等差、等比数列》专项练习题
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《等差、等比数列》专项练习题
一、选择题：
1．已知等差数列{an}中，a１＝１，d=1，则该数列前9项和S9等于（ ）
2．已知等差数列{an}的公差为正数，且a3·a7=－12，a4+a6=－4，则S20为（ ）
A．180 B．－180 C．90 D．－90
3．已知等差数列{an}中,a2+a8=8,则该数列前9项和S9等于( )
】
4．等比数列｛an｝中，a3=7，前3项之和S3=21， 则公比q的值为 （ ）
A．1 B．－21 C．1或－1 D．－1或21
5．在等比数列{an}中，如果a6=6，a9=9，那么a3等于 （ ）
A．4 B．23 C．916 D．2
6．若两数的等差中项为6，等比中项为5，则以这两数为两根的一元二次方程为 （ ）
A．x2－6x＋25=0 B．x2＋12x＋25=0
C．x2＋6x－25=0 D．x2－12x＋25=0
;
7．已知等比数列na中，公比2q，且30123302aaaa，那么36930aaaa 等于
A．102 B．202 C．162 D．152
8．等比数列的前n项和Sn=k·3n＋1，则k的值为 （ ）
A．全体实数 B．－1 C．1 D．3
二、填空题：
1．等差数列na的前n项和nnSn32．则此数列的公差d ．
2. 数列｛an｝，｛bn｝满足anbn=1, an＝n2＋3n＋2，则｛bn｝的前10次之和为
3．若na是首项为1，公差为2的等差数列，11nnnaab，则数列nb的前n项和nT
(
= ．
4．在等比数列{an}中，已知a1=23，a4=12，则q=_____ ____，an=____ ____．
5．在等比数列{an}中，an＞0，且an＋2=an＋an＋1，则该数列的公比q=___ ___．
三、解答题：
1. 设｛an｝为等差数列，Sn为｛an｝的前n项和，S7＝7，S15＝75，已知Tn为数列｛Snn ｝的前n项数，求Tn．
2．已知数列na是等差数列，其前n项和为nS，12,633Sa．
（１）求数列na的通项公式；（２）求．nSSS11121
3．已知数列满足a1=1，an＋1=2an＋1(n∈N*)(1) 求证数列{an＋1}是等比数列；
；
(2) 求{an}的通项公式．
4．在等比数列｛an｝中，a1＋an=66，a2·an－1=128，且前n项和Sn=126，求n及公比q．
参考答案
一、选择题：
提示： 998911452s
提示：由等差数列性质，a4+a6=a3+a7=－4与a3·a7=－12联立，即a3，a7是方程x2+4x－12=0的两根，又公差d>0，∴
a7>a3a7=2，a
3
=－6，
从而得a1=－10，d=2，S20=180．
提示：在等差数列{an}中，a2+a8=8，∴ 198aa，则该数列前9项和S9=199()2aa=36
|
CAD B B
二、填空题：1．答案：２
提示：411Sa，102322221Saa，62a，2d．
2. 512
提示：bn＝1an ＝1（n＋1）（n＋2） ＝1n＋1 －1n＋2
∴S10＝b1＋b2＋…bn＝12 －112 ＝512 ．
3．答案：69nn
.
提示：)321121(21)32)(12(1,12nnnnbnann，用裂项求和法求得
96n
n
T
n
．
， 3·2n－2．
5.251．
三、解答题：
1.解：设数列｛an｝的公差为d，则Sn＝na1＋12 n（n－1）d．
∵S7＝7，S15＝75，∴7a1＋21d＝7 15a1＋105d＝75， ∴a1＝－2d＝1
∴Snn ＝a1＋12 ·（n－1）d＝－2＋12 ·（n－1）
{
∴Sn+1n＋1 －Snn ＝12 ∴数列｛Snn ｝是等差数列，其首项为－2，公差为12 ，
∴Tn＝n·(－2)＋n（n－1）2 ·12 ＝14 n2－94 n．
2．解：（１）设数列na的公差为ｄ，由题意得方程组1222336211dada ，解得
221d
a
，∴数列na的通项公式为ndnaan2)1(1，即nan2．
（２）∵nan2，∴)1(2)(1nnaanSnn．
∴
nSSS11121
)1(1321211nn
．
【
3.(1)证明由an＋1=2an＋1得an＋1＋1=2(an＋1)又an＋1≠0 ∴111nnaa=2即{an＋1}为等比数列．
(2)解析： 由(1)知an＋1=(a1＋1)qn－1即an=(a1＋1)qn－1－1=2·2n－1－1=2n－1
4.解析：∵a1an=a2an－1=128，又a1＋an=66，
∴a1、an是方程x2－66x＋128=0的两根，解方程得x1=2，x2=64，
∴a1=2，an=64或a1=64，an=2，显然q≠1．
若a1=2，an=64，由qqaan11=126得2－64q=126－126q，
∴q=2，由an=a1qn－1得2n－1=32， ∴n=6．
若a1=64，an=2，同理可求得q=21，n=6．
综上所述，n的值为6，公比q=2或21．
等差等比数列练习题
一、等差等比数列基础知识点（一）知识归纳： 1．概念与公式：①等差数列：1°.定义：若数列}{),(}{1n n n n a d a a a 则常数满足=-+称等差数列；2°.通项公式：;)()1(1d k n a d n a a k n -+=-+= 3°.前n 项和公式：公式：.2)1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+=②等比数列：1°.定义若数列q a a a nn n =+1}{满足（常数），则}{n a 称等比数列；2°.通项公式：;11kn k n n qa qa a --==3°.前n 项和公式：),1(1)1(111≠--=--=q qq a q q a a S n n n 当q=1时.1na S n = 2．简单性质：①首尾项性质：设数列,,,,,:}{321n n a a a a a1°.若}{n a 是等差数列，则;23121 =+=+=+--n n n a a a a a a 2°.若}{n a 是等比数列，则.23121 =⋅=⋅=⋅--n n n a a a a a a ②中项及性质：1°.设a ，A ，b 成等差数列，则A 称a 、b 的等差中项，且;2ba A +=2°.设a,G,b 成等比数列，则G 称a 、b 的等比中项，且.ab G ±= ③设p 、q 、r 、s 为正整数，且,s r q p +=+ 1°. 若}{n a 是等差数列，则;s r q p a a a a +=+ 2°. 若}{n a 是等比数列，则;s r q p a a a a ⋅=⋅ ④顺次n 项和性质：1°.若}{n a 是公差为d 的等差数列，∑∑∑=+=+=nk n n k nn k kkk aa a 121312,,则组成公差为n 2d 的等差数列；2°. 若}{n a 是公差为q 的等比数列，∑∑∑=+=+=nk n n k nn k kkk aa a 121312,,则组成公差为q n 的等比数列.（注意：当q=－1，n 为偶数时这个结论不成立）⑤若}{n a 是等比数列，则顺次n 项的乘积：n n n n n n n a a a a a a a a a 3221222121,, ++++组成公比这2n q 的等比数列. ⑥若}{n a 是公差为d 的等差数列,1°.若n 为奇数，则,,:(21+==-=n n a a a a S S na S 中中中偶奇中即指中项注且而S 奇、S 偶指所有奇数项、所有偶数项的和）；2°.若n 为偶数，则.2ndS S =-奇偶二、等差等比数列练习题 一、选择题1.如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列 （ ）（A ）为常数数列 （B ）为非零的常数数列 （C ）存在且唯一 （D ）不存在 2.、在等差数列{}n a 中，41=a ,且1a ,5a ,13a 成等比数列，则{}n a 的通项公式为 （ ）（A ）13+=n a n （B ）3+=n a n （C ）13+=n a n 或4=n a （D ）3+=n a n 或4=n a 3、已知c b a ,,成等比数列，且y x ,分别为a 与b 、b 与c 的等差中项，则ycx a +的值为 （ ）（A ）21（B ）2- （C ）2 （D ） 不确定4、互不相等的三个正数c b a ,,成等差数列，x 是a,b 的等比中项，y 是b,c 的等比中项，那么2x ，2b ，2y 三个数（ ）（A ）成等差数列不成等比数列 （B ）成等比数列不成等差数列（C ）既成等差数列又成等比数列 （D ）既不成等差数列，又不成等比数列5、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,n n S n 24212+=+,则此数列的通项公式为 （ ）（A ）22-=n a n （B ）28-=n a n （C ）12-=n n a （D ）n n a n -=26、已知))((4)(2z y y x x z --=-，则（ ）（A ）z y x ,,成等差数列 （B ）z y x ,,成等比数列 （C ）z y x 1,1,1成等差数列 （D ）zy x 1,1,1成等比数列7、数列{}n a 的前n 项和1-=n n a S ，则关于数列{}n a 的下列说法中，正确的个数有 （ ）①一定是等比数列，但不可能是等差数列 ②一定是等差数列，但不可能是等比数列 ③可能是等比数列，也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列，又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列，又是等比数列（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）18、数列1⋯,1617,815,413,21,前n 项和为（ ）（A ）1212+-n n （B ）212112+-+n n （C ）1212+--n n n （D ）212112+--+n n n 9、若两个等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足5524-+=n n B A n n ，则135135b b a a ++的值为 （ ）（A ）97 （B ）78 （C ）2019 （D ）8710、已知数列{}n a 的前n 项和为252+-=n n S n ,则数列{}na 的前10项和为（ ）（A ）56 （B ）58 （C ）62 （D ）6011、已知数列{}n a 的通项公式5+=n a n 为, 从{}n a 中依次取出第3，9，27，…3n , …项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列的前n项和为（ ）（A ）2)133(+n n （B ）53+n（C ）23103-+n n （D ）231031-++n n12、下列命题中是真命题的是( )A ．数列{}n a 是等差数列的充要条件是q pn a n +=(0≠p )B ．已知一个数列{}n a 的前n 项和为a bn an S n ++=2,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列C ．数列{}n a 是等比数列的充要条件1-=n n ab aD ．如果一个数列{}n a 的前n 项和c ab S n n +=)1,0,0(≠≠≠b b a ,则此数列是等比数列的充要条件是0=+c a 二、填空题13、各项都是正数的等比数列{}n a ，公比1≠q 875,,a a a ,成等差数列，则公比q = 14、已知等差数列{}n a ，公差0≠d ,1751,,a a a 成等比数列，则18621751a a a a a a ++++=15、已知数列{}n a 满足n n a S 411+=,则n a =16、在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为 二、解答题17、已知数列{}n a 是公差d 不为零的等差数列，数列{}n b a 是公比为q 的等比数列，46,10,1321===b b b ，求公比q 及n b 。
高考数学二轮专项练习专题三等差数列、等比数列
专题强化训练1．(2019·浙江新高考冲刺卷)已知等差数列{a n }，S n 是{a n }的前n 项和，则对于任意的n ∈N *，“a n >0”是“S n >0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.对于任意的n ∈N *，“a n >0”，能推出“S n >0”，是充分条件，反之，不成立，比如：数列－3，－1，1，3，5，不满足条件，不是必要条件，故选A.2．(2018·浙江选考试卷)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＋1＝2a n ＋1，n ∈N *，则a 3＝( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0解析：选B.S n ＋1＝2a n ＋1，n ∈N *，则n ＝1时，a 1＋a 2＝2a 1＋1，可得：a 2＝a 1＋1.n ＝2时，a 1＋a 2＋a 3＝2a 2＋1，可得：a 3＝2.故选B.3．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( )A.32f B.322f C.1225fD.1227f解析：选 D.从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122，第一个单音的频率为f ，由等比数列的概念可知，这十三个单音的频率构成一个首项为f ，公比为122的等比数列，记为{a n }，则第八个单音的频率为a 8＝f (122)8－1＝1227f ，故选D.4．(2019·长春质量检测(一))等差数列{a n }中，已知|a 6|＝|a 11|，且公差d >0，则其前n 项和取最小值时n 的值为 ( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选C.由d >0可得等差数列{a n }是递增数列，又|a 6|＝|a 11|，所以－a 6＝a 11，即－a 1－5d ＝a 1＋10d ，所以a 1＝－15d 2，则a 8＝－d 2<0，a 9＝d2>0，所以前8项和为前n 项和的最小值，故选C.5．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝12，a 3a 5＝4，则下列说法正确的是( ) A ．{a n }是单调递减数列B ．{S n }是单调递减数列C ．{a 2n }是单调递减数列D ．{S 2n }是单调递减数列解析：选C.由于{a n }是等比数列，则a 3a 5＝a 24＝4，又a 2＝12，则a 4＞0，a 4＝2，q 2＝16，当q ＝－66时，{a n }和{S n }不具有单调性，选项A 和B 错误；a 2n ＝a 2q 2n －2＝12×⎝⎛⎭⎫16n －1单调递减，选项C 正确；当q ＝－66时，{S 2n }不具有单调性，选项D 错误． 6．(2019·温州市高考数学模拟)已知{a n }是等差数列，其公差为非零常数d ，前n 项和为S n ，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和为T n ，当且仅当n ＝6时，T n 有最大值，则a 1d 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－52 B ．(－3，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－3，－52 D ．(－∞，－3)∪⎝⎛⎭⎫－52，＋∞ 解析：选C.因为S n n ＝d 2n ＋(a 1－d2)，由题意知d <0，且⎩⎨⎧S 66＝a 1＋52d >0S 77＝a 1＋3d <0，得－3<a 1d <－52.7．(2019·杭州市第一次质量预测)已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n<t ，则实数t 的取值范围为( )A ．(13，＋∞)B ．[13，＋∞)C ．(23，＋∞)D ．[23，＋∞)解析：选D.依题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1a 2a 3…a n a 1a 2a 3…a n －1＝2n 22（n －1）2＝2n 2－(n －1)2＝22n －1，又a 1＝21＝22×1－1，因此a n ＝22n －1，1a n ＝122n －1，数列{1a n }是以12为首项，14为公比的等比数列，等比数列{1a n }的前n 项和等于12（1－14n ）1－14＝23(1－14n )<23，因此实数t 的取值范围是[23，＋∞)，选D.8．(2019·绍兴一中高考数学模拟)等差数列{a n }的公差d ∈(0，1)，且sin 2a 3－sin 2a 7sin （a 3＋a 7）＝－1，当n ＝10时，数列{a n }的前n 项和S n 取得最小值，则首项a 1的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫－58π，－916π B.⎣⎡⎦⎤－58π，－916π C.⎝⎛⎭⎫－54π，－98π D.⎣⎡⎦⎤－54π，－98π 解析：选D.因为{a n }为等差数列，sin 2a 3－sin 2a 7sin （a 3＋a 7）＝－1，所以1－cos 2a 32－1－cos 2a 72sin （a 3＋a 7）＝－1，所以cos 2a 7－cos 2a 32＝－sin(a 3＋a 7)，由和差化积公式可得：12×(－2)sin(a 7＋a 3)·sin(a 7－a 3)＝－sin(a 3＋a 7)， 因为sin(a 3＋a 7)≠0， 所以sin(a 7－a 3)＝1， 所以4d ＝2k π＋π2∈(0，4)，所以k ＝0， 所以4d ＝π2，d ＝π8.因为n ＝10时，数列{a n }的前n 项和S n 取得最小值，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 10≤0a 11≥0即⎩⎨⎧a 1＋9×π8≤0a 1＋10×π8≥0， 所以－5π4≤a 1≤－9π8.9．(2019·宁波诺丁汉大学附中高三期中检测)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n －1(n ∈N *)，则a 1＝________；数列{a n }的通项公式为a n ＝________．解析：因为S n ＝n 2＋2n －1， 当n ＝1时，a 1＝1＋2－1＝2， 当n ≥2时，所以a n ＝S n －S n －1＝n 2＋2n －1－[(n －1)2＋ 2(n －1)－1]＝2n ＋1，因为当n ＝1时，a 1＝2＋1＝3≠2，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝12n ＋1，n ≥2.答案：2 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝12n ＋1，n ≥210．(2019·台州市高考一模)已知数列{a n }的前m (m ≥4)项是公差为2的等差数列，从第m －1项起，a m －1，a m ，a m ＋1，…成公比为2的等比数列．若a 1＝－2，则m ＝________，{a n }的前6项和S 6＝________．解析：由a 1＝－2，公差d ＝2， 得a m －1＝－2＋2(m －2)＝2m －6，a m ＝－2＋2(m －1)＝2m －4，则a m a m －1＝2m －42m －6＝2，所以m ＝4；所以S 6＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6 ＝－2＋0＋2＋4＋8＋16＝28. 答案：4 2811．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q 的值为________．解析：设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，且S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列， 则2S n ＝S n ＋1＋S n ＋2，若q ＝1，则S n ＝na 1，等式显然不成立，若q ≠1，则有2·a 1（1－q n ）1－q ＝a 1（1－q n ＋1）1－q ＋a 1（1－q n ＋2）1－q ，故2q n ＝q n ＋1＋q n ＋2，即q 2＋q －2＝0，因此q ＝－2.答案：－212．已知数列{a n }满足a n ＋2＝a n ＋1－a n ，且a 1＝2，a 2＝3，则a 2 018的值为________． 解析：由题意得，a 3＝a 2－a 1＝1，a 4＝a 3－a 2＝－2，a 5＝a 4－a 3＝－3，a 6＝a 5－a 4＝－1，a 7＝a 6－a 5＝2，a 8＝a 7－a 6＝3，…，所以数列{a n }是周期为6的周期数列，而2 018＝6×336＋2，所以a 2 018＝a 2＝3.答案：313．设某数列的前n 项和为S n ，若S nS 2n为常数，则称该数列为“和谐数列”．若一个首项为1，公差为d (d ≠0)的等差数列{a n }为“和谐数列”，则该等差数列的公差d ＝________．解析：由S n S 2n ＝k (k 为常数)，且a 1＝1，得n ＋12n (n －1)d ＝k ⎣⎡⎦⎤2n ＋12×2n （2n －1）d ，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，整理得，(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0，因为对任意正整数n ，上式恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧d （4k －1）＝0，（2k －1）（2－d ）＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，k ＝14.所以数列{a n }的公差为2.答案：214．(2019·义乌市高三月考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 8>0，a 8＋a 9<0，则S n >0的最大n 是______；数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n a n (1≤n ≤15)中最大的项为第______项．解析：因为a 8>0，a 8＋a 9<0，所以S 15＝15（a 1＋a 15）2＝15a 8>0，S 16＝162(a 1＋a 16)＝8(a 8＋a 9)<0，所以S n >0的最大n 是15.因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 8>0，a 8＋a 9<0，所以该数列是递减数列，当n ＝8时，|a 8|最小，且|S 8|最大，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n a n (1≤n ≤15)中最大的项为第8项．答案：15 815．设数列{a n }的前n 项积为T n ，且T n ＋2a n ＝2(n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1T n 是等差数列；(2)设b n ＝(1－a n )(1－a n ＋1)，求数列{b n }的通项公式．解：(1)证明：因为T n ＋2a n ＝2，所以当n ＝1时，T 1＋2a 1＝2， 所以T 1＝23，即1T 1＝32.又当n ≥2时，T n ＝2－2×T nT n －1，得 T n ·T n －1＝2T n －1－2T n ，所以1T n －1T n －1＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1T n 是以32为首项，12为公差的等差数列． (2)由(1)知，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1T n 为等差数列，所以1T n ＝32＋12(n －1)＝n ＋22，所以a n ＝2－T n 2＝n ＋1n ＋2.所以b n ＝(1－a n )(1－a n ＋1)＝1（n ＋2）（n ＋3）.16．(2019·宁波高考模拟)已知数列{a n }中，a 1＝4，a n ＋1＝6＋a n2，n ∈N *，S n 为{a n }的前n 项和．(1)求证：n ∈N *时，a n >a n ＋1；(2)求证：n ∈N *时，2≤S n －2n <167.证明：(1)n ≥2时，作差：a n ＋1－a n ＝6＋a n2－6＋a n －12＝ 12×a n －a n －16＋a n 2＋6＋a n －12，所以a n ＋1－a n 与a n －a n －1同号， 由a 1＝4，可得a 2＝6＋42＝5，可得a 2－a 1<0， 所以n ∈N *时，a n >a n ＋1.(2)因为2a 2n ＋1＝6＋a n ，所以2(a 2n ＋1－4)＝a n－2， 即2(a n ＋1－2)(a n ＋1＋2)＝a n －2，① 所以a n ＋1－2与a n －2同号， 又因为a 1－2＝2>0，所以a n >2.所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ≥4＋2(n －1)＝2n ＋2. 所以S n －2n ≥2.由①可得：a n ＋1－2a n －2＝12（a n ＋1＋2）<18，因此a n －2≤(a 1－2)·⎝⎛⎭⎫18n －1，即a n ≤2＋2×⎝⎛⎭⎫18n －1.所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ≤2n ＋2×1－⎝⎛⎭⎫18n －11－18<2n ＋167.综上可得：n ∈N *时，2≤S n －2n <167.17．(2019·温州瑞安七中高考模拟)已知数列{a n }的各项均为正数，记A (n )＝a 1＋a 2＋…＋a n ，B (n )＝a 2＋a 3＋…＋a n ＋1，C (n )＝a 3＋a 4＋…＋a n ＋2，n ＝1，2，….(1)若a 1＝1，a 2＝5，且对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成等差数列，求数列{a n }的通项公式；(2)证明：数列{a n }是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列．解：(1)因为对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成等差数列，所以B (n )－A (n )＝C (n )－B (n )，即a n ＋1－a 1＝a n ＋2－a 2，亦即a n ＋2－a n ＋1＝a 2－a 1＝4.故数列{a n }是首项为1，公差为4的等差数列，于是a n ＝1＋(n －1)×4＝4n －3. (2)证明：(必要性)：若数列{a n }是公比为q 的等比数列，对任意n ∈N *，有a n ＋1＝a n q .由a n >0知，A (n )，B (n )，C (n )均大于0，于是B （n ）A （n ）＝a 2＋a 3＋…＋a n ＋1a 1＋a 2＋…＋a n ＝q （a 1＋a 2＋…＋a n ）a 1＋a 2＋…＋a n ＝q ，C （n ）B （n ）＝a 3＋a 4＋…＋a n ＋2a 2＋a 3＋…＋a n ＋1＝q （a 2＋a 3＋…＋a n ＋1）a 2＋a 3＋…＋a n ＋1＝q ，即B （n ）A （n ）＝C （n ）B （n ）＝q ，所以三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列； (充分性)：若对任意n ∈N *，三个数A (n )， B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列，则 B (n )＝qA (n )，C (n )＝qB (n )，于是C (n )－B (n )＝q [B (n )－A (n )]，即a n ＋2－a 2＝q (a n ＋1－a 1)，亦即a n ＋2－qa n ＋1＝a 2－qa 1. 由n ＝1时，B (1)＝qA (1)，即a 2＝qa 1，从而a n ＋2－qa n ＋1＝0. 因为a n >0，所以a n ＋2a n ＋1＝a 2a 1＝q .故数列{a n }是首项为a 1，公比为q 的等比数列．综上所述，数列{a n }是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N *，三个数A (n )， B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列．18．已知数列{a n }满足a 1＝12且a n ＋1＝a n －a 2n (n ∈N *)． (1)证明：1<a n a n ＋1≤2(n ∈N *)；(2)设数列{a 2n }的前n 项和为S n ，证明：12（n ＋2）<S n n ≤12（n ＋1）(n ∈N *)． 证明：(1)由题意得a n ＋1－a n ＝－a 2n <0，即a n ＋1<a n ，故a n ≤12.由a n ＝(1－a n －1)a n －1得a n ＝(1－a n －1)(1－a n －2)…(1－a 1)a 1>0. 由0<a n ≤12得a n a n ＋1＝a n a n －a 2n ＝11－a n ∈(1，2]， 所以1<a n a n ＋1≤2.(2)由题意得a 2n ＝a n －a n ＋1，所以S n ＝a 1－a n ＋1.① 由1a n ＋1－1a n ＝a n a n ＋1和1<a n a n ＋1≤2得1<1a n ＋1－1a n ≤2， 所以n <1a n ＋1－1a 1≤2n ，因此12（n ＋1）≤a n ＋1<1n ＋2(n ∈N *)．②由①②得12（n ＋2）<S n n ≤12（n ＋1）(n ∈N *)．。
数列等差等比数列问题综合强化训练专题练习(三)含答案人教版高中数学真题技巧总结提升
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
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得分 一、选择题
1．在等差数列{}n a 中，若4612a a +=，n S 是数列的{}n a 的前n 项和，则9S 的值为（ ）
A ．48
B ．54
C ．60
D ．66(汇编重庆理)
2．设{}n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为,,X Y Z ，则下列等式中恒成立的是
A 、2X Z Y +=
B 、()()Y Y X Z Z X -=-
C 、2Y XZ =
D 、()()Y Y X X Z X -=-
【分析】取等比数列1,2,4,令1n =得1,3,7X Y Z ===代入验算，只有选项D 满足。
【方法技巧】对于含有较多字母的客观题，可以取满足条件的数字代替字母，代入验证，若能排除3个选项，剩下唯一正确的就一定正确；若不能完全排除，可以取其他数字验证继续排除.本题也可以首项、公比即项数n 表示代入验证得结论.
3．设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为（ ）
（A ） 15 (B) 16 (C) 49 （D ）64（汇。
等差数列与等比数列的类比练习题(带答案)(可编辑修改word版)
(b 1b n)nn + 1 ，则有2n3等差数列与等比数列的类比一、选择题（本大题共 1 小题，共 5.0 分）{a } S S =n (a 1 + a n ) 1. 记等差数列 n 的前 n 项和为 n ，利用倒序求和的方法得 n 2 ；类似地，记等比数列{b n }的前 n 项积为T n ，且b n> 0(n ∈ N *)，类比等差数列求和的方法，可将T n 表示成关于首项b 1，末项b n 与项数 n 的关系式 为 ( )1. Anb 1b nA. B. 2 C. nb 1b nnb 1b nD. 2 二、填空题（本大题共 9 小题，共 45.0 分）2. 在公差为 d 的等差数列{a n }中有：a n = a m + (n - m )d (m 、n ∈ N + )，类比到公比为 q 的等比数列{b n }中有： ．2.b n = b m ⋅ q n - m (m ，n ∈ N * ){a} b = a 1 + 2a 2 + 3a 3 + … + n a n{b }3. 数列 n 是正项等差数列，若 n 1 + 2 + 3 + … + n ，则数列 n 也 为等差数列，类比上述结论，写出正项等比数列{c n }，若d n = 则数列{d n }也为等比数列．1(c c 2c 3…c n )1 + 2 + 3 + … + n 3. 1 2 3 n4. 等差数列{a n }中，有a 1 + a 2 + … + a 2n + 1 = (2n + 1)a n + 1，类比以上性质，在等比数列{b n }中，有等式 成立．4.b 1b 2…b 2n + 1 = b 2n + 1T5. 若等比数列{a n }的前 n 项之积为T n T 3n = ( T n ) ；类比可得到以下正确结论：若等差数列的前 n 项之和为S n ，则有 ．5. S 3n = 3(S 2n - S n ){a}a 11 + a 12 + … + a 20 = a 1 + a 2 + …a 306. 已知在等差数列 n 中， 10 30 ，则在等比数列{b n }中，类似的结论为10b 11 ⋅ b 12 ⋅ … ⋅ b 20 = 30b 1 ⋅ b 2 ⋅ b 3 ⋅ … ⋅ b 30q S nn7. 在等比数列{a n}中，若a9 = 1，则有a1⋅a2…a n = a1⋅a2…a17- n(n < 17，且n∈N* )成立，类比上述性质，在等差数列{b n}中，若b7 = 0，则有．b1 + b2 + … + b n= b1 + b2 + … + b13- n(n < 13，且n∈ N* )8.设S n是公差为d 的等差数列{a n}的前n 项和，则数列S6 - S3，S9 - S6，S12 - S9是等差数列，且其公差为9d.通过类比推理，可以得到结论：设T n是公比为2 的等比数列{b n}的前n 项积，则数列T6T9T12T3，T6，T9 是等比数列，且其公比的值是．5129.若等差数列{a n}的公差为d，前nS n{ }项的和为，则数列为等差数列，d. {b}公差为2 类似地，若各项均为正数的等比数列n的公比为q，前n 项的积为T n，则数列{nT n}为等比数列，公比为．10. 设等差数列{a n}的前n 项和为S n m，n(m < n)，使得S m= S n，则S m + n= 0.类比上述结论，设正项等比数列{b n}的前n 项积为T n，若存在正整数m，n(m < n)，使得T m= T n，则T m + n=．10. 1答案和解析【解析】{a} S= n(a1 + a n)1. 解：在等差数列n的前n 项和为n 2 ，因为等差数列中的求和类比等比数列中的乘积，所以各项均为正的等比数列{bn}的前n 项积T n= (b1b n)n，故选：A由等差和等比数列的通项和求和公式及类比推理思想可得结果，在运用类比推理时，通常等差数列中的求和类比等比数列中的乘积．本题考查类比推理、等差和等比数列的类比，搞清等差和等比数列的联系和区别是解决本题的关键．n + 1n + 12. 解：在等差数列{a n }中，我们有a n = a m + (n ‒ m )d ，类比等差数列，等比数列中也是如此，b n = b m ⋅ q n ‒ m(m ，n ∈ N ∗ )．故答案为b n = b m ⋅ q n ‒ m(m ，n ∈ N ∗ )．因为等差数列{a n }中，a n = a m + (n ‒ m )d (m ，n ∈ N + )，即等差数列中任意给出第 m项a m ，它的通项可以由该项与公差来表示，推测等比数列中也是如此，给出第 m 项 b m 和公比，求出首项，再把首项代入等比数列的通项公式中，即可得到结论．本题考查了类比推理，类比推理就是根据两个不同的对象在某些方面的相似之处，从而推出这两个对象在其他方面的也具有的相似之处，是基础题．3. 解： ∵ 根据等差数列构造的新的等差数列是由原来的等差数列的和下标一致的数字 倍的和，除以下标的和，∴ 根据新的等比数列构造新的等比数列， c c 2c 3…c n乘积变化为乘方 1 2 3 n ，1(c c 2c 3…c n ) 1 + 2 + 3 + … + n原来的除法变为开方 1 2 3 n1(c c 2c 3…c n ) 1 + 2 + 3 + … + n故答案为： 1 2 3 n根据等差数列构造的新的等差数列是由原来的等差数列的和下标一致的数字倍的和， 除以下标的和，等比数列要类比出一个结论，只有乘积变化为乘方，除法变为开方， 写出结论．本题考查类比推理，两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象的也具有这类特征，是一个有特殊到特殊的推理．4. 解：把等差数列的通项相加改成等比数列的通项相乘，把结论的相乘的系数改成等比数列的指数，∴ 在等比数列{b n }中有结论b 1b 2…b 2n + 1 = b 2n + 1(n ∈ N + ).故答案为：b 1b 2…b 2n + 1 = b 2n + 1(n ∈ N + ). 利用“类比推理”，把等差数列的通项相加改成等比数列的通项相乘，把结论的相乘的系数改成等比数列的指数，即可得出．本题考查了等比数列的通项公式、类比推理等基础知识与基本技能方法，属于中档题．5. 解：在等差数列中S 3n= S n + (S 2n ‒ S n ) + (S 3n ‒ S 2n ) = (a 1 + a 2 + … + a n ) ++ (S 2n ‒ S n ) + (a 2n + 1 + a 2n + … + a 3n )因为a 1 + a 3n = a 2 + a 3n ‒ 1 = … = a n + a 2n + 1 = a n + 1 + a 2n 所以S n + (S 3n ‒ S 2n ) = 2(S 2n ‒ S n )，所以S 3n = 3(S 2n ‒ S n ). 故答案为：S 3n = 3(S 2n ‒ S n ).本小题主要考查类比推理，由等差和等比数列的通项和求和公式及类比推理思想可得结果．本题考查类比推理、等差和等比数列的类比，搞清等差和等比数列的联系和区别是解决本题的关键．6. 解：等差数列与等比数列的对应关系有：等差数列中的加法对应等比数列中的乘法，等差数列中除法对应等比数列中的开方，故此我们可以类比得到结论：10b 11 ⋅ b 12 ⋅ … ⋅ b 20 = 30b 1 ⋅ b 2 ⋅ b 3 ⋅ … ⋅ b 30． 故答案为：10b 11 ⋅ b 12 ⋅ … ⋅ b 20 = 30b 1 ⋅ b 2 ⋅ b 3 ⋅ … ⋅ b 30．在等差数列中，等差数列的性质m + n = p + q ，则a m + a n = a p + a q ，那么对应的在等比数列中对应的性质是若m + n = p + q ，则b m b n = b p b q ．本题考查类比推理，掌握类比推理的规则及类比对象的特征是解本题的关键，本题中由等差结论类比等比结论，其运算关系由加类比乘，解题的难点是找出两个对象特征的对应，作出合乎情理的类比．7. 解：在等比数列中，若a 9 = 1，则a 18 ‒ n ⋅⋅⋅ a 9 ⋅⋅⋅ a n = 1即a 1 ⋅ a 2…a n = a 1 ⋅ a 2…a 17 ‒ n (n < 17，且n ∈ N ∗)成立，利用的是等比性质，若 m + n = 18，则a 18 ‒ n ⋅ a n = a 9 ⋅ a 9 = 1，∴ 在等差数列{b n }中，若b 7 = 0，利用等差数列的性质可知，若m + n = 14，b 14 ‒ n + b n = b 7 + b 7 = 0，∴ b 1 + b 2 + … + b n = b 1 + b 2 + … + b 13 ‒ n (n < 13，且n ∈ N ∗ )故答案为：b 1 + b 2 + … + b n = b 1 + b 2 + … + b 13 ‒ n (n < 13，且n ∈ N ∗).据等差数列与等比数列通项的性质，结合类比的规则，和类比积，加类比乘，由类比规律得出结论即可．本题的考点是类比推理，考查类比推理，解题的关键是掌握好类比推理的定义及等差等比数列之间的共性，由此得出类比的结论即可．T 6 T 9 T 12 T 3，T ， T 929 = 5128. 解：由题意，类比可得数列6是等比数列，且其公比的值是 ，故答案为 512．由等差数列的性质可类比等比数列的性质，因此可根据等比数列的定义求出公比即可．本题主要考查等比数列的性质、类比推理，属于基础题目．{a } SS n= a + (n ‒ 1) ⋅ d 9. 解：因为在等差数列 n 中前 n 项的和为 n 的通项，且写成了n1 2． 所以在等比数列{b n }中应研究前 n 项的积为T n 的开 n 方的形式．类比可得nT n = b 1( q )n ‒ 1.其公比为 故答案为 q ．S nS nd{ n } n= a 1 + (n ‒ 1) ⋅ 2仔细分析数列 为等差数列，且通项为 的特点，类比可写出对应数 列{nT n }为等比数列的公比．本小题主要考查等差数列、等比数列以及类比推理的思想等基础知识.在运用类比推理时，通常等差数列中的求和类比等比数列中的乘积．10. 解：在由等差数列的运算性质类比推理到等比数列的运算性质时：加减运算类比推理为乘除运算，累加类比为累乘，故由“已知数列{a n }为等差数列，它的前 n 项和为S n ，若存在正整数m ，n (m ≠ n )，使得S m = S n ，则S m + n = 0”．类比推理可得：“已知正项数列{b n }为等比数列，它的前n .项积为T n ，若存在正整数 m ，n .(m ≠ n )，使得T m = T n ，则T m + n = 1．故答案为 1．在类比推理中，等差数列到等比数列的类比推理方法一般为：加减运算类比推理为乘除运算，累加类比为累乘，由“已知数列{a n }为等差数列，它的前 n 项和为S n ，若存q在正整数m ，n (m ≠ n )，使得S m = S n ，则S m + n = 0”.类比推理可得：“已知正项数列 {b n }为等比数列，它的前n .项积为T n ，若存在正整数m ，n .(m ≠ n )，使得T m = T n ，则 T m + n = 1．类比推理的一般步骤是：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．。
等差数列等比数列基础练习题
一．选择题1.2005是数列7,13,19,25,31,,中的第（ ）项.A. 332 B. 333 C. 334 D. 3352.在等差数列{}n a 中，若===371,313a d a 则，（ ）（A ）12 （B ）15 （C ）17 （D ）163.在等差数列中，若a 2＝4,d ＝3则9S =（ ）（A ）117 （B ）10 （C ）99 （D ）904.等差数列3,7,11,,---的一个通项公式为（ ）A. 47n -B. 47n --C. 41n +D. 41n -+5.已知等差数列的公差为d ，它的前n 项和S n ＝n 2，那么（ ）．（A ）a n ＝2n －1，d ＝－2 （B ）a n ＝2n －1，d ＝2（C ）a n ＝－2n ＋1，d ＝－2 （D ）a n ＝－2n ＋1，d ＝26.在等差数列}{n a 中，已知1254=+a a ，那么它的前8项和=8S （ ） A 12 B 24 C 36 D 487.在等比数列{}n a 中，5,6144117=+=⋅a a a a ，则=1020a a （ ）A.32B.23C. 32或23D. －32或－238.等比数列{}n a 中，已知121264a a a =，则46a a 的值为（ ）A ．16B ．24C ．48D ．1289.实数12345,,,,a a a a a 依次成等比数列，其中a 1=2，a 5=8，则a 3的值为（）A. －4B.4C. ±4D. 510.设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ，若 63S S =3 ，则 69S S =A ． 2 B. 73 C. 83 D. 3111.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若242S S =，则公比为（ ）A.1B.1或－1C.21或21- D.2或－212.已知等比数列{a n }的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为A ．15B ．17C ．19D ．2113.已知{}n a 为等差数列，且7a －24a ＝－1, 3a ＝0,则公差d ＝（）A.－2B.－12C.12D.2 14.在等比数列{n a }中，44a =，则26a a ⋅等于（ ）A. 4B. 8C. 16D. 3215.在等比数列{n a }中，333S a =，则其公比q 的值为（ ）A. 12-B. 12C. 1或12- D.1-或12 16.已知为等差数列，，则等于（）A. -1B. 1C. 3D.717.如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么（ ）A.b=3，ac=9B.b=-3，ac=9C.b=3，ac=-9D.b=-3，ac=-918.设{}n a 是等比为正数的等比数列，若a 1=1，a 5=16，则数列{}n a 的前7项的和为（ ）A.63B.64C.127D.12819.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4， 则公差d 等于A ．1B 53C.- 2 D 3 20.设等比数列{}n a 的公比q=2,前n 项和为n S ,则24a S 等于（ ）A.2B.4C.215D.217 21.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知3432S a =-，2332S a =-，则公比q =A.3B.4C.5D.622.已知各项均为正数的等比数列{}n a ，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =( )A. 52B. 7C. 6D. 4223.在等比数列{}n a 中，5,6144117=+=⋅a a a a ，则=1020a a （ ） A.32 B.23 C. 32或23 D. －32或－23 24.等比数列{}n a 中，已知121264a a a =，则46a a 的值为（ ）A ．16B ．24C ．48D ．12825.实数12345,,,,a a a a a 依次成等比数列，其中a 1=2，a 5=8，则a 3的值为（ ）A. －4B.4C. ±4D. 526.设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ，若 63S S =3 ，则 69S S = A ． 2 B. 73C. 83D. 3 27.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若242S S =，则公比为（ ）A.1B.1或－1C.21或21- D.2或－2 28.已知等比数列{a n }的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为A ．15B ．17C ．19D ．21。
等差等比数列练习题及答案
等差 、 等比数列练习 一、选择题 1、等差数列na中，10120S，那么110aa（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 2、已知等差数列na，219nan，那么这个数列的前n项和ns（ ） A.有最小值且是整数 B. 有最小值且是分数 C. 有最大值且是整数 D. 有最大值且是分数
3、已知等差数列na的公差12d，8010042aaa，那么100S A．80 B．120 C．135 D．160． 4、已知等差数列na中，6012952aaaa，那么13S A．390 B．195 C．180 D．120 5、从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和，其差为（ ） A. 0 B. 90 C. 180 D. 360
6、等差数列na的前m项的和为30，前2m项的和为100，则它的前3m项的和为( ) A. 130 B. 170 C. 210 D. 260 7、在等差数列na中，62a，68a，若数列na的前n项和为nS，则（ ）
A.54SS B.54SS C. 56SS D. 56SS 8、一个等差数列前3项和为34，后3项和为146，所有项和为390，则这个数列的项数为（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10
9、已知某数列前n项之和3n为，且前n个偶数项的和为)34(2nn，则前n个奇数项的和为（ ）
A．)1(32nn B．)34(2nn C．23n D．321n 10若一个凸多边形的内角度数成等差数列，最小角为100°，最大角为140°，这个凸多边形的边比为（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 二．填空题
1、等差数列na中，若638aaa，则9s .
2、等差数列na中，若232nSnn，则公差d . 3、在小于100的正整数中，被3除余2的数的和是 4、已知等差数列{}na的公差是正整数，且a4,126473aaa，则前10项的和S10=
数学下册综合算式专项练习题等差数列与等比数列计算练习
数学下册综合算式专项练习题等差数列与等比数列计算练习数学下册综合算式专项练习题：等差数列与等比数列计算练习一、等差数列计算练习1. 求等差数列-3, 1, 5, 9, 13, ...的第10项和前10项和。
解答：首先确定等差数列的公差d为4，可以利用等差数列通项公式an = a1 + (n-1)d来求解。
其中，a1为首项，n为项数。
计算第10项：a10 = -3 + (10-1)4= -3 + 9 * 4= -3 + 36= 33计算前10项和：S10 = (a1 + a10) * n/2= (-3 + 33) * 10/2= 30 * 5= 150所以，该等差数列的第10项为33，前10项的和为150。
2. 若两个数2x-y和x+2y在等差数列25, 20, 15, ...中，求x和y的值。
解答：根据题目条件，可以将2x-y和x+2y表示为等差数列的通项公式。
设等差数列的首项为a1，公差为d，第n项为an。
则有2x - y = a1 + (n-1)d (1)x + 2y = a1 + nd (2)由(1)式和(2)式可以联立求解：2x - y = a1 + (n-1)dx + 2y = a1 + nd得到：2x - y - (x + 2y) = a1 + (n-1)d - (a1 + nd)x - 3y = -2nd + d (3)根据题目条件，等差数列的公差d为-5，代入(3)式可得：x - 3y = -2n(-5) + (-5)x - 3y = 10n - 5 (4)根据题目条件，等差数列的首项a1为25，代入(4)式可得：25 - 3y = 10n - 5整理得：10n - 3y = 30 (5)因为x和y的值未知，无法得出具体结果。
但通过方程(5)，可以得到x和y的关系。
所以，根据题目条件，不能求出x和y的具体值，但它们满足方程10n - 3y = 30。
二、等比数列计算练习1. 求等比数列2, 6, 18, 54, 162, ...的第8项和前8项和。
等差数列和等比数列习题及答案
等差数列和等比数列习题1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 11＝22，则a 3＋a 7＋a 8＝( )A ．18B ．12C ．9D ．62．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( )A ．31B ．32C ．63D ．643．若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( )A ．6B ．7C ．8D ．94．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝( ) A ．1＋ 2B ．1－2C ．3＋2 2D ．3－225．正项等比数列{a n }满足：a 3＝a 2＋2a 1，若存在a m ，a n ，使得a m ·a n ＝16a 21，m ，n ∈N *，则1m ＋9n的最小值为( ) A ．2B ．16C ．114D ．326．已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝23，d ＝________. 7．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，设S n 为数列{a n }的前n 项和，对于任意的n >1，n ∈N ，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)都成立，则S 10＝___________8．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3，S 9，S 6成等差数列，且a 2＋a 5＝4，则a 8的值为_______.9．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －p (n ∈N *)，其中p 是不为零的常数．(1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)当p ＝3时，若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，b 1＝2，求数列{b n }的通项公式．10．(文)(2017·蚌埠质检)已知数列{a n }是等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 3＝3，S 3＝9.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 23a 2n ＋3，且{b n }为递增数列，若c n ＝4b n ·b n ＋1，求证：c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n <1.【参考答案】1． D[解析] 本题主要考查等差数列的通项公式及前n 项和公式．由题意得S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(2a 1＋10d )2＝22，即a 1＋5d ＝2，所以a 3＋a 7＋a 8＝a 1＋2d ＋a 1＋6d ＋a 1＋7d ＝3(a 1＋5d )＝6，故选D ．2． C[解析] 解法一：由条件知：a n >0，且⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＝3，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝3，a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝15， ∴q ＝2.∴a 1＝1，∴S 6＝1－261－2＝63. 解法二：由题意知，S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等比数列，即(S 4－S 2)2＝S 2(S 6－S 4)，即122＝3(S 6－15)，∴S 6＝63.3． D[解析] 由题可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝p >0，ab ＝q >0，所以a >0，b >0，不妨设a >b ，所以等比数列为a ，－2，b 或b ，－2，a 从而得到ab ＝4＝q ，等差数列为a ，b ，－2或－2，b ，a 从而得到2b ＝a －2，两式联立解出a ＝4，b ＝1，所以p ＝a ＋b ＝5，所以p ＋q ＝4＋5＝9.4． C[解析] 本题主要考查等差数列、等比数列．∵a 1，12a 3,2a 2成等差数列，∴12a 3×2＝a 1＋2a 2， 即a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，∴q 2＝1＋2q ，解得q ＝1＋2或q ＝1－2(舍)，∴a 9＋a 10a 7＋a 8＝a 1q 8(1＋q )a 1q 6(1＋q )＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2. 5． C[解析] 设数列{a n }的公比为q ，a 3＝a 2＋2a 1⇒q 2＝q ＋2⇒q ＝－1(舍)或q ＝2，∴a n ＝a 1·2n －1，a m ·a n ＝16a 21⇒a 21·2m ＋n －2＝16a 21⇒m ＋n ＝6，∵m ，n ∈N *，∴(m ，n )可取的数值组合为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，计算可得，当m ＝2，n ＝4时，1m ＋9n 取最小值114. 6．－1[解析] 由题可得(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋6d )，故有3a 1＋2d ＝0，又因为2a 1＋a 2＝1，即3a 1＋d ＝1，联立可得d ＝－1，a 1＝23.7．91.[解析] 因为任意的n >1，n ∈N ，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)都成立，所以S n ＋1－S n ＝S n －S n －1＋2，所以a n ＋1＝a n ＋2，因为a 3＝a 2＋2＝4，所以a n ＝a 2＋(n －2)×2＝2＋(n －2)×2＝2n －2，n ≥2，所以S 10＝a 1＋a 2＋a 3…＋a 10＝1＋2＋4＋…＋18＝1＋2×9＋9×82×2＝91. 8．2.[解析] ∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3，S 9，S 6成等差数列，且a 2＋a 5＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧2×a 1(1－q 9)1－q ＝a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q a 1q ＋a 1q 4＝4，解得a 1q ＝8，q 3＝－12， ∴a 8＝a 1q 7＝(a 1q )(q 3)2＝8×14＝2. 9．[解析] (1)证明：因为S n ＝4a n －p (n ∈N *)， 则S n －1＝4a n －1－p (n ∈N *，n ≥2)，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1，整理得a n ＝43a n －1. 由S n ＝4a n －p ，令n ＝1，得a 1＝4a 1－p ，解得a 1＝p 3. 所以{a n }是首项为p 3，公比为43的等比数列． (2)因为a 1＝1，则a n ＝(43)n －1， 由b n ＋1＝a n ＋b n (n ＝1,2，…)，得b n ＋1－b n ＝(43)n －1， 当n ≥2时，由累加法得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝2＋1－(43)n －11－43＝3·(43)n －1－1， 当n ＝1时，上式也成立．∴b n ＝3·(43)n －1－1. 10．[解析] (1)设该等比数列的公比为q ，则根据题意有3·(1＋1q ＋1q 2)＝9， 从而2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12. 当q ＝1时，a n ＝3；当q ＝－12时，a n ＝3·(－12)n －3. (2)证明：若a n ＝3，则b n ＝0，与题意不符，故a n ＝3(－12)n －3， 此时a 2n ＋3＝3·(－12)2n ， ∴b n ＝2n ，符合题意．∴c n ＝42n ·(2n ＋2)＝1n ·(n ＋1)＝1n －1n ＋1， 从而c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝1－1n ＋1<1.。
等差数列与等比数列比较练习题
等差数列与等比数列比较练习题题目一已知等差数列的公差 $d = 5$，首项 $a_1 = 2$，求前五项数列的和。
解析：等差数列的第 $n$ 项可以表示为 $a_n = a_1 + (n-1)d$。
根据已知的公差和首项，我们可以计算前五项如下：第一项：$a_1 = 2$第二项：$a_2 = a_1 + (2-1)d = 2 + (2-1) \times 5 = 7$第三项：$a_3 = a_1 + (3-1)d = 2 + (3-1) \times 5 = 12$第四项：$a_4 = a_1 + (4-1)d = 2 + (4-1) \times 5 = 17$第五项：$a_5 = a_1 + (5-1)d = 2 + (5-1) \times 5 = 22$然后，我们将这些项相加，得到前五项数列的和：$S_5 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 2 + 7 + 12 + 17 + 22 = 60$所以，前五项数列的和为 60。
题目二已知等比数列的公比 $q = 2$，首项 $a_1 = 3$，求前四项数列的和。
解析：等比数列的第 $n$ 项可以表示为 $a_n = a_1 \times q^{(n-1)}$。
根据已知的公比和首项，我们可以计算前四项如下：第一项：$a_1 = 3$第二项：$a_2 = a_1 \times q^{(2-1)} = 3 \times 2^{(2-1)} = 3 \times 2 = 6$第三项：$a_3 = a_1 \times q^{(3-1)} = 3 \times 2^{(3-1)} = 3 \times 4 = 12$第四项：$a_4 = a_1 \times q^{(4-1)} = 3 \times 2^{(4-1)} = 3 \times 8 = 24$然后，我们将这些项相加，得到前四项数列的和：$S_4 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 3 + 6 + 12 + 24 = 45$所以，前四项数列的和为 45。
等差数列与等比数列比较基础训练题(含详解)
等差数列与等比数列比较基础训练题(含
详解)
等差数列与等比数列比较基础训练题（含详解）
问题一
已知等差数列的首项为 a1，公差为 d，求第 n 项的公式。
答案：第 n 项的公式为 an = a1 + (n-1)d 。
问题二
已知公比为 q，等比数列的首项为 a1，求第 n 项的公式。
答案：第 n 项的公式为 an = a1 * q^(n-1) 。
问题三
已知等差数列的首项为 a1，公差为 d，第 n 项的值为 an，求前n 项和的公式。
答案：前 n 项和的公式为 Sn = (n/2)(a1 + an) 。
问题四
已知公比为 q，等比数列的首项为 a1，第 n 项的值为 an，求前n 项和的公式。
答案：前 n 项和的公式为 Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1) 。
问题五
已知等差数列的首项为 a1，公差为 d，求等差数列的公差。
答案：公差为 d。
问题六
已知公比为 q，等比数列的首项为 a1，求等比数列的公比。
答案：公比为 q。
问题七
已知等差数列的首项为 a1，等差为 d，前 n 项和为 Sn，求 n。
答案：n = (2 * Sn - a1) / d + 1。
问题八
已知等比数列的首项为 a1，公比为 q，前 n 项和为 Sn，求 n。
答案：n = log(q * Sn / a1) / log(q) + 1。
以上是等差数列与等比数列的基础训练题及详解，希望对您有帮助。