单一指数模型
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基于单一指数模型的银行业系统风险实证研究
设资产 收益只与市场 总体 收益相关 ，使计 算量大 大降低 。该模型 为： Ｅ ） ｒ ３ ×［ （ 一 ｆ （ ＝ ． Ｅ ｒ） ｒ ＋１ ］ （） １
独特风 险两部分 。 中市场 风险是 系统风 其
险 ， １正是 反 映 了系统 风 险 ， 个股 对 而 ３ 即 市场 （ 大盘 ） 或 变化 的敏 感性 。具体来说 ， 如果 股票 的贝 塔 系数大 于 １ 说 明该股 票 ，
市场 指数 收益率 之 间的协 方差 ， ２ ａｍ 是股
物 ，且计算量很大 又不能有效区分风 险类
型 （ 系统风险和非 系统风险 ）资产组 合模
型 ， 出了著名 的 １ 提 ３值理 论 ， 即用 １ 度 ３值 量单个证券投资 的系统风险。并 由此 建立
票市 场指 数收益 率的 方差 。这样 ，股票 ｉ 的 总体 风险 可 以分 解 为市 场风 险 和公 司
Байду номын сангаас
【 关键词 】商业银行 ； 贝塔 系数 ； Ｏ Ｓ Ｃ ｏ Ｌ ； ｈ ｗ检验 法； 相 关系数
一
、
引 言
验法”来判断贝塔系数的相关性及稳定性 试图找出我 国银行股的市场风险情 况。
其 中 ： 是 某 一给 定 时期 证券 ｉ 回 ｒ 的 报率。 ｒ 同 时期股 票 市场 指 数 ｍ 的回 是 报率 ； 是 股 票 ｉ １ ３ 的收 益 率对 于股 市 指 数 的敏感 度 ， 是 方程 的截 距项 ，不 同 ａ 股票 的 Ｏ 值 一 般 不相 同 ； 是 误 差项 ， Ｃ Ｅ 它是 一 个 白噪 声 ， 即均 值 为 Ｏ 标准 差 为 ， ｒ ｄ 的随机 变量。对式 （ ） 用最小 二乘 ２采 法得到 的回 归直线 方程被称 为“ 证券特 征 线” 。对 （ ） ２ 式两 边取期 望值 ， 则有 ：
独特风 险两部分 。 中市场 风险是 系统风 其
险 ， １正是 反 映 了系统 风 险 ， 个股 对 而 ３ 即 市场 （ 大盘 ） 或 变化 的敏 感性 。具体来说 ， 如果 股票 的贝 塔 系数大 于 １ 说 明该股 票 ，
市场 指数 收益率 之 间的协 方差 ， ２ ａｍ 是股
物 ，且计算量很大 又不能有效区分风 险类
型 （ 系统风险和非 系统风险 ）资产组 合模
型 ， 出了著名 的 １ 提 ３值理 论 ， 即用 １ 度 ３值 量单个证券投资 的系统风险。并 由此 建立
票市 场指 数收益 率的 方差 。这样 ，股票 ｉ 的 总体 风险 可 以分 解 为市 场风 险 和公 司
Байду номын сангаас
【 关键词 】商业银行 ； 贝塔 系数 ； Ｏ Ｓ Ｃ ｏ Ｌ ； ｈ ｗ检验 法； 相 关系数
一
、
引 言
验法”来判断贝塔系数的相关性及稳定性 试图找出我 国银行股的市场风险情 况。
其 中 ： 是 某 一给 定 时期 证券 ｉ 回 ｒ 的 报率。 ｒ 同 时期股 票 市场 指 数 ｍ 的回 是 报率 ； 是 股 票 ｉ １ ３ 的收 益 率对 于股 市 指 数 的敏感 度 ， 是 方程 的截 距项 ，不 同 ａ 股票 的 Ｏ 值 一 般 不相 同 ； 是 误 差项 ， Ｃ Ｅ 它是 一 个 白噪 声 ， 即均 值 为 Ｏ 标准 差 为 ， ｒ ｄ 的随机 变量。对式 （ ） 用最小 二乘 ２采 法得到 的回 归直线 方程被称 为“ 证券特 征 线” 。对 （ ） ２ 式两 边取期 望值 ， 则有 ：
因素模型
因素模型杨长汉1证券资产价格的决定因素是多种多样的，西方学者在研究中采取了多种多样的方法去探讨证券价格的决定因素。
最主要的两种模型就是单因素模型和多因素模型。
一、单因素模型(Single-Index Model)夏普(William Sharp)于1963年建立了单因素模型2。
单因素模型是指证劵价格的影响因素只有一个，而如果有两个或两个以上的因素，则称为多因素模型。
单因素模型的基本思想是：当市场指数上升时，市场中大部分证券资产的价格就会上涨；相反，当市场指数下降时，市场中大部分证券资产的价格就会下降。
单因素模型中有以下两个基本假设条件：第一，证券的风险分为系统性风险和非系统性风险，而这里所讲的因素仅指系统性风险。
第二，一个证券的非系统性风险与其他证券的非系统性风险之间的相关系数为零，两种证券之间的相关性仅取决于共同的市场因素。
在单因素模型中，主要有两个基本因素会造成证券收益率的波动：一是宏观经济环境因素，比如GDP 增长率、利率、通货膨胀率等，这些因素的变化会引起证券市场中所有证券收益率的变化，相对于市场中的系统性风险；二是微观因素的影响，如公司的财务状况、公司的经营状况以及突发事件等，这些因素的变化只会引起个别证券收益率的变化，相当于市场中的非系统性风险，可以通过多样化的投资组合进行分散。
我们以股票的收益率和股价指数的收益率为例，可以得到如下单因素模型公式： it it i mt it r A R βξ=++这一公式揭示了股票的收益率与市场指数收益率之间的关系。
其中，it r 为t 时期证券i 的收益率，mt R 为t 时期市场指数的收益率，i β为斜率，表明股票收益率波动对市场指数波动的反应程度，代表两者的相关关系，it A 是截距项，反映市场指数为零时股票收益率的大1 文章出处：《中国企业年金投资运营研究》 杨长汉 著杨长汉，笔名杨老金。
师从著名金融证券学者贺强教授，中央财经大学MBA 教育中心教师、金融学博士。
指数模型
其他原因导致股票协同 运动。
概括单指数模型：
基本方程： Ri i i R m ei
通过构建：均值 ei E ei 0
通过假定：
（1）指数与特有收益不相 关： E ei R m R m 0 (2 )证券仅通过对市场的共 同反应而相互关联： E eie j 0
4.共同宏观因导 素致 不的 确误 定差 性
2 2 iM
5.公司特定因导 素致 不的 确误 定差 性
2ei
需要估计的变量：
n个超额收益估计值i
n个敏感系数估计值i
n个公司特有方差的估计值 2 ei 3n 21个市场Fra bibliotek价估计值ERM
1个宏观经济因素方
马科维茨模型缺陷
• 协方差矩阵需要大量的估计值
假设需分析50个股票，则需估计：
n=50个期望收益的估计
n=50个方差估计 (n2-n)/2=1225个协方差估计
1325个估计值
若n=100,需估计5150，若n=3000,需估 计450万个值
• 未对预测证券的风险溢价有任何指导作用
• 金融机构按行业划分分析师，一个分析师 只跟踪某类行业股票
如果投资组合
P 是市场组合（所有股票
的持有比例等同于
构建 R m 的比例），则投资组合 那么， p 0 ， p 1
P 的期望收益必须等于
投资组合方差可写为：
NN
N
2 P
X
iX
j i
j
2 m
X
2 i
2 ei
i1 j1
i1
整理得：
单一指数模型
E(rA)=E[rA-E(rA)]2=E{(αA+βArm+εA)-[αA+βAE(rm)]}2
经展开推导,成果为:
这一计算公式表白,资产A旳风险是由两部分构成旳: 是市场风险,或称系统 风险; 是企业特有旳风险,或称非系统风险。系统风险对全部资产都会产生 影响,无法靠多样化投资来回避;非系统风险则是企业特有旳,与其他企业无关, 能够靠多样化投资来分散。
资产组合中旳资产数量
1 3 4 7 10 20 35 50
有关系数
0.60 0.73 0.84 0.88 0.92 0.97 0.97 0.98
表10—1 1954—1961年和1961—1968年各资产组合β值旳有关系数
可见,对单个资产来说,β值旳预测能力很差,因为在有关系数为0.6时,历史β 值只能阐明将来β值旳36%(鉴定系数是有关系数旳平方)。伴随资产组合旳扩 大,β值旳预测能力才有所改善。所以,使用β值进行预测比较适合于多样化旳资 产组合,而用于选股则不太适合。
单一指数模型被广泛用来估计马柯维茨模型要计算旳资产组合旳方差。 但是,因为单一指数模型为简化计算作了某些假设,这必然会造成由此计算出 旳方差值与马柯维茨模型计算出旳方差值之间存在差别。清楚地认识这种偏 差,对于我们合理利用单一指数模型旳方差值是十分主要旳。
可见,用单一指数模型计算旳资产组合方差旳估计值与真实值之间旳差 别取决于 xixjcov(εi,εj)。单一指数模型假设cov(εi,εj)=0,所以假如实际情 况是各资产误差项为正有关,单一指数模型就会低估资产组合旳方差;反之,则 会高估。
也就是说,当投资种类非常多旳时候,资产组合旳风险将主要来自市场,非系 统风险将会非常低。换句话说,单一指数模型表白,多样化能够有效降低非系统 风险,但无法规避系统风险。这一结论与马柯维茨模型旳推论是一致旳,只是更 详细而已(见图10—2)。
经展开推导,成果为:
这一计算公式表白,资产A旳风险是由两部分构成旳: 是市场风险,或称系统 风险; 是企业特有旳风险,或称非系统风险。系统风险对全部资产都会产生 影响,无法靠多样化投资来回避;非系统风险则是企业特有旳,与其他企业无关, 能够靠多样化投资来分散。
资产组合中旳资产数量
1 3 4 7 10 20 35 50
有关系数
0.60 0.73 0.84 0.88 0.92 0.97 0.97 0.98
表10—1 1954—1961年和1961—1968年各资产组合β值旳有关系数
可见,对单个资产来说,β值旳预测能力很差,因为在有关系数为0.6时,历史β 值只能阐明将来β值旳36%(鉴定系数是有关系数旳平方)。伴随资产组合旳扩 大,β值旳预测能力才有所改善。所以,使用β值进行预测比较适合于多样化旳资 产组合,而用于选股则不太适合。
单一指数模型被广泛用来估计马柯维茨模型要计算旳资产组合旳方差。 但是,因为单一指数模型为简化计算作了某些假设,这必然会造成由此计算出 旳方差值与马柯维茨模型计算出旳方差值之间存在差别。清楚地认识这种偏 差,对于我们合理利用单一指数模型旳方差值是十分主要旳。
可见,用单一指数模型计算旳资产组合方差旳估计值与真实值之间旳差 别取决于 xixjcov(εi,εj)。单一指数模型假设cov(εi,εj)=0,所以假如实际情 况是各资产误差项为正有关,单一指数模型就会低估资产组合旳方差;反之,则 会高估。
也就是说,当投资种类非常多旳时候,资产组合旳风险将主要来自市场,非系 统风险将会非常低。换句话说,单一指数模型表白,多样化能够有效降低非系统 风险,但无法规避系统风险。这一结论与马柯维茨模型旳推论是一致旳,只是更 详细而已(见图10—2)。
单指数模型的最优风险投资组合研究
１ ．单指数模型和最优风 险投 资组合 的构建
１ ． １单 指 数 模 型
样 本 ，数据来 源于锐 思数据库 ，并选取锐思数据库 中月 度无风险收 益率 为本文的无风险收益率 。以此计算 相应的超 额收益。
２ ．１ 基于Ｅ Ｘ Ｃ Ｅ Ｌ的回归分析—— 以中国软件为例
与马科维茨资产组合选择模 型相 比，单指数模 型克服 了马克维茨模 型必须使用大量数据的缺点 。能更好地解决 Ｇ Ｉ Ｇ Ｏ问题 。使 得单指数模 型具有可操作性的合理方法是将某个 有代表性 的大 盘综合 指数 的收益率 视为共 同宏观经济因素 ，也就是使用市场指数来代 表共同经济 因素 ，这 样任何单一证券 的超额收益率就只与这一共同的宏观经济 因素有关。其
回 归统计
ｍｎｔｉ ☆ Ｒ
Ｏ． ｅ ２ ６
Ｏ． ３ ６ ３ １
ｗ Ｉ ： 而
ａ
— ｗ ” ‘ ：
， ’ （ ｅ ｈ ）： ） ∑ ， ｗ ‘ ａ （ ｅ ｉ ）
Ｒ ｓ 口 ｕ ｅ
Ａ ｄｊ ｕ ｓ ｔ ｅ ｄ Ｒ￥ ｑ ｔ ￣ ａ ｒ ｅ ０ ． ３ ５ ２ｔ
根据公式 （ １ ） ，利用 Ｅ Ｘ Ｃ Ｅ Ｌ数据 分析进行 回归 。从 表 １ 可 以看 出 中国软件和沪深 ３ ０ ０指数 的相关性较 高 ，达到 了 ０ ．６ Ｏ ２ ６ 。Ｒ Ｓ ｑ ｕ ｍ 值 测度了 回归直线对观观测数据的拟 合度 ，０ ．３ ６ ３ １ 表 明沪深 ３ ０ ０ 指 数超 额收益解释了大约 ３ ６ ％的 中国软件超额收益变化程度 。 根据表 １ 方差分析的结果 ，回归平方和为 ０ ．９ ４ ３ ３解释 了中国软件 超额收益 的总变差 中由于 中国软件和沪深 ３ ０ ０指数之间 的线 性关系 引起 的中国软件超额收益变化 的部分 ，残差平方和 为 １ ．６ ３ ９ １ 解 释 了除 了中 国软件 和沪深 ３ ０ ０指数的线性影响之外的其他因素对 中国软件超额 收益 变差 的作用 ，即不 能由回归直线来 解释 的中国软件 超额收 益变差部 分。 线性 关系检 验的 Ｆ值为 ３ ３ ． ０ ６ ５ ７表 明 自变量沪 深 ３ ０ ０指 数超 额收益 和 因变 量中国软件超 额收益之 间的线性关 系显著 。 表１ 对 中国软件证券特 征线 的截距 和斜率 的估计分 别为 ０ ．０ １ ８ ５和 １ ．２ ８ ３ ３ 。对于截距 ｉ ｘ的估计值 ０ ．０ １ ８ ５ ， ０ ．８ ４ ９ ８的 ｔ 统计 表 明估 计值 不显 著异于 ０ ，也就是 我们无法拒 绝 ａ值等 于 Ｏ的原 假设 。同时，截距 ｘ的 Ｐ ｉ 值为 ０ ．３ ９ ８ ９ 表 明如果 真实 的 Ｏ ｔ 值为０ ，那么我们 有 ３ ９ ．８ ９ ％的 概率得到一个 ０ ．０ １ ８ ５ 的估计值 。因此 ，从 回归结果 的数据分 艄 ～ ∞驰 析 ，我们 无法拒绝真实 值为 ０的原假设 。而对 于斜率 Ｂ的估计值 １ ．２ ８ ３ ３ 。ｔ 统 一 仉 Ｌ 计值为 ５ ．７ ５ ０ ３和几乎 为 ０的 Ｐ 值表 明 Ｂ值显著 异于 Ｏ ，也就是说 我们 可以拒绝真实 ８值为 Ｏ的原假设 。
CH10 确定最小方差资产组合的方法和单一指数模型(证券投资学,南京审计学院 张维)解析
B xB
N
MYP E D C
F
A
Y
xA
12
13
14
用拉格朗日乘数法：以两个组 合为例
x x 2 x A x B cov(rA , rB )
2 p 2 A 2 A 2 B 2 B
s.t. 1, E (rp ) x A E (rA ) x B E (rB ) 2, x A x B 1
17
单一指数模型的假设
1.基本假设。单一指数模型的基本假设就是， 影响资产价格波动的主要和共同的因素是市场 总体价格水平的变动 2.对影响收益波动因素的假设。单一指数模型 假设影响资产收益率波动的因素有两类：宏观 因素和微观因素。宏观因素影响市场全局，如 利率的调整、通货膨胀的变动等，会引起市场 价格水平总体的涨落，进而带动绝大部分资产 的价格变动，属于系统风险。微观因素被假定 只对个别企业有影响，称为非系统风险。 3.对误差项A的假设 E(A)=0
(2)资产方差的计算
2 2
E{( A Arm A ) [ A A E (rm )]}
19
2 A
2 2 2 A m A
20
计算资产及资产组合的预期收益 和风险
(3)资产之间协方差的计算。
2 cov(rA , rB ) A B m
i i i 1
E (rp ) A p p E ( rm )
22
计算资产及资产组合的预期收益 和风险
（5）资产组合的方差。
2 2 2 2 p p m p
23
Supplemental Reading
Indexed Investing: A Prosaic Way to Beat the Average Investor
N
MYP E D C
F
A
Y
xA
12
13
14
用拉格朗日乘数法：以两个组 合为例
x x 2 x A x B cov(rA , rB )
2 p 2 A 2 A 2 B 2 B
s.t. 1, E (rp ) x A E (rA ) x B E (rB ) 2, x A x B 1
17
单一指数模型的假设
1.基本假设。单一指数模型的基本假设就是， 影响资产价格波动的主要和共同的因素是市场 总体价格水平的变动 2.对影响收益波动因素的假设。单一指数模型 假设影响资产收益率波动的因素有两类：宏观 因素和微观因素。宏观因素影响市场全局，如 利率的调整、通货膨胀的变动等，会引起市场 价格水平总体的涨落，进而带动绝大部分资产 的价格变动，属于系统风险。微观因素被假定 只对个别企业有影响，称为非系统风险。 3.对误差项A的假设 E(A)=0
(2)资产方差的计算
2 2
E{( A Arm A ) [ A A E (rm )]}
19
2 A
2 2 2 A m A
20
计算资产及资产组合的预期收益 和风险
(3)资产之间协方差的计算。
2 cov(rA , rB ) A B m
i i i 1
E (rp ) A p p E ( rm )
22
计算资产及资产组合的预期收益 和风险
（5）资产组合的方差。
2 2 2 2 p p m p
23
Supplemental Reading
Indexed Investing: A Prosaic Way to Beat the Average Investor
单一指数模型
图10—3中的直线截距为α i,斜率为βi。如果所有的点Ri都恰好落在这条线 上,那么所有的偏离度ei都为零。然而,一般地,某些点会落在直线上方,某些点 又会落在直线下方,因此,偏离度既可能为正值,也可能为负值。
图10—3 单一指数模型的应用
单一指数模型中的β值是利用收益率的历史数据估算出来的,由于β值常 常被人们用来作为投资决策的依据,因此,一个很重要的问题便是,用历史的β 值来预测未来的可靠性有多大。
二、资产组合的收益和风险的确定
1.资产组合的期望收益 计算资产组合期望收益就是将资产期望收益的计算公式代入计算资产组 合期望收益的标准公式后进行展开推导。公式为:
如果定义 xiαi=Ap, xiβi=βp,就可以把资产组合的期望收益表示为: E(rp)=Ap+βpE(rm)
2.资产组合的方差 在单一指数模型中,资产组合方差的计算公式和单个资产方差的计算公式类 似:
假设资产组合中各资产权数相同,即x1=x2=…=xn= ,则
这样,当N→∞时,
将趋于0。这时,资产组合的方差就主要依市场收益
率的波动而定,两者联动性的大小取决于资产组合的β值,即
也就是说,当投资种类非常多的时候,资产组合的风险将主要来自市场,非系 统风险将会非常低。换句话说,单一指数模型表明,多样化可以有效降低非系统 风险,但无法规避系统风险。这一结论与马柯维茨模型的推论是一致的,只是更 具体而已(见图10—2)。
微观因素被假定只对个别企业有影响,对其他企业一般没有影响,是个别企 业特有的风险,或称为非系统风险。由企业微观因素造成的使企业资产价格高 于或低于市场价格水平的价格波动,在方程式中是用收益误差项表示的,在rA与 rm坐标图上反映为资产收益率的实际值与特征线之间的差距εA。
投资组合理论简介
投资组合理论简介投资组合理论有狭义和广义之分。
狭义的投资组合理论指的是马柯维茨投资组合理论；而广义的投资组合理论除了经典的投资组合理论以及该理论的各种替代投资组合理论外，还包括由资本资产定价模型和证券市场有效理论构成的资本市场理论。
同时,由于传统的EMH 不能解释市场异常现象，在投资组合理论又受到行为金融理论的挑战。
投资组合理论的提出[1]美国经济学家马考维茨(Markowitz)1952年首次提出投资组合理论（Portfolio Theory)，并进行了系统、深入和卓有成效的研究，他因此获得了诺贝尔经济学奖。
该理论包含两个重要内容：均值－方差分析方法和投资组合有效边界模型。
在发达的证券市场中，马科维茨投资组合理论早已在实践中被证明是行之有效的，并且被广泛应用于组合选择和资产配置。
但是，我国的证券理论界和实务界对于该理论是否适合于我国股票市场一直存有较大争议。
从狭义的角度来说，投资组合是规定了投资比例的一揽子有价证券，当然，单只证券也可以当作特殊的投资组合。
人们进行投资，本质上是在不确定性的收益和风险中进行选择。
投资组合理论用均值—方差来刻画这两个关键因素。
所谓均值，是指投资组合的期望收益率，它是单只证券的期望收益率的加权平均，权重为相应的投资比例。
当然，股票的收益包括分红派息和资本增值两部分。
所谓方差，是指投资组合的收益率的方差。
我们把收益率的标准差称为波动率，它刻画了投资组合的风险。
人们在证券投资决策中应该怎样选择收益和风险的组合呢？这正是投资组合理论研究的中心问题。
投资组合理论研究―理性投资者‖如何选择优化投资组合。
所谓理性投资者，是指这样的投资者：他们在给定期望风险水平下对期望收益进行最大化，或者在给定期望收益水平下对期望风险进行最小化。
因此把上述优化投资组合在以波动率为横坐标，收益率为纵坐标的二维平面中描绘出来，形成一条曲线。
这条曲线上有一个点，其波动率最低，称之为最小方差点（英文缩写是MVP）。
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6
2) Main Assumptions of Single-index model
(1) The returns on stocks tend to change in a similar fashion as an average return on the market, because the same economic factors affect almost all firms. This implies the excess return on stock i over risk-free rate can be decomposed into three components: ri－rf = αi + βi(rm－rf ) + ei (10.1)
(3) Mean and variance differing combinations of 4 assets.
This is fine when the portfolio consists of only two assets. What if there are 20 assets to construct? you need the information: n = 20 estimates of E(Ri) n = 20 estimates of variances n(n - 1)/2 = 190 estimates of covariances 230 estimates So for each combination we need 230 estimates.
Hale Waihona Puke 10.1 Guidelines
Ⅰ.单一指数证券市场 1. 证券的收益与方差 Ⅰ. A single-index security market
1. Security’s returns and its variance ① “均值-方差模型“的 ① The limitation of the “mean, variance 局限性 approach” ② 单一指数模型的主要 ② Main assumptions for single-index model 假设 2. Estimating the single index 2. 估计单一指数模型 model 3. Single index model and 3. 单一指数模型与多样化 diversification 4. 多样化组合对比单一资产 4. Well-diversified portfolio 3 versus single assets
Chapter 10
Single index model
单一指数模型
1
The main goal of this chapter is to introduce Sharpe’s Single Index Model of Capital Asset Pricing.
According to the Single Index Model, by using observable realized returns on a security to regress a relationship between realized returns on that security and the market index, we can examine how the returns on a particular asset or portfolio changes with respect to the returns of the market.
8
We further denote excess returns over the riskfree rate by R（因为股票市场的收益超出或低于 无风险资产收益的那部分的大小可以代表宏观经 济状况）. rewrite this equation as
7
Three components of the excess return on stock i over risk-free rate
(1)αi :A constant常数, which is different for each stock. (2)βi(rm-rf ) ：A component proportional to the excess return on market index, rm-rf. (3) ei :A random and unpredictable component due to unexpected events that are relevant only to this stock (firm specific).
1. Security’s Returns and its Variance
1) The limitation of the “mean, variance approach” “ The mean, variance approach” to portfolio analysis involves estimating and then selecting the portfolio that offers the best mean-variance combination. With “The mean, variance approach”, Consider what we need to do: (1) Mean and variance of each asset. (2) Correlation between each asset.
5
In light of the fact that a 20-security portfolio is relatively small, if n = 200 we need 20,300 estimates per combination. Single-index model enables us to dramatically reduce the number of parameters required to perform portfolio analysis.