理8。2 若{Xn}的 k 阶插分为非零常数列，则{Xn}是 n 的 k 次多
项式，
练习4 根据差分的性质证明定理8。2
例2。求∑i3
差分方程简介
差分方程简介
汇报人：
contents
目录
• 差分方程的基本概念 • 差分方程的求解方法 • 差分方程的应用 • 差分方程的局限性 • 差分方程的发展历程与未来趋势 • 差分方程的实际案例分析
01
差分方程的基本概念
定义与例子
• 差分方程是描述离散序列变化的方程式。例如，考虑一个数列{an}，我们可以写出一个差分方程：a{n+1} = 2a_n + 3。
应用
经济学中的差分方程模型适用于预测经济指标的未来趋势 、政策效应分析等。然而，由于现实世界中的复杂性，该 模型可能不适用于所有经济情况。
THANKS
感谢观看
公式法
公式法的原理
01
通过差分方程的解的公式直接计算出解。公式法的步骤 Nhomakorabea02
根据差分方程的特点，寻找解的公式，然后代入初值计算出解
。
公式法的优缺点
03
公式法适用于某些特定类型的差分方程，但不适用于所有类型
的差分方程，需要具体问题具体分析。
计算机方法
计算机方法的原理
利用计算机强大的计算能力，通过编程等方法求解差分方程。
人群、感染人群和免疫人群之间的转换。这些因素都可以通过差分方程来描述 。 • 数学方程：常见的传染病模型如SIR模型，其差分方程为 S(t+1) = S(t) b*S(t)*I(t)/N(t), I(t+1) = I(t) + b*S(t)*I(t)/N(t) - d*I(t), R(t+1) = R(t) + d*I(t)，其中S表示易感人群，I表示感染人群，R表示免疫人群，b表示感染率 ，d表示疾病死亡率。 • 应用：传染病模型适用于预测疾病的传播趋势、评估公共卫生干预措施的效果 等。然而，由于现实世界中的复杂性，该模型可能不适用于所有疾病传播情况 。
差分方程的基本概念
差分方程的应用领域
01
02
03
金融领域
差分方程在金融领域中用 于描述股票价格、债券收 益率等金融变量的动态变 化。
物理学领域
在物理学中，差分方程用 于描述离散系统的动态行 为，如离散的弹簧振荡器、 离散的波动等。
生物学领域
在生态学和流行病学中， 差分方程用于描述种群数 量随时间的变化规律。
差分方程与微分方程的关系
定义
差分方程的稳定性是指当时间步 长趋于无穷大时，差分方程的解 是否收敛到原方程的解。
分类
根据稳定性性质的不同，差分方 程可以分为稳定、不稳定和临界 稳定三种类型。
稳定性判据
判据一
如果对于任意小的正数ε，存在一个正 数δ，使得当|Δt|<δ时，差分方程的 解满足|x(n+1)−x(n)|<ε，则称差分方 程是稳定的。
有限元法的基本思想是将连续的求解区域离 散化为有限个相互连接的子域（即有限元）， 并在每个子域上选择合适的基函数进行近似。 通过这种方式，可以将偏微分方程转化为离 散的差分方程，从而进行数值求解。
有限体积法
总结词
有限体积法是一种将偏微分方程离散化为差 分方程的数值方法，通过在每个控制体积上 对微分进行离散近似，将微分方程转化为差 分方程。
数值解法
数值解法是一种通过数值计算方法来求解差分方程的方法。常用的数值解法包括 欧拉பைடு நூலகம்、龙格-库塔法等。
数值解法的优点是适用于各种类型的差分方程，特别是一些难以直接求解的差分 方程。数值解法的精度可以通过增加计算步数来提高。然而，数值解法的计算量 大，需要较高的计算能力。
03 差分方程的稳定性
定义与分类
详细描述
有限差分法的基本思想是将连续的空间离散化为有限个离散点，并利用泰勒级数展开式或其它近似方 法，将微分运算转化为差分运算。通过这种方式，可以将偏微分方程转化为离散的差分方程，从而进 行数值求解。
差分方程
yt t ( n) t (t 1)(t 2) (t n 1) ，则
( n)
yt (t 1)
.
t
( n)
(t 1)t (t 1) (t 1 n 1)
t (t 1) (t n 2)(t n 1)
( n 1)
称为一阶常系数线性齐次差分方程，相应地， 一阶常系数线性非齐次差分方程.
1．一阶常系数线性齐次差分方程的通解 一阶常系数线性齐次差分方程的通解可用迭代法求得.
设 y0 已知，将 t 0,1,2, 代入方程
yt 1 Pyt 中，得
3
y1 Py0
y2 Py1 P y0
2
如果差分方程的解中含有相互独立的任意常数的个数恰好 等于方程的阶数，则称这个解是差分方程的通解.
定义4 若差分方程中所含未知函数及未知函数的各阶差分均 为一次，则称该差分方程为线性差分方程. 其一般形式为
yt n a1 (t ) yt n 1 an1(t ) yt 1 an (t ) yt f (t )
2．一阶常系数线性非齐次差分方程的通解
定理 设
yt
为齐次方程的通解，
yt 为非齐次方程的一个
*
特解，则
yt yt yt* 为非齐次方程的通解.
y t 1 P y t 0
* * 证明 由题设，有 yt 1 Pyt f (t ) ，及
将这两式相加得 ( y t 1 yt*1 ) P ( y t yt* ) f (t ) ，即
1 3 yt 3( )t 在初始条件 2 2
y0 5
解 这里
1 3 P , C 3, b 2 2
差分方程知识点总结
差分方程知识点总结一、差分方程的概念差分方程是指用差分运算符号（Δ）表示的方程。
差分运算符Δ表示的是某一变量在两个连续时间点的变化量。
差分方程通常用于描述离散时间下的变化规律，比如时间序列、离散动力系统等。
二、常见的差分方程1. 一阶线性差分方程一阶线性差分方程的一般形式为：y(t+1) - y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
一阶线性差分方程常常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律。
2. 二阶线性差分方程二阶线性差分方程的一般形式为：y(t+2) - 2*y(t+1) + y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
二阶线性差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的二阶线性变化规律。
3. 线性非齐次差分方程线性非齐次差分方程的一般形式为：y(t+1) - a*y(t) = b，其中a和b为常数。
线性非齐次差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律，并且受到外部条件的影响。
4. 滞后差分方程滞后差分方程的一般形式为：y(t+1) = f(y(t))，其中f为某一函数。
滞后差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的非线性变化规律。
5. 差分方程组差分方程组是指由多个差分方程组成的方程组。
差分方程组通常用于描述多个变量之间的变化规律，比如混合动力系统、多变量时间序列等。
三、差分方程的解法1. 特征根法特征根法是解一阶或二阶线性差分方程的一种常用方法。
通过求解特征方程，可以求得差分方程的通解。
2. 递推法递推法是解一阶或二阶非齐次差分方程的一种常用方法。
通过递推关系，可以求得差分方程的特解。
3. Z变换法Z变换法是解一阶或二阶差分方程的一种常用方法。
通过对差分方程进行Z变换，可以将其转换为等价的代数方程，然后求解其解。
4. 数值解法对于复杂的差分方程，通常采用数值解法求解。
数值解法包括Euler法、Runge-Kutta法、递推法等，通过迭代计算逼近差分方程的解。
差分方程
y 3 ay2 a (ay1 ) a 3 y 0 y x a y0
x
y x ka x
当 a 1 时通解为 y x k
k 为任意常数
例 求 y x 1 4 y x 0 满 足 y 0 1 的 特 解 解：通解为 y k 4 ,
x
y0 k4 x
x0
例 y x sin x, 求y x
解：y x sin(x 1) sin x
性质：
(1) ky x ky x ( 2 ) y x z x y x z x ( k为 常 数)
( 3 ) y x z x y x 1 z x z x y x y x z x y x y x z x ( 4 ) z z x z x 1 x
一 差分 定义：
设 函 数 y f ( x ), 记 y x f ( x ) , 当 x {0,1,2,3, , n }时, y x 的 值 可 以 排 成 一 列 数y 0 , y1 , , y n , ,
称差y x y x 1 y x 为函数 y f ( x ) 的(向前)一阶差分
y * 1 ( x 1) A( x 1) 2 B( x 1) C x
代 入 方 程
2x 2
y * 1 y * x 3 ( A A) x 2 (3 A B B) x(3 A 2B C C ) ( A B C ) x x
y 0 1, y1 1, y 2 y 0 y1 , , y x 2 y x y x 1 ,
y x 2 y x y x 1 所以定解问题为 y 0 1, y1 1
高考数学中的差分方程及相关概念
高考数学中的差分方程及相关概念在高中数学中，我们学习了许多数学知识，其中差分方程是一个比较重要的概念，在高考中也经常出现。
那么差分方程是什么？有什么用处呢？一、什么是差分方程差分方程，也叫离散微积分方程，是指用有限差分代替导数的微分方程，其本质是一种递推式。
差分方程的一般形式为y[n+1] = f(y[n], y[n-1], ... , y[n-k])，其中y[n]是第n个离散点的函数值，y[n-k]是第n-k个离散点的函数值。
差分方程是一种离散的动态系统，可以用来描述各种离散事件的演化。
它广泛应用于数学、物理、工程、经济等领域中各种动态系统的建模与分析。
二、差分方程的分类根据差分方程的阶数及系数对n的依赖关系，差分方程可以分为以下几类：1.一阶线性差分方程一阶线性差分方程的一般形式为y[n+1] = ay[n] + b，其中a和b 是常数。
这种差分方程的解可以用递推公式y[n] = ay[n-1] + b求得。
2.二阶线性差分方程二阶线性差分方程的一般形式为y[n+2] + ay[n+1] + by[n] = f[n]，其中a、b是常数，f[n]是已知函数。
这种差分方程的解可以用特征根法或借助于已知解求得通解。
3.非线性差分方程非线性差分方程的一般形式为y[n+1] = f(y[n])，其中f(y[n])是非线性函数。
这种差分方程的解一般需要运用迭代法或数值解法求解。
三、差分方程的应用差分方程是一种用来描述具有离散状态的系统演化的工具，它在许多领域中都有着广泛的应用，例如：1.物理学差分方程在物理学中应用广泛，例如：在天体物理学中，用差分方程描述行星运动的轨迹、研究宇宙星系的演化等；在量子力学中，用差分方程描述粒子的运动状态等。
2.经济学差分方程在经济学中也有着广泛的应用，例如：在货币政策分析中，用差分方程描述货币供应量、利率与物价水平等的变化；在经济增长模型中，用差分方程描述经济增长的变化趋势等。
差分方程的通解和特解公式
差分方程的通解和特解公式差分方程是一种描述离散时间上变化的数学工具。
与微分方程类似，差分方程描述了变量随时间或空间发生变化的规律。
差分方程可以用于模拟和解决各种实际问题，比如人口增长、电路分析、金融建模等。
在差分方程中，我们通常会遇到两种解：通解和特解。
本文将详细介绍差分方程的通解和特解的概念、性质和求解方法。
一、差分方程的基本概念在介绍通解和特解之前，我们先来了解一下差分方程的基本概念。
差分方程是离散时间序列上的递推关系式，它可以用来描述变量在不连续时间点上发生的变化。
一般来说，差分方程可以写成以下形式：y_(n+1)=f(y_n,y_(n-1),...,y_(n-k))其中，y_n表示离散时间点n上的变量的取值，f是关于y_n,y_(n-1),...,y_(n-k)的一些函数。
y_(n+k)=f(y_n,y_(n-1),...,y_(n-k))其中n为常数，k为正整数。
n阶差分方程是一种求解变量的k+1个递推公式的方法。
二、差分方程的通解如果差分方程的解函数y=y(n,C1,C2,...,Cn)能够满足差分方程的任意初值条件，其中C1,C2,...,Cn是任意给定常数，那么y=y(n,C1,C2,...,Cn)被称为差分方程的通解。
通解形式通常使用参数C1,C2,...,Cn表示，可以看作是由n个独立的常数构成的一个函数族。
通解的形式是由差分方程的阶数和特解的个数决定的。
如果一个差分方程满足n阶差分方程的递推公式并且有n个特解，那么通解就是特解的线性组合。
对于一阶差分方程：y_(n+1)=f(y_n)如果我们已知一个特解y=f(y_n)，那么差分方程的通解可以写成：y_(n+1)=f(y_n)+C其中C是任意给定的常数。
对于二阶差分方程：y_(n+2)=f(y_n,y_(n-1))如果我们已知两个特解y1=f(y_n,y_(n-1))和y2=g(y_n,y_(n-1))，那么差分方程的通解可以写成：y_(n+2)=f(y_n,y_(n-1))+C1*y1+C2*y2其中C1和C2是任意给定的常数。
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差分方程第九节差分方程迄今为止，我们所研究的变量基本上是属于连续变化的类型. 但在经济管理或其它实际问题中，大多数变量是以定义在整数集上的数列形式变化的，银行中的定期存款按所设定的时间等间隔计息，国家财政预算按年制定等等. 通常称这类变量为离散型变量. 对这类变量，我们可以得到在不同取值点上的各离散变量之间的关系，如递推关系等. 描述各离散变量之间关系的数学模型称为离散型模型. 求解这类模型就可以得到各离散型变量的运行规律. 本节将介绍在经济学和管理科学中最常见的一种离散型数学模型—差分方程.内容分布图示★引言★差分的概念★例1-5★差分方程的概念★例6 ★例7★一阶常系数线性齐次差分方程★一阶常系数线性非齐次差分方程★例9-14 ★例15 ★例16 ★二阶常系数线性差分方程★ 二阶常系数线性齐次差分方程的通解★ 例17 ★ 例18 ★ 例19★ 二阶常系数线性非齐次差分方程的特解★ 例20-23差分方程在经济学中的应用★ 模型1★ 模型2 ★模型3 ★ 内容小结★ 课堂练习 ★ 习题8-9★ 返回内容要点：一、 差分的概念与性质一般地，在连续变化的时间范围内，变量y 关于时间t 的变化率是用dtdy 来刻画的；对离散型的变量y ，我们常取在规定的时间区间上的差商t y ∆∆来刻画变量y 的变化率. 如果选择1=∆t ，则 )()1(t y t y y -+=∆可以近似表示变量y 的变化率. 由此我们给出差分的定义.定义 1 设函数).(t y y t = 称改变量t t y y -+1为函数t y 的差分,也称为函数t y 的一阶差分, 记为t y ∆, 即t t t y y y -=∆+1 或 )()1()(t y t y t y -+=∆.一阶差分的差分称为二阶差分t y 2∆, 即t t t t y y y y ∆-∆=∆∆=∆+12)(.2)()(12112t t t t t t t y y y y y y y +-=---=+++++类似可定义三阶差分, 四阶差分,……),(),(3423t t t t y y y y ∆∆=∆∆∆=∆一般地，函数t y 的1-n 阶差分的差分称为n 阶差分，记为t n y ∆，即t n t n t n y y y 111-+-∆-∆=∆in t i n n i i y C -+=∑-=0)1(二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分.差分的性质：（1） t t y C Cy ∆=∆)( );(为常数C（2） ;)(t t t t z y z y ∆±∆=±∆（3）;)(1t t t t t t z y y z z y ∆+∆=⋅∆+（4）t t t t t t t t z z z y y z z y ⋅∆-∆=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+1).0(≠t z二、差分方程的概念定义2 含有未知函数t y 的差分的方程为差分方程.差分方程的一般形式:0),,,,,(2=∆∆∆t nt t t y y y y t F 或.0),,,,,(21=+++n t t t t y y y y t G差分方程中所含未知函数差分的最高阶数称为该差分方程的阶. 差分方程的不同形式可以互相转化.定义3 满足差分方程的函数称为该差分方程的解.如果差分方程的解中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于方程的阶数, 则称这个解为该差分方程的通解.我们往往要根据系统在初始时刻所处的状态对差分方程附加一定的条件，这种附加条件称为初始条件, 满足初始条件的解称为特解.定义 4 若差分方程中所含未知函数及未知函数的各阶差分均为一次的, 则称该差分方程为线性差分方程.线性差分方程的一般形式是)()()()(1111t f y t a y t a y t a y t n t n n t n t =+++++--++ 其特点是t n t n t y y y ,,,1 +++都是一次的.三、一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程的一般形式为)(1t f Py y t t =-+ (9.1)其中, P 为非零常数, )(t f 为已知函数. 如果,0)(=t f 则方程变为01=-+t t Py y(9.2)方程(9.2)称为一阶常系数线性齐次差分方程, 相应地，方程(9.1)称为一阶常系数线性非齐次差分方程.一阶常系数线性齐次差分方程的通解一阶常系数线性非齐次差分方程定理1 设t y 为方程(9.2)的通解,*t y 为方程(9.1)的一个特解, 则*t t t y y y +=为方程(9.1)的通解.（1）C t f =)( (C 为非零常数)（2）t Cb t f =)( (C , b 为非零常数且1≠b )四、二阶常系数线性差分方程二阶常系数线性差分方程的一般形式:)(12t f by ay y t t t =++++(9.9)其中b a ,均为常数, 且,0≠b )(x f 是已知函数. 当0)(=x f 时, 方程(9.9)变为012=++++t t t by ay y(9.10)方程(9.10)称为二阶常系数线性齐次差分方程，相应地，方程(9.9)称为二阶常系数线性非齐次差分方程.定理2 设t y 为方程((9.10)的通解, *t y 为方程(9.9)的一个特解, 则*t t t y y y +=为方程(9.9)的通解.二阶常系数线性齐次差分方程的通解特征方程 02=++b a λλ (9.11)二阶常系数线性非齐次差分方程的特解和通解仅考虑方程(9.9)中的)(x f 取某些特殊形式的函数时的情形.(1))()(t P x f m =(其中)(t P m 是t 的m 次多项式), 方程(9.9)具有形如)(*t R t y m k t =的特解, 其中)(t R m 为t 的m 次待定多项式.五、 差分方程在经济学中的应用采用与微分方程完全类似方法，我们可以建立在经济学中的差分方程模型，下面举例说明其应用.1.“筹措教育经费”模型某家庭从现在着手, 从每月工资中拿出一部分资金存入银行, 用于投资子女的教育, 并计算20年后开始从投资账户中每月支取1 000元, 直到10年后子女大学毕业并用完全部资金. 要实现这个投资目标, 20年内要总共筹措多少资金? 每月要在银行存入多少钱? 假设投资的月利率为0.5%, 为此, 设第t 个月, 投资账户资金为,t a 每月存资金为b 元, 于是20年后, 关于,t a 的差分方程模型为1000)005.1(1-=+t t a a(9.11)且.,00120x a a ==二、价格与库存模型本模型考虑库存与价格之间的关系设)(t P 为第t 个时段某类产品的价格,)(t L 为第t 个时段的库存量. L 为该产品的合理库存量. 一般情况下, 如果库存量超过合理库存, 则该产品的售价要下跌, 如果库存量低于合理库存, 则该产品售价要上涨, 于是有方程)(1t t t L L k P P -=-+(9.13)其中k 为比例常数.三、国民收入的稳定分析模型本模型主要讨论国民收入与消费和积累之间的关系问题.设第t 期内的国民收入t y 主要用于该期内的消费t G , 再生产投资t I 和政府用于公共设施的开支G (定为常数), 即有G I C y t t t ++=(9.17)又设第t 期的消费水平与前一期的国民收入水平有关, 即)10(1<<=-A Ay C t t(9.18)第t 期的生产投资应取决于消费水平的变化, 即有)(1--=t t t C C B I(9.19)由方程(9.17), (9.18), (9.19)合并整理得G BAy y B A y t t t =++---21)1( (9.20)于是, 对应A , B , G 以及,,0y y 可求解方程, 并讨论国民收入的变化趋势和稳定性.例题选讲：差分的概念与性质例1（讲义例1）设,2t y t =求 ).(),(),(32t t t y y y ∆∆∆例2（讲义例2）设.1),1()2)(1()0()(=+---=t n t t t t t n 求)(n t ∆.例3（讲义例3）求t t t y 32⋅=的差分.例4 设,22t t y += 求.,,32t t t y y y ∆∆∆例5 试改变差分方程023=∆+∆t t y y 的形式.差分方程的概念例6（讲义例4）试确定下列差分方程的阶..735)2(;0)1(15423=+=+-++--+t t t t t y y y y y例7（讲义例5）指出下列等式哪一个是差分方程, 若是, 进一步指出是否为线性方程..432)2(;33)1(12=+-+=∆-++t t t t t t y y y a y y一阶常系数线性差分方程例8（讲义例6）求差分方程031=-+t t y y 的通解.例9（讲义例7）求差分方程231-=-+t t y y 的通解.例10（讲义例8）求差分方程t t t y y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+233211在初始条件50=y 时的特解.例11（讲义例9）求差分方程2134t y y t t =-+的通解.例12 求差分方程t y y t t πsin 341=++的通解.例13 求差分方程t y y t t 231+=-+满足初始条件50=y 的特解.例14（讲义例10）求差分方程t t t t y y 4221+=++的通解. 例15 设某产品在时期t 的价格, 供给量与需求量分别为t t S P ,与),2,1,0( =t D t . 1当121+=t t P S , t t t t D S P D =+-=- 3,5421时, 求证(1) 由 3,2,1推出差分方程.221=++t t P P(2) 已知0P , 求上述差分方程的解.例16（讲义例11）在农业生产中, 种植先于产出及产品出售一个适当的时期, t 时期该产品的价格t P 决定着生产者在下一时期愿意提供市场的产量t t P S ,1+还决定着本期该产品的需求量,t Q 因此有1,-+-=-=t t t t dP c S bP a Q (a , b , c , d 均为正的常数)求价格随时间变动的规律.二阶常系数线性差分方程例17（讲义例12）求差分方程04312=--++t t t y y y 的通解. 例18（讲义例13）求差分方程04412=++++t t t y y y 的通解. 例19（讲义例14）求差分方程04212=+-++t t t y y y 的通解. 例20 求差分方程12212=-+++t t t y y y 的通解及0,010==y y 的特解.例21（讲义例15）求差分方程t y y y t t t =-+++4312的通解. 例22（讲义例16）求差分方程t t t t y y y 23212⋅=++++的通解. 例23 求差分方程t t t t y y y ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++++214112的通解.差分方程在经济学中的应用课堂练习1.求差分方程21t y y t t =-+的通解.2.求差分方程t y y y t t t =-+++4312的通解.3.求差分方程t t t t y y y 57612⨯=-+++的通解.。