湖北省七市州高三3月数学答案
2019.3七市(州)高三联考理科数学参考答案
3 16 a 0 ， g (2) a 1 0 ， 20 3
理科数学参考答案 第 5页(共 7页)
g (
2 1 8 ) 2 (8 a 3 7 a 2 8 a ) ， a a 3
记 ( a ) 8a 3 7 a 2 8a 8 ，则 ( a ) 24 a 2 14 a 8 0 ， ( a ) ( 3 ) 0 ， 3 20 此时 y h ( x ) 有四个零点. 综上所述， 满足条件的实数 a 的取值集合为 [
2 ) .令 g ( x ) 0 ， a
2 2 即 a 1 时，因为 g ( x ) 极大值 g ( 2 ) 16 a 1 0 ，此时 y h( x) 至多 a 3
…………………………………………6 分
2 . a
有两个零点，不合题意； ②当
2 2 即 a 1 时，因为 g ( x) 0 ，此时 y h( x) 至多有两个零点，不合题意； a
则 cos
| n1 n2 |
|2
1
二面角 M AC E 的余弦值为
10 1 ， PM PB . 10 3
故 PM 19(12 分）
10 1 二面角 M AC E 的余弦值为 . ………………………12 分 PB 时， 3 10
解：(1) p ( X ) p (82.8 X 87.2) 0.8 0.6826
3 3 , ), AC (2,0,0) 2 2
3 3 x1 y1 z1 0 则 ，取 y1 1 ，得 n1 (0,1,1) ． 2 2 x1 0
2024届湖北省七市州高三年级3月联合统一调研测试数学参考答案
数学参考答案及评分标准2024.31-8：BCBA ABDC 9.ACD10.ABD11.BCD12.4113.3，62（填对一空得3分）14.42±8.解析：要求出被完全覆盖的最大的圆的半径，由圆的对称性知只需考虑三个圆的圆心构成等边三角形的情况，设三个半径为1的圆的圆心分别为123,,,O O O 设被覆盖的圆的圆心为O ，如图所示，设圆1O 与2O 交于,A B ，12O O 交AB 于H ，AB 交圆3O 于C ，方法1：设123OO OO OO x ===，132xO H ∴=，2x OH =，∴22331(12224x x OA OH HA x x =+=+-=+-），又331OC OO O C x OA =+=+>，所以圆O 的最大半径为OA ，下求OA 的最大值，设23()124x f x x =+-，22433()243x x f x x--'=-，所以()f x 在3(0,)3为增函数，在323(,)33为减函数，max 323()()33f x f ==，即被完全覆盖的最大的圆的半径为233.此时1223311O O O O O O ===，即圆1O 、圆2O 、圆3O 中的任一圆均经过另外两圆的圆心.方法2：同上，设1AO H θ∠=，11O A = ，1cos ,sin O H AH θθ∴==，13cos 2cos ,33OH OO OO θθ∴===，332cos 13OC OO O C θ∴=+=+，cos sin 3OA OH HA OCθθ=+=+<2323sin)363OA OH HAπθθ=+==+≤，即当3πθ=时，OA的最大值为3，即被完全覆盖的最大的圆的半径为3.此时1223311O O O O O O===，即圆1O、圆2O、圆3O中的任一圆均经过另外两圆的圆心.14.解析：设()f x的零点为t，则1ln()03at b+=，即103at b+-=（*），设(,)P a b为直线1:03l tx y+-=上任意一点，坐标原点O到直线l的距离为h=(,)P a bh≥，下求h1()3m m=≥，则()m eg mm=，2(1)()m e mg mm-'=()g m∴在1(,1)3为减函数，在(1,)+∞为增函数，即min()(1)g m g e==，此时2213t=⇒=±，所以l的斜率为k=±124ba k∴=-=±（此时22,33ea b=±=）.15.（1）证明：因为PBC∆为正三角形，O是BC中点，所以BCPO⊥，……1分又因为平面⊥PBC平面ABCD，所以⊥PO平面ABCD，BDPO⊥…………3分4421)21()(22=-=-=-⋅+=⋅BABCBABCBABCAOBD，AOBD⊥，BDAO⊥∴……5分又AOPO,在平面POA内且相交，故⊥BD平面P AO………6分（2）解：OE,分别为BCBD,的中点，DCEO//∴，又平面PDC过DC且不过EO，//EO∴平面PDC，……7分又平面OEF交平面PDC于QF，故QFEO//,进而DCQF//，因为F是PC中点，所以Q是PD的中点.…………8分方法1：以O为原点，OPOCOE,,所在直线分别为z yx,,轴建立空间直角坐标系，则)26,22,1(),0,2,2(),02,0(),6,0,0(Q D C P ，)6,2,0(),0,0,2(-==PC CD …………9分设平面PCD 法向量为),,(z y x n =，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00n PC n CD ，⎩⎨⎧=-=06202y x 取)1,3,0(=n ，…………11分26,22,1(=OQ 22326|,cos |sin ==><=OQ n θ……12分所以4πθ=……13分方法2：过点O 作PC 的垂线，垂足为H ，连接QH ……9分因为BC DC ⊥且⊥PO 平面ABCD ，DC PO ⊥，故有⊥DC 平面BPC ，平面PCB 与平面PCD 垂直且交线为PC ，故⊥OH 平面DPC ，故直线OQ 与平面PCD 所成角OQH ∠=θ……10分在直角三角形OHC 中，2,60==∠OC OCH ,所以26=OH ……11分因为⊥DC 平面PBC ，故PC DC ⊥，又DC QF //，所以PC QF ⊥.在直角三角形QFH 中，22,1==FH QF ，所以26=QH ……12分在直角三角形OQH 中26==QH OH ，所以 45=θ…………13分16.解：（1）列联表………2分零假设为0H :性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关；根据列联表的数据计算性别锻炼合计不经常经常男生72330女生141630合计2139601.0222706.2590.33914030303921)307(6030303921)1423167(60x =>≈=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯-⨯=χ……4分根据小概率值=0.1的独立性检验，推断0H 不成立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过1.0…………5分（2）因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故X 近似服从二项分布，随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率121605==p ……7分121,20(~B X ………………8分故3512120)(=⨯=X E …………9分3655121112120)(=⨯⨯=X D …………10分（3）10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生，Y 服从超几何分布：40712021)1(,1201)0(31023173103307=======C C C Y P C C C Y P 24712035)3(,4021120321)2(31003373101327=====⨯===C C C Y P C C C Y P ……14分（每个概率1分）故所求分布列为Y 0123P120140740212471.21073)(=⨯=Y E ………………15分17.解析：（1）当2≥n 时，14,14111+=+=--+n n n n n n a a S a a S 两式相减得)(411-+-=n n n n a a a a ……1分因为0≠n a ，故411=--+n n a a …………2分所以 ,,,1231-n a a a ，及 ,,,,242n a a a 均为公差为4的等差数列………3分当1=n 时，由11=a 及41211+=a a S ，得32=a ……4分1)12(2)1(4112--=-+=∴-n n a n …………5分1)2(2)1(432-=-+=n n a n …………6分所以12-=n a n ………………7分（2）由已知，2n S n =……9分即n n 22≥λ恒成立，设n n n b 22=，则12212121222)1(+++++-=-+=-n n n n n n n n n b b …………11分当2121+<<-n ，即2,1=n 时110++<>-n n n n b b b b ，…………13分当21+>n ，即*∈≥N n n ,3时110++><-n n n n b b b b ，…………14分所以 >>><<54321b b b b b ，故89)(3max ==b b n ，所以),89[+∞∈λ…………15分18.解：设直线AB 的方程为12x my =+，1122(,),(,),A x y B x y ……1分联立2122x my y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：2210y my --=……2分1212021y y m y y >⎧⎪∴+=⎨⎪⋅=-⎩ …………3分（1）不妨设A 在第一象限，B在第四象限，对于y =y '=……4分∴l的斜率为21y -=……5分∴l 的方程为2221()y y x x y -=-，即为2212y y x y =+…………6分令0x =得2(0,2y E ……7分直线OA 的方程为：121122y y x x y x x y ===-，令12x =-得21(,)2D y -……8分又1(,0)2F ，所以DE EF =……9分即||||DE EF =得证………10分（2）方法1：过点B 的l 得垂线的方程为：222()y y y x x -=--，即2222(12y y y x y =-++……11分则22222(1)22y y y x y y y x ⎧=-++⎪⎨⎪=-⎩，解得G 的纵坐标为222(2)G y y y =+………13分要证明2||||||AD AO AG =⋅，因为,,,A O D G 三点共线，只需证明：22111||||||G y y y y y -=⋅-（*）……14分22222212222(1)1||||y y y y y y +-=+= ……15分222211221222(1)1|||||||(2)|G y y y y y y y y y +⋅-=-+-=……16分所以（*）成立，2||||||AD AO AG =⋅得证…………17分方法2：由21(,)2D y -，22(,)B x y 知DB 与x 轴平行……12分||||||||AF AO AB AD ∴=①…………13分又DF 的斜率为2y -，BG 的斜率也为2y -，所以DF 与BG 平行……15分||||||||AF AD AB AG ∴=②……16分由①②得||||||||AO AD AD AG ∴=，即2||||||AD AO AG =⋅得证………17分19.解：（1）在曲线1y x =取一点2(,2a b M a b++……1分过点2(,2a b M a b++作()f x 的切线分别交,AP BQ 于12,M M ……2分因为21ABQPABM M S S 曲边梯形梯形>，…………3分12112ln ln (||||)||2()22b a AM BM AB b a a b∴->⋅+⋅=⋅⋅⋅-+……4分即ln ln 2a b a ba b -+<-…………5分（2）方法1：由题意得：()2ln 1f x ax x b '=+++不妨设120x x <<，曲线()y f x =在11(,())x f x 处的切线方程为：1111:()()()l y f x f x x x '-=-，即1111()()()y f x x f x x f x ''=+-……6分同理曲线()y f x =在22(,())x f x 处的切线方程为：22222:()()()l y f x x f x x f x ''=+-……7分假设1l 与2l 重合，则12111222()()()()()()f x f x f x x f x f x x f x ''=⎧⎨''-=-⎩，代入化简可得：212121ln ln 2()0()1(0)x x a x x a x x a -+-=⎧⎨+=-<⎩…………8分两式消去a 可得：212121ln ln 20x x x x x x ---=+，得到212121ln ln 2x x x xx x -+=-……9分由（1）的结论知212121ln ln 2x x x x x x -+<-，与上式矛盾……10分即:对任意实数,a b 及任意不相等的正数12,x x ，1l 与2l 均不重合.…………11分方法2：同方法1得到2212111ln201x x x x x x --=+……9分设21(1)x t t x =>，即1()ln 201t g t t t -=-=+，22214(1)()0(1)(1)t g t t t t t -'=-=>++……10分()g t 在(1,)+∞为增函数，∴()(1)0g t g >=，矛盾.即:对任意实数,a b 及任意不相等的正数12,x x ，1l 与2l 均不重合…………11分(3)即：当1b =-时，不等式()2sin(1)f x x ≥-恒成立，∴2()ln 2sin(1)0h x ax x x x x =-+--≥在(0,)+∞恒成立，∴(1)01h a ≥⇒≥……12分下证：当1a ≥时，()0h x ≥恒成立.因为1a ≥，所以2()ln 2sin(1)h x x x x x x ≥-+--……13分设2()ln 2sin(1)H x x x x x x =-+--，()2ln 2cos(1)H x x x x '=+--①当[1,)x ∈+∞时，由22ln 0,2cos(1)2x x x ≥≥--≥-，,知()0H x '≥恒成立，即()H x 在[1,)+∞为增函数，∴()(1)0H x H ≥=成立；……14分②当(0,1)x ∈时，设()2ln 2cos(1)G x x x x =+--，1()22sin(1)G x x x'=++-……15分由12sin(1)2,0x x -≥->知()0G x '≥恒成立，即()()G x H x '=在(0,1)为增函数……16分∴()(1)0H x H ''<=,即()H x 在(0,1)为减函数，∴()(1)0H x H >=成立.综上所述：实数a 的取值范围是[1,)+∞.……17分。
2019.3七市(州)高三联考理科数学参考答案
路漫漫其修远兮2019 年 3 月湖北省七市（州）教科研协作体高三联合考试理科数学参考答案及评分说明命审题单位：十堰市教科院宜昌市教科院 恩施州教科院荆门市教研室一、选择题(共 12 小题，每小题 5 分)1. A2. D3. B4. A5. C6. C7. B8. A9. B 10. D11. D 12. D二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分）3 3 13. 114. 115. [ , ]16.4 24 27三、解答题（共计 70 分）必做题（60 分）17(12 分）2 3解:（1）由已知得b cos A a cos Bb sin C ， 32 3由正弦定理得 B AB A sin B sinC sin coscos sin， ……………………3 分32 3 即sin(AB)sin B sin C ， ………………………………4 分3又在ABC 中，sin(AB) sin C0 ，∴3sin B，且 B 是锐角，得2B. ………………………………………6 分3acb （2） 由正弦定理得4sin A sin C sin B ，则有 a4 sin A,c4 s in C………………………………………7 分2ac 4sin A 4sinC 4sin A 4sin(A) 6sin A2 3cosA 43 sin(A3)6………………………………………9分理科数学参考答案第1页(共7页)吾将上下而求索路漫漫其修远兮由 022A ,0 A 得 A , A, ……………11 分2 3 2 62 3633∴A ) 1, 故 6 a c 4 3 .………………………………12 分sin(2618(12 分）解：(1)连接 BD 交 AC 于 F 点，连接 EF ，在PBD 中， EF // PB ，……………………………………2 分又 EF面AEC, PB 面AECPB //面AEC .………………………………………4 分（2）由题意知，AC, AB, AP 两两互相垂直，如图以 A 为坐标原点，建立空间直角坐标 系， 射线 AC, AB, AP 分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系O - xyz .3 3则C(2,0,0), D(2,3,0), P(0,0,3), B(0,3,0) ， E(1, , )2 2设 M (x 0 y , z ), PMPB （01)，, 0则（ 0 , y , z 3)(0,3,3)，得 M (0,3,33) …………6 分x0 0z设平面 AEC 的法向量为 n 1 (x , y , z ) ，111P3 3由 n 1AE 0,nAC 0 及 , ), (2,0,0)AE(1, AC12 2DECMABy设平面MAC的一个法向量为2(x,y,z)n222x由n2AM 0,n AC0及AM (0,3,33),AC (2,0,0)23y(33)z22则x 021，取21z，得n (0,1,1) (9)分2理科数学参考答案第2页(共7页)吾将上下而求索路漫漫其修远兮设二面角 M AC E为cos则|1 |2 || n n |12n || n | 112 (1 )12210 10. ………………………………10 分 12 化简得92-92 0 ，解得或，3 3二面角 M AC E 的余弦值为10 10 1 ，PMPB .31故 PM PB 时，二面角 MAC E 的余弦值为310 10. ………………………12 分19(12 分） 解：(1)p(X) p(82.8 X 87.2) 0.8 0.6826p( 2 X2 ) p(80.6 X 89.4) 0.94 0.9544p(3X3 ) p(78.4 X91.6) 0.98 0.9974因为设备的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙；………………………4 分（2）由题意可知，样本中次品个数为 6，突变品个数为 2，“突变品”个数的可能取值为 0，1，2，………………………………………………………6 分P( 0） C C 2 4 2 6 25 ， P( 1） C C 1 142C2 68 15 ， P( 2） C C 2 226 1 15 …………9 分 所以分布列为：012281P515152812EY012.…………………………………………………12分515153理科数学参考答案第3页(共7页)吾将上下而求索路漫漫其修远兮20(12 分）解：（1）由题意得，e2c a b1 4 222，即 a 2b2 ，……………1 分aa43 226 直线 x y 60 与圆 x 2y2b2 相切得b3 ， a 2 …………3 分2故椭圆的方程是xy 2 21． (4)分4 3（2）由题意得直线l 的斜率 k 存在且不为零，设l ： yk(x 4) ， k0 ， 1, 1A x y ，B x 2, y 2， AB 中点, )Q （x 0 y联立y k(x 4)2 y 2 x 14 3，消去 y 并整理得 (3 4k 2 )x 32k x 64k 2120， 2 232k 2 x x1224k3， 由 (32k 2 )2 4(3 4k 2 )(64k 212) 0，解得11 k . 故2 2 1 1 k 且 k 0 . ……………………………………6 分 2 2x x 16k 2 x1 222 4k3 ， y 12k 16k12k2k(x 4) ，得Q （ , ） ，0 3 4 2 22k 3 4k34k1 12k1 16k由 l：(x x )2y y，即 y(x) ，2k2k 34kk34化简得：1 4k y xk 4k 32，………………………………………8 分令 x 0，得 m4k 4k 3 2， 1 1k 且 k 02 2∴ 4k 4 m (10)分23 4k 34kk1 313当 0 k 时， 4k8 ；当k0时， 4k 82 k2k理科数学参考答案 第 4页(共 7页)吾将上下而求索路漫漫其修远兮∴11m 且m221 1综上，直线l在y轴上的截距m的取值范围为m且m0.………12分2221(12分）解：（1）令F(x)f(x)g(x)当a 0时，F(x)ln x 2x28x 7，F4x28x 1，令(x)x3F得1.…………………………2分(x)0,x23当x),()0,F(x)f(x)g(x)单调递增；(0,1F x233当x (1),()0,F(x)f(x)g(x)单调递减；,1F x223当x(,),()0,F(x)f(x)g(x)单调递增.……………4分1F x22（2）当a 0时，g).令g(x)0，(x)2ax24(1a)x82a(x2)(xa得2x12,x.2a2①当2a16即a 1时，因为10g(x)g(2)a极大值3，此时y h(x)至多有两个零点，不合题意；…………………………………………6分2 ②当 2a 即 a 1时，因为 g (x) 0 ，此 时 y h(x)至多有两个零点，不合题意； …………………………………………7 分2 ③当 2a即 1 a 0时,（i ）当 g(1)0 时， y h(x)至多有两个零点，不合题意；21 83（ii ）当 g(1)0时，a，g (32) 0 ，yh(x) 恰2(8aa a)7820aa 3好有 3 个零点；…………………………………………9 分 316（iii ）当 g(1)0时，得a 0 ， g(2)a 10 ，203理科数学参考答案 第 5页(共 7页)吾将上下而求索路漫漫其修远兮2 18g (32，) 2 ( a a a8 7 8 )a a 383 记 (a a 3 a 2 a ，则(a) 24 a 2 14 a8 0 ， a )0 ， ) 8 7 8 ()(320此时 yh(x) 有四个零点.综上所述，满足条件的实数 a 的取值集合为 3[ ,0) . (12)分 20选做题（10 分）22(10 分） 解：（1）由2sin 4 cos 得22sin 4 cos ，∴ x 2y 22y 4x， 即 (x 2) (y 1)5 ，…………………………2 分22故曲线C 是以 (2,1) 为圆心，半径为 r 5 的圆 由于原点 O 在圆 C 上，故| OP |2r2 5…………………………4 分max易知，线段OP 的中点为圆心点C(2,1) ， ∴点 P 的的直角坐标为 P(4, 2) . ……………………………………5 分（2）由2sin 4 cos 得 22sin 4 cos ，∴ x 2 y 2 2y4x将 l3 x t2 1:y 1 t 2代入 x 2 y 22y 4x 并整理得：t 2 2 3t1 0设 A,B 两点对应的参数分别为 t 1,t 2 ，则tt t t.………………7分1 2 2 3, 1 2 1由参数t的几何意义得：1 1 | MA| | MB| | t| | t| | t t| (t t) 4t t21 2 1 2 4 ；1 2 1 2| MA| | MB| | MA|| MB| | t|| t| | t t| | t t|1 2 1 2 1 21 1故 4 .……………………………………………………10分| MA| | MB|理科数学参考答案第6页(共7页)吾将上下而求索路漫漫其修远兮23(10 分）解：（1）解：由已知得f ( x )x 2, x 11 3 x , x 12 1x 2, x 2， 3f (x) 的值域为[ ， ) . (5)分 2（2）a,b0,，4 a1b(a 4 b)( a 1 ) b5 a b4b a5 2a b4b a9………………………7 分当且仅当a 4b时取“=”号，即 a 2b时等号成立.b a所以原不等式恒成立即只需9f (x) 9,即f (x) 1，解得13 x .……………10 分 3理科数学参考答案第7页(共7页)吾将上下而求索。
2019.3七市(州)高三联考理科数学参考答案
由 0 A ,0 2
A
得
A ,
A
2 ,
……………11 分
23
26
23
63
∴
3 sin( A ) 1, 故 6 a c 4
2
6
3.
………………………………12 分
18(12 分）
解：(1)连接 BD 交 AC 于 F 点，连接 EF ， 在 PBD 中， EF // PB ，
……………………………………2 分
又 EF 面AEC, PB 面AEC
PB // 面AEC .
………………………………………4 分
（2）由题意知，AC, AB, AP 两两互相垂直，如图以 A 为坐标原点，建立空间直角坐标 系，
射线 AC, AB, AP 分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系 O - xyz . 则 C(2,0,0), D(2,3,0), P(0,0,3), B(0,3,0) ， E(1, 3 , 3) 22 设 M (x0, y0 , z0 ), PM PB（0 1) ， 则（x0 , y0 , z0 3) (0,3,3) ，得 M (0,3,3 3) …………6 分
设平面 AEC 的法向量为 n1 (x1, y1, z1) ，
由
n1
AE
0, n1
AC
0
及
AE
(1,
3 2
,
3 ), 2
AC
(2,0,0)
E
则
x1
3 2
y1
3 2
z1
0
，取
y1
1
，得
n1
(0,1,1)
．
x1 0
D
设平面 MAC 的一个法向量为 n2 (x2 , y2 , z2 )
湖北省七市(州)2023届高三下学期3月联合统一调研测试数学试题
一、单选题二、多选题1. 已知某单位有职工120人，男职工有90人，现采用分层抽样(按性别分层)抽取一个样本，若已知样本中有18名男职工，则样本容量为（ ）A ．20B ．24C ．30D ．402. 已知函数，函数有四个不同的零点，从小到大依次为，，，，则的取值范围为（）A．B．C．D．3.已知集合，则（ ）A．B．C．D．4.设，若平面上点满足对任意的，恒有，则一定正确的是A．B．C．D．5. 已知全集，集合，，则（ ）A．B．C．D．6. （ ）A．B．C．D．7. 已知椭圆的左､右焦点分别为为上一点，满足，以的短轴为直径作圆，截直线的弦长为，则的离心率为（ ）A．B．C．D．8. 若向量，，，则（ ）A．B．C．D．9. 如图，已知正方形的对角线，相交于点，将沿对角线翻折，使顶点到点的位置，在翻折的过程中，下列结论正确的是（）A ．⊥平面B．与不可能垂直C ．直线与平面所成角的最大值是45°D．四面体的体积越大，其外接球的体积也越大10. 已知函数， 且在区间上单调递减，则下列结论正确的有（ ）湖北省七市(州)2023届高三下学期3月联合统一调研测试数学试题湖北省七市(州)2023届高三下学期3月联合统一调研测试数学试题三、填空题四、解答题A ．的最小正周期是B．若，则C ．若恒成立，则满足条件的有且仅有1个D ．若，则的取值范围是11. 斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：，记，则下列结论正确的是（ ）A．B．C．D．12. 如果a <b <0，c <d <0，那么下面一定成立的是（ ）A．B．C．D．13. 如图，正方体中，点，是上的两个三等分点，点，是上的两个三等分点，点，，分别为，和的中点，点是上的一个动点，下面结论中正确的是___________.①与异面且垂直；②与相交且垂直；③平面；④，，，四点共面.14. 第40届潍坊国际风筝会期间，某学校派人参加连续天的志愿服务活动，其中甲连续参加天，其他人各参加天，则不同的安排方法有______种．（结果用数值表示）15. 在三角形ABC 中，已知角A =，角A 的平分线AD 与边BC 相交于点D ，AD =2．则AB +AC 的最小值为________．16. 已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，求证：在上恒成立；（3）求证：当时，．17. 已知函数f (x )＝x 2－(1＋2a )x ＋a ln x (a 为常数)．(1)当a ＝－1时，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处切线的方程；(2)当a ＞0时，讨论函数y ＝f (x )在区间(0,1)上的单调性，并写出相应的单调区间．18.已知四棱锥如图所示，，平面平面ABCD ，点是线段SC 的中点，直线平面SAD ，，．(1)求证：；(2)若，，求四棱锥的体积．19. 已知函数在处的切线与直线平行．(1)求的单调区间；(2)当时，恒有成立，求k的取值范围．20. 已知数列满足，.(1)求数列的通项公式；(2)若满足，.设为数列的前项和，求.21. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠DAB＝60°．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（1）求证：AB∥EF；（2）若PA＝PD＝AD，且平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值．。
湖北省七市州2024届高三下学期3月联合统一调研测试数学试题含答案
2024年湖北省七市州高三年级3月联合统一调研测试数学试卷命题单位：荆州市教育科学研究院2024.3本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟.★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}2230,log 1A xx x B x x =-<=>∣∣，则()R A B ⋂=ð（）A.()0,2 B.(]0,2 C.(]1,2 D.()2,32.已知复平面内坐标原点为O ，复数z 对应点,Z z 满足()43i 34i z -=+，则OZ =（）A.45B.34C.1D.23.已知正方形ABCD 的边长为2，若BP PC = ，则AP BD ⋅=（）A.2B.-2C.4D.-44.已知椭圆22:1x C y m +=，则“2m =”是“椭圆C 的离心率为22”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.过点()1,1P -的直线l 与圆22:410C x y x ++-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（）A. D.26.已知公差为负数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若347,,a a a 是等比数列，则当n S 取最大值时，n =（）A.2或3B.2C.3D.47.若ππcos ,,tan 223sin αααα⎛⎫∈-= ⎪-⎝⎭，则πsin 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.718-B.718C.18+-D.18-8.能被3个半径为1的圆形纸片完全覆盖的最大的圆的半径是（）A.263B.62C.233D.3132+二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知,A B 为随机事件，()()0.5,0.4P A P B ==，则下列结论正确的有（）A.若,A B 为互斥事件，则()0.9P A B +=B.若,A B 为互斥事件，则()0.1P A B +=C.若,A B 相互独立，则()0.7P A B +=D.若()0.3P BA =∣，则()0.5P B A =∣10.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1DD 的中点，F 为正方形11C CDD 内一个动点（包括边界），且1B F ∥平面1A BE ，则下列说法正确的有（）A.动点FB.三棱锥11B D EF -体积的最小值为13C.1B F 与1A B 不可能垂直D.当三棱锥11B D DF -的体积最大时，其外接球的表面积为25π211.我们知道，函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数.已知函数()422xf x =+，则下列结论正确的有（）A.函数()f x 的值域为(]0,2B.函数()f x 的图象关于点()1,1成中心对称图形C.函数()f x 的导函数()f x '的图象关于直线1x =对称D.若函数()g x 满足()11y g x =+-为奇函数，且其图象与函数()f x 的图象有2024个交点，记为()(),1,2,,2024i i i A x y i =，则()202414048i i i x y =+=∑三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()πsin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭满足()2π3f x f ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 恒成立，且在区间π,π3⎛⎫ ⎪⎝⎭上无最小值，则ω=__________.13.已知双曲线22:13y C x -=的左右顶点分别为,A B ，点P 是双曲线C 上在第一象限内的点，直线,PA PB 的倾斜角分别为,αβ，则tan tan αβ⋅=__________；当2tan tan αβ+取最小值时，PAB 的面积为__________.14.已知函数()1ln 3f x ax b ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭22a b +取最小值时，b a 的值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题13分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，2,AB BC PBC == 是等边三角形，平面PBC ⊥平面,,ABCD O F 分别是,BC PC 的中点，AC 与BD 交于点E .（1）求证：BD ⊥平面PAO ；（2）平面OEF 与直线PD 交于点Q ，求直线OQ 与平面PCD 所成角θ的大小.某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表：一周参加体育锻炼次数01234567合计男生人数1245654330女生人数4556432130合计579111086460（1）若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”.请完成以下22⨯列联表，并依据小概率值0.1α=的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；性别锻炼合计不经常经常男生女生合计（2）若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题.以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为X ，求()E X 和()D X ；（3）若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为Y ，求Y 的分布列和数学期望.附：()()()()22(),n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++α0.10.050.01x α2.7063.8416.63517.（本小题15分）已知各项均不为0的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1111,4n n n a a a S ++==.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若对于任意*,2nn n S λ∈⋅N成立，求实数λ的取值范围.如图，O 为坐标原点，F 为抛物线22y x =的焦点，过F 的直线交抛物线于,A B 两点，直线AO 交抛物线的准线于点D ，设抛物线在B 点处的切线为l.（1）若直线l 与y 轴的交点为E ，求证：DE EF =；（2）过点B 作l 的垂线与直线AO 交于点G ，求证：2||AD AO AG =⋅.19.（本小题17分）微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段.对于函数()()1(0),f x x f x x=>在区间[],a b 上的图像连续不断，从几何上看，定积分1b a dx x ⎰便是由直线,,0x a x b y ===和曲线1y x=所围成的区域（称为曲边梯形ABQP ）的面积，根据微积分基本定理可得1ln ln b a dx b a x=-⎰，因为曲边梯形ABQP 的面积小于梯形ABQP 的面积，即ABQP ABQP S S <曲边梯形梯形，代入数据，进一步可以推导出不等式：211ln ln a b a b a b->-+.（1）请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：ln ln 2a b a ba b -+<-；（2）已知函数()2ln f x ax bx x x =++，其中,a b R ∈.（i ）证明：对任意两个不相等的正数12,x x ，曲线()y f x =在()()11,x f x 和()()22,x f x 处的切线均不重合；（ii ）当1b =-时，若不等式()()2sin 1f x x -恒成立，求实数a 的取值范围.数学参考答案及评分标准2024.31-8BCBA ABDC9.ACD10.ABD11.BCD12.1413.3；（填对一空得3分）14.24±15.解析：要求出被完全覆盖的最大的圆的半径，由圆的对称性知只需考虑三个圆的圆心构成等边三角形的情况，设三个半径为1的圆的圆心分别为123,,O O O ，设被覆盖的圆的圆心为O ，如图所示，设圆1O 与2O 交于12,,A B O O 交AB 于,H AB 交圆3O 于C ，方法1：设12313,,22x OO OO OO x O H OH ===∴==，:22x x OA OH HA =+=+=，又331OC OO O C x OA =+=+>，所以圆O 的最大半径为OA ，下求OA 的最大值，设()()2x f x f x =+'=，所以()f x 在30,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭为增函数，在323,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为减函数，max 323()33f x f ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，即被完全覆盖的最大的圆的半径为233.此时1223311O O O O O O ===，即圆1O ､圆2O ､圆3O 中的任一圆均经过另外两圆的圆心.方法2：同上，设11,1AO H O A ∠θ== ，113cos ,sin ,O H AH OH OO OO θθ∴==∴===331,sinOC OO O C OA OH HA OCθ∴=+==+=<πsin sin,363OA OH HAθθ⎛⎫=+==+≤⎪⎝⎭即当π3θ=时，OA的最大值为3，即被完全覆盖的最大的圆的半径为3.此时1223311O O O O O O===，即圆1O､圆2O､圆3O中的任一圆均经过另外两圆的圆心.14.解析：设()f x的零点为t，则1ln03at b⎛⎫+-⎪⎝⎭，即()10*3at b+-=，设(),P a b为直线1:03l tx y+-=上任意一点，坐标原点O到直线l的距离为h=，因为(),P a bh≥，下求h13m m⎛⎫=≥⎪⎝⎭，则()()()21,mm e meg m g mm m'-==()g m∴在1,13⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，在()1,∞+为增函数，即()min()1g m g e==，此时22l3t=⇒=±，所以l的斜率为k=±，124ba k∴=-=±（此时22,33ea b=±=）.15.（1）证明：因为PBC为正三角形，O是BC中点，所以PO BC⊥，又因为平面PBC⊥平面ABCD，所以PO⊥平面,.ABCD PO BD⊥()2211440,22BD AO BC BA BC BA BC BA BD AO⎛⎫⋅=+⋅-=-=-=⊥⎪⎝⎭，.AO BD∴⊥又,PO AO在平面POA内且相交，故BD⊥平面PAO（2）解：,E O分别为,BD BC的中点，EO∴∥DC，又平面PDC过DC且不过EO，EO∴∥平面,PDC.又平面OEF交平面PDC于QF，故EO∥QF，进而QF∥DC，因为F 是PC 中点，所以Q 是PD 的中点.方法1：以O 为原点，,,OE OC OP 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()()()260,0,6,0,2,0,2,2,0,1,,22P C D Q ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()()2,0,0,0,2,6CD PC ==-设平面PCD 法向量为(),,n x y z = ，由00CD n PC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，20260x y z =⎧⎪⎨-=⎪⎩取()0,3,1n = ，26621,,sin cos ,22223OQ n OQ θ⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭所以π4θ=方法2：过点O 作PC 的垂线，垂足为H ，连接QH .因为DC BC ⊥且PO ⊥平面,ABCD PO DC ⊥，故有DC ⊥平面BPC ，平面PCB 与平面PCD 垂直且交线为PC ，故OH ⊥平面DPC ，故直线OQ 与平面PCD 所成角O OQH ∠=在直角三角形OHC 巾，60,2OCH OC ∠== 所以62OH =因为DC ⊥半面PBC ，故DC PC ⊥，又QF ∥DC ，所以QF PC ⊥.任直角三角形QFH 中，21,2QF FH ==，所以62QH =在直角三角形OQH 中62OH QH ==，所以45θ= 16.解：（1）列联表性别锻炼合计不经常经常男生72330女生141630合计213960零假设为0H ：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关；根据列联表的数据计算2220.160(7162314)60(730)140 3.590 2.706213930302139303039x χ⨯-⨯⨯⨯===≈>=⨯⨯⨯⨯⨯⨯根据小概率值0.1α=的独立性检验，推断0H 不成立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1（2）因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故X 近似服从二项分布，随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率51.6012p ==.120,12X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭故()1520123E X =⨯=()1115520121236D X =⨯⨯=.（3）10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生，Y 服从超几何分布：()()0312737333101012170,112012040C C C C P Y P Y C C =======()()2130737333101021321357231204012024C C C C P Y P Y C C ⨯========故所求分布列为Y0123P11207402140724()37 2.110E Y ⨯==17.解析：（1）当2n ≥时，11141,41n n n n n n S a a S a a +--=+=+两式相减得()114n n n n a a a a +-=-⋅因为0n a ≠，故114n n a a +--=.所以1321,,,,n a a a -及242,,,,n a a a 均为公差为4的等差数列：当1n =时，由11a =及12114a a S +=，得23a =.()()211412211n a n n -∴=+-=--()()2341221n a n n =+-=-所以21n a n =-（2）由已知，2n S n =即22n n λ≥恒成立，设22n n n b =，则222111(1)21.222n n n n n n n n n b b ++++-++-=-=当11n -<<+1,2n =时110,n n n n b b b b ++-><当1n >*3,n n N ≥∈时110,n n n n b b b b ++<>-所以12345b b b b b <<>>> ，故()3max 98n b b ==，所以9,8λ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭18.解：设直线AB 的方程为()()11221,,,,,2x my A x y B x y =+联立2122x my y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：2210y my --=.1212Δ021y y m y y >⎧⎪+=⎨⎪⋅=-⎩（1）不妨设A 在第一象限，B在第四象限，对于y y =='l ∴的斜率为21y =l ∴的方程为()2221y y x x y -=-，即为221.2y y x y =+.令0x =得20,2y E ⎛⎫ ⎪⎝⎭直线OA 的方程为：121122y y x x y x x y ===-，令12x =-得21,2D y ⎛⎫- ⎪⎝⎭.又1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以DE EF = 即DE EF =得证.（2）方法1：过点B 的l 得垂线的方程为：()222y y y x x -=--，即222212y y y x y ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭则22222122y y y x y y y x ⎧⎛⎫=-++⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪=-⎩，解得G 的纵坐标为()2222G y y y =+要证明2||AD AO AG =⋅，因为,,,A O D G 三点共线，只需证明：22111G y y y y y -=⋅-（*）..()2222221222211y y y y y y +-=+= ()()222211221222112G y y y y y y y y y +⋅-=-+-=.所以（*）成立，2||AD AO AG =⋅得证方法2：由()2221,,,2D y B x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭知DB 与x 轴平行AFAOAB AD∴=①又DF 的斜率为2,y BG -的斜率也为2y -，所以DF 与BG 平行AFADAB AG ∴=②由①②得AOADAD AG ∴=，即2||AD AO AG =⋅得证19.解：（1）在曲线1y x =取一点2,2a b M a b +⎛⎫⋅ ⎪+⎝⎭.过点2,2a b M a b +⎛⎫ ⎪+⎝⎭作()f x 的切线分别交,AP BQ 于12,M M 囚为21ABQP ABM M S S >曲边梯形梯形()()12112ln ln 222b a AM BM AB b a a b ∴->⋅+⋅=⋅⋅⋅-+即ln ln 2a b a b a b -+<-.（2）方法1：由题意得：()2ln 1f x ax x b =+++'不妨设120x x <<，曲线()y f x =在()()11,x f x 处的切线方程为：()()()1111:l y f x f x x x '-=-，即()()()1111y f x x f x x f x '=+'-同理曲线()y f x =在()()22,x f x 处的切线方程为：()()()22222:7l y f x x f x x f x +'-'=分假设1l 与2l 重合，则()()()()()()12111222f x f x f x x f x f x x f x ⎧=⎪⎨-=-⎪'''⎩'，代入化简可得：()()212121ln ln 201(0)x x a x x a x x a ⎧-+-=⎪⎨+=-<⎪⎩两式消去a 可得：212121ln ln 20x x x x x x ---=+，得到212121ln ln 2x x x x x x -+=-由（1）的结论知212121ln ln 2x x x x x x -+<-，与上式矛盾即：对任意实数,a b 及任意不相等的正数121,,x x l 与2l 均不重合.方法2：同方法1得到2212111ln 201x x x x x x --=+设21(1)x t t x =>，即()()222114(1)ln 20,01(1)(1)t t g t t g t t t t t t --=-==-+++'=>()g t 在()1,∞+为增函数，()()10g t g ∴>=，矛盾.即：对任意实数,a b 及任意不相等的正数121,,x x l 与2l 均不重合（3）即：当1b =-时，不等式()()2sin 1f x x ≥-恒成立，()()2ln 2sin 10h x ax x x x x ∴=-+--≥在()0,∞+恒成立，()101h a ∴≥⇒≥⋯下证：当1a ≥时，()0h x ≥恒成立.因为1a ≥，所以()()2ln 2sin 1h x x x x x x ≥-+--设()()()()2ln 2sin 1,2ln 2cos 1H x x x x x x H x x x x =-+--='+--①当[)1,x ∞∈+时，由()22,,ln 0,2cos 12x x x ≥≥--≥-知()0H x '≥恒成立，即()H x 在[)1,∞+为增函数，()()10H x H ∴≥=成立；②当()0,1x ∈时，设()()2ln 2cos 1G x x x x =+--，()()122sin 1G x x x =++-'由()12sin 12,0x x -≥->知()0G x '≥恒成立，即()()G x H x ='在()0,1为增函数.()()10H x H ''∴<=，即()H x 在()0,1为减函数，()()10H x H ∴>=成立.综上所述：实数a 的取值范围是[)1,.∞+。
【2020年数学高考】湖北省七市(州)2020届高三3月联合调研考试 数学文.doc
2020年3月湖北省七市（州）教科研协作体高三联合考试文 科 数 学包括：十堰市 孝感市 恩施州等七市州一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知N 是自然数集，设集合N}16{∈+=x x|A ，{}43210,,,,B =，则=⋂B A A ．{}2,0 B ．{}2,1,0 C ．{}3,2 D ．{}4,2,02.已知复数1z i =+（i 为虚数单位），则22z z+= A. 1i -+ B. 1i - C. 1i -- D. 1i +A ．13B ． 13- C. 13- D ．13 4.在区间[]4,2-上任取一个实数x ，则使2≤|x|成立的概率为A. 73B. 21C. 32D. 545.已知椭圆C :1222=+y x 的离心率与双曲线E ：()0012222>>=-,b a by a x 的一条渐近 线的斜率相等，则双曲线E 的离心率为A.2B. 3C. 25D. 26 6.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，435=-a S ，054=+a a ，则=12aA. 5-B. 5C. 7-D. 77.若函数()2sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为π，且其图象关于直线3x π=对称，则为了得到()2sin g x x ω=的图象，则只需将()f x 的图象A.向右平移6π个长度单位 B ．向左平移12π个长度单位 C ．向左平移π6个长度单位 D ．向右平移π12个长度单位8.函数2()sin f x x x x =-在区间[-,]ππ上的图象大致为9.“孙子定理”是中国古代求解一次同余式组的方法.是数论中一个重要定理，西方又称之为“中国剩余定理”.一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》.若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为()m n N m od ≡，例如()6m od 583≡.若执行如图所示的程序框图，则输出的结果为A. 2019B. 2023C. 2031D. 204710.函数()x f y =是定义在R 上的奇函数.0≥x 时，()()m x x a x x f +++++-=2log )1(2， 其中a 、m 是常数，且0>a .若()()10=+a f f ，则()=-3m fA. 1B. 1-C. 6D. 6-11.一个几何体的三视图如图所示，若该几何体的外接球 表面积为414π，则该几何体的体积为 A. 43 B. 83C 12.已知圆E 与抛物线2:2(0)C y px p =>相交于A ，B 两点，分别以点A ，B 为切点作圆E 的切线.若切线恰好都经过抛物线C 的焦点F ，则=∠AEF sinA.215-B. 213-C. 212-D. 21二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022届湖北省七市(州)高三下学期3月联合统一调研测试数学试题解析
2022届湖北省七市（州）高三下学期3月联合统一调研测试数学试题一、单选题1．已知集合{}1N P x x x =≥∈，，{}28xQ x =≤，则P Q =（ ）A ．{x |14x ≤<}B ．{x |1≤x <3}C ．{1，2}D ．{1，2，3}答案：D【分析】先化简集合Q ，再去求P Q 即可解决.解：{}{}28=3xQ x x x =≤≤则{}{}{}1N 31,2,3P Q x x x x x ⋂=≥∈⋂≤=， 故选：D2．欧拉公式e cos isin i θθθ=+（e 为自然对数的底数，i 为虚数单位）由瑞士数学家Euler （欧拉）首先发现.它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被称为“数学中的天桥”，则i e π=（ ） A ． -1 B ．1 C ．-i D ．i答案：A【分析】根据题已知中欧拉公式e cos isin i θθθ=+，直接计算可得答案. 解：由题意得：e cos isin 1i πππ=+=-， 故选：A3．抛物线y 2=2px （p >0）上一点M （3，y ）到焦点F 的距离|MF |=4，则抛物线的方程为（ ） A ．y 2=8x B ．y 2=4xC ．y 2=2xD ．y 2=x答案：B【分析】根据抛物线的焦半径公式，求得p 的值，即可得答案. 解：由题意可得：||2M pMF x =+ ， 则34,22pp +== ，故抛物线方程为24y x = ， 故选:B4．某学校高一年级､高二年级､高三年级的人数分别为1600，1100，800，现用分层抽样的方法从高一年级､高二年级､高三年级抽取一个学生样本测量学生的身高.如果在这个样本中，有高一年级学生32人，且测得高一年级､高二年级､高三年级学生的平均身高分别为160cm ，165cm ，170cm.则下列说法正确的是（ ）A ．高三年级抽取的学生数为32人B ．高二年级每个学生被抽取到的概率为1100C ．所有年级中，高一年级每个学生被抽取到的概率最大D ．所有学生的平均身高估计要小于165cm 答案：D【分析】根据分层抽样的概念、分层抽样的概率、均值的概念判断． 解：根据分层抽样的定义，高三抽取的学生数为80032161600⨯=，A 错； 分层抽样中每个个体被抽取的概率相等，均为321160050=，B 错，C 错； 平均身高为16001100800160165170163.9350035003500⨯+⨯+⨯≈（cm ）,D 正确． 故选：D ．5．已知||3,||2,|3|6,AB BC AB BC ==-=则||AB CB +=（ ）A ．4BC ．10D ．16答案：B【分析】根据条件，利用模的平方可求出AB BC ⋅的值，再将||AB CB +变形并平方，即可求得答案. 解：由||3,||2,|3|6AB BC AB BC ==-=，可得()22223|3|9||636AB BC AB BCAB BC AB BC -=-=+-⋅=，即39366||||36,2AB BC AB BC +-⋅=⋅=， 所以2222||()||210AB CB AB BC AB BC AB BC +=-=+-⋅=，故||10AB CB += 故选：B6．已知0.02e a -=，b =0.01，c =ln1.01，则（ ） A ．c >a >b B ．b >a >c C ．a >b >c D ．b >c >a答案：C【分析】根据指数函数的性质判断,a b ，构造函数()e 1x f x x =--，由导数确定单调性得(0.01)(0)f f >，再由对数性质得,b c 大小，从而得结论．．解：由指数函数的性质得：10.022ee0.01-->=>>，设()e 1x f x x =--，则e ()10x f x '=->在0x >时恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上是增函数，()f x 是连续函数，因此()f x 在[0,)+∞上是增函数， 所以(0.01)(0)f f >，即0.01e 10.010-->，即0.01e 1.01>，所以0.01ln1.01>， 所以a b c >>． 故选：C ．7．若将整个样本空间想象成一个1×1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积.则如图所示的涂色部分的面积表示（ ）A ．事件A 发生的概率B ．事件B 发生的概率C ．事件B 不发生条件下事件A 发生的既率D ．事件A ､B 同时发生的概率 答案：A【分析】根据题意结合条件概率的公式，推出阴影部分的面积，可得其含义，即得答案. 解：由题意可知：阴影部分面积为：(|)()(|)(1())()(|)()P A B P B P A B P B P AB P A B P B ⋅+⋅-=+⋅ ()()()P AB P AB P A =+= ,故选：A 二、多选题8．函数()sin 3f x x x =-，先把函数()f x 的图像向左平移3π个单位，再把图像上各点的横坐标缩短到原来的12，得到函数()g x 的图像，则下列说法错误的是（ ） A ．函数()g x 是奇函数，最大值是2 B ．函数()g x 在区间,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．函数()g x 的图像关于直线()4x k k Z ππ=+∈对称D ．π是函数()g x 的周期 答案：B【分析】化简函数()2sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再计算得函数2sin 2g xx ，利用正弦函数的性质计算最大值，周期，根据整体法计算单调性与对称轴.解：()1sin 2sin 2sin 23f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，把函数()f x 的图像向左平移3π个单位，得2sin 2sin 33y x x ππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，再把图像上各点的横坐标缩短到原来的12，得2sin 2g xx ，所以可知()g x 是奇函数，最大值是2，最小正周期为π，当222,22ππππ-+≤≤+∈k x k k Z ，得,44ππππ-+≤≤+∈k x k k Z ，所以函数()g x 在区间,64ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，()22x k k Z =+∈ππ，得()42k x k Z ππ=+∈，所以()4x k k Z ππ=+∈也是函数()g x 的对称轴，所以错误的选项为B. 故选：B.9．已知函数12()||+||cos f x x x x =-，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 在（0，+∞）上单调递减 C ．()f x 是周期函数 D ．()f x ≥-1恒成立答案：AD【分析】判定()f x 的奇偶性判断选项A ；判定()f x 的单调性判断选项B ；判定()f x 的周期性判断选项C ；求得()f x 的最小值判断选项D. 解：()f x 的定义域为R()1122()||+||cos ||+||cos ()f x x x x x x x f x -=----=-=， 则()f x 为偶函数.故选项A 判断正确；0x >时，()cos f x x x =()sin 0f x x '=≥恒成立，则()f x 为()0+∞，上增函数. 故选项B 判断错误；选项C 判断错误； 又()f x 为偶函数，则()f x 为(),0∞-上减函数又(0)0+0cos0=1f =--，则()f x 的最小值为1-.故选项D 判断正确； 故选：AD10．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为lg E =4.8+1.5M ，则下列说法正确的是（ ） A ．地震释放的能量为1015.3焦耳时，地震里氏震级约为七级B ．八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍C ．八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍D ．记地震里氏震级为n （n =1，2，···，9，10），地震释放的能量为an ，则数列{an }是等比数列 答案：ACD【分析】根据所给公式，结合指对互化原则，逐一分析各个选项，即可得答案. 解：对于A ：当15.310E =时，由题意得15.3lg10 4.8 1.5M =+， 解得7M =，即地震里氏震级约为七级，故A 正确；对于B ：八级地震即8M =时，1lg 4.8 1.5816.8E =+⨯=，解得16.8110E =，所以16.81.5115.3101010 6.310E E ==>≠，所以八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的 1.510倍，故B 错误；对于C ：六级地震即6M =时，2lg 4.8 1.5613.8E =+⨯=，解得13.8210E =，所以16.83113.821010100010E E ===， 即八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍，故C 正确； 对于D ：由题意得lg 4.8 1.5n a n =+（n =1，2，···，9，10），所以 4.8 1.510nn a +=，所以 4.8 1.5(1) 6.3 1.511010n n n a ++++== 所以6.31.5 1.51 4.81.5101010nn n n a a +++==，即数列{an }是等比数列，故D 正确； 故选：ACD11．已知直线:10l kx y k --+=，圆C 的方程为22(2)(2)16x y -++=，则下列选项正确的是（ ） A ．直线l 与圆一定相交B ．当k =0时，直线l 与圆C 交于两点M ，N ，点E 是圆C 上的动点，则MNE面积的最大值为C ．当l 与圆有两个交点M ，N 时，|MN |的最小值为D ．若圆C 与坐标轴分别交于A ，B ，C ，D 四个点，则四边形ABCD 的面积为48 答案：AC【分析】由直线过定点在圆内判断A ，由圆上点到直线的距离的最大值，求得三角形面积最大值判断B ，当定点与圆心连线垂直于直线l 时，弦长最短，由勾股定理计算可得弦长，判断C ，求出圆与坐标轴的交点坐标，由面积公式计算面积判断D ．解：直线:10l kx y k --+=过定点(1,1)P ，22(12)(12)16-++<，P 在圆内，因此直线l 一定与圆相交，A 正确；0k =时，直线为1y =，代入圆方程得2(2)916x -+=，2x =，因此MN =圆心为(2,2)C -，圆半径为4r =，圆心到直线l 的距离为3d =，因此E 到直线l 的距离的最大值为437h =+=，MNE 的面积最大值为172S =⨯⨯=B 错；当l 与圆有两个交点M ，N 时，|MN |的最小时，PC l ⊥，PC ==因此min MN =C 正确；在圆方程22(2)(2)16x y -++=中分别令0x =和0y =可求得圆与坐标轴的交点坐标为(2((2(0,2(0,2A B C D -+-+--，AB =CD =ABCD 面积为1242S '=⨯=，D 错．故选：AC ．12．已知三棱锥S -ABC 的底面是边长为a 的正三角形，SA ⊥平面ABC ，P 为平面ABC 内部一动点（包括边界）.若SA =2a，SP 与侧面SAB ，侧面SAC ，侧面SBC 所成的角分别为123,,ααα，点P 到AB ，AC ，BC 的距离分别为123,,d d d ，那么（ ）AB ．123d d d ++为定值C ．若132sin ,sin ,sin ααα成等差数列，则12d d +为定值D ．若132sin ,sin ,sin ααα成等比数列，则答案：BCD【分析】由等面积法ABPACPBCPABCSSSS++=计算判断选项AB ，由等体积法----++=P SAB P SAC P SBC S ABC V V V V 计算，并结合等差中项与等比中项的性质，判断选项CD.解：如图，作,,PD AB PE AC PF BC ⊥⊥⊥，由题意，根据等面积法可得ABPACPBCPABCSSSS++=，即212311132224⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=a d a d a d a ，得12332++=d d d a ，所以123d d d ++为定值，B 正确；因为SA ⊥平面ABC ，所以,⊥⊥SA PE SA PD ，又因为,PD AB PE AC ⊥⊥，,==SA AB A SA AC A ，所以PD ⊥平面SAB ，PE ⊥平面SAC ，设点P 到平面SBC 的距离为h ，由等体积法可知，----++=P SAB P SAC P SBC S ABC V V V V ，即2121111111332232232324⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=⋅⋅a a a d a d a h a a a ，得12322++=d d h a ，因为12123sin ,sin ,sin ααα===d d h SP SP SP ，若132sin ,sin ,sin ααα成等差数列，即312122sin sin +sin 2ααα=⇒=+h d d ，所以1234+=d d a 为定值，C 正确；若132sin ,sin ,sin ααα成等比数列，即2231212sin sin sin ααα=⋅⇒=⋅h d d ，所以()2121122123222+=++=++=d d d d d d d h d a 为定值，D 正确； 故选：BCD一般关于三棱锥体积计算一是可以考虑通过空间向量的方法，写出点的坐标，计算底面积与点到底面的距离，代入棱锥的体积公式计算，二是可以通过等体积法，通过换底换高或者分为多个小三棱锥的和计算； 三、填空题13．若1sin 43πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 2sin cos θθθ+=___________.2【分析】利用两角差的正弦公式化简得2cos sin θθ-=，再利用二倍角公式代入化简计算cos 2sin cos θθθ+.解：)1sin cos sin 43πθθθ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，得cos sin θθ-=，所以cos sin 0θθ+≠，所以()()22cos sin cos sin cos 2cos sin cos sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθθ+--===-=+++. 14．已知双曲线C ：2222x y a b -=1（a >0，b >0）的右焦点F 关于它的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C 的离心率为___________. 答案：2【分析】设双曲线的右焦点为(c,0)F ，求出渐近线方程，设F 关于b y x a=的对称点为(,)bm m a -，由中点坐标公式和两直线垂直的条件列出方程，化简整理可得a ，b 的关系，再由离心率公式，计算即可得到所求结果．解：双曲线2222:1(,0)x y C a b a b-=>的右焦点为(c,0)F ，渐近线方程为by x a=±，设F 关于b y x a=的对称点为(,)bm m a -，由题意可得bma a c m b=--，(*)且11(0)()22b b m m c a a-=⋅+，可得12m c =-，代入(*)可得223b a =， 故22224c a b a =+=， 则离心率2ce a==， 故答案为：2． 15．已知函数1()f x x x=+（x >0），若2()(())f x f x a +的最大值为25，则正实数a =___________. 答案：1【分析】依据题意列出关于a 的方程即可求得正实数a 的值. 解：令1(0)t x x x=+>，则2t ≥，则22()1=(())f x t a f x a t at t =+++ 令(0,2)ay t a t t=+>≥当04a <≤时，a y t t =+在[)2,+∞上单调递增，12+2a y t a t =+≥则1204aa t t<≤++，即2()(())f x f x a +的最大值为24a + 则22=45a +，解之得1a =. 当4a >时，at t+≥t则10a t t <≤+2()(())f x f x a +25，解之得2516a =（舍） 综上，所求正实数1a = 故答案为：1 四、双空题16．若函数()f x 的定义域为R ，对任意的12,x x ，当12x x D -∈时，都有()()12f x f x D -∈，则称函数f （x ）是关于D 关联的.已知函数()f x 是关于{4}关联的，且当[)4,0x ∈-时，()26f x x x =+.则：①当[)0,4x ∈时，函数()f x 的值域为___________；②不等式()03f x <<的解集为___________. 答案： [5,4)-1)(6,7)【分析】根据“D 关联”的定义，求得()f x 在区间[)0,4、[)4,8、[)8,12上的解析式，由此对①②进行分析，从而确定正确答案.解：依题意已知函数()f x 是关于{4}关联，即对任意的12,x x ，当124x x -=时，都有()()124f x f x -=，即对任意的12,x x ，当124x x =+时，都有()()124f x f x =+，()()2244f x f x +=+ 即对任意R x ∈，都有()()44f x f x +=+.当40x -≤<时，()()2660f x x x x x =+=+<，所以当4x <-时，()()440f x f x =+-<， 当04x ≤<时，440x -≤-<，()()()()()()222444446442415f x f x f x x x x x x =-+=-+=-+-+=--=--，()()04,15f f =-=-，()24154--=，所以()f x 在区间[)0,4上的值域为[)5,4-.①得结论. 当48x ≤<时，044x ≤-<，()()()()()224444415451f x f x f x x x =-+=-+=---+=--，当812x ≤<时，448x ≤-<，()()()()()2244444514933f x f x f x x x =-+=-+=---+=-+≥，当12x ≥时，()()()44443f x f x f x =-+=-+>.由上述分析可知，满足()03f x <<的x 的取值范围需满足04x ≤<，或48x ≤<， 当04x ≤<时，()20153x <--<，20243x x <--<， 2224024304x x x x x ⎧-->⎪--<⎨⎪≤<⎩11x <<. 当48x ≤<时，()220513,010243x x x <--<<-+<， 22102401024348x x x x x ⎧-+>⎪-+<⎨⎪≤<⎩，解得67x <<. 所以不等式()03f x <<的解集为1)(6,7).②得结论. 故答案为：[5,4)-；1)(6,7)新定义问题的求解，关键是理解新定义的概念，然后将“新问题”转化为学过的知识来进行求解.本题的“新定义”，是转化为分段函数解析式、值域问题来进行求解. 五、解答题17．已知数列{an }的前n 项和为Sn ，且满足32n n a S =-（n ∈N）. (1)求数列{an }的通项公式；(2)求证：对任意的m ∈N，Sm ，Sm +2，Sm +1成等差数列.答案：(1)112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭;(2)证明见解析.【分析】（1）利用an 与Sn 关系可得112n n a a -=-，进而可得；（2）利用等比数列的前n 项和公式，即证. (1)当1n =时，1113232a S a =-=-，所以11a =； 当2n ≥时，因为32n n a S =-，所以1132n n a S --=-， 所以13n n n a a a --=，即112n n a a -=-，所以数列{}n a 是等比数列，其通项公式为112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(2)对任意的m *∈N ，2221141222113212m m m S +++⎛⎫-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=⨯=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+， 1111111211222113221122mm m m m m S S +++⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭+=+=----⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦++ 241132m +⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 所以112m m m S S S ++=+，即21,,m m m S S S ++成等差数列.18．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足a cos C －b －c2=0.(1)求A ；(2)若ab +2c 的取值范围. 答案：(1)23π；(2).【分析】（1）利用余弦定理得到222b c a bc +-=-，进而即得；（2）利用正弦定理可得22sin 4sin b c B C +=+，再利用三角函数的性质即得. (1)由余弦定理可得：2221022a b c a b c ab +-⋅--=， 即222b c a bc +-=-所以1cos 22bc A bc =-=-，又(0,)A π∈， 所以23A π=； (2) 由题意2sin sin sin a b cA B C===，则2sin ,2sin c C b B ==， 则22sin 4sin 23cos 3b c B B B π⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭，由23A π=，得0,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2(3,23)b c +∈，故b +2c 的取值范围为(3,23).19．如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA =AB ，E ，F 分别为线段PB ，BC 上的动点.(1)若E 为线段PB 的中点，证明：平面AEF ⊥平面PBC ； (2)若BE 2，且平面AEF 与平面PBC 7F 的位置. 答案：(1)证明见解析 (2)F 为BC 三等分点处【分析】（1）先证明BC ⊥平面PAB ，从而可证BC AE ⊥，再证明AE PB ⊥，可证明AE ⊥平面PBC ，即可证明平面AEF ⊥平面PBC ；（2）建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标以及对应的向量坐标，并求解平面的法向量，利用向量的夹角公式代入求解. (1)（1）证明：由PA ⊥底面ABCD ，可得PA BC ⊥，又在正方形ABCD 中，BC AB ⊥，且PA AB A =，则BC ⊥平面PAB ，有BC AE ⊥. 由PA AB =，E 为PB 中点，可得AE PB ⊥又PB BC B ⋂=，则AE ⊥平面PBC ，从而平面AEF ⊥平面PBC . (2)以A 为坐标原点，,,AB AD AP 分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设1AB =，则(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)A B C D P .由（1）可知111,0,22⎛⎫= ⎪⎝⎭n 为平面PBC 的法向量.由2BE BF =，可知//EF PC ，设,BF BC BE BP λλ==，则(0,1,0),(1,0,1)BF BE λλ==-，可得(1,,0),(1,0,)AB BF A F E A BE A B λλλ=+==+=-.设平面AEF 的法向量为()2,,n x y z =，由2200n AF n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0(1)0x y x z λλλ+=⎧⎨-+=⎩， 取1y =，则,1x z λλ=-=-，即2(,1,1)λλ=--n . 从而，由1212212127cos ,2222n n n n n n λλλ⋅-===⋅-+，解得13λ=或23λ=，即F 为BC 三等分点处.对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20．微信小程序“党史知识竞赛”中的“答题竞赛”板块有个“双人竞赛”栏目，可满足两人通过回答多个问题的形式进行竞赛.甲，乙两单位在联合开展党史学习教育特色实践活动中通过此栏目进行比赛，比赛规则是：每一轮比赛中每个单位派出一人代表其所在单位答题，两单位都全部答对或者都没有全部答对则均记0分；一单位全部答对而另一单位没有全部答对，则全部答对的单位记1分，没有全部答对的单位记-1分.设每轮比赛中甲单位全部答对的概率为45，乙单位全部答对的概率为23，甲，乙两单位答题相互独立，且每轮比赛互不影响. (1)经过1轮比赛，设甲单位的记分为X ，求X 的分布列和期望；(2)若比赛采取3轮制，试计算第3轮比赛后甲单位累计得分低于乙单位累计得分的概率. 答案：(1)分布列答案见解析，数学期望：215(2)26135【分析】（1）理解题意，列出随机变量X 所有可能的取值，然后相互独立事件的性质求解即可. （2）通过列举法列出3轮比赛后甲单位累计得分低于乙单位累计得分的所有情况，然后利用小问（1）中所得的结果进行计算. (1)由题意X 的取值可能为1-，0，1， 则422(1)15315P X ⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭，42423(0)1153535P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯-+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，424(1)15315P X ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭， 那么X 的分布列为：2342()1011551515E X =-⨯+⨯+⨯=. (2)第3轮比赛后，甲单位累计得分低于乙单位的3轮计分有四种情况（不按先后顺序）： 1,1,1---；1,1,0--；1,1,1--+；1,0,0-，所以3322222233223243=151551515515135226P C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.21．已知椭圆C ：2222+x y a b=1（a >b >0）经过点A （0，1），且右焦点为F （1，0）.(1)求C 的标准方程；(2)过点（0，12）的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点P .Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N .证明：以MN 为直径的圆过y 轴上的定点. 答案：(1)2212x y +=(2)证明见解析【分析】（1）由已知得,c b ，再求得a ，即得椭圆方程； （2）由题意直线l 斜率存在，可设直线1:2l y kx =+，设()()1122,,,P x y Q x y ，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得1212,x x x x +，由直线,AP AQ 方程求出,M N 坐标，求出以MN 为直径的圆的方程，然后代入1212,x x x x +求得圆方程的常数项，从而可得y 的定点坐标． (1)由题意可得1,1c b ==从而22a =. 所以椭圆的标准方程为2212x y +=.(2)证明：由题意直线l 斜率存在，可设直线1:2l y kx =+，设()()1122,,,P x y Q x y ， 将直线l 代入椭圆方程得()2242430k x kx ++-=，所以12122243,,4242k x x x x k k --+==++， 直线AP 的方程为1111y y x x -=+，直线AQ 的方程为2211y y x x -=+. 可得1212,0,,011x x M N y y ⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 以MN 为直径的圆方程为，21212011x x x x y y y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭，即()()221212121201111x x x x x y x y y y y ⎛⎫++++= ⎪----⎝⎭.① 因为()()()1212122121212124111142122x x x x x x y y k x x k x x kx kx ==---++⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22212612842k k k -==--+++.所以在①中令0x =，得26y =，即以MN 为直径的圆过y轴上的定点(0,，22．已知函数2()ln 2f x x x=+-，2()ln 1g x x x ax x =--+ (1)证明：函数f （x ）在(1,)+∞内有且仅有一个零点；(2)假设存在常数λ>1，且满足f （λ）=0，试讨论函数()g x 的零点个数. 答案：(1)证明见解析 (2)答案见解析【分析】（1）由导函数判断出函数f （x ）的单调区间，依据零点存在定理即可证明函数f （x ）在(1,)+∞内有且仅有一个零点；（2）把函数()g x 的零点个数问题，转化为y ax =与1ln 1(0)y x x x=-+>两函数图像的交点个数问题，分类讨论即可解决. (1) 22122()x f x x x x-'=-=，令()0f x '=，则2x = 所以()f x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增.因为()222(1)0,(2)ln 210,e 220e f f f ==-<=+->， 结合单调性，()f x 在(1,)+∞有且仅有一个零点. (2)令()0g x =，即2ln 10x x ax x --+=，从而有1ln 1ax x x=-+， 令1()ln 1(0)x x x xϕ=-+>，从而()g x 的零点个数等价于y ax =与()ϕx 图像的交点个数.22111()x x x x xϕ'-=-=，令()0x ϕ'=，得1x =. 所以()ϕx 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，且max ()(1)0x ϕϕ==， 当0a =时，y ax =图像与()ϕx 图像有一个交点.当0a <时，y ax =图像经过二､四象限，与()ϕx 图像无交点.当0a >时，y ax =图像经过一，三象限，与()ϕx 图像至少有一个交点，当y ax =图像()ϕx 图像相切时，设切点横坐标为0x ，则有200001111a x x ax lnx x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩即有002ln 20x x +-=，从而0x λ=，此时221110a λλλλ-=-=>. 所以，当时21a λλ-=时，y ax =图像与()ϕx 图像有两个交点； 当210a λλ-<<时，y ax =图像与()ϕx 图像有三个交点； 当21a λλ->时，y ax =图像与图像()ϕx 有一个交点. 综上所述，当0a <时，()g x 没有零点；当210a λλ-<<时，()g x 有三个零点；当21a λλ-=，()g x 有两个零点；当21a λλ->或0a =时，()g x 有一个零点.。
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湖北省七市（州）教研协作体2021年高三年级3月联考数学参考答案一、单项选择题二、多项选择题三、填空题 13．34- 14．3 15．1.26 16．四、解答题17．（1）因为A B C π++=，所以A C B π+=-，由4cos()2cos230A C B +++=，可得24cos 2(2cos 1)30B B -+-+=，即24cos 4cos 10B B -+=， 3分得1cos 2B =，因为0B π<<，所以3B π=. 5分（2）在ABD △中，由余弦定理可得2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅，即224864218BD BD =+-⨯⨯⨯，即21608BD BD +-=，解得4BD =. 7分所以1122284s 2in 2ABC ABD B S D B S AB ==⨯⨯=⨯⨯⨯⋅=△△. 10分18．（1）因为1351035a a S +=⎧⎨=⎩，所以11527a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩， 2分所以1(1)21n a a n d n =+-=+． 4分（2）由(1)得:123357...(21)1(21)2n n b b b n b n +++++=+-，①所以11231)357...(21))1(23)22(n n b b b n b n n --++++-=+-，②两式相减得：1(21)(21)2(2)n n n b n n -+=+，所以1()22n n b n -=， 7分 又由①式得11b =，适合上式，所以1*2)(n n b n N -=∈． 8分所以2241111()(21)11(23)2223(log )n n n n a b n n +-+⋅==+++， 10分 所以1111111()235572123n T n n =-+-+⋅⋅⋅+-++111()2323n =-+69nn =+． 12分19．（1）因为ABCD 是直角梯形，AB ∥DC ，90BAD ∠=，所以AD DC ⊥，又因为PD DC ⊥，PD AD D =，所以CD ⊥平面PAD ，又因为PA ⊂平面PAD ，所以CD PA ⊥， 2分取CD 的中点E ，连接BE ，在Rt BCE △中，2BC =，1CE =，可得3BE =，所以3AD =，又22PD PA ==，所以222PA AD PD +=，所以PA AD ⊥， 4分 又AD CD D =，所以PA ⊥平面ABCD . 5分 （2）以A 为原点，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则(1,0,0)B ，D(0,3,0)，(0,0,1)P ，所以(1,0,1)BP =-，(1,3,0)BD =-，设平面PBD 的法向量(),,x y z =m ，由030BP x z BD x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩m m ，得030x z x y -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令1y =，得()3,1,3=m ， 7分设()000,,M x y z ，由(01)BM BD λλ=<<，得000(1,,)(1,3,0)x y z λ-=-， 所以()1,3,0M λλ-，所以(0,0,1)AP =，()1,3,0AM λλ=-， 设平面PAM 的法向量()111,,x y z =n ，由00AP AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，得1110(1)30z x y λλ=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令13x λ=， 得平面PAM 的一个法向量为(3,1,0)λλ=-n . 9分 设二面角A PM B --的平面角为θ，则有2227cos 74217(3)(1)θλλλλ⋅====-++-n m n m ， 解得0λ=或12λ=，因为01λ<<，所以12λ=. 12分20．（1）椭圆的左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，而双曲线2C ：2241y x -=的顶点分别为(1,0)-，(1,0)，所以1c =． 1分又椭圆的上顶点为(0,)b ，而双曲线2C ：2241y x -=的一条渐近线为2y x =，则有55=，解得1b =． 3分 222112a ∴=+=，所以椭圆E 的方程为2221x y +=． 4分（2）设直线l 的方程为1x ty =-，(t 一定存在），代入2222x y +=，并整理得22(2)210t x ty +--=，△2244(2)0t t =++>恒成立，设1(1M ty -，1)y ，2(1N ty -，2)y ， 则12222t y y t +=+，12212y y t -=+． 5分 设0(P x ，0)y ，由222F P F M F N =+，得012012122x ty ty y y y -=-+-⎧⎨=+⎩，即2012201226()3222t x t y y t t y y y t ⎧+=+-=-⎪⎪+⎨⎪=+=⎪+⎩，又点P 在椭圆1C 上，故2222222(6)412(2)(2)t t t t ++=++， 即4212280t t --=，解得214t =（舍负）， 8分因为满足222F P F M F N =+的点P 也在椭圆1C 上，所以四边形2F MPN 是平行四边形， 设四边形2F MPN 的面积为S ，则有2222121212122242(1)44(2)||||()4(2)t t t S F F y y y y y y t +++=-=+-==+ 11分代入214t =，得四边形2F MPN 的面积30S =． 12分21．（1）当2n =时，一个系统有3个电子元件，则一个系统需要维修的概率为2333111C ()()222+= 1分设X 为该电子产品需要维修的系统个数，则1(3,)2X B ，500X ξ= 2分∴3311(500)()C ()(),0,1,2,322kk k P k P X k k ξ-===== 4分∴ξ的分布列为∴150037502E ξ=⨯⨯= 6分（2）记21k -个元件组成的系统正常工作的概率为k p .21k -个元件中有i 个正常工作的概率为2121C(1)i i k ik p p ----，因此系统工常工作的概率212121C (1).k i i k i k k i kp p p ----==-∑ 7分在21k -个元件组成的系统中增加两个元件得到21k +个元件组成的系统，则新系统正常 工作可分为下列情形：（a ）原系统中至少有1k +个元件正常工作，概率为121C (1)k k k k k p p p ----； 8分 （b ）原系统中恰有k 个元件正常工作，且新增的两个元件至少有1个正常工作，概率为2121[1(1)]C (1)k k k k p p p -----； 9分 （c ）原系统中恰有1k -个元件正常工作，且新增的两个元件均正常工作，概率为21121C (1).k k k k p pp ---- 10分 因此，2112111212121C (1)[1(1)]C (1)C (1)k k k k k k k k k k k k k k p p p p p p p p p p ----+----=-+----- ξ 0 500 1000 1500 P 18 38 38 18121(1)C (21)k k k k p p p --=--故当12p >时，k p 单调增加，增加两个元件后，能提高系统的可靠性. 12分22．（1）22e e 1e ()(1e )x x x xx f x x x x -'⋅-+==-+， 1分易证当0x ≠时，e 1x x >+，则e 1x x ->-+，即 e 10x x -+->， 所以()0f x '>，故 ()f x 在 (,0)-∞，(0,)+∞上单调递增． 4分 （2）由题意得0x ∀>，e 12ln x x k x--，令e 1()2ln xF x x x -=-，要证： 1.1λ>，即证() 1.1F x >．22e e 12e e 21()xx x x x x x F x x x x ⋅-+⋅--+=-='， 令()e e 21x x g x x x =⋅--+，则()e 2x g x x ⋅'=-，()(1)e 0x g x x =+⋅'>'， 所以()g x '在(0,)+∞上单调递增，又(0)20g =-<'，(1)e 20g =->'，故0(0,1)x ∃∈，使得0 ()0g x '=，即002e x x =． 6分所以0(0,)x x ∀∈，有()0g x '<，()g x 单调递减；0(,)x x ∀∈+∞，()0g x '>，()g x 单调递增．所以0()()g x g x ，(0)0g =，00000002()e e 212210x x g x x x x x =⋅--+=--+<， 3231()e 2022g =->，所以存在103(,)2x x ∈，使得()10g x =， 即11121e 1x x x -=-，且满足1(0,)x x ∀∈，()0F x '<，()F x 单调递减；()1,x x ∀∈+∞，()0F x '>，()F x 单调递增；所以()111111e 1()2ln 2ln 11x F x F x x x x x -=-=--． 8分 令1()2ln 1h x x x =--，则212()0(1)h x x x -=-<-'，故()h x 单调递减， 又132x <，所以33()()2(1ln )22h t h >=-． 9分则只需证明0.4520933332(1ln ) 1.1ln 0.45e ()e 2222->⇔<⇔<⇔<，又8e 263>=⋅，可先证明20938()()23<，又5 3243=，82256=，则5832<，所以30482193832()()23<⇔<，而202133()()22<，所以209938()()e 23<<，证毕！ 12分注：关于332(1ln ) 1.1ln 0.4522->⇔<的证明下面再给出一种证法:32ln3ln 2-<-，即ln 3ln 2-<，又210.456<，所以3ln ln3ln 20.452=-<，证毕！。