单指数模型及其应用ppt课件
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指数型、对数型函数模型的应用举例 课件
(2)由题意知注射药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞个数为 226×2%.再经过x天后小白鼠体内的病毒细胞个数为226×2%× 2x，由题意226×2%×2x≤108，两边取对数得26lg2+lg2-2+ xlg2≤8，解得x≤6，即再经过6天必须注射药物，即第二次最 迟应在第33天注射该种药物.
【归纳】解决连续增长问题应建立的数学模型及解应用题的基 础和关键. 提示：(1)对于连续增长的问题一般情况下可建立指数型函数 模型y=a(1+p)x. (2)解决应用题的基础是读懂题意，理顺数量关系，关键是正 确建模，充分注意数学模型中元素的实际意义.
Hale Waihona Puke 1 2log3θ 100
,单位是m/s,θ是表示
鱼的耗氧量的单位数.
(1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是______；
(2)某条鲑鱼想把游速提高1 m/s,那么它的耗氧量的单位数是
原来的_______倍.
2.衡量地震级数的“里氏”是指地震强度(即地震时震源释放 的能量)的常用对数值，显然里氏级别越高，地震的强度也就 越大.如日本1923年的地震是里氏8.9级，美国旧金山1906年的 地震是里氏8.3级，试计算一下，日本1923年的地震强度是美 国旧金山1906年的地震强度的多少倍？
a≈2.2，b≈1.8.
这样，我们得到一个函数模型：y=2.2+1.8x，作出函数图象 如图(乙)，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较 好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系. (3)由y=2.2+1.8×25，求得y=47.2，即当积雪深度为25 cm 时，可以灌溉土地47.2公顷.
【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的常见错误及解 题启示总结如下：(注：此处的①②见解析过程)
资产定价模型-6-CAPM模型new1izrd.pptx
i 1
i 1
rP P Prm
若我们构建的组合 P 与市场指数组合 m 一样，则有 rP rm ，此时P 应为零， 而 P 应为 1，也即市场组合的超额收益为m 0 ，敏感系数 m 1。
在单指数模型中， 被认为是单个风险资产或风险资产组合的某种属性。我
们把市场指数组合 m 作为比较的基准。若风险资产组合的 p 1 ，则称其为比市 场平均水平更激进，若 p 1 ，则称其为比市场平均水平更保守。
在多指数模型中，同样存在以下假设：
（1） E(i ) 0 ，即随机扰动项的期望收益为 0； （2） E(i j ) 0 ，不同随机扰动项之间是互不相关的； （3） E(i I j ) 0 ，随机扰动与不同的指数之间不相关，这条假设很重要，表 明除了 K 个因素外，没有其它因纱影响证券收益的相关性。 （4）对于一切 i j ， E[(Ii Ii )(I j I j )] 0 ，表明指数之间互不相关。
首先对组合中第 i 种证券求期望收益率和风险
ri i irm
2 i
E ri
ri 2
i
i rm
i
i
i rm
2
总风险
E
i
rm
rm
i
2
i2E rm rm 2 2i E i rm rm E i 2
i2E rm rm 2 E i 2
i2
2 m
2 i
市场风险贡献
ห้องสมุดไป่ตู้
市场风险贡献
组合中不同风险资产的协方差可计算为：
在单指数模型下，组合的方差为：
N
NN
N
2 P
xi2
i2
2 m
xi x j i
2
jm
4.5.3函数模型的应用课件(人教版)
16
已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要 将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已 知函数解析式求函数值或自变量的值.
17
1．某种商品在近 30 天内每件的销售价格 P(元)和时间 t(天)的函数关 系为：
P＝t－＋t2＋0100<0t<2255≤，t≤30. (t∈N*) 设该商品的日销售量 Q(件)与时间 t(天)的函数关系为 Q＝40－ t(0<t≤30，t∈N*)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金 额最大是第几天？
31
2．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表：
身高 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
/cm
体重 6.13 7.90 9.90 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
/kg
第四章 指数函数与对数函数
4.5 函数的应用(二)
第3课时 函数模型的应用
2
学习目标
核心素养
1.会利用已知函数模型解决实际问
题．(重点) 通过本节内容的学习，使学生认识函
2．能建立函数模型解决实际问 数模型的作用，提高学生数学建模、
题．(重点、难点) 数据分析的素养.
3．了解拟合函数模型并解决实际问
车有营运利润的时间不超过
解 y≥0，得 6－ 11≤x≤6＋
________年．
11，所以有营运利润的时间为 2 11.
又 6<2 11<7，所以有营运利润的时
间不超过 7 年．]
12
合作探究 提素养
13
单一指数模型
E(rA)=E[rA-E(rA)]2=E{(αA+βArm+εA)-[αA+βAE(rm)]}2
经展开推导,成果为:
这一计算公式表白,资产A旳风险是由两部分构成旳: 是市场风险,或称系统 风险; 是企业特有旳风险,或称非系统风险。系统风险对全部资产都会产生 影响,无法靠多样化投资来回避;非系统风险则是企业特有旳,与其他企业无关, 能够靠多样化投资来分散。
资产组合中旳资产数量
1 3 4 7 10 20 35 50
有关系数
0.60 0.73 0.84 0.88 0.92 0.97 0.97 0.98
表10—1 1954—1961年和1961—1968年各资产组合β值旳有关系数
可见,对单个资产来说,β值旳预测能力很差,因为在有关系数为0.6时,历史β 值只能阐明将来β值旳36%(鉴定系数是有关系数旳平方)。伴随资产组合旳扩 大,β值旳预测能力才有所改善。所以,使用β值进行预测比较适合于多样化旳资 产组合,而用于选股则不太适合。
单一指数模型被广泛用来估计马柯维茨模型要计算旳资产组合旳方差。 但是,因为单一指数模型为简化计算作了某些假设,这必然会造成由此计算出 旳方差值与马柯维茨模型计算出旳方差值之间存在差别。清楚地认识这种偏 差,对于我们合理利用单一指数模型旳方差值是十分主要旳。
可见,用单一指数模型计算旳资产组合方差旳估计值与真实值之间旳差 别取决于 xixjcov(εi,εj)。单一指数模型假设cov(εi,εj)=0,所以假如实际情 况是各资产误差项为正有关,单一指数模型就会低估资产组合旳方差;反之,则 会高估。
也就是说,当投资种类非常多旳时候,资产组合旳风险将主要来自市场,非系 统风险将会非常低。换句话说,单一指数模型表白,多样化能够有效降低非系统 风险,但无法规避系统风险。这一结论与马柯维茨模型旳推论是一致旳,只是更 详细而已(见图10—2)。
经展开推导,成果为:
这一计算公式表白,资产A旳风险是由两部分构成旳: 是市场风险,或称系统 风险; 是企业特有旳风险,或称非系统风险。系统风险对全部资产都会产生 影响,无法靠多样化投资来回避;非系统风险则是企业特有旳,与其他企业无关, 能够靠多样化投资来分散。
资产组合中旳资产数量
1 3 4 7 10 20 35 50
有关系数
0.60 0.73 0.84 0.88 0.92 0.97 0.97 0.98
表10—1 1954—1961年和1961—1968年各资产组合β值旳有关系数
可见,对单个资产来说,β值旳预测能力很差,因为在有关系数为0.6时,历史β 值只能阐明将来β值旳36%(鉴定系数是有关系数旳平方)。伴随资产组合旳扩 大,β值旳预测能力才有所改善。所以,使用β值进行预测比较适合于多样化旳资 产组合,而用于选股则不太适合。
单一指数模型被广泛用来估计马柯维茨模型要计算旳资产组合旳方差。 但是,因为单一指数模型为简化计算作了某些假设,这必然会造成由此计算出 旳方差值与马柯维茨模型计算出旳方差值之间存在差别。清楚地认识这种偏 差,对于我们合理利用单一指数模型旳方差值是十分主要旳。
可见,用单一指数模型计算旳资产组合方差旳估计值与真实值之间旳差 别取决于 xixjcov(εi,εj)。单一指数模型假设cov(εi,εj)=0,所以假如实际情 况是各资产误差项为正有关,单一指数模型就会低估资产组合旳方差;反之,则 会高估。
也就是说,当投资种类非常多旳时候,资产组合旳风险将主要来自市场,非系 统风险将会非常低。换句话说,单一指数模型表白,多样化能够有效降低非系统 风险,但无法规避系统风险。这一结论与马柯维茨模型旳推论是一致旳,只是更 详细而已(见图10—2)。
高考文科数学《函数模型及其应用》课件
121n0≥1232，1n0≤32，解得 n≤15.
故今后最多还能砍伐 15 年．
点 拨： 此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数型函数模型 y＝N(1＋p)x(其 中 N 是基础数，p 为增长率，x 为时间)和幂型函数模型 y＝a(1＋x)n(其中 a 为基
础数，x 为增长率，n 为时间)的形式表示．解题时，往往用到对数运算．
直到达到规定人数 75 人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机 费 15 000 元．
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
解：(1)设旅游团人数为 x 人，由题得 0＜x≤75，飞机票价格为 y 元， 则 y＝990000，－010＜（x≤x－303，0），30＜x≤75，
某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水 中杂质 20%，要使水中杂质减少到原来的 10%以下，则至少需过滤的次数
为________．(参考数据：lg2≈0.301 0)
解：设过滤次数为 x(x∈N*)，原有杂质为 a，则 a(1－20%)x<a·10%，
所以 x>1－13lg2≈10.3，即至少需要过滤 11 次．故填 11.
当且仅当 x＝40 x000，即 x＝200 时取等号．故选 A.
(教材改编题)某家具的标价为 132 元，若降价以九折出售(即优惠 10%)，
仍可获利 10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )
A．105 元
B．106 元
C．108 元
D．118 元
解：设进货价为 a 元，由题意知 132×(1－10%)－a＝10%·a， 解得 a＝108.故选 C.
单调____ 函数
相对平稳
故今后最多还能砍伐 15 年．
点 拨： 此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数型函数模型 y＝N(1＋p)x(其 中 N 是基础数，p 为增长率，x 为时间)和幂型函数模型 y＝a(1＋x)n(其中 a 为基
础数，x 为增长率，n 为时间)的形式表示．解题时，往往用到对数运算．
直到达到规定人数 75 人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机 费 15 000 元．
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
解：(1)设旅游团人数为 x 人，由题得 0＜x≤75，飞机票价格为 y 元， 则 y＝990000，－010＜（x≤x－303，0），30＜x≤75，
某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水 中杂质 20%，要使水中杂质减少到原来的 10%以下，则至少需过滤的次数
为________．(参考数据：lg2≈0.301 0)
解：设过滤次数为 x(x∈N*)，原有杂质为 a，则 a(1－20%)x<a·10%，
所以 x>1－13lg2≈10.3，即至少需要过滤 11 次．故填 11.
当且仅当 x＝40 x000，即 x＝200 时取等号．故选 A.
(教材改编题)某家具的标价为 132 元，若降价以九折出售(即优惠 10%)，
仍可获利 10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )
A．105 元
B．106 元
C．108 元
D．118 元
解：设进货价为 a 元，由题意知 132×(1－10%)－a＝10%·a， 解得 a＝108.故选 C.
单调____ 函数
相对平稳
新教材高中数学第四章指数函数与对数函数函数模型的应用课件新人教A版必修第一册ppt
帮助做一个资金投资方案,使该经营者能获得最大纯利润,
并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结
果保留两位有效数字).
解:以投入额为横坐标,纯利润为纵坐标,在平面直角坐标系中作出散
点图,如图所示(图①为 A 商品,图②为 B 商品).
①
②
由散点图可以看出,A 种商品所获纯利润 y 与投入额 x 之间的变化规
较为接近,
所以用 g(x)= ×( )x-3 作为模拟函数较好.
方法规律
选择函数模型的标准
函数模型的优劣,一般可用其他数据进行验证,若差
距较小,则说明选择正确,主要考查数学抽象、数学建模
的核心素养.
【跟踪训练】
4.某农产品从 5 月 1 日起开始上市,通过市场调查,得
到该农产品种植成本 Q(单位:元/百千克)与上市时间 t(单
据如下表:
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y -0.99 0.01 0.98
则对 x,y 最适合的拟合函数是 (
A.y=2x
B.y=x2-1
C.y=2x-2
D.y=log2x
2.00
)
解析:将x=0.50,y=-0.99代入计算可以排除选项A.
将x=2.01,y=0.98代入计算可以排除选项B,C,故选D.
所以
x
g(x)= ×( ) -3.
利用 f(x),g(x)对 2019 年的 CO2 浓度比 2015 年增加的
单位数作估算,
则其数值分别为 f(4)=10,g(4)=10.5.
因为|f(4)-12|>|g(4)-12|,
故 g(x)= ×( )x-3 作为模拟函数与 2019 年的实际数据
并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结
果保留两位有效数字).
解:以投入额为横坐标,纯利润为纵坐标,在平面直角坐标系中作出散
点图,如图所示(图①为 A 商品,图②为 B 商品).
①
②
由散点图可以看出,A 种商品所获纯利润 y 与投入额 x 之间的变化规
较为接近,
所以用 g(x)= ×( )x-3 作为模拟函数较好.
方法规律
选择函数模型的标准
函数模型的优劣,一般可用其他数据进行验证,若差
距较小,则说明选择正确,主要考查数学抽象、数学建模
的核心素养.
【跟踪训练】
4.某农产品从 5 月 1 日起开始上市,通过市场调查,得
到该农产品种植成本 Q(单位:元/百千克)与上市时间 t(单
据如下表:
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y -0.99 0.01 0.98
则对 x,y 最适合的拟合函数是 (
A.y=2x
B.y=x2-1
C.y=2x-2
D.y=log2x
2.00
)
解析:将x=0.50,y=-0.99代入计算可以排除选项A.
将x=2.01,y=0.98代入计算可以排除选项B,C,故选D.
所以
x
g(x)= ×( ) -3.
利用 f(x),g(x)对 2019 年的 CO2 浓度比 2015 年增加的
单位数作估算,
则其数值分别为 f(4)=10,g(4)=10.5.
因为|f(4)-12|>|g(4)-12|,
故 g(x)= ×( )x-3 作为模拟函数与 2019 年的实际数据
单一指数模型
图10—3中的直线截距为α i,斜率为βi。如果所有的点Ri都恰好落在这条线 上,那么所有的偏离度ei都为零。然而,一般地,某些点会落在直线上方,某些点 又会落在直线下方,因此,偏离度既可能为正值,也可能为负值。
图10—3 单一指数模型的应用
单一指数模型中的β值是利用收益率的历史数据估算出来的,由于β值常 常被人们用来作为投资决策的依据,因此,一个很重要的问题便是,用历史的β 值来预测未来的可靠性有多大。
二、资产组合的收益和风险的确定
1.资产组合的期望收益 计算资产组合期望收益就是将资产期望收益的计算公式代入计算资产组 合期望收益的标准公式后进行展开推导。公式为:
如果定义 xiαi=Ap, xiβi=βp,就可以把资产组合的期望收益表示为: E(rp)=Ap+βpE(rm)
2.资产组合的方差 在单一指数模型中,资产组合方差的计算公式和单个资产方差的计算公式类 似:
假设资产组合中各资产权数相同,即x1=x2=…=xn= ,则
这样,当N→∞时,
将趋于0。这时,资产组合的方差就主要依市场收益
率的波动而定,两者联动性的大小取决于资产组合的β值,即
也就是说,当投资种类非常多的时候,资产组合的风险将主要来自市场,非系 统风险将会非常低。换句话说,单一指数模型表明,多样化可以有效降低非系统 风险,但无法规避系统风险。这一结论与马柯维茨模型的推论是一致的,只是更 具体而已(见图10—2)。
微观因素被假定只对个别企业有影响,对其他企业一般没有影响,是个别企 业特有的风险,或称为非系统风险。由企业微观因素造成的使企业资产价格高 于或低于市场价格水平的价格波动,在方程式中是用收益误差项表示的,在rA与 rm坐标图上反映为资产收益率的实际值与特征线之间的差距εA。
指数型、对数型函数模型的应用举例 课件
类型三：数据拟合函数的应用 例3 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表
身高 (cm) 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 体重 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05 (kg)
⑴根据上表提供的数据，能否建立恰当的函数模 型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性 体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函 数模型的解析式．
⑵若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍 为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这一地区一名 身高为175 cm，体重为78 kg的在校男生的体重 是否正常？
指数型、对数型函数模型的应用举例
1.指数函数模型 (1)表达形式：_f_(_x_)_=_a_b_x+_c_._ (2)条件：a,b,c为常数，a≠0,b>0,b≠1. 2.对数函数模型 (1)表达形式：f_(_x_)_=_m_l_o_g_a_x_+_n_. (2)条件：m,n,a为常数，m≠0,a>0,a≠1.
解：1期后本利和为：y1 a a r a(1 r)
2期后本利和 y2 a(1 r)2
为：
……
x期后，本利和为：yx a(1 r)x
将a=1 000元，r=2.25%，x=5代入上式：
y5 1 000 (1 2.25%)5 1 0001.022 55
由计算器算得：y≈1 117.68（元）
分析：(1)根据上表的数据描点画出图象（如下）
(2)观察这个图象，发现各点的连线是一条向 上弯曲的曲线，根据这些点的分布情况，我们 可以考虑用函数y=a•bx来近似反映.
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12
单指数模型的改进
将指数模型中的收益率代入均值- 方差模型中进 行优化,这样可以大大的减少计算量 ,改进后：
收益率为
n
n
R wiri wi (i iN i )
i1
i1
期望收益为
n
ER wiE(i i N i )
i 1
收益的方差为
n
DR wi2D(i i N i )
系统风险不产生影响；
2、一个证券的非系统风险对其他证券的非系统风险不 产生影响，两种证券的回报率仅仅通过因素的共同反
应而相关联。
上述两个假设意味着Cov(Rm，ei )=0; Cov (ei，ej)=0;
这就在很大程度上简化了计算。
4
单指数模型的应用（一）
(1)以单指数模型来确定资产组合的收益
假设资产组合中包含 n 种资产，每种资产按其价值计在资产组
的投资方案 。
14
改造后模型的实证分析
例证： 2007年海尔 ( A ) 、移动 ( B ) 、中国石化 ( C ) 3种
股票 12个月价格 ( 已经包括了分红在内) 每月的增长情 况如表 1所示 ( 经计算得 ) . 表中第 1个数据的含义是海 尔在一月份的月末价值是月初价值的 1. 045倍, 即为收 益, 其余数值以此类推. 假设在 2008年时有一笔资金准 备投资这 3种股票,并期望月收益率至少达到 7%, 那么 应当如何投资?
n
n
RP wii i Rm
i1
i1
（2）
当资产组合由 n 个资产构成， 且等权重时， （1 ） 式
变为：
RP
1 n
n
i
i1
(1 n
n i1
i )Rm
1 n
n
e
i1 i
（3）
6
系统风 险
资产组合的方差为：
2 p
p2
2 m
2 (ep )
险高于市场风险。当市场证券组合的收益率R m 上升
时，该证券收益率R i 将上升得更快，当R m 下降时，
R i 也下降得更快。因此，当市场看涨时，应购进激
进型证券。
i 1 的证券i被称为 “防卫型”证券，它的系统风
险低于市场风险。当市场证券组合的收益率R m 上
升时，该证券收益率R i 上升得较慢，当R m 下降
合中的权重分别为 ω i ， 则资产组合的收益率为：
n
n
n
RP wii ( wii )Rm wiei
i1
i1
i1
（1）
由大数定理（车贝谢夫大数定理）可知当 n→∞， 且
ωi →0 时
n
lim wiei 0
n i1
i 0
5
随着越来越多的股票加入到资产组合中， 资产组合充分地分 散化， 公司特有的风险倾向于被消除掉， 结果只剩下越来越小的 非市场风险，（1）式便可近似化为
n，所以
随着 n 的增大， 2(ep )就变得小得可以忽略了。 式（3）就变成了：
RP
1 n
n
i
i 1
(1 n
n i 1
i )Rm
7
(2)单指数模型拟合效果的实证研究
在实证研究中，我们选用上证指数来做单指数模型的分 析，并选取自 1997 年 1 月 2 日至 2010 年 8 月27 日的数 据。在资产组合的构成上，我们选用了构成目前上证 50 指 数的 50 只股票， 并按相等的价值权重来构造资产组合， 同样，所有资产均取自于 1997 年 1 月 2 日以后的数据。
对于单指数模型的实证研究，得到的资产组合收益与 指数收益的关系式为：
RI 1.8106 10 4 0.9107 RM
8
按照实际资产的收益情况，我们可以得到资产组合的实
际收益率
RP
1 50
50 i 1
Ri
考虑 R I 与 R P 之间的线性关系， 可得 R I =0.0000291+1.001463R P
时，R i 也下降得较慢。因此，当市场看跌时，应
购进防卫型证券。
11
i 1 则被称为具有 “平均风险” ，它的系统风
险等于市场风险，与整个证券市场具有相同的变化趋 势。
预测β常用的方法是用通过历史数据估计出的β值 （简称历史的值）作为的预测值。用历史的β值作为证 券i将来的值的估计，不可避免地存在误差。用组合的历 史的β作为将来的β的预测，比用单个证券历史的β作为 将来的单个证券的β的预测，效果要好得多。
i1
13
单指数模型的改进
最终改进模型
股价指数
n
min wi2D(i i N i )
i1
n
预期收益
s.t.
w单iE位阵(矩i i N i )》m0
i1
e
T n
W
1
W=(w1,w2…..wn) 即向量
W 0
经过非线性规划求解得到各股票的投资比例 ,获得最优
15
表一 股票收益数据
1
单指数模型
•单指数模型是诺贝尔经济学奖获得者威廉·夏普 （William Shape ）在1963年发表《对于“资产组合” 分析的简化模型》一文中提出的。 •夏普提出单因素模型的基本思想是：当市场股价指数 上升时，市场中大量的股票价格走高；相反，当市场 指数下滑时，大量股票价格趋于下跌。
2
单指数模型
9
单指数模型的应用（二）
利用β指数的大小可以对证券进行实际应用价值的分析
值的推导：
cov(ri , rM ) cov(irM ei , rM )
i
var(rM
)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
cov(ei
,
rM
)
i
2 M
i
cov(Ri , RM var(RM )
)
10
i 1 的证券i被称为 “激进型”证券，它的系统风
非系统 风险
因为这些 e i是独立的， 且都具有零均值， 大数定理表明这些风险被
认为是可分散化的。特别地， 对于等权重的情形。因为 e i 是不相关的，
所以有：
2 (ep )
n i1
( 1 ) 2 n
2 (ei )
1 n
2 (e)
其中
1 n
2
(e是) 公司特有方差的均值。由于这一均值独立于
• Sharpe用股票指数的收益率（如S&P500的收益 率）代替了单因素模型中的宏观影响因素
• 公式表达为
ri E(ri) irm ei
• 常见模式为 Ri i iRm ei
3
单指数模型的两个基本假设
夏普单指数模型的两个基本假设
1、证券的风险分为系统风险和非系统风险，因素对非
单指数模型的改进
将指数模型中的收益率代入均值- 方差模型中进 行优化,这样可以大大的减少计算量 ,改进后：
收益率为
n
n
R wiri wi (i iN i )
i1
i1
期望收益为
n
ER wiE(i i N i )
i 1
收益的方差为
n
DR wi2D(i i N i )
系统风险不产生影响；
2、一个证券的非系统风险对其他证券的非系统风险不 产生影响，两种证券的回报率仅仅通过因素的共同反
应而相关联。
上述两个假设意味着Cov(Rm，ei )=0; Cov (ei，ej)=0;
这就在很大程度上简化了计算。
4
单指数模型的应用（一）
(1)以单指数模型来确定资产组合的收益
假设资产组合中包含 n 种资产，每种资产按其价值计在资产组
的投资方案 。
14
改造后模型的实证分析
例证： 2007年海尔 ( A ) 、移动 ( B ) 、中国石化 ( C ) 3种
股票 12个月价格 ( 已经包括了分红在内) 每月的增长情 况如表 1所示 ( 经计算得 ) . 表中第 1个数据的含义是海 尔在一月份的月末价值是月初价值的 1. 045倍, 即为收 益, 其余数值以此类推. 假设在 2008年时有一笔资金准 备投资这 3种股票,并期望月收益率至少达到 7%, 那么 应当如何投资?
n
n
RP wii i Rm
i1
i1
（2）
当资产组合由 n 个资产构成， 且等权重时， （1 ） 式
变为：
RP
1 n
n
i
i1
(1 n
n i1
i )Rm
1 n
n
e
i1 i
（3）
6
系统风 险
资产组合的方差为：
2 p
p2
2 m
2 (ep )
险高于市场风险。当市场证券组合的收益率R m 上升
时，该证券收益率R i 将上升得更快，当R m 下降时，
R i 也下降得更快。因此，当市场看涨时，应购进激
进型证券。
i 1 的证券i被称为 “防卫型”证券，它的系统风
险低于市场风险。当市场证券组合的收益率R m 上
升时，该证券收益率R i 上升得较慢，当R m 下降
合中的权重分别为 ω i ， 则资产组合的收益率为：
n
n
n
RP wii ( wii )Rm wiei
i1
i1
i1
（1）
由大数定理（车贝谢夫大数定理）可知当 n→∞， 且
ωi →0 时
n
lim wiei 0
n i1
i 0
5
随着越来越多的股票加入到资产组合中， 资产组合充分地分 散化， 公司特有的风险倾向于被消除掉， 结果只剩下越来越小的 非市场风险，（1）式便可近似化为
n，所以
随着 n 的增大， 2(ep )就变得小得可以忽略了。 式（3）就变成了：
RP
1 n
n
i
i 1
(1 n
n i 1
i )Rm
7
(2)单指数模型拟合效果的实证研究
在实证研究中，我们选用上证指数来做单指数模型的分 析，并选取自 1997 年 1 月 2 日至 2010 年 8 月27 日的数 据。在资产组合的构成上，我们选用了构成目前上证 50 指 数的 50 只股票， 并按相等的价值权重来构造资产组合， 同样，所有资产均取自于 1997 年 1 月 2 日以后的数据。
对于单指数模型的实证研究，得到的资产组合收益与 指数收益的关系式为：
RI 1.8106 10 4 0.9107 RM
8
按照实际资产的收益情况，我们可以得到资产组合的实
际收益率
RP
1 50
50 i 1
Ri
考虑 R I 与 R P 之间的线性关系， 可得 R I =0.0000291+1.001463R P
时，R i 也下降得较慢。因此，当市场看跌时，应
购进防卫型证券。
11
i 1 则被称为具有 “平均风险” ，它的系统风
险等于市场风险，与整个证券市场具有相同的变化趋 势。
预测β常用的方法是用通过历史数据估计出的β值 （简称历史的值）作为的预测值。用历史的β值作为证 券i将来的值的估计，不可避免地存在误差。用组合的历 史的β作为将来的β的预测，比用单个证券历史的β作为 将来的单个证券的β的预测，效果要好得多。
i1
13
单指数模型的改进
最终改进模型
股价指数
n
min wi2D(i i N i )
i1
n
预期收益
s.t.
w单iE位阵(矩i i N i )》m0
i1
e
T n
W
1
W=(w1,w2…..wn) 即向量
W 0
经过非线性规划求解得到各股票的投资比例 ,获得最优
15
表一 股票收益数据
1
单指数模型
•单指数模型是诺贝尔经济学奖获得者威廉·夏普 （William Shape ）在1963年发表《对于“资产组合” 分析的简化模型》一文中提出的。 •夏普提出单因素模型的基本思想是：当市场股价指数 上升时，市场中大量的股票价格走高；相反，当市场 指数下滑时，大量股票价格趋于下跌。
2
单指数模型
9
单指数模型的应用（二）
利用β指数的大小可以对证券进行实际应用价值的分析
值的推导：
cov(ri , rM ) cov(irM ei , rM )
i
var(rM
)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
cov(ei
,
rM
)
i
2 M
i
cov(Ri , RM var(RM )
)
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i 1 的证券i被称为 “激进型”证券，它的系统风
非系统 风险
因为这些 e i是独立的， 且都具有零均值， 大数定理表明这些风险被
认为是可分散化的。特别地， 对于等权重的情形。因为 e i 是不相关的，
所以有：
2 (ep )
n i1
( 1 ) 2 n
2 (ei )
1 n
2 (e)
其中
1 n
2
(e是) 公司特有方差的均值。由于这一均值独立于
• Sharpe用股票指数的收益率（如S&P500的收益 率）代替了单因素模型中的宏观影响因素
• 公式表达为
ri E(ri) irm ei
• 常见模式为 Ri i iRm ei
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单指数模型的两个基本假设
夏普单指数模型的两个基本假设
1、证券的风险分为系统风险和非系统风险，因素对非