控制工程第四版第5讲_控制系统稳定性分析.pptx
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《自动控制理论教学课件》五稳定性分析
第五讲 控制系统的稳定性分析
14
几何判据-乃氏判据
1932年Nyquist稳定判据 利用开环系统乃氏图来判别闭环系统的稳定性。 优点： G（s）无法写出时，通过实验法得出开环频率曲 线，进而判别闭环系统的稳定性； 指出系统的稳定储备（相对稳定性），以及进一 步提高和改善系统动态性能（包括稳定性）的途 径和方法。
第五讲 控制系统的稳定性分析
13
Routh 阵列第一列不全为正号，系统不稳定 变号几次，就有几个正实部的闭环极点
特殊情况： 1． Routh 阵列任意一行第一个元素为 0， 而后各元素不为 0： 用一个很小的正数ε 代替 2． Routh 阵列任意一行全为 0 用上一行元素构成辅助多项式
2019/2/1
2019/2/1
第五讲 控制系统的稳定性分析
4
系统稳定性分析的内容
系统的稳定条件 代数稳定判据 几何稳定判据 对数幅相频率特性的稳定性判据 相对稳定性
2019/2/1 第五讲 控制系统的稳定性分析 5
系统的稳定条件
设线形系统具有一个平衡点，对于该平衡点来说： 当输入 xi(t)=0，则 xo(t)=0 当干扰信号 f(t)作用与系统，其输出将偏离工作点， 在干扰信号消失瞬间 t=0,则 xo(0-)及其 xo(i) (0-)(i=1,2…)就是 xo(t)的初 始偏差（初始状态） 。 输出信号本身就是系统在初始偏差影响下的过渡过程 若系统稳定，则 xo(t)就能以足够的精确的程度恢复到原平衡工作点， 即随 t 的推移，xo(t)→0； 否则系统就不可能回到原平衡工作点
Z：闭环特征多项式在右半面的零点数（闭环极点）
P：开环特征多项式在右半面的零点数（开环极点）
即：s=(j)代入，且从－变化到＋时，G（j）逆 时针包围（-1，j0）点的次数等于开环传递函数在S平面 右半面的极点数。
《控制工程基础》系统的稳定性PPT课件
6．2劳斯——胡尔维茨稳定判据
一.胡尔维茨稳定判据
系统的特征方程式 1 GsH s an s n an1s n1 a1s a0 0
首项系数 an 0
系统稳定的充要条件是： 1.系统特征方程式的各项系数全部为正值。
即 ai 0 i 0,1,2n 2.由各项系数组成的 n 阶行列式中各阶子行列式
1, 2 , n 都大于零。
n 阶行列式是按下列规则建立的：
首先在主对角线上从an1 开始依次写进特征方
程的系数，直到写到a0 为止，然后由主对角线上的
系数出发，写出每一列的各元素，每列元素由上到
下按a 的脚标递增。当写到特征方程中不存在的系
数时以零代替。
例：系统的特征方程为 2s 4 s3 3s 2 5s 10 0 ，
2.为了得到满意的性能，相位裕量 r 应在30 ～60之 间，幅值裕
量 k g 应当大于6dB
3.对于最小相位系统，只有当相位裕量和幅值裕量都为正时，系 统才是稳定的，为了确定系统的稳定性储量，必须同时考虑相位 裕量和幅值裕量两项指标，只用其中一项指标不足以说明系统的 相对稳定性。 4.对于最小相位系统，开环幅频和相频特性之间有确定的对应关
上述各函数零点与极点之间的对应关系可示意如下
由幅角定理可以证明 Z P N
Z――闭环右极点个数，正整数或零 P――闭环右极点个数，正整数或零
N―― 从 0 时，G jH j封闭曲线在GsH s
平面内包围1, j0点的次数。当按逆时针方向包围
N 0 ，当按顺时针方向包围 N 0 ，曲线不包围 1, j0 点时 N 0 我们可以根据上式，根据开环右极点数目和开环奈
用 s j 代入特征方程，然后再使其实部和
虚部分别等于零，虚部为零可求出根轨迹与虚
机械控制工程基础(北京理工)第五章 控制系统的稳定性分析-PPT课件
其中： a 1 a n n 2 i b i a a 1 a n (2 i 1 ) n 1 n
1a n 1 a n (2 i 1 ) c i b b 1 i 1 1 b
按上面给出的计算方法，一直算到第n行（S1）， 第n+1行是S0仅第1列有数即特征方程中系数a0。
稳定性概念：当系统受到扰动作用后，将偏离
原来的平衡位置，当扰动消除后，如果系统能在 一定的时间范围内以足够的准确度恢复到初始平 衡状态，则称系统是稳定的系统，反之则称系统 是不稳定系统。
系统输出的一般表达：
C () t Ct () Ct () t s s s
C s s ( t ) 为稳态分量（见第二章） C t s ( t ) 为暂态分量， 稳定的概念亦可理解为： 当输入发生变化时，如果系统的输出经过一 段时间后，暂态分量消失，只有稳态分量，则该 系统是稳定的。 所以研究系统稳定性实际就是研究系统输出 的暂态分量是否满足：
§ 5-4 奈魁斯特稳定判据
若开环传递函数中含有 个积分环节时， 绘制开环幅相频率特性曲线后，还应从 频率对应的点开始，逆时针方向用虚线 补画一条半径为无穷大，角度为90的圆 弧。此时，系统的开环幅相曲线应包括 补画的虚线部分。
§ 5-4 奈魁斯特稳定判据
例：已知两单反馈控制系统的开环传递函数 分别为
结论：对图3-1所示系统，在施加一个初始扰动y(0)=a后，
k 系统将永远按振幅为a，频率为 的余弦波振动， m
永远不能恢复到原始静止平衡状态。
例２：
m y cy Ky f( t )
.. .
y (0 ) a ,y (0 ) 0
A m
ch5控制系统的稳定性分析2019
j)s ] [ (jj
2
j)]
DD D B ( (j (s s( ))) ω a ω ( 0D D iK 11 1 ( ( (js) ) pji)ω j 2 jk1 D ( ( 1) [s* ) ω j( D B2 e (j( D s)n j) ( ) j)ω j ] ) sj2 [( e (* ω j j* D j)) n ) ( ] e ω j n (
2半、面建的立极劳点斯个阵数列。表
1 11
由于2-2/ε<0，故认为变号
+
2 0 ( )
2 1
0
两次，有两个极点在S平面 的右半面。
-2
+
1
2
1
该系劳统思四(r个ou根th)：判据的特殊情况 -•1特.8殊83情2况1：-0第.5一3列10出现0 • +特0殊.2情0况721：±某0一.9行7元8素3i均为0
1、闭环特征方程如果系数ai不是全部同号或有等于 零的项（缺项），则系统不稳定；
n
(SSi)0
i1
反之，如果系数ai全部同号则不能确定系统是稳定的； 进入第二步继续判别；
§5-3 代数稳定性判据
2、建立劳斯阵列表
a1a4 a0a5 a1
a4
劳斯阵列表:
a0
a2 a4
a1
a3 a5
以该系统不稳定。
无论怎样调整系统的参数,如(K、Tm)，都不能使 系统稳定。
结构不稳定系统
校正装置
§5-2 稳定的充要条件
根据以上分析， 系统的稳定性判别归结为：
如果 系统的闭环特征根至少有一个根Si>0 或 复根时它的实部 -kk>0
现代控制理论基础4控制系统的稳定性分析课件
[解] （1）系统的传递函数为：
G(s) C(sI A)1 B 0
1s1
6
1
2
s 1 1
(s
(s 2)(
2) s
3)
(s
1
3)
极点位于s左半平面，s=2的极点被对消掉了。 系统是有界输入有界输出稳定的。
（2） 求系统的特征方程：
de
t(I
A)
1
求得：1 2，2 3
系统不是渐近稳定的。
稳
图解表示：
定
区
内部稳定性判据：
Im S平面 临不 界 稳 Re 稳定 定区
线性定常连续系统渐近稳定的充分必要条件为：A阵的所有特 征值全为负实数或具有负实部的共轭复根。等同于特征方程的
根全部位于s平面的左半部。
13
[例4-6]
设系统方程为：
x
0 1
6 1
x
12u,
y 0 1x
试确定其外部稳定性、内部稳定性。
6
二、状态向量范数
符号 称为向量的范数， x xe 为状态向量
端点至平衡状态向量端点的范数，其几何意义 为“状态偏差向量”的空间距离的尺度，其定 义式为：
1
x xe (x1 xe1)2 (x2 xe2 )2 (xn xen )2 2
7
三、李雅普诺夫意义下稳定性意义
1、稳定与一致稳定： （系统的自由响应是有界的）
3）对任意初始时刻 t0 时的任意状态 x0 0 ，在 t t0
时，除了在 x 0 时有 V(x) 0 外，V ( x) 不恒等于零。
则系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。
说明： 恒等于零意味着运动轨迹是某个特定的曲面 V(x) C 。
控制系统的稳定性分析分解课件
控制系统的稳定性分析分 解课件
目 录
• 控制系统稳定性分析方法 • 控制系统稳定性判据 • 控制系统稳定性优化方法 • 控制系统稳定性实例分析 • 控制系统稳定性总结与展望
01 引言
控制系统稳定性概念
01
02
03
稳定性定义
控制系统在受到外部扰动 后，能否恢复到平衡状态 的能力。
稳定性分类
根据系统性质不同，可分 为渐近稳定、指数稳定、 BIBO稳定等。
实例一：机械臂控制系统稳定性分析
01
02
03
04
系统建模
建立机械臂的动力学模型，包 括电机、减速器等组件的动力
学方程。
稳定性判据
应用劳斯判据或奈奎斯特判据 等方法，判断系统的稳定性。
控制器设计
设计合适的控制器，如PID控 制器，以保证系统的稳定性。
仿真与实验
通过仿真和实验验证控制器的 有效性，并对系统稳定性进行
定性。
超前校正优点
03
校正后系统带宽增宽，动态性能提高，对高频噪声有抑制作用。
滞后校正
滞后校正网络
采用RC电路构成的滞后网络，降低系统高频部分的增益，提高 相位裕量。
滞后校正原理
通过牺牲系统带宽来换取更大的相位裕量，从而提高系统稳定性。
滞后校正优点
对低频段增益影响较小，可保持系统稳态精度，同时有效抑制高 频噪声。
稳态误差分析
通过计算系统的稳态误差来分析系 统的稳定性和精度，包括静态误差 系数法、终值定理法等。
动态性能分析
通过分析系统的动态性能指标（如 调节时间、超调量等）来评估系统 的稳定性，常用的方法有相平面法、 时域响应法等。
频域分析法
奈奎斯特稳定判据
目 录
• 控制系统稳定性分析方法 • 控制系统稳定性判据 • 控制系统稳定性优化方法 • 控制系统稳定性实例分析 • 控制系统稳定性总结与展望
01 引言
控制系统稳定性概念
01
02
03
稳定性定义
控制系统在受到外部扰动 后，能否恢复到平衡状态 的能力。
稳定性分类
根据系统性质不同，可分 为渐近稳定、指数稳定、 BIBO稳定等。
实例一：机械臂控制系统稳定性分析
01
02
03
04
系统建模
建立机械臂的动力学模型，包 括电机、减速器等组件的动力
学方程。
稳定性判据
应用劳斯判据或奈奎斯特判据 等方法，判断系统的稳定性。
控制器设计
设计合适的控制器，如PID控 制器，以保证系统的稳定性。
仿真与实验
通过仿真和实验验证控制器的 有效性，并对系统稳定性进行
定性。
超前校正优点
03
校正后系统带宽增宽，动态性能提高，对高频噪声有抑制作用。
滞后校正
滞后校正网络
采用RC电路构成的滞后网络，降低系统高频部分的增益，提高 相位裕量。
滞后校正原理
通过牺牲系统带宽来换取更大的相位裕量，从而提高系统稳定性。
滞后校正优点
对低频段增益影响较小，可保持系统稳态精度，同时有效抑制高 频噪声。
稳态误差分析
通过计算系统的稳态误差来分析系 统的稳定性和精度，包括静态误差 系数法、终值定理法等。
动态性能分析
通过分析系统的动态性能指标（如 调节时间、超调量等）来评估系统 的稳定性，常用的方法有相平面法、 时域响应法等。
频域分析法
奈奎斯特稳定判据
第5章控制系统的稳定性分析
基于稳定性研究的问题是扰动作用去除后系统的运 动情况，它与系统的输入信号无关，只取决于系统 本身的特征，因而可用系统的脉冲响应函数来描述。
设线性系统在初始条件为零时，作用一个理想单位
脉冲x(t)= (t)，这时系统的输出增量为y(t)。这相当
于系统在扰动信号作用下，输出信号偏离原平衡工 作点的问题。若t→∞时，脉冲响应
（2）特征方程的各项系数ai的符号都相同，才 能满足式（5-7），按着惯例， ai一般取正值 （如果全部系数为负，可用-1乘方程两边，使它 们都变成正值）。
上述两个条件可归结为系统稳定的一个必要 条件，即ai>0。
要使全部特征根均具有负实部，首先必须满足：
1 .特征方程的各项系数ai(i=0，1，2， ···，n)
K
X(s) 1 G(s) s3 3s2 2s K
特征方程式为 罗斯阵列为
s3 3s2 2s K 0
s3 1 2
s2 3 K s1 6 K
3 s0 K
由稳定条件得
K 0
6 K 3
0
因此K的稳定范围为 0 K 6
习题5-3 设单位反馈系统的开环传递函数为
G(s)
K
s s 1 s 1
设系统闭环传递函数为
Y (s) X (s)
bm sm an s n
bm1sm1 an1sn1
则系统的特征方程为
b1s b0 a1s a0
ansn an-1sn-1 a1s a0 0
（5-5）
例 某单位反馈系统的开环传递函数 G(s) k
则系统的闭环传递函数
s(Ts 1)
3 6
若要求闭环特征方程式的根的实部均小于-1，问值
应取在什么范围？如果要求根的实部均小于-2，情
设线性系统在初始条件为零时，作用一个理想单位
脉冲x(t)= (t)，这时系统的输出增量为y(t)。这相当
于系统在扰动信号作用下，输出信号偏离原平衡工 作点的问题。若t→∞时，脉冲响应
（2）特征方程的各项系数ai的符号都相同，才 能满足式（5-7），按着惯例， ai一般取正值 （如果全部系数为负，可用-1乘方程两边，使它 们都变成正值）。
上述两个条件可归结为系统稳定的一个必要 条件，即ai>0。
要使全部特征根均具有负实部，首先必须满足：
1 .特征方程的各项系数ai(i=0，1，2， ···，n)
K
X(s) 1 G(s) s3 3s2 2s K
特征方程式为 罗斯阵列为
s3 3s2 2s K 0
s3 1 2
s2 3 K s1 6 K
3 s0 K
由稳定条件得
K 0
6 K 3
0
因此K的稳定范围为 0 K 6
习题5-3 设单位反馈系统的开环传递函数为
G(s)
K
s s 1 s 1
设系统闭环传递函数为
Y (s) X (s)
bm sm an s n
bm1sm1 an1sn1
则系统的特征方程为
b1s b0 a1s a0
ansn an-1sn-1 a1s a0 0
（5-5）
例 某单位反馈系统的开环传递函数 G(s) k
则系统的闭环传递函数
s(Ts 1)
3 6
若要求闭环特征方程式的根的实部均小于-1，问值
应取在什么范围？如果要求根的实部均小于-2，情
第五章_控制系统的稳定性分析
如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化 的次数等于该特征方程式的根在S的右半平面上的 个数，相应的系统为不稳定。
16
【例5-1】：特征方程为：a0 s3 a1s 2 a2 s a3 0 ，试判断
稳定性。 [解]：劳斯阵为： s 3 a0
s s
2 1
a2 a3
a1
s0
a1a2 a0 a3 a1 a3
劳斯阵的组成
13
表中 b1 a1 a 2 a0 a3 a a a a a a a a , b2 1 4 0 5 , b3 1 6 0 7 a1 a1 a1
b1 a3 a1b2 b1 a5 a1b3 b1 a7 a1b4 c1 , c2 , c3 b1 b1 b1 e1 d 2 d1e2 f1 e1
i ( s ii ) i i 1 i2 2 2 s p s 2 s j 1 i 1 j i i i
aj
n2
7
y2 (t ) e
j 1
n1Leabharlann p jt i e ii t cosi 1 2 t i e ii t sin i 1 2 t
21
【例5-4】：S 6 2S 5 8S 4 12S 3 20S 2 16S 16 0 列劳斯表
S6 S5 S4 S3 S2 S
1
1 2 2 0 8 6 8 3 16
8 12 12 0 24 16 0
20 16 16 0
16 0
由上表可知，第一 列的系数均为正值， 表明该方程在S右半 平面上没有特征根。 令F(s)=0，求得两 对大小相等、符号 相反的根
第五章 控制系统的稳定性分析
第五章 控制系统的稳定性分析
5-2 控制系统稳定性判据 例 已知一调速系统的特征方程式为
试用劳斯判据判别系统的稳定性：S 3 + 41.5S 2 + 517 S + 2.3 × 10 4 = 0 解：列劳斯表
S3 S2 S1 S0 1 41.5 − 38.5 2.3 × 10 4 517 2.3 × 10 4 0 0
a n s n + a n −1 s n −1 + ⋯ + a 0 = 0 通过因式分解，总 对于特征方程： 通过因式分解， 对于特征方程：
第五章 控制系统的稳定性分析
5-2 控制系统稳定性判据
1) 列写罗斯计算表：任意一行的各项同时乘以一个正数，结果不变 列写罗斯计算表：任意一行的各项同时乘以一个正数， 。
第五章 控制系统的稳定性分析
5-2 控制系统稳定性判据 一．代数稳定判据
不必求解系统的特征方程， 不必求解系统的特征方程 ，通过对特征方程的系数进行分析来判 断系统的稳定性的方法。 断系统的稳定性的方法。
可 以 分 解 为 一 次 因 子 和 二 次 因 子 的 乘 积 的 形 式 ， 即 ： (s+a) 和 (s2+bs+c)相乘的形式。只有 、b、c都是非零的正值时，才能得到负 相乘的形式。 都是非零的正值时， 相乘的形式 只有a、 、 都是非零的正值时 实根或具有负实部的共轭复根。所以ai>0是判定系统稳定的必要条 实根或具有负实部的共轭复根 。 所以 是判定系统稳定的必要条 但非充分条件。罗斯-赫尔维茨稳定判据即是检验系统稳定的充 件，但非充分条件。罗斯 赫尔维茨稳定判据即是检验系统稳定的充 要条件。 要条件。 1、罗斯（Routh）稳定判据： 、罗斯（ ）稳定判据：
控制工程六章控制系统的稳定性分析
机 械 控 制 理 论
第六章
控制系统的稳定性分析
第六章 控制系统的稳定性分析 6.2 频域稳定判据
机 械 控 制 理 论
1、奈氏稳定判据
R(s)
G(s) H(s)
C(s)
C (s) G ( s) 考虑上图所示的闭环系统，其闭环传递函数为 R( s) 1 H ( s)G ( s)
要使系统稳定，闭环极点要全部位于复平面的左半部。 奈氏判据正是将开环频率特性与系统的闭环极点联系起来 的判据。
例 机 械 控 制 理 论
G (s) 1 s( s 1)
Im
X i (s)
e s
e
s
G ( s)
X o (s)
-1
2
0
Re
1.1
0
第六章 控制系统的稳定性分析
2、对数稳定判据
机 械 控 制 理 论
(1)穿越的概念 所谓“穿越”，指开环奈氏曲线穿过（－1，j0）点 以左的负实轴。沿频率增大方向，若曲线由上而下 （相角增大）穿过点以左的负实轴称“正穿越”； 反之，沿频率增大方向，若曲线由下而上（相角减 小）穿过点以左的负实轴称“负穿越”。注意，曲 线穿过（－1，j0）点以右的实轴不谓穿越。
G( s) K T 2 s 2 2Ts 1
[GH]
ω =∞ ω =0
G( j ) H ( j )
K (1 j T1 )(1 jT2 )(1 jT3 )
Im
[GH]
Im
-1
k Re
-1
ω =∞
① ②
k
k’
ω =0 Re
第六章 控制系统的稳定性分析
补充：当系统含有积分环节时，其开环奈氏曲线不封闭， 此时需作辅助线。即按常规方法作出ω 由0+→ ∞变化时的
第六章
控制系统的稳定性分析
第六章 控制系统的稳定性分析 6.2 频域稳定判据
机 械 控 制 理 论
1、奈氏稳定判据
R(s)
G(s) H(s)
C(s)
C (s) G ( s) 考虑上图所示的闭环系统，其闭环传递函数为 R( s) 1 H ( s)G ( s)
要使系统稳定，闭环极点要全部位于复平面的左半部。 奈氏判据正是将开环频率特性与系统的闭环极点联系起来 的判据。
例 机 械 控 制 理 论
G (s) 1 s( s 1)
Im
X i (s)
e s
e
s
G ( s)
X o (s)
-1
2
0
Re
1.1
0
第六章 控制系统的稳定性分析
2、对数稳定判据
机 械 控 制 理 论
(1)穿越的概念 所谓“穿越”，指开环奈氏曲线穿过（－1，j0）点 以左的负实轴。沿频率增大方向，若曲线由上而下 （相角增大）穿过点以左的负实轴称“正穿越”； 反之，沿频率增大方向，若曲线由下而上（相角减 小）穿过点以左的负实轴称“负穿越”。注意，曲 线穿过（－1，j0）点以右的实轴不谓穿越。
G( s) K T 2 s 2 2Ts 1
[GH]
ω =∞ ω =0
G( j ) H ( j )
K (1 j T1 )(1 jT2 )(1 jT3 )
Im
[GH]
Im
-1
k Re
-1
ω =∞
① ②
k
k’
ω =0 Re
第六章 控制系统的稳定性分析
补充：当系统含有积分环节时，其开环奈氏曲线不封闭， 此时需作辅助线。即按常规方法作出ω 由0+→ ∞变化时的
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第五章_控制系统稳定性分析 5 控制系统稳定性分析
5.1系统稳定性的基本概念 5.2系统稳定的充要条件
5.3代数稳定性判据（Routh判据、Hurwitz 判据）
5.4乃奎斯特稳定性判据（Nyquist判据） 5.5应用乃奎斯特判据分析延时系统的稳定性 5.6由伯德图判断系统的稳定性 5.7控制系统的相对稳定性
sn s n 1 s n2 s
n 3
a0 a1 b1 c1 u1 v1 w1
a2 a3 b2 c2 u2
a4 a5 b3 c3
a6 a7 b4 c4
s s1
2
s0
第五章_控制系统稳定性分析 其中
a1a2 a0 a3 b1 a1 a1a4 a0 a5 b2 a1 a1a6 a0 a7 b3 a1
第五章_控制系统稳定性分析
s a1 s a2 s am F s s a1 s a2 s an
F(s)有m个零点，n个极点， 在[s]平面上的C顺时针包围了其中z个 零点和p个极点， 则在[F]平面上的C’顺时针包围原点 z – p圈。
n a1 n 1 an 1 an a0 s s s 0 a0 a0 a0 a0 s s1 s s2 s sn 0
s1 , s2 ,, sn 为系统的特征根
第五章_控制系统稳定性分析
复数根与系数的关系：
a1 a s1 s2 sn ; 0 a2 a s1s2 s1s3 sn 1sn ; 0 a3 s1s2 s3 s1s2 s4 sn 2 sn 1sn ; a0 an 1 n s s s s s s n 2 n 1 n a 1 2 3 0
, 为系统闭环特征方程式的根的实部
控制系统稳定的充分必要条件是： 闭环特征方程式的根全部具有负实部 系统特征根即闭环极点， 故也可以说充要条件为 极点全部在[s]平面的左半面
第五章_控制系统稳定性分析
5.3 代数稳定性判据
基于方程式的根与系数的关系 设系统特征方程为 n n 1 a0 s a1s an 1s an 0
控制系统不稳定。
第五章_控制系统稳定性分析 对于特征方程阶次低（n≤3）的系统，劳 斯判据可简化： 2 a s 二阶系统特征式为 0 a1s a2 ，劳斯 表为
s s s
2
a0
a2
1 0
a1 a2
故二阶系统稳定的充要条件是
a0 0, a1 0, a2 0
第五章_控制系统稳定性分析 三阶系统特征式为 a0 s a1s a2 s a3 ， 劳斯表: s3 a0 a2
K 0 2 3 K 1
故使系统稳定的K值范围为 0
K 6
第五章_控制系统稳定性分析
例:
设控制系统的闭环特征方程式为 4 3 2 s 2s s 2s 1 0 用劳斯判据判断稳定性。 4 s 1 1 1 劳斯阵列表
s3 2 2
s2
s1 s0
0( ) 1 2 2
试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。
第五章_控制系统稳定性分析
解： s 4 8s 3 17 s 2 16s 5 0 首先由方程系数可知满足稳定的必要条件（系数 均大于0）。 其次，排劳斯阵列
s 1 17 5 3 s 8 16
s
2
1
4
s
s
0
15 5 40 3 5
劳斯阵列第一列中 系数符号全为正， 所以控制系统稳定。
第五章_控制系统稳定性分析
例2 设控制系统的特征方程式为
试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。 解：由方程系数可知已满足稳定的必要条件。 排劳 斯阵列 4
s 4 2s 3 3s 2 4s 3 0
s 3 s 2 s 1 s 0 s
1 3 3 2 4 1 3 第一列系数改变符号2次， 2 闭环系统的根中有2个实部 为正， 3
第五章_控制系统稳定性分析
i 0, j j 0
1 ,s 0的根:s s
1 s 2 s
2 2 2
, s 2 s 0的根:
2 2 2 2
2 4 4 2 j 1 2
第五章_控制系统稳定性分析
3 2
s
2
a1
a3
a1a2 a0 a3 s a1
1
s a3 故三阶系统稳定的充要条件是
0
a0 , a1 , a2 , a3 0, a1a2 a0 a3
第五章_控制系统稳定性分析 例 设某反馈控制系统如下图所示，试计算使 系统稳定的K值范围。
Xi s
+ -
K s s 1 s 2
第五章_控制系统稳定性分析
由于
1 8 0
8 16 2 0 1 17
8 16 3 1 17 0 8
0 5 0 16
8 16 0 0 1 17 5 0 0 0 8 16 0 0 1 17 5
故该系统稳定。
第五章_控制系统稳定性分析 代数稳定性判据使用的多项式 是系统闭环特征多项式。
n×n行列式：
a1 a0 a3 a2 a1 a0 0 a5 a4 a3 a2 a5 a4 an 1 an 2 0 an 0
第五章_控制系统稳定性分析 系统稳定的充要条件： 各阶主子行列式均 >0
即： 1 a1 0
2
a5 a4 0 a3
1
符号改变2次， 2个正实根。
第五章_控制系统稳定性分析
s 2s s 2 0
3 2
s 2 s 1 s 0 s
3
1 2 0 2
1 2
无正实根， 有虚根。
第五章_控制系统稳定性分析
例: 设控制系统的闭环特征方程式为 s 6 2s5 8s 4 12s3 20s 2 16s 16 0 用劳斯判据判断稳定性。
n(t)为输入时，系统输出为：
b0 s m b1s m1 bm1s bm XO s a0 s n a1s n1 an1s an
dj ejs ci 2 2 2 2 s 2 j j s j i s i j s 2 j j s j
Im [ s] Im [F]
O C
Re
O
Re
C’?
顺时针绕原点1圈，角度增量 2 C包围z个零点，C’绕原点 顺时针z圈
第五章_控制系统稳定性分析
1 F s s a1 s a2 s a p
Im [ s]
Im
[F]
O O C Re
Re
C’?
C包围1个极点，C’ 逆时针绕原点1圈 C包围p个极点，C’绕原点 逆时针p圈
Im [F]
F s 1 sa
Im a
[ s]
O
1 F s sa
Re
C O Re
Im
Im
C’
O
Re
O Re
如果 C 包围 a ，则 C’ 逆时针包围原点1圈； 如果 C 不包围 a ，则C’不包围原点。
第五章_控制系统稳定性分析
F s s a1 s a2 s az
F s s a
C’
O
如果 C 包围 a ，则 C’ 顺时针包围原点1圈； 如果 C 不包围 a ，则C’不包围原点。
第五章_控制系统稳定性分析
1 2. F s sa
Im [ s]
Im [F]
F s 1 sa
a
Re C
Im
O
Re
O
Im
O
Re
O
Re
第五章_控制系统稳定性分析
第五章_控制系统稳定性分析 例：一个反馈控制系统的特征方程为 s3+5Ks2+(2K+3)s+10=0, 试确定使该闭环系统稳定的K值。
第五章_控制系统稳定性分析
第五章_控制系统稳定性分析
劳斯判据的不足： • 必须知道系统的闭环传递函数
• 定性——较难从量上判断系统的稳定程度
• 对含有延迟环节的系统无效
第五章_控制系统稳定性分析 5.1系统稳定性的基本概念
1. 单摆
2. 闭环控制系统的稳定性问题 定义 系统受扰动后能否恢复原来的状态
第五章_控制系统稳定性分析 5.2 系统稳定的充要条件
X I s +
G1 s
+Leabharlann N s +G2 s
XO s
H s
N(s)到Xo(s)的传递函数：
Xo s
解：系统闭环传递函数为
Xo s K X i s s s 1 s 2 K
第五章_控制系统稳定性分析 特征方程为
s s 1 s 2 K s 3s 2s K 0
3 2
根据三阶系统稳定的充要条件， 可知使系统稳定须满足
1
第五章_控制系统稳定性分析 系统输出的时域表达式:
xo t fi e
i j
i t
sin j 1 t j
2 j
g e
j
j j t
如果系统稳定，应有 即
xo t 0
t
i 0, j j 0
Nyquist稳定判据 根据开环频率特性判断闭环稳定性
第五章_控制系统稳定性分析 5.4乃奎斯特稳定性判据 s F s 1. F s s a a 为复数
5.1系统稳定性的基本概念 5.2系统稳定的充要条件
5.3代数稳定性判据（Routh判据、Hurwitz 判据）
5.4乃奎斯特稳定性判据（Nyquist判据） 5.5应用乃奎斯特判据分析延时系统的稳定性 5.6由伯德图判断系统的稳定性 5.7控制系统的相对稳定性
sn s n 1 s n2 s
n 3
a0 a1 b1 c1 u1 v1 w1
a2 a3 b2 c2 u2
a4 a5 b3 c3
a6 a7 b4 c4
s s1
2
s0
第五章_控制系统稳定性分析 其中
a1a2 a0 a3 b1 a1 a1a4 a0 a5 b2 a1 a1a6 a0 a7 b3 a1
第五章_控制系统稳定性分析
s a1 s a2 s am F s s a1 s a2 s an
F(s)有m个零点，n个极点， 在[s]平面上的C顺时针包围了其中z个 零点和p个极点， 则在[F]平面上的C’顺时针包围原点 z – p圈。
n a1 n 1 an 1 an a0 s s s 0 a0 a0 a0 a0 s s1 s s2 s sn 0
s1 , s2 ,, sn 为系统的特征根
第五章_控制系统稳定性分析
复数根与系数的关系：
a1 a s1 s2 sn ; 0 a2 a s1s2 s1s3 sn 1sn ; 0 a3 s1s2 s3 s1s2 s4 sn 2 sn 1sn ; a0 an 1 n s s s s s s n 2 n 1 n a 1 2 3 0
, 为系统闭环特征方程式的根的实部
控制系统稳定的充分必要条件是： 闭环特征方程式的根全部具有负实部 系统特征根即闭环极点， 故也可以说充要条件为 极点全部在[s]平面的左半面
第五章_控制系统稳定性分析
5.3 代数稳定性判据
基于方程式的根与系数的关系 设系统特征方程为 n n 1 a0 s a1s an 1s an 0
控制系统不稳定。
第五章_控制系统稳定性分析 对于特征方程阶次低（n≤3）的系统，劳 斯判据可简化： 2 a s 二阶系统特征式为 0 a1s a2 ，劳斯 表为
s s s
2
a0
a2
1 0
a1 a2
故二阶系统稳定的充要条件是
a0 0, a1 0, a2 0
第五章_控制系统稳定性分析 三阶系统特征式为 a0 s a1s a2 s a3 ， 劳斯表: s3 a0 a2
K 0 2 3 K 1
故使系统稳定的K值范围为 0
K 6
第五章_控制系统稳定性分析
例:
设控制系统的闭环特征方程式为 4 3 2 s 2s s 2s 1 0 用劳斯判据判断稳定性。 4 s 1 1 1 劳斯阵列表
s3 2 2
s2
s1 s0
0( ) 1 2 2
试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。
第五章_控制系统稳定性分析
解： s 4 8s 3 17 s 2 16s 5 0 首先由方程系数可知满足稳定的必要条件（系数 均大于0）。 其次，排劳斯阵列
s 1 17 5 3 s 8 16
s
2
1
4
s
s
0
15 5 40 3 5
劳斯阵列第一列中 系数符号全为正， 所以控制系统稳定。
第五章_控制系统稳定性分析
例2 设控制系统的特征方程式为
试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。 解：由方程系数可知已满足稳定的必要条件。 排劳 斯阵列 4
s 4 2s 3 3s 2 4s 3 0
s 3 s 2 s 1 s 0 s
1 3 3 2 4 1 3 第一列系数改变符号2次， 2 闭环系统的根中有2个实部 为正， 3
第五章_控制系统稳定性分析
i 0, j j 0
1 ,s 0的根:s s
1 s 2 s
2 2 2
, s 2 s 0的根:
2 2 2 2
2 4 4 2 j 1 2
第五章_控制系统稳定性分析
3 2
s
2
a1
a3
a1a2 a0 a3 s a1
1
s a3 故三阶系统稳定的充要条件是
0
a0 , a1 , a2 , a3 0, a1a2 a0 a3
第五章_控制系统稳定性分析 例 设某反馈控制系统如下图所示，试计算使 系统稳定的K值范围。
Xi s
+ -
K s s 1 s 2
第五章_控制系统稳定性分析
由于
1 8 0
8 16 2 0 1 17
8 16 3 1 17 0 8
0 5 0 16
8 16 0 0 1 17 5 0 0 0 8 16 0 0 1 17 5
故该系统稳定。
第五章_控制系统稳定性分析 代数稳定性判据使用的多项式 是系统闭环特征多项式。
n×n行列式：
a1 a0 a3 a2 a1 a0 0 a5 a4 a3 a2 a5 a4 an 1 an 2 0 an 0
第五章_控制系统稳定性分析 系统稳定的充要条件： 各阶主子行列式均 >0
即： 1 a1 0
2
a5 a4 0 a3
1
符号改变2次， 2个正实根。
第五章_控制系统稳定性分析
s 2s s 2 0
3 2
s 2 s 1 s 0 s
3
1 2 0 2
1 2
无正实根， 有虚根。
第五章_控制系统稳定性分析
例: 设控制系统的闭环特征方程式为 s 6 2s5 8s 4 12s3 20s 2 16s 16 0 用劳斯判据判断稳定性。
n(t)为输入时，系统输出为：
b0 s m b1s m1 bm1s bm XO s a0 s n a1s n1 an1s an
dj ejs ci 2 2 2 2 s 2 j j s j i s i j s 2 j j s j
Im [ s] Im [F]
O C
Re
O
Re
C’?
顺时针绕原点1圈，角度增量 2 C包围z个零点，C’绕原点 顺时针z圈
第五章_控制系统稳定性分析
1 F s s a1 s a2 s a p
Im [ s]
Im
[F]
O O C Re
Re
C’?
C包围1个极点，C’ 逆时针绕原点1圈 C包围p个极点，C’绕原点 逆时针p圈
Im [F]
F s 1 sa
Im a
[ s]
O
1 F s sa
Re
C O Re
Im
Im
C’
O
Re
O Re
如果 C 包围 a ，则 C’ 逆时针包围原点1圈； 如果 C 不包围 a ，则C’不包围原点。
第五章_控制系统稳定性分析
F s s a1 s a2 s az
F s s a
C’
O
如果 C 包围 a ，则 C’ 顺时针包围原点1圈； 如果 C 不包围 a ，则C’不包围原点。
第五章_控制系统稳定性分析
1 2. F s sa
Im [ s]
Im [F]
F s 1 sa
a
Re C
Im
O
Re
O
Im
O
Re
O
Re
第五章_控制系统稳定性分析
第五章_控制系统稳定性分析 例：一个反馈控制系统的特征方程为 s3+5Ks2+(2K+3)s+10=0, 试确定使该闭环系统稳定的K值。
第五章_控制系统稳定性分析
第五章_控制系统稳定性分析
劳斯判据的不足： • 必须知道系统的闭环传递函数
• 定性——较难从量上判断系统的稳定程度
• 对含有延迟环节的系统无效
第五章_控制系统稳定性分析 5.1系统稳定性的基本概念
1. 单摆
2. 闭环控制系统的稳定性问题 定义 系统受扰动后能否恢复原来的状态
第五章_控制系统稳定性分析 5.2 系统稳定的充要条件
X I s +
G1 s
+Leabharlann N s +G2 s
XO s
H s
N(s)到Xo(s)的传递函数：
Xo s
解：系统闭环传递函数为
Xo s K X i s s s 1 s 2 K
第五章_控制系统稳定性分析 特征方程为
s s 1 s 2 K s 3s 2s K 0
3 2
根据三阶系统稳定的充要条件， 可知使系统稳定须满足
1
第五章_控制系统稳定性分析 系统输出的时域表达式:
xo t fi e
i j
i t
sin j 1 t j
2 j
g e
j
j j t
如果系统稳定，应有 即
xo t 0
t
i 0, j j 0
Nyquist稳定判据 根据开环频率特性判断闭环稳定性
第五章_控制系统稳定性分析 5.4乃奎斯特稳定性判据 s F s 1. F s s a a 为复数