北京市丰台区2018届高三3月综合练习(一模)数学试题(文)含答案
北京市丰台区2018届高三年级第二学期一模数 学（文科）第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）复数21i=+(A)1i -+(B) 1i --(C)1i+ (D) 1i -(2）已知命题p ：∃x <1，21x ≤，则p⌝为(A)∀x ≥1,21x(B)∃x <1,21x (C) ∀x <1,21x(D)∃x ≥1,21x（3）已知0a b <<，则下列不等式中恒成立的是(A)11a b>(B) <(C)22ab> (D)33ab>（4）已知抛物线C 的开口向下，其焦点是双曲线2213yx-=的一个焦点，则C的标准方程为 (A)28yx= (B)28xy=-(C)2y=(D)2x=-（5）设不等式组05,05x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩确定的平面区域为D，在D 中任取一点(,)P x y 满足2x y +≥的概率是 (A) 1112 (B)56(C)2125 (D)2325（6）执行如图所示的程序框图，那么输出的a 值是 (A) 12-(B)1- (C)2(D)12（7）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 (A)43(B)4(C)83(D)，否是 开始结束? 输出a侧视图俯视图正视图（8）设函数π()sin (4)4f x x =+9π([0,])16x ∈，若函数()()yf x a a =+∈R 恰有三个零点1x ，2x ，3x 123()x x x <<，则1232x x x ++的值是 (A)π2(B)3π4(C)5π4(D)π第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）已知集合{|20}Ax x =-≤≤，{|03}B x x =<≤，则A B =U ．（10）圆心为(1,0)，且与直线1y x =+相切的圆的方程是．（11）在△A B C 中，2a=，4c=，且3sin2sin A B=，则cos C =____．（12）已知点(2,0)A ，(0,1)B ，若点(,)P x y 在线段A B 上，则x y 的最大值为____． （13）已知定义域为R 的奇函数()f x ，当0x >时，2()(1)1f x x =--+．①当[1,0]x ∈-时，()f x 的取值范围是____；②当函数()f x 的图象在直线y x =的下方时，x 的取值范围是 ．（14）已知C 是平面A B D 上一点，A BA D⊥，1C B C D ==．①若3A B A C=，则A B C D⋅=____；①若A PA B A D=+，则||AP 的最大值为____．三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题共13分）已知函数()2c o s (sin c o s )1f x x x x =+-．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在[0,]π上的单调递增区间．（16）（本小题共13分）在数列{}n a 和{}n b 中，1=1a ，12n n a a +=+， 13b =，27b =，等比数列{}nc 满足nn nc b a =-.（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n c 的通项公式； （Ⅱ）若6mb a =，求m 的值．（17）（本小题共14分）如图所示，在四棱锥P A B C D -中，平面P A B ⊥平面A B C D ，//A D B C ，=2A D B C ，90D A B A B P ∠=∠=︒． （Ⅰ）求证：A D ⊥平面P A B ； （Ⅱ）求证：A B ⊥P C ；（Ⅲ）若点E 在棱P D 上，且C E ∥平面P A B ，求P E P D的值．（18）（本小题共13分）某地区工会利用 “健步行APP ”开展健步走积分奖励活动．会员每天走5千步可获积分30分（不足5千步不积分），每多走2千步再积20分（不足2千步不积分）．为了解会员的健步走情况，工会在某天从系统中随机抽取了1000名会员，统计了当天他们的步数，并将样本数据分为[3,5)，[5,7)，[7,9)，[9,11)，[11,13)，[13,15)，[15,17)，[17,19)，[19,21]九组，整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）求当天这1000名会员中步数少于11千步的人数；（Ⅱ）从当天步数在[11,13)，[13,15)，[15,17)的会员中按分层抽样的方式抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人积分之和不少于200分的概率；（Ⅲ）写出该组数据的中位数（只写结果）．（19）（本小题共14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b ab+=>>的一个焦点为)0,3(F ，点(2,0)A -在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程与离心率；（Ⅱ）设椭圆C 上不与A 点重合的两点D ，E 关于原点O 对称，直线A D ，A E 分别交y 轴于M ，N 两点．求证：以MN 为直径的圆被x 轴截得的弦长是定值．（20）（本小题共13分）已知函数1()ln ()exf x a x a =+∈R ．（Ⅰ）当1ea=时，求曲线()yf x =在(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若函数()f x 在定义域内不单调，求a 的取值范围．北京市丰台区2018年高三年级第二学期综合一模数 学（文科）参考答案二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）{|23}xx -≤≤（10）22(1)2x y-+= （11）14-（12）12（13）[1,0]-；1,0+-∞（）（1,）U （14）34-；2注：第13，14题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．三、解答题：本大题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题共13分） 解：（Ⅰ）2()2s in c o s 2c o s 1f x x x x =+- ……………………1分sin 2co s 2x x=+ ……………………3分πin (2)4x =+． ……………………5分所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==． ……………………6分（Ⅱ）由πππ2π22π242k x k -+≤+≤+()k ∈Z ， ……………………8分得3ππππ88k x k -+≤≤+()k ∈Z ． (10)分当[]0,πx ∈时，单调递增区间为π[0,]8和5π[,π]8．……………………13分（16）（本小题共13分） 解：（Ⅰ）因为12n n a a +-=，且1=1a ，所以数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列． ……………………2分所以1(1)221n a n n =+-⋅=-，即21n a n =-．……………………4分 因为13b =，27b =，且11a =，23a =， ……………………5分 所以111=2c b a =-，222=4c b a =-． ……………………7分因为数列{}n c 是等比数列， 所以数列{}n c 的公比212c q c ==， ……………………8分所以111222n n nn c c q--=⋅=⨯=，即2nn c =． ……………………9分（Ⅱ）因为2nnn b a -=，21na n =-，所以221nn b n =+-． (10)分所以662261=75b =+⨯-． (11)分令21=75m -， 得=38m ． ……………………13分（17）（本小题共14分）（Ⅰ）证明：因为90D A B∠=︒，所以A D⊥A B．……………………1分因为平面P A B⊥平面A B C D，……………………2分且平面P A B I平面=A B C D A B，……………………3分所以A D⊥平面P A B．……………………4分（Ⅱ）证明：由已知得A D⊥A B因为A D B C∥，所以B C⊥A B．……………………5分又因为90A B P∠=︒，所以P B⊥A B．……………………6分因为=P B B C BI……………………7分所以A B⊥平面P B C……………………8分所以A B⊥P C．……………………9分（Ⅲ）解：过E作E F A D∥交P A于F，连接B F．……………………10分因为A D B C∥，所以E F B C∥．所以E，F，B，C四点共面．……………………11分又因为C E∥平面P A B，且C E⊂平面B C E F，B且平面B C E F I平面=P A BB F，所以C E B F∥， ……………………13分 所以四边形B C E F 为平行四边形， 所以=E FB C．在△P A D 中，因为//E F A D，所以1===2P E E F B C P DA DA D， ……………………14分即1=2P E P D．（18）（本小题共13分）解：（Ⅰ）这1000名会员中健步走的步数在[3,5)内的人数为0.022100040⨯⨯=；健步走的步数在[5,7)内的人数为0.032100060⨯⨯=； 健步走的步数在[7,9)内的人数为0.0521000100⨯⨯=； 健步走的步数在[9,11)内的人数为0.0521000100⨯⨯=；4060100100300+++=．所以这1000名会员中健步走的步数少于11千步的人数为300人． …………………4分（Ⅱ）按分层抽样的方法，在[11,13)内应抽取3人，记为1a ，2a ，3a ，每人的积分是90分；在[13,15)内应抽取2人，记为1b ，2b ，每人的积分是110分； 在[15,17)内应抽取1人，记为c，每人的积分是130分； ……………………5分从6人中随机抽取2人，有12a a ，13a a ，11a b ，12a b ，1a c ，23a a ，21a b ，22a b ，2a c，31a b ，32a b ，3a c，12b b ，1b c，2b c共15种方法． ……………………7分所以从6人中随机抽取2人，这2人的积分之和不少于200分的有11a b ，12a b ，1a c，21a b ，22a b ，2a c ，31a b ，32a b ，3a c ，12b b ，1b c ，2b c 共12种方法． ……………9分设从6人中随机抽取2人，这2人的积分之和不少于200分为事件A ，则124()155P A ==． ……………………11分所以从6人中随机抽取2人，这2人的积分之和不少于200分的概率为45．（Ⅲ）中位数为373． ……………………13分（19）（本小题共14分） 解：（Ⅰ）依题意，c =……………………1分 点(2,0)A -在椭圆C 上．所以2=a ． ……………………2分所以2221b a c =-=． (3)分所以椭圆C的方程为1422=+yx． ……………………4分离心率23==a c e ． ……………………5分（Ⅱ）因为D ，E 两点关于原点对称，所以可设(,)D m n ，(,)E m n --，(2)m ≠± ……………………6分所以1422=+nm ． (7)分直线A D ：(2)2n y x m =++． 当=x 时，22+=m n y ，所以)22,0(+m n M ．……………………8分直线A E ：(2)2n y x m -=+-+． 当=x 时，22+--=m n y ，所以)22,0(+--m n N ． ……………………9分设以MN 为直径的圆与x 轴交于点0(,0)G x 和0(,0)H x -,（0x >），所以，02(,)2nG M x m =-+，02(,)2n G N x m -=--+， ……………………10分所以220244nG MG N x m-⋅=+-．因为点G 在以MN 为直径的圆上， 所以G M G N ⋅=，即2202404nx m-+=-． ……………………12分因为1422=+nm ，即2244mn-=，所以22202244144nm x mm-===--，所以01x =． ……………………13分 所以(1,0)G ，(1,0)H -．所以2G H=．所以以MN 为直径的圆被x轴截得的弦长是定值2． ……………………14分 （20）（本小题共13分） 解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞， ……………………1分导函数1e ()eexxx a a x f x x x -'=-+=． (3)分（Ⅰ）当1ea =时，因为11(1)0eef '=-+=，1(1)ef =， ……………………5分所以曲线()y f x =在(1,(1)f 处的切线方程为1ey =． ……………………6分（Ⅱ）e ()(0)e xx a x f x x x -'=>，设函数()f x 在定义域内不单调时．．．．，a的取值范围是集合A； ……………………7分函数()f x 在定义域内单调时．．．，a 的取值范围是集合B ，则R AB=ð．所以函数()f x 在定义域内单调．．，等价于()0f x '≤恒成立，或()0f x '≥恒成立，即e 0x a x -≤恒成立，或e 0x a x -≥恒成立， 等价于exx a ≤恒成立或exx a ≥恒成立． ……………………8分令()(0)exx g x x =≥，则1()exx g x -'=， ……………………9分由()0g x '>得01x <<，所以()g x 在(0,1)上单调递增； ……………………10分由()0g x '<得1x >，所以()g x 在(1,)+∞上单调递减． ……………………11分因为(0)0g =，1(1)eg =，且0x>时，()g x >，所以1()(0]eg x ∈，． (12)分所以1{|0,}e B a a a =≤≥或，所以1{|0}e A a a =<<． (13)分。
2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷(三)数学(文)试题含答案
绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷文科数学（三）本试题卷共2页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合{}|11A x x =-<<，{}|02B x x =<<，则A B =（ ） A ．{}|11x x -<< B ．{}|12x x -<< C ．{}|02x x <<D ．{}|01x x <<2．设复数12i z =+（是虚数单位），则在复平面内，复数2z 对应的点的坐标为（ ） A ．()3,4-B ．()5,4C ．()3,2-D ．()3,43．若向量()1,1,2=-a ，()2,1,3=-b ，则 ） AB．C ．3D班级 姓名 准考证号 考场号 座位号此卷只装订不密封4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．52π+B ．42π+C ．44π+D ．54π+5．已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一个焦点为()2,0F -，一条渐近线的斜率）A ．2213x y -=B ．2213y x -=C ．2213y x -=D ．2213x y -=6()102f =-，则图中m 的值为（ ）A ．1B ．43C ．2D ．43或2 7．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为，，，若函数()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+无极值点，则角B 的最大值是（ ）A B C D 8．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3．14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为（ ）（参考数据：sin150.2588≈，sin7.50.1305≈）A ．12B ．20C ．24D ．489．设π02x <<，则“2cos x x <”是“cos x x ＜”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．欧阳修的《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3cm 的圆面，中间有边长为1cm 的正方形孔．现随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计），则油滴落入孔中的概率为（）AB C ．19D 8π11．已知点()4,3A 和点()1,2B ，点O (OA tOB t +∈R （ ） A ．B ．5C ．3D 12．已知函数()f x =()2220 1102x xx f x x +--+<⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≤，则关于的方程()15x f x -=在[]2,2-上的根的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2024-2025学年湖北省襄阳市高三上学期10月月考数学检测试题(含解析)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符2024-2025学年湖北省襄阳市高三上学期10月月考数学检测试题合题目要求的．1. 已知集合31A x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭Z Z ，则用列举法表示A =（ ）A. {}2,0,1,2,4- B. {}2,0,2,4- C. {}0,2,4 D. {}2,4【答案】B 【解析】【分析】由题意可得1x -可为1±、3±，计算即可得.【详解】由题意可得1x -可为1±、3±，即x 可为0,2,2,4-，即{}2,0,2,4A =-.故选：B.2. 设3i,ia a z +∈=R ，其中i 为虚数单位.则“1a <-”是“z >”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简z ，再求出z，令z >a 的取值范围，最后根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】因为23i 3i 3i i ia az a +-===-，所以z =令z >>1a >或1a <-，所以1a <-推得出z >，故充分性成立；由z >推不出1a <-，故必要性不成立；所以“1a <-”是“z >的充分不必要条件.故选：A3. 已知向量a ，b 不共线，且c a b λ=+ ，()21d a b λ=++ ，若c 与d 同向共线，则实数λ的值为（ ）A. 1B.12C. 1或12-D. 1-或12【答案】B 【解析】【分析】先根据向量平行求参数λ，再根据向量同向进行取舍.【详解】因为c与d 共线，所以()2110λλ+-=，解得1λ=-或12λ=.若1λ=-，则c a b =-+，d a b =- ，所以d c =- ，所以c 与d 方向相反，故舍去；若12λ=，则12c a b =+ ，2d a b =+ ，所以2d c = ，所以c与d 方向相同，故12λ=为所求.故选：B4. 已知3322x y x y ---<-，则下列结论中正确的是（ ）A. ()ln 10y x -+> B. ln0yx> C. ln 0y x +> D. ln 0y x ->【答案】A 【解析】【分析】构造函数()32xf x x -=-，利用()f x 的单调性可得x y <，进而可得.【详解】由3322x y x y ---<-得3322x y x y ---<-，设()32xf x x -=-，因函数3y x =与2x y -=-都是R 上的增函数，故()f x 为R 上的增函数，又因3322x y x y ---<-，故x y <，()ln 1ln10y x -+>=， 故A 正确，因y x，y x +，y x -与1的大小都不确定，故B ，C ，D 错误，故选：A5. 从0，1，2，3，4，5，6这7个数中任选5个组成一个没有重复数字的“五位凹数12345a a a a a ”（满足12345a a a a a >><<），则这样的“五位凹数”的个数为（ ）A. 126个 B. 112个 C. 98个 D. 84个【答案】A 【解析】【分析】利用分步乘法计数原理可得.【详解】第一步，从0，1，2，3，4，5，6这7个数中任选5个共有57C 种方法，第二步，选出的5个数中，最小的为3a ，从剩下的4个数中选出2个分给12,a a ，由题意可知，选出后1245,,,a a a a 就确定了，共有24C 种方法，故满足条件的“五位凹数”5274C C 126=个，故选：A6. 若数列{}n a 满足11a =，21a =，12n n n a a a --=+（3n ≥，n 为正整数），则称数列{}n a 为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列结论成立的是（ ）A. 78a = B. 135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=C. 754S = D. 24620202021a a a a a +++⋅⋅⋅+=【答案】B 【解析】【分析】按照斐波那契数列的概念，找出规律,得出数列的性质后逐个验证即可.【详解】解析：按照规律有11a =，21a =，32a =，43a =，55a =，68a =，713a =，733S =，故A 、C 错；21112123341n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a S ++--------=+=+++=+++++==+ ，则202020181220183520191352019111a S a a a a a a a a a a =+=++++=++++=++++ ，故B 对；24620202234520182019a a a a a a a a a a a ++++=+++++++ 1234520182019201920211a a a a a a a S a =+++++++==- ，故D 错．故选:B ．7. 已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，A ，B 是椭圆C 上的两点．若122F A F B = ，且12π4AF F ∠=，则椭圆C 的离心率为（ ）A13B.C.D.23【答案】B 【解析】【分析】设1AF =，结合题意可得2AF，根据椭圆定义整理可得22b c m -=，根据向量关系可得1F A ∥2F B，且2BF =2b c m+=，进而可求离心率.【详解】由题意可知：()()12,0,,0F c F c -，设1,0AF m =>，因为12π4AF F ∠=，则()2,2A c m m -+，可得2AF =由椭圆定义可知：122AF AF a+=，即2a +=，整理可得22b c m-=；又因为122F A F B = ，则1F A ∥2F B，且2112BF AF ==，则(),B c m m +，可得1BF =由椭圆定义可知：|BF 1|+|BF 2|=2a2a =，.2bcm+=；即2c c-=+3c=，所以椭圆C的离心率cea==.故选：B.【点睛】方法点睛：椭圆的离心率(离心率范围)的求法求椭圆的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值．8. 圆锥的表面积为1S，其内切球的表面积为2S，则12SS的取值范围是（）A. [)1,+∞ B. [)2,+∞C. )∞⎡+⎣ D.[)4,+∞【答案】B【解析】【分析】选择OBC∠（角θ）与内切球半径R为变量，可表示出圆锥底面半径r和母线l，由圆锥和球的表面积公式可得()122212tan1tanSSθθ=-，再由2tan(0,1)tθ=∈换元，转化为求解二次函数值域，进而得12SS的取值范围.【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，圆锥内切球半径为R，如图作出圆锥的轴截面，其中设O为外接圆圆心，,D E为切点，,AB AC为圆锥母线，连接,,,OB OD OA OE.设OBCθ∠=，tanRrθ=，0tan1θ<<tanRrθ∴=.OD AB⊥，OE BC⊥，πDBE DOE∴∠+∠=，又πAOD DOE∠+∠=，2AOD DBE θ∴∠=∠=，tan 2AD R θ∴=，22tan 2tan Rl r AD BD r AD r R θθ∴+=++=+=+，则圆锥表面积()21πππS r rl r l r =+=+，圆锥内切球表面积224πS R =，所求比值为()212222π2tan 21tan 1tan tan 4π2tan 1tan R R R S S R θθθθθθ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭==-，令2tan 0t θ=>，则()2211()2122222g t t t t t t ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，则10()2g t <≤，且当12t =时，()g t 取得最大值12，故122S S ≥，即12S S 的取值范围是[)2,+∞.故选：B.【点睛】关键点点睛：求解立体几何中的最值问题一般方法有两类，一是设变量（可以是坐标，也可以是关键线段或关键角）将动态问题转化为代数问题，利用代数方法求目标函数的最值；二是几何法，利用图形的几何性质，将空间问题平面化，将三维问题转化为二维问题来研究，以平面几何中的公理、定义、定理为依据，以几何直观为主要手段直接推理出最值状态何时取到，再加以求解.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 设A ，B 为随机事件，且()P A ，()P B 是A ，B 发生的概率. ()P A ，()()0,1P B ∈，则下列说法正确的是（ ）A. 若A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B ⋃=+B. 若()()()P AB P A P B =，则A ，B 相互独立C 若A ，B 互斥，则A ，B 相互独立D. 若A ，B 独立，则()(|)P B A P B =【答案】ABD 【解析】【分析】利用互斥事件的概率公式可判断A 选项；由相互独立事件的概念可判断B 选项；由互斥事件和相互独立事件的概念可判断C 选项；由相互独立事件的概念，可判断D 选项.【详解】对于选项A ，若,A B 互斥，根据互斥事件的概率公式，则()()()P A B P A P B ⋃=+，所以选项A 正确，.对于选项B ，由相互独立事件概念知，若()()()P AB P A P B =，则事件,A B 是相互独立事件，所以选项B 正确，对于选项C ，若,A B 互斥，则,A B 不一定相互独立，例：抛掷一枚硬币的试验中，事件A ：“正面朝上”，事件B ：“反面朝上”，事件A 与事件B 互斥，但()0P AB =，1()()2P A P B ==，不满足相互独立事件的定义，所以选项C 错误，对于选项D ，由相互独立事件的定义知，若A ，B 独立，则()(|)P B A P B =，所以选项D 正确，故选：ABD.10. 已知函数()sin sin cos 2f x x x x =-，则（ ）A. ()f x 的图象关于点(π,0)对称B. ()f x 的值域为[1,2]-C. 若方程1()4f x =-在(0,)m 上有6个不同的实根，则实数m 的取值范围是17π10π,63⎛⎤⎥⎝⎦D. 若方程[]22()2()1(R)f x af x a a -+=∈在(0,2π)上有6个不同的实根(1,2,,6)i x i = ，则61i i ax =∑的取值范围是(0,5π)【答案】BCD 【解析】【分析】根据(2π)()f f x =-是否成立判断A ，利用分段函数判断BC ，根据正弦函数的单调性画出分段函数()f x 的图象，求出的取值范围，再利用对称性判断D.【详解】因为()sin sin cos 2f x x x x =-，所以(2π)sin(2π)sin(2π)cos 2(2π)sin sin cos 2()f x x x x x x x f x -=----=--≠-，所以()f x 的图象不关于点(π,0)对称，故A 错误；当sin 0x ≥时，()222()sin 12sin 3sin 1f x x x x =--=-，由[]sin 0,1x ∈可得[]()1,2f x ∈-，当sin 0x <时，()222()sin 12sin sin 1f x x x x =---=-，由[)sin 1,0x ∈-可得(]()1,0f x ∈-，的综上[]()1,2f x ∈-，故B 正确：当sin 0x ≥时，由21()3sin 14f x x =-=-解得1sin 2x =，当sin 0x <时，由21()sin 14f x x =-=-解得sin x =，所以方程1()4f x =-在(0,)+∞上的前7个实根分别为π6，5π6，4π3，5π3，13π6，17π6，10π3，所以17π10π63m <≤，故C 正确；由[]22()2()1f x af x a -+=解得()1f x a =-或()1f x a =+，又因为()223sin 1,sin 0sin 1,sin 0x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，所以根据正弦函数的单调性可得()f x 图象如图所示，所以()1f x a =-有4个不同的实根，()1f x a =+有2个不同的实根，所以110012a a -<-<⎧⎨<+<⎩，解得01a <<，设123456x x x x x x <<<<<，则1423πx x x x +=+=，563πx x +=，所以615πii x==∑，所以61i i a x =∑的取值范围是(0,5π)，故D 正确.故选：BCD.11. 在平面直角坐标系中，定义(){}1212,max ,d A B x x y y =--为两点()11,A x y 、()22,B x y 的“切比雪夫距离”，又设点P 及l 上任意一点Q ，称(),d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(),d P l ，给出下列四个命题，正确的是（ ）A 对任意三点,,ABC ，都有()()(),,,d C A d C B d A B +≥；B. 已知点()2,1P 和直线:220l x y --=，则()83d P l =,；C. 到定点M 的距离和到M 的“切比雪夫距离”相等的点的轨迹是正方形.D. 定点()1,0F c -、()2,0F c ，动点(),P x y 满足()()()12,,2220d P F d P F a c a =>>-，则点P 的轨迹.与直线y k =（k 为常数）有且仅有2个公共点.【答案】AD 【解析】【分析】对于选项A ，根据新定义，利用绝对值不等性即可判断；对于选项B ，设点Q 是直线21y x =-上一点，且(,21)Q x x -，可得()1,max 2,22d P Q x x ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，讨论|2|x -，1|2|2x -的大小，可得距离d ，再由函数的性质，可得最小值；对于选项C ，运用新定义，求得点的轨迹方程，即可判断；对于选项D ，根据定义得{}{}max ,max ,2x c y x c y a +--=，再根据对称性进行讨论，求得轨迹方程，即可判断．【详解】A 选项，设()()(),,,,,A A B B C C A x y B x y C x y ，由题意可得：()(){}{},,max ,max ,,A C A CBC B C A C B C A B d C A d C B x x y y x x y y x x x x x x +=--+--≥-+-≥-同理可得：()(),,A B d C A d C B y y +≥-，则：()(){}(),,max ,,A B A B d C A d C B x x y y d A B +≥--=，则对任意的三点A ，B ，C ，都有()()(),,,d C A d C B d A B +≥；故A 正确；B 选项，设点Q 是直线220x y --=上一点，且1,12Q x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得()1,max 2,22d P Q x x ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，由1222x x -≥-，解得0x ≤或83x ≥，即有(),2d P Q x =-，当83x =时，取得最小值23；由1222x x -<-，解得803x <<，即有()1,22d P Q x =-，(),d P Q 的范围是2,23⎛⎫⎪⎝⎭，无最值，综上可得，P ，Q 两点的“切比雪夫距离”的最小值为23，故B 错误；C 选项，设(),M ab {}max ,x a y b =--，若y b x a -≥-，则y b =-，两边平方整理得x a =；此时所求轨迹为x a=(y b ≥或)y b ≤-若y b x a -<-，则x a =-，两边平方整理得y b =；此时所求轨迹为y b=(x a ≥或)x a ≤-，故没法说所求轨迹是正方形，故C 错误；D 选项，定点()1,0F c -、()2,0F c ，动点(),P x y 满足()()12,,2d P F d P F a -=（220c a >>），则：{}{}max ,max ,2x c y x c y a +--=，显然上述方程所表示的曲线关于原点对称，故不妨设x ≥0，y ≥0.(1)当x c yx c y ⎧+≥⎪⎨-≥⎪⎩时，有2x c x c a +--=，得：0x a y a c =⎧⎨≤≤-⎩；(2)当x c y x c y ⎧+≤⎪⎨-≤⎪⎩时，有02a =，此时无解；(3)当x c y x c y⎧+>⎪⎨-<⎪⎩时，有2,x c y a a x +-=<；则点P 的轨迹是如图所示的以原点为中心的两支折线.结合图像可知，点P 的轨迹与直线y k =（k 为常数）有且仅有2个公共点，故D 正确.故选：AD.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 若)nax的展开式的二项式系数和为32，且2x -的系数为80，则实数a 的值为________．【答案】―2【解析】【分析】由二项式系数和先求n ，再利用通项53215C ()r r rr T a x -+=-得到2x -的指数确定r 值，由2x -的系数为80，建立关于a 的方程求解可得.【详解】因为)na x-的展开式的二项式系数和为32，所以012C C C C 232nnn n n n ++++== ，解得5n =.所以二项式展开式的通项公式为5352155C ()C ()rr rr r rr a T a x x--+=-=-，由5322r-=-，解得3r =，所以2x -的系数为3335C ()1080a a -=-=，解得2a =-.故答案为：2-.13. 已知函数()()()2f x x a x x =--在x a =处取得极小值，则a =__________.【答案】1【解析】【分析】求得()()()221f x x x x a x =-+--'，根据()0f a ¢=，求得a 的值，结合实数a 的值，利用函数的单调性与极值点的概念，即可求解.【详解】由函数()()()2f x x a x x =--，可得()()()221f x x x x a x =-+--'，因为x a =处函数()f x 极小值，可得()20f a a a =-='，解得0a =或1a =，若0a =时，可得()(32)f x x x '=-，当0x <时，()0f x '>；当203x <<时，()0f x '<；当23x >时，()0f x '>，此时函数()f x 在2(,0),(,)3-∞+∞单调递增，在2(0,)3上单调递减，所以，当0x =时，函数()f x 取得极大值，不符合题意，（舍去）；若1a =时，可得()(1)(31)f x x x '=--，当13x <时，()0f x '>；当113x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>，此时函数()f x 在1(,),(1,)3-∞+∞单调递增，在(0,1)上单调递减，所以，当1x =时，函数()f x 取得极小值，符合题意，综上可得，实数a 的值为1.故答案为：1.14. 数学老师在黑板上写上一个实数0x ，然后老师抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面向上，就将黑板上的数0x 乘以2-再加上3得到1x ，并将0x 擦掉后将1x 写在黑板上；如果反面向上，就将黑板上的数0x 除以2-再减去3得到1x ，也将0x 擦掉后将1x 写在黑板上．然后老师再抛掷一次硬币重复刚才的操作得到黑板上的数为2x ．现已知20x x >的概率为0.5，则实数0x 的取值范围是__________．【答案】()(),21,-∞-+∞ 【解析】【分析】构造函数()23f x x =-+，()32xg x =--，由两次复合列出不等式求解即可.【详解】由题意构造()23f x x =-+，()32xg x =--，则有()()43f f x x =-，()()9f g x x =+，()()92g f x x =-，()()342x g g x =-．因为()()f g x x >，()()g f x x <恒成立，又20x x >的概率为0.5，所以必有43,3,42x x x x ->⎧⎪⎨-≤⎪⎩或者43,3,42x x x x -≤⎧⎪⎨->⎪⎩解得()(),21,x ∈-∞-⋃+∞．故答案为：()(),21,-∞-+∞ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. 在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()()sin sin sin b c B C a c A +-=-.（1）求B ；（2）若ABC，且2AD DC = ，求BD 的最小值.【答案】（1）π3（2.【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得()()()b c b c a c a +-=-，再结合余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，从而可求解.（2）结合ABC V 的面积可求得3ac =，再由112333BD BC CA BA BC =+=+ ，平方后得，()222142993BD c a =++ ，再结合基本不等式即可求解.【小问1详解】由正弦定理得()()()b c b c a c a +-=-，即222a c b ac +-=，由余弦定理可得2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，因为()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】因为ABC V π3B =，所以1sin 2ac B =，所以3ac =.因为()11123333BD BC CA BC BA BC BA BC =+=+-=+，所以()()()()22222221421441422cos 999999993BD BA BC BA BC c a ac B c a =++⋅⋅=++=++ ，所以2214212222993333c a c a ++≥⋅⋅+=，当且仅当a c ==时取等号，所以BD .16. 已知抛物线2:2(0)E y px p =>与双曲线22134x y -=的渐近线在第一象限的交点为Q ，且Q 点的横坐标为3．（1）求抛物线E 的方程；（2）过点(3,0)M -的直线l 与抛物线E 相交于,A B 两点，B 关于x 轴的对称点为B '，求证：直线AB '必过定点．【答案】（1）24y x = （2）证明见解析【解析】【分析】（1）由双曲线求其渐近线方程，求出点Q 的坐标，由此可求抛物线方程；（2）联立直线AB 的方程与抛物线方程可得关于x 的一元二次方程，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，()22,B x y '-，根据韦达定理求出12124,12y y m y y +==，求出直线AB '的方程并令0y =，求出x 并逐步化简可得3x =，则直线AB '过定点(3,0).【小问1详解】设点Q 的坐标为()03,y ，因为点Q 在第一象限，所以00y >，双曲线22134x y -=的渐近线方程为y x =，因为点Q在双曲线的渐近线上，所以0y =，所以点Q的坐标为(3,，又点(3,Q 在抛物线22y px =上，所以1223p =⨯，所以2p =，故抛物线E 的标准方程为：24y x =；【小问2详解】设直线AB 的方程为3x my =-，联立243y xx my ⎧=⎨=-⎩，消x 得，24120y my -+=，方程24120y my -+=的判别式216480m ∆=->，即230m ->，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则12124,12y y m y y +==，因为点A 、B 在第一象限，所以121240,120y y m y y +=>=>，故0m >，设B 关于x 轴的对称点为()22,B x y '-， 则直线AB '的方程为212221()y y y y x x x x ---+=-，令0y =得：212221x x x y x y y -=+-⨯-122121x y x y y y +=+()()12211233y my y my y y -+-=+()21121223my y y y y y -+=+241212344m m mm m-===．直线AB '过定点(3,0)．【点睛】方法点睛：联立直线AB 的方程与抛物线方程可得关于x 的一元二次方程，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，()22,B x y '-，根据韦达定理求出12124,12y y m y y +==，求出直线AB '的方程并令0y =，求出x 并逐步化简可得3x =，则直线AB '过定点(3,0).17. 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，,E F 分别为,AD BC 的中点，沿EF 将四边形EFCD 折起，使二面角A EF C --的大小为60°，点M 在线段AB 上．（1）若M 为AB 的中点，且直线MF 与直线EA 的交点为O ，求OA 的长，并证明直线OD //平面EMC ；（2）在线段AB 上是否存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60°；若存在，求此时二面角M EC F --的余弦值，若不存在，说明理由．【答案】（1）2OA =；证明见解析.（2）存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60°；此时二面角M EC F --的余弦值为14.【解析】【分析】（1）根据中位线性质可求得OA ，由//MN OD ，结合线面平行判定定理可证得结论；（2）由二面角平面角定义可知60DEA ∠=︒，取AE ，BF 中点O ，P ，由线面垂直的判定和勾股定理可知OD ，OA ，OP 两两互相垂直，则以O 为坐标原点建立空间直角坐标系；设()1,,0M m ()04m ≤≤，利用线面角的向量求法可求得m ；利用二面角的向量求法可求得结果.【小问1详解】,E F 分别为,AD BC 中点，////EF AB CD ∴，且2AE FB ==，又M 为AB 中点，且,AB OE AB BF ⊥⊥，易得OAM FBM ≅ ，2OA FB AE ∴===，连接,CE DF ，交于点N ，连接MN ，由题设，易知四边形CDEF 为平行四边形，N Q 为DF 中点，//,AM EF A 是OE 的中点，M ∴为OF 中点，//MN OD ∴，又MN ⊂平面EMC ，OD ⊄平面EMC ，//OD ∴平面EMC ；【小问2详解】////EF AB CD ，EF DE ⊥ ，EF AE ⊥，又DE ⊂平面CEF ，AE ⊂平面AEF ，DEA ∴∠即为二面角A EF C --的平面角，60DEA ∴=︒∠；取,AE BF 中点,O P ，连接,OD OP ，如图，60DEA ∠=︒ ，112OE DE ==，2414cos 603OD ∴=+-︒=，222OD OE DE +=，OD AE ∴⊥，//OP EF ，OP DE ⊥，OP AE ⊥，又,AE DE ⊂平面AED ，AE DE E = ，OP ∴⊥平面AED ，,OD AE ⊂ 平面AED ，,OD OP AE OP ∴⊥⊥，则以O 为坐标原点，,,OA OP OD方向为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系如下图所示，则(D ，()1,0,0E -，()1,4,0F -，(0,C ，设()()1,,004M m m ≤≤，则(1,0,DE =-，()2,,0EM m =，(1,EC = ，设平面EMC 的法向量n 1=(x 1,y 1,z 1)，则1111111·20·40EM n x my EC n x y ⎧=+=⎪⎨=++=⎪⎩，令12y =，则1x m =-，1z =1,m m ⎛∴=- ⎝，∵直线DE 与平面EMC 所成的角为60o ，·sin 60cos ,·DE n DE n DE n ∴︒==111==1m =或3m =，存在点M ，当1AM =或3AM =时，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60o ；设平面CEF 的法向量()2222,,n x y z=，又(1,EC = ，(FC =，2222222·40·0EC n x y FC n x ⎧=++=⎪∴⎨==⎪⎩，令21z =，则2x =，20y =，()2m ∴=；当1m =时，11,2,n ⎛=- ⎝，121212·1cos ,4·n n n n n n ∴=== ；当3m =时，23,2,n ⎛=- ⎝，121212·1cos ,4·n n n n n n ∴=== ；综上所述：二面角M EC F --的余弦值为14.【点睛】关键点点睛：本题第二步的关键在于证明三线互相垂直，建立空间直角坐标系，设出动点M 的坐标，熟练利用空间向量的坐标运算，求法向量，求二面角、线面角是解题的关键.18. 已知函数()12ex xf x x λ-=-.（1）当1λ=时，求()f x 图象在点(1,f (1))处的切线方程；（2）若1x ≥时，()0f x ≤，求λ的取值范围；（3）求证：()1111111232124e 2e*n n n n nnn ++++-+++->∈N .【答案】（1）0y = （2）[)1,+∞ （3）证明见详解【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）根据题意，由条件式恒成立分离参数，转化为212ln x x xλ≥+，求出函数()212ln xg x x x =+的最大值得解；（3）先构造函数()12ln x x x x ϕ=-+，利用导数证明11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，1x >，令11x n=+，可得()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭，迭代累加可证得结果.【小问1详解】当1λ=时，()12ex xf x x -=-，f (1)=0，的则()12121e x x f x x x -⎛⎫=-+ ⎪⎝'⎭，则()0122e 0f =-='，所以()f x 在点(1,f (1))处的切线方程为0y =.【小问2详解】由1x ≥时，()0f x ≤，即12e0x xx λ--≤，整理得212ln x x xλ≥+，对1x ≥恒成立，令()212ln x g x x x =+，则()()42321ln 222ln x x x x x g x x x x---=-+'=，令()1ln h x x x x =--，1x ≥，所以()ln 0h x x '=-≤，即函数ℎ(x )在1x ≥上单调递减，所以()()10h x h ≤=，即()0g x '≤，所以函数()g x 在1x ≥上单调递减，则()()11g x g ≤=，1λ∴≥.【小问3详解】设()12ln x x x xϕ=-+，1x >，则()()222221212110x x x x x x x xϕ---+-='=--=<，所以φ(x )在(1,+∞)上单调递减，则()()10x ϕϕ<=，即12ln 0x x x-+<，11ln 2x x x ⎛⎫∴<- ⎪⎝⎭，1x >，令11x n=+，*N n ∈，可得1111111ln 1112211n n n n n ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫+<+-=+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭ ⎪+⎝⎭，所以()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭，()()111ln 2ln 1212n n n n ⎛⎫+-+<+ ⎪++⎝⎭，()()111ln 3ln 2223n n n n ⎛⎫+-+<+ ⎪++⎝⎭，…()()111ln 2ln 212212n n n n ⎛⎫--<+ ⎪-⎝⎭，以上式子相加得()112221ln 2ln 212212n n n n n n n ⎛⎫-<+++++ ⎪++-⎝⎭，整理得，11111ln 2412212n n n n n-<++++++-L ，两边取指数得，11111ln 2412212e e n n n n n -++++++-<L ，即得111114122122e e n n n n n -++++-<L ，()*Nn ∈得证.【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键是先构造函数()12ln x x x xϕ=-+，利用导数证明11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，1x >，令11x n=+，得到()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭.19. 已知整数4n …，数列{}n a 是递增的整数数列，即12,,,n a a a ∈Z 且12n a a a <<<．数列{}n b 满足11b a =，n n b a =．若对于{}2,3,,1i n ∈- ，恒有1i i b a --等于同一个常数k ，则称数列{}n b 为{}n a 的“左k 型间隔数列”；若对于{}2,3,,1i n ∈- ，恒有1i i a b +-等于同一个常数k ，则称数列{}n b 为{}n a 的“右k 型间隔数列”；若对于{}2,3,,1i n ∈- ，恒有1i i a b k +-=或者1i i b a k --=，则称数列{}n b 为{}n a 的“左右k 型间隔数列”．（1）写出数列{}:1,3,5,7,9n a 的所有递增的“左右1型间隔数列”；（2）已知数列{}n a 满足()81n a n n =-，数列{}n b 是{}n a 的“左k 型间隔数列”，数列{}n c 是{}n a 的“右k 型间隔数列”，若10n =，且有1212n n b b b c c c +++=+++ ，求k 的值；（3）数列{}n a 是递增的整数数列，且10a =，27a =．若存在{}n a 的一个递增的“右4型间隔数列{}n b ”，使得对于任意的{},2,3,,1i j n ∈- ，都有i j i j a b b a +≠+，求n a 的关于n 的最小值（即关于n的最小值函数()f n ）．【答案】（1）1，2，4，6，9或1，2，4，8，9或1，2，6，8，9或1，4，6，8，9． （2）80k =（3）()()382n n f n -=+【解析】【分析】（1）由“左右k 型间隔数列”的定义，求数列{}:1,3,5,7,9n a 的所有递增的“左右1型间隔数列”；（2）根据“左k 型间隔数列”和“右k 型间隔数列”的定义，由1212n n b b b c c c +++=+++ ，则有1291016a a k a a ++=+，代入通项计算即可；（3）由“右4型间隔数列”的定义，有144i i i b a a +=->-，可知{}3i i b a nn -∈≥-∣，则有()()()232431n n n a a a a a a a a -=+-+-++- ()()()()413216n n ≥-+-+-+-++- ，化简即可．【小问1详解】数列{}:1,3,5,7,9n a 的“左右1型间隔数列”为1，2，4，6，9或1，2，4，8，9或1，2，6，8，9或1，4，6，8，9．【小问2详解】由12101210b b b c c c +++=+++ ，可得239239b b b c c c +++=+++ ，即128341088a a a k a a a k ++++=+++- ，即1291016a a k a a ++=+，即16168988109k +=⨯⨯+⨯⨯，所以80k =．【小问3详解】当{}2,3,,1i n ∈- 时，由144i i i b a a +=->-，可知{}3i i b a nn -∈≥-∣．又因为对任意{},2,3,,1i j n ∈- ，都有i j i j a b b a +≠+，即当{}2,3,,1i n ∈- 时，i i b a -两两不相等．因为()()()232431n n n a a a a a a a a -=+-+-++- ()()()2233117444n n b a b a b a --=++-++-+++- ()()()()223311742n n n b a b a b a --=+-+-+-++- ()()()()413216n n ≥-+-+-+-++- ()382n n -=+．所以n a 的最小值函数()()382n n f n -=+．另外，当数列{a n }的通项()0,1,38,2,2i i a i i i n =⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩间隔数列{b n }的通项(),1,13,21,2i i a i i n b i i i n ==⎧⎪=⎨-+≤≤-⎪⎩或时也符合题意．【点睛】方法点睛：在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决!。
2018届高考第三次模拟考试数学试题(文)含答案
**2017-2018学年度高三第二学期第三次模拟考试试题**数学（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题P ：()2,00≥∈∃x f R x 则P ⌝为（）A.()2,≥∈∀x f R xB. ()2,<∈∀x f R xC.()2,0≤∈∃x f R x D. ()2,0<∈∃x f R x2．复数i iz -=1（i 为虚数单位）在复平面内关于虚轴对称的点位于A.第一象限B. 第二象限C.第三象限D.第四象限3.下面是一段演绎推理：大前提：如果一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的所有直线； 小前提：已知直线b ∥平面α，直线a ⊂平面α；结论：所以直线b ∥直线a. 在这个推理中( )A. 大前提正确，结论错误B. 大前提错误，结论错误C. 大、小前提正确，只有结论错误D. 小前提与结论都是错误的 4.设的三内角、、成等差数列，、、成等比数列，则这个三角形的形状是（）A. 等边三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形5.运行如图所示的程序框图，若输出的S 是254，则 应为（）A. 5?n ≤B. 6?n ≤C. 7?n ≤D. 8?n ≤6．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，将函数()f x 的图像向左平移12π个单位长度后，所得图像与函数()y g x =的图像重合，则A.()2sin23g x xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B.()2sin26g x xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭C.()2sin2g x x=D.()2sin23g x xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭7.某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的外接球的表面积为B.C.D.8．已知直线与两坐标轴围成的区域为，不等式组所形成的区域为，现在区域中随机放置一点，则该点落在区域的概率是（）A.B.C.D.9．两个正数a、b的等差中项是72，一个等比中项是a b＜，则双曲线22221x ya b-=的离心率e等于（）A. 34 B.152 C.54 D.5310．如图,,,45AB AC BAD CADαβαβ⊥⊂⊂∠=∠=，则BAC∠=（）A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°11．魔术师用来表演的六枚硬币中，有5 枚是真币，1 枚是魔术币，它们外形完全相同，但是魔术币与真币的重量不同，现已知和共重10 克，共重11 克，共重16 克，则可推断魔术币为( )A.B. C.D.12.已知双曲线2213xy-=的右焦点恰好是抛物线22y px=（0p>）的焦点F，且M为抛物线的准线与x轴的交点，N为抛物线上的一点，且满足NF=，则点F到直线MN的距离为（）A. 12 B. 1C. D. 2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.用秦九韶算法求多项式,当时多项式的值为_______________ .14.已知,αβ是两个不同的平面，,m n是两条不同的直线，给出下列命题：①若,m mαβ⊥⊂,则αβ⊥②若,,m n mαα⊂⊂∥,nβ∥β,则α∥β③若,m nαα⊂⊄,且,m n是异面直线，则n与α相交④若,m nαβ⋂=∥m，且,n nαβ⊄⊄, 则n∥α且n∥β.其中正确的命题是_____（只填序号）.15.已知向量()()()1,,3,1,1,2a b cλ===，若向量2a b c-与共线，则向量a在向量c方向上的投影为___________.16.若直角坐标平面内两点,P Q满足条件：①,P Q两点分别在函数()y f x=与()y g x=的图象上；②,P Q关于y 轴对称，则称(),P Q 是函数()y f x =与()y g x =的一个“伙伴点组”（点组(),P Q 与(),Q P 看作同一个“伙伴点组”）.若函数()(),(0){0lnx x f x x >=≤与()1g x x a =++有两个“伙伴点组”，则实数a 的取值范围是_______.三、解答题17.（12分）已知数列{an}的首项a1＝1，前n 项和为Sn ，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫Sn n 是公差为2的等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn ＝(－1)nan ，求数列{bn}的前n 项和Tn.18.（12分）前几年随着网购的普及，线下零售遭遇挑战，但随着新零售模式的不断出现，零售行业近几年呈现增长趋势，下表为20142017~年中国百货零售业销售额（单位：亿元，数据经过处理，14~分别对应20142017~）：（1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立y 关于x 的回归方程，并预测2018年我国百货零售业销售额；（3）从20142017~年这4年的百货零售业销售额及2018年预测销售额这5个数据中任取2个数据，求这2个数据之差的绝对值大于200亿元的概率.参考数据：4411800,2355i i i i i y x y ====∑∑ 2.236≈≈参考公式：相关系数()()n x x y y r --=回归方程ˆˆˆy a bx =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ˆni i i n i i x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆa y bx =-.19．（12分）在三棱锥中，底面，，，是的中点，是线段上的一点，且，连接，，.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.20．（12分）已知椭圆：的一个焦点与抛物线：的焦点重合，且经过点.（1）求椭圆的方程；（2）已知斜率大于0且过点的直线与椭圆及抛物线自上而下分别交于，如图所示，若，求.21.（12分）已知函数()xf x e ax a=+-（a R∈且0a≠）.（1）若函数()f x在0x=处取得极值，求实数a的值；并求此时()f x在[]2,1-上的最大值；（2）若函数()f x不存在零点，求实数a的取值范围.选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1{x cos y sin θθ=+=（θ为参数），以坐标原点O 为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为24sin 3ρρθ-=. （Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）直线3πθ=与曲线12C C ，分别交于第一象限内的，两点，求AB .23.【选修4 -5:不等式选讲】已知|42||1|-++=x x x f ）（. (Ⅰ）求不等式）（x f <7的解集；(Ⅱ)若)23(-≥x a x f ）（在R 上恒成立，求a 的取值范围.文科答案1.【解析】根据特称命题的否定为全称命题,易知原命题的否定为:．故选B. 2.A3.【解析】直线平行于平面，则直线可与平面内的直线平行、异面、异面垂直． 故大前提错误，结论错误． 故选B ．4.【解析】由题意，根据等差数列、等比数列的中项公式，得，又,所以,，由正弦定理得，又，得，从而可得，即为等边三角形，故正确答案为A.5.【解析】根据程序框图可知：该程序的作用是累加S=2+22+…+2n 的值， 并输出满足循环的条件． ∵S=2+22+…+26+27=254， 故①中应填n≤7． 故选：C ． A7.【解析】由三视图知，该几何体为三棱锥，高为3，其一个侧面与底面垂直，且底面为等腰直角三角形，所以球心在垂直底面的侧面的三角形高上，设球半径为R ，则解得，所以球的表面积为，故选A.8.【解析】作出约束条件表示的可行域，如图所示，其面积为，由，解得，即，所得区域的面积为，根据几何概型及其概率公式，得该点落在区域内的概率为，故选C ．9.【解析】由题意可得：(2722{a b ab +==，结合0a b <<求解方程组可得：3{4a b ==，则双曲线中：55,3c c e a ====.本题选择D 选项.10. B【解析】由三余弦定理得001πcos cos cos cos45cos4523BAC BAD CAD BAC ∠=∠∠==⇒∠=选B.11.【解析】5枚真币重量相同，则任意两枚硬币之和一定为偶数，由题意可知，C ，D 中一定有一个为假的，假设C 为假币，则真硬币的重量为5克，则C 的重量为6克，满足A ，C ，E 共重16克，故假设成立，若D 为假币，则真硬币的重量为5克，不满足A ，C ，E 共重16克，故假设不成立，则D 是真硬币，故选：C ．12.【解析】分析：求出双曲线的右焦点，即为抛物线的焦点，可得4p =，求出抛物线的准线方程，由抛物线的定义，结合三角形的有关知识求得结果.详解：双曲线2213x y -=的右焦点为()2,0，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则22p =，解得4p =，则抛物线方程为28y x =，准线方程为2x =-，由点N 向抛物线的准线作垂线，垂足为R ，则由抛物线的定义，可得NR NF ==，从而可以得到60NMR ∠=︒，从而得到30NMF ∠=︒，所以有点F 到直线MN的距离为4sin302d=︒=，故选D.13.【解析】，则，故答案为.14.【解析】对于①，由面面垂直的判定定理可得αβ⊥，故①正确．对于②，由题意知，满足条件的平面,αβ的位置关系为α∥β或αβ，相交，故②不正确．对于③，由题意知当满足条件时有n与α相交或n∥α，故③不正确．对于④，由线面平行的判定方法可得n∥α且n∥β，故④正确．综上可得①④正确．答案：①④15.【解析】016.【解析】设点(),x y在()f x上，则点(),x y-所在的函数为()(),0{ln x xh xx-<=≥，则()g x与()h x有两个交点，()g x的图象由1y x=+的图象左右平移产生，当()1f x=时，x e=-，如图，所以，当()g x左移超过e个单位时，都能产生两个交点，所以a的取值范围是(),e+∞。
北京市丰台区2018届高三3月综合练习(一模)英语试卷含答案
丰台区2018年高三年级第二学期综合练习（一）英语2018. 03本试卷满分共120分考试时间100分钟注意事项：1. 答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。
2. 本次考试所有答题均在答题卡上完成。
选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。
非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。
3. 请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效。
4. 请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。
笔试（共三部分120分）第一部分知识运用（共两节45分）第一节单项填空（共15小题；每小题1分，共15分）从每题所给的A、B、C、D四个选项中，选出可以填入空白处的最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。
1. Teenagers get less and less sleep, them at a higher risk of physicaland mental health problems.A. puttingB. putC. to putD. being put2.—Isn’t that Ann’s brother over there?—No.It be him. He never wears glasses.A. won’tB. must notC. can’tD. may not3. A splendid eight-minute show on Beijing at the closing ceremony of the 2018 Winter Olympics.A. stagedB. will be stagedC. had stagedD. was staged4. Jack is determined to get a seat for the concert it means standing in a queue all night.A. so thatB. in caseC. even thoughD. as if5. —Winter is over at last. Time to put away my gloves and boots.— Great! I for this for months.A. will waitB.have been waitingC. was waitingD. waited6. —A bookbar is being built near our school.—Yes. It is said that the bar soon.A. has openedB. will openC. would openD. opened7. Beijing plans to build its first bicyclelane connects a residential area with a business center.A. whichB. whoC. whatD. where8. Travel Frog by a Japanese game studio has become a hit in China.A. to be createdB. createdC. being createdD. creating9. In a meeting, Xi Jinping shared a story on his parents passed down importantmoral values to him.A. whatB. whichC. howD. when10.students to exercise, a university in Wuhan recently launched a fitness app.A. To encourageB. Having encouragedC. EncouragedD. Encouraging11.—Our country is developing at an amazing speed!—Yes. This is makes me feel so proud.A. whichB. whyC. whereD. what12.—Thank you for reminding me of the time，otherwise I late yesterday.—Don’t mention it.A. had beenB. would have beenC. should beD. would be13. Information technology is taught in most schools, we have entered theinformation society.A. soB. whileC. andD. for14. In the UK the clocks forward 1 hour at 1am on the last Sunday inMarch, and back 1 hour at 2am on the last Sunday in October.A. wentB. are goingC. goD. have gone15. I t’s important for a girl to know what colors look good her skin．A. atB. onC. aboveD. against第二节完形填空（共20小题；每小题1.5分，共30分）阅读下面短文，掌握其大意，从每题所给的A、B、C、D四个选项中，选出最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。
普通高等学校2018届高三招生全国统一考试模拟试题(二)数学(文)试题word含答案
普通高等学校2018届高三招生全国统一考试模拟试题(二)数学(文)试题word含答案普通高等学校招生全国统一考试模拟试题——文科数学（二）本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题纸上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 $A=\{x|x-\frac{1}{2}<0\}$，$B=\{x|x-\frac{(2a+8)}{a(a+8)}<0\}$，若 $A\cap B=A$，则实数 $a$ 的取值范围是A。
$(-4,-3)$B。
$[-4,-3]$C。
$(-\infty,-3)\cup(4,+\infty)$D。
$(-3,4)$2.已知复数 $z=\frac{3+i}{2-3i}$，则 $z$ 的实部与虚部的和为A。
$-\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i$B。
$-\frac{2}{5}-\frac{1}{5}i$C。
$\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i$D。
$\frac{3}{5}+\frac{2}{5}i$3.某景区管理部门为征求游客对景区管理方面的意见及建议，从景区出口处随机选取 $5$ 人，其中 $3$ 人为跟团游客，$2$ 人为自驾游散客，并从中随机抽取 $2$ 人填写调查问卷，则这 $2$ 人中既有自驾游散客也有跟团游客的概率是A。
$\frac{2}{3}$B。
$\frac{1}{5}$C。
$\frac{2}{5}$D。
$\frac{3}{5}$4.已知双曲线 $E:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的离心率为$\frac{\sqrt{10}}{3}$，斜率为 $-\frac{3}{2}$ 的直线 $l$ 经过双曲线的右顶点 $A$，与双曲线的渐近线分别交于 $M$，$N$ 两点，点 $M$ 在线段$AN$ 上，则 $\frac{AN}{AM}$ 等于A。
2018年丰台高三一模文科数学试题及答案
北京市丰台区2018届高三3月综合练习（一模）数学（文）试题第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）复数21i =+(A) 1i-+(B) 1i--(C) 1i+(D) 1i-(2）已知命题p：∃x <1，21x≤，则p⌝为(A) ∀x ≥1,21x(B)∃x <1,21x(C) ∀x <1,21x (D) ∃x ≥1,21x （3）已知0a b<<，则下列不等式中恒成立的是(A) 11a b>(B) <(C) 22a b>(D) 33a b>（4）已知抛物线C的开口向下，其焦点是双曲线2213yx-=的一个焦点，则C的标准方程为(A) 28y x=(B) 28x y=-(C) 2y=(D) 2x=（5）设不等式组05,05xy≤≤⎧⎨≤≤⎩确定的平面区域为D，在D中任取一点(,)P x y满足2x y+≥的概率是(A) 1112(B)56(C) 2125(D)2325（6）执行如图所示的程序框图，那么输出的a值是(A)12-(B)1-(C) 2(D)12，否是开始结束?输出a（7）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 (A) 43(B) 4(C) 83(D)（8）设函数π()sin (4)4f x x =+9π([0,])16x ∈，若函数()()y f x a a =+∈R 恰有三个零点1x ，2x ，3x 123()x x x <<，则1232x x x ++的值是 (A)π2(B)3π4(C)5π4(D) π第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）已知集合{|20}A x x =-≤≤，{|03}B x x =<≤，则A B =U ． （10）圆心为(1,0)，且与直线1y x =+相切的圆的方程是 ．（11）在△A B C 中，2a =，4c =，且3sin 2sin A B =，则cos C =____． （12）已知点(2,0)A ，(0,1)B ，若点(,)P x y 在线段A B 上，则x y 的最大值为____． （13）已知定义域为R 的奇函数()f x ，当0x >时，2()(1)1f x x =--+．①当[1,0]x ∈-时，()f x 的取值范围是____；②当函数()f x 的图象在直线y x =的下方时，x 的取值范围是 ． （14）已知C 是平面A B D 上一点，A B A D ⊥，1C B C D ==．①若3A B A C=，则A B C D ⋅=____；①若A P A B A D =+，则||AP 的最大值为____．三、解答题共6小题，共80分。
北京市2022届高三数学下学期（3月）统一练习（一）（2022丰台一模）文 新人教A版
丰台区2022年高三年级第二学期统一练习（一）数学（文科）一、选择题 1 复数=1i i-在复平面内对应的点位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 ={sin ,}y y x x R =∈,B={-2,-1,0,1,2},则集合等于 A {-2,-1} B {-2,-1,0,1,2} C {-2,-1,2} D {2,2}-3 设为等比数列的前项和，3420a a +=，则31Sa （ ）A 2B 3C 4D 5 4执行右边的程序框图所得的结果是（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ） 6 5 已知椭圆22212x ya +=的一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合，则该椭圆的离心率是 （A ）32 （B ）233 （C ） 22 （D ） 63:(0,),32xxx ∀∈+∞>,命题q:(,0),32x x x ∃∈-∞>,则下列命题为真命题的是A p q ∧B ()p q ∧⌝C ()p q ⌝∧D ()()p q ⌝∧⌝7．某四面体三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是A 2B 4C 25+D 425+=f 图像上任意一点的坐标（,）都满足方程 lg()lg lg x y x y +=+，那么正确的选项是 A =f 是区间（0，）上的减函数，且结束 否是 0,1b k ==2()3k a k =⋅1k k =+b a = 1?ba≥ 开始 输出B =f 是区间（1，）上的增函数，且C =f 是区间（1，）上的减函数，且D =f 是区间（1，）上的减函数，且 二．填空题 9 若3cos ,tan 05x x =<，则= 。
10 某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40,50，[50,60，…，[90,100]后得到频率分布直方图如图所示．则分数在[70,80内的人数是________2=0被圆224x y +=截得的弦长为_________。
XXX2018年高三下学期期初考试(3月)数学(文)试题
XXX2018年高三下学期期初考试(3月)数学(文)试题2018年全国高三文科数学统一联合考试一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知集合$A=\{x|x\leq1\}$，且$A\cap B=\{0,1\}$，则集合$B$可能是(。
)A.$\{x|x\geq\}$B.$\{x|x>-1\}$C.$\{-1,0,1\}$D.$\{0,1,2\}$2.已知向量$a=(1,2)$，$b=(-1,0)$，则$2a-b=$(。
)A.$17$B.$17\vec{a}$C.$5$D.$25$3.若复数$z$在复平面内对应的点的坐标是$(1,-2)$，则$z=$ (。
)A.$1-2i$B.$1+2i$C.$2-i$D.$-2-i$4.《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边同时相向打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.”如果这两只老鼠恰好用了7天把墙打穿，则墙厚为(。
)A.$8255$尺B.$129$尺C.$2079$尺D.$65$尺5.若双曲线$C:-\frac{x^2}{x^2+y^2}=1$的离心率为3，则实数$m=$ (。
)frac{m}{m+1}$A.$1$B.$2$C.$1$或$-2$D.$1$或$2$6.已知命题$p:\exists m\in R$，使得$f(x)=x^2+mx$是偶函数；命题$q:x^2=1\Rightarrow x=1$，现给出下列命题：①$p$；②$q$的逆否命题；③$p\land q$；④$p\lor(\negq)$。
其中真命题的个数为(。
)A.$0$B.$1$C.$2$D.$3$7.如图，网格纸上小正方形的边长为$1$，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为(。
2018届高三数学每天一练半小时(34)平面向量综合练(含答案)
训练目标(1)向量知识的综合运用；(2)向量与其他知识的结合．训练题型(1)向量与三角函数；(2)向量与解三角形；(3)向量与平面解析几何；(4)与平面向量有关的新定义问题．解题策略(1)利用向量解决三角问题，可借助三角函数的图象、三角形中边角关系；(2)解决向量与平面解析几何问题的基本方法是坐标法；(3)新定义问题应对条件转化，化为学过的知识再求解.一、选择题1．(2016·福建四地六校联考)已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2OP→＝2OA→＋BA→，则()A．点P在线段AB上B．点P在线段AB的反向延长线上C．点P在线段AB的延长线上D．点P不在直线AB上2．设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且OA→＋OB→＋2OC→＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为() A．3B．4C．5D．63．已知点O为△ABC内一点，∠AOB＝120°，OA＝1，OB＝2，过O作OD垂直AB于点D，点E为线段OD的中点，则OE→·EA→的值为()A.514B.27C.314D.3284．已知向量a＝sinθ2，cosθ2＋π4，b＝(3sinθ2＋π4，cosθ2)，θ∈(0，π)，并且满足a∥b，则θ的值为()A.π4B.π3C.23πD.56π5.如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，P 是对角线AC 上一点，AP →＝25AC →，过点P 的直线分别交DA 的延长线，AB ，DC 于点M ，E ，N .若DM →＝mDA →，DN →＝nDC →(m >0，n >0)，则2m ＋3n 的最小值是()A.65B.125C.245D.485二、填空题6．在平面直角坐标系中，已知A (－2,0)，B (2,0)，C (1,0)，P 是x 轴上任意一点，平面上点M 满足：PM →·PB →≥CM →·CB →对任意P 恒成立，则点M 的轨迹方程为______．7．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，则当A ＝π6时，△ABC 的面积为________．8．已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，向量OA →，OB →，OC →满足：OA →－[y ＋2f ′(1)]OB →＋ln(x ＋1)OC →＝0.则函数y ＝f (x )的表达式为________________．9．定义一种向量运算“⊗”：a ⊗b ，当a ，b 不共线时，a －b |，当a ，b 共线时(a ，b 是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a ，b ，c ，e ，给出下列结论：①a ⊗b ＝b ⊗a ；②λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b (λ∈R )；③(a ＋b )⊗c ＝a ⊗c ＋b ⊗c ；④若e 是单位向量，则|a ⊗e |≤|a |＋1.以上结论一定正确的是________．(填上所有正确结论的序号)三、解答题10．已知点C 为圆(x ＋1)2＋y 2＝8的圆心，P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且有点A (1,0)和AP 上的点M，满足MQ→·AP→＝0，AP→＝2AM→.(1)当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；(2)若斜率为k的直线l与圆x2＋y2＝1相切，直线l与(1)中所求点Q的轨迹交于不同的两点F，H，O是坐标原点，且34≤OF→·OH→≤45时，求k的取值范围．答案精析1．B[因为2OP →＝2OA →＋BA →，所以2AP →＝BA →，所以点P 在线段AB 的反向延长线上，故选B.]2．B[∵D 为AB 的中点，则OD →＝12(OA →＋OB →)，又OA →＋OB →＋2OC →＝0，∴OD →＝－OC →，∴O 为CD 的中点，又∵D 为AB 中点，∴S △AOC ＝12S △ADC ＝14S △ABC ，则S △ABCS △AOC＝4.]3．D[由∠AOB ＝120°，OA ＝1，OB ＝2得AB 2＝OA 2＋OB 2－2OA ·OB ·cos 120°＝1＋4＋2×1×2×12＝7，即AB ＝7，S △OAB ＝12×1×2×32＝32，则OD ＝32×27＝217，故OE →·EA →＝OD →2·(－AE →)＝－12OD →·AO →＋AD →2＝OA →·OD →4＝|OA →|·|OD →|·cos ∠AOD 4＝|OD →|24＝14×2149＝328，故选D.]4．B [因为a ∥b ，所以sinθ2cos θ2－3sin＝sin θ2－32sin＝12(sin θ－3cos θ)＝12×2sin＝0，所以θ－π3＝k π(k ∈Z )，θ＝k π＋π3(k ∈Z )，又θ∈(0，π)，所以θ＝π3，故选B.]5．C[AP →＝25AC →⇒DP →＝35DA →＋25DC →，设DP →＝xDM →＋yDN →，则x ＋y ＝1，又DP →＝mxDA →＋ynDC →，所以mx ＝35，ny ＝25⇒35m ＋25n ＝1，因此2m ＋3n ＝(2m ＋3n )(35m ＋25n)＝15(12＋9n m ＋4mn )≥15(12＋29n m ·4m n )＝245，当且仅当2m ＝3n 时取等号，故选C.]6．x ＝0解析设P (x 0,0)，M (x ，y )，则由PM →·PB →≥CM →·CB →可得(x －x 0)(2－x 0)≥x －1，x 0∈R 恒成立，即x 20－(x ＋2)x 0＋x ＋1≥0，x 0∈R 恒成立，所以Δ＝(x ＋2)2－4(x ＋1)≤0，化简得x 2≤0，则x ＝0，即x ＝0为点M 的轨迹方程．7.16解析已知A ＝π6，由题意得|AB →||AC →|cos π6＝tan π6，|AB →||AC →|＝23，所以△ABC 的面积S ＝12|AB →||AC →|sin π6＝12×23×12＝16.8．f (x )＝ln(x ＋1)解析由向量共线的充要条件及OA →－[y ＋2f ′(1)]OB →＋ln(x ＋1)OC →＝0可得y ＋2f ′(1)－ln(x ＋1)＝1，即y ＝1－2f ′(1)＋ln(x ＋1)，则y ′＝f ′(x )＝11＋x ，则f ′(1)＝12，所以y ＝1－2×12＋ln(x ＋1)＝ln(x ＋1)．故f (x )＝ln(x ＋1)．9．①④解析当a ，b 共线时，a ⊗b ＝|a －b |＝|b －a |＝b ⊗a ，当a ，b 不共线时，a ⊗b ＝a·b ＝b·a ＝b ⊗a ，故①是正确的；当λ＝0，b ≠0时，λ(a ⊗b )＝0，(λa )⊗b ＝|0－b |≠0，故②是错误的；当a ＋b 与c 共线时，则存在a ，b 与c 不共线，(a ＋b )⊗c ＝|a ＋b －c |，a ⊗c ＋b ⊗c ＝a·c ＋b·c ，显然|a ＋b －c |≠a·c ＋b·c ，故③是错误的；当e 与a 不共线时，|a ⊗e |＝|a·e |<|a |·|e |<|a |＋1，当e 与a 共线时，设a ＝u e ，u ∈R ，|a ⊗e |＝|a －e |＝|u e －e |＝|u －1|≤|u |＋1，故④是正确的．综上，结论一定正确的是①④.10．解(1)由题意知，MQ 为线段AP 的垂直平分线，所以|CP |＝|QC |＋|QP |＝|QC |＋|QA |＝22>|CA |＝2，所以点Q 的轨迹是以点C ，A 为焦点，焦距为2，长轴为22的椭圆，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，则b ＝a 2－c2＝1，故点Q 的轨迹方程为x 22＋y 2＝1.(2)设直线l ：y ＝kx ＋b ，F (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)，直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切⇒|b |k 2＋1＝1⇒b 2＝k 2＋1.y 2＝1，kx ＋b⇒(1＋2k 2)x 2＋4kbx ＋2b 2－2＝0，则Δ＝16k 2b 2－4(1＋2k 2)×2(b 2－1)＝8(2k 2－b 2＋1)＝8k 2>0⇒k ≠0，x 1＋x 2＝－4kb1＋2k 2，x 1x 2＝2b 2－21＋2k2，OF →·OH →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2＝(1＋k 2)(2b 2－2)1＋2k 2＋kb ?－4kb ?1＋2k2＋b2＝2k 2(1＋k 2)1＋2k2－4k 2(k 2＋1)1＋2k 2＋k 2＋1＝k 2＋11＋2k2，所以34≤k 2＋11＋2k 2≤45⇔13≤k 2≤12⇒33≤|k |≤22⇒－22≤k ≤－33或33≤k ≤22.所以k 的取值范围为[－22，－33]∪[33，22]．。
2018年高三三模考试数学试题(文)含答案
2018届高三三模试题(文科)数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}230A x x x =->，{B x y ==，则A B 为（ ） A ．[)0,3 B ．()1,3 C ．(]0,1 D ．∅ 2. 已知复数z 满足1+1zz i=- (i 为虚数单位)，则z 的虚部为（ ） A ． i B ．-1 C ． 1 D ．i -3. 把[]0,1内的均匀随机数x 分别转化为[]0,4和[]4,1内的均匀随机数1y ，2y ，需实施的变换分别为A ．124,54y x y x =-=-B ．1244,43y x y x =-=+C ． 124,54y x y x ==-D ． 124,43y x y x ==+4. 已知命题:p x R ∃∈,20x ->，命题:q x R ∀∈x <，则下列说法中正确的是（ ） A ．命题p q ∨是假命题 B ．命题p q ∧是真命题 C. 命题()p q ∧⌝真命题 D ．命题()p q ∨⌝是假命题5. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为（ ）A ． 4B ．6+．26. 已知O 为ABC ∆内一点，且1()2AO OB OC =+，AD t AC = ，若B ,O ,D 三点共线，则t 的值为（ ） A ．14 B ． 13 C. 12 D ．237. 在约束条件4224x y x y y x +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩下，目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A ．26B ． 24 C. 22 D ．208. 运行下列框图输出的结果为43，则判断框应填入的条件是（ ） A ．42z ≤ B ． 45z ≤ C. 50z ≤ D ．52z ≤9. 已知函数2,0()(),0x x x f x g x x ⎧-≥=⎨<⎩是奇函数，则((2))g f -的值为（ ）A ． 0B ．-1 C.-2 D ．-410.将函数()sin f x x =图象上每一点的缩短为原来的一半(纵坐标不变)，再向右平移6π个单位长度得到()y g x =的图象，则函数()y g x =的单调递增区间为（ ）A ．52,21212k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B ． 52,266k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ C. 5,1212k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ D ．5,66k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 11. 已知双曲线222:41(0)x C y a a -=>的右顶点到其一条渐近线的距离等于4，抛物线2:2E y px =的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则抛物线E 上的动点M 到直线1:4360l x y -+=和2:1l x =-距离之和的最小值为（ ）A ．1B ． 2 C. 3 D ．412. 定义函数348,12,2()1(),222x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩,则函数()()6g x xf x =-在区间[]1,2()n N *''∈内的所有零点的和为（ ）A ．nB ．2n C.3(21)4''- D ．3(21)2''- 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.ln133log 18log 2e -+= ．14. 在平面直角坐标系中，三点(0,0)O ,(2,4)A ，(6,2)B ，则三角形OAB 的外接圆方程是 ．15. 在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，且A 、B 、C成等差数列，b =则ABC ∆面积的取值范围是 ．16. 四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAD 是以SD 为斜边的等腰直角三角形，若四棱锥S ABCD -的体积取值范围为83⎤⎥⎣⎦，则该四棱锥外接球表面积的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知公差不为零的等差数列{}n a 中，37a =，且1a ，4a ，13a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列{}2nn a ⋅的前n 项和n S ，求n S .18.某县共有90间农村淘宝服务站，随机抽取5间，统计元旦期间的网购金额(单位：万元)的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数. （1）根据茎叶图计算样本均值；（2）若网购金额(单位：万元)不小于18的服务站定义为优秀服务站，其余为非优秀服务站.根据茎叶图推断90间服务站中有几间优秀服务站？（3）从随机抽取的5间服务站中再任取2间作网购商品的调查，求恰有1间是优秀服务站的概率.19. 在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是梯形，四边形ADEF 是正方形，//AB DC ，CD AD ⊥，面ABCD ⊥面ADEF ，1AB AD ==.2CD =.（1）求证：平面EBC ⊥平面EBD ；（2）设M 为线段EC 上一点，3EM EC =，试问在线段BC 上是否存在一点T ，使得//MT 平面BDE ，若存在，试指出点T 的位置；若不存在，说明理由? （3）在（2）的条件下，求点A 到平面MBC 的距离.20. 设1F 、2F 分别是椭圆222:14x y E b+=的左、右焦点.若P 是该椭圆上的一个动点，12PF PF的最大值为1.（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线:1l x ky =-与椭圆交于不同的两点A 、B ，且AOB ∠为锐角(其中O 为坐标原点)，求直线l 的斜率k 的取值范围. 21.已知函数1()ln f x a x x=+，其中a R ∈； （Ⅰ）若函数()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值，（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，若关于x 的不等式22(2)2(1)()32x t x t f x t N x x *+++++>∈++，当1x ≥时恒成立，求t 的值.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为,2sin ,x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩ (α为参数).在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系屮，曲线22:4cos 2sin 40C ρρθρθ+-+=. （Ⅰ）写出曲线1C ，2C 的普通方程； （Ⅱ）过曲线1C 的左焦点且倾斜角为4π的直线l 交曲线2C 于,A B 两点，求AB . 23.选修4-5：不等式选讲已知x R ∃∈，使不等式12x x t ---≥成立. （1）求满足条件的实数t 的集合T ；（2）若1m >，1n >，对t T ∀∈，不等式33log log m n t ⋅≥恒成立，求22m n +的最小值.试卷答案一、选择题1-5: CCCCB 6-10: BAACC 11、12：BD 二、填空题13. 3 14. 22620x y x y +--= 15. ⎝⎦16.28,203S ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦三、解答题17.（1）∴21n a n =+（2）12(12)2n n +--⨯18.解:（1）样本均值46121820125X ++++==（2）样本中优秀服务站为2间，频率为25，由此估计90间服务站中有290365⨯=间优秀服务站；（3）由于样本中优秀服务站为2间，记为12,a a ，非优秀服务站为3间，记为123,,b b b ，从随机抽取的5间服务站中任取2间的可能性有12111213212223(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a b a b a b a b a b a b121323(,),(,),(,)a b b b b b 共10种情况，其中恰有1间是优秀服务站的情况为 111213212223(,),(,),(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b a b a b 6种情况，故所求概率为35p =. 19. 解:（1）因为面ABCD ⊥面ADEF ，面ABCD ⋂面ADEF AD =，ED AD ⊥，所以ED ⊥面ABCD ，ED BC ⊥.在梯形ABCD 中，过点作B 作BH CD ⊥于H ， 故四边形ABHD 是正方形，所以45ADB ∠=︒.在BCH ∆中，1BH CH ==，∴45BCH ∠=︒.BC = ∴45BDC ∠=︒，∴90DBC ∠=︒∴BC BD ⊥.因为BD ED D = ，BD ⊂平面EBD ，ED ⊂平面EBD . ∴BC ⊥平面EBD ,BC ⊂平面EBC ，∴平面EBC ⊥平面EBD .（2）在线段BC 上存在点T ，使得//MT 平面BDE在线段BC 上取点T ，使得3BT BE =，连接MT .在EBC ∆中，因为13BT EM BC EC ==，所以CMT ∆与CEB ∆相似，所以//MT EB 又MT ⊄平面BDE ，EB ⊂平面BDE ，所以//MT 平面BDE .（3）620.解:（1）易知2a =，c =24b <所以()1F，)2F ，设(),P x y ，则()12,PF PF x y⋅=-，)222222222,44(1)444b x b x y x y b x b b x b b -=++-=+-+-=-+-+因为[]2,2x ∈-，故当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，12PF PF ⋅有最大值1，即221(1)444b b b =-⨯+-+，解得1b =故所求的椭圆方程为2214x y += （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由22114x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(4)230k y ky +--=，故12224k y y k +=+，12234y y k -⋅=+. 222(2)12(4)16480k k k ∆=++=+>又AOB ∠为锐角cos 00AOB OA OB ⇔∠>⇔⋅>，∴12120OA OB x x y y ⋅=+>又212121212(1)(1)()1x x ky ky k y y k y y =--=-++∴()2221212121222321()1(1)144k x x y y k y y k y y k k k -+=+-++=+⋅-+++222222332414044k k k k k k ---++-==>++，∴214k <-，解得1122k -<<∴k 的取值范围是11(,)22-. 21.解:（Ⅰ）2211()a ax f x x x x -'=-+=当1x =时，()0f x '=，解得1a = 经验证1a =满足条件，（Ⅱ）当1a =时，22(2)21(1)3221x t x t x t f x x x x x ++++++>=+++++ 整理得(2)ln(1)t x x x <++- 令()(2)ln(1)h x x x x =++-， 则21()ln(1)1ln(1)011x h x x x x x +'=++-=++>++，(1)x ≥ 所以min ()3ln 21h x =-，即3ln 21(0,2)t <-∈ ∴1t =22.解:（Ⅰ）2222()cos sin 122sin y x y αααα⎧=⎪⇒+=+=⎨=⎪⎩ 即曲线1C 的普通方程为221204x y += ∵222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρ= 曲线2C 的方程可化为224240x y x y ++-+= 即222:(2)(1)1C x y ++-=.（Ⅱ）曲线1C 左焦点为(4,0)-直线l 的倾斜角为4πα=，sin cos 2αα==所以直线l 的参数方程为42x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 参数）将其代入曲线2C 整理可得240t -+=，设,A B对应的参数分别为12,t t则所以12t t +=124t t =.所以12AB t t =-===.23.解：（1）令1,1()1223,121,2x f x x x x x x -≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪≥⎩，则1()1f x -≤≤，由于x R ∃∈使不等式12x x t ---≥成立，有{}1t T t t ∈=≤.（2）由（1）知，33log log 1m n ⋅≥，根据基本不等式33log log 2m n +≥≥， 从而23mn ≥，当且仅当3m n ==时取等号，再根据基本不等式6m n +≥≥，当且仅当3m n ==时取等号. 所以m n +的最小值为18.。