非线性静态系统最优化模型及求解方法

【例 3】假设现有长 1.5 米，厚 2 厘米的箱板
x x
材 10 立方米，如制成边长不小于 0.5 米的包装箱，
图 7.1.3
3
可制多少个多大规格的包装箱，才能使所装货物最多？
设制成木箱的规格为 x×y×z（长×宽×高），所制木箱个数为 n，则模型为
max V=nxyz s.t. ①木材尽量充分利用。
(7.1.16)
t 时间内的平均储量为ΔOQt 的面积见
图 7.1.5，亦即
Q
=
∫0t ( Q − Rτ
)dτ
=
1 2
Rt 2
所以存储费用为：
(7.1.17)
T1
=
Q
⋅
h
=
1 2
Rt 2h
(7.1.18)
组织进货费用T2由两部分组成，一部分是固定费用C1，它是与进货数量无关的费 用，如旅费等；一部分是与进货数量有关的变动费用，如运费等，它与进货量成正比，
非线性规划模型的一般形式为：
min Z=F(X)
(7.1.1)
s.t. Gi(X) ≥0 非线性规划模型按有无约束条件可分为有约束和无约束两种。有约束条件的非线
性规划模型按约束条件的形式又分为等式约束和不等式约束两种。
非线性规划模型中有些常用的特殊形式，如当约束条件为线性，而目标为二次函
数时，这种非线性规划叫二次规划，其一般形式为：
7.1.3 最优生产批量问题
【例 7．4】最优生产批量问题又叫非线性盈亏平衡分析。 在企业的经营管理中，经常需要以最大利润来安排生产，因此需要确定生产批量 与利润之间的关系。
众所周知，利润为销售收入与总成本费用之差，总成本费用为固定成本与变动成 本之和。
设生产量等于销售量，且均为Q，销售收入为R，固定成本为b0。 当销售收入与销售量呈二次函数关系时，可描述为
图 7.1.2
问怎样裁法才能使其容积最大？
该问题在数学分析中是一个典型的求函数极值的问题，实质上该问题是一典型的
有约束的非线性规划问题。
x x
1-2x
设剪下方块的边长为 x，则模型为
目标函数：
max V=x(1-2x)2
s.t. 0< x<0.5
用 Lingo 求解得：x =0.1667 米，体积为:0.0741 立方米。
目标函数 min Z=XTQX+CTX+K
s.t. AX≥B
(7.1.2)
X≥0
式中：Q 为正定或半正定对称矩阵。
当目标函数和约束条件是多元多项式时，这种规划叫几何规划，其一般形式为：
目标函数
m ⎡n
⎤
min
F(
X
)
=
∑ Ci
i
⎢∏
⎢⎣ j=1
X
j
•
pij
⎥ ⎥⎦
s.t.
G(X
)
=
∑
ai
⎢⎡∏n
X
j
7.1 非线性系统最优化模型
线性规划模型有很大的局限性，它只适用于变量间呈现线性关系的系统。然而实
际系统往往不能用线性函数表示其目标，也不能用线性关系表示其约束。因此，研究非
线性系统最优化模型的建立和求解方法是很必要的。
非线性最优化模型是数学规划模型中目标函数f(X)或约束条件gi(X)≥0 中的任 何一个线性规划问题。
wi=100 200 300 400 500;
b=1;
enddata
min=b*@sum(zuob(i):wi(i)*((x-xi(i))^2+(y-yi(i))^2)^0.5);
@free(x); @free(y);
end
求解结果为：x=5，y=7，运费最小值为8008.55元。 如果在某个位置不允许建立加工点，可将位置以一约束条件表示。如在原点附近
单位变动费用若以C2表示，则变动费用为C2Q。所以组织进货费用为 T2=C1+C2Q=C1+C2Rt
总费用为：
(7.1.19)
C
=
T1
+ T2
=
1 2
Rt 2h
+
C1
+
C2 Rt
单位时间总费用为
(7.1.20)
T (t)
=
C t
=
1 2
Rth +
C1 t
+ C2R
(7.1.21)
由式（7.1.21）可见，单位时间的总费用是存储周期的函数，是由直线 1 Rth 和曲 2
标为p(x,y)，各工地位置的坐标为pi(xi,yi)(见图 7.1.1），则第i个工地与搅拌站的距离可由解析几何
(x3○,y3)
的两点间距离公式求得： di = (x − xi )2 + ( y − yi )2
(x○2,y2) ●
(x,y)
搅拌站向第 i 个工地供应原料的运费为： ci=wi·di·β
y(2), … … ， 如 此 计 算 下 去 ， 直 到 计 算 出 x(n+1) 、 y(n+1) ， 使 ‖ p(x(n+1),y(n+1))-p(x(n),y(n)‖≤ε（ε为预先确定的精度）为止，即可得到满足一定精
度要求的搅拌站建设位置的坐标。
假设有五个工地，各工地的坐标位置为（3，5）、（2，10）、（8，16）、（5，7）、
•
q ij
⎤ ⎥
⎣ j=1
⎦
(7.1.3)
各种不同形式的模型，可解决不同类型的问题，也有不同的求解方法，本节主要 介绍各种模型的建立方法。
7.1.1 最优选址问题
某城区欲建立一服务设施，如何选择建设地址才能使付出的代价最小呢？例如一 个居民区，把学校、商店、幼儿园选在什么位置使群众最方便？一个林区木材加工厂设 在什么位置才能使各林业局所提供的木材运费最低？这些都是最优选址问题，它们可用 无约束的非线性规划模型来解决。如果学校、幼儿园不能建在繁华的闹市区或主要街道 旁，加工厂不能建在生产易燃、易爆产品的工厂附近，这就构成了对问题的某种限制，
2
（12，3），每天所需的混凝土数量分别为 100 吨、200 吨、300 吨、400 吨、500 吨， 每吨千米运费为 1 元，则按上述模型用 Lingo 求解程序如下： model:
sets:
zuob/1..5/:xi,yi,wi;
endsets
data:
xi=3 2 8 5 12;
yi=5 10 16 7 3;
是一个半径为 R 的水塘，且有一水沟（见图 7.1.2），因此加工点不能建在水沟和水塘 上，该限制条件可描述为
x2+y2≥R2
x≠y
因此得有约束的非线性规划模型为
y
目标函数：min C= β ∑ wi di
i
(x○1,y1)
约束条件：①加工点不能建在水塘上
x2+y2≥R2
(7.1.9)
②加工点不能建在水沟中
搅拌站向各工地供应原料的总运费为：
C = ∑ci = β ∑ widi = β ∑ wi (x − xi )1 + ( y − yi )2 因
i
i
i
此，该问题的目标函数为：
○
0
x
○ (xi,yi)
图 7.1.1
min C = β ∑ wi ( x − xi )2 + ( y − yi )2
(7.1.4)
用T(t*)为
Q*=Rt*= 2RC1 h
费用
总费用
1 Rth (2存储费)
C1 t
(组织进货费)
t*
t
图 7.1.6 总费用与存储费用、进货费用的关
系
(7.1.24)
T(t*)= 2RC1h + C2 R
由式（7.1.23）和式（7.1.24）可见，最佳存储周期、最佳进货批量与C2无关， 它只由物资消耗速度、单位物资的存储费用和组织进货的固定费用决定。
根据该模型，选择适当的 x、y 就可使 C 达最小。 由数学分析知，求函数极小值的必要条件为：
∂C = o ∂x
∂C = o ∂y
对 C 求偏导得：
∂C ∂x
=
β∑
i
wi di
(x −
xi )
=
o
∂C ∂y
=
β∑
i
wi di
(y −
yi )
=
o
解该联立方程得：
(7.1.5) (7.1.6)
∑ wi xi
1
这类问题可用有约束的非线性规划模型来解决。
【例 7．1】某公司准备建一临时混凝土搅拌站，向各工地供应商品混凝土，现需
确定搅拌站建在什么位置，才能使它向各工地供应混凝土的费用最低。
设第i个工地的混凝土需求量为wi；单位混凝土 的运费为β（元/吨·千米）。
采用笛卡儿坐标系，设混凝土搅拌站位置的坐
y
(x○1,y1)
系。
一个存储周期是由进货、生产消耗到再进货为止的全部时间，是两次进货所间隔
的时间 t。在 t 时间内，系统的总费用 C 由
下式决定：
Q Q-Rt
C=T1+T2
(7.1.15)
式中： T为物资存储费用；T2为组织进货费
用。
根据假设，进货量 Q 应满足 t 时间内
0
t
t
图 7.1.5
t 的生产需求，所以 Q =R t
2×0.02 (x z+y z+x y)•n≤10 ②长和宽不能超过材长。
(7.1.10)
0.5≤x≤1.5 0.5≤y≤1.5 0.5≤z≤1.5 ③木箱个数、长度、宽度、高度非负。
n≥0 且为整数， x≥0， y≥0， z≥0 用 Lingo 求解，得 x = y= z=1.5 米，n=37 个，总体积为 124.875 立方米。