数字信号处理第三版西安科大出版高西全丁玉美课后答案
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数字信号处理第三版西安电子(高西全丁美玉)2356课后答案
解:
(１)
上式中指数函数的傅里叶变换不存在,引入奇异函数 函数,它的傅里叶变换可以
表示成：
（2）
(3)
式中
式中
上式推导过程中,指数序列的傅里叶变换仍然不存在,只有引入奇异函数函数,才能写出它的傅里叶变换表达式。
14.求以下序列的Z变换及收敛域：
（2) ；
(３） ；
(6)
解：
（２)
（3）
(６)
1６.已知:
y（n)的波形如题8解图（二）所示.
（3)
y(n）对于m的非零区间为 。
①
②
③
最后写成统一表达式：
１1.设系统由下面差分方程描述：
;
设系统是因果的,利用递推法求系统的单位取样响应。
解:
令：
归纳起来,结果为
12.有一连续信号 式中，
(1)求出 的周期。
(2)用采样间隔 对 进行采样,试写出采样信号 的表达式。
解：
(1）x(n）的波形如题２解图(一）所示。
(2）
(3) 的波形是x(n)的波形右移2位,在乘以２，画出图形如题2解图(二）所示。
(4) 的波形是x(n）的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。
(５）画 时，先画x(－n)的波形,然后再右移2位, 波形如题2解图（四）所示。
3.判断下面的序列是否是周期的,若是周期的，确定其周期。
按照上式可以有两种级联型结构：
(a)
画出级联型结构如题2解图（二)（a)所示。
(b)
画出级联型结构如题２解图（二)（b）所示●。
３.设系统的系统函数为
，
试画出各种可能的级联型结构。
解:
由于系统函数的分子和分母各有两个因式，可以有两种级联型结构。
(１)
上式中指数函数的傅里叶变换不存在,引入奇异函数 函数,它的傅里叶变换可以
表示成：
（2）
(3)
式中
式中
上式推导过程中,指数序列的傅里叶变换仍然不存在,只有引入奇异函数函数,才能写出它的傅里叶变换表达式。
14.求以下序列的Z变换及收敛域：
（2) ；
(３） ；
(6)
解：
（２)
（3）
(６)
1６.已知:
y（n)的波形如题8解图（二）所示.
（3)
y(n）对于m的非零区间为 。
①
②
③
最后写成统一表达式：
１1.设系统由下面差分方程描述：
;
设系统是因果的,利用递推法求系统的单位取样响应。
解:
令：
归纳起来,结果为
12.有一连续信号 式中，
(1)求出 的周期。
(2)用采样间隔 对 进行采样,试写出采样信号 的表达式。
解：
(1）x(n）的波形如题２解图(一）所示。
(2）
(3) 的波形是x(n)的波形右移2位,在乘以２，画出图形如题2解图(二）所示。
(4) 的波形是x(n）的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。
(５）画 时，先画x(－n)的波形,然后再右移2位, 波形如题2解图（四）所示。
3.判断下面的序列是否是周期的,若是周期的，确定其周期。
按照上式可以有两种级联型结构：
(a)
画出级联型结构如题2解图（二)（a)所示。
(b)
画出级联型结构如题２解图（二)（b）所示●。
３.设系统的系统函数为
，
试画出各种可能的级联型结构。
解:
由于系统函数的分子和分母各有两个因式，可以有两种级联型结构。
数字信号处理课后答案+第2章(高西全丁美玉第三版)
~ X (k ) DFS[ ~ (n)] x
j k j k e 4 (e 4
n 0
3
~ (n)e x
j
2 kn 4
π 4
n 0
1
j kn e 2
1j k e 2源自j k e 4 )
2 cos(
π j k k) e 4
~ X ( k )以4为周期
证明输入x(n)=A cos(ω0n+j)的稳态响应为
y (n) A | H (e j0 ) | cos0 n j (0 )
解： 假设输入信号x(n)=ejω0n，系统单位脉冲响应为h(n)， 则系统输出为
y ( n) h( n) x ( n) e j 0 n
(9)
x(n / 2) n 偶数 x9 (n) n 奇数 0
解：（1）
FT[ x(n n0 )]
n
x(n n0 )e jn
令n′=n－n0, 即n=n′+n0， 则
FT[ x(n n0 )]
（2）
FT[ x (n)]
n
x(n)e jn
令n′=－n， 则
FT[ x(n)]
n
x(n)e jn X (e j )
（4）
FT［x(n)*y(n)］=X(ejω)Y(ejω)
下面证明上式成立：
x ( n) y ( n)
m
x ( m) y ( n m)
FT[ x(n) y (n)]
n
x(n)e j2n X (e j2 )
j k j k e 4 (e 4
n 0
3
~ (n)e x
j
2 kn 4
π 4
n 0
1
j kn e 2
1j k e 2源自j k e 4 )
2 cos(
π j k k) e 4
~ X ( k )以4为周期
证明输入x(n)=A cos(ω0n+j)的稳态响应为
y (n) A | H (e j0 ) | cos0 n j (0 )
解： 假设输入信号x(n)=ejω0n，系统单位脉冲响应为h(n)， 则系统输出为
y ( n) h( n) x ( n) e j 0 n
(9)
x(n / 2) n 偶数 x9 (n) n 奇数 0
解：（1）
FT[ x(n n0 )]
n
x(n n0 )e jn
令n′=n－n0, 即n=n′+n0， 则
FT[ x(n n0 )]
（2）
FT[ x (n)]
n
x(n)e jn
令n′=－n， 则
FT[ x(n)]
n
x(n)e jn X (e j )
（4）
FT［x(n)*y(n)］=X(ejω)Y(ejω)
下面证明上式成立：
x ( n) y ( n)
m
x ( m) y ( n m)
FT[ x(n) y (n)]
n
x(n)e j2n X (e j2 )
数字信号处理(第三版)课后答案及学习指导(高西全_丁玉美)第二章
［例2.4.3］ 已知
n
x(n) 2N n
0
求x(n)的Z变换。
0≤n≤N N+1≤n≤2N n<0, 2N<n
2021/4/21
22
第２章 时域离散信号和系统的频域分析
解： 题中x(n)是一个三角序列， 可以看做两个相同的矩
形序列的卷积。
设y(n)=RN(n)*RN(n), 则
0
n<0
y(n)
n0
k
~x (n) IDFS[ X~(k)] 1
X~
(k
)e
j
2π N
kn
N k
n
这两式是周期序列的离散傅里叶级数变换对， 可用以 表现周期序列的频谱特性。
2021/4/21
7
第２章 时域离散信号和系统的频域分析
（3）
X (e j ) FT[~x (n)] 2π X~(k)δ( 2π k)
2021/4/21
16
第２章 时域离散信号和系统的频域分析
根据零、 极点分布可定性画幅频特性。 当频率由0到2π 变化时， 观察零点矢量长度和极点矢量长度的变化， 在极点 附近会形成峰。 极点愈靠进单位圆， 峰值愈高； 零点附近形 成谷， 零点愈靠进单位圆， 谷值愈低， 零点在单位圆上则 形成幅频特性的零点。 当然， 峰值频率就在最靠近单位圆的 极点附近， 谷值频率就在最靠近单位圆的零点附近。
（9） 若x(n)=a|n|, 则
X
(z)
(1
1 a2 az)(1
az 1 )
a z a 1
x(n)=a|n|是数字信号处理中很典型的双边序列， 一些测试题都是用它演变出来的。
2021/4/21
n
x(n) 2N n
0
求x(n)的Z变换。
0≤n≤N N+1≤n≤2N n<0, 2N<n
2021/4/21
22
第２章 时域离散信号和系统的频域分析
解： 题中x(n)是一个三角序列， 可以看做两个相同的矩
形序列的卷积。
设y(n)=RN(n)*RN(n), 则
0
n<0
y(n)
n0
k
~x (n) IDFS[ X~(k)] 1
X~
(k
)e
j
2π N
kn
N k
n
这两式是周期序列的离散傅里叶级数变换对， 可用以 表现周期序列的频谱特性。
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第２章 时域离散信号和系统的频域分析
（3）
X (e j ) FT[~x (n)] 2π X~(k)δ( 2π k)
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第２章 时域离散信号和系统的频域分析
根据零、 极点分布可定性画幅频特性。 当频率由0到2π 变化时， 观察零点矢量长度和极点矢量长度的变化， 在极点 附近会形成峰。 极点愈靠进单位圆， 峰值愈高； 零点附近形 成谷， 零点愈靠进单位圆， 谷值愈低， 零点在单位圆上则 形成幅频特性的零点。 当然， 峰值频率就在最靠近单位圆的 极点附近， 谷值频率就在最靠近单位圆的零点附近。
（9） 若x(n)=a|n|, 则
X
(z)
(1
1 a2 az)(1
az 1 )
a z a 1
x(n)=a|n|是数字信号处理中很典型的双边序列， 一些测试题都是用它演变出来的。
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数字信号处理课后答案+第3章(高西全丁美玉第三版)
kn X (k ) = ∑ x(n)W N n =0 =0 N −1
所以
kn DFT[ X (n)] = ∑ X (n)W N n =0 N −1
N −1 mn kn = ∑ ∑ x(m)W N W N n =0 m =0
N −1
n = ∑ x ( m)∑ W N ( m + k ) m =0 n =0
X (k ) − W X (k ) = ∑ WNkm − ( N − 1)
k N m =1
kn = ∑ W N − 1 − ( N − 1) = − N n =0 N −1
N −1
所以，
X (k ) =
−N , k ≠ 0 ，即 k 1 − WN N ( N − 1) k =0 2 X (k ) = −N k = 1, 2, ⋯, N − 1 k 1 − WN
=
1− e
−j
2π (m−k ) N N 2π (m−k ) N
1− e
−j
N = 0
k =m k≠m
0≤k≤N－1
(6) X (k ) = ∑ cos
n =0
N −1
1 2π kn mn ⋅ WN = (e 2 N n =0
∑
N −1
j
2π mn N
+e
-j
2π 2π mn - j kn N )e N
j
2π mn N ,
0<m< N
2π x(n) = cos mn , 0 < m < N N
(7) (8) (9)
x(n)=ejω0nRN(n) x(n)=sin(ω0n)RN(n) x(n)=cos(ω0n)RN(N)
所以
kn DFT[ X (n)] = ∑ X (n)W N n =0 N −1
N −1 mn kn = ∑ ∑ x(m)W N W N n =0 m =0
N −1
n = ∑ x ( m)∑ W N ( m + k ) m =0 n =0
X (k ) − W X (k ) = ∑ WNkm − ( N − 1)
k N m =1
kn = ∑ W N − 1 − ( N − 1) = − N n =0 N −1
N −1
所以，
X (k ) =
−N , k ≠ 0 ，即 k 1 − WN N ( N − 1) k =0 2 X (k ) = −N k = 1, 2, ⋯, N − 1 k 1 − WN
=
1− e
−j
2π (m−k ) N N 2π (m−k ) N
1− e
−j
N = 0
k =m k≠m
0≤k≤N－1
(6) X (k ) = ∑ cos
n =0
N −1
1 2π kn mn ⋅ WN = (e 2 N n =0
∑
N −1
j
2π mn N
+e
-j
2π 2π mn - j kn N )e N
j
2π mn N ,
0<m< N
2π x(n) = cos mn , 0 < m < N N
(7) (8) (9)
x(n)=ejω0nRN(n) x(n)=sin(ω0n)RN(n) x(n)=cos(ω0n)RN(N)
数字信号处理第三版高西全版课后习题答案
数字信号处理课后答案 高西全、丁美玉版教材第一章习题解答1. 用单位脉冲序列()n δ及其加权和表示题1图所示的序列。
解：()(4)2(2)(1)2()(1)2(2)4(3)0.5(4)2(6)x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=+++-+++-+-+-+-+-2. 给定信号：25,41()6,040,n n x n n +-≤≤-⎧⎪=≤≤⎨⎪⎩其它（1）画出()x n 序列的波形，标上各序列的值；（2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示()x n 序列； （3）令1()2(2)x n x n =-，试画出1()x n 波形； （4）令2()2(2)x n x n =+，试画出2()x n 波形； （5）令3()2(2)x n x n =-，试画出3()x n 波形。
解：（1）x(n)的波形如题2解图（一）所示。
（2）()3(4)(3)(2)3(1)6()6(1)6(2)6(3)6(4)x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=-+-+++++++-+-+-+-（3）1()x n 的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。
（4）2()x n 的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。
（5）画3()x n 时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，3()x n 波形如题2解图（四）所示。
3. 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。
（1）3()cos()78x n A n ππ=-，A 是常数；（2）1()8()j n x n e π-=。
解：（1）3214,73w w ππ==，这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14； （2）12,168w wππ==，这是无理数，因此是非周期序列。
5. 设系统分别用下面的差分方程描述，()x n 与()y n 分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。
数字信号处理课后答案+第3章(高西全丁美玉第三版)
N −1 n =0 N −1 − j 2 π kn e N n =0 −j −j 2π kN N 2π kN N
X (k ) =
∑
kn 1 ⋅ WN
=
∑
=
1− e 1− e
N k = 0 = 0 k = 1, 2, ⋯, N − 1
（2） X (k ) = ∑ δ(n)W
n =0
N −1
kn N
（10） 解法一
X (k ) =
∑
n =0
N −1 kn nW N
k = 0, 1, ⋯ , N − 1
上式直接计算较难， 可根据循环移位性质来求解X(k)。 因 为x(n)=nRN(n)， 所以 x(n)－x((n－1))NRN(n)+Nδ(n)=RN(n) 等式两边进行DFT， 得到 X(k)－X(k)WkN+N=Nδ(k)
j
2π mn N ,
0<m< N
2π x(n) = cos mn , 0 < m < N N
(7) (8) (9)
x(n)=ejω0nRN(n) x(n)=sin(ω0n)RN(n) x(n)=cos(ω0n)RN(N)
(10) x(n)=nRN(n) 解： (1)
H (k ) = ∑ ∑ x((n′ + lN )) N e
l =0 n′=0
m −1 N −1
−j
2π( n′+lN ) k rN
2π 2π −j n′k − j lk N −1 k r −1 − j 2π lk ′)e mN e m = X ∑ e m = ∑ ∑ x(n l =0 n′=0 r l =0 m −1
X (k ) =
∑
kn 1 ⋅ WN
=
∑
=
1− e 1− e
N k = 0 = 0 k = 1, 2, ⋯, N − 1
（2） X (k ) = ∑ δ(n)W
n =0
N −1
kn N
（10） 解法一
X (k ) =
∑
n =0
N −1 kn nW N
k = 0, 1, ⋯ , N − 1
上式直接计算较难， 可根据循环移位性质来求解X(k)。 因 为x(n)=nRN(n)， 所以 x(n)－x((n－1))NRN(n)+Nδ(n)=RN(n) 等式两边进行DFT， 得到 X(k)－X(k)WkN+N=Nδ(k)
j
2π mn N ,
0<m< N
2π x(n) = cos mn , 0 < m < N N
(7) (8) (9)
x(n)=ejω0nRN(n) x(n)=sin(ω0n)RN(n) x(n)=cos(ω0n)RN(N)
(10) x(n)=nRN(n) 解： (1)
H (k ) = ∑ ∑ x((n′ + lN )) N e
l =0 n′=0
m −1 N −1
−j
2π( n′+lN ) k rN
2π 2π −j n′k − j lk N −1 k r −1 − j 2π lk ′)e mN e m = X ∑ e m = ∑ ∑ x(n l =0 n′=0 r l =0 m −1
西安电子(高西全丁美玉第三版)数字信号处理部分课后答案Word版 - 副本
第一章习题解答2. 给定信号：25,41()6,040,n n x n n +-≤≤-⎧⎪=≤≤⎨⎪⎩其它（1）画出()x n 序列的波形，标上各序列的值； （2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示()x n 序列； （3）令1()2(2)x n x n =-，试画出1()x n 波形； （4）令2()2(2)x n x n =+，试画出2()x n 波形； （5）令3()2(2)x n x n =-，试画出3()x n 波形。
解： （1）x(n)的波形如题2解图（一）所示。
（2）()3(4)(3)(2)3(1)6()6(1)6(2)6(3)6(4)x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=-+-+++++++-+-+-+-（3）1()x n 的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。
（4）2()x n 的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。
（5）画3()x n 时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，3()x n 波形如题2解图（四）所示。
5. 设系统分别用下面的差分方程描述，()x n 与()y n 分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。
（5）2()()y n x n =； （6）y (n )=x (n 2)解：（5） 2()()y n x n = 令：输入为0()x n n -，输出为'20()()y n x n n =-，因为2'00()()()y n n x n n y n -=-=故系统是时不变系统。
又因为21212122212[()()](()()) [()][()] ()()T ax n bx n ax n bx n aT x n bT x n ax n bx n +=+≠+=+因此系统是非线性系统。
（6） y (n )=x (n 2) 令输入为x (n －n 0) 输出为y ′(n )=x ((n －n 0)2)y (n －n 0)=x ((n －n 0)2)=y ′(n)故系统是非时变系统。
数字信号处理课后答案+第7章(高西全丁美玉第三版)
别为h(n)和H(ejω)， 另一个滤波器的单位脉冲响应为h1(n)，
它与h(n)的关系是h1(n)=(－1)nh(n)。 试证明滤波器h1(n)是一 个高通滤波器。
（2） 设低通滤波器的单位脉冲响应与频率响应函数分
别为h(n)和H(ejω)， 截止频率为ωc, 另一个滤波器的单位脉冲 响应为h2(n)， 它与h(n)的关系是h2(n)=2h(n)cosω0n， 且 ωc<ω0<(π－ωc)。 试证明滤波器h2(n)是一个带通滤波器。 解: （1） 由题意可知
H (e j( 0 ) ) H (e j( 0 ) ) j H 2 (e ) 2
因为低通滤波器H(ejω)通带中心位于ω=2kπ， 且H2(ejω)为 H(ejω)左右平移ω0， 所以H2(ejω)的通带中心位于ω=2kπ±ω0处， 所以h2(n)具有带通特性。 这一结论又为我们提供了一种设计 带通滤波器的方法。 8． 题8图中h1(n)和h2(n)是偶对称序列， N=8， 设 H1(k)=DFT［h1(n)］ k=0， 1， …， N－1 H2(k)=DFT［h2(n)］ k=0， 1， …， N －1 （1） 试确定H1(k)与 H2(k)的具体关系式。 | H1(k)|=| H2(k)| 是否成立？为什么？ （2） 用h1(n)和h2(n)分别构成的低通滤波器是否具有线性 相位？群延时为多少？
解： （1） 由所给h(n)的取值可知，h(n)满足h(n)=h(N－1
－n)， 所以FIR滤波器具有A类线性相位特性：
N 1 ( ) 2.5 2
由于N=6为偶数(情况2)， 所以幅度特性关于ω=π点奇对称。 （2） 由题中h(n)值可知， h(n)满足h(n)=－h(N－1－n)， 所以FIR滤波器具有B类线性相位特性： π N 1 π () 3 2 2 2 由于7为奇数(情况3)， 所以幅度特性关于ω=0, π, 2π三点奇对 称。
数字信号处理-西安电子科技大学出版(_高西全丁美玉)第三版_课后习题答案(全)
18
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
(3) 这是一个延时器， 延时器是线性非时变系统， 下面证明。 令输入为
输出为
x(n－n1)
y′(n)=x(n－n1－n0) y(n－n1)=x(n－n1－n0)=y′(n) 故延时器是非时变系统。 由于
T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n－n0)+bx2(n－n0) =aT［x1(n)］+bT［x2(n)］
x(m)h(n－m)
m
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
题7图
28
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
y(n)={－2,－1,－0.5, 2, 1, 4.5, 2, 1; n=－2, －1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
解法（二） 采用解析法。 按照题7图写出x(n)和h(n)的表达式分别为
5． 设系统分别用下面的差分方程描述， x(n)与y(n)分别表示系统输入和输 出， 判断系统是否是线性非时变的。
（1）y(n)=x(n)+2x(n－1)+3x(n－2) （2）y(n)=2x(n)+3 （3）y(n)=x(n－n0) n0 （4）y(n)=x(－n)
15
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
非零区间如下:
0≤m≤3 －4≤m≤n
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
根据非零区间， 将n分成四种情况求解： ① n<0时， y(n)=0
② 0≤n≤3时， y(n)= ③ 4≤n≤7时， y(n)= ④ n>7时， y(n)=0
1=n+1
n
1=8－m n0
数字信号处理第三版 第一章高西全丁玉美课后答案
m = −∞
∑
∞
a − m u (−m)u (n − m)
第 1 章
时域离散信号和时域离散系统
按照上式， s(n)的非零区间可由下面两个不等式确定: m≤0 及 m≤n （1） n≤0时,
s ( n) =
m = −∞
∑
n
a −m =
m=−n
∑
∞
am =
Байду номын сангаасm=−n
∑
0
am +
m =0
∑
∞
am −1
1 − a −n 1 = + −1 −1 1− a 1− a
第 1 章
时域离散信号和时域离散系统
解线性卷积也可用Z变换法， 以及离散傅里叶变换求解， 这是后面几章的内容。 下面通过例题说明。 设x(n)=R4(n), h(n)=R4(n)， 求y(n)=x(n)*h(n)。 该题是两个短序列的线性卷积， 可以用图解法（列表法） 或者解析法求解。 表1.2.1给出了图解法（列表法）， 用公 式可表示为 y(n)={…, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 0, 0, …}
第 1 章
时域离散信号和时域离散系统
max{0, n－3}≤m≤min{3, n} 当0≤n≤3时， 下限应该是0， 上限应该是n； 当4≤n≤6时， 下限应该是n－3， 上限应该是3； 当n<0或n>6时， 上面的 不等式不成立， 因此y(n)=0； 这样将n分成三种情况 计算： （1） n<0或n>6时， y(n)=0 （2） 0≤n≤3时，
第 1 章
时域离散信号和时域离散系统
1.1.2
重要公式 重要公式
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m
因为输入x(n)是以N为周期的周期序列， 因此 x(n＋kN－m)=x(n－m) 将上式代入（1）式， 得到
y(n) h(n) * x(n kN )
m
h(m) x(n kN m) y(n kT )
上式说明y(n)也是以N为周期的周期序列。
第 1 章
第 1 章
时域离散信号和时域离散系统
1.1.1
（1） 信号： 模拟信号、 时域离散信号、 数字信号三 者之间的区别； 常用的时域离散信号； 如何判断信号是周期 性的， 其周期如何计算等。 （2） 系统： 什么是系统的线性、 时不变性以及因果 性、 稳定性； 线性、 时不变系统输入和输出之 间的关系； 求解线性卷积的图解法（列表法）、 解析法， 以及用MATLAB工具箱函数求解； 线性常系数差分方程的递
时域离散信号和时域离散系统
第 1 章
时域离散信号和时域离散系统
下面用解析法求解， 写出卷积公式为
y(n)
m
x(m)h(n m) R (m)R (n m)
4 4 m
在该例题中， R4(m)的非零区间为0≤m≤3， R4(n－m)的 非零区间为0≤n－m≤3， 或写成n－3≤m≤n， 这样y(n)的非
（3） 模拟信号的采样与恢复： 采样定理； 采样前的 模拟信号和采样后得到的采样信号之间的频谱关系； 如何由 采样信号恢复成原来的模拟信号； 实际中如何将时域离散信 号恢复成模拟信号。
第 1 章
时域离散信号和时域离散系统
1.1.2
重要公式
（1）
y ( n)
m
x(m)h(n m) x(n) * h(n)
第 1 章
时域离散信号和时域离散系统
第1章 时域离散信号和时域离散系统
1.1 1.2 1.3 1.4 学习要点与重要公式 解线性卷积的方法 例题 习题与上机题解答
第 1 章
时域离散信号和时域离散系统
1.1
学习要点与重要公式
本章内容是全书的基础。 学生从学习模拟信号分析与处
理到学习数字信号处理， 要建立许多新的概念。 数字信号
这是一个线性卷积公式， 注意公式中是在－∞~∞之间 对m求和。 如果公式中x(n)和h(n)分别是系统的输入和单位
脉冲响应， y(n)是系统输出， 则该式说明系统的输入、
输出和单位脉冲响应之间服从线性卷积关系。
第 1 章
时域离散信号和时域离散系统
（2）
x(n)=x(n)*δ(n) x(n－n0)=x(n)*δ(n－n0)
(1) 画出x(n)序列的波形， 标上各序列值； (2) 试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列；
［例1.3.4］ 假设5项滑动平均滤波器的差分方程为
n
y(n)=
1 ［x(n)+x(n－1)+x(n－2)+x(n－3)+x(n－4)］ 5
输入信号用图1.3.1表示， 画出该滤波器输出的前16个序列值
的波形， 并说明该滤波器对输入信号起什么作用。
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时域离散信号和时域离散系统
图1.3.1
j h ( n) u ( n) 2
n
j 1
第 1 章
时域离散信号和时域离散系统
x(n)=cos(πn)u(n)
求系统的稳态响应y(n)。 解 x(n)=cos(πn)u(n)=(－1)nu(n)
y ( n)
n
h ( m) x ( n m)
m
j nm u (m)(1) 2 n
该式说明任何序列与δ(n)的线性卷积等于原序列。
（3）
1 ˆ ( j ) X X a ( j jks ) n T k
这是关于采样定理的重要公式， 根据该公式要求对 信号的采样频率要大于等于该信号的最高频率的两倍以上，
才能得到不失真的采样信号。
sin[π(t nT ) / T ] xa (t ) xa (nt) π(t nT ) / T n
零区间要求m同时满足下面两个不等式：
0≤m≤3 m－3≤m≤n 上面公式表明m的取值和n的取值有关， 需要将n作分 段的假设。 按照上式， 当n变化时， m应该按下式取值：
第 1 章
时域离散信号和时域离散系统
max{0, n－3}≤m≤min{3, n} 当0≤n≤3时， 下限应该是0， 上限应该是n； 当4≤n≤6时， 下限应该是n－3， 上限应该是3； 当n<0或n>6时， 上面的 不等式不成立， 因此y(n)=0； 这样将n分成三种情况 （1） n<0或n>6时， y(n)=0 （2） 0≤n≤3时，
=δ(n)+4δ(n－1)+6δ(n－2)+5δ(n－3)+2δ(n－4)
画出x(n)的波形如图1.3.3所示。
第 1 章
时域离散信号和时域离散系统
图1.3.3
第 1 章
时域离散信号和时域离散系统
［例1.3.6］
已知离散信号x(n)如图1.3.4(a)所示， 试求
y(n)=x(2n)*x(n)， 并绘出y(n)的波形。 （选自西安交通大学
时域离散信号和时域离散系统
［例1.3.2］
线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)
h(n)=a－nu(－n)
计算该系统的单位阶跃响应。 解 用s(n)表示系统的单位阶跃响应， 则
s(n) h(n) * x(n)
m
h(m)u(n m)
m
a mu (m)u (n m)
时域离散信号和时域离散系统
在封闭式求解过程中， 有时候决定求和的上下限有些麻
烦， 可借助于非零值区间的示意图确定求和限。 在该例题 中， 非零值区间的示意图如图1.2.1所示。 在图1.2.1(b)中， 当n<0时， 图形向左移动， 图形不可能和图1.2.1(a)的图形有 重叠部分， 因此y(n)=0。 当图形向右移动时， 0≤n≤3， 图 形如图1.2.1(c)所示， 对照图1.2.1(a)， 重叠部分的上下限自 然是0≤m≤n。 当图形再向右移动时， 4≤n≤6， 如图1.2.1(d)所 示， 重叠部分的上下限是n－3≤m≤3。 当图形再向右移动时, 7≤n， 图形不可能和图1.2.1(a)有重叠部分， 因此y(n)=0。
这是由时域离散信号理想恢复模拟信号的插值公式。
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时域离散信号和时域离散系统
1.2
解线性卷积是数字信号处理中的重要运算。 解线性卷积有
三种方法， 即图解法（列表法）、 解析法和在计算机上用 MATLAB语言求解。 它们各有特点。 图解法（列表法）适合 于简单情况， 短序列的线性卷积， 因此考试中常用， 不容易 得到封闭解。 解析法适合于用公式表示序列的线性卷积， 得
y ( n)
m 0
1 n 1
n
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（3） 4≤n≤6时，
y ( n)
m n 3
1 7 n
n
将y(n)写成一个表达式， 如下式： y(n)=
n 1 y (n) 7 n 0
0≤n≤3 4≤n≤6
其它
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图1.3.2
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时域离散信号和时域离散系统
［例1.3.5］已知x1(n)=δ(n)+3δ(n－1)+2δ(n－2)，x2(n)=u(n) －u(n－3)， 试求信号x(n)， 它满足x(n)=x1(n)*x2(n), 并画出 x(n)的波形。 解： 这是一个简单的计算线性卷积的题目。 x(n)=x1(n)*x2(n) =［δ(n)+3δ(n－1)+2δ(n－2)］*［u(n)－u(n－3) =［δ(n)+3δ(n－1)+2δ(n－2)］*R3(n) =R3(n)+3R3(n－1)+2R3(n－2)
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时域离散信号和时域离散系统
图1.2.1
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时域离散信号和时域离散系统
1.3 例
［例1.3.1］ 线性时不变系统的单位脉冲响应用h(n)表示， 输入x(n)是以N为周期的周期序列， 试证明输出y(n)亦是以N为 周期的周期序列。 证明： y ( n) h( n) * x ( n) h(m) x(n m)
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图1.3.4
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1.4
1. 用单位脉冲序列δ(n)及其加权和表示题1图所示的序列。
题1图
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时域离散信号和时域离散系统
解：
x(n)=δ(n+4)+2δ(n+2)－δ(n+1)+2δ(n)+δ(n－1)
+2δ(n－2)+4δ(n－3)+0.5δ(n－4)+2δ(n－6) 2． 给定信号： 2n+5 (x(n)= 6 0 －4≤n≤－1 0≤n≤4 其它
hn=ones(1， 5)；
yn=conv(hn， xn)；
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%
n=0： length(yn)－1；
subplot(2， 1， 1)； stem(n， yn， ′.′) xlabel(′n′)； ylabel(′y(n)′) 程序运行结果如图1.3.2所示。 由图形可以看出， 5项滑 动平均滤波器对输入波形起平滑滤波作用， 将信号的第4、 8、 12、 16的序列值平滑去掉。
因为输入x(n)是以N为周期的周期序列， 因此 x(n＋kN－m)=x(n－m) 将上式代入（1）式， 得到
y(n) h(n) * x(n kN )
m
h(m) x(n kN m) y(n kT )
上式说明y(n)也是以N为周期的周期序列。
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1.1.1
（1） 信号： 模拟信号、 时域离散信号、 数字信号三 者之间的区别； 常用的时域离散信号； 如何判断信号是周期 性的， 其周期如何计算等。 （2） 系统： 什么是系统的线性、 时不变性以及因果 性、 稳定性； 线性、 时不变系统输入和输出之 间的关系； 求解线性卷积的图解法（列表法）、 解析法， 以及用MATLAB工具箱函数求解； 线性常系数差分方程的递
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下面用解析法求解， 写出卷积公式为
y(n)
m
x(m)h(n m) R (m)R (n m)
4 4 m
在该例题中， R4(m)的非零区间为0≤m≤3， R4(n－m)的 非零区间为0≤n－m≤3， 或写成n－3≤m≤n， 这样y(n)的非
（3） 模拟信号的采样与恢复： 采样定理； 采样前的 模拟信号和采样后得到的采样信号之间的频谱关系； 如何由 采样信号恢复成原来的模拟信号； 实际中如何将时域离散信 号恢复成模拟信号。
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1.1.2
重要公式
（1）
y ( n)
m
x(m)h(n m) x(n) * h(n)
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1.1 1.2 1.3 1.4 学习要点与重要公式 解线性卷积的方法 例题 习题与上机题解答
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1.1
学习要点与重要公式
本章内容是全书的基础。 学生从学习模拟信号分析与处
理到学习数字信号处理， 要建立许多新的概念。 数字信号
这是一个线性卷积公式， 注意公式中是在－∞~∞之间 对m求和。 如果公式中x(n)和h(n)分别是系统的输入和单位
脉冲响应， y(n)是系统输出， 则该式说明系统的输入、
输出和单位脉冲响应之间服从线性卷积关系。
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（2）
x(n)=x(n)*δ(n) x(n－n0)=x(n)*δ(n－n0)
(1) 画出x(n)序列的波形， 标上各序列值； (2) 试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列；
［例1.3.4］ 假设5项滑动平均滤波器的差分方程为
n
y(n)=
1 ［x(n)+x(n－1)+x(n－2)+x(n－3)+x(n－4)］ 5
输入信号用图1.3.1表示， 画出该滤波器输出的前16个序列值
的波形， 并说明该滤波器对输入信号起什么作用。
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图1.3.1
j h ( n) u ( n) 2
n
j 1
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x(n)=cos(πn)u(n)
求系统的稳态响应y(n)。 解 x(n)=cos(πn)u(n)=(－1)nu(n)
y ( n)
n
h ( m) x ( n m)
m
j nm u (m)(1) 2 n
该式说明任何序列与δ(n)的线性卷积等于原序列。
（3）
1 ˆ ( j ) X X a ( j jks ) n T k
这是关于采样定理的重要公式， 根据该公式要求对 信号的采样频率要大于等于该信号的最高频率的两倍以上，
才能得到不失真的采样信号。
sin[π(t nT ) / T ] xa (t ) xa (nt) π(t nT ) / T n
零区间要求m同时满足下面两个不等式：
0≤m≤3 m－3≤m≤n 上面公式表明m的取值和n的取值有关， 需要将n作分 段的假设。 按照上式， 当n变化时， m应该按下式取值：
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max{0, n－3}≤m≤min{3, n} 当0≤n≤3时， 下限应该是0， 上限应该是n； 当4≤n≤6时， 下限应该是n－3， 上限应该是3； 当n<0或n>6时， 上面的 不等式不成立， 因此y(n)=0； 这样将n分成三种情况 （1） n<0或n>6时， y(n)=0 （2） 0≤n≤3时，
=δ(n)+4δ(n－1)+6δ(n－2)+5δ(n－3)+2δ(n－4)
画出x(n)的波形如图1.3.3所示。
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图1.3.3
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［例1.3.6］
已知离散信号x(n)如图1.3.4(a)所示， 试求
y(n)=x(2n)*x(n)， 并绘出y(n)的波形。 （选自西安交通大学
时域离散信号和时域离散系统
［例1.3.2］
线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)
h(n)=a－nu(－n)
计算该系统的单位阶跃响应。 解 用s(n)表示系统的单位阶跃响应， 则
s(n) h(n) * x(n)
m
h(m)u(n m)
m
a mu (m)u (n m)
时域离散信号和时域离散系统
在封闭式求解过程中， 有时候决定求和的上下限有些麻
烦， 可借助于非零值区间的示意图确定求和限。 在该例题 中， 非零值区间的示意图如图1.2.1所示。 在图1.2.1(b)中， 当n<0时， 图形向左移动， 图形不可能和图1.2.1(a)的图形有 重叠部分， 因此y(n)=0。 当图形向右移动时， 0≤n≤3， 图 形如图1.2.1(c)所示， 对照图1.2.1(a)， 重叠部分的上下限自 然是0≤m≤n。 当图形再向右移动时， 4≤n≤6， 如图1.2.1(d)所 示， 重叠部分的上下限是n－3≤m≤3。 当图形再向右移动时, 7≤n， 图形不可能和图1.2.1(a)有重叠部分， 因此y(n)=0。
这是由时域离散信号理想恢复模拟信号的插值公式。
第 1 章
时域离散信号和时域离散系统
1.2
解线性卷积是数字信号处理中的重要运算。 解线性卷积有
三种方法， 即图解法（列表法）、 解析法和在计算机上用 MATLAB语言求解。 它们各有特点。 图解法（列表法）适合 于简单情况， 短序列的线性卷积， 因此考试中常用， 不容易 得到封闭解。 解析法适合于用公式表示序列的线性卷积， 得
y ( n)
m 0
1 n 1
n
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（3） 4≤n≤6时，
y ( n)
m n 3
1 7 n
n
将y(n)写成一个表达式， 如下式： y(n)=
n 1 y (n) 7 n 0
0≤n≤3 4≤n≤6
其它
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图1.3.2
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时域离散信号和时域离散系统
［例1.3.5］已知x1(n)=δ(n)+3δ(n－1)+2δ(n－2)，x2(n)=u(n) －u(n－3)， 试求信号x(n)， 它满足x(n)=x1(n)*x2(n), 并画出 x(n)的波形。 解： 这是一个简单的计算线性卷积的题目。 x(n)=x1(n)*x2(n) =［δ(n)+3δ(n－1)+2δ(n－2)］*［u(n)－u(n－3) =［δ(n)+3δ(n－1)+2δ(n－2)］*R3(n) =R3(n)+3R3(n－1)+2R3(n－2)
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图1.2.1
第 1 章
时域离散信号和时域离散系统
1.3 例
［例1.3.1］ 线性时不变系统的单位脉冲响应用h(n)表示， 输入x(n)是以N为周期的周期序列， 试证明输出y(n)亦是以N为 周期的周期序列。 证明： y ( n) h( n) * x ( n) h(m) x(n m)
第 1 章
时域离散信号和时域离散系统
图1.3.4
第 1 章
时域离散信号和时域离散系统
1.4
1. 用单位脉冲序列δ(n)及其加权和表示题1图所示的序列。
题1图
第 1 章
时域离散信号和时域离散系统
解：
x(n)=δ(n+4)+2δ(n+2)－δ(n+1)+2δ(n)+δ(n－1)
+2δ(n－2)+4δ(n－3)+0.5δ(n－4)+2δ(n－6) 2． 给定信号： 2n+5 (x(n)= 6 0 －4≤n≤－1 0≤n≤4 其它
hn=ones(1， 5)；
yn=conv(hn， xn)；
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时域离散信号和时域离散系统
%
n=0： length(yn)－1；
subplot(2， 1， 1)； stem(n， yn， ′.′) xlabel(′n′)； ylabel(′y(n)′) 程序运行结果如图1.3.2所示。 由图形可以看出， 5项滑 动平均滤波器对输入波形起平滑滤波作用， 将信号的第4、 8、 12、 16的序列值平滑去掉。