单一指数模型
基于单一指数模型的银行业系统风险实证研究
独特风 险两部分 。 中市场 风险是 系统风 其
险 ， １正是 反 映 了系统 风 险 ， 个股 对 而 ３ 即 市场 （ 大盘 ） 或 变化 的敏 感性 。具体来说 ， 如果 股票 的贝 塔 系数大 于 １ 说 明该股 票 ，
市场 指数 收益率 之 间的协 方差 ， ２ ａｍ 是股
物 ，且计算量很大 又不能有效区分风 险类
型 （ 系统风险和非 系统风险 ）资产组 合模
型 ， 出了著名 的 １ 提 ３值理 论 ， 即用 １ 度 ３值 量单个证券投资 的系统风险。并 由此 建立
票市 场指 数收益 率的 方差 。这样 ，股票 ｉ 的 总体 风险 可 以分 解 为市 场风 险 和公 司
Байду номын сангаас
【 关键词 】商业银行 ； 贝塔 系数 ； Ｏ Ｓ Ｃ ｏ Ｌ ； ｈ ｗ检验 法； 相 关系数
一
、
引 言
验法”来判断贝塔系数的相关性及稳定性 试图找出我 国银行股的市场风险情 况。
其 中 ： 是 某 一给 定 时期 证券 ｉ 回 ｒ 的 报率。 ｒ 同 时期股 票 市场 指 数 ｍ 的回 是 报率 ； 是 股 票 ｉ １ ３ 的收 益 率对 于股 市 指 数 的敏感 度 ， 是 方程 的截 距项 ，不 同 ａ 股票 的 Ｏ 值 一 般 不相 同 ； 是 误 差项 ， Ｃ Ｅ 它是 一 个 白噪 声 ， 即均 值 为 Ｏ 标准 差 为 ， ｒ ｄ 的随机 变量。对式 （ ） 用最小 二乘 ２采 法得到 的回 归直线 方程被称 为“ 证券特 征 线” 。对 （ ） ２ 式两 边取期 望值 ， 则有 ：
因素模型
因素模型杨长汉1证券资产价格的决定因素是多种多样的，西方学者在研究中采取了多种多样的方法去探讨证券价格的决定因素。
最主要的两种模型就是单因素模型和多因素模型。
一、单因素模型(Single-Index Model)夏普(William Sharp)于1963年建立了单因素模型2。
单因素模型是指证劵价格的影响因素只有一个，而如果有两个或两个以上的因素，则称为多因素模型。
单因素模型的基本思想是：当市场指数上升时，市场中大部分证券资产的价格就会上涨；相反，当市场指数下降时，市场中大部分证券资产的价格就会下降。
单因素模型中有以下两个基本假设条件：第一，证券的风险分为系统性风险和非系统性风险，而这里所讲的因素仅指系统性风险。
第二，一个证券的非系统性风险与其他证券的非系统性风险之间的相关系数为零，两种证券之间的相关性仅取决于共同的市场因素。
在单因素模型中，主要有两个基本因素会造成证券收益率的波动：一是宏观经济环境因素，比如GDP 增长率、利率、通货膨胀率等，这些因素的变化会引起证券市场中所有证券收益率的变化，相对于市场中的系统性风险；二是微观因素的影响，如公司的财务状况、公司的经营状况以及突发事件等，这些因素的变化只会引起个别证券收益率的变化，相当于市场中的非系统性风险，可以通过多样化的投资组合进行分散。
我们以股票的收益率和股价指数的收益率为例，可以得到如下单因素模型公式： it it i mt it r A R βξ=++这一公式揭示了股票的收益率与市场指数收益率之间的关系。
其中，it r 为t 时期证券i 的收益率，mt R 为t 时期市场指数的收益率，i β为斜率，表明股票收益率波动对市场指数波动的反应程度，代表两者的相关关系，it A 是截距项，反映市场指数为零时股票收益率的大1 文章出处：《中国企业年金投资运营研究》 杨长汉 著杨长汉，笔名杨老金。
师从著名金融证券学者贺强教授，中央财经大学MBA 教育中心教师、金融学博士。
指数模型
其他原因导致股票协同 运动。
概括单指数模型：
基本方程： Ri i i R m ei
通过构建：均值 ei E ei 0
通过假定：
（1）指数与特有收益不相 关： E ei R m R m 0 (2 )证券仅通过对市场的共 同反应而相互关联： E eie j 0
4.共同宏观因导 素致 不的 确误 定差 性
2 2 iM
5.公司特定因导 素致 不的 确误 定差 性
2ei
需要估计的变量：
n个超额收益估计值i
n个敏感系数估计值i
n个公司特有方差的估计值 2 ei 3n 21个市场Fra bibliotek价估计值ERM
1个宏观经济因素方
马科维茨模型缺陷
• 协方差矩阵需要大量的估计值
假设需分析50个股票，则需估计：
n=50个期望收益的估计
n=50个方差估计 (n2-n)/2=1225个协方差估计
1325个估计值
若n=100,需估计5150，若n=3000,需估 计450万个值
• 未对预测证券的风险溢价有任何指导作用
• 金融机构按行业划分分析师，一个分析师 只跟踪某类行业股票
如果投资组合
P 是市场组合（所有股票
的持有比例等同于
构建 R m 的比例），则投资组合 那么， p 0 ， p 1
P 的期望收益必须等于
投资组合方差可写为：
NN
N
2 P
X
iX
j i
j
2 m
X
2 i
2 ei
i1 j1
i1
整理得：
CH10 确定最小方差资产组合的方法和单一指数模型(证券投资学,南京审计学院 张维)解析
N
MYP E D C
F
A
Y
xA
12
13
14
用拉格朗日乘数法：以两个组 合为例
x x 2 x A x B cov(rA , rB )
2 p 2 A 2 A 2 B 2 B
s.t. 1, E (rp ) x A E (rA ) x B E (rB ) 2, x A x B 1
17
单一指数模型的假设
1.基本假设。单一指数模型的基本假设就是， 影响资产价格波动的主要和共同的因素是市场 总体价格水平的变动 2.对影响收益波动因素的假设。单一指数模型 假设影响资产收益率波动的因素有两类：宏观 因素和微观因素。宏观因素影响市场全局，如 利率的调整、通货膨胀的变动等，会引起市场 价格水平总体的涨落，进而带动绝大部分资产 的价格变动，属于系统风险。微观因素被假定 只对个别企业有影响，称为非系统风险。 3.对误差项A的假设 E(A)=0
(2)资产方差的计算
2 2
E{( A Arm A ) [ A A E (rm )]}
19
2 A
2 2 2 A m A
20
计算资产及资产组合的预期收益 和风险
(3)资产之间协方差的计算。
2 cov(rA , rB ) A B m
i i i 1
E (rp ) A p p E ( rm )
22
计算资产及资产组合的预期收益 和风险
（5）资产组合的方差。
2 2 2 2 p p m p
23
Supplemental Reading
Indexed Investing: A Prosaic Way to Beat the Average Investor
单一指数模型
图10—3中的直线截距为α i,斜率为βi。如果所有的点Ri都恰好落在这条线 上,那么所有的偏离度ei都为零。然而,一般地,某些点会落在直线上方,某些点 又会落在直线下方,因此,偏离度既可能为正值,也可能为负值。
图10—3 单一指数模型的应用
单一指数模型中的β值是利用收益率的历史数据估算出来的,由于β值常 常被人们用来作为投资决策的依据,因此,一个很重要的问题便是,用历史的β 值来预测未来的可靠性有多大。
二、资产组合的收益和风险的确定
1.资产组合的期望收益 计算资产组合期望收益就是将资产期望收益的计算公式代入计算资产组 合期望收益的标准公式后进行展开推导。公式为:
如果定义 xiαi=Ap, xiβi=βp,就可以把资产组合的期望收益表示为: E(rp)=Ap+βpE(rm)
2.资产组合的方差 在单一指数模型中,资产组合方差的计算公式和单个资产方差的计算公式类 似:
假设资产组合中各资产权数相同,即x1=x2=…=xn= ,则
这样,当N→∞时,
将趋于0。这时,资产组合的方差就主要依市场收益
率的波动而定,两者联动性的大小取决于资产组合的β值,即
也就是说,当投资种类非常多的时候,资产组合的风险将主要来自市场,非系 统风险将会非常低。换句话说,单一指数模型表明,多样化可以有效降低非系统 风险,但无法规避系统风险。这一结论与马柯维茨模型的推论是一致的,只是更 具体而已(见图10—2)。
微观因素被假定只对个别企业有影响,对其他企业一般没有影响,是个别企 业特有的风险,或称为非系统风险。由企业微观因素造成的使企业资产价格高 于或低于市场价格水平的价格波动,在方程式中是用收益误差项表示的,在rA与 rm坐标图上反映为资产收益率的实际值与特征线之间的差距εA。
单指数模型课件
现代投资组合理论与投资风险管理――单指数模型一、模型概述单指数模型假设股票之间的相关移动是因为单一的共同影响或指数。
随意观察股票价格，可以看出：当股市上涨的时候，大多数股价也会上涨，当股市下跌的时候，大多数股价也会下跌。
这说明证券收益之间可能相关的原因之一是由于对市场变动的共同反应，代表这种相关性的一个有用指标也许可以通过把股票收益与股市收益联系起来而得到。
股票收益：R代表股票收益。
R m代表市场指数的收益率一一随机变量。
a代表股票i的收益中独立于市场表现的部分一一随机变量。
[i度量一只股票的收益对市场收益的敏感程度。
a i项代表收益中独立于市场收益的部分，将其分解成两部分：用「表示ai的期望值，e表示q中的随机变量，E（e）= o。
即: a^ :i e一只股票的收益方程现在可以写为：R…i…匚肘ee和R m都是随机变量，分别以 6和b m表示它们的标准差单指数模型的基本方程：R …i …i R m+ e其中E(e)=O,对所有股票i/,|",N二、模型的假设条件1. 指数与特有收益不相关：E[e(R m-R m)] = o i7lll,N2. 证券仅通过对市场的共同反应相互关联：E(eej)= 0 i = N及j = N且H j三、单指数模型条件下投资组合的期望收益率与方差的计算在单指数模型的假设条件下，我们可以推倒出期望收益、标准差和协方差。
结果是：(1)收益均值：R"i+0j R m(2)证券收益的方差：2 = -1 m v(3)证券i和j收益之间的协方差：j二▼产m 这样在单指数模型成立的情况下我们可以转向计算任何投资组合的期望收益率和方差的计算任何组合的期望收益是：_ N _ N N _R p 八X i R 八X i i 、X i ‘龙in in i=N另X i i，i =1R八Rp p p m我们知道一个股票组合的方差的公式是：N N N二：八X i2]2：二X i X jjji丄i丄jVi=j代入前面G2和；「ij的结果，我们得到：N N N N「2 %2：2「2 、\ X X | | 2a x2「2p i i m i j i j m i eiim id j i=1i=j进一步还可简化为：N N N二2二二X i X - 2 ' X2二 2p i j i j m i eiiT jH iHN N Ny x「）c x「j）「m」x i冷i =1 j =1 i =1NR 2 2 丄丁、/ 2 2X i 二ei二-p" m 'iT四、单因素模型的估计和应用1、估计:i与e首先举例说明:i与e的值的得来。
第六章 因素模型与套利定价理论
Xi 表示投资者投资证券i出其总投资比例的变化值。
Rp
X n
i1 i
Ri
X n
i1 i
i
X n
i1 i
bi1
F1
X n
i1 i
bik
Fk
X n
i1 i i
Rp该组合的收益变化 （二）组合的风险为0
系统性风险为0： bp n Xi bik 0 i 1
非系统性风险为0： n
第二节 套利定价定理
一 套利定价理论的提出
APT模型假定资产收益率服从多因素模型：
Ri Ei bi1F1 bi2F2 bik Fk i
i 1, , n
其中，Ri 为资产i的收益率；Ei 为资产i的预期收益率；Fk 为影响所有资产收益率的第k个共同风险因素；bik 为资产i对
具有普遍影响的风险因素 Fk 的敏感度； i 为随机误差项。
用性。
如上图所示，单指数模型可以表达为一条截距
为 i ，斜率为 i 的斜线。这条斜线要利用具体的
市场数据和公司数据通过线性回归的方法计算得 出，回归计算得出的这条斜线称作证券特征线。
（三）单因素模型的应用
随着资产组合中股票数量的增加，资产组合的非系统风险
可以逐步下降，而组合中的系统风险并不随着股票数量的增
加而变化。单指数模型可以很好地证明这一点。假定我们选
择一个等权重的资产组合有n只股票，每只股票的超额收益
计算公式为
Ri i i RM i
因此，整个资产组合的超额收益的计算公式为
Rp p pRp p
由于等权重资产组合的超额收益也可以表示为
由于反映资产组合对市场敏感度的 p 1/ n i ；
（二） APT模型是一个多因素模型，而CAPM是一个单因素 模型，从某种程度上说， CAPM是APT只考虑市场组合这唯 一一个因素时的特例。
单一指数模型
单一指数模型
为了便于分析，单一指数模型假设只有一种宏观因素会引起股票收益风险，可以用一个市场指数的收益率来表示，例如标普指数500（S&P 500）。
根据这个模型的假设，任何股票的收益都可以分解为个别股份剩余收益的期望（这里用一个公司特指的因子α表示）、影响市场的宏观事件的收益和不可预测的只影响公司的微观事件组成。
βi(rm − rf) 表示股票影响下的市场运动，ei表示公司因素影响下的债券风险。
宏观事件，例如利率的变化、劳动力成本的变化，会引起影响整个股票市场的收益的系统风险。
公司特指事件是会引起特定公司收益变化的微观事件，例如重要人物的去世或者降低公司的信用等级都会影响公司的收益，但是对整个经济的影响是微不足道的。
在一个投资组合里，由公司特指因素引起的非系统风险可以通过离散化降低为0。
这个指数模型基于下列假设：
大部分的股票有正的协方差因为他们对于宏观事件反应相似。
然而，一些公司对于这些因素的敏感程度大于别的公司，由系数β来控制这个敏感程度。
债券之间的协方差是由于对宏观事件的不同造成的。
所以，每只股票的协方差等于他们的β相乘。
Cov(Ri, Rk) = βiβkσ2.
最后一个方程大大降低了协方差的计算量，否则，投资组合里债券的协方差必须用历史收益计算，每一债券的必须单独计算。
有了这个方程，只需要β和市场的方差就可以。
于是单一指数模型大大的降低了计算量。
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3.对误差项εA的假设 (1)E(εA)=0。从特征线所在的坐标图上不难看出,εA是随机变量rA与rm的实 际值与预期值之间的离差,随机变量离差的数学期望是零。 (2)cov(εA,rA)=0,即假设误差项与市场收益率无关。由于εA与rm分别受宏观 因素和微观因素的影响,两者互不相关,无论市场收益率发生多大的变动,都不会 对εA产生影响。 (3)cov(εA,εB)=0,即不同资产的误差项互不相关。单一指数模型的最基本假 设就是各种资产的收益率变动都只受市场共同因素的影响,误差项反映的是一 个企业特有的风险,与其他企业无关。
二、单一指数模型的假设
1.单一指数模型的基本假设 单一指数模型的基本假设就是,影响资产价格波动的主要共同因素是市场 总体价格水平(通常以某一市场指数代表,例如上海证券交易所上市股票的价格 波动时,一般以上证综合指数代表市场总体价格水平),资产价格波动之间的相 互关系可以通过各资产与这一共同因素之间的相互关系反映出来。这种间接 的反映虽然不如直接计算各资产间的协方差那么准确,但结果还是可靠的,关键 是计算量因此而大大降低了,从而使之现实可用。 图10—1反映了在一段时间内某资产A的收益率与市场收益率之间的关系, 单一指数模型假设二者之间存在线性关系。处在各点之间的直线被称为特征 线,是利用回归分析方法估算出来的,反映市场收益率与资产A收益率之间的因 果关系。如果我们以α表示直线的截距,反映资产收益中独立于市场波动的部 分;以β表示直线的斜率,反映资产A的收益率对市场收益率变动的敏感度,则这 条反映资产A的收益率和市场收益率关系的特征线的数学表达式如下:
rA=αA+βArm+εA
2.对影响收益波动因素的假设 单一指数模型影响资产收益率波动的因素有两类:宏观因素和微观因素。 宏观因素影响市场全局,如利率的调整、通货膨胀率的变动等,会引起市场价格 水平总体的涨落,进而带动绝大部分资产的价格变动,属于系统风险。个别资产 价格变动相对于市场价格总体水平波动的程度取决于个别资产价格相对于市 场价格变动的敏感度,即该资产的β值。β值越大,敏感度越高。β值大于1表示资 产波动幅度大于市场波动幅度,资产价格对市场变动的敏感度强;β值小于1则相 反,如β值等于0.7,表示市场收益率每涨落1个单位,该资产收益率涨落0.7个单位, 该资产收益率的涨落幅度小于市场收益率的涨落幅度。
第十章 单一指数模型
1 单一指数模型基础 2 资产和资产组合的期望收益与风险 3 单一指数模型的应用
第一节 单一指数模型基础
一、市场价格运动对建立模型的启发
造成资产价格波动的信息是多种多样的,每种个别资产价格会因信息出 现的时间、性质的不同,而导致价格波动的幅度、方向和时间各不相同。不 过,从宏观上看,当整个市场处于低迷状态的时候,市场中的个别资产价格也大 多处于下降趋势;而当整个市场处于牛市状态的时候,市场中的个别资产价格 也大多呈上升状态。由此可见,在个别资产价格波动与市场总体价格波动之 间存在着一定的关系。正是基于对市场价格运动规律的这种观察结果,夏普 提出了简化马柯维茨模型的方法,建立和发展了单一指数模型。
第二节 资产和资产组合的期望收益与 风险
一、单个资产收益和风险的计算
1.资产的期望收益 按照单一指数模型对资产期望收益决定因素的假设,资产A的期望收益可 表述为:
E(rA)=E(αA+βArm+εA)=E(αA)+E(βArm)+E(εA)=αA+βAE(rm) 它表明,个别资产的期望收益率的变动主要受市场期望收益变动的影响, 所受影响的大小取决于其对市场收益率波动的敏感度,即β值的大小。 2.资产的方差 资产方差的计算也是通过将单一指数模型的基本假设代入计算方差的标 准公式推导出来的。公式为:
E(rA)=E[rA-E(rA)]2=E{(αA+βArm+εA)-[αA+βAE(rm)]}2
经展开推导,结果为:
这一计算公式表明,资产A的风险是由两部分组成的: 是市场风险,或称系统 风险; 是企业特有的风险,或称非系统风险。系统风险对所有资产都会产生 影响,无法靠多样化投资来回避;非系统风险则是企业特有的,与其他企业无关, 可以靠多样资产组合误差项的
方差可计算如下:
图10—1 资产A的收益率与市场收益率之间的关系
但是, 是资产A收益率的估计值而不是实际值,主要反映了市场收益率变 动的结果,而没有反映其他因素变动的影响,这使得 与资产A的实际收益率rA之 间必然会有偏差。为了全面反映影响资产收益率波动的原因,又不至于改变建 立模型假设的初衷,我们可以用误差项εA代表所有没有被我们在特征线方程中 考虑进去的影响资产A收益率的各种因素以及我们假设rA与rm存在线性关系 为错误时产生的误差。这样,我们便可以把特征线的方程式修正为:
二、资产组合的收益和风险的确定
1.资产组合的期望收益 计算资产组合期望收益就是将资产期望收益的计算公式代入计算资产组 合期望收益的标准公式后进行展开推导。公式为:
如果定义 xiαi=Ap, xiβi=βp,就可以把资产组合的期望收益表示为: E(rp)=Ap+βpE(rm)
2.资产组合的方差 在单一指数模型中,资产组合方差的计算公式和单个资产方差的计算公式类 似:
3.资产间的协方差 同上,我们还可以推导出单一指数模型计算资产A和B之间的协方差的公式:
可见,在单一指数模型中,资产之间的相互关系是通过它们各自与市场之间 的相互关系综合反映出来的。计算两个资产的协方差,只要计算市场方差和各 个资产的β值就可以了。资产组合每增加一项资产,只需增加计算该种资产的β 值就可以计算出协方差。