8.7 方向导数与梯度
合集下载
方向导数与梯度公式关系
方向导数与梯度公式关系方向导数和梯度是微积分中两个常用的概念,它们之间的关系可以用以下公式表示:方向导数 = 梯度 / 权重其中,梯度是指目标函数对变量的导数,权重是指变量的系数。
具体来说,假设我们有一个线性回归模型$$y = x"beta + epsilon$$其中$y$是输出变量,$x$是输入变量,$beta$是模型的参数,$epsilon$是噪声。
那么,$beta$的梯度可以表示为:$$frac{partial}{partial beta}left(frac{y}{x"beta}ight) = frac{partial y}{partial beta}x" - frac{partial x"}{partial beta}frac{y}{x"beta} = frac{y"beta - x"betay}{x"beta}$$其中,$frac{partial y}{partial beta}$表示$beta$对$y$的导数,$frac{partial x"}{partial beta}$表示$x"beta$对$x$的导数。
现在,如果我们想要计算$beta$的方向导数,可以使用上述公式:$$frac{partial}{partial beta}left(frac{y}{x"beta}ight) = frac{y"beta - x"beta y}{x"beta} = frac{y"}{x"}beta - frac{x"}{x"}beta = frac{y-x"beta"}{x"}$$其中,$beta" = x"(beta)$。
因此,$beta$的方向导数可以通过计算它与其他变量的差来得到。
S8-7方向导数与梯度
记作gradf, 即 grfa d x fi y f j x f, y f
同样，三元函数 f (x, y,z)在点 P(x, y,z)处的梯度
gradf
f , x
f , y
f z
xfiyf jzfk
l x y z
2
l
G e l
GcoG ,sel()prejG
( e
l
1)
当e与G 方向一,方致向时 导数取最大值：
l
maxf G
l
这说明
G:
方向：f 变化率最大的方向 模 : f 的最大变化率之值
1. 定义 向量 G称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度 (gradient),
x
(t (x)2(y)2, x tco, s.y tco)s
特别:
• 当 l 与 x 轴同向 0,时 ,有
2
f 存在，f 必存在，反之却并 立不 。成
x
l
该定理对于多元函数任然成立
定理: 若函 f(x,y,z数 )在 P (点 x,y,z)处,可微
f(x,y,z)x2yz,曲线
x y
t 2t
2
1
在点
M (1,1,1) 处切线的方向向量
z t 3
l d dx t,d dy t,d dz t t1(1,4,3)
函数沿 l 的方向导数
l fM fx co fy s co fz s co ( 1 ,1 s ,1 )
2
x02 a4
y02 b4
z02 c4
作业
P51 2，6，7
同样，三元函数 f (x, y,z)在点 P(x, y,z)处的梯度
gradf
f , x
f , y
f z
xfiyf jzfk
l x y z
2
l
G e l
GcoG ,sel()prejG
( e
l
1)
当e与G 方向一,方致向时 导数取最大值：
l
maxf G
l
这说明
G:
方向：f 变化率最大的方向 模 : f 的最大变化率之值
1. 定义 向量 G称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度 (gradient),
x
(t (x)2(y)2, x tco, s.y tco)s
特别:
• 当 l 与 x 轴同向 0,时 ,有
2
f 存在，f 必存在，反之却并 立不 。成
x
l
该定理对于多元函数任然成立
定理: 若函 f(x,y,z数 )在 P (点 x,y,z)处,可微
f(x,y,z)x2yz,曲线
x y
t 2t
2
1
在点
M (1,1,1) 处切线的方向向量
z t 3
l d dx t,d dy t,d dz t t1(1,4,3)
函数沿 l 的方向导数
l fM fx co fy s co fz s co ( 1 ,1 s ,1 )
2
x02 a4
y02 b4
z02 c4
作业
P51 2，6，7
方向导数
指向函数增大的方向.
第13页
第8章 §8.7 方向导数与梯度 3. 梯度的基本运算公式
(2) grad (C u) C grad u (4) grad (u v ) u grad v v grad u
第14页
第8章 §8.7 方向导数与梯度
例4.
处矢径 r 的模 , 试证
设 f x , f y 不同时为零 , 则L*上点P 处的法向量为
( f x , f y ) P grad f P
同样, 对应函数 有等值面(等量面)
y
f c3
f c2
P f c1
当各偏导数不同时为零时, 其上
点P处的法向量为 grad f P .
o
x
(设c1 c2 c3)
函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线) ,
f, y
f z
同样可定义二元函数
在点P(x, y) 处的梯度
说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.
2. 梯度的几何意义
第12页
第8章 §8.7 方向导数与梯度
对函数
z
f
(x,
y) ,曲线
z
f (x, zC
y) 在
xoy
面上的投
影L* : f (x, y) C 称为函数 f 的等值线 .
l 0 x
y
z 第6页
第8章 §8.7 方向导数与梯度
对于二元函数 f (x, y), 在点P(x, y)处沿方向 l (方向角
为, ) 的方向导数为
f lim f (x x, y y) f (x, y)
l 0
y lP
l
fx (x, y) cos f y (x, y) cos
8-7 方向导数与梯度
fx (1, 1, 1) =1 , fy(1, 1, 1)=2 , fz(1, 1, 1)=3
f ∴ l
P
2 1 1 2 = 1 + 2 ( ) + 3 = 3 3 3 3
f f f f cos α + cos β + cos γ = 方向导数公式 l x y z
二,梯度
f = G l 0 = G cos( G , l 0 ) ( l 0 = 1 ) l 0 方向导数取最大值: 当 l 与 G 方向一致时 , 方向导数取最大值:
ρ
的方向导数. 则称 f 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数 l
定理: 定理 若函数 f ( x, y) 在点P( x, y) 处可微, 则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 且有
f f f cosα + cos β = l x y
l
证明: 证明 由函数 f ( x, y) 在点 P 可微 , 得
f f f= x+ y + o(ρ ) x y
=ρ (
P′ ρ P( x, y)
) + o (ρ )
f f f f = lim 故 l ρ →0 ρ = x cosα + y cos β
对于可微的函数 f ( x, y),在点P( x, y)处沿方向l (向角为α , β ) 的方向导数为 的方向导数为 向角为
内容小结 1. 方向导数 三元函数 在点 沿方向 l (方向角 方向角
为α, β, γ ) 的方向导数为 f f f f = cosα + cos β + cosγ l x y z
二元函数 在点 沿方向 l (方向角为 方向角为
α, β )的方向导数为
方向导数与梯度的关系与计算公式
方向导数与梯度的关系与计算公式方向导数（Directional Derivative）是多元函数在某个给定点上沿指定方向的变化率。
它在物理学、工程学和优化问题中具有重要的应用。
在求解方向导数时，我们常常会遇到梯度（Gradient）的概念。
本文将介绍方向导数与梯度之间的关系，并探讨它们的计算公式。
一、方向导数的定义在多元函数中，给定一个点P(x₀, y₀, z₀)及一个单位向量u = (a, b, c)，其中a² + b² + c² = 1，方向导数Duf(x₀, y₀, z₀)表示函数f(x, y, z)在P点上沿u方向的变化率。
方向导数用符号∇f(x₀, y₀, z₀)·u表示。
二、梯度的定义梯度是一个向量，它在多元函数的每个点上都有定义。
对于二元函数f(x, y)，梯度∇f(x, y)表示函数f在每个点上的变化率最大的方向。
梯度可以用向量形式表示为∇f(x, y) = (fx, fy)，其中fx和fy分别表示f对x和y的偏导数。
对于三元函数f(x, y, z)，梯度∇f(x, y, z)表示函数f在每个点上的变化率最大的方向。
梯度可以用向量形式表示为∇f(x, y, z) = (fx, fy, fz)，其中fx、fy和fz分别表示f对x、y和z的偏导数。
三、方向导数与梯度的关系在函数f(x, y, z)的某一点P(x₀, y₀, z₀)处，方向导数和梯度的关系可以表示为：Duf(x₀, y₀, z₀) = ∇f(x₀, y₀, z₀)·u即，方向导数等于梯度与单位向量u的内积。
四、方向导数的计算公式在笛卡尔坐标系中，给定一个点P(x₀, y₀, z₀)及一个非零向量u = (a, b, c)，其中a² + b² + c² = 1，方向导数可以通过以下公式计算：Duf(x₀, y₀, z₀) = fx(x₀, y₀, z₀)a + fy(x₀, y₀, z₀)b + fz(x₀, y₀, z₀)c其中fx、fy和fz分别表示f对x、y和z的偏导数。
8-7 方向导数与梯度
z
z f ( x, y)
G
F
M0
E
o p
x
0
y
p
z l
l
是用过射线l且垂直于xoy面的半平面
P0
截曲面z f ( x , y )所得曲线在点M 0处的半 切线M 0 N相对于射线l的斜率.
二、方向导数的计算
定理：如果z f ( x , y )在点( x0 , y0 )可微，那 么函数在该点沿任一方 向的方向导数都存在. 且
{ f x , f y , f z } gradf
M
f ( x, y, z ) C
第七节 方向导数与梯度
要点:
f 方向导数的定义: l
p0
lim
沿l
f ( p) f ( p0 ) p0 p
p p0
lim
0
z
f 意义: f . p0 反映函数 在点 p0沿方向l的瞬时变化率 l 方向导数与偏导数的联系与区别.
2 2
的方向导数最大？
解: 梯度向量 grad z { z , z } ( 0 ,1) x y { 2 x , 2 y } ( 0 ,1 )
z
z x2 y2
{0,2}
o
x
(0,1) {0,2}
y
{1,0}
z x 2 y 2在点(0,1)沿着梯度向量{0，}方向 2 （即y轴正向）的方向导数最 大, 最大值为 . 2
o z z 梯度向量 grad z { , } ( 0 ,1) x x y {2 x ,2 y } ( 0,1) {0,2}
2 2
高等数学 8-7.方向导数与梯度
π 方向导数达到最大值 2 ; 故 1）当α = 时， （ 4 5π π （2）当α = 时， 方向导数达到最小值− 2 ; 4 3π 7π π π （3）当α = 和α = 时，方向导数等于 0. 4 4
推广可得三元函数方向导数的定义
对于三元函数 u = f ( x, y, z )，它在空间一点 P( x0 , y0 , z0 ) 沿着方向 l = (cosα ,cos β ,cos γ ) 的方 向导数 ，可定义为 f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y, z0 + ∆z ) − f ( x0 , y0 , z0 ) ∂f = lim ρ ∂l ρ →0
方向导数仍可理解 为曲线上一点处右 切线在新坐标系下 的斜率. 的斜率
y
t
P = ( x 0 , y0 )
v = (cos α ,sin α )
方向导数的物理意义：
设一质点 P 在三维空间的运动轨迹为 (时间t) 时间
x = x0 + t cos α , y = y0 + t sin α , z = f ( x0 + t cos α , y0 + t sin α )
y
l
• P′
•
•
ϕ
∆x
∆y
x
（如图） 如图）
ρ f ( x + ∆x , y + ∆y ) − f ( x , y ) 是否存在？ 是否存在？ lim ρ →0 ρ
上述极限若存在, 定义: 上述极限若存在 则称此极限为函数 f 在 P处沿方向 l 的方向导数 记为 方向导数, 处沿方向
∵ | PP ′ |= ρ = ( ∆x )2 + ( ∆y )2 , 且 ∆z = f ( x + ∆x , y + ∆y ) − f ( x , y ), ∆z 考虑 , 当 P′沿着 l 趋于 P时，
高数 8-7方向导数与梯度~
的极值. 的极值.
B
C
f xx (x, y) = 6x + 6, f xy (x, y) = 0, f yy (x, y) = −6y + 6
A
在点(1,0) 处 在点
AC −B2 =12×6 > 0, A > 0,
为极小值; 为极小值;
在点(1,2) 处 在点
AC −B2 =12×(−6) < 0,
y
P
o
2x −1
60 = 17
例3. 设 n 是曲面
在点 P(1, 1, 1 )处 处 在点P 在点 处沿
指向外侧的法向量, 指向外侧的法向量 求函数 方向 n 的方向导数 的方向导数. 解:
n = (4x , 6y , 2z) P = 2(2 , 3 , 1) 2 3 1 方向余弦为 cosα = , cos β = , cosγ = 14 14 14 ∂u 6x 6 = = 而 2 2 P ∂x P z 6x + 8y 14
ϕx ϕy
fx
=
fy
=− λ
极值点必满足
f x + λϕx = 0 f y + λϕy = 0 ϕ(x, y) = 0
引入辅助函数 F = f (x, y) + λϕ(x, y) 则极值点满足: 则极值点满足
辅助函数F 称为拉格朗日( 函数.利用拉格 辅助函数 称为拉格朗日 Lagrange )函数 利用拉格 函数 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法. 拉格朗日乘数法
当l 与G方 一 时, 方向导数取最大值： 向 致 方向导数取最大值： ∂f )= G max ( ∂l 方向： 方向：f 变化率最大的方向 这说明 G : 模 : f 的最大变化率之值
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Revised Feb, 2006
March 2005
故梯度向量 g r a d f {
f
x y
,
f
}
在任何点都垂直于函数的等值线，并且从函 数值较小的等值线指向函数值较大的等值线。
g ra d f
Revised Feb, 2006
等值线
Revised Feb, 2006
o
x
March 2005
梯度的几何解释
三元函数 u = f(x, y, z) 的等值面：
:
f ( x, y, z) c
由切平面的讨论，知梯度
g ra d f { f x y , f , f z }
Revised Feb, 2006
March 2005
函数 z f ( x , y ) 在点 M ( x , y ) 0 0 0
沿方向 l { c o s , c o s }
的方向导数：
f l
lim f ( x0 co s , y0 co s ) f ( x0 , y0 )
March 2005
函数 z f ( x , y ) 的等值线： f ( x , y ) c
f f , dx, dy 0 x y
T
d x, d y
g ra d f
因为 T = {dx, dy}是等值线 f(x, y) = c 的切向量。 所以梯度 {fx , fy} 与等值线 垂直。
0
Revised Feb, 2006
March 2005
z l
是函数 z f ( x , y ) 在点 M ( x , y ) 0 0 0
沿方向 l { c o s , c o s }
对 的变化率
z l
是曲面 z f ( x , y ) 在点 M 0 ( x 0 , y 0 )
g ra d z { z x , z y } { 2 x , 4 y } {3, 4}
最大的坡度为：
g ra d z
3 4
2
2
5
估计他很 难爬上去
5
Revised Feb, 2006
1 2005 March
喂，我在 这儿啦！
梯度的几何解释
函数 z f ( x , y ) 的等值线：
: f ( x, y ) c
方程两边微分：
df ( x , y ) d (c )
f x dx
f y dy 0
f f , dx, dy 0 Revised Feb, 2006 x y
2x x y
2 2
fx
(1 ,1 ,1 )
z
2
2 3
fy fz
l f g ra d f l l
2 2 2 1 10 { , , } {1, 2 , 2} 3 3 3 3 9 Revised Feb, 2006
gradf l 0
z
l gradf l l
《学习手册》228页
Revised Feb, 2006 March 2005
三元函数 u f ( x , y , z ) 在点 ( x , y , z )
沿方向 l { c o s , c o s , c o s }
March 2005
z f ( x, y) M 0 ( x0 , y0 ) l {cos , cos }
M ( x0 co s , y0 co s )
l M 0M
x cos
March 2005
在几何上 z f ( x , y ) 表示一个曲面
曲面被平面 z c 所截得
z f (x, y) , z c
所得曲线在xOy面上投影如图
y
f (x, y) c2
gradf
(x, y)
P
梯度为等值线上的法向量
f ( x, y) c
f ( x , y ) c1
March 2005
二、梯度
Gradient vectors
Revised Feb, 2006
March 2005
f l
{
f
x y
,
f
} {cos , cos }
0 l
g ra d f l 0
0 g ra d f l c o s
March 2005
梯度是一个向量
它是函数 z = f(x, y) 在点 (x, y) 处取得最大方 向导数的方向 最大方向导数为：
z l
g ra d f
(
f x
) (
2
f y
)
2
Revised Feb, 2006
March 2005
8.7 方向导数与梯度
Directional Derivatives and Gradient Vectors
Revised Feb, 2006
March 2005
一、方向导数
Directional derivatives
讨论函数沿某个方向的变化率
Revised Feb, 2006
Revised Feb, 2006
March 2005
例
一座山形如 z 5 x 2 y 当然，世界上可能找不到这样的山。 3 3 登山者位于 M ( , 1, ) 处
2 2
2
4
试为登山者选择最陡的登山方向并求出坡度
解
最陡的方向是梯度方向
March 2005
例
f ( x , y , z ) ln ( x y
2
2
z )
2
求 f 在点M1(1, 1, 1)处沿 M1 指向 M2(2, 3, 3) 的 方向的方向导数。 解
l M 1 M 2 {1, 2 , 2}
若偏导数
则
f x f l
f x
f y
存在
其中 l {1, 0} i 其中 l { 0 ,1} j
则 f
y
f l
Revised Feb, 2006
March 2005
方向导数是单向导数（因为 0 ）
z y cos
利用偏导数计算方向导数的公式
Revised Feb, 2006
March 2005
证明
z
f ( x cos , y cos )
f ( x, y)
f 由可 f . co s . co s o ( ) 微性 x
M
0
l
M
y
y cos
x
Revised Feb, 2006 March 2005
z f ( x0 co s , y0 co s )
沿方向 l 的增量
z
f ( x0 , y0 )
：沿方向 l 的平均变化率
类似于一元函数的单侧导数
而偏导数是双向导数（因为 x 可正负 ） 因此，在一点处沿 x 轴或 y 轴方向的方向导 数存在，也不能保证该点的偏导数存在。
Revised Feb, 2006
March 2005
定理 46页
z l z x
读书
cos
方向相同时，方向导数取到最大值：
f l
g ra d f c o s 0 g ra d f
因此向量 {
f
x y
,
f
} 是使函数在一点的方向导
数达到最大值的方向
Revised Feb, 2006 March 2005
是使函数在一点增加得最 向 { 2 , 2 ,1}
求 u 在点 M 处的梯度和沿 l 的方向导数
g ra d u { u x , u y , u z
2
}
(1 , 2 , 1 )
{ 2 x y z , x , x } {3,1,1}
l 1 5 u g r a d u {3,1,1} { 2 , 2 ,1} l 3 3 l
cos
f y
Revised Feb, 2006
March 2005
f l z l
z x
cos
z
z y
cos
{
z
x y
,
} {cos , cos }
小窍门：用梯度 gradf 点乘 l 的单位 向量就得到方向导 若 l 不是单位矢量，则 数，这是计算方向 导数最简便的方法。
Revised Feb, 2006
March 2005
梯度的运算律
类似于导数的运算律。
《学习手册》229页,表8.7.1
Revised Feb, 2006
March 2005
例
u x y xz
2
M (1, 2 , 1)
是等值面 Σ 在点 (x, y, z) 处的法向量。
Revised Feb, 2006
March 2005
故梯度向量 g r a d f {
f
x y
,
f
,
f z
}
在任何点都垂直于函数的等值面，并且从 函数值较小的等值面指向函数值较大的等 值面。
的方向导数：
March 2005
故梯度向量 g r a d f {
f
x y
,
f
}
在任何点都垂直于函数的等值线，并且从函 数值较小的等值线指向函数值较大的等值线。
g ra d f
Revised Feb, 2006
等值线
Revised Feb, 2006
o
x
March 2005
梯度的几何解释
三元函数 u = f(x, y, z) 的等值面：
:
f ( x, y, z) c
由切平面的讨论，知梯度
g ra d f { f x y , f , f z }
Revised Feb, 2006
March 2005
函数 z f ( x , y ) 在点 M ( x , y ) 0 0 0
沿方向 l { c o s , c o s }
的方向导数：
f l
lim f ( x0 co s , y0 co s ) f ( x0 , y0 )
March 2005
函数 z f ( x , y ) 的等值线： f ( x , y ) c
f f , dx, dy 0 x y
T
d x, d y
g ra d f
因为 T = {dx, dy}是等值线 f(x, y) = c 的切向量。 所以梯度 {fx , fy} 与等值线 垂直。
0
Revised Feb, 2006
March 2005
z l
是函数 z f ( x , y ) 在点 M ( x , y ) 0 0 0
沿方向 l { c o s , c o s }
对 的变化率
z l
是曲面 z f ( x , y ) 在点 M 0 ( x 0 , y 0 )
g ra d z { z x , z y } { 2 x , 4 y } {3, 4}
最大的坡度为：
g ra d z
3 4
2
2
5
估计他很 难爬上去
5
Revised Feb, 2006
1 2005 March
喂，我在 这儿啦！
梯度的几何解释
函数 z f ( x , y ) 的等值线：
: f ( x, y ) c
方程两边微分：
df ( x , y ) d (c )
f x dx
f y dy 0
f f , dx, dy 0 Revised Feb, 2006 x y
2x x y
2 2
fx
(1 ,1 ,1 )
z
2
2 3
fy fz
l f g ra d f l l
2 2 2 1 10 { , , } {1, 2 , 2} 3 3 3 3 9 Revised Feb, 2006
gradf l 0
z
l gradf l l
《学习手册》228页
Revised Feb, 2006 March 2005
三元函数 u f ( x , y , z ) 在点 ( x , y , z )
沿方向 l { c o s , c o s , c o s }
March 2005
z f ( x, y) M 0 ( x0 , y0 ) l {cos , cos }
M ( x0 co s , y0 co s )
l M 0M
x cos
March 2005
在几何上 z f ( x , y ) 表示一个曲面
曲面被平面 z c 所截得
z f (x, y) , z c
所得曲线在xOy面上投影如图
y
f (x, y) c2
gradf
(x, y)
P
梯度为等值线上的法向量
f ( x, y) c
f ( x , y ) c1
March 2005
二、梯度
Gradient vectors
Revised Feb, 2006
March 2005
f l
{
f
x y
,
f
} {cos , cos }
0 l
g ra d f l 0
0 g ra d f l c o s
March 2005
梯度是一个向量
它是函数 z = f(x, y) 在点 (x, y) 处取得最大方 向导数的方向 最大方向导数为：
z l
g ra d f
(
f x
) (
2
f y
)
2
Revised Feb, 2006
March 2005
8.7 方向导数与梯度
Directional Derivatives and Gradient Vectors
Revised Feb, 2006
March 2005
一、方向导数
Directional derivatives
讨论函数沿某个方向的变化率
Revised Feb, 2006
Revised Feb, 2006
March 2005
例
一座山形如 z 5 x 2 y 当然，世界上可能找不到这样的山。 3 3 登山者位于 M ( , 1, ) 处
2 2
2
4
试为登山者选择最陡的登山方向并求出坡度
解
最陡的方向是梯度方向
March 2005
例
f ( x , y , z ) ln ( x y
2
2
z )
2
求 f 在点M1(1, 1, 1)处沿 M1 指向 M2(2, 3, 3) 的 方向的方向导数。 解
l M 1 M 2 {1, 2 , 2}
若偏导数
则
f x f l
f x
f y
存在
其中 l {1, 0} i 其中 l { 0 ,1} j
则 f
y
f l
Revised Feb, 2006
March 2005
方向导数是单向导数（因为 0 ）
z y cos
利用偏导数计算方向导数的公式
Revised Feb, 2006
March 2005
证明
z
f ( x cos , y cos )
f ( x, y)
f 由可 f . co s . co s o ( ) 微性 x
M
0
l
M
y
y cos
x
Revised Feb, 2006 March 2005
z f ( x0 co s , y0 co s )
沿方向 l 的增量
z
f ( x0 , y0 )
：沿方向 l 的平均变化率
类似于一元函数的单侧导数
而偏导数是双向导数（因为 x 可正负 ） 因此，在一点处沿 x 轴或 y 轴方向的方向导 数存在，也不能保证该点的偏导数存在。
Revised Feb, 2006
March 2005
定理 46页
z l z x
读书
cos
方向相同时，方向导数取到最大值：
f l
g ra d f c o s 0 g ra d f
因此向量 {
f
x y
,
f
} 是使函数在一点的方向导
数达到最大值的方向
Revised Feb, 2006 March 2005
是使函数在一点增加得最 向 { 2 , 2 ,1}
求 u 在点 M 处的梯度和沿 l 的方向导数
g ra d u { u x , u y , u z
2
}
(1 , 2 , 1 )
{ 2 x y z , x , x } {3,1,1}
l 1 5 u g r a d u {3,1,1} { 2 , 2 ,1} l 3 3 l
cos
f y
Revised Feb, 2006
March 2005
f l z l
z x
cos
z
z y
cos
{
z
x y
,
} {cos , cos }
小窍门：用梯度 gradf 点乘 l 的单位 向量就得到方向导 若 l 不是单位矢量，则 数，这是计算方向 导数最简便的方法。
Revised Feb, 2006
March 2005
梯度的运算律
类似于导数的运算律。
《学习手册》229页,表8.7.1
Revised Feb, 2006
March 2005
例
u x y xz
2
M (1, 2 , 1)
是等值面 Σ 在点 (x, y, z) 处的法向量。
Revised Feb, 2006
March 2005
故梯度向量 g r a d f {
f
x y
,
f
,
f z
}
在任何点都垂直于函数的等值面，并且从 函数值较小的等值面指向函数值较大的等 值面。
的方向导数：