一般形式的柯西不等式
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一般形式的柯西不等式
一般形式的柯西不等式柯西不等式是数学分析中一个重要的不等式定理，用来描述两个函数之间的关系。
它是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西于1821年提出的。
柯西不等式在解析函数论、泛函分析等领域有广泛的应用。
柯西不等式的一般形式可以表述如下：设函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续，且g(x)不等于0。
那么有以下不等式成立：∫[a,b] f(x)g(x)dx ≤ √( ∫[a,b] f^2(x)dx * ∫[a,b]g^2(x)dx )在这个不等式中，∫[a,b] f(x)g(x)dx 表示函数 f(x) 和 g(x) 的乘积函数在闭区间上的积分，∫[a,b] f^2(x)dx 和∫[a,b] g^2(x)dx分别表示函数 f(x) 和 g(x) 的平方函数在闭区间上的积分。
柯西不等式的证明可以通过引入一个辅助函数 h(x) 来完成。
辅助函数 h(x) 的定义为 h(x) = f(x) - (k*g(x))，其中 k 是一个常数，通过适当选择 k 的值，可以使得 h(x) 关于 x 的积分为0。
对于这个辅助函数 h(x)，通过平方的方式可以得到∫[a,b] h^2(x)dx = ∫[a,b] (f(x) - k*g(x))^2dx。
展开 h^2(x) 的平方并化简后可以得到∫[a,b] h^2(x)dx = ∫[a,b] (f^2(x) - 2kf(x)g(x) + k^2g^2(x))dx。
根据积分的性质，可以得到∫[a,b] h^2(x)dx = ∫[a,b] f^2(x)dx - 2k∫[a,b] f(x)g(x)dx +k^2∫[a,b] g^2(x)dx。
为了满足∫[a,b] h^2(x)dx = 0，必须要求∫[a,b] h^2(x)dx 的系数为0。
即：- 2k∫[a,b] f(x)g(x)dx = 0，即∫[a,b] f(x)g(x)dx= k∫[a,b] g^2(x)dx。
第三讲一般形式的柯西不等式
第三讲一般形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式，是基于柯西不等式推广出来的不等式形式。
柯西不等式是数学分析中一条常用的不等式，它描述了两个向量之间的内积与它们的范数之间的关系。
柯西不等式的一般形式则扩展了这个概念，可以应用到更多的情况中。
假设有两个实数向量X=[x1, x2, ..., xn]和Y=[y1，y2，...，yn]，那么它们的内积可以定义为：X·Y = x1*y1 + x2*y2 + ... + xn*yn而柯西不等式表示为：X·Y，≤，X，，Y其中，X，表示向量X的范数，定义为：X， = sqrt(x1^2 + x2^2 + ... + xn^2)柯西不等式右边的，X，和，Y，即为两个向量的范数，因此它可以对任意实数向量成立。
然而，柯西不等式的应用范围不仅仅局限于实数向量，我们可以将其推广到更一般的形式。
将柯西不等式中两个实数向量推广到复数空间，就可以得到一般形式的柯西不等式。
在复数空间中，两个复数向量X=[x1, x2, ..., xn]和Y=[y1，y2，...，yn]的内积可以定义为：X·Y* = x1*y1* + x2*y2* + ... + xn*yn*其中，*表示复数的共轭。
同样可以定义复数向量的范数，即：X， = sqrt(，x1，^2 + ，x2，^2 + ... + ，xn，^2)在复数空间中，一般形式的柯西不等式就可以表示为：X·Y*，≤，X，，Y一般形式的柯西不等式的推广，使得我们可以将柯西不等式应用到更加广泛的场景中，包括复数空间以及其他更复杂的向量空间。
这种推广形式的柯西不等式在数学分析、函数论、概率论等多个数学领域中都具有重要的应用价值。
总结起来，一般形式的柯西不等式是柯西不等式在复数空间和更一般的向量空间中的推广形式。
通过它，我们可以描述两个向量之间的内积与它们的范数之间的关系。
这个不等式在数学分析和其他数学领域中都具有重要的应用意义。
一般形式的柯西不等式
4 .设 a , b , c R , 且满足 abc 1, 试证明 : 1 a (b c )
3
1 b (a c)
3
1 c (a b)
3
3 2
定理 ( 一般形式的柯西不等式
)
设 a 1 , a 2 , a 3 , , a n , b1 , b 2 , b 3 , , b n 是实数 , 则 当且仅当 b i 0 ( i 1, 2 , , n ) 或存在一个数 k , 使得 a i kb i ( i 1, 2 , , n )时 , 等号成立 。
新课程 新思想 新理念
从平面向量的几何背景 将平面向量的坐标代入 的柯西不等式 当且仅当 :
2
能得到 ，
， 化简后得二维形式
(a1 a2 ) (b1 b2 ) (a1b1 a2b2 )
2 2 2 2
a 1 b 2 a 2 b1时 , 等号成立 .
类似地 , 从空间向量的几何背景
2 2 2
a , b , c , 外接圆半径为 A sin 1
2
R,
2
1 sin
2
B sin
1
2
) 36 R C
2 .设 a , b , c 为正数 , 且 a b c 1, 求证 : ( a 1 a ) (b
2
1 b
) (c
2
1 c
)
2
100 3
3 .若 n 是不小于 2的正整数 , 试证 : 4 7 1 1 2 1 3 1 4 1 2n 1 1 2n 2 2
2 2 2 2 2 2 2
x y z
数学课件：2.1.2 柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明
≥
(
������
∑
������������)2
������=1
������
∑ ������������
,
当且仅当ai=λbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.
变形(2)
������=1
设
������
ai,bi(i=1,2,…,n)同号且不为零,则 ∑
������=1
������������ ������������
名师点拨记忆柯西不等式的一般形式,一是抓住其结构特点:左
边是平方和再开方的积,右边是积的和的绝对值;二是与二维形式
的柯西不等式类比记忆.
知识拓展柯西不等式的变形和推广:
变形(1) 设 ai,bi∈R,bi>0(i=1,2,…,n),
������
则∑
������=1
���������2��� ������������
=
������2 ������2
=
⋯
=
������������ ������������
时等号成立.
∴(a1b1+a2b2+…+anbn)2≤4. ∴-2≤a1b1+…+anbn≤2. ∴所求的最大值为2.
答案:C
1.一般形式的柯西不等式如何应用? 剖析:我们主要利用柯西不等式来证明一些不等式或求值等问题, 但往往不能直接应用,需要对数学式子的形式进行变形,拼凑出与 一般形式的柯西不等式相似的结构,才能应用,因而适当变形是我 们应用一般形式的柯西不等式的关键,也是难点.我们要注意在应 用柯西不等式时,对于数学式子中数或字母的顺序要对比柯西不等 式中的数或字母的顺序,以便能使其形式一致,然后应用解题. 2.如何利用“1”? 剖析:数字“1”的利用非常重要,为了利用柯西不等式,除了拼凑应 该有的结构形式外,对数字、系数的处理往往起到某些用字母所代 表的数或式子所不能起的作用.这要求在理论上认识柯西不等式与 实际应用时二者达到一种默契,即不因为“形式”与“面貌”的影响而 不会用柯西不等式.
一般形式的柯西不等式
柯西不等式的证明
数学归纳法证明
首先证明 n=2 的情况，然后假设 n=k 时成立，推导出 n=k+1 时也成 立。
二次型的方法证明
将柯西不等式转化为二次型的形式， 利用二次型的基本性质进行证明。
02
柯西不等式的应用
在数学中的应用
证明不等式
柯西不等式是证明各种数学不等式的重要工 具，如均值不等式、几何均值-算术均值不 等式等。
广义形式的柯西不等式
总结词
广义形式的柯西不等式是在更广泛的函数空间中推广的柯西不等式，它适用于连 续函数和可积函数。
详细描述
广义形式的柯西不等式表述为，对于任意的非负可积函数$f(x)$和$g(x)$，有$int f(x) g(x) dx leq left( int f(x)^2 dx right)^{1/2} left( int g(x)^2 dx right)^{1/2}$。
用范围。
柯西不等式与其他数学知识的结合
柯西不等式与线性代数
柯西不等式在向量内积和矩阵运算中有 重要应用，研究其与线性代数的结合有 助于更深入理解线性代数的基本概念。
VS
柯西不等式与微积分
柯西不等式在微积分中也有广泛应用，如 函数极值、积分等，研究其与微积分的结 合有助于更深入理解微积分的基本思想。
一般形式的柯西不等式
目录
• 柯西不等式的定义 • 柯西不等式的应用 • 柯西不等式的推广 • 柯西不等式的局限 • 柯西不等式的进一步研究
01
柯西不等式的定义任意 的正实数序列 a1, a2, ..., an 和 b1, b2, ..., bn，有 (∑(ai^2)) * (∑(bi^2)) ≥ (∑(ai * bi))^2。
04
一般形式的柯西不等式
2 2 2
即 2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2， 由条件可得，5－a2≥(3－a)2 2b 3c 6d 解得 1≤a≤2，当且仅当 ＝ ＝ 时等号成立，代入 b 1/2 1/3 1/6 1 1 2 1 ＝1，c＝3，d＝6时，amax＝2，b＝1，c＝3，d＝3时，amin＝1
名师大讲堂·2013 高考复习《数学》（理科）
( x1 x3 ) ( y1 y3 ) ( x2 x3 ) ( y 2 y3 )
2 2 2 2
( x1 x2 ) ( y1 y 2 )
2
2
名师大讲堂·2013 高考总复习《数学》（理科）
三维三角不等式和一般形式的三角不等式：
x12 y12 z12
1.函数 y 2 1 x 2 x 1的最大值为 ______ 3 0 此时 x ________
2.设实数x, y满足3x 2 2 y 2 6, 则P 2 x y的最大
11 值是 ______
25 1 2 1 2 2 3.若a, b R , 且a b 1, 则(a ) (b ) 的最小值是 ______ a b
式，此题有多种解法，比如用三角代换法求解，但过程较繁．
名师大讲堂·2013 高考总复习《数学》（理科）
3．函数 y＝3sinx＋4 1＋cos2x的最大值为____________．
名师大讲堂·2013 高考总复习《数学》（理科）
答案： 41 解析：y＝3sinx＋4 1＋cos2x＝3sinx＋4 2cos2x ≤ sin2x＋cos2x[32＋4 22]＝ 41 sinx 3 3 2 当且仅当 ＝± 即 tanx＝± 时，函数有最大值 41 cosx 8 4 2
即 2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2， 由条件可得，5－a2≥(3－a)2 2b 3c 6d 解得 1≤a≤2，当且仅当 ＝ ＝ 时等号成立，代入 b 1/2 1/3 1/6 1 1 2 1 ＝1，c＝3，d＝6时，amax＝2，b＝1，c＝3，d＝3时，amin＝1
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( x1 x3 ) ( y1 y3 ) ( x2 x3 ) ( y 2 y3 )
2 2 2 2
( x1 x2 ) ( y1 y 2 )
2
2
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三维三角不等式和一般形式的三角不等式：
x12 y12 z12
1.函数 y 2 1 x 2 x 1的最大值为 ______ 3 0 此时 x ________
2.设实数x, y满足3x 2 2 y 2 6, 则P 2 x y的最大
11 值是 ______
25 1 2 1 2 2 3.若a, b R , 且a b 1, 则(a ) (b ) 的最小值是 ______ a b
式，此题有多种解法，比如用三角代换法求解，但过程较繁．
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3．函数 y＝3sinx＋4 1＋cos2x的最大值为____________．
名师大讲堂·2013 高考总复习《数学》（理科）
答案： 41 解析：y＝3sinx＋4 1＋cos2x＝3sinx＋4 2cos2x ≤ sin2x＋cos2x[32＋4 22]＝ 41 sinx 3 3 2 当且仅当 ＝± 即 tanx＝± 时，函数有最大值 41 cosx 8 4 2
6. 一般形式的柯西不等式
即：14(x2 y2 z2 ) 1
x2 y2 z2 1 14
∴
x2
y2
z2
的最小值是
1 14
例4：设a、b、c为正数且各不相等.
求证： 2 2 2 9 ab bc ca abc
证明： 2(a b c)( 1 1 1 ) ab bc ca
[(a b) (b c) (c a)]( 1 1 1 ) ab bc ca
当且仅当 ai 0 (i=1,2,…,n) 或 存在一个 数
t使得 bi tai (i=1,2,…,n) 时等号成立。
以上不等式称为一般形式的柯西不等式。
推论：（三维形式的柯西不等式）
设 a1, a2 , a3, b1, b2 , b3 是两组实数，则有：
(a12 a22 a32 ) (b12 b22 b32 ) (a1b1 a2b2 a3b3 )2
当向量（a1, a2 , a3）与向量（b1, b2 , b3）共线
时，“=” 号成立。
例1 已知 a1, a2 , a3 ,..., an 都是实数，
求证：1
n
(a1
a2
...
an )2
a12
a22Байду номын сангаас
...
an2 .
证明：由一般形式的柯西不等式，得：
n个 1
（a12 a22 an2 ) (12 12 12 ) （a1 a2 an )2
即：（a1 a2 an )2 n(a12 a22 an2 )
1 n
(a1
a2
an )2 (a12 a22
an2 )
例2 已知a,b,c,d是不全相等的正数，证明：
a2 b2 c2 d 2 ab bc cd da
一般形式的柯西不等式 课件
类型 1 利用柯西不等式求最值(自主研析)
[典例 1] (1)求函数 f(x)＝ x－6＋ 12－x的最大值 及此时 x 的值；
(2)设 2x＋3y＋5z＝29，求函数 u＝ 2x＋1＋ 3y＋4 ＋ 5z＋6的最大值．
解：(1)由柯西不等式得( x－6＋ 12－x)2≤(12＋ 12)[( x－6)2＋( 12－x)2]＝2(x－6＋12－x)＝12，
(1)求 a＋b＋c 的值； (2)求 1a2＋1b2＋c2 的最小值．
49 解：(1)因为 f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)| ＋c＝|a＋b|＋c，当且仅当－a≤x≤b 时，等号成立．
又 a＞0，b＞0，所以|a＋b|＝a＋b，所以 f(x)的最小 值为 a＋b＋c，
归纳升华 1．我们在使用柯西不等式解决问题时，往往不能直 接应用，需要先对式子的形式进行变化，拼凑出与柯西不 等式相似的结构，继而达到使用柯西不等式的目的，在应 用柯西不等式求最值时，不但要注意等号成立的条件，而 且要善于构造，技巧如下：
(1)巧拆常数；(2)重新安排某些项的次序；(3)改变结 构；(4)添项．
(2)由柯西不等式知：
左边＝ ab2＋ bc2＋ ac2·
ba2＋
bc2＋
ac2≥
ab·
ba＋
b c·
bc＋
c a·
ac2＝
(1＋1＋1)2＝9.
所以原不等式成立．
归纳升华 利用柯西不等式证明某些不等式时，有时需将表达式 适当地变形，因此必须善于分析题目的特征，根据题设条 件，利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结 合等方法，才能发现问题的突破口．
3．定理 3(二维形式的三角不等式)
设 x1，y1，x2，y2∈R，那么 x12＋y21＋ x22＋y22≥ （x1－x2）2＋（y1－y2）2.
一般形式的柯西不等式及排序不等式
巩固练习一、
[ 例 1] 1 1 设 x1，x2，„，xn 都是正数，求证： ＋ ＋„ x1 x2
1 n2 ＋x ≥ . n x1＋x2＋„＋xn
已知 a，b，c，d 为不全相等的正数，求证： 1 1 1 1 1 1 1 1 ＋ ＋ ＋ ＞ ＋ ＋ ＋ . a2 b2 c2 d2 ab bc cd da
[例 2]
π aA＋bB＋cC 在△ABC 中，试证： ≤ 3 a＋b＋c
[证明]
1 1 ∵a≥b>0，于是a≤b，
1 1 又 c>0，从而 ≥ ， bc ca 1 1 1 1 1 同理ca≥ab，从而bc≥ca≥ab. 又由于顺序和不小于乱序和，故可得 a5 b5 c5 b5 c5 a5 ＋ ＋ ≥ ＋ ＋ b3c3 c3a3 a3b3 b3c3 c3a3 a3b3 b2 c2 a2 1 1 1 ＝ 3＋ 3＋ 3(∵a2≥b2≥c2， 3≥ 3≥ 3) c a b c b a c2 a2 b2 1 1 1 ≥ 3＋ 3＋ 3＝ ＋ ＋ c a b c a b 1 1 1 ＝ ＋ ＋ . a b c 所以原不等式成立．
和 S4=a1b2+a2b3+a3b1=195
备注 乱序和
S5=a1b3+a2b1+a3b2=185 S6=a1b3+a2b2+a3b1=180 (最小值)
乱序和
反序和
答案:220 180
知识总结点拨
1.对排序不等式的证明的理解 对排序不等式的证明中,用到了“探究——猜想——检验—— 证明”的思维方法,这是探索新知识、新问题常用到的基本方 法,对于数组涉及的“排序”及“乘积”的问题,又使用了 “一一搭配”这样的描述,这实质上也是使用最接近生活常识
一般形式的柯西不等式
2 2 2 2 2 2
∴( a b ) ≥ (2ab)
2 2
2
2
2
2
∴ a b ≥ 2ab ≥ 2ab,
∴ a b ≥ 2ab
等号成立时当且仅当a b
2
2
( 2 )证 明 : ∵ ( a b )( 1 1 ) ≥ ( a b ) ,
2 2 2 2 2
∴ 2(a b ) (a b)
2 2
∴a b c d
ab bc cd da
例 2：已知 a , b , c , d 是不全相等的实数， 2 2 2 2 证明： a b c d ≥ a b b c c d d a .
证明 ( a b c d )( b c d (ab bc cd da )
2 2 2 2 2 2 2
解疑：
令 ( x1 , x 2 , x 3 ), ( y 1 , y 2 , y 3 ) ,
由于空间向量中 ≥ 也成立 .所以
( x1 x 2 x 3 )
2 2 2
2
2
2
( y 1 y 2 y 3 ) ≥ x1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 ,
定理 4： （一般形式的柯西不等式） ： 设 n 为大于 1 的自然数， x i , y i R ( i 1, 2 , 3,
( x1 x 2
2 2
, n ) ,则：
xn yn )
2
x n )( y 1 y 2
2
2
2
y n ) ( x1 y 1 x 2 y 2
2 2 2
2
2
2
2
∴( a b ) ≥ (2ab)
2 2
2
2
2
2
∴ a b ≥ 2ab ≥ 2ab,
∴ a b ≥ 2ab
等号成立时当且仅当a b
2
2
( 2 )证 明 : ∵ ( a b )( 1 1 ) ≥ ( a b ) ,
2 2 2 2 2
∴ 2(a b ) (a b)
2 2
∴a b c d
ab bc cd da
例 2：已知 a , b , c , d 是不全相等的实数， 2 2 2 2 证明： a b c d ≥ a b b c c d d a .
证明 ( a b c d )( b c d (ab bc cd da )
2 2 2 2 2 2 2
解疑：
令 ( x1 , x 2 , x 3 ), ( y 1 , y 2 , y 3 ) ,
由于空间向量中 ≥ 也成立 .所以
( x1 x 2 x 3 )
2 2 2
2
2
2
( y 1 y 2 y 3 ) ≥ x1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 ,
定理 4： （一般形式的柯西不等式） ： 设 n 为大于 1 的自然数， x i , y i R ( i 1, 2 , 3,
( x1 x 2
2 2
, n ) ,则：
xn yn )
2
x n )( y 1 y 2
2
2
2
y n ) ( x1 y 1 x 2 y 2
2 2 2
2
2
2
2
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预习数学归纳法证明不等式（了解数学归纳法 的原理，能用数学归纳法证明一些简单的与正 整数有关的数学命题）
知识探究 1．你能否将二维形式的柯西不等式和三角不等式推广到 三维、四维？ 2 2 2 2 2 2 三维形式的三角不等式 x1 y1 z1 x 2 y 2 z 2 2．一般形式的柯西不等式是什么？等号成立的条件是什 么？一般形式的三角不等式是什么？ 2 2 2 ( x1 x 2 ) ( y1 y 2 ) ( z1 z 2 ) 3.试根据柯西不等式证明不等式 1 。 2 2 2 2 一般形式的三角不等式
求证 : x1
2
1 x1
x2
2
1 x2
xn
2
1 xn
1 n 1
例1.已知a，b，c，d是不全相等的实数，证明： a2 + b2 + c2 + d2 > ab + bc + cd + da。
例 2 . 已知 x 2 y 3 z 1, 求 x y z 的最小值
4.设a,b,c,d,m,n均为正实数,且 M
ma nc b m d n
ab
cd , N
, 则M与N之间大小关系为( A )
A.M≤N
Байду номын сангаас
B.M<N
C.M≥N
D.无法确定
归纳延伸
利用柯西不等式常常要根据所求(证)的式子的 结构入手，构造适当的两个数组，使其能符合 柯西不等式. 作业： P41 2，3，5
2
即 ( x 2 t 3 z) 18 . 3 2 S 3 2 .
2
则 S 的最大值为
3 2.
例4.设x，y，z为正实数，且x+y+z=1，
求
1 x
4 y
9 z
的最小值。
达标检测 1．已知a+b+c+d=1，求a2+b2+c2+d2的最小值。 2．已知a，b，c为正实数，且a+2b+3c=9，求 3a 2b c 的最大值。 3．已知a，b，c为正实数，且a2+2b2+3c2=6，求 a+b+c的最小值。
一般形式的柯西不等式
学习目标： 1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几 何意义； 2进一步掌握柯西不等式的使用技巧。
复习回顾
1. 二维形式的柯西不等式、三角不等式分别是什 么？ 2 2 2.已知 4 x 9 y 3 6 ,求 x 2 y 的最大值. 3.求函数 y x 1 2 x 的最大值?
2 2 2
例3.设实数x,y,z满足x2+2y2+3z2=3,求
S=x+2y+3z的最大值.
x 解: 构造两组数： , 2 y , 利用柯西不等式，得
2 2 2
3 z和 1,
2,
3,
[ x ( 2 y ) ( 3 z) ] [1 ( 2 ) ( 3 ) ]
2 2 2
( x 2 y 3 z) .
n ( a1 a 2 a n ) a1 a 2 a n
x1 x 2 x n
2 2 2 2 2
y1 y 2 y n
2
, ,x R , (x x 2 x n 1 4. 设 x1 x 2 ( x n y1 ) 2 且 x1 y 22 ) ( x n yn ) 2 1 2