九年级数学上册第21章二次根式21.3二次根式的加减教案新版华东师大版
21.3 二次根式的加减 课件 2024-2025学年华东师大版数学九年级上册
12
2.三角形的三边长分别为 cm， cm，
（
）cm
3.若最简根式
与 可以合并，求
解：角形的周长是 的值.
课堂小结
谢谢聆听
二 次 根 式 的 加 减 （第1课时）
新课导入
复习回顾
最简二次根式三个条件： 1、不能再开方
1、下列二次根式，哪些是最简二次根式？ 2、分母里面没有根号
3、根号里面没有分母
× ××√
√
2.把下列各式化简
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同， 这几个二次根式叫做同类二次根式.
注意：判断一组二次根式是否为同 类二次根式，一定要把它们全部化 为最简二次根式再判断！！！
典例精析
例 1 计算： （1）
解：原式
（2） 解：原式
（化成最简二次根式） （逆用分配律,合并同类二次根式）
（化成最简二次根式） （逆用分配律，合并同类二次根式）
二次根式加减法法则
步骤：（1）将二次根式化成最简二次根式
（2）找出同类二次根式 （3）合并。（类似于同类项）
注意
只能是同类二次根式才可以合并。
巩固练习：
例1 如果最简二次根式 根式,求m、n 的值.
与
是同类二次
解：原式= 思考，
说计一算说依如据何是计什算么呢？？
类比整式合并同类项的法 则，进行计算 如：3X+2X=5X
？
同类二次根式可以合并. 合并同类二次根式的方法是： （1）化为最简二次根式 （2）系数相加减 （3）二次根式不变
（a≥0）
例 2 计算： （1）
解：原式
（2）（ 解：原式
比较二次根式的加减与整式的加减，
二次根式的加减实质是合并同类二次 根式（被开方数相同）. 整式的加减 的实质是合并同类项．
华东师大版九年级数学上册 21
华东师大版九年级数学上册第21章二次根式班级：姓名：学习时间：21.3 二次根式的加减第1课时二次根式的加减预习目标1．能根据同类二次根式的定义，判断几个二次根式是不是同类二次根式．2．能正确地合并同类二次根式，进行二次根式加减运算．预习要点1．同类二次根式：几个二次根式化成________________后，如果________相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．2．二次根式加减运算的步骤：二次根式相加减，应先把各个二次根式化成________________，然后把____________分别合并．预习自测1．下列二次根式中，能与－5合并的是( )A.25B.20C.15D.102．下列各组二次根式中，是同类二次根式的是( )A.8与 3B.2与12C.5与15D.75与273．下列计算正确的是( )A．43－33＝1B．2＋3＝ 5C．3＋22＝5 2D．2＋8＝3 24．若18与最简二次根式2x－1是同类二次根式，则x＝________．5．计算：50－2＝________．6．计算：45＋45－8＋42＝________．知识回顾计算下列各题．1．2x＋3x＝________；2．3a2－2a2＋a3＝________．上面的计算过程实际上是我们以前所学的同类项合并．同类项合并就是字母及其指数不变，系数相加减．合作探究自学课本第10页～第11页的内容，完成下面的问题：1．22＋32＝________．2．28－38＋58＝________．3．7＋27＋39×7＝________．4．3x－2x＋x＝________．由此可见，二次根式的被开方数相同也是可以合并的.22与8表面上看是不相同的，但它们可以合并．与整数中同类项的意义相类似，我们把3a、－2a与4a这样的几个二次根式，称为同类二次根式．32＋8＝32＋22＝5 2.33＋27＝33＋33＝6 3.所以二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式进行合并．新知应用例1 计算．(1)8＋18；(2)16x＋64x.例2 计算．(1)348－913＋312；(2)(48＋20)＋(12－5)．例3 计算．(23x9x＋y2xy3)－(x21x－5xyx)．课堂小测1．计算412－613＋12的结果是( )A．32－2 3 B．5－ 2C．5－ 3 D．2 22．若矩形相邻两边的长分别是20和125，则它的周长是( ) A．5 5 B．10 5C．7 5 D．14 53．如果最简二次根式2x＋1与28可以合并，则x＝__________．4．已知二次根式12，请写出一个它的同类二次根式：________．5.18－3＋12－8＝________.6．计算9a ＋25a 的结果是________．7．计算：(1)18＋20－(2－5)；(2)239x ＋8x 4－x 1x .课堂小结1．同类二次根式的定义．2．二次根式加减运算的步骤．3．如何合并同类二次根式？参考答案21.3 二次根式的加减第1课时 二次根式的加减预习要点1．最简二次根式；被开方数2. 最简二次根式；同类二次根式预习自测1．B 2.D 3.D 4.325.4 26．75＋2 2知识回顾1．5x 2.a2＋a3合作探究1．5 2 2.8 2 3.127 4.2x新知应用例1. (1) 解：原式＝22＋32＝(2＋3)2＝5 2.(2) 解：原式＝4x＋8x＝(4＋8)x＝12 x.例2. (1) 解：原式＝123－33＋63＝(12－3＋6)3＝15 3.(2) 解：原式＝48＋20＋12－5＝43＋25＋23－ 5＝63＋ 5.例3.解：原式＝23x9x＋y2xy3－x21x＋5xyx＝2x x＋xy－x x＋5xy＝x x＋6xy. 课堂小测1．D 2.D 3.34．53(答案不唯一) 5.2＋ 3 6.8a7． (1) 解：原式＝32＋25－2＋5＝22＋3 5.(2) 解：原式＝23×3x＋8×x2－x·xx＝2x＋4x－x＝5x.课堂小结1．几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．2．略．3．略．。
九年级数学上册《二次根式的加减法》教案、教学设计
2.通过二次根式的学习，让学生认识到数学知识在实际生活中的重要作用，提高学生对数学价值的认识。
3.培养学生严谨、求实的科学态度，使学生形成良好的学习习惯和道德品质。
在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，因材施教，使每个学生都能在原有基础上得到提高。同时，注重启发式教学，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究，提高学生的数学素养。在此基础上，结合以下教学内容，进行教学设计。
2.思维能力：九年级学生的抽象思维能力逐渐增强，但仍有部分学生依赖具体形象思维。在教学过程中，教师应注重培养学生的抽象思维能力，引导学生运用分类讨论等方法解决问题。
3.学习方法：学生在学习过程中，可能仍依赖模仿和记忆，缺乏主动探究和合作学习的能力。教师应引导学生转变学习方式，培养学生的自主学习能力和合作意识。
二、教学内容
1.二次根式的概念及性质
2.二次根式的书写与化简
3.二次根式的加减法运算
4.二次根式的实际应用
三、教学过程
1.导入：通过实际问题，引出二次根式的概念，激发学生的学习兴趣。
2.基本概念：讲解二次根式的定义，让学生理解并掌握二次根式的性质。
3.书写与化简：教授二次根式的书写方法，引导学生进行二次根式的化简。
2.应用提高题：完成课本第46页第7-10题，这些题目将考察学生对二次根式加减法的掌握程度。学生需要运用所学的运算规则，解决实际问题，提高数学应用能力。
3.拓展思维题：选择课本第47页第11题作为拓展题目，鼓励学生通过小组讨论或独立思考，解决具有一定难度的二次根式问题。这类题目旨在培养学生的逻辑思维和创新能力，激发学生对数学学习的兴趣。
在学生小组讨论环节，我会将学生分成若干小组，每组4-6人。针对以下问题进行讨论：
21.3 二次根式的加减(课件)华东师大版数学九年级上册
第一课时 二次根式的加减
返回目录
归纳总结
考
点
判断几个二次根式是否可以合并，只与化为最简二次根
清
单 式之后的被开方数和根指数有关，而与根号外的因式无关.
解
读
第一课时 二次根式的加减
考
点
清
单
解
读
对点典例剖析
典例2
（1）
计算：
+
；
（2） - + ；
（3） +
被开方数相同的最简二次根式时，常采用作差法比较大小
）
第一课时 二次根式的加减
返回目录
方
例 比较大小：7- ______3- （选填“＞”“=”
法
技 或“＜”）.
巧
点
［解析］∵（7- ）-（3- ）=7-2 -3+ =4拨
＞0，∴7- ＞3- .
［答案］ >
第二课时 二次根式的混合运算
的方法
几个二次根式化成最简二次根式以后，若被开
方数相同，则这几个二次根式是同类二次根式
第一课时 二次根式的加减
返回目录
考
点
清 合并同 将同类二次根式的系数相加作为结果的系数，
单
解 类二次 被开方数和根指数不变
读 根式 如m +n =（m+n） ，
的法则 m -n =（m-n）
第一课时 二次根式的加减
易
错
易
混
分
析
返回目录
［答案］ D
［易错］ B 或 C
［错因］ 忽略 和 不能合并，直接把根号下
的数按有理数相加减.
2017年秋九年级数学上册 21.3 二次根式的加减法(第3课时)教案 (新版)华东师大版
21.3 二次根式的加减法第三课时教学内容含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用．教学目标含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用． 复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算． 重难点关键重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．教学方法 三疑三探教学过程一、设疑自探——解疑合探自探1.（学生活动）：请同学们完成下列各题:1．计算（1）（2x+y ）·zx （2）（2x 2y+3xy 2）÷xy2．计算（1）（2x+3y ）（2x-3y ） （2）（2x+1）2+（2x-1）2 老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）•单项式×单项式；（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．如果把上面的x 、y 、z 改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？•仍成立． 整式运算中的x 、y 、z 是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，•当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．自探2.计算:（1） （2）（）÷分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律．自探3. 计算:（1））（ （2）））分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！四、应用拓展 已知x b a -=2-x a b-，其中a 、b 是实数，且a+b ≠0，分析））=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x 的值，代入化简得结果即可．解：原式22=2(1)x x+-+2(1)x x+-=（x+1）=4x+2∵x ba-=2-x ab-∴b（x-b）=2ab-a（x-a）∴bx-b2=2ab-ax+a2∴（a+b）x=a2+2ab+b2∴（a+b）x=（a+b）2∵a+b≠0 ∴x=a+b ∴原式=4x+2=4（a+b）+2五、归纳小结（师生共同归纳）本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算．六、作业设计一、选择题1．）．A．203．23C．23．2032）．A．2 B．3 C．4 D．1二、填空题1．（-12）2的计算结果（用最简根式表示）是________．2．（（-（-1）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_______．3．若，则x2+2x+1=________．4．已知，，则a2b-ab2=_________．三、综合提高题 12．当的值．（结果用最简二次根式表示）教后反思：2。
2014年秋季新版华东师大版九年级数学上学期21.3、二次根式的加减课件9
例题1： (1)( 3 2 1)( 3 2 1) (2)(2 5 3) (2 5 3)
2 2
(3)(3 10)
2005
(3 10)
2005
练习： (1)(1- 5 7)(1 5 7) (2)( 2 3) ( 2 3)
2 2
(3)(2 5)
1 1 1 1 计算： ...... 2002 1 . 3 2 5 4 2002 2001 2 1
思考题 : 计算 3 2
2 2 2
2002
32
2003
.
2.已知a b 3 2 , b c 3 2 , 求a b c ab bc ac的值. a b 3.已知a b 4a 2b 5 0, 求 的值. 2 b a b
已知a-b=1+ 2，b-c=1- 2, 求 代数式a +b +c -ab-bc-ac的值。
2 2 2
你能用几种方法化简
x y (4)、 x y 2 xy x y
x y 2 xy x y
（x≠ y）
计算：
1 x 1 2 2 x 1 x 1 2 x x 1
2 2
2
2、当x= 11+ 7,y= 11- 7, 求x -xy+y 的值.
3、已知a 3 1, 求a 2a a的值。
3 2
2
2
5 1 例题：设 的整数部分为a, 5 1 1 2 2 小数部分为b,求a ab+b 的值. 2
2- 3 练习： 3的小数部分是a， 2 2 的倒数是b，则-a +b的值是( )
【华东师大版九年级数学上册教案】21.3二次根式的加减
21.3二次根式的加减教课目的1．会将二次根式化为最简二次根式，掌握二次根式加减法的运算；2．娴熟进行二次根式的加减运算，并运用其解决问题；3．正确地运用二次根式加减乘除法例及运算律进行运算，并把结果化简．教课重难点【教课要点】将二次根式化为最简二次根式，掌握二次根式加减法的运算.【教课难点】运用二次根式加减乘除法例及运算律进行运算，并把结果化简.课前准备无教课过程一、情境导入小明家的客堂是长 7.5m，宽 5m的长方形，他要在客堂中截出两个面积分别为22的8m和 18m正方形铺不一样颜色的地砖，问可否截出？二、合作研究研究点一：同类二次根式例 1：已知最简二次根式2a＋b与a＋b3a－ 4能够归并同类项，求a＋ b 的值．分析：利用最简二次根式的观点求出a，b 的值，再代入a＋ b 求解即可．解：∵最简二次根式2a＋b与a＋b3a－ 4能够归并同类项，∴a＋b＝ 2， 2a＋b＝ 3a－ 4，解得 a＝3， b＝－1，∴ a＋ b＝3＋(－1)＝2.方法总结：依据同类二次根式的观点求待定字母的值时，应当依据同类二次根式的观点成立方程或方程组求解．研究点二：二次根式的运算【种类一】二次根式的加减运算例 2：计算：12－1－( 2) 2＋|2 － 3|.3分析：二次根式的加减运算应先化简，再归并同类二次根式．3123解：原式＝ 23－3－2＋2－ 3＝2－3－13＝3.方法总结：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数同样的二次根式进行归并，归并时系数相加减，根式不变．【种类二】二次根式的四则运算例 3：计算：(1)1 2 1322 × 9÷；345 5(2)1÷2 3＋1 23 12－ 23＋ 483 ；(3)2－( 3＋ 2) ÷ 3.分析： 先把各二次根式化为最简二次根式，再把括号内归并后进行二次根式的乘法运算，然后进行加法运算．18 15 122解： (1) 原式＝ 2× 9×3× 45× 3＝2× 9× 9＝2；2 31 28 3 11 14 1(2) 原式＝ 6 3－ 3 ＋ 4 3 ÷ 2 3＋ 3＝ 3 × 2 3 ＋3＝ 3 ＋3＝5；(3) 原式＝2－( 3＋2) ÷1＝2－ 3＋ 22 33 ＝ 2－1－.33方法总结： 二次根式的混淆运算： 先把各二次根式化为最简二次根式， 再进行二次根式的乘除运算，而后归并同类二次根式．【种类三】二次根式的化简求值例 4：先化简，再求值： a 2－ b 2 2ab － b 2，此中 a ＝ 2＋ 3， b ＝ 2－ 3.a ÷ a － a分析：先将原式化为最简形式，再将 a 与 b 的值代入计算即可求出．（＋）（ a － ） a 2－ 2 ＋ 2 （ a ＋）（－ ） aa ＋b解：原式＝ a ba b÷ab b＝baa b2a·（ a － b ） ＝a －b . 当a ＝2＋ 3， b ＝ 2－ 3时，原式＝2＋ 3＋2－ 342 32＋＝＝.3－2＋ 3 2 33方法总结： 化简求值时一般是先化简为最简分式或整式， 再代入求值． 化简时不可以跨度太大，缺乏必需的步骤易造成错解．【种类四】 二次根式运算在实质生活中的应用例 5：母亲节快到了，为了表示对妈妈的感恩，小号同学专门做了两张大小不一样的正方形的壁画送给妈妈， 此中一张面积为 800cm 2，另一张面积为 450cm 2，他想假如再用金色细彩带把 壁画的边镶上会更美丽，他手上现有1.2m 长的金色细彩带，请你帮他算一算，他的金色细 彩带够用吗？假如不够，还需买多长的金色细彩带 ( 2 ≈1.414 ，结果保存整数 )?分析：先求出每张正方形壁画的边长，再依据正方形的周长公式求所需金色细彩带的长．解：镶壁画所用的金色细彩带的长为：4× ( 800＋ 450) ＝ 4× (20 2＋ 15 2) ＝ 140 2≈197.96(cm) ．由于 1.2m ＝120cm ＜ 197.96cm ，因此小号的金色细彩带不够用 .197.96 －120＝77.96 ≈ 78(cm) ，即还需买 78cm 的金色细彩带．方法总结： 利用二次根式来解决生活中的问题，的要求． 三、板书设计1．同类二次根式应仔细剖析题意， 注意计算的正确性与结果2．二次根式的加减一般地，二次根式加减时，能够先将二次根式化简成最简二次根式，再将被开方数同样的二次根式进行归并．3．二次根式的四则运算先算乘方 ( 开方 ) ，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的．四、教课反省在讲课过程中，要以学生为主体，进行研究性学习，让学生自己发现规律，得出结论．在例题的选择上可由简到难，切合学生的认知规律，便于学生掌握知识．在获得定义、法例的过程中，让学生经历发现、思虑、研究的过程，领会学习知识的成功与快乐．。
华师版九年级上册数学教学课件-二次根式的加减
知识点 1 同类二次根式
知1－导
概括
与整式中同类项相类似，我们把像 3 a、 2 a与4 a 这样的几个二次根式，称为同类二次根式. 3 3与 2 3也 是同类二次根式．
（来自教材）
知1－讲
要点精析： (1) 同类二次根式必须符合两个条件：
①最简二次根式；②被开方数相同． (2) 判断是否为同类二次根式时，先将二次根式都化为
最简二次根式，然后比较被开方数，它与根号前面 的系数无关．
（来自《点拨》）
知1－讲
例1 下面的二次根式中与 2 3 是同类二次根式的
是( D )
A. 18
2 B.
3
C . 9 D. 27
导引：将四个选项中的二次根式先分别化成最简二次
根式，得 18=3 2， 2 = 6 = 6 ，9=3， 27 3 93
(1) 合并同类二次根式时，根号外的因数与因数合
并，剩下的部分保持不变，一定不要丢掉；
(2) 不能合并的二次根式不能丢掉，因为它们也是
结果的一部分；
(3) 二次根式根号外的因数是带分数的要化为假
分数．
（来自《点拨》）
例2 计算：
(1) 27 12 45;
解： (1) 27 12 45
知2－导
分析：先将各二次根式化简
8= 4 2= 4 2=2 2. 18 =_________________. 12 =_________________. 解： 8+ 18+ 12 =2 2+________+________ =__________________
（来自教材）
知2－讲
1. 法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化简， 再将同类二次根式合并．
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21．3 二次根式的加减
1．掌握同类二次根式的概念,会判断同类二次根式,会合并同类二次根式．2．掌握二次根式加减乘除混合运算的方法．
重点
二次根式加减法的运算．
难点
探讨二次根式加减法的运算方法,快速准确进行二次根式加减法的运算．
一、情境引入
1．合并同类项：
(1)2x＋3x; (2)2x2－3x2＋5x2.
解：(1)5x;(2)4x2.
这几道题是你运用什么知识做的？加减法则．
2．化简：
(1)5
3
; (2)48.
解：(1)15
3
;(2)4 3.
3．如何进行二次根式的加减计算？先化简,再合并．
4．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后,它们的被开方数相同,这些二次根式就称为同类二次根式,就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式．如22与32;28,38与58.
二、探究新知
例1 计算：
(1)22＋32;
(2)28－38＋58;
(3)7＋27＋39×7;
(4)33－23＋ 3.
教师多媒体展示例1.(1)如果我们把2当成x,不就转化成上面的问题了吗？
因此,二次根式的被开方数相同的可以合并,如22与8表面上看是不同的,但它们可以合并．
归纳：二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式合并．
例2 计算：
(1)212－61
3
＋348;
(2)(12＋20)＋(3－5)．
教师多媒体展示例2.学生自主完成,小组内展示、点评,教师巡视．三、练习巩固
1．下列计算是否正确？为什么？
(1)8－3＝8－3; (2)4＋9＝4＋9;
(3)32－2＝2 2.
2．以下二次根式：①12;②22;③23
;④27中,与3是同类二次根式的是( ) A ．①和② B ．②和③
C ．①和④
D ．③和④
3．计算：
(1)80－20＋5;
(2)18＋(98－27);
(3)12(2＋3)－34
(2＋27); (4)348－913
＋312. 4．已知x ＝3＋1,y ＝3－1,求下列各式的值．
(1)x 2＋2xy ＋y 2; (2)x 2－y 2.
教师多媒体展示,点名回答第1,2题,第3题学生板演,教师点评．
四、小结与作业
小结
请学生分组讨论,小组代表汇报,教师展示本节课学习的知识要点．
布置作业
从教材相应练习和“习题21.3”中选取．
本节课通过复习整式的加减法、合并同类项,引入二次根式的概念及二次根式的合并方法,对法则的教学与整式的加减比较学习,在理解、掌握和运用二次根式的加减法运算法则的学习过程中,渗透了分析、概括、类比等数学思想方法,提高学生的思维品质和兴趣．。