单指数模型
资产定价模型-6-CAPM模型new1izrd.pptx
i 1
i 1
rP P Prm
若我们构建的组合 P 与市场指数组合 m 一样，则有 rP rm ，此时P 应为零， 而 P 应为 1，也即市场组合的超额收益为m 0 ，敏感系数 m 1。
在单指数模型中， 被认为是单个风险资产或风险资产组合的某种属性。我
们把市场指数组合 m 作为比较的基准。若风险资产组合的 p 1 ，则称其为比市 场平均水平更激进，若 p 1 ，则称其为比市场平均水平更保守。
在多指数模型中，同样存在以下假设：
（1） E(i ) 0 ，即随机扰动项的期望收益为 0； （2） E(i j ) 0 ，不同随机扰动项之间是互不相关的； （3） E(i I j ) 0 ，随机扰动与不同的指数之间不相关，这条假设很重要，表 明除了 K 个因素外，没有其它因纱影响证券收益的相关性。 （4）对于一切 i j ， E[(Ii Ii )(I j I j )] 0 ，表明指数之间互不相关。
首先对组合中第 i 种证券求期望收益率和风险
ri i irm
2 i
E ri
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i
i rm
i
i
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2
总风险
E
i
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i2E rm rm 2 2i E i rm rm E i 2
i2E rm rm 2 E i 2
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2 m
2 i
市场风险贡献
ห้องสมุดไป่ตู้
市场风险贡献
组合中不同风险资产的协方差可计算为：
在单指数模型下，组合的方差为：
N
NN
N
2 P
xi2
i2
2 m
xi x j i
2
jm
单一指数模型
经展开推导,成果为:
这一计算公式表白,资产A旳风险是由两部分构成旳: 是市场风险,或称系统 风险; 是企业特有旳风险,或称非系统风险。系统风险对全部资产都会产生 影响,无法靠多样化投资来回避;非系统风险则是企业特有旳,与其他企业无关, 能够靠多样化投资来分散。
资产组合中旳资产数量
1 3 4 7 10 20 35 50
有关系数
0.60 0.73 0.84 0.88 0.92 0.97 0.97 0.98
表10—1 1954—1961年和1961—1968年各资产组合β值旳有关系数
可见,对单个资产来说,β值旳预测能力很差,因为在有关系数为0.6时,历史β 值只能阐明将来β值旳36%(鉴定系数是有关系数旳平方)。伴随资产组合旳扩 大,β值旳预测能力才有所改善。所以,使用β值进行预测比较适合于多样化旳资 产组合,而用于选股则不太适合。
单一指数模型被广泛用来估计马柯维茨模型要计算旳资产组合旳方差。 但是,因为单一指数模型为简化计算作了某些假设,这必然会造成由此计算出 旳方差值与马柯维茨模型计算出旳方差值之间存在差别。清楚地认识这种偏 差,对于我们合理利用单一指数模型旳方差值是十分主要旳。
可见,用单一指数模型计算旳资产组合方差旳估计值与真实值之间旳差 别取决于 xixjcov(εi,εj)。单一指数模型假设cov(εi,εj)=0,所以假如实际情 况是各资产误差项为正有关,单一指数模型就会低估资产组合旳方差;反之,则 会高估。
也就是说,当投资种类非常多旳时候,资产组合旳风险将主要来自市场,非系 统风险将会非常低。换句话说,单一指数模型表白,多样化能够有效降低非系统 风险,但无法规避系统风险。这一结论与马柯维茨模型旳推论是一致旳,只是更 详细而已(见图10—2)。
单一指数模型
图10—3中的直线截距为α i,斜率为βi。如果所有的点Ri都恰好落在这条线 上,那么所有的偏离度ei都为零。然而,一般地,某些点会落在直线上方,某些点 又会落在直线下方,因此,偏离度既可能为正值,也可能为负值。
图10—3 单一指数模型的应用
单一指数模型中的β值是利用收益率的历史数据估算出来的,由于β值常 常被人们用来作为投资决策的依据,因此,一个很重要的问题便是,用历史的β 值来预测未来的可靠性有多大。
二、资产组合的收益和风险的确定
1.资产组合的期望收益 计算资产组合期望收益就是将资产期望收益的计算公式代入计算资产组 合期望收益的标准公式后进行展开推导。公式为:
如果定义 xiαi=Ap, xiβi=βp,就可以把资产组合的期望收益表示为: E(rp)=Ap+βpE(rm)
2.资产组合的方差 在单一指数模型中,资产组合方差的计算公式和单个资产方差的计算公式类 似:
假设资产组合中各资产权数相同,即x1=x2=…=xn= ,则
这样,当N→∞时,
将趋于0。这时,资产组合的方差就主要依市场收益
率的波动而定,两者联动性的大小取决于资产组合的β值,即
也就是说,当投资种类非常多的时候,资产组合的风险将主要来自市场,非系 统风险将会非常低。换句话说,单一指数模型表明,多样化可以有效降低非系统 风险,但无法规避系统风险。这一结论与马柯维茨模型的推论是一致的,只是更 具体而已(见图10—2)。
微观因素被假定只对个别企业有影响,对其他企业一般没有影响,是个别企 业特有的风险,或称为非系统风险。由企业微观因素造成的使企业资产价格高 于或低于市场价格水平的价格波动,在方程式中是用收益误差项表示的,在rA与 rm坐标图上反映为资产收益率的实际值与特征线之间的差距εA。
基于单指数模型的最优投资组合价值分析
基于单指数模型的最优投资组合价值分析基于单指数模型的最优投资组合价值分析摘要：在现代金融领域，投资组合优化是一个重要的研究领域。
本文基于单指数模型，探讨如何利用最优投资组合价值分析方法来提高投资组合的效益。
首先，介绍了投资组合优化的背景和意义。
然后，详细阐述了单指数模型的基本原理和计算方法。
接着，通过一个实例分析，验证了最优投资组合价值分析方法的有效性。
最后，总结了研究结果并对未来的研究方向进行了展望。
1. 引言投资组合优化是一种通过合理配置资金来实现最佳收益的方法。
在现代金融领域，投资组合优化是一个重要的研究领域，吸引了广泛的关注。
传统的投资组合优化方法注重优化建模和数学方法，忽视了投资价值分析的重要性。
然而，单指数模型的出现改变了这种局面，通过对指数组合的分析，能够更好地评估和选择最佳的投资组合。
2. 单指数模型的原理单指数模型是一种基于某个指数的投资组合优化模型。
通过选择和确定合适的指数，能够更好地了解市场趋势并作出相应的投资决策。
单指数模型的基本原理是将资产收益率与市场指数收益率进行回归分析，通过计算回归系数来确定资产的收益率与市场收益率的相关关系。
根据回归系数的大小和正负，可以判断资产的投资价值，并进行合理的投资组合配置。
3. 单指数模型的计算方法单指数模型的计算方法主要包括数据收集，回归分析和投资组合配置。
首先，需要收集相关资产和市场指数的日收益率数据，并进行预处理。
然后，通过回归分析，计算每个资产的回归系数。
根据回归系数的大小，可以评估每个资产的投资价值。
最后，根据资产的投资价值，进行合理的投资组合配置，以实现最佳的收益和风险平衡。
4. 实例分析为了验证最优投资组合价值分析方法的有效性，本文选择了A股市场的某个行业作为研究对象，收集了相关资产和市场指数的日收益率数据。
通过对数据的回归分析，获得了各资产的回归系数。
根据回归系数的大小和正负，确定了资产的投资价值。
随后，使用最优投资组合价值分析方法，进行了投资组合配置。
单指数模型课件
现代投资组合理论与投资风险管理——单指数模型一、模型概述单指数模型假设股票之间的相关移动是由于单一的共同影响或指数。
随便观看股票价格，可以看出：当股市上涨的时候，大多数股价也会上涨，当股市下跌的时候，大多数股价也会下跌。
这说明证券收益之间可能相关的缘由之一是由于对市场变动的共同反应，代表这种相关性的一个有用指标或许可以通过把股票收益与股市收益联系起来而得到。
股票收益：R.=a i+βi R m用代表股票收益。
此代表市场指数的收益率——随机变量。
生代表股票,•的收益中独立于市场表现的部分——随机变量。
4度量一只股票的收益对市场收益的敏感程度。
/项代表收益中独立于市场收益的部分，将其分解成两部分:用见表示a i的期望值，“表示《中的随机变量，E(e,∙) = 0。
即：a i = a i + e i一只股票的收益方程现在可以写为：R i^a i+βi R m+e i,和此都是随机变量，分别以3和4表示它们的标准差O单指数模型的基本方程R i =a i+ β i R m+e i其中£匕)=0,对全部股票2 = 1,…,N二、模型的假设条件1.指数与特有收益不相关：E[e i(R fn-R fn)] = 0i = l,…，N2.证券仅通过对市场的共同反应相互关联:E(e i e j) = 0 i = l,.∙∙,N及j = l,…，N旦i≠ j 、单指数模型条件下投资组合的期望收益率与方差的计算在单指数模型的假设条件下，我们可以推倒出期望收益、标准差和协方差。
结果是：(1)收益均值：R i=a i+βi R m(2)证券收益的方差：σ,2 = β↑σ~m + CF；(3)证券,•和川攵益之间的协方差：σ.. = βiβjσ1m这样在单指数模型成立的状况下我们可以转向计算任何投资组合的期望收益率和方差的计算。
任何组合的期望收益是:_ N _ N N _M = ∑x∕ = ∑x,q + ∑xΛ^/=1 i=l i=l-t N N1]r另%=1x,α∙，则:i=l /=1Rp = + βpR∏我们知道一个股票组合的方差的公式是:N N N*= ∑ X 汨+∑∑ XiXj%ji=∖z=l 7=1代入前面或和％的结果，我们得到:N N N N可=£ X； *+ ΣΣ x iχjβiβjσl+∑ X；端i=1 /=1 √=1/=1• •4J进一步还可简化为:N N N= ΣΣxΛAM>ΣχXi=∖√=1z=lN N N= (∑^∙A)(∑^Λ)⅛÷ΣχX∙z=l 7=1 /=1N/=1四、单因素模型的估量和应用1、估量%与4首先举例说明见与吗的值的得来。
指数平滑模型
指数平滑模型
指数平滑模型 -- exponential smoothing model
指数平滑模型是最简单和最常用的时间序列预测模型。
有三种常用分类：单指数模型，双指数模型和三指数模型。
单指数模型假设时间序列只包含两个部分：水平项和误差项，水平项是历史序列的加权平均，误差项代表随机冲击。
双指数模型又称为霍尔特(holt)模型，在单指数模型基础上增加了趋势项，假设时序包含3个部分：水平项，误差项和趋势因子。
三指数模型又称为霍尔特温特斯(holt-winters)模型，它在双指数模型基础上增加了季节性因子，假设时序由四个部分构成：水平项，误差项，趋势因子和季节因子。
用简单的方程表示三种模型：
指数模型假设时间序列可以分解成不同类型的因子，但没有确定的方程。
一般来说，因子以两种方式进入模型:加法模式和乘法模式。
顾名思义，加性模型假设水平项、误差项、趋势因子和季节因子是加性的。
与上面的简单等式一样，乘法模型假设因子相乘。
两种方法没有本质上的优劣，需要根据问题本身来选择具体的方法。
趋势时间序列显示向上或向下的运动状态。
原模型假设趋势因子是线性的，但研究者提出了新的模拟方法，允许趋势运行速度发生变化(长期趋势有一个衰减过程)，大大扩展了指数预测模型。
第8章-指数模型
二、单指数模型的相关数据估计
（一）回归证券特征线 图 8.2 S&P 500 和 HP（惠普公司）的超额收益
8
图8.3 HP和S&P 500的散点分布图， 惠普的证券特征线
RHP t HP HP RS &P500 t eHP t
9
（二）回归结果 表8.3 Excel 输出: HP证券特征线的回归统计 （此表在教材P164，学生自学相关解释部分）
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（三）指数模型比全协方差模型差吗？
原理上马科维茨模型更好，但是： 运用全协方差矩阵需要估计数以千计的风险值。 太多的估计误差积累对投资组合的影响可能使其 实际上劣于单指数模型推导出来的投资组合。 单指数模型的实际好处是分解了宏观分析和证券 分析。
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（四）行业指数模型和β预测
指数模型为证券分析提供了方便的基准。 所有证券的平均β值是1。 因此，我们最 好的预测就是其β值等于1. 调整后的β可以用来理解历史数据估计的β 值不是未来β的最好估计。 当公司变得越来越传统，其值越趋向于1。
2
（二）单指数模型的优点
降低了多种指数时的输入数量，马科维茨模 型要估计(n2+3n)/2个数据（见教材 P159）；夏普的单指数模型只要估计 (3n+2)个数据（见教材P161）。
证券分析师更容易专注
3
（三）单指数模型的回归方程
回归方程:
Ri t i i RM t ei t
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三、单指数模型在组合构造中的意义
（一）α和证券分析
单个证券的风险溢价中与证券分析无关的是 βiE(RM)，它是来自市场指数风险溢价的 部分，估计β是标准化的。 α是非市场溢价，如果认为证券被低估，则α 更高。 同样β的股票，高α的更有吸引力。
投资学第八章单指数与因素模型
一、单指数模型的提出
●在估算中计算量最大的部分是协方差的计算。 ●经验表明，股票收益之间的协方差一般为正，于是
可将公司外部的因素看成是一个。 ●公司内部特有因素对股价影响的期望值是零，即随
着投资的分散化，这类因素的影响将逐渐减少。 ●就此，夏普提出单因素模型：ri=E(ri)+mi+ei ●可将宏观因素的非预测成分定义为F，将股票i对宏
☞这样，随着投资分散化程度的加强，资产组合 的方差将接近于系统方差。
等权重资产组合方差的分解(2)
五、单指数模型与CAPM模型
☞按单指数模型，股票i的收益与市场指数收益之间的 协方差公式为
☞ Cov(Ri，RM)=Cov(iRM+ei，RM) =iCov(RM，RM)+ Cov(ei，RM) =iσ2M
☞单指数模型可证明：随着资产组合中股票 数量的增加，非系统风险逐步下降，而系统 风险并不变化。
☞假定一个等权重的资产组合有n只股票，每 只股票的超额收益为：Ri =αi+iRM +ei
☞整个资产组合的超额收益为：
RP=αP+PRM+eP
RP a P P RM eP
N
P
☞由于P=1/n∑i；αP=1/n∑αi，是一个常数； eP =1/n∑ei ，因此资产组合的方差为
σ2P=2Pσ2M +σ2(eP)
等权重资产组合方差的分解(1)
☞定义2Pσ2M为系统风险部分，其大小取决于资 产组合的贝塔值和市场风险水平，不会随资产 组合中的股票数量的增加而变化。
☞定义σ2(eP)为非系统风险部分，由于这些ei是 独立的，都具有零期望值，所以随着资产组合 中的股票数量越来越多，非系统风险越来越小。
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（3） 计算沪深 300 收益率的方差 ( RM ) （4） 计算沪深 300 与 252 种组合收益率各自的协方差 （J=1,2,3,……,252) （5） 计算 beta:
J
cov( RJ , RM )
cov( RJ , RM )
( RM )
2
（6） 计算 n 天 alpha 组成的矩阵 J RJ J * RM 矩阵中所有元素的和
则总的 alpha 是
sum( J )
（7） 剔除 alpha 小于 0 的组合。 （8） 选择
J
接近 1 的组合并买入。
（9） 过了 t2 天后重复以上操作，循环往复。
3. 测试结果
如上图我们可以看出，从 2008 年 7 月 31 日以来的近 1400 个交 易日，沪深 300 指数下跌了 37.59% ，但我们的策略在固定参数的情 况下，仍然实现了股票组合（不扣除手续费）增长了 41.28% ，对冲 组合收益率达到了 65.17% 。而且对冲的收益一直为正，波动幅度也 小于沪深 300 和股票组合收益的波动幅度。
E ( J ) 0 ，即假设任一时期残差期望值为 0
cov( J , RM ) 0 ，即证券残差与沪深 300 收益率不相关
以上的
J ,K
是指任意两个投资组合现实价格与期望价格的残差
二、
三个量化指标 在单指数模型中要用到三个量化指标，即 alpha 、beta 与信息比
率。 Alpha 是股票组合的超额收益率，计算公式： J RJ J * RM 。 当股票组合的α > 0 时 ，股票组合被低估，可以买入或纳入组合； 股票组合的 α < 0 时 ，股票组合被高估，卖出或从组合中剔除。 Beta 代表了股票组合的系统性风险，计算公式：
IR
(e J )
J
( Ri Ri 1 )2 其中残差标准差 (e J ) 1 J * ， T 1
Ri 是买入投资组合，
卖出股指这个策略的日收益率。
三、
交易测试
1. 模型简化 为方便策略的编写和减少计算量， 本文对单指数模型进行了进一 步的简化： a. 股票池中股票数量为十只，从中选出五只股票；且用沪深 300 的 指数代替股指期货的指数。股票池：民生银行 招商银行 浦发银 行 上汽集团 华域汽车 建发股份 青岛海尔 海信电器 中国铁建 悦达投资 b. 五只股票的资金比例相同， 与股指期货的资金配比为 1:1:1:1:1:1.7. c. 股指期货做空之后不平仓，不考虑换仓成本；股票买入成本为千 分之一，卖出成本为千分之二；股指期货由于交易次数较少，手 续费忽略不计。 d. 本文交易测试中由于已经确定要选五只股票，不需要进行股票数 量的主动管理，所以本文的交易测试不采用信息比率作为筛选指 标，而是只采用 alpha 与 beta e. 历史数据的时间范围为： 2008.3.10-2014.5.7 ，本文的交易测试为 固定参数，起测点为 2008.7.31 ，回测区间为 80 个交易日，换仓周 期为 40 个交易日，换仓交易次数 34。
单指数模型研究报告
一、 单指数模型 根据马科维茨理论，需要估计协方差矩阵，计算量随着证券种类 的增加以指数级增加。单指数模型能使我们克服这一困难，确定证券 组合的方差计算过程变得简单。 单指数模型的基本方程：
RJ * RJ
其中： RM 为投资组合的收益率， RJ 为沪深 300 的收益率 单指数模型的假设如下： 1. cov( J , K ) 0 ，即假设残差只由微观因素所致 2. 3.
2. 测试步骤 （1） 导入沪深 300 的历史数据（前 t1 天收盘价） ，计算日收益率组 成矩阵
RM
（2） 导入 10 只股票数据（前 t1 天收盘价） ，计算各自日收益率，按 1:1:1:1:1 计算可能的 252 种组合,……,252)
2
四、
待完善之处 本文的交易测试仍然存在诸多待完善之处，如能逐步完善，相信
对冲的收益曲线还将更加平滑。 1. 优化股票池股票结构。股票池中的十只股票的收益率相互之间可 能存在内生性（如三只银行股） ，且不一定是市场上之地最好的十
只股票。所以如能选出质地更好、内生性更小的股票，有望取得 更多收益。 2. 增加股票池股票数量。为计算方便，本文只研究了十只股票，若 能增加股票数量，有望取得更多收益。 3. 选股数量动态变化。也是为了计算方便，本文直接确定选取五只 股票组成组合。若能不预先确定组合中的股票数量，而用信息比 率来选择收益风险比最大的组合，有望取得更多收益。 4. 优化参数。本文在测试时，回测区间(t2) 与换仓周期(t1) 直接采用 固定参数，若能优化参数，有望取得更多收益。 5. 减少重复的手续费。 本文在测试时， 换仓时直接卖出原来的组合、 买进新的组合，没有考虑新旧组合的股票品种，支付的手续费达 到了 12。如果能考虑新旧组合的股票品种，如旧组合为 ABCDE ， 新组合为 ABCFG ，事实上 ABC 三只股票我们无须换仓，一次就能 能节省 0.3%*0.6=0.18% 的手续费。若能减少这些重复的手续费， 增加的收益将是非常可观。 6. 增加基本面的判断。本文中没有加入基本面的判断，beta=1 ，若能 增加基本面的判断，及时选取合适的 beta 的组合，有望取得更多 收益。 7. 改进股指收益率的计算方式。股指期货是一个点价值 300 元，但 本文为计算方便，用计算股票收益率的方法来计算股指期货的收 益率。
J
cov( RJ , RM )
( RM )
2
当预计股票市场将处于低风险区域或预期股票市场趋于上涨， 基 金将采取比较积极的做法，选取 Beta 收益大于 1 或较高的个股,使现 货组合上涨幅度高于大盘 （沪深 300 指数） 上涨幅度,获取额外的 Beta 收益以及现货组合的超额收益。 当预计股票市场将处于高风险区域或预期股票市场趋于下跌， 基 金采取保守的做法，选取与大盘相关度较低甚至负相关的股票，构建 Beta 小于 1 的现货组合,使现货组合下跌幅度低于大盘（沪深 300 指 数）下跌幅度,在对冲市场下跌的系统性风险后，仍可获得正的 alpha 收益。 当预计股票市场将处于震荡运行区域，没有明显的趋势性行情, 基金将采取中性操作策略，构建 Beta 在 1 附近的中性现货组合,使现 货组合波动幅度与大盘（沪深 300 指数）波动幅度相当,通过获得现 货组合的 Alpha 收益，实现投资目标。 信息比率是 α 值与残差标准差的比率， 度量当积极组合权重过高 或过低时， 通过证券分析可以获得的额外收益与公司特有风险的比值。 信息比率越高，夏普率越高，单位风险下的收益率越高。 信息比率计算公式：