乘法公式提高
乘法公式（提高）【学习目标】1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.【要点梳理】要点一、平方差公式平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，b a ,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如()()a b b a +-+利用加法交换律可以转化为公式的标准型（2）系数变化：如(35)(35)x y x y +-（3）指数变化：如3232()()m n m n +-（4）符号变化：如()()a b a b ---（5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+（6）增因式变化：如2244()()()()a b a b a b a b -+++要点二、完全平方公式完全平方公式：()2222a b a ab b +=++ 2222)(b ab a b a +-=-两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：()2222a b a b ab +=+-()22a b ab =-+ ()()224a b a b ab +=-+ 要点三、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.要点四、补充公式2()()()x p x q x p q x pq ++=+++；2233()()a b a ab b a b ±+=±； 33223()33a b a a b ab b ±=±+±；2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++.【典型例题】类型一、平方差公式的应用 1、计算(2＋1)(221+)( 421+)(821+)(1621+)(3221+)＋1．【思路点拨】本题直接计算比较复杂，但观察可以发现2＋1与2－1，221+与221-，421+与421-等能够构成平方差，只需在前面添上因式（2－1），即可利用平方差公式逐步计算.【答案与解析】解：原式＝(2－1)(2＋1)( 221+)(421+)(821+)(1621+)(3221+) ＋1 ＝(221-)( 221+)( 421+)(821+)(1621+)(3221+)＋1＝642－1＋1＝642． 【总结升华】对于式子较为复杂的数的计算求值问题，不妨先仔细观察，看是否有规律，然后去解决，会事半功倍，提高解题能力．举一反三：【变式1】计算：(1)2(3)(9)(3)x x x -++(2)(a ＋b )( a －b )( 22a b +)( 44a b +)【答案】解：(1)原式＝[(x ＋3)(x －3)](29x +)＝(29x -)(29x +)＝481x -．(2)原式＝[(a ＋b )( a －b )]( 22a b +)( 44a b +)＝[(22a b -)( 22a b +)]( 44a b +)＝(44a b -)( 44a b +)＝88a b -．【变式2】（2015•内江）（1）填空：（a ﹣b ）（a+b ）= ；（a ﹣b ）（a 2+ab+b 2）= ；（a ﹣b ）（a 3+a 2b+ab 2+b 3）= ．（2）猜想：（a﹣b）（a n﹣1+a n﹣2b+…+ab n﹣2+b n﹣1）= （其中n为正整数，且n≥2）．（3）利用（2）猜想的结论计算：29﹣28+27﹣…+23﹣22+2．【答案】解：（1）（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2；（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3+a2b+ab2﹣a2b﹣ab2﹣b3=a3﹣b3；（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4+a3b+a2b2+ab3﹣a3b ﹣a2b2﹣ab3﹣b4=a4﹣b4；故答案为：a2﹣b2，a3﹣b3，a4﹣b4；（2）由（1）的规律可得：原式=a n﹣b n，故答案为：a n﹣b n；（3）29﹣28+27﹣…+23﹣22+2=（2﹣1）（28+26+24+22+2）=342．2、（2016春•户县期末）先化简，再求值．已知|m﹣1|+（n+）2=0，求（﹣m2n+1）（﹣1﹣m2n）的值．【思路点拨】先根据非负数的性质，求出m，n的值，再根据平方差公式求代数式的和即可．【答案与解析】解：∵|m﹣1|+（n+）2=0，∴m﹣1=0，n+=0，∴m=1，n=﹣，∴（﹣m2n+1）（﹣1﹣m2n）=m4n2﹣1==1×﹣1==﹣．【总结升华】本题考查了非负性的应用，解决本题的关键是熟记乘法公式，掌握公式的基本形式，才能使问题更加简单化．举一反三：【变式】解不等式组：(3)(3)(2)1, (25)(25)4(1). x x x xx x x x+--->⎧⎨---<-⎩【答案】解：(3)(3)(2)1, (25)(25)4(1).x x x xx x x x+--->⎧⎨---<-⎩①②由①得22921x x x --+>，210x >，5x >．由②得2225(2)44x x x -<-，2225444x x x -<-， 425x -<-， 6.25x >．∴ 不等式组的解集为 6.25x >．类型二、完全平方公式的应用3、运用乘法公式计算：（1）2(23)a b +-；（2）(23)(23)a b c a b c +--+．【思路点拨】（1）是一个三项式的平方，不能直接运用完全平方公式，可以用加法结合律将23a b +-化成(23)a b +-，看成a 与(23)b -和的平方再应用公式；（2）是两个三项式相乘，其中a 与a 完全相同，2b ，3c -与2b -，3c 分别互为相反数，与平方差公式特征一致，可适当添加括号，使完全相同部分作为“一项”，互为相反数的部分括在一起作为“另一项”．【答案与解析】解：（1）原式222[(23)]2(23)(23)a b a a b b =+-=+-+- 22464129a ab a b b =+-+-+22446129a b ab a b =++--+．（2）原式22222[(23)][(23)](23)4129a b c a b c a b c a b bc c =+---=--=-+-．【总结升华】配成公式中的“a ”“b ”的形式再进行计算.举一反三：【变式】运用乘法公式计算：(1)()()a b c a b c -++-； (2)()()2112x y y x -+-+；(3)()2x y z -+； (4)()()231123a b a b +---．【答案】解：(1) ()()a b c a b c -++-＝[a －(b －c )][ a ＋(b －c )]＝()()222222a b c a b bc c --=--+＝2222a b bc c -+-．(2) ()()2112x y y x -+-+ ＝[2x ＋(y －1)][2x －(y －1)]＝()()()222221421x y x y y --=--+＝22421x y y -+-．(3)()()()()22222x y z x y z x y x y z z -+=-+=-+-+⎡⎤⎣⎦ ＝222222x xy y xz yz z -++-+．(4) ()()231123a b a b +---＝()2231a b -+- ＝－22[(23)2(23)1]a b a b ＋－＋＋＝－()22(2)2233461a a b b a b ⎡⎤+⋅⋅+--+⎣⎦＝224129461a ab b a b －－－＋＋－ 4、已知△ABC 的三边长a 、b 、c 满足2220a b c ab bc ac ++---=，试判断△ABC的形状．【思路点拨】通过对式子变化，化为平方和等于零的形式，从而求出三边长的关系．【答案与解析】解：∵ 2220a b c ab bc ac ++---=，∴ 2222222220a b c ab bc ac ++---=，即222222(2)(2)(2)0a ab b b bc c a ac c -++-++-+=．即222()()()0a b b c a c -+-+-=．∴ 0a b -=，0b c -=，0a c -=，即a b c ==，∴ △ABC 为等边三角形．【总结升华】式子2220a b c ab bc ac ++---=体现了三角形三边长关系，从形式上看与完全平方式相仿，但差着2ab 中的2倍，故想到等式两边同时扩大2倍，从而得到结论． 举一反三：【变式】多项式222225x xy y y -+++的最小值是____________.【答案】4；提示：()()2222222514x xy y y x y y -+++=-+++，所以最小值为4.。
乘法知识点公式总结
乘法知识点公式总结一、乘法知识点总结1. 乘法的基本概念乘法是数学中的基本运算法则之一，它是将两个数相乘得到积的过程。
在乘法运算中，我们把要相乘的两个数分别称为乘数和被乘数，它们的乘积称为积。
例如，3 × 4 = 12，其中3和4分别是乘数和被乘数，12是它们的积。
2. 乘法的性质（1）交换律：a × b = b × a乘法的交换律是指乘数和被乘数的位置可以交换，积不变。
例如，3 × 4 = 4 × 3 = 12。
（2）结合律：(a × b) × c = a × (b × c)乘法的结合律是指乘数之间可以结合起来，先乘两个数再乘第三个数的积等于先乘第二个数再乘这个积。
（3）分配律：a × (b + c) = a × b + a × c乘法对加法的分配律是指一个数乘一个括号中的两个数，等于这个数分别乘这两数后再加和。
（4）单位元：任何数乘以1等于它本身。
a × 1 = a， 1 × a = a。
3. 乘法的运算法则（1）乘法的口诀乘法的口诀是指用来记忆乘法表的方法，例如1乘到9的乘法口诀表为：```1 × 1 = 1 1 ×2 = 2 1 ×3 = 3 ... 1 × 9 = 92 × 1 = 2 2 × 2 = 4 2 ×3 = 6 ... 2 × 9 = 18...9 × 1 = 9 9 × 2 = 18 9 × 3 = 27 ... 9 × 9 = 81```通过口诀表，可以帮助孩子们快速记忆乘法表。
（2）乘法的计算方法乘法的计算方法有竖式、横式等多种，不同的计算方法适用于不同的题目，掌握多种计算方法可以帮助孩子更加灵活地运用乘法知识。
很有用的乘法速算公式
很有用的乘法速算公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One11.十几乘十几：口诀：头乘头，尾加尾，尾乘尾。
例：12×14=解: 1×1=1２＋４＝６２×４＝８12×14=168注：个位相乘，不够两位数要用0占位。
２.头相同，尾互补(尾相加等于10)：口诀：一个头加１后，头乘头，尾乘尾。
例：23×27=解：２＋１＝３２×３＝６３×７＝2123×27=621注：个位相乘，不够两位数要用0占位。
３.第一个乘数互补，另一个乘数数字相同：口诀：一个头加１后，头乘头，尾乘尾。
例：37×44=解：3+1=44×4=167×4=2837×44=1628注：个位相乘，不够两位数要用0占位。
４.几十一乘几十一：口诀：头乘头，头加头，尾乘尾。
例：21×41=解：2×4=82+4=61×1=121×41=861５.11乘任意数：口诀：首尾不动下落，中间之和下拉。
例：11×23125=解：2+3=53+1=41+2=32+5=72和5分别在首尾11×23125=254375注：和满十要进一。
６.十几乘任意数：口诀：第二乘数首位不动向下落，第一因数的个位乘以第二因数后面每一个数字，加下一位数，再向下落。
例：13×326=解：13个位是33×3+2=113×2+6=123×6=1813×326=4238注：和满十要进一。
必刷提高题14.2 乘法公式(解析版)-2020-2021学年八年级数学上册同步必刷题闯关练
2020-2021学年八年级数学上册同步必刷题闯关练（人教版）第十四章《整式的乘法和因式分解》14.2 乘法公式知识点1：完全平方公式【例1】（2020•呼伦贝尔）下列计算正确的是( )A ．236a a a =B ．222()x y x y +=+C ．5226()a a a ÷=D ．22(3)9xy xy -= 【解答】解：A 、235a a a =，故选项错误；B 、222()2x y x y xy +=++，故选项错误；C 、5226()a a a ÷=，故选项正确；D 、222(3)9xy x y -=，故选项错误；故选：C ．【变式1-1】（2020春•槐荫区期中）若10a b +=，11ab =，则代数式22a ab b -+的值是() A ．89 B ．89- C ．67 D ．67-【解答】解：把10a b +=两边平方得：222()2100a b a b ab +=++=，把11ab =代入得：2278a b +=，∴原式781167=-=，故选：C ．【变式1-2】如果2ab =，3a b +=，那么22a b += ．【解答】解：2ab =，3a b +=，2222()2345a b a b ab ∴+=+-=-=．【变式1-3】（2018秋•雁江区期末）已知12x x +=，求221x x +，441x x +的值． 【解答】解：22211()22x x x x+=+-=；4224211()22x x x x +=+-=． 【变式1-4】（2017春•苏仙区校级期中）（1）已知490m n +=，2310m n -=，求22(2)(3)m n m n +--的值（2）已知2()7a b +=，2ab =，求22a b +值．【解答】解：（1）490m n +=，2310m n -=，∴原式(4)(23)900m n m n =-+-=-；（2）222()27a b a b ab +=++=，2ab =，223a b ∴+=．知识点2：完全平方公式的几何背景【例2】（2018秋•邓州市期中）用四个全等的长方形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积是144，小正方形的面积是4，若用a ，b 分别表示矩形的长和宽()a b >，则下列关系中不正确的是( )A ．12a b +=B ．2a b -=C ．35ab =D ．2284a b +=【解答】解：A 、根据大正方形的面积求得该正方形的边长是12，则12a b +=，故A 选项正确； B 、根据小正方形的面积可以求得该正方形的边长是2，则2a b -=，故B 选项正确；C 、根据4个矩形的面积和等于大正方形的面积减去小正方形的面积，即41444140ab =-=，35ab =，故C 选项正确；D 、222()2144a b a b ab +=++=，所以221442351447074a b +=-⨯=-=，故D 选项错误．故选：D ．【变式2-1】（2017春•金平区期末）如图是用4个相同的小长方形与1个小正方形密铺而成的正方形图案，已知大正方形的面积为64，小正方形的面积为9，若用x ，y （其中)x y >分别表示小长方形的长与宽，请观察图案，指出以下关系式中不正确的是( )A ．8x y +=B ．3x y -=C ．2216x y -=D ．4964xy +=【解答】解：A 、因为正方形图案的边长8，同时还可用()x y +来表示，故此选项正确；B 、中间小正方形的边长为3，同时根据长方形长宽也可表示为x y -，故此选项正确；C 、根据A 、B 可知8x y +=，3x y -=，则22()()24x y x y x y -=+-=，故此选项错误；D 、因为正方形图案面积从整体看是64，从组合来看，可以是2()x y +，还可以是(44)xy +，即4464xy +=，故此选项正确；故选：C ．【变式2-2】（2020春•天桥区期末）如图1是一个长为4a 、宽为b 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2)．①图2中的阴影部分的面积为 ；②观察图2请你写出2()a b +、2()a b -、ab 之间的等量关系是 ；③根据（2）中的结论，若5x y +=，94x y =，则2()x y -= ； ④实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．如图3，你发现的等式是 ．【解答】解：①2()b a -；②22()()4a b a b ab +--=；③当5x y +=，94x y =时， 22()()4x y x y xy -=+-29544=-⨯ 16=；④22()(3)34a b a b a ab b ++=++．故答案为：①2()b a -；②22()()4a b a b ab +--=；③16；④22()(3)34a b a b a ab b ++=++．【变式2-3】（2019秋•临沭县期中）如图①所示是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．（1）图②中的阴影部分的正方形的边长等于 ．（2）请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积．方法① ；方法② ．（3）观察图②，请写出2()m n +、2()m n -、mn 这三个代数式之间的等量关系： ．（4）若6a b +=，5ab =，则求a b -的值．【解答】解：（1）图②中的阴影部分的小正方形的边长m n =-；（2）方法①2()4m n mn +-；方法②2()m n -；（3）这三个代数式之间的等量关系是：22()()4m n m n mn -=+-；（4）22()()4a b a b ab -=+-， 6a b +=，5ab =，2()362016a b ∴-=-=，4a b ∴-=±．故答案为m n -；2()4m n mn +-2()m n -；22()4()m n mn m n +-=-． 知识点3：完全平方式【例3】（2016•青羊区校级自主招生）如果自然数a 是一个完全平方数，那么与a 之差最小且比a 大的一个完全平方数是( )A ．1a +B ．21a +C ．221a a ++D ．1a + 【解答】解：自然数a 是一个完全平方数，a ∴∴比a 的算术平方根大11，∴这个平方数为：21)1a =+．故选：D ．【变式3-1】（2013春•武侯区月考）若要使21464x mx ++成为一个两数差的完全平方式，则m 的值应为( )A ．12±B ．12-C ．14±D ．14- 【解答】解：22111(2)48264x x x -=-+，或22111[2()]48264x x x --=++， 12m ∴=-或12． 故选：A ．【变式3-2】（2018秋•西湖区校级月考）已知2216m km ++是完全平方式，则k = ．【解答】解：2216m km ++是完全平方式，28km m ∴=±，解得4k =±．【变式3-3】若多项式224x kx ++是关于x 的完全平方式，则k = ．【解答】解：224x kx ++是一个多项式的完全平方，222kx x ∴=±⨯，2k ∴=±．故答案为：2±．【变式3-4】（2015秋•重庆校级期中）阅读理解：所谓完全平方式，就是对于一个整式A ，如果存在另一个整式B ，使得2A B =，则称A 是完全平方式，例如422()a a =，22441(21)a a a -+=-．（1）下列各式中完全平方式的编号有 ；①6a ；②22a ab b ++；③2244x x y -+④269m m ++；⑤21025x x --；⑥221424a ab b ++． （2）若224x xy my ++和2264x nxy y -+都是完全平方式，求20152016m n 的值；（3）多项式2491x +加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可以是哪些？（请罗列出所有可能的情况，直接写出答案）【解答】解：（1）①632()a a =，是；②22a ab b ++，不是；③2244x x y -+，不是；④2269(3)m m m ++=+，是；⑤21025x x --，不是；⑥2221142(2)42a ab b a b ++=+，是， 故答案为：①④⑥；（2）224x xy my ++和2264x mxy y -+都是完全平方式，116m ∴=，16n =±， 则原式20151(16)161616=⨯⨯=； （3）多项式2491x +加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可以是14x ，14x -，1-，249x -，424014x ． 知识点4：平方差公式【例4】（2020•碑林区校级模拟）下列运算正确的( )A ．3232m m m -=B ．23522m m m =C ．22(2)(2)4a b a b a b --+=-D ．23245(2)4x y x y -= 【解答】解：33m 和22m 不能合并，故选项A 错误；23522m m m =，故选项B 正确；22(2)(2)44a b a b a ab b --+=---，故选项C 错误；23246(2)4x y x y -=，故选项D 错误；故选：B ．【变式4-1】（2020秋•武侯区校级月考）计算：2(234)(324)2()b c c b b c -+-+--= ．【解答】解：2(234)(324)2()b c c b b c -+-+--，2[(23)4][(23)4]2()b c b c b c =-+--+--，2216(23)2()b c b c =----，2222164129242b bc c b bc c =-+--+-，226111616b c bc =--++．【变式4-2】计算：248161(51)(51)(51)(51)(51)4++++++= ． 【解答】解：248161(51)(51)(51)(51)(51)4++++++，2481611(51)(51)(51)(51)(51)(51)44=-++++++，3211(51)44=-+，3254=．【变式4-3】（2019秋•开福区校级期中）利用乘法公式计算：（1）2(23)(3)(3)x y y x x y --+-（2）(23)(23)a b a b -++-．【解答】解：（1）原式22224129(9)x xy y x y =-+--222241299x xy y x y =-+-+2251210x xy y =--+；（2）原式[(23)][(23)]a b a b =--+-22(23)a b =--224129a b b =-+-．【变式4-4】（2017春•雁塔区校级月考）用公式简便运算（1）215185⨯（2）2699（3）2201920172021-⨯．【解答】解：（1）原式22(20015)(20015)200154000022539775=+-=-=-=；（2）222699(7001)70027001149000014001488601=-=-⨯⨯+=-+=；（3）222222019201720212019(20192)(20192)2019201924-⨯=---=-+=．【变式4-5】（2017春•义乌市校级期中）探索：2(21)(21)21-+=-23(21)(221)21-++=-324(21)(2221)21-+++=-4325(21)(22221)21-++++=-⋯（1）求8762222221+++⋯⋯+++的值是多少；（2）求2008200720062333331+++⋯⋯+++的值是多少？【解答】解：（1）2(21)(21)21-+=-23(21)(221)21-++=-324(21)(2221)21-+++=-4325(21)(22221)21-++++=-⋯8762922222121511∴+++⋯⋯+++=-=；（2）2008200720062333331+++⋯⋯+++2009(31)(31)=-÷-2009312-=． 知识点5：平方差公式的几何背景【例5】（2018秋•大同期末）如图1，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形()a b >，把剩下部分沿图1中的虚线剪开后重新拼成一个梯形（如图2)，利用这两幅图形面积，可以验证的乘法公式是( )A ．222()2a b a ab b -=-+B ．222()2a b a ab b +=++C ．2()a a b a ab +=+D ．22()()a b a b a b +-=-【解答】解：图1阴影部分的面积等于22a b -，图2梯形的面积是1(22)()()()2a b a b a b a b +-=+- 根据两者阴影部分面积相等，可知22()()a b a b a b +-=-比较各选项，只有D 符合题意故选：D ．【变式5-1】（2018春•青羊区期末）如图，从边长为a 的大正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立( )A ．222()2a b a ab b -=-+B ．2()a a b a ab +=+C ．222()2a b a ab b +=++D ．22()()a b a b a b -+=-【解答】解：由题意这两个图形的面积相等， 22()()a b a b a b ∴-=+-，故选：D ．【变式5-2】如图，小刚家有一块“L ”形的菜地，要把这块菜地按图示那样分成面积相等的梯形，种上不同的蔬菜，这两个梯形的上底都是xm ，下底都是ym ，高都是()y x m -，请你帮小刚家算一算菜地的面积是 平方米．当20x m =，30y m =时，面积是 平方米．【解答】解：由题意得菜地的面积为2212()()2x y y x y x ⨯+-=-． 当20x =，30y =时，222223020900400500y x m -=-=-=．故答案为：22y x -；500．【变式5-3】（2017春•张掖月考）乘法公式的探究及应用．小题1：如图1，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）；小题2：如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是 ，长是 ，面积是 （写成多项式乘法的形式）小题3：比较图1，图2的阴影部分面积，可以得到乘法公式 （用式子表达）小题4：应用所得的公式计算：2222211111(1)(1)(1)(1)(1)23499100---⋯--【解答】解：小题1：利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积22a b =-；故答案为：22a b -；小题2：由图可知矩形的宽是a b -，长是a b +，所以面积是()()a b a b +-；故答案为：a b -，a b +，()()a b a b +-；小题223:()()a b a b a b +-=-（等式两边交换位置也可）；故答案为：22()()a b a b a b +-=-； 小题22222111114:(1)(1)(1)(1)(1)23499100---⋯-- 1111111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)2233449999100100=-⨯+-+-+⋯-+-+ 13243598100991012233449999100100=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋯⨯⨯⨯⨯ 11012100=⨯ 101200=． 【变式5-4】（2019春•南海区期末）（1）如图1，阴影部分的面积是 ．（写成平方差的形式）（2）若将图1中的阴影部分剪下来，拼成如图2的长方形，面积是 ．（写成多项式相乘的积形式）（3）比较两图的阴影部分的面积，可以得到公式： ．（4）应用公式计算：222222111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)234520172018----⋯--．【解答】解：（1）如图（1）所示，阴影部分的面积是22a b -，故答案为：22a b -；（2）根据题意知该长方形的长为a b +、宽为a b -，则其面积为()()a b a b +-，故答案为：()()a b a b +-；（3）由阴影部分面积相等知22()()a b a b a b -+=-，故答案为：22()()a b a b a b -+=-；（4）222222111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)234520172018----⋯-- 111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)223320182018=-+-+⋯-+ 132420172019223320182018=⨯⨯⨯⨯⋯⨯⨯ 1201922018=⨯ 20194036=． 【变式5-5】（2018春•延庆区期末）我们经常利用图形描述问题和分析问题．借助直观的几何图形，把问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路．（1）小明为了解释某一公式，构造了几何图形，如图1所示，将边长为a 的大正方形剪去一个边长为b 的小正方形，并沿图中的虚线剪开，拼接后得到图2，显然图1中的图形与图2中的图形面积相等，从而验证了公式．则小明验证的公式是 ．（2）计算：()()x a x b ++= ；请画图说明这个等式．【解答】解：（1）由图1可得，图形面积22a b =-，由图2可得，图形面积()()a b a b =+-，22()()a b a b a b ∴+-=-故答案为：22()()a b a b a b +-=-；（2）2()()x a x b x ax bx ab ++=+++，证明：如图所示，图形面积()()x a x b =++，图形面积2x ax bx ab =+++，2()()x a x b x ax bx ab ∴++=+++，故答案为：2x ax bx ab+++．。
wps乘除法公式
wps乘除法公式WPS乘除法公式乘除法是数学中基本且常用的运算方法，它在各个领域都有着广泛的应用。
在处理大量的数字数据时，手动进行乘除运算工作量大且容易出错，因此使用电子表格软件如WPS表格可以大大提高工作效率和准确性。
WPS表格提供了丰富的乘除法公式，方便用户进行各种复杂的数值计算。
一、乘法公式乘法是一种将两个或多个数相乘的运算方法。
在WPS表格中，可以使用乘法公式快速计算乘法运算。
1. 使用乘号(*)进行乘法运算。
例如，计算两个数相乘的结果，可以使用乘号(*)将两个数相乘，公式如下：=A1 * B1其中，A1和B1分别是要相乘的两个数，通过乘号(*)连接起来，最终得到相乘的结果。
2. 使用PRODUCT函数进行乘法运算。
WPS表格还提供了PRODUCT函数用于计算多个数的乘积。
其语法如下：=PRODUCT(A1:B5)其中，A1:B5表示要相乘的数的范围，用冒号(:)连接起来。
通过PRODUCT函数可以同时计算多个数的乘积，大大简化了乘法运算的工作量。
二、除法公式除法是一种将一个数除以另一个数的运算方法。
在WPS表格中，可以使用除法公式进行除法运算。
1. 使用除号(/)进行除法运算。
例如，计算一个数除以另一个数的结果，可以使用除号(/)将两个数相除，公式如下：=A1 / B1其中，A1和B1分别是要相除的两个数，通过除号(/)连接起来，最终得到相除的结果。
2. 使用QUOTIENT函数进行除法运算。
WPS表格还提供了QUOTIENT函数用于计算两个数的商。
其语法如下：=QUOTIENT(A1, B1)其中，A1和B1分别是要相除的两个数。
QUOTIENT函数会返回这两个数的商。
除了以上的基本乘除法公式，WPS表格还提供了其他与乘除法相关的函数，如SUMPRODUCT函数、INT函数等，可以方便地进行更复杂的数值计算。
同时，WPS表格还支持自定义函数，用户可以根据自己的需求编写乘除法公式，实现更灵活的计算。
五年级数学公式大全
1.四则运算公式：-加法公式：a+b=c-减法公式：a-b=c-乘法公式：a×b=c-除法公式：a÷b=c2.数量关系公式：-比例的乘法公式：a:b=c:d，a×d=b×c-倍数关系公式：a是b的n倍，a=b×n 3.分数公式：-分数四则运算：-加法公式：a/b+c/d=(a×d+b×c)/(b×d)-减法公式：a/b-c/d=(a×d-b×c)/(b×d)-乘法公式：(a/b)×(c/d)=(a×c)/(b×d)-除法公式：(a/b)÷(c/d)=(a×d)/(b×c) 4.百分数公式：-百分数转小数：百分数/100=小数-小数转百分数：小数×100=百分数5.几何学公式：-长方形面积公式：面积=长×宽-正方形面积公式：面积=边长×边长-三角形面积公式：面积=底×高/2-圆面积公式：面积=π×半径×半径6.单位换算公式：-分米与厘米的换算：1分米=10厘米-千克与克的换算：1千克=1000克-升与毫升的换算：1升=1000毫升-公里与米的换算：1公里=1000米7.时间公式：-分钟和小时的换算：60分钟=1小时-小时和天的换算：24小时=1天-天和周的换算：7天=1周-天和月的换算：约30天=1个月8.三角形的勾股定理：-直角三角形斜边长度公式：c²=a²+b²这些是五年级常见的数学公式，掌握了这些公式，能够更好地解决各种数学问题。
记得多练习，加深理解，提高数学能力哦！。
数学运算常用公式大全
数学运算常用公式大全1.加法和减法公式：-加法交换律：a+b=b+a-加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)-加法逆元（减法）：a+(-a)=0-加法消去律：a+b=a+c，则b=c2.乘法和除法公式：-乘法交换律：a×b=b×a-乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)-乘法逆元（倒数）：a×(1/a)=1，其中a≠0-乘法消去律：a×b=a×c，则b=c3.指数公式：-幂的乘法：a^m×a^n=a^(m+n)-幂的除法：a^m÷a^n=a^(m-n)-幂的乘方：(a^m)^n=a^(m×n)-幂的零次方：a^0=1，其中a≠04.对数公式：- 对数的乘法：loga (xy) = loga x + loga y- 对数的除法：loga (x/y) = loga x - loga y- 对数的幂：loga (x^n) = n loga x5.三角函数公式：- 正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC- 余弦定理：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cosA- 正切定理：tanA = sinA/cosA- 和差化积公式：sin(A ± B) = sinA cosB ± cosA sinB6.二次方程公式：- 一元二次方程：ax^2 + bx + c = 0，其中a≠0- 解的公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a- 判别式：Δ = b^2 - 4ac，若Δ > 0，则有两个不相等的实根；若Δ = 0，则有两个相等的实根；若Δ < 0，则没有实根。
7.统计学公式：-平均数：平均数=总和/数据个数-中位数：将数据从小到大排列，如果数据个数为奇数，中位数为中间的那个数；如果数据个数为偶数，中位数为中间两个数的平均数。
乘法公式专题训练
乘法公式 专题训练一．知识点1. 平方差公式： ()()22a b a b a b -+=-2. 完全平方公式： ()2222a b a b ab ±=+± 3. ()()()2x a x b x a b x ab ++=+++4. 立方和（差）公式： ()()2233a b a b ab a b ++-=+()()2233a b a b ab a b -++=-5. 三数和平方公式： ()2222222a b c a b c ab ac bc ++=+++++6. 欧拉公式： ()()2223333a b c a b c ab ac bc a b c abc ++++---=++-二．例题选讲：例1. 计算：（1） ()()()y x x y y x -+--33322（2）()()4334x y y x --- （3） ()()35a a -+（4） ()()22x y x y +- （5） ()221x y -+ （6） ()()2121x y x y +---例2： 填一个适当的数（式），使等式成立：① ++x x 62 =(+x )2 ② +-a a 1242 = (-a 2 )2 ③++xy x 1292 = (+x 3 )2 ④ +-a a 4162 = (-a 4 )2⑤ ()()23a a -+= ⑥ 23x x +- = ()(2x x -+) ⑦ 23x x ++ = ()(2x x ++ ) ⑧ 23x x ++ = ()(4x x -+) 例3． 已知 7x y += ，12xy = ，求下列代数式的值：（1） a b - （2） 44a b +三．基础训练1.下列各式中, 不能用平方差公式计算的是（ ）A ．(3a +2b )(2b -3a )B ．(4a 2-3bc ) (4a 2+3bc )C ．(2a +3b )(-3b -2a )D ．(-3m +5)(-5-3m )2.若()()A y x y x +-=+222323，则代数式A=（ ） A ．xy 12- B ．12xy C ．24xy D ．-24xy3．一个长方形的面积为x 2－y 2，以它的短边为边长的正方形的面积为（ ）Ａ.x 2＋y 2 Ｂ.x 2＋y 2－２xy Ｃ.x 2＋y 2＋２xy Ｄ.以上都不对4．如果两个单项式的差的平方是2221a b ab -+,那么这两个单项式是（ ）A.a 与bB.ab 与1或-ab 与-1C.a 2与b 2D.ab 与-1或-ab 与15．若12a a +=,则221a a += ________, 221a a-=________ 6．若a 2+b 2=10, a+b=2 ,则 (a-b)2 =________7.如果23222686)43(xy y x x by y x x ax +-=+-成立，则a =_________,b =________8.三个连续奇数，若中间一个为n ，则它们的积是________________9.用乘法公式计算：(1) (-ab+2)(ab+2) (2)(3x-4y)2-(3x+4y)2(3) 22111()()()339x y x y x y +-+ （4）(x-2y+1)(x+2y-1)(5) (x+2y+4)(x-2y+4) (6) 2)52(c b a +-四．提高训练1. 试说明理由：不论x,y 取什么有理数,多项式22223x y x y +-++的值总是正数。
必刷提高练【14.2乘法公式】(原卷版)-2021-2022学年八年级数学上册必刷题闯关练(人教版)
2021-2022学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（人教版）提高第14章《整式的乘法与因式分解》14.2 乘法公式知识点1：完全平方公式【典型例题1】（2020春•槐荫区期中）若a+b＝10，ab＝11，则代数式a2﹣ab+b2的值是（）A．89B．﹣89C．67D．﹣67解：把a+b＝10两边平方得：（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100，把ab＝11代入得：a2+b2＝78，∴原式＝78﹣11＝67，故选：C【变式训练1-1】（2020•浙江自主招生）若x2﹣3x+1＝0，则的值是（）A．8B．7C．D．【变式训练1-2】（2021春•肥东县期末）若x﹣y＝3，xy＝1，则x2+y2＝．【变式训练1-3】（2021春•西安期末）已知（a+b）2＝9，ab＝﹣，则a2+b2的值等于．【变式训练1-4】（2021春•荷塘区期末）已知（a+b）2＝7，（a﹣b）2＝3，则ab＝．【变式训练1-5】（2021秋•朝阳区校级期中）阅读理解：①32+42＞2×3×4②32+32＝2×3×3；③（﹣2）2+42＞2×（﹣2）×4；④（﹣5）2+（﹣5）2＝2×（﹣5）×5（1）观察以上各式，你发现它们有什么规律吗？请用含有a、b的式子表示上述规律；（2）运用你所学的知识证明你发现的规律；（3）已知a+b＝4，求ab的最大值．【变式训练1-6】（2020秋•盐池县期末）回答下列问题（1）填空：x2+＝（x+）2﹣＝（x﹣）2+（2）若a+＝5，则a2+＝；（3）若a2﹣3a+1＝0，求a2+的值．知识点2：完全平方公式的几何背景【典型例题2】（2020•丰台区三模）如图，一个正方形被分成两个正方形和两个一模一样的矩形，请根据图形，写出一个含有a，b的正确的等式．解：由面积相等，得（a+b）2＝a2+2ab+b2，故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2．【变式训练2-1】（2021春•浦江县期末）如图是将正方形ABCD和正方形CEFG拼在一起的图形，点B，C，E在同一条直线上，连结BD，BF．若阴影部分△BDF的面积为8，则正方形ABCD的边长为（）A．2B．3C．4D．6【变式训练2-2】（2021春•济南期末）如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形AB并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为20，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，（图2，图3中正方形AB纸片均无重叠部分）则图3阴影部分面积（）A．22B．24C．42D．44【变式训练2-3】（2021•饶平县校级模拟）如图，矩形ABCD的周长是10cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为17cm2，那么矩形ABCD的面积是（）A．3cm2B．4cm2C．5cm2D．6cm2【变式训练2-4】（2019秋•海伦市期末）有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的边长之和为．【变式训练2-5】（2018秋•路北区期末）如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形（a＞0），把剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则拼得的长方形的周长为cm．（用含a的代数式表示）【变式训练2-6】（2021春•姑苏区期中）学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1：A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形．（1）选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个为（a+b）的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式；（2）请用这3种卡片拼出一个面积为a2+5ab+6b2的长方形（数量不限），在图3的虚线框中画出示意图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽；（3）选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形DEFG框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分．已知GF的长度固定不变，DG的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为S1，S2．若S＝S2﹣S1，则当a与b满足时，S为定值，且定值为．（用含a或b的代数式表示）【变式训练2-7】（2021春•新邵县期末）如图，它是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中的虚线剪开均分成四个小长方形，然后按图（2）形状拼成一个正方形．（1）你认为图（2）中的阴影部分的正方形边长为（2）请用两种不同的方法表示图（2）阴影部分的面积；方法一：方法二：（3）观察图（2），写出三个代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系．（4）根据（3）题中的等量关系，解决下列问题：若a+b＝7，ab＝5，求（a﹣b）2的值．【变式训练2-8】（2021春•赫山区期末）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．（1）用含a、b的代数式分别表示S1、S2；（2）若a+b＝10，ab＝23，求S1+S2的值；（3）当S1+S2＝29时，求出图3中阴影部分的面积S3．知识点3：完全平方式【典型例题3】（2016秋•宛城区期中）所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式，例如：a4＝（a2）2、4a2﹣4a+1＝（2a﹣1）2．（1）下列各式中完全平方式的编号有；①a6；②a2﹣ab+b2；③4a2+2ab+b2；④x2+4xy+4y2；⑤a2+a+；⑥x2﹣6x﹣9．（2）若x2+4xy+my2和x2﹣nxy+y2都是完全平方式，求（m﹣）2的值；（3）多项式9x2+1加上一个单项式后，能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可以是哪些？（请直接写出所有可能的单项式）解：（1）①a6＝（a3）2；③4a2+2ab+b2＝（2a+b）2；④x2+4xy+4y2＝（x+2y）2；⑤a2+a+＝（a+）2，是完全平方式；②a2﹣ab+b2，⑥x2﹣6x﹣9，不是完全平方式各式中完全平方式的编号有①③④⑤；故答案为：①③④⑤；（2）∵x2+4xy+my2和x2﹣nxy+y2都是完全平方式，∴x2+4xy+my2＝（x+y）2，x2﹣nxy+y2＝（x±y）2，∴m＝4，n＝±1，当n＝1时，原式＝9；当n＝﹣1时，原式＝25；（3）单项式可以为﹣1，﹣9x2，6x，﹣6x或x4．【变式训练3-1】（2019春•石台县期末）如图所示，有三种卡片，其中边长为a的正方形1张，边长为a、b的矩形卡片4张，边长为b的正方形4张用这9张卡片刚好能拼成一个正方形，则这个正方形的面积为（）A．a2+4ab+4b2B．4a2+8ab+4b2C．4a2+4ab+b2D．a2+2ab+b2【变式训练3-2】（2013春•武侯区月考）若要使4x2+mx+成为一个两数差的完全平方式，则m的值应为（）A．B．C．D．【变式训练3-3】若二项式x2+4加上一个单项式后成为一个完全平方式，则这样的单项式共有（）A．1个B．2个C．3个D．5个【变式训练3-4】（2020春•武侯区校级期中）若多项式x2+x+k是关于x的完全平方式，则k＝．【变式训练3-5】+a+＝（）2．【变式训练3-6】（2021春•宽城县期末）若我们规定三角“”表示为：abc；方框“”表示为：（x m+y n）．例如：＝1×19×3÷（24+31）＝3．请根据这个规定解答下列问题：（1）计算：＝；（2）代数式为完全平方式，则k＝；（3）解方程：＝6x2+7．知识点4：平方差公式【典型例题4】（2021春•成都期末）下列运算正确的是（）A．（x+y）（y﹣x）＝x2﹣y2B．（﹣x+y）2＝﹣x2+2xy+y2C．（﹣x﹣y）2＝﹣x2﹣2xy﹣y2D．（x+y）（﹣y+x）＝x2﹣y2解：A、结果是y2﹣x2，故本选项不符合题意；B、结果是x2﹣2xy+y2，故本选项不符合题意；C、结果是x2+2xy+y2，故本选项不符合题意；D、结果是x2﹣y2，故本选项符合题意；故选：D．【变式训练4-1】（2020秋•饶平县校级期末）在下列计算中，不能用平方差公式计算的是（）A．（m﹣n）（﹣m+n）B．（x3﹣y3）（x3+y3）C．（﹣a﹣b）（a﹣b）D．（c2﹣d2）（d2+c2）【变式训练4-2】（2020秋•九龙坡区校级期中）若a2﹣b2＝16，（a+b）2＝8，则ab的值为（）A．﹣B．C．﹣6D．6【变式训练4-3】（2021春•锦江区校级期中）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，16＝52﹣32，16就是一个智慧数．在正整数中，从1开始，第2021个智慧数是．【变式训练4-4】已知a﹣b＝3，a2﹣b2＝9，则a＝，b＝．【变式训练4-5】（2021春•鼓楼区期中）有些同学会想当然地认为（x﹣y）3＝x3﹣y3．（1）举出反例说明该式不一定成立；（2）计算（x﹣y）3；（3）直接写出当x、y满足什么条件时，该式成立．【变式训练4-6】（2019秋•平山县期末）用简便方法计算：（1）1002﹣200×99+992（2）2018×2020﹣20192【变式训练4-7】（2018秋•沙坪坝区期末）一个个位不为零的四位自然数n，如果千位与十位上的数字之和等于百位与个位上的数字之和，则称n为“隐等数”，将这个“隐等数“反序排列（即千位与个位对调，百位与十位对调）得到一个新数m，记D（n）＝．（1）请任意写出一个“隐等数”n，并计算D（n）的值；（2）若某个“隐等数“n的千位与十位上的数字之和为6，D（n）为正数，且D（n）能表示为两个连续偶数的平方差，求满足条件的所有“隐等数”n．知识点5：平方差公式的几何背景【典型例题5】（2017春•张掖月考）乘法公式的探究及应用．小题1：如图1，可以求出阴影部分的面积是（写成两数平方差的形式）；小题2：如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是，长是，面积是（写成多项式乘法的形式）小题3：比较图1，图2的阴影部分面积，可以得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（用式子表达）小题4：应用所得的公式计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）解：小题1：利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积＝a2﹣b2；故答案为：a2﹣b2；小题2：由图可知矩形的宽是a﹣b，长是a+b，所以面积是（a+b）（a﹣b）；故答案为：a﹣b，a+b，（a+b）（a﹣b）；小题3：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（等式两边交换位置也可）；故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；小题4：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）＝（1﹣）×（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）＝××××××…××××＝＝．【变式训练5-1】（2021秋•台江区期中）能够用如图中已有图形的面积说明的等式是（）A．a（a+4）＝a2+4a B．（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16C．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4D．（a+2）2＝a2+4a+4【变式训练5-2】（2018秋•大同期末）如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下部分沿图1中的虚线剪开后重新拼成一个梯形（如图2），利用这两幅图形面积，可以验证的乘法公式是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．a（a+b）＝a2+ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2【变式训练5-3】（2018春•青羊区期末）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．a（a+b）＝a2+abC．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2【变式训练5-4】如图，小刚家有一块“L”形的菜地，要把这块菜地按图示那样分成面积相等的梯形，种上不同的蔬菜，这两个梯形的上底都是xm，下底都是ym，高都是（y﹣x）m，请你帮小刚家算一算菜地的面积是平方米．当x＝20m，y＝30m时，面积是平方米．【变式训练5-5】（2021春•婺城区校级期末）乘法公式的探究与应用：（1）如图甲，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，请你写出阴影部分面积是（写成两数平方差的形式）（2）小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个长方形，如图乙，则长方形的长是，宽是，面积是（写成多项式乘法的形式）．（3）比较甲乙两图阴影部分的面积，可以得到公式（两个）公式1：公式2：（4）运用你所得到的公式计算：10.3×9.7．【变式训练5-6】（2021春•淮北期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是；（请选择正确的一个）A、a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C、a2+ab＝a（a+b）（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值．②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．。
小学六年级数学公式必背大全
1.加减法公式：-加法交换律：a+b=b+a-加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)-减法公式：a-b=a+(-b)2.乘法公式：-乘法交换律：a×b=b×a-乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)-乘法分配律：a×(b+c)=a×b+a×c3.除法公式：-除法定义：a÷b=c，其中a=b×c4.平方公式：-平方定义：a²=a×a-平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)5.开平方公式：-开平方定义：√a×√a=a-特殊开平方公式：√a×√b=√(a×b) 6.分数公式：-分数定义：a÷b=a/b-分数相加：a/b+c/d=(a×d+b×c)/b×d-分数相减：a/b-c/d=(a×d-b×c)/b×d-分数相乘：a/b×c/d=(a×c)/(b×d)-分数相除：(a/b)÷(c/d)=(a×d)/(b×c)7.百分数公式：-百分数定义：a%=a/100-百分数转小数：a%=a÷100-小数转百分数：a=a%×1008.平均数公式：-平均数定义：平均数=（所有数之和）÷（个数）9.面积公式：-长方形面积：面积=长×宽-正方形面积：面积=边长×边长-三角形面积：面积=底×高÷2-圆的面积：面积=π×半径²10.周长公式：-长方形周长：周长=2×(长+宽)-正方形周长：周长=4×边长-三角形周长：周长=边1+边2+边3-圆的周长：周长=2×π×半径11.体积公式：-直方体体积：体积=长×宽×高-立方体体积：体积=边长×边长×边长12.时、分、秒关系公式：-1小时=60分钟=3600秒-1分钟=60秒这些是小学六年级数学常用的公式，掌握这些公式可以帮助你更好地解题和计算。
2014年初中数学乘法公式提高练习
一．解答题（共14小题）1．计算：2（m+1）2﹣（2m+1）（2m﹣1）．2．阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．例如：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方；（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．3．若a=，b=，试不用将分数化小数的方法比较a、b的大小．4．根据以下10个乘积，回答问题：11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．（1）试将以上各乘积分别写成一个“□2﹣∅2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；（2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；（3）若用a1b1，a2b2，…，a n b n表示n个乘积，其中a1，a2，a3，…，a n，b1，b2，b3，…，b n为正数．试由（1）、（2）猜测一个一般性的结论．（不要求证明）5．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．例如：（a+b）0=1，它只有一项，系数为1；（a+b）1=a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；（a+b）2=a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；…根据以上规律，解答下列问题：（1）（a+b）4展开式共有_________项，系数分别为_________；（2）（a+b）n展开式共有_________项，系数和为_________．6．老师在黑板上写出三个算式：52﹣32=8×2，92﹣72=8×4，152﹣32=8×27，王华接着又写了两个具有同样规律的算式：112﹣52=8×12，152﹣72=8×22，…（1）请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式；（2）用文字写出反映上述算式的规律；（3）证明这个规律的正确性．7．（1）计算：（a+b）（a2﹣ab+b2）；（2）若x+y=1，xy=﹣1，求x3+y3的值．8．若x2+2xy+y2﹣a（x+y）+25是完全平方式，求a的值．9．先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0∴（m+n）2+（n﹣3）2=0∴m+n=0，n﹣3=0∴m=﹣3，n=3问题（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求x y的值．（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2=10a+8b﹣41，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围．10．已知，求的值．11．已知（x+y）2=1，（x﹣y）2=49，求：①x2+y2，②xy．12．如图所示，图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中的虚线剪成四个全等的小长方形，再按图2围成一个较大的正方形．（1）请用两种方法表示图2中阴影部分的面积（只需表示，不必化简）；（2）比较（1）的两种结果，你能得到怎样的等量关系？（3）请你用（2）中得到的等量关系解决下面问题：如果m﹣n=4，mn=12，求m+n的值．13．如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于多少？（2）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．方法1：_________方法2：_________（3）观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn．_________（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=7，ab=5，则（a﹣b）2=_________．14．（1）观察下列各式：62﹣42=4×5，112﹣92=4×10，172﹣152=4×16…你发现了什么规律？试用你发现的规律填空：512﹣492=4×_________，752﹣732=4×_________．（2）请你用含一个字母的等式将上面各式呈现的规律表示出来，并用所学数学知识说明你所写式子的正确性．2014年初中数学乘法公式提高练习参考答案与试题解析一．解答题（共14小题）1．（2011•大连一模）计算：2（m+1）2﹣（2m+1）（2m﹣1）．2．（2009•佛山）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．例如：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方；（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．）+4（﹣a++ab+（ab++b（﹣3．（2009•临夏州）若a=，b=，试不用将分数化小数的方法比较a、b的大小．=4．（2007•东营）根据以下10个乘积，回答问题：11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．（1）试将以上各乘积分别写成一个“□2﹣∅2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；（2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；（3）若用a1b1，a2b2，…，a n b n表示n个乘积，其中a1，a2，a3，…，a n，b1，b2，b3，…，b n为正数．试由（1）、（2）猜测一个一般性的结论．（不要求证明）≤5．（2006•龙岩）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．例如：（a+b）0=1，它只有一项，系数为1；（a+b）1=a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；（a+b）2=a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；…根据以上规律，解答下列问题：（1）（a+b）4展开式共有5项，系数分别为1，4，6，4，1；（2）（a+b）n展开式共有n+1项，系数和为2n．6．（2006•安徽）老师在黑板上写出三个算式：52﹣32=8×2，92﹣72=8×4，152﹣32=8×27，王华接着又写了两个具有同样规律的算式：112﹣52=8×12，152﹣72=8×22，…（1）请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式；（2）用文字写出反映上述算式的规律；（3）证明这个规律的正确性．7．（2006•肇庆）（1）计算：（a+b）（a2﹣ab+b2）；（2）若x+y=1，xy=﹣1，求x3+y3的值．8．（2003•黄石）若x2+2xy+y2﹣a（x+y）+25是完全平方式，求a的值．9．先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0∴（m+n）2+（n﹣3）2=0∴m+n=0，n﹣3=0∴m=﹣3，n=3问题（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求x y的值．（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2=10a+8b﹣41，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围．10．已知，求的值．=）﹣=））﹣±11．已知（x+y）2=1，（x﹣y）2=49，求：①x2+y2，②xy．12．如图所示，图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中的虚线剪成四个全等的小长方形，再按图2围成一个较大的正方形．（1）请用两种方法表示图2中阴影部分的面积（只需表示，不必化简）；（2）比较（1）的两种结果，你能得到怎样的等量关系？（3）请你用（2）中得到的等量关系解决下面问题：如果m﹣n=4，mn=12，求m+n的值．13．如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于多少？（2）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．方法1：（m+n）2﹣4mn方法2：（m﹣n）2（3）观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn．（m+n）2=（m ﹣n）2+4mn（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=7，ab=5，则（a﹣b）2=29．14．（1）观察下列各式：62﹣42=4×5，112﹣92=4×10，172﹣152=4×16…你发现了什么规律？试用你发现的规律填空：512﹣492=4×50，752﹣732=4×74．（2）请你用含一个字母的等式将上面各式呈现的规律表示出来，并用所学数学知识说明你所写式子的正确性．。