第四章 光的相干性概论

0 < δ (P 1 ) < L0 ，于是，上述两个波包虽然是先后到达P1点，但在该点能够相遇，
于是也能相干叠加产生干涉；但是，对于P2点，由于 δ ( P2 ) = L0 ，当第二个波包 到达该点时，第一个波包恰好离开，则两者不能相遇，因而不能长生干涉，仅仅
是将该点照明。P2点之外的所有区域，都是 δ ( P ) > L0 而不能产生干涉。正是由 于波包到达空间某点时间上的差异，而是干涉不能发生，因而称作时间相干性。 4.2.3 相干时间性 一个波包经过空间某一点（或者说在该点逗留）的时间为 τ = L0 / c 。τ 称为 相干时间。 而波包的长度可以用频率表示为
∗ =| U1 ( S1 , r ) |2 + | U 2 ( S1 ) |2 +U1 ( S1 )U 2 ( S1 ) + +U1∗ ( S1 )U 2 ( S1 ) ∗ = I1 ( S1 ) + I 2 ( S1 ) + 2 Re[U1 ( S1 )U 2 ( S1 )]
U ( S1 ) = U1 ( S1 ) + U 2 ( S1 ) I ( S2 ) = U ( S2 ) ⋅U ∗ ( S2 )
δ1 = S ′S 2 − S ′S1 = x
β=
d l 2 + x2
≈x
d = xβ l
d ，光源中心对双缝的张角，称为干涉孔径。 l
S’上下移动时， δ 2 不变。 如果有一宽度为 b 的扩展光源， 扩展光源上位于 x 附近的一段 dx 形成的干涉 强度为
第四章 光的相干性概论
dI = 2 I 0 dx (1 + cos
第四章 光的相干性概论
在前面的各个部分，凡是涉及到光的叠加，我们通常采用相干叠加或非相干 叠加的方法进行处理。例如在杨氏干涉装置中，两列光波如果是相干的，则叠加 之后干涉项 2 A1 A2 cos ∆ϕ ≠ 0 ，如果是非相干的，则干涉项 2 A1 A2 cos ∆ϕ = 0 。 或者说， 在数学处理上， 对于相干光， 叠加时复振幅相加， U ( r ) = U1 ( r ) + U 2 ( r ) ； 而对于非相干光，叠加时光强相加， I ( r ) = I1 ( r ) + I 2 ( r ) 。 上述对于光的相干性作简单分类，仅仅是为了数学处理上的方便。只是两种 极端的特例。 判断光是否相干的依据是三个条件。满足这三个条件的光，则是相干光，或 完全相干光；不满足这三个条件的光，被称作非相干光，或完全非相干光。相干 光的三个条件是非常严格的，而实际的光通常都不能满足，也就是说，实际的光 源和光波场都不是严格相干的，但也能产生干涉。例如太阳光、或普通光源发出 的光，经过杨氏双孔或双缝后，也能在接收屏上产生较明显的干涉条纹。那么， 这些实际存在的、能够产生干涉的、而又不严格满足相干条件的光，则被称作部 分相干光。
δ2 =
x′ d r0
I = 2 I 0 (b + bγ cos
2π d x′) πa 2 λ r0 ( x′) λ r0 2π d x′) λ r0
sin 2 (
πa x′) λ r0
sin 2 ( = 2bI 0 (
πa 2 x′) λ r0
πa x′) λ r0
(1 + γ cos
记 I = 2bI 0
由于扩展光源导致干涉消失，此为光的空间相干性。 或者，在光源宽度一定的情况下，双缝间距 d ≤ 干涉孔径角 β =
∆θ 0 =
λ
b
d λ ≤ 。可得最大干涉孔径角为 l b
∆θ 0 称作相干孔径（角） 。 b∆θ 0 = λ ，空间相干性的反比公式。
β < ∆θ 0 才有干涉，即，当双缝对光源中心的张角，即干涉孔径（角） ，小于
相干孔径（角）时，才有干涉。也就是说，当双缝处于相干孔径角之内时，可出 现干涉，否则无干涉。如图所示。 相干面积 S = d 2 。
4．2 光场的时间相干性
4.2.1 非单色光的干涉 光的相干性要求各个波列是波长相等的单色光，而实际上，任何光源所发出 的光，都具有一定的波长范围 ∆λ ，可以表示为 λ ~ λ + ∆λ ， ∆λ 称作带宽。 光源的非单色性对干涉的影响。 入射光波长范围为 λ ~ λ + ∆λ ， 其中的人一个波长成分都可以形成一套干涉 条纹。 第 j 级亮条纹，波长为 λ 的成分的中心在屏上位置为 x = j
j (λ + ∆λ ) = ( j + 1)λ ，可得 j = λ / ∆λ ，最大相干级数。
对应的光程差 δ Max = j (λ + ∆λ ) = ( j + 1)λ = λ 2 / ∆λ + λ ≈ λ 2 / ∆λ ，被称作 相干长度。
第四章 光的相干性概论
4.2.2 关于相干长度的说明。 在第一章 1.6 中，讨论了非单色光叠加产生波包的问题。波包的有效长度为
d d S ′S1 = l 2 + ( x − ) 2 = l 2 + x 2 − xd + ≈ l 2 + x 2 − xd 2 4
2
≈ l 2 + x 2 (1 −
2
1 xd ) 2 l 2 + x2
2
d d S ′S 2 = l + ( x + ) 2 = l 2 + x 2 + xd + ≈ l 2 + x 2 + xd 2 4 ≈ l 2 + x 2 (1 + 1 xd ) 2 l 2 + x2
r0 ∆λ ∝ j 。干涉级数越高，其宽度也越 d
级亮条纹的宽度为 ∆x j (λ ∼ λ + ∆λ ) = j
大。在某一个 j 值处，如果亮带的宽度足够大时，不同级次的条纹将会重迭。也 就是说，大于 j 的级次全部被亮纹覆盖，无法分辨，干涉消失。 当长波限 λ + ∆λ 的 j 级与短波限 λ 的 j+1 级重合时，干涉消失。即
c c L0 = λ 2 / ∆λ = ( ) 2 /( 2 ∆ν ) = c / ∆ν ，所以
ν
ν
τ = L0 / c = 1/ ∆ν ，即 τ ∆ ν = 1
4.2.4 时间相干性
波长范围为 ∆k 的准单色波叠加所形成的波列的复振幅可以表示为
∆k (z − vgt) 2 ]ei ( k0 z −ω0t ) U ( z, t ) = [ A ∆k (z − vgt) 2 sin
r0 λ ；波长为 d
λ + ∆λ 的成分的中心在屏上位置为 x = j
r0 (λ + ∆λ ) d 除 j=0 级之外，由于入射光的波长由一定的范围 ∆λ ，则第 j 级亮纹在接收屏
上扩展开来，为一条从 x(λ ) = j
r0 r λ 到 x(λ + ∆λ ) = j 0 (λ + ∆λ ) 的宽带。第 j d d
λ πbβ sin πβ λ
I Min = 2 I 0 b − 2 I 0
s in
可见度 γ =
λ πbβ sin πβ λ
π bβ λ π bβ λ
实际上，在上述计算过程中，还应当记入每一缝的衍射效应，即在广强的表
达式中还应该含有单元衍射因子 U ( x′) =
sin(
πa πa x′) sin θ ) sin( λ r0 λ ，而 = πa πa x′ sin θ λ λ r0
(d/λr0)x'
2 4 6 8 10
0 -10 -8 -6 -4 -2 0
(d/λr0)x'
2 4 6 8 10
2
I/I
γ =0.062
1
0 -10 -8 -6 -4 -2 0
(d/λr0)x'
2 4 6 8 10
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4.1.2 相干孔径与空间相干性
λ bβ bβ 时，可见度函数取得极大值 γ = 1 ；随着 的增大，可见度迅速衰减，到 =1 λ λ bβ 时， γ = 0 ；此后，虽然随着 的增大， γ 的值还会有一定幅度的起伏变化，但 λ bβ 是数值较小。所以，通常认为当 ≥ 1 时，干涉条纹已经不可分辨。在这种情况 λ
2π
λ
δ ) = 2 I 0 dx [1 + cos
dx[1 + cos 2π
2π
λ
( β x + δ 2 )]
干涉场的强度为 I = 2 I 0
∫
b 2 b − 2
λ
( β x + δ 2 )]
= 2 I 0 (b +
λ π bβ 2π sin cos δ ) πβ λ λ 2
I Max = 2 I 0 b + 2 I 0
L0 = ∆Z = λ2 / ∆λ （1.6.8）正是上述的 δ Max ，于是对上述现象可以作如下解释。
L0=λ /∆λ
2
Z
带宽为∆λ 的准单色波所形成的波包
由于光源是非单色波 λ ~ λ + ∆λ ，则就是非定态光波， 在空间是一个有效长 度为 L0 = λ 2 / ∆λ 的波包。对于屏上的中心点O，到双缝S1、S2的光程相等，因而 从S1、S2出发的两个波包总是同时达到O点，在O点总能相遇，于是相干叠加产生 干涉；而对于 P1 点，到双缝的的光程差不相等，但是小于波包的有效长度，即
对于由 S′点发出的光波，到达 P 点时，光程差包括两部分： 在双缝之前
δ1 = S2 S ′ − S1S ′ ，
在双缝之后
δ 2 = PS2 − PS1
δ = δ1 + δ 2
当光源位置改变时， δ1 变化，而 δ 2 保持不变。
设 S′的坐标为 x，设光源具有较大的宽度，同时距双缝较远，例如对于天体 的测量，则 b >> d ，同时 l 也很大。