2.1.2-2异面直线所成的角
用2.1.2.2 专题：求异面直线所成的角完成
D′ A′ E B′ F
C′
解：②连结AC， A′C′，AB′， ∵AC∥ A′C′ ∥EF， ∴∠ACB′就是异面直线 B′C与 EF 所成角, 在△ ACB′中， AC =CB′= AB′ ， ∴ ∠ACB′=60°， ∴异面直线 B′C与 EF 所成角为60°.
D
A
C
B
练习 3.已知AB=BC=CD，且线段BC是AB与CD的公垂线段，若AB与CD成60°角， 则异面直线BC与AD所成的角为（ ） D A．45° B．60° C．90° D．45°或60° 解：如图，过B点作BE∥CD，且BE=CD，连接DE， 则四边形BCDE为正方形， ∠ABE(或其补角)为异面直线AB与CD所成的角， ∠ADE(或其补角)为异面直线BC与AD所成的角， 连接AE，则DE⊥AE， 当∠ABE=60°时，△ABE为等边三角形， ∴AE=DE,∴ ∠ADE=45°； 当∠ABE=120°时，AE=
练习 1.在正方体ABCD-A′B′C′D′中，棱长为a，E、F分别是棱A′B′，B′C′的中点， 求：
45 ①异面直线 AD与 EF所成角的大小； ②异面直线 B′C与 EF所成角的大小； 60 ③异面直线 B′D与 EF所成角的大小. 90 解：③连结BD，AC，设交点为点O，连接 A′C′， 作B′B的中点G，连结OG，AG，
练 习
1.如图,已知长方体ABCD-EFGH中, AB = (1)求BC 和EG 所成的角是多少度? (2)求AE 和BG 所成的角是多少度? 解： (1)∵GF∥BC ∴∠EGF（或其补角）为所求.
o
2 , AD 3 =
H E 2
2 3
AE = 2 2 ,3 G F
D
2 3
C B
高一数学(人教版)必修二学案：2.1.2求异面直线所成角 .doc
直线a 、b 是异面直线，经过空间任意一点 O ,分别引直线a ′∥a , b ′∥ b 。
我们把直线a ′和b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 和b 所成的角.注意：异面直线所成角的范围是0°＜a ≤90° 求异面直线所成角的步骤有哪些？ ★求角的步骤：一“作”二“证”三“算”例1 如图，已知正方体ABCD —A′B′C′D′.①哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？ ②直线BA′和CC′的夹角是多少？ ③哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？变1 [2012·郑州一模] 如图7－41－6所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E ，F 分别是棱AB ，BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是 ( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°例2 如图7－41－7，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别为A 1B 1，BB 1，CC 1的中点．求异面直线D 1P 与AM ，CN 与AM 所成的角的余弦值为________．第二章 第一节 求异面直线所成角（第2课时，共 2 课时）变2已知A是△BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．.例3已知三棱锥A－BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD成60°角，点M，N分别是BC，AD的中点，求直线AB和MN所成的角的大小．变3 在正四面体S-ABC中，SA⊥BC, E, F分别为SC、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（）(A)300(B)450(C)600(D)900变4 如图,空间四边形SABC中,各边及对角线长都相等,若E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等于( )A.90°B.60°C.45°D.30°例4 (1)[2012·四川卷] 如图7－41－4所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________．7－41－7－41－5(2)[2012·武汉一模] 如图7－41－5，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，将△ABD沿对角线BD 折起到△A′BD的位置，使点A′在平面BCD内的射影点O恰好落在BC边上，则异面直线A′B与CD所成角的大小为________．例1 解析：①由异面直线的定义可知，棱AD ，DC ，CC′，DD′，D′C′,B′D′所在直线分别与直线BA′是异面直线.②由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线BA′与CC′的夹角，∠B′BA′=45°，所以BA′与CC′的夹角为45°.③直线AB ，BC ，CD ，DA ，A′B′,B′C′,C′D′,D′A′分别与直线AA′垂直.变1 [解析] 连接AB 1，易知AB 1∥EF ，连接B 1C ，B 1C 与BC 1交于点G ，取AC 的中点H ，连接GH ，则GH ∥AB 1∥EF .设AB ＝BC ＝AA 1＝a ，连接HB ，在三角形GHB 中，易知GH ＝HB ＝GB ＝22a ，故所求的两直线所成的角的大小为60°. 例2 连接A 1N ，由N ，P 为BB 1，CC 1中点，则PN ∥A 1D 1，PN ＝A 1D 1，从而A 1N ∥D 1P ， 故AM 和D 1P 所成的角为AM 和A 1N 所成的角． 易证Rt △AA 1M ≌Rt △A 1B 1N ，所以A 1N ⊥AM ，故D 1P 与AM 所成的角为π2，其余弦值为0.又设AB 的中点为Q ，连接B 1Q ，B 1P ， 则B 1Q ∥AM ，B 1Q ＝AM . 又∵CN ∥B 1P ，CN ＝B 1P ，从而CN 与AM 所成的角就是∠PB 1Q (或其补角)．易求得B 1Q ＝B 1P ＝52，PQ ＝62.在△PB 1Q 中，由余弦定理得cos ∠PB 1Q ＝25，故CN 与AM 所成的角的余弦值为25.变2 解：(1)证明：假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A ，B ，C ，D 在同一平面内，这与A 是平面BCD 外的一点相矛盾，故直线EF 与BD 是异面直线．(2)如图所示，取CD 的中点G ，连接EG ，FG ，则EG ∥BD ，所以相交直线EF 与EG 所成的角即为异面直线EF 与BD 所成的角．由AC ⊥BD ，AC ＝BD 及E ，F ，G 分别为各边中点得∠EGF ＝90°，EG ＝FG ，故得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°第二章 第一节 求异面直线所成角答案 （第2课时，共 2 课时）取AC 的中点P .连接PM ，PN ， 则PM ∥AB ，且PM ＝12AB ，PN ∥CD ，且PN ＝12CD ，所以∠MPN 为AB 与CD 所成的角(或所成角的补角)， 则∠MPN ＝60°或∠MPN ＝120°.若∠MPN ＝60°，因为PM ∥AB ，所以∠PMN 是AB 与MN 所成的角(或所成角的补角)． 又因为AB ＝CD ，所以PM ＝PN ，则△PMN 是等边三角形，所以∠PMN ＝60°， 即AB 与MN 所成的角为60°.若∠MPN ＝120°，则易知△PMN 是等腰三角形． 所以∠PMN ＝30°.即AB 与MN 所成的角为30°.故直线AB 和MN 所成的角为60°或30°. 变3 A 变4 C例4 [解析] (1)因为ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，故A 1在平面CDD 1C 1上的射影为D 1， 即A 1M 在平面CDD 1C 1上的射影为D 1M ，而在正方形CDD 1C 1中，由tan ∠DD 1M ＝tan ∠CDN ＝12，可知D 1M ⊥DN ，由三垂线定理可知，A 1M ⊥DN .(2)如题图所示，由A ′O ⊥平面ABCD ，可得平面A ′BC ⊥平面ABCD . 又由DC ⊥BC 可得DC ⊥平面A ′BC ，DC ⊥A ′B ，即得异面直线A ′B 与CD 所成角的大小为90°.归纳总结 求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．。
“异面直线所成的角”（第二课时）教学设计
“异面直线所成的角”（第二课时）教学设计双流中学数学组 邱国界教材分析：异面直线及异面直线的夹角这一节设置为两课时，这是第二课时的教学设计．异面直线的夹角是由两条相交直线的夹角扩充而生成的，由平移原理可知，当两条异面直线在空间的位置确定后，它们的夹角的大小也就随之确定了．这对于初学立体几何的学生来说，是较难理解的，对“异面直线还有夹角”这一概念感到陌生和新鲜，是学习的一个难关．教学中应通过现实生活中的例子，说明如何抽象出异面直线的夹角概念．强调异面直线的夹角的存在性和学习的必要性．异面直线的夹角的范围是000~90，不含00．最后，通过教科书中正方体的练习，逐步深入理解异面直线及其夹角，使学生较好地掌握这一内容．要计算异面直线a b 、的夹角的大小，必须通过平移转化为相交直线''a b 、的夹角．如何实现“转化”是学习中的一个难关．根据异面直线夹角的定义，在空间任取一点O 实现转化固然可以，而在实际操作中，可将点O 取在a 或b 上．两条异面直线互相垂直，即它们的夹角是直角，这是两条直线是异面直线时的一种特殊位置情况．应向学生指出：今后如果说两条直线互相垂直，它们可能相交，也可能异面．对于本节的学习，仍然应注意概念的形成过程，让学生去完成意义建构，而决不单纯以记忆结论为目的，要注重空间想象能力的形成过程，并有意识地加以引导、培养.教学目标：1、知识目标：（1）掌握异面直线所成角的概念；（2）能求出一些较特殊的异面直线所成的角； （3）了解异面直线垂直． 2、能力目标：（1）空间能力的进一步形成； （2）平面向空间的推广能力； （3）空间向平面的转化能力．3、情感目标：通过理论与实际的结合，培养学生实事求是的态度；同时在实际生活中不断发现问题，解决问题，培养学生的创新精神，为自己的人生垫定扎实的基础．学情分析：学生已有知识：空间四大公理、等角定理、异面直线的概念与判断；已有能力：立体空间的想象、抽象思维能力（但这种能力欠缺）；情感定位：初步接触立体几何，有较强的兴趣，对一门新的数学分支充满了激情．教学重点：异面直线所成的角概念的形成及应用教学难点：异面直线所成的角的发现与概念形成，将异面直线所成角转化为平面角 授课类型：新授课授课方式：探索法、引导法、讨论法教法设计：创设问题的现实情境，通过启发、引导学生发现异面直线所成的角的存在性，通过由特殊到一般、从具体到抽象，培养学生观察、分析、归纳、抽象、概括等逻辑思维能力与空间想象课时安排：1课时教 具：FLASH多媒体课件、实物投影仪、实物教具 教学过程： 一、创设情境：多媒体课件给出嫦娥奔月的轨迹图，通过动画说明空间中异面直线的方向存在差异，也即空间异面直线的“角度”的存在性，即本节课的课题：异面直线所成的角（异面直线的夹角）．（设计意图：建构主义教学模式在高中数学中的力能否吸引到教学内容上的关键所在．嫦娥奔月刚刚成功，中国人所拍摄的第一幅月球照片也刚刚公布，这是中国人的骄傲，也是每个中国人所熟知的事情，也是这段时间人们谈论最多的话题，因此，以此为情境引入，能一下抓住学生的注意力，激发学生的学习热情，引导学生积极主动地参与学习、思考．）二、新知形成过程：1、质疑一：平移会改变这两条异面直线原有的方向吗？2、质疑二：怎样度量异面直线的方向的差异呢？3、质疑三：相交直线中，选取哪个角作为度量结果呢？4、质疑四：两直线交点的位置会影响这个度量值吗？5、提问：你可以怎样定义异面直线夹角呢？（设计意图：这一版块属于建构主义教学模式在高中数学中的应用研究下高中数学概念课中的教性学习是一种以问题为载体、以主动探究为特征的学习活动，是学生在教师的指导下在学习和社会生活中自主地发现问题、探究问题、获得结论的过程．在这个环节中，既让学生独立思考与学习，同时也采用协作学习的方式来解决所提出的问题，最后形成异面直线夹角的概念．问题5的提出就目的是培养学生的归纳总结能力，并体会到学习的乐趣．）三、形成新知：1、形成异面直线所成角的定义．异面直线所成的角：已知两条异面直线a b 、，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，''a b 、所成的角的大小与点O 的选择无关，我们把''a b 、所成的锐角（或直角）叫异面直线a b 、所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在两条异面直线中的一条上．2、异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线a b 、 垂直，记作a b ⊥．两直线垂直含异面垂直与共面垂直．3、两条异面直线所成角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦． （设计意图：异面直线概念的得出在前面三步的进行下也就成了顺理成章的事了，只有用严格的数学语言来对一个知识下了定义才能方便我们对该知识的使用，也正是将一个数学概念顺理成章的学生自己构建在了自己的已有的知识体系中，这正是建构主义教学模式在高中数学中的应用研究下高中数学概四、新知应用：正方体ABCD A B C D ''''-中： （1）求直线AB 与B C ''夹角的度数；（2）求直线BA '与CC '夹角的度数； （3）求直线BA '与'AD 夹角的度数． 学生活动：讨论、思考、求解；教师活动：参与讨论共同解决；强调解题的思维与书写步骤的完整．解：（1）由//B C BC ''，可知ABC ∠等于异面直线AB 与B C ''的夹角，易知ABC ∠=090，所以异面直线AB 与B C ''的夹角为90；（2）由//BB CC ''，可知B BA ''∠等于异面直线BA '与CC '的夹角，所以异面直线BA '与CC '的夹角为45；（3）连结',''BC A C ，则'//'AD B C ，则''C BA ∠等于异面直线BA '与'AD 的夹角，易知''A BC ∆为正三角形，所以异面直线BA '与'AD 的夹角为60． 形成能力：1、点O 通常取为两条异面直线中的一条线段的端点或中点；2、求异面直线所成的角的方法： （1）平移直线相交——作； （2）确定角——证； （3）求解角——求．D'C'B'A'DCBA（了能解题，能用，在解题中体会概念的精妙之处，在用中反思概念的合理性．独立思考与合作学习，既发挥了个人的能力也共享了集体的智慧，让每个学生在学习过程中都学有所长，愉快地学习；在建构主义理论下，以任何一种学习模式组织教学，都有一个学习效果的评价，其中包括是否完成对所学知识的意义建构，即是说学以致用，异面直线的夹角来源于生活，形成了数学概念，同时还要回到生活中去，能解决实际问题．故设计的这组练习题是检查学生对异面直线的夹角的掌握情况的，同时也是对异面直线夹角概念的巩固．）六、巩固提高：1、教材16P 练习题第4题：如图，在长方体ABCD A B C D ''''-中：（1）哪些棱所在直线与直线'AA 成异面直线且互相垂直？ （2）已知'1AB AA ==，求异面直线'BA 与'CC 所成角的度数．2、空间四边形ABCD 中，AD BC ==，,E F 分别是,AB CD 的中点，6EF =，求异面直线AD 与BC 所成的角．注：此题所给的解法是利用余弦定理求解，这是常用也是通用方法，称为解三角形，而此题数据特殊，EGF ∆为等腰三角形，故也可在直角三角形中求解EGF ∠的大小．解：取AC 中点G ，连结,,EG FG EF ，∵,E F 分别是,AB CD 的中点，∴//,//,EG BC FGAD 且1122EG BC FG AD ==== ∴异面直线,AD BC 所成的角即为,EG FG 所成的角，在EGF ∆中，2221cos 22EG FG EF EGF EG FG +-∠==-⋅， ∴120EGF ∠=，异面直线,AD BC 所成的角为60． 形成能力：(1)异面直线所成的角是锐角或直角，当EGF ∆内角EGF ∠是钝角时，则异面直线AD BC 、所成的角是它的补角．(2)此题在平移时用到的是“双移”，手段是利用三角形中位线与底边平行，从而达到平移直线的目的．（3）在平移直线时，合理选择平移点→确定平面→找、移或连．（设计意图：对一个概念的真正撑握必然是经过反复再反复的过程，在实践中把握本质，故在此GFED CBAD'C'B'A'DC B A设计了这个环节．概念不变，但题目千变万化，在这个问题上，采用随机进入式教学；由于事物的复杂性和问题的多面性，要做到对事物内在性质和事物之间相互联系的全面了解和掌握、即真正达到对所学知识的全面而深刻的意义建构是很困难的．往往从不同的角度考虑可以得出不同的理解．为克服这方面的弊病，在教学中就要注意对同一教学内容，要在不同的时间、不同的情境下、为不同的教学目的、用不同的方式加以呈现．换句话说，学习者可以随意通过不同途径、不同方式进入同样教学内容的学习，从而获得对同一事物或同一问题的多方面的认识与理解．让学生思考、探索、讨论，获得多种解题思路，再展现出来，教师引导完成解法，并比较各种做法的差异与优缺点，从而提升学生的题解能力．）七、小结升华：本节课你有什么收获？异面直线夹角的概念及用平移的方法求异面直线所成的角，步骤是：作、证、算；异面直线夹角是二维到三维的推广，而求解异面直线夹角是三维向二维的转化．（设计意图：识升华，最终完成知识建构的重要环节，课后延伸可帮助学生建立自己的知识网络，对本节课起到辅助与延伸的作用，在建构主义教学模式在高中数学中的应用研究下高中数学概念课中的教学模式中必不可少．）八、课后巩固：1、教材16P 习题第6、7题．2、（选做）在长方体D C B A ABCD '''-中，4AB =，2BC =，'2AA =，求异面直线B D '与AC 所成的角的余弦值．九、板书设计十、教学反思 （见前面网页处）D'C'B'A'DCBA。
异面直线所成角的几种求法
异面直线所成角的几种求法之袁州冬雪创作异面直线所成角的大小，是由空间一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的.因此，通常我们要求异面直线所成的角会要求学生通过平移直线，形成角，然后在某个三角形中求出角的方法来得到异面直线所成角的大小.在这一方法中，平移直线是求异面直线所成角的关键，而如何平移直线要求学生有杰出的空间观和作图才能.一、向量法求异面直线所成的角例1：如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是相邻两正面BCC 1B 1及CDD 1C 1的中心.求A 1E 和B 1F 所成的角的大小.解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线到某个点上.作法：保持B 1E ，取B 1E 中点G 及A 1B 1中点H ，保持GH ，有GH//A 1E.过F 作CD 的平行线RS ，分别交CC 1、DD 1于点R 、S ，保持SH ，保持GS.由B 1H//C 1D 1//FS ，B 1H=FS ，可得B 1F//SH.在△GHS 中，设正方体边长为a.B ACD F EB 1A 1 D 1 C 1G HSRP Q（作直线GQ//BC交BB1于点Q，连QH，可知△GQH为直角三角形），（连A1S，可知△HA1S为直角三角形），（作直线GP交BC于点GPDS为直角梯形）.∴Cos∠所以直线A1E与直线B1F解法二：（向量法）分析：因为给出的平面图形是一个正方体，所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以操纵点的坐标暗示出空间中每个向量，从而可以用向量的方法来求出两条直线间的夹角.以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，设BC长度为2.则点A1的坐标为（0，2，2），点E的坐标为（1，0，1），点B1的坐标为（0，0，2），点F的坐标为（2，1，1）；1-1，2，1（2，1，-1），所以这两个向量的夹角θ知足cosθ所以直线A1E与直线B1F小结：上述解法中，解法一要求有杰出的作图才能，且可以在作图完毕后可以看清楚图形中的各个三角形，然后在所需要的三角形中计算出各条线段的长度，从而完成解三角形得到角的大小.而解法二不需要学生作图，只需建立空间直角坐标系，标出相应的点的坐标，从而得到所需向量的坐标，求出两个向量的夹角，即所求的两条直线所成的角.当然，如果题中给出的是一可以建立坐标系的空间图形，比方刚才的正方体，或者说是长方体，或者说空间图形中拥有三条直线两两垂直的性质，我们便可以建立空间直角坐标系，从而操纵向量的坐标暗示来求两个向量的夹角.如果没有这样的性质，我们也可以操纵空间向量基本定理，寻找空间的一组基底（即三个不共面的向量，且这三个向量两两之间的夹角是已知的），空间中任何一个向量都可以用这三个向量的线性组合暗示出来，因而也可以运用向量的数乘来求出空间中任意二个向量间的夹角.例2：已知空间四边AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，M、N分别为AM和CN所成的角为α，求cosα的值且两两之间的夹角均为60°.角）知足cosθ2）2；21+1+1）a2 a2；2=2a2.所以cosα=| cosθ例3：已知空间四边形ABCD中，AB=CD=3，E、F分别是BC、AD上的点，且BE：EC=AF：FD=1：2，AB和CD所成的角的大小.解：取AC上点G，使AG：GC=1：2.保持EG、FG，可知EG//AB，FG//CD，3EG=2AB，3FG=CD..则由2==4+1+4cosθ=7，得cosθAB和CD所成的角为60°.二、操纵模子求异面直线所成的角引理：已知平面α的一条斜线a与平面α所成的角为θ1，平面α内的一条直线b与斜线a所成的角为θ，与它的射影a′所成的角为θ2.求证：cosθ= cosθ1·cosθ2.ABCDEFG证明：设PA 是α的斜线，OA 是PA 在α上的射影， OB//b ，如图所示.则∠PAO=θ1，∠PAB=θ，∠OAB=θ2，过点O 在平面α内作OB ⊥AB ，垂足为B ，保持PB. 可知PB ⊥AB. 所以cos θ1 cos θcos θ2所以cos θ= cos θ1·cos θ2.这一问题中，直线a 和b 可以是相交直线，也可以是异面直线.我们无妨把θ1叫做线面角，θ叫做线线角，θ2叫做线影角.很分明，线线角是这三个角中最大的一个角.我们可以操纵这个模子来求两条异面直线a 和b 所成的角，即引理中的角θ.从引理中可以看出，我们需要过a 的一个平面α，以及该平面的一条斜线b 以及b 在α内的射影.例4：如图，MA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，且MA=AB=a ，试求异面直线MB 与AC 所成的角. 解：由图可知，直线MB 在平面ABCD 内的射影为AB ，直线MB 与平面ABCD 所成的角为45°，直线AC 与直线MB 的射影AB 所成的角为45°，PbA BO α ABCD M所以直线AC 与直MB 所成的角为θ，知足cos θ=cos45°· cos45°所以直线AC 与MB 所成的角为60°.例5：如图，在平面图形P-ABCD 中，底面ABCD 是一个直角梯形，∠BAD=90°，AD//BC ，AB=BC=a ，AD=2a ，且PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面成30°角，AE ⊥PD 于D.求异面直线AE 与CD 所成的角的大小.解：过E 作的平行线EF 交AD 于F ，由PA ⊥底面ABCD 可知，直线AE 在平面 ABCD 内的射影为AD ，直线AE 与平面ABCD 所成的角为∠DAE ，其大小为60°， 射影AD 与直线CD 所成的角为∠CDA ，其大小为45°， 所以直线与直线所成的角θ知足 cos θ=cos60°· cos45°所以其大小为由上两例可知，求异面直线间的夹角，若存在一个平面的垂线，则可以联想到操纵线面角的这个公式来求得异面直线间的夹角，当然，上二例也可用平移直线的方法来求，也可以用向量法来求，这里只作简单的先容，不再重PE DF ABC复.。
异面直线所成的角取值范围
异面直线所成的角取值范围1. 引言大家好，今天咱们聊聊一个有点抽象但其实非常有趣的话题——异面直线和它们所成的角。
乍一听，可能觉得这个话题有点高深莫测，但其实，咱们可以把它想象成生活中那些错综复杂的关系，听起来是不是觉得好玩多了？所以，准备好了吗？让我们一起走进这个有趣的数学世界吧！2. 什么是异面直线？2.1 定义首先，咱得搞清楚，什么是异面直线。
简单来说，异面直线就是那种永远不会相交的两条直线，它们在不同的平面上。
就像你和你朋友的生活轨迹，虽然平行发展，但永远不会交汇，哈哈！这条线在这里，那条线在那儿，互不干扰，像是两个不相干的故事。
2.2 特点而且，异面直线的存在让我们感受到一种微妙的美感，就像是在拥挤的街道上，你和朋友的步伐总能保持一致却又不碰撞。
虽然它们不在同一平面，但却能形成一种角度，哇，这种角度就好像你们之间的默契，既让人惊叹又让人感慨。
想想看，生活中不也是这样吗？有些人虽然不常见面，但一旦相聚，总能擦出火花。
3. 异面直线所成的角3.1 角度的范围那么，异面直线所成的角的范围又是什么呢？这就要提到一个非常关键的概念了。
其实，异面直线所成的角是一个很宽泛的概念，它的取值范围是从0度到90度之间的所有角度。
听起来有点抽象，咱们可以把它想象成一道无形的屏障，遮挡着无数种可能性。
就好像生活中的选择，有时候你可能会觉得有些事情是非黑即白的，但实际上，灰色地带可多了去了。
3.2 实际应用这也不是说这些角度只是冷冰冰的数学概念，生活中到处都有它的影子。
比如说，你在做决策的时候，往往需要考虑不同的角度；而当你在和人沟通时，能够从不同的视角看待问题，往往能让你更容易找到共鸣。
这就好比你和朋友的对话，不同的观点碰撞在一起，才会迸发出智慧的火花，嘿，这就很有意思了。
4. 小结与反思说到这里，我想大家对异面直线和它们所成的角度有了更深的理解，没错吧？它们不仅仅是冷冰冰的直线和角度，更是一种生活中的智慧。
2.1.2 异面直线的夹角
异面直线的求法: 一作(找)、二证、三求解
注1:异面直线a、b所成角，只与a、b的相互位置有关，
而与点O位置无关.一般常把点O取在直线a或b上.
b
注2:异面直线所成角的取值范围： 0 90
O
a
α
a’
注3:求异面直线所所成角的步骤：
一作：作（或找）平行线 二证：证明所作的角为所求的异面直线所 成的角。 三求解：在一恰当的三角形中求出角
4.两条异面直线所成的角
如图所示，a，b是两条异面直线，在空间中任选一点O，
过O点分别作 a,b的平行线 a′和 b′, 则这两条线所成
的锐角θ（或直角）， 称为异面直线a，b所成的角.
b a′ ？ OP a
b′
平
θ
移
O
a′
若两条异面直线所成角为90°,则称它们互相垂直. 异面直线a与b垂直也记作a⊥b.
典例剖析
例1 如图表示一个正方体: (1)求直线BA1与CC1的夹角的度数. (2)哪些棱所在的直线与直线BA1异面？
D1 A1
C1 B1
D A
C B
D1 A1
C1 B1
D
C
A
B
解：(1)∵BB1∥CC1，∴∠A1BB1(或其 补角)为异面直线 BB1与CC1所成的角， 又 BA1B1中∠A1BB1 =45°，所以BA1 与CC1所成的角是45°。
(2)与直线BA1异面的棱是CC1,DD1,CD, C1D1,AD, B1C1所在直线
小结：
异面直线的定义: 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
相交直线
空间两直线的位置关系
平行直线
必修2课件：异面直线所成的角
O
H E D A B F
G
C
(3)解决问题 解决问题
平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题 思想方法 : 平移转化成相交直线所成的角 即化空间图形问题为平面图形问题 异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 经过空间任一点O作 异面直线所成角的定义 如图 已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点 作 所成的锐角(或直角 直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′与 b ′所成的锐角 或直角 叫做异面直线所成的角 ∥ ∥ 与 所成的锐角 或直角)叫做异面直线所成的角 (或夹角 或夹角). 或夹角 异面直线所成的角的范围( 0 , 90 ]
b
b′
a″ a
∠2
α
a′
O
∠1
BACK
NEXT
在求作异面直线所成的角时,O点 在求作异面直线所成的角时 点 常选在其中的一条直线上 (如线段的端点,线段的中点等) 如线段的端点 线段的中点等 如线段的端点 线段的中点
例2
如图，正方体 为侧面ADHE的中心，求 的中心， 如图，正方体ABCD-EFGH中,O为侧面 中 为侧面 的中心 (1)BE与CG所成的角？ 与 所成的角？ 所成的角 (2)FO与BD所成的角？ 与 所成的角 所成的角？
这个角的大小与O点的位置有关吗 点位置不同时, 思考 : 这个角的大小与 点的位置有关吗 ? 即O点位置不同时 这一角的大小 点位置不同时 是否改变? 是否改变
解答： 解答： 如图
答: 这个角的大小与O点的位置无关. 点的位置无关 这个角的大小与 点的位置无关
相交所成的角为∠ 设a ′与 b ′相交所成的角为∠1, a ″与 b 所成的角为∠2 , 与 相交所成的角为 与 所成的角为∠ 公理4), ∵ a′∥a , a″ ∥a∴ a′∥ a″ (公理 ∥ ∴ ∥ 公理 同理 b′∥b″, ∴ ∠1 = ∠2 (等角定理 等角定理) ∥ 等角定理
空间中直线与直线之间的位置关系
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系一、空间两直线的位置关系 1．异面直线（1）异面直线的定义：我们把不同在 的两条直线叫做异面直线. 即若a ,b 是异面直线，则不存在平面α，使a ⊂α且b ⊂α.（2）异面直线的画法：为了表示异面直线不共面的特点,通常用一个或两个平面衬托,如图：2．空间两直线的位置关系空间两条直线的位置关系有且只有三种：相交、平行和异面. （1） ——同一平面内,有且只有一个公共点； （2） ——同一平面内,没有公共点；学！科网 （3） ——不同在任何一个平面内，没有公共点. 3． 空间中两直线位置关系的分类空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式： （1）从有无公共点的角度分类：⎧⎪⎨⎪⎩⎩⎧⎨两条直线有且仅有一个公共点：相交直线平行直线两条直线无公共点：异面直线直线 （2）从是否共面的角度分类：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线共面直线直线平行直线不共面直线：异面直线二、公理4与等角定理 1．公理4（1）自然语言：平行于同一条直线的两条直线互相 .（2）符号语言：a ,b ,c 是三条不同的直线, a ∥b ，b ∥c . （3）作用：判断或证明空间中两条直线平行. 公理4表述的性质也通常叫做空间平行线的传递性.用公理4证明空间两条直线,a c 平行的步骤（1）找到直线b ； （2）证明∥a b ，∥b c ； （3）得到∥a c .2．等角定理（1）自然语言：空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角 . （2）符号语言：如图（1）（2）所示，在∠AOB 与∠A ′O ′B ′中，OA ∥O ′A ′,OB ∥O ′ B ′，则∠AOB =∠A ′O ′B ′或∠AOB +∠A ′O ′B ′=180°.图（1） 图（2）三、异面直线所成的角1．两条异面直线所成的角的定义如图,已知两异面直线a ,b ,经过空间任一点O ,分别作直线a ′∥a ,b ′∥b ,相交直线a ′，b ′所成的 叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）.（1）在定义中,空间一点O 是任取的,根据等角定理,可以判定a ′，b ′所成的角的大小与点O 的位置无关.为了简便，点O 常取在两条异面直线中的一条上.（2）研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线，即把求空间角问题转化为求平面角问题，这是研究空间图形的一种基本思路.2．异面直线所成的角的范围异面直线所成的角必须是锐角或直角，则这个角α的取值范围为 . 3．两条异面直线垂直的定义如果两条异面直线所成的角是 ，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a ,b ,记作a ⊥b .4．构造异面直线所成角的方法（1）过其中一条直线上的已知点（往往是特殊点）作另一条直线的平行线；（2）当异面直线依附于某几何体，且直接平移异面直线有困难时，可利用该几何体的特殊点，将两条异面直线分别平移相交于该点；（3）构造辅助平面、辅助几何体来平移直线.注意，若求得的角为钝角，则两异面直线所成的角应为其补角.学科*网5．求两条异面直线所成的角的步骤（1）平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条，使其成为相交直线； （2）证明：证明作出的角就是要求的角； （3）计算：求角度（常利用三角形的有关知识）；（4）结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．K 知识参考答案：一、1．（1）任何一个平面内2．（1）相交直线 （2）平行直线 （3）异面直线 二、1．（1）平行 （2）a ∥c 2．（1）相等或互补 三、1．锐角（或直角） 2．090α<≤ 3．直角K—重点掌握公理4及等角定理，异面直线及其所成的角K—难点理解两异面直线所成角的定义，并会求两异面直线所成的角K—易错忽略异面直线所成的角的范围致误1．空间两直线的位置关系的判断空间两直线的位置关系有平行、相交、异面三种情形，因此对于空间两直线位置关系的判断，应由题意认真分析，进而确定它们的位置关系.【例1】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM 与DD1是异面直线．其中正确的结论为A．③④B．①②C．①③D．②④【答案】A【解析】∵A、M、C、C1四点不共面，∴直线AM与CC1是异面直线，故①错误；同理，直线AM与BN也是异面直线，故②错误．同理，直线BN与MB1是异面直线，故③正确；同理，直线AM与DD1是异面直线，故④正确.故选A．【方法技巧】判定或证明两直线异面的常用方法：1.定义法：不同在任何一个平面内的两条直线.2.定理法：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线.3.推论法：一条直线上两点与另一条与它异面的直线上两点所连成的两条直线为异面直线.4.反证法：证明立体几何问题的一种重要方法. 证明步骤有三步：第一步是提出与结论相反的假设；第二步是由此假设推出与已知条件或某一公理、定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾的结果；第三步是推翻假设，从而原命题成立. 2．公理4的应用证明两条直线平行的方法： （1）平行线的定义；（2）利用平面几何的知识，如三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等； （3）利用公理4.【例2】如图,△ABC 的各边对应平行于111△A B C 的各边,点E ,F 分别在边AB ,AC 上,且1,3AE AB AF ==13AC ,试判断EF 与的位置关系,并说明理由.【解析】平行.理由如下： ∵11,33AE AB AF AC ==,∴∥EF BC . 又11∥B C BC ,∴11∥B C EF . 3.等角定理利用等角定理解题的关键是不要漏掉两个角互补的这种情况. 【例3】空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α=60°，则β为 A ．60° B ．120° C ．30°D ．60°或120°【答案】D【解析】∵空间两个角α，β的两边对应平行，∴这两个角相等或互补，∵α=60°，∴β=60°或120°．故选D ． 【名师点睛】根据公理4知道当空间两个角α与β的两边对应平行时，得到这两个角相等或互补，根据所给的角的度数，即可得到β的度数．【例4】如图所示，已知棱长为a 的正方体中，M ，N 分别是棱的中点.（1）求证：四边形是梯形； （2）求证：（2）由（1）知MN ∥A 1C 1，又∵ND ∥A 1D 1，∴∠DNM 与∠D 1A 1C 1相等或互补，而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均是直角三角形的锐角，∴∠DNM ＝∠D 1A 1C 1. 4．两异面直线所成的角通过平移直线至相交位置求两条异面直线所成的角，是数学中转化思想的运用，也是立体几何问题的一个难点.【例5】如图，四棱锥P ABCD -中，90ABC BAD ∠=∠=，2BC AD =，PAB △和PAD △都是等边三角形，则异面直线CD 和PB 所成角的大小为A．90B．75C．60D．45【答案】A【方法点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征及空间中异面直线所成角的求解，其中根据空间几，放置在三角形中，利用何体的结构特征，把空间中异面直线CD和PB所成的角转化为平面角AEF解三角形的知识求解是解答本题的关键，着重考查了转化与化归思想和学生的推理、运算能力，试题属于基础题.5.忽略异面直线所成的角的范围致误【例6】如图，已知空间四边形ABCD中，AD=BC，M,N分别为AB，CD的中点，且直线BC与MN所成的角为30°，求BC与AD所成的角.【错因分析】在未判断出∠MEN 是锐角或直角还是钝角之前，不能断定它就是两异面直线所成的角，因为异面直线所成的角α的取值范围是090α<≤，如果∠MEN 为钝角，那么它的补角才是异面直线所成的角. 学#科网【正解】以上同错解，求得∠MEN =120°,即BC 与AD 所成的角为60°.【误区警示】求异面直线所成的角的时候，要注意异面直线所成的角α的取值范围是090α<≤.1．若,a b 为异面直线，直线c a ∥，则c 与b 的位置关系是 A ．相交 B ．异面 C ．平行 D ．异面或相交 2．已知∥AB PQ ，∥BC QR ，∠ABC ＝30°，则∠PQR 等于 A ．30° B ．30°或150° C ．150° D ．以上结论都不对 3．已知异面直线,a b 分别在平面,αβ内，且c αβ=，那么直线c 一定A ．与a b ，都相交B ．只能与a b ，中的一条相交C ．至少与a b ，中的一条相交D ．与a b ，都平行 4．如图所示，在三棱锥P ABC -的六条棱所在的直线中，异面直线共有A ．2对B ．3对C ．4对D ．6对5．如图，四面体ABCD 中，AD BC =，且AD BC ⊥，E F 、分别是AB CD 、的中点，则EF 与BC 所成的角为A ．30B ．45C ．60D ．906．如果OA //O A ''，OB //O B ''，那么AOB ∠和A O B '''∠的关系为 ． 7．下列命题中不正确的是________．（填序号）①没有公共点的两条直线是异面直线； ②分别和两条异面直线都相交的两直线异面；③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行； ④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．8．如图所示,两个三角形ABC 和A'B'C'的对应顶点的连线AA',BB',CC'交于同一点O , 且AO BO COOA OB OC =='''.求证：△∽△ABC A B C '''.9．空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为60°，E、F分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小．10．分别和两条异面直线相交的两条不同直线的位置关系是A．相交B．异面C．异面或相交D．平行11．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为A．相交B．平行C ．异面而且垂直D ．异面但不垂直12．如图，正四棱锥ABCD P 的所有棱长均相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与PA 所成的角的余弦值等于_________.ECDPAB13．如图,若P 是△ABC 所在平面外一点,PA ≠PB ,PN ⊥AB ,N 为垂足,M 为AB 的中点,求证：PN 与MC 为异面直线.14．（2016上海）如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是BC D E F A B 11D 1A ．直线AA 1B ．直线A 1B 1C ．直线A 1D 1 D ．直线B 1C 115．（2015广东）若直线l 1与l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是 A ．l 与l 1,l 2都不相交B ．l 与l 1,l 2都相交C ．l 至多与l 1,l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1,l 2中的一条相交16．（2015浙江）如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥平面ABC .若AB =AC =AA 1=1，BC =2，则异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角为A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°17．（2014广东）若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足12l l ⊥，23l l ∥，34l l ⊥，则下列结论一定正确的是A ．14l l ⊥B ．14l l ∥C ．1l 与4l 既不垂直也不平行D ．1l 与4l 的位置关系不确定1 2 3 4 5 10 11 14 15 16 17 DBCBBCDDDCD1．【答案】D【解析】c a ∥，a b ，为异面直线，所以c 与b 的位置关系是异面或相交.4．【答案】B【解析】根据异面直线的定义观察图形，可知有三对异面直线，分别是PB 与AC 、P A 与BC 、PC 与AB ，故选B. 5．【答案】B【解析】如图，设G 为AC 的中点，连接,EG FG .由中位线可知,∥∥EG BC GF AD ，所以GEF ∠就是EF 与BC 所成的角，且三角形GEF 为等腰直角三角形，所以45GEF ∠=.6．【答案】相等或互补【解析】根据等角定理的概念可知AOB ∠和A O B '''∠的关系为相等或互补. 7．【答案】①②8．【解析】∵AA'与BB'交于点O ,且AO BOOA OB='',∴AB ∥A'B'.同理,AC ∥A'C'.又∠BAC 与∠B'A'C'两边的方向相反,∴∠BAC =∠B'A'C'. 同理,∠ABC =∠A'B'C'. 因此,△∽△ABC A B C '''.9．【解析】如图，取AC 的中点G ，连接EG 、FG ，则EG ∥AB ，GF ∥CD ，且由AB ＝CD 知EG ＝FG ，∴∠GEF （或它的补角）为EF 与AB 所成的角，∠EGF （或它的补角）为AB 与CD 所成的角． ∵AB 与CD 所成的角为60°，∴∠EGF ＝60°或120°． 由EG ＝FG 知△EFG 为等腰三角形， 当∠EGF ＝60°时，∠GEF ＝60°；当∠EGF ＝120°时，∠GEF ＝30°．学@科网 故EF 与AB 所成的角为60°或30°．10．【答案】C【解析】（1）若两条直线与两异面直线的交点有4个,如图（1）,两条直线异面;（2）若两条直线与两异面直线的交点有3个,如图（2）,两条直线相交.故选C.（1） （2）【误区警示】在判断两直线的位置关系时，要全面思考问题，可通过画出相关图形帮助分析，从而防止遗漏.本题中，没有明确指出直线交点的个数,两条直线分别与两异面直线相交,交点可能有4个,此时两条直线异面,也可能有3个,此时两条直线相交.11．【答案】D【解析】将展开图还原为正方体，如图所示．AB与CD所成的角为60°，故选D.13．【解析】假设PN与MC不是异面直线,则存在一个平面α,使得PN⊂α,MC⊂α,于是P∈α,C∈α,N∈α,M∈α.∵PA≠PB,PN⊥AB,N为垂足,M是AB的中点,∴M,N不重合.∵M∈α,N∈α,∴直线MN⊂α.∵A∈MN,B∈MN,∴A∈α,B∈α.即A,B,C,P四点均在平面α内,这与点P在平面ABC外相矛盾.∴假设不成立,则PN与MC是异面直线.16．【答案】C【解析】根据题意，得BC∥B1C1,故异面直线A1C与B1C1所成的角即BC与A1C所成的角.如图，连接A 1B ,在△A 1BC 中，BC =A 1C =A 1B =2,故∠A 1CB =60°,即异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角为60°.故选C.17．【答案】D【解析】如下图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，取1AA 为2l ，1BB 为3l ，取AD 为1l ，BC 为4l ，则14l l ∥；取AD 为1l ，AB 为4l ，则14l l ⊥；取AD 为1l ，11A B 为4l ，则1l 与4l 异面，因此14,l l 的位置关系不确定，故选D.D 1C 1B 1A 1DCBA。
第二课时 异面直线所成的角PPT全文课件
D′ A′
D
C′ B′
C
第二课时 异面直线所成的角PPT名师课件
A
B
*
第二课时 异面直线所成的角PPT名师课件
例2 如图，在四面体ABCD中，E，F分 别是棱AD，BC上的点,且 AE BF 1
ED FC 2
已知AB=CD=3，EF 3 ,求异面直线AB和
CD所成的角.
A
E
M
第二课时 异面直线所成的角PPT名师课件
b bˊ
a
o
*
b a α
b'
a' o
对于两条异面直线a，b，经过空间 任一点O作直线a′∥a， b′∥b，则 a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异 面直线a与b所成的角(或夹角)
*
思考5:若点O的位置不同，则直线a′与
b′的夹角大小发生变化吗？为什么？为
了作图方便，点O宜选在何处？
b
b'
O
a
a' o
•
6.抓住课文中的主要内容和重点句子 ，引导 学生从 “摇花 乐”中 体会到 作者对 童年生 活的和 对家乡 的怀念 之情。
•
7.桂花是没有区别的，问题是母亲不 是在用 嗅觉区 分桂花 ，而是 用情感 在体味 它们。 一亲一 疏，感 觉自然 就泾渭 分明了 。从中 ，我们 不难看 出，家 乡在母 亲心中 的分量 。
•
2.许地山这样说，也是这样做的，他 长大后 埋头苦 干，默 默奉献 ，成为 著名的 教授和 作家， 他也因 此取了 个笔名 叫落花 生，这 就是他 笔名的 由来。
•
3.在伟大庄严的教堂里，从彩色玻璃 窗透进 一股不 很明亮 的光线 ，沉重 的琴声 好像是 把人的 心都洗 淘了一 番似的 ，我感 到了我 自己的 渺小。
《2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系》教学案1
《2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系》教学案1 一、教材分析空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位置关系，直线的异面关系是本节的重点和难点.异面直线的定义与其他概念的定义不同，它是以否定形式给出的，因此它的证明方法也就与众不同.公理4是空间等角定理的基础，而等角定理又是定义两异面直线所成角的基础，请注意知识之间的相互关系，准确把握两异面直线所成角的概念.二、教学目标1．知识与技能(1)了解空间中两条直线的位置关系；(2)理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；(3)理解并掌握公理4；(4)理解并掌握等角公理；(5)异面直线所成角的定义、范围及应用.2．过程与方法让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识.3．情感、态度与价值让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣.三、重点难点两直线异面的判定方法，以及两异面直线所成角的求法.四、课时安排1课时五、教学设计(一)导入新课思路1.(情境导入)在浩瀚的夜空，两颗流星飞逝而过(假设它们的轨迹为直线)，请同学们讨论这两直线的位置关系.学生：有可能平行，有可能相交，还有一种位置关系不平行也不相交，就像教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在的直线一样.教师：回答得很好，像这样的两直线的位置关系还可以举出很多，又如学校的旗杆所在的直线与其旁边公路所在的直线，它们既不相交，也不平行，即不能处在同一平面内.今天我们讨论空间中直线与直线的位置关系.思路2.(事例导入)观察长方体(图1)，你能发现长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，线段A ′B 所在的直线与线段C ′C 所在直线的位置关系如何？图1(二)推进新课、新知探究、提出问题①什么叫做异面直线？②总结空间中直线与直线的位置关系.③两异面直线的画法.④在同一平面内，如果两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.在空间这个结论成立吗？⑤什么是空间等角定理？⑥什么叫做两异面直线所成的角？⑦什么叫做两条直线互相垂直？活动：先让学生动手做题，再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.讨论结果：①异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线.它是以否定的形式给出的，以否定形式给出的问题一般用反证法证明.②空间两条直线的位置关系有且只有三种.结合长方体模型(图1)，引导学生得出空间的两条直线的三种位置关系：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧.,:;,:;,:没有公共点不同在任何一个平面内异面直线没有公共点同一平面内平行直线有且只有一个公共点同一平面内相交直线共面直线 ③教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如图2.图2④组织学生思考：长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，如图1，BB ′∥AA ′，DD ′∥AA ′，BB ′与DD ′平行吗？。
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A' D A
思考3：在平面几何中，垂直于同一条直 线的两直线互相平行，在空间中这个结 论还成立吗 ?
思考4：如果两条平行直线中有一条与某 一条直线垂直,那么另一条是否也与这条 直线垂直？为什么？
理论迁移
例1 如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中. （1）直线A′B和CC′的夹角是多少？ （2）哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？ 哪些棱所在的直线与直线A′B垂直？
②从是否共面的角度
不同在任何一个平面内---------异面直线 相交直线 在同一平面内-------平行直线
2、平行直线
公理４ 平行同一条直线的两条直线互相平行. 符 号 语 言
(空间平行线的传递性)
a b c
设a，b，c为直线
a∥b c∥b
a∥c
a，b，c三条直线两两平行，可以记为a∥b∥c
3.等角定理
作业:
P48练习：2. P52习题2.1B组：1.
思考5:若点O的位置不同，则直线a′与 b′的夹角大小发生变化吗？为什么？为 了作图方便，点 O 宜选在何处？ b
b'
O
a
b'
a'
oபைடு நூலகம்
a' o'
知识探究（二）：两条直线垂直
思考1:我们规定两条平行直线的夹角为 0°，那么两条异面直线所成的角的取值 范围是什么？
(0,
2
]
思考2:如果两条异面直线所成的角是 90°，则称这两条直线互相垂直.两条互 相垂直的异面直线a，b，记作a⊥b. 在 长方体ABCD-A′B′C′D′中,有没有两 条棱所在的直线是互相垂直的异面直线?
等角定理 空间中如果有两个角的两边分别 对应平行，那么这两个角相等或互补.
图形：
符号：
AC // AC, AB // AB
或 CAB C A B 180 CAB C A B
问题提出
1.什么叫异面直线？三线平行公理和 等角定理分别说明什么问题？ 2.不同的异面直线有不同的相对位置 关系，用什么几何量反映异面直线之间 的相对位置关系，是我们需要探讨的问 题 .
D′ A′ D A B B′ C C′
例2 如图，在四面体ABCD中，E，F分 AE BF 1 别是棱AD，BC上的点,且 ED FC 2 EF 3 ,求异面直线AB和 已知AB=CD=3， CD所成的角. A
E M
D
B
F
C
思考题： 已知异面直线a，b所成的角为60°，直 线l与a，b所成的角都为θ ，那么θ 的 取值范围是什么？
2.1.2
空间中直线与直线之间的 位置关系
第二课时 异面直线所成的角
巩固复习 1、空间两条直线的位置关系
①相交直线 ---------有且仅有一个公共点
②平行直线 --------在同一平面内,没有公共点 ③异面直线 -------不同在任何一个平面内,没有公共点
①从有无公共点的角度：
有且仅有一个公共点---------相交直线 平行直线 没有公共点--------异面直线
思考4：把两条异面直线分别平移，使之 在某处相交得到两条相交直线，我们用 这两条相交直线所夹的锐角(或直角)来 反映异面直线的相对倾斜程度，并称之 为异面直线所成的角.你能给“异面直线 所成的角”下个定义吗？
b bˊ a
o
b α a
b' a' o
对于两条异面直线a，b，经过空间 任一点O作直线a′∥a， b′∥b，则 a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异 面直线a与b所成的角(或夹角)
知识探究（一）：异面直线所成的角
思考1:两条相交直线、平行直线的相对 位置关系，分别是通过什么几何量来反 映的？ 思考2:两条异面直线之间有一个相对倾 斜度，若将两异面直线分别平行移动， 它们的相对倾斜度是否发生变化？ 思考3:设想用一个角反映异面直线的相 对倾斜度，但不能直接度量，你有什么 办法解决这个矛盾？