第52炼 证明等差等比数列
第52炼 等差等比数列的证明
在数列的解答题中，有时第一问会要求证明某个数列是等差等比数列，既考察了学生证明数列的能力，同时也为后面的问题做好铺垫。 一、基础知识：
1、如何判断一个数列是等差（或等比）数列 （1）定义法（递推公式）：1n n a a d +-=（等差），
1n n
a q a +=（等比）
（2）通项公式：n a k n m =+（等差），()0n
n a k q q =?≠（等比）
（3）前n 项和：2
n S A n B n =+（等差），n
n S k
q k =-
（等比）
（4）等差（等比）中项：数列从第二项开始，每一项均为前后两项的等差（等比）中项 2、如何证明一个数列是等差等比数列： （1）通常利用定义法，寻找到公差（公比）
（2）也可利用等差等比中项来进行证明，即n N *
?∈，均有：
122n n n a a a ++=+ （等差） 2
12n n n a a a ++=? （等比）
二、典型例题：
例1：已知数列{}n a 的首项1133,,521
n n n a a a n N a *
+=
=
∈+．
求证：数列11n a ??
-?
???
为等比数列 思路一：构造法，按照所给的形式对已知递推公式进行构造，观察发现所证的数列存在1n
a 这
样的倒数，所以考虑递推公式两边同取倒数：11
312121
3n n n n n n
a a a a a a +++=
?
=
+
即
1
1213
3n n
a a +=
+
，在考虑构造“1-”：
1
12
1
11111333
n n
n a a a +??-=
+-=
- ???
即数列11n a ??-?
???
是公比为1
3的等比数列
思路二：代入法：将所证数列视为一个整体，用n b 表示：11n n
b a =
-，则只需证明{}n b 是
等比数列即可，那么需要关于n b 的条件（首项，递推公式），所以用n b 将n a 表示出来，并代换到n a 的递推公式中，进而可从n b 的递推公式出发，进行证明 解：令11n n
b a =
-，则11
n n a b =
+
∴
递推公式变为：
113
113111
1
3
21
1
n n n n n b b b b b +++=?
=
+++?
++
1113333
n n n n b b b b ++?+=+?=
{}n b ∴是公比为13
的等比数列。即数列11n a ??
-?
???
为等比数列 小炼有话说：
（1）构造法：在构造的过程中，要寻找所证数列形式的亮点，并以此为突破对递推公式进行变形，如例1中就是抓住所证数列有一个“倒数”的特点，进而对递推公式作取倒数的变换。所以构造法的关键之处在于能够观察到所证数列显著的特点并加以利用
（2）代换法：此方法显得模式化，只需经历“换元→表示→代入→化简”即可，说两点：一是代换11n n
b a =
-体现了两个数列{}{},n n a b 的一种对应关系，且这种对应是同序数项的
对应（第n 项对应第n 项）；二是经过代换，得到{}n b 的递推公式，而所证n b 是等比数列，那么意味着其递推公式经过化简应当形式非常简单，所以尽管代入之后等式复杂，但坚定地化简下去，通常能够得到一个简单的答案。个人认为，代入法是一个比较“无脑”的方法，只需循规蹈矩按步骤去做即可。
例2：数列{n a }的前n 项和为n S ，2
131(*)22
n n S a n n n N +=-
-
+∈（*）
．设n n b a n =+，证明：数列{}n b 是等比数列，并求出{}n a 的通项公式
思路：本题所给等式,n n S a 混合在一起，可考虑将其转变为只含n a 或只含n S 的等式，题目中n n b a n =+倾向于项的关系，故考虑消掉n S ，再进行求解
解：2
1312
2
n n S a n n +=-
-
+ ①
()()()2
11131112,2
2
n n S a n n n n N --+=---
-+≥∈ ②
∴
①- ②可得：112121n n n n a a n a a n ---=--?=--
()()()1112112
n n n n a n a n a n a n --∴+=+-?+=
+-???? 即112n n b b -=
{}n b ∴是公比为12
的等比数列 111b a =+ 令1n = 代入（*）可得：
1113
1122S a +=-
-
+=- 112a ∴=- 11
2
b ∴=
1
11122n n n b b -??
??∴=?= ?
????? 12n
n n a b n n ??
∴=-=- ???
小炼有话说：（1）遇到,n n S a 混合在一起的等式，通常转化为纯n a （项的递推公式）或者纯n S （前n 项和的递推公式），变形的方法如下：
① 消去n S ：向下再写一个关于1n S -的式子（如例2），然后两式相减（注意n 取值范围变化） ② 消去n a ：只需1n n n a S S -=-代换即可（2,n n N ≥∈）
（2）,n n S a 混合在一起的等式可求出1a ，令1n =即可（因为11S a =）
（3）这里体现出n n b a n =+的价值：等差等比数列的通项公式是最好求的：只需一项和公差（公比），构造出等差等比数列也就意味这其通项可求，而通过n n b a n =+也可将n a 的通项公式求出。这里要体会两点：一是回顾依递推求通项时，为什么要构造等差等比数列，在这里给予了一个解释；二是体会解答题中这一问的价值：一个复杂的递推公式，直接求其通项公式是一件困难的事，而在第一问中，恰好是搭了一座桥梁，告诉你如何去进行构造辅助数列，进而求解原数列的通项公式。所以遇到此类问题不要只停留在证明，而可以顺藤摸瓜将通项一并求出来
例3：已知数列{}n a 满足：1116,690,n n n a a a a n N *
--=-+=∈且2n ≥，求证：1
3n a ?
??
?
-??
为等差数列 解：设13
n n b a =
-，则13n n
a b =
+代入11690n n n a a a ---+=可得：
11111336390n n n b b b --??????
++-?++= ? ? ???????
111
133691890n n
n n n b b b b b ---?+++-
-+=
11
1330n n
n n
b b b b --?-+
=113
n n b b -?-=
{}n b ∴为等差数列，即13n a ????-??
为等差数列
例4：已知曲线:1C xy =，过C 上一点(),n n n A x y 作一斜率为12
n n k x =-
+的直线交曲线C
于另一点()111,n n n A x y +++（1n n x x +≠且0n x ≠，点列{}n A 的横坐标构成数列{}n x ，其中
1117
x =
.
（1）求n x 与1n x +的关系式； （2）令112
3
n n b x =
+-，求证：数列{}n b 是等比数列；
解：（1）曲线1:C y x
=
()1:2
n n
n l y y x
x x -=-
-+
()1
1
111
12
1n n n n n n n n
n
y x y y x x x y x ++++?=???∴-=-
-?+??=??
12n n n x x x +∴=+
（2）111212
3
3
n n n n b x x b =
+?=
+--
，代入到递推公式中可得：
1111
2222111
333n n n b b b +???? ? ?+?+=++ ? ? ? ?---
????
1111111221
1111133422=4111333333
3
3
n n n n n n n n n n b b b b b b b b b b +++++++?
????
????=+?++-+-- ? ? ? ?
?????
???-
--()()1111121144443
9
3
3
9
n n n n n n n n n b b b b b b b b b +++++?+
++=-
+-
++
()()111243
3
n n n n n b b b b b +++?
+=-
+
12n n b b +?=- {}n b ∴是公比为2-的等比数列
小炼有话说：本题（2）用构造法比较复杂，不易构造出n b 的形式，所以考虑用代入法直接求解
例5：已知数列{}n a 满足()()1146410
,21
n
n n a n a a a n N n *
++++==
∈+，判断数列221n a n +??
?
?
+??
是否为等比数列？若不是，请说明理由；若是，试求出n a 解：设()221221
n n n n a b a n b n +=
?=+-+
代入到()146410
21
n
n n a n a n ++++=
+可得：
()()()146212410
23221
n n n
n b n n
b n +++-++????+-=
+
()()()()123214222321812410n n n n b n n n b n n +?++--=++--++
()()()()1
232122321n n n n b n n b +?
++=++
12n n b b +?=
而11223
3
a a
b ++=
=
∴
① 2a =-时，10b =，{}n b 不是等比数列
② 2a ≠-时，{}n b 是等比数列，即221n a n +??
?
?+??
为等比数列 1
1222
21
3
n n a a n -++∴
=
?+ ()()
1
2212
23
n n a n a -++∴=
?-
例6：（2015山东日照3月考）已知数列{}n a 中，11
1
,1,3
3,n n n
a n n a a a n n +?+?==??-?为奇数
为偶数 ，求证：数列232n a ?
?
-
???
?
是等比数列 思路：所证数列为232n a ??
-
???
?
，可发现要寻找的是{}n a 偶数项的联系，所以将已知分段递推关系转变为2n a 与()21n a -之间的关系，再进行构造证明即可
证明：由1
1
,3
3,n n n
a n n a a n n +?+?=??-?为奇数
为偶数可得： ()2211213
n n a a n -=
+- ()2122322n n a a n --=-?-
()2221322213n n a a n n -∴=--+-???? 22222112221133
n n n a a n n a --∴=
-++-=+
22222311132
3
2
32n n n a a a --??
∴-
=
-
=
- ???
∴
数列232n a ?
?-
???
?是公比为1
3
的等比数列 例7：（2015湖北襄阳四中阶段性测试）已知数列{}n a 满足11a =，且对任意非负整数
(),m n m n >均有： ()22112
m n m n m n a a m n a a +-++--=
+
（1）求02,a a
（2）求证：数列{}1m m a a +-是等差数列，并求出n a 的通项公式 解：（1）令m n =可得：
202011m m a a a a +-=?=
再令0n =可得：
()201212
m m a m a a +-=
+
2423m m a a m ∴=+- 21413a a ∴=-= 021,3a a ∴==
（2）思路：考虑证明数列{}1m m a a +-是等差数列，则要寻找1m m a a +-，1m m a a --的关系，即所涉及项为11,,m m m a a a +-，结合已知等式令1n =，利用（1）中的2423m m a a m =+-，将2m a 代换为m a 即可证明，进而求出通项公式 证明：在()22112
m n m n m n a a m n a a +-++--=
+中令1n =得：
()1122122
m m m a a m a a +-++-=
+
11222224m m m a a m a a +-∴++-=+
由（1）得22423,3m m a a m a =+-=代入可得：
11222442m m m a a m a m +-∴++-=+
()()111
1222m m m m m
m m a a a a a a a +-+-∴+-=?---=
∴
数列{}1m m a a +-是公差为2的等差数列
()()121212m m a a a a m m +∴-=-+-= ()121m m a a m -∴-=-
()-1222m m a a m --=-
212a a -=
()()121211m a a m m m ∴-=++
+-=-????
()11m a m m ∴=-+
例8：（2010 安徽，20）设数列12,,,,
n a a a 中的每一项都不为0，求证：{}n a 是等差数
列的充分必要条件是：对n N *
?∈都有
12
23
1
11
111n n n n a a a a a a a a +++
+
+
=
思路：证明充要条件要将两个条件分别作为条件与结论进行证明，首先证明必要性，即已知等差数列证明恒等式。观察所证等式可联想到求和中的裂项相消。所以考虑
1
1111111111n n n
n n n n n a a a a a a d a a ++++????
=-?=- ? ?-????，然后恒等式左边进行求和即可证明。
再证明充分性，即已知恒等式证明等差数列：恒等式左侧为求和形式，所以考虑向前写一个式子两式相减，进而左边消去大量的项，可得：
12
12
11
11n n n n n n a a a a a a +++++=
-
，通过化简可得：
211n n n n a a a a +++-=-，从而利用等差中项完成等差数列的证明
证明：先证必要性：{}n a 是等差数列 ∴当0d =时
121n n a a a a -==
==
∴
左边2
2
2
1
1
1
11n a a a =
++
=
右边2
1
n a =
当0d ≠时，考虑
11111111111n n n
n n n n n a a a a a a d a a ++++????
=-?=- ? ?-????
∴
左边11
122311111
11111111111n n
n n n a a d a a a a a a d a a d a a ++++????
??????-=
-+-++-=-=???
? ? ?
??????????? 11
11
1n n n d n d
a a a a ++=
?=
=右边
∴
所证恒等式成立
再证必要性：
12231
11
111n n n n a a a a a a a a +++
+
+
=
①
12
23
1
12
12
11111n n n n n n a a a a a a a a a a +++++∴++++=
②
①-②可得：
12
12
11
11n n n n n n a a a a a a +++++=
-
两边同时乘以112n n a a a ++得：
()1121n n a n a n a ++=+- ③
同理：()111n n a n a n a +=-- ④
③-④可得：()121222n n n n n n n a n a a a a a ++++=+?=+
{}n a ∴为等差数列
小炼有话说：（1）本题证明等差数列所用的是等差中项的方法，此类方法多在数列中存在三项关系时使用
（2）在充分性的证明中连续用到了构造新式并相减的方法，这也是变形递推公式的方法之一，当原递推公式难以变形时，可考虑使用这种方法构造出新的递推公式，尤其递推公式的一侧是求和形式时，这种方法可以消去大量的项，达到化简递推公式的目的。
例9：若数列{}n a 的各项均为正数，2
12,n n n n N a a a t *++?∈=+（t 为常数），且3242a a a =+
（1）求
13
2
a a a +的值
（2）求证：数列{}n a 为等差数列
解：（1）令1n =，则有2
213a a a t =+ ①
令2n =，则有2
324a a a t =+ ②
①-②可得：
()()2
2
2
2
231324224313224313a a a a a a a a a a a a a a a a a a -=-?+=+?+=+ 13
24
2
3
2a a a a a a ++∴=
=
（2）思路：所给的递推公式中含有t ，而且原递推公式也很难变形，所以考虑再写一个式子两式相减，构造新的递推公式，仿照（1）进行变形。
解：212n n n a a a t ++=+ ③ 2
213n n n a a a t +++=+④
∴
③-④可得：
2
2
2
2
1221311322n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ++++++++++-=-?+=+
()()11322n n n n n n a a a a a a +++++?+=+
13
2
2
1
n n n n n n a a a a a a +++++++∴
=
从而
13
2
11
24
2
1
3
2n n n n n n n n n
a a a a a a a a a a a a +++-+++++++=
=
==
=
2
211
22n n n n n n a a a a a a +++++∴
=?+= 1+21n n n n a a a a ++∴-=-
∴
数列{}n a 为等差数列
例10：在数列{}n a 中，10a =，且对任意k N *
∈，21221,,k k k a a a -+成等差数列，其公差为k d ，
若2k d k =，求证：22122,,k k k a a a ++成等比数列
思路：由21221,,k k k a a a -+的公差为2k d k =，而2121,k k a a -+表示数列中相邻的奇数项，所以可选择它们的关系作为突破口，即21214k k a a k +--=，从而可以求出{}n a 奇数项的通项公式，再利用2121,k k a a -+可求出2k a ，进而22122,,k k k a a a ++均可用含k 的式子表示，再从定义出发即可证明其成等比数列 解：
21221,,k k k a a a -+
成等差数列且2k d k =
21214k k a a k +-∴-=
()212341k k a a k --∴-=-
314a a -=
[]()21141221k a a k k k +∴-=++
+=+
()()211121k a k k a k k +∴=++=+ ()2121k a k k -∴=- 21221,,k k k a a a -+成等差数列
()2
22121122
k k k a a a k +-∴=
+= ()2
2221k a k +=+
()2
22
212221222221
41k k k k k k
k a a a a a k
k a a +++++∴=?=+?
=
22122,,k k k a a a ++∴成等比数列
等差等比数列的证明例举
等差等比数列的证明 在数列的解答题中，有时第一问会要求证明某个数列是等差等比数列，既考察了学生证明数列的能力，同时也为后面的问题做好铺垫。 一、基础知识： 1、如何判断一个数列是等差（或等比）数列 （1）定义法（递推公式）：1n n a a d +-=（等差）， 1 n n a q a +=（等比） （2）通项公式：n a kn m =+（等差），()0n n a k q q =?≠（等比） （3）前n 项和：2n S An Bn =+（等差），n n S k q k =-（等比） （4）等差（等比）中项：数列从第二项开始，每一项均为前后两项的等差（等比）中项 2、如何证明一个数列是等差等比数列： （1）通常利用定义法，寻找到公差（公比） （2）也可利用等差等比中项来进行证明，即n N * ?∈，均有： 122n n n a a a ++=+（等差） 2 12n n n a a a ++=?（等比） 二、典型例题： 例1：已知数列{}n a 的首项1133,,521 n n n a a a n N a *+= =∈+． 求证：数列11n a ?? -? ??? 为等比数列 思路一：构造法，按照所给的形式对已知递推公式进行构造，观察发现所证的数列存在 1 n a 这样的倒数，所以考虑递推公式两边同取倒数：113121 213n n n n n n a a a a a a +++= ?=+ 即 1121 33n n a a +=+ ，在考虑构造“1-”：112111111333n n n a a a +?? -=+-=- ??? 即数列11n a ??-? ??? 是公比为1 3的等比数列
证明或判断等差(等比)数列的常用方法
证明或判断等差（等比）数列的常用方法 湖北省 王卫华 玉芳 翻看近几年的高考题，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何处理这些题目呢且听笔者一一道来． 一、利用等差（等比）数列的定义 在数列 {} n a 中，若 1n n a a d --=（d 为常数）或 1 n n a q a -=（q 为常数），则数列{}n a 为等差（等比）数列．这是证明数列{}n a 为等差（等比）数更最主要的方法．如： 例1．（2005北京卷）设数列{}n a 的首项114a a =≠，且11 214 n n n a n a a n +???=??+??为偶数为奇数 ， 记211 1234 n n b a n -=-=，，，，…． （Ⅰ）求23a a ，；（Ⅱ）判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论． 解：（Ⅰ）213211111 44228a a a a a a =+=+==+，； （Ⅱ）43113428a a a =+=+，所以54113 2416 a a a ==+， 所以1123351111111144424444b a a b a a b a a ????=- =-=-=-=-=- ? ????? ，，， 猜想：{}n b 是公比为 1 2 的等比数列． 证明如下：因为121221111111()424242 n n n n n b a a a b n *++-??=-=-=-=∈ ???N ， 所以{}n b 是首项为14a - ，公比为1 2 的等比数列． 评析：此题并不知道数列{}n b 的通项，先写出几项然后猜测出结论，再用定义证明，这是常规做法。
等差、等比数列证明(补差1)
1. 等差、等比数列证明 例 1：已知数列前n 项和n s n n 22 +=，求通项公式n a ，并说明这个数列是否为等差数列。 解：1=n 时，32111=+==s a ； 2≥n 时，()()[]121222 1-+--+=-=-n n n n s s a n n n 12+=n 因为1=n 时，31121=+?=a 所以12+=n a n 因为2≥n 时，21=--n n a a 为常数，所以{}n a 为等差数列。 例2： 设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且()*11,24,1N n a S a n n ∈+==+。 （1）设n n n a a b 21-=+，求证：数列{}n b 是等比数列； （2）设n n n a c 2=，求证：数列{}n c 是等差数列； 证明：（1）2≥n 时 11144-++-=-=n n n n n a a S S a ， ()11222-+-=-∴n n n n a a a a ， 12-=∴n n b b 又3232112121=+=-=-=a a S a a b {}n b ∴是首项为3，公比为2的等比数列。 （2）,232,23111 -+-?=-∴?=n n n n n a a b (),432321 22122111111 1=??=-=-=-∴-++++++n n n n n n n n n n n a a a a c c 又21 21 1==a c ， {}n c ∴是首项为21，公差为43 的等差数列。
例3：设数列{}n a 的前n 项的和() +∈++=N n n n S n ,422， ⑴写出这个数列的前三项321,,a a a ； ⑵证明：数列{}n a 除去首项后所成的数列 432,,a a a 是等差数列。 解：⑴由n s 与n a 的关系 ???≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n 得到 74121211=+?+==S a 5742222122=-+?+=-=S S a ()75743232233=+-+?+=-=S S a ⑵当2≥n 时， ()()()[] 12412142221+=+-+--++=-=-n n n n n S S a n n n ∴()[](),2121121=+-++=-+n n a a n n 对于任意2≥n 都成立，从而数列 432,,a a a 是等差数列。 注：由于212-=-a a ，故21=-+n n a a 不对任意N n ∈成立，因此，数列{}n a 不是等差数列。 例4：设数列{}n a 的首项11=a ，前n 项和n s 满足关系()t s t ts n n 33231=+--，求证{}n a 为等比数列。 证明如下：3≥n 时： ()t s t ts n n 33231=+-- ()t s t ts n n 332321=+--- 两式相减得：()()()0323211=-+-----n n n n s s t s s t 即：()03231=+--n n a t ta 所以：t t a a n n 3321+=- （这只能说明从第二项开始，后一项与前一项的比为定值，所以需要对第二项与第一项的比另外加以证明，以达到定义的完整性。） 又因为2=n 时： ()t s t ts 332312=+-
等差等比数列练习题(含答案)
一、选择题 1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列 （ ） （A ）为常数数列 （B ）为非零的常数数列 （C ）存在且唯一 （D ）不存在 2.、在等差数列 {}n a 中，41=a ,且1a ,5a ,13a 成等比数列，则{}n a 的通项公式为 （ ） （A ）13+=n a n （B ）3+=n a n （C ）13+=n a n 或4=n a （D ）3+=n a n 或4=n a 3、已知c b a ,,成等比数列，且y x ,分别为a 与b 、b 与c 的等差中项，则 y c x a +的值为 （ ） （A ） 2 1 （B ）2- （C ）2 （D ） 不确定 4、互不相等的三个正数c b a ,,成等差数列，x 是a ,b 的等比中项， y 是b ,c 的等比中项，那么2x ，2b ，2y 三个数（ ） （A ）成等差数列不成等比数列 （B ）成等比数列不成等差数列 （C ）既成等差数列又成等比数列 （D ）既不成等差数列，又不成等比数列 5、已知数列 {}n a 的前n 项和为n S ,n n S n 24212+=+,则此数列的通项公式为 （ ） （A ）22-=n a n （B ）28-=n a n （C ）12-=n n a （D ）n n a n -=2 6、已知))((4)(2z y y x x z --=-，则 （ ） （A ）z y x ,,成等差数列 （B ）z y x ,,成等比数列 （C ） z y x 1,1,1成等差数列 （D ）z y x 1 ,1,1成等比数列 7、数列 {}n a 的前n 项和1-=n n a S ，则关于数列{}n a 的下列说法中，正确的个数有 （ ） ①一定是等比数列，但不可能是等差数列 ②一定是等差数列，但不可能是等比数列 ③可能是等比数列，也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列，又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列，又是等比数列 （A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1 8、数列1 ?,16 1 7,815,413,21,前n 项和为 （ ） （A ）1212+-n n （B ）212112+-+n n （C ）1212+--n n n （D ）212 112 +--+n n n 9、若两个等差数列 {}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足 5 524-+= n n B A n n ，则 13 5135b b a a ++的值为 （ ） （A ） 9 7 （B ） 7 8 （C ） 2019 （D ）8 7 10、已知数列 {}n a 的前n 项和为252+-=n n S n ,则数列{}n a 的前10项和为 （ ） （A ）56 （B ）58 （C ）62 （D ）60 11、已知数列 {}n a 的通项公式5+=n a n 为, 从{}n a 中依次取出第3，9，27，…3n , …项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列 的前n 项和为 （ ）
证明数列是等差或等比数列的方法
一、证明或判断数列为等差数列的方法 1.定义法 在数列{}n a 中，若d a a n n =--1（d 为常数），则数列{}n a 为等差数列 例：已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，3 21=a ，且满足2 11322++=+n n n a S S （*N n ∈） 证明：数列{}n a 是等差数列 证明：由2 11322++=+n n n a S S 得2 1132)(2++=++n n n n a S a S 整理得12 1234++-=n n n a a S 则n n n a a S 23421-=- 两式相减得n n n n n a a a a a 2233412 2 1+--=++ n n n n a a a a 2233122 1+=-++ 因为{}n a 是正项数列，所以01>++n n a a 所以()231=-+n n a a ，即3 21=-+n n a a 所以{}n a 是首项为32，公差为3 2 的等差数列 2.等差中项法 212{}n n n n a a a a +++=?是等差数列 例：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11=a ，62=a ，113=a ，且 1(58)(52)123n n n S n S An B n +--+=+=，，，，，其中A 、B 为常数 （1）求A 与B 的值 （2）证明数列{}n a 是等差数列 解：（1）因为11=a ，62=a ，113=a ，所以1231718S S S ===，， 把1=n ，2=n 分别代入()()B An S n S n n n +=+--+25851 得B A +=?-?-1773 B A +=?-?2712182 解得：20-=A ，8-=B （2）由（1）知()()82025851--=+--+n S n S n n n 整理得()82028511--=---++n S S S S n n n n n
等差数列与等比数列的证明方法
等差数列与等比数列的证明方法 证明或判断等差（等比）数列的方法常有四种：定义法、等差或等比中项法、数学归纳法、反证法。 一、 定义法 01.证明数列是等差数列的充要条件的方法： {}1()n n n a a d a +-=?常数是等差数列 {}2222()n n n a a d a +-=?常数是等差数列 {}3333()n n n a a d a +-=?常数是等差数列 02.证明数列是等差数列的充分条件的方法： {}1(2)n n n a a a d n --=≥?是等差数列 {}11(2)n n n n n a n a a a a +--=-≥?是等差数列 03.证明数列是等比数列的充要条件的方法： {}1 (00)n n n a q q a a +=≠≠?1且为常数，a 为等比数列 04.证明数列是等比数列的充要条件的方法： 1 n n a q a -=（n>2，q 为常数且≠0）{}n a ?为等比数列 注意事项：用定义法时常采用的两个式子1n n a a d --=和1n n a a d +-=有差别，前者必须加上“2n ≥”，否则1n =时0a 无意义，等比中一样有：2n ≥时，有 1 n n a q a -== （常数0≠）；②
n *∈N 时，有 1 n n a q a +== （常数0≠） ． 例1. 设数列12,,,,n a a a 中的每一项都不为0。 证明：{}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ，都有 1223111 111n n n n a a a a a a a a +++++= 。 证明：先证必要性 设{}n a 为等差数列，公差为d ，则 当d =0时，显然命题成立 当d ≠0时， ∵ 111111n n n n a a d a a ++?? =- ??? 再证充分性： ∵ 122334 111 a a a a a a ++???1111n n n n a a a a ++++= ?? ………① ∴ 122334 111 a a a a a a ++???11212111n n n n n n a a a a a a ++++++++= ??? ………② ②﹣①得： 121211 11n n n n n n a a a a a a +++++=- ??? 两边同以11n n a a a +得：112(1)n n a n a na ++=+- ………③ 同理：11(1)n n a na n a +=-- ………④ ③—④得：122()n n n na n a a ++=+ 即：211n n n n a a a a +++-=- {}n a 为等差数列 例2. 设数列}{n a 的前n 项和为n S ，试证}{n a 为等差数列的充要条件是
等差、等比数列证明的几种情况
等差、等比数列证明的几种情况 在高中数学教材中，对等差，等比数列作了如下的定义：一个数列从第二项起，每一项与前一项的差等于一个常数d ，则这个数列叫等差数列，常数d 称为等差数列的公差。一个数列从第二项起，每一项与前一项的比等于一个常数q ，则这个数列叫等比数列，常数q 称为等比数列的公比。在涉及到用定义来说明一个数列为等差数列或等比数列时，很多时候往往容易忽略定义的完整性，现举一些例子来加以说明。 1、简单的证明 例 ：已知数列前n 项和n s n n 22+=，求通项公式n a ，并说明这个数列是否为等差数列。 解：1=n 时，32111=+==s a ； 2≥n 时，()()[]1212221-+--+=-=-n n n n s s a n n n 12+=n 因为1=n 时，31121=+?=a 所以12+=n a n 因为2≥n 时，21=--n n a a 为常数，所以{}n a 为等差数列。 2、数列的通项经过适当的变形后的证明 例： 设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且()*11,24,1N n a S a n n ∈+==+。 （1）设n n n a a b 21-=+，求证：数列{}n b 是等比数列； （2）设n n n a c 2= ，求证：数列{}n c 是等差数列；
证明：（1）2≥n 时 11144-++-=-=n n n n n a a S S a ， ()11222-+-=-∴n n n n a a a a ， 12-=∴n n b b 又3232112121=+=-=-=a a S a a b {}n b ∴是首项为3，公比为2的等比数列。 （2）,232,23111-+-?=-∴?=n n n n n a a b (),432321221221 1 11111=??=-=-= -∴-++++++n n n n n n n n n n n a a a a c c 又2 1 211== a c ， {}n c ∴是首项为21，公差为4 3 的等差数列。 3、证明一个数列的部分是等差（等比）数列 例3：设数列{}n a 的前n 项的和()+∈++=N n n n S n ,422， ⑴写出这个数列的前三项321,,a a a ； ⑵证明：数列{}n a 除去首项后所成的数列 432,,a a a 是等差数列。 解：⑴由n s 与n a 的关系 ???≥-==-)2() 1(11n S S n S a n n n 得到 74121211=+?+==S a 5742222122=-+?+=-=S S a ()75743232233=+-+?+=-=S S a ⑵当2≥n 时， ( )()()[] 124121422 21+=+-+--++=-=-n n n n n S S a n n n
第52炼 证明等差等比数列
第52炼 等差等比数列的证明 在数列的解答题中，有时第一问会要求证明某个数列是等差等比数列，既考察了学生证明数列的能力，同时也为后面的问题做好铺垫。 一、基础知识： 1、如何判断一个数列是等差（或等比）数列 （1）定义法（递推公式）：1n n a a d +-=（等差）， 1n n a q a +=（等比） （2）通项公式：n a k n m =+（等差），()0n n a k q q =?≠（等比） （3）前n 项和：2 n S A n B n =+（等差），n n S k q k =- （等比） （4）等差（等比）中项：数列从第二项开始，每一项均为前后两项的等差（等比）中项 2、如何证明一个数列是等差等比数列： （1）通常利用定义法，寻找到公差（公比） （2）也可利用等差等比中项来进行证明，即n N * ?∈，均有： 122n n n a a a ++=+ （等差） 2 12n n n a a a ++=? （等比） 二、典型例题： 例1：已知数列{}n a 的首项1133,,521 n n n a a a n N a * += = ∈+． 求证：数列11n a ?? -? ??? 为等比数列 思路一：构造法，按照所给的形式对已知递推公式进行构造，观察发现所证的数列存在1n a 这 样的倒数，所以考虑递推公式两边同取倒数：11 312121 3n n n n n n a a a a a a +++= ? = + 即 1 1213 3n n a a += + ，在考虑构造“1-”： 1 12 1 11111333 n n n a a a +??-= +-= - ??? 即数列11n a ??-? ??? 是公比为1 3的等比数列
(完整版)等差等比数列知识点总结
等差等比数列知识点总结 1. 等差数列： 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数d ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数d叫做等差数列的公差，即 a n a n 1 d （d为常数）（n 2）； 2. 等差中项： 1）如果a ， A ，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中 项．即： 或2A a b 3. 等差数列的通项公式： 一般地，如果等差数列 a n 的首项是a1 ，公差是 d ，可以得到等差数列的通 项公式为： a n a1 n 1d 推广：a n a m(n m)d ．a n a m 从而 d ； nm 4．等差数列的前n 项和公式： n（a1 a n）n（n 1） d 2 1 2 S n na1 d n （a1 d）n An Bn 2 2 2 2 （其中A、B是常数，所以当d≠ 0时，S n是关于n的二次式且常数项为0）5．等差数列的判定方法 （1）定义法：若a n a n 1 d或a n 1 a n d（常数n N ）a n 是等差数列．（2）等差中项：数列a n是等差数列 2a n a n-1 a n 1(n 2)2a n 1a n a n 2 ． （3）数列a n 是等差数 列a n kn b （其中k,b 是常数）。 （4）数列a n 是等差数 列S n An2Bn, （其中A、B是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若a n a n 1 d 或 a n1a n d （常数n N ）a n 是等差数列． ab 2 2）等差中项数列a n是等数列2a n a n-1 a n 1(n 2) 2a n 1 a n a n 2
等差数列与等比数列的证明
3.2.3 证明数列是等差、等比数列 证明一个数列是等差数列或者等比数列是高考的常考题型，是近几年出现的 高频考点。证明一个数列是等差数列的方法有（1）定义法： 1()n n a a d n N ++-=∈，其中d 为常数；则数列}{n a 是等差数列（2）等差中项法：112(2)n n n a a a n -+=+≥，则数列}{n a 是等差数列；（3）通项公式法：若一个数列的通项公式为n a qn p =+，其中,p q 则数列}{n a 是等差数列。 证明一个数列是等比数列的方法：（1）定义法：1(0)n n a q q a +=≠其中q 为常数，则数列}{n a 为等比数列（2）定比中项法：211n n n a a a +-=(2)n ≥，则数列}{n a 为等比数列。 例1、数列{}n a 满足12211,2,22n n n a a a a a ++===-+. （1）设1n n n b a a +=-，证明{}n b 是等差数列； （2）求{}n a 的通项公式. 解：2122n n n a a a ++=-+Q ，2112n n n n a a a a +++∴-=-+，即112,2n n n n b b b b ++=+∴-= 1211b a a =-=，1(1)221n b n n ∴=+-?=- （2）1213221,1,3n n n a a b n a a a a +-==-∴-=-=Q 1...23n n a a n --=- 21(1)n a a n ∴-=-，222n a n n ∴=-+ 例2、已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，111,0,1,n n n n a a a a S λ+=≠=-其中λ为常数 （1）证明：2n n a a λ+-=；（2）是否存在λ，使得}{n a 为等差并说明理由 解：1121(1)1,(2)1n n n n n n a a S a a S λλ++++=-=-Q ，(2)(1)∴-得：121()n n n n a a a a λ+++-=
等差数列与等比数列的证明方法
等差数列与等比数列的证明方法 高考题中，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何 处理这些题目呢？ 证明或判断等差（等比）数列的方法常有四种：定义法、等差或等比中项法、 数学归纳法、反证法。 一、定义法 10.证明数列是等差数列的充要条件的方法： a n 1 a n d （常数）a n 是等差数列 a 2n 2 a 2n d （常数） a 2n 是等差数列 a sn 3 a 3n d （常数） a 3n 是等差数列 20 .证明数列是等差数列的充分条件的方法： a n a n [ d （n 2） 為是等差数列 a n 1 a n a n a n 1（n 2） 寺是等差数列 30.证明数列是等比数列的充要条件的方法： q （q 0且为常数，a 1 0） a n 为等比数列 a n 40 .证明数列是等比数列的充要条件的方法： a n a n 1 必须加上“ n > 2”否则n 1时a o 无意义，等比中一样有: （常数0 ）；②门N 时，有也 a n 1 n 。 a n a n 1 a 1a n 1 证明：先证必要性 注意事项：用定义法时常米用的两个式子 a n a n 1 d 和a 1 a n d 有差别，前者 例1.设数列a i ,a 2, |||,an,|||中的每一项都不为 0。 证明：a n 为等差数列的充分必要条件是：对任何 n N ，都有 a n q （n>2, q 为常数且工0） a n 为等比数列 n > 2时，有旦 a n 1 a i a 2 a 2a 3
设｛a n｝为等差数列，公差为d,则
当d =0时，显然命题成立 1 1 ________ 1_ a i a n 1 d a n a n 1 再证充分性: ②-①得: 1 a n 1 S n 2 Si a n 2 a 1 a n 同理：a 1 na n (n 1)a n 1 例2.设数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，试证｛a n ｝为等差数列的充要条件是 证：）若｛a n ｝为等差数列，则 1 "fl 1 —■ 1 十 I -------- 21幻丿也aj 1 a 日引 fl + — I L 祗 ^IH-1 fl. a i a 2 a ? a 3 a 3 a 4 1 a n a n 1 n a l a n 1 a 1 a 2 a 2 a 3 1 a 3 a 4 1 a n a n 1 1 S n 1 S n 2 a 1 41 2 两边同以a n a n 131 得: (n 1)a n 1 na ③—④得：2n a n 1 n(a n a n 2) 艮卩.a n 2 a n1 a n1 a n a n 为等差数列 S n n(a1 2 ^, (n N *)。
一轮复习等差等比数列证明练习题
1．已知数列{}n a 是首项为114 a =，公比1 4q = 的等比数列，2n b +=14 3log n a (*)n N ∈，数列{}n c 满足n n n c a b =?． （1）求证：{}n b 是等差数列； 2．数列{}n a 满足2 112,66()n n n a a a a n N *+==++∈， 设 5log (3) n n c a =+． （Ⅰ）求证： {}n c 是等比数列； 3．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+*()n N ∈． （2）求证：数列{}2n S +是等比数列； 4．数列}{n a 满足)(2 2,111 1+++∈+==N n a a a a n n n n n （1）证明:数列}2{n n a 是等差数列； 5．数列{}n a 首项11a =，前n 项和n S 与n a 之间满足2 2 (2)21 n n n S a n S =≥- （1）求证：数列1n S ?? ? ??? 是等差数列 6．数列{n a }满足13a =，12 1 n n a a += +， （1）求证：1 { }2 n n a a -+成等比数列； 7．已知数列}{n a 满足134n n a a +=+，* ()n N ∈且11=a ， （Ⅰ）求证：数列{}2n a +是等比数列；
8． 数列}{n a 满足:* 11),1()1(,1N n n n a n a n a n n ∈+?+?+=?=+ （1）证明：数列}{ n a n 是等差数列； 9．已知数列{a n }的首项a 1= 2 3 ，121n n n a a a +=+，n=1，2，… （1）证明：数列11n a ?? -? ??? 是等比数列； 10．已知数列{a }n 的前n 项和为n S ，211 ,(1),1,2,2 n n a S n a n n n ==--=． （1）证明：数列1n n S n +?? ? ??? 是等差数列，并求n S ； 11．（16分）已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且n a S n n -=2 （1）证明：{}1+n a 为等比数列； 12．数列}{n a 满足：)(23,3,21221*∈-===++N n a a a a a n n n （1）记n n n a a d -=+1，求证：数列}{n d 是等比数列； 13．已知数列{}n a 的相邻两项n a ，1n a +是关于x 方程220n n x x b -+=的两根，且11a =． （1）求证：数列1{2}3 n n a -?是等比数列； 14．（本题满分12分）已知数列{}n a 中，15a =且1221n n n a a -=+-（2n ≥且*n ∈N ）． （Ⅰ）证明：数列12n n a -?? ???? 为等差数列； 15．已知数列{}n a 中,)(3 ,1*11N n a a a a n n n ∈+= =+ （1）求证:? ?? ?? ?+211n a 是等比数列,并求{}n a 的通项公式n a ; 16．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n * ∈N ．已知11a =，232a = ，35 4 a =，且当2n ≥时，211458n n n n S S S S ++-+=+． （1）求4a 的值；
证明数列是等差或等比数列的方法
、证明或判断数列为等差数列的方法 1.定义法 若a n a n 1 d ( d 为常数)，则数列a n 为等差数列 所以3 a n 1 a n 2 ，即 a n 1 a n 2 2 a n 是首项为一，公差为一的等差数列 3 3 2. 等差中项法 1，a 2 6，a s 11，所以 S , 1, S 2 7，S 3 18 把 n 1, n 2分别代入 5n 8 S n 1 5n 2 S n An B 得 3 7 7 1 A B 2 18 12 7 2A B 解得：A 20, B 8 (2)由(1)知 5n 8 S n 1 5n 2 S n 20n 8 整理得 5n S n 1 S n 8S n 1 2S n 20n 8 例：已知正项数列 a n 的前n 项和为S n ，a 1 -，且满足 2S n 3 2 1 2S n 3a n 1( n N *) 证明：数列 a n 是等差数列 证明：由2S n 1 2S n 3a n 1 得 2(S n a n 1) 2S n 3a n 整理得4S n 3a n 2a n 1 则4S n 2 1 3a n 2a n 两式相减得 4a n 3a n 3a n 2 2a n 1 2a n 3a “ 1 3a 2a n 1 2a n 因为a n 是正项数列，所以 a n a n 1 a n a n 2 2a n 1 {a n }是等差数列 例：设数列 a n 的前n 项和为S n ，已知a 1 1，a 2 a 3 11，且 (5n 8)S n 1 (5n 2)S n An B, n 1,2,3,L ，其中 A 、 B 为常数 (1)求A 与B 的值 (2)证明数列a n 是等差数列 在数列a n 中, 所以 解：(1)因为a 1
高考数学专题05 等差数列和等比数列的证明问题(第二篇)(解析版)
备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品 第二篇 数列与不等式 专题05 等差数列和等比数列的证明问题 【典例1】【2020届广东省中山市高三上学期期末】 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，121n n a a +=+. （1）证明{}1n a +为等比数列； （2）判断n ，n a ，n S 是否成等差数列？并说明理由. 【思路引导】 （1）由递推关系求得1a ，通过计算 11 21 n n a a ++=+，证得数列{}1n a +为等比数列. （2）由（1）求得数列{}n a 的通项公式，由分组求和法求得n S ，证得2n n n S a +=，所以n ，n a ，n S 成等差数列. 解：（1）证明：∵23a =，2121a a =+，∴11a =， 由题意得10n a +≠， 1122 211 n n n n a a a a +++==++， ∴{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列. （2）由（1）12n n a +=，∴21n n a =-.
∴1 1222212 n n n S n n ++-=-=---， ∴()1 22 22210n n n n n S a n n ++-=+----=， ∴2n n n S a +=，即n ，n a ，n S 成等差数列. 【典例2】【江西省名校（临川一中、南昌二中)2019届高三5月联合】 已知数列{}n a 有0n a ≠，n S 是它的前n 项和，13a =且222 13,2n n n S n a S n -=+≥． （1）求证：数列{}1n n a a ++为等差数列. （2）求{}n a 的前n 项和n S . 【思路引导】 （1）先化简已知得21()3n n S S n -+=，2 1()3(1)n n S S n ++=+，再求出1=6n 3n n a a +++，再证明数列 {}1n n a a ++为等差数列； （2）对n 分奇数和偶数两种情况讨论得解. 解：（1）当2n ≥时，222 21113()()3,0n n n n n n n n n S n a S S S S S n a a ---=+-+=≠， 所以21()3n n S S n -+=，2 1()3(1)n n S S n ++=+， 两式对应相减得13(21)n n a a n ++=+， 所以 11)63(63)6n n n n a a a a n n +-=+-++-=）-(（ 又n=2时，2 222(3+)129,6a a a =+∴= 所以39a =， 所以 2231)69(6+3)6a a a a ++=+-=（）-(， 所以数列{}1n n a a ++为等差数列. （2）当n 为偶数时， 12341()()()3(37(21))n n n S a a a a a a n -=++++++=+++-L L 2(321)3 23() 22 n n n n +-=?=+ 当n 为奇数时，
高中数学讲义 证明等差等比数列
微专题52 等差等比数列的证明 在数列的解答题中，有时第一问会要求证明某个数列是等差等比数列，既考察了学生证明数列的能力，同时也为后面的问题做好铺垫。 一、基础知识： 1、如何判断一个数列是等差（或等比）数列 （1）定义法（递推公式）：1n n a a d +-=（等差）， 1 n n a q a +=（等比） （2）通项公式：n a kn m =+（等差），()0n n a k q q =?≠（等比） （3）前n 项和：2n S An Bn =+（等差），n n S kq k =-（等比） （4）等差（等比）中项：数列从第二项开始，每一项均为前后两项的等差（等比）中项 2、如何证明一个数列是等差等比数列： （1）通常利用定义法，寻找到公差（公比） （2）也可利用等差等比中项来进行证明，即n N * ?∈，均有： 122n n n a a a ++=+ （等差） 2 12n n n a a a ++=? （等比） 二、典型例题： 例1：已知数列{}n a 的首项1133,,521 n n n a a a n N a *+= =∈+． 求证：数列11n a ?? -? ??? 为等比数列 思路一：构造法，按照所给的形式对已知递推公式进行构造，观察发现所证的数列存在 1n a 这样的倒数，所以考虑递推公式两边同取倒数：113121 213n n n n n n a a a a a a +++= ?=+ 即 112133n n a a +=+，在考虑构造“1-”：112111 111333n n n a a a +??-=+-=- ??? 即数列11n a ??-? ??? 是公比为1 3的等比数列 思路二：代入法：将所证数列视为一个整体，用n b 表示：1 1n n b a = -，则只需证明{}n b 是等比数列即可，那么需要关于n b 的条件（首项，递推公式），所以用n b 将n a 表示出来，并代换
等差、等比数列》专项练习题
" 《等差、等比数列》专项练习题 一、选择题： 1．已知等差数列{a n }中，a １＝１，d=1，则该数列前9项和S 9等于（ ） 2．已知等差数列{an}的公差为正数，且a 3·a 7=－12，a 4+a 6=－4，则S 20为（ ） A ．180 B ．－180 C ．90 D ．－90 3．已知等差数列{a n }中,a 2+a 8=8,则该数列前9项和S 9等于( ) 】 4．等比数列｛a n ｝中，a 3=7，前3项之和S 3=21， 则公比q 的值为 （ ） A ．1 B ．－ 2 1 C ．1或－1 D ．－1或2 1 5．在等比数列{a n }中，如果a 6=6，a 9=9，那么a 3等于 （ ） A ．4 B ． 2 3 C ． 9 16 D ．2 6．若两数的等差中项为6，等比中项为5，则以这两数为两根的一元二次方程为 （ ） A ．x 2－6x ＋25=0 B ．x 2 ＋12x ＋25=0 C ．x 2＋6x －25=0 D ．x 2 －12x ＋25=0 ; 7．已知等比数列{}n a 中，公比2q =，且30123302a a a a ????=，那么36930a a a a ??? ? 等于 A ．102 B ．202 C ．162 D ．152 8．等比数列的前n 项和S n =k ·3n ＋1，则k 的值为 （ ） A ．全体实数 B ．－1 C ．1 D ．3 二、填空题： 1．等差数列{}n a 的前n 项和n n S n 32 +=．则此数列的公差=d ． 2. 数列｛a n ｝，｛b n ｝满足a n b n =1, a n ＝n 2 ＋3n ＋2，则｛b n ｝的前10次之和为 3．若{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，1 1 += n n n a a b ，则数列{}n b 的前n 项和n T ( = ． 4．在等比数列{a n }中，已知a 1= 2 3 ，a 4=12，则q =_____ ____，a n =____ ____． 5．在等比数列{a n }中，a n ＞0，且a n ＋2=a n ＋a n ＋1，则该数列的公比q =___ ___． 三、解答题： 1. 设｛a n ｝为等差数列，S n 为｛a n ｝的前n 项和，S 7＝7，S 15＝75，已知T n 为数列｛S n n ｝的前n 项数，求T n ． 2．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，12,633==S a ． （１）求数列{}n a 的通项公式；（２）求． n S S S 1 1121+ ++ 3．已知数列满足a 1=1，a n ＋1=2a n ＋1(n ∈N *)(1) 求证数列{a n ＋1}是等比数列；
(完整版)等差、等比数列的判断和证明
等差、等比数列的判断和证明 一、 1、等差数列的定义：如果数列{}a n 从第二项起每一项与它的前一项的差 等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。即)2,*(1≥∈=--n N n d a a n n 且.(或)*(1N n d a a n n ∈=-+). 2、 等差数列的判断方法： ①定义法：)(1常数d a a n n =-+?{}a n 为等差数列。 ②中项法：等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且 2 a b A += 。 a a a n n n 212+++=?{}a n 为等差数列。 ③通项公式法：等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。公式变形为:b an a n +=. 其中a=d, b= a 1－d. b an a n +=（a,b 为常数）?{}a n 为等差数列。 ④前n 项和公式法：等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=，1(1) 2 n n n S na d -=+。公式变形为Sn=An 2+Bn 其中A= 2 d ，B=2 1d a - . Bn n A s n +=2（A,B 为常数）?{}a n 为等差数列。 3.等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ； 前n 项和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 （3）对称性：若{}a n 是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之和.当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a += (4) ①项数成等差,则相应的项也成等差数列.即),,...(,,*2N m k a a a m k m k k ∈++成等
证明数列是等差或等比数列的方法
证明数列是等差或等比数列的方法
一、证明或判断数列为等差数列的方法 1.定义法 在数列{}n a 中，若d a a n n =--1（d 为常数），则数列{} n a 为等差数列 例：已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，3 2 1 = a ，且 满足2 1 1322++=+n n n a S S （*N n ∈） 证明：数列{}n a 是等差数列 证明：由2 1 1322++=+n n n a S S 得2 1 132)(2++=++n n n n a S a S 整理得12 1234++-=n n n a a S 则n n n a a S 2342 1 -=- 两式相减得n n n n n a a a a a 2233412 2 1+--=++ n n n n a a a a 223312 21 +=-++ 因为{}n a 是正项数列，所以0 1>++n n a a 所以()2 31=-+n n a a ，即3 21= -+n n a a 所以{}n a 是首项为32，公差为3 2 的等差数列 2.等差中项法 212{} n n n n a a a a +++=?是等差数列 例：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1 1 =a ， 6 2 =a ， 11 3=a ，且
1 (58)(52)123n n n S n S An B n +--+=+=L ，，，，， 其中A 、B 为 常数 （1）求A 与B 的值 （2）证明数列{}n a 是等差数列 解：（1）因为1 1 =a ，6 2 =a ，11 3 =a ，所以 1231718S S S ===，， 把1=n ，2=n 分别代入()()B An S n S n n n +=+--+25851 得B A +=?-?-1773 B A +=?-?2712182 解得：20-=A ，8-=B （2）由（1）知()()8 2025851 --=+--+n S n S n n n 整理得()8 2028511 --=---++n S S S S n n n n n 即8 2028511--=--?++n S S a n n n n ① 又()()8 1202815122 -+-=--++++n S S a n n n n ② ②-① 得 ()20 285151212-=--?-+++++n n n n a a a n a n 即()()20 253512 -=+--++n n a n a n ③ 又()()20 752523 -=+-+++n n a n a n ④ ④-③得()()0 225123 =+-++++n n n a a a n 所以0 2123 =+-+++n n n a a a 所以5 231223 =-==-=-++++a a a a a a n n n n Λ，