1.3 算法案例

1.3 算法案例一、知识点归纳与讲解1、辗转相除法与更相减损术（1）辗转相除法所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数。

若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。

(1)算法步骤：第一步：输入两个正整数m ,n (m>n).第二步：计算m除以n所得的余数r.第三步：m=n,n=r.第四步：若r＝0,则m,n的最大公约数等于m，否则转到第二步.第五步：输出最大公约数m.（2）程序框图：（3）程序（2）更相减损术所谓更相减损术，就是对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到差数和较小的数相等，此时相等的两数便为原来两个数的最大公约数。

事实上分两步完成，第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。

若是，则用2约简；若不是则执行第二步。

第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。

继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。

（1）算法步骤第一步：输入两个正整数a,b;第二步：若a不等于b ,则执行第三步；否则转到第五步；第三步：把a-b的差赋予r;第四步：如果b>r, 那么把b 赋给a,把r 赋给b;否则把r 赋给a ；返回第二步； 第五步：输出最大公约数b.（2）程序框图 （3）程序说明：辗转相除法和更相减损术的区别与联系：（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主;计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。

（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到.辗转相除法和更相减损术本质均是将两数逐步分解成某一数的倍数加上余数，直至余数等于0为止，之所以一个为除（即乘），一个减（即加），是因为“乘”运算原本由“加”运算变化而来，更相减损术对于求多于两个数的最大公约数问题，更具有优越性。

2、秦九韶算法对于一元n 次多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ ，可以通过一次式的反复计算，逐步得出多项式值的方法，称为秦九韶算法。

即一般地,对于一个n 次多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ 求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值,即11n n v a x a -=+，然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即212n v v x a -=+，323n v v x a -=+，……，10n n v v x a -=+，这样,求n 次多项式f(x)的值就转化为求n 个一次多项式的值.这种算法称为秦九韶算法.我们知道，衡量算法好坏的标准仍然是运算的次数，秦九韶算法，关键在于它减少了运算的次数，实际上，用秦九韶算法求n 次多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ ，当00(x x x =是任意实数）时的值，需要n 次乘法和n 次加法；而用自然的做法，则需要(1)1232n n n +++++=次乘法和n 次加法。

把求一个n 次多项式的值转化为求n 个一次多项式的值,通过这种转化,把运算的次数由至多(1)2n n +次乘法运算和n 次加法运算,减少为n 次乘法运算和n 次加法运算,大大提高了运算效率.由11n n v a x a -=+，212n v v x a -=+，323n v v x a -=+，……，10n n v v x a -=+，观察上述秦九韶算法中的n 个一次式,可见k v 的计算要用到1k v -的值.若令0n v a =，得到01(1,2,,)n k k nk v a v v x ak n --=⎧⎨=+=⎩ ，这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤,因此可用循环结构来实现.（1）算法步骤：第一步,输入多项式次数n 、最高次项的系数n a 和x 的值 第二步,将v 的值初始化为n a ，将i 的值初始化为1n - 第三步,输入i 次项的系数i a 第四步,,1i v vx a i i =+=-；第五步,若0i ≥,则返回第三步，否则输出v ， （2）程序框图：3、进位制（1）进位制的概念进位制是人们为了计数和运算的方便而约定的一种记数系统，约定满二进一,就是二进制;满十进一,就是十进制;满十六进一,就是十六进制;等等. “满几进一”,就是几进制,几进制的基数就是几.其中可使用数字符号的个数称为基数.基数都是大于1的整数. 如二进制可使用的数字有0和1,基数是2;十进制可使用的数字有0,1,2,…,8,9等十个数字,基数是10;十六进制可使用的数字或符号有0——9等10个数字以及A ——F 等6个字母(规定字母A ——F 对应10——15),十六进制的基数是16.注意:为了区分不同的进位制,常在数字的右下脚标明基数，如(2)111001表示二进制数,(5)34表示5进制数，十进制数一般不标注基数.一般地,若k 是一个大于1的整数,那么以k 为基数的k 进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式120()110(0,0,,)n n n k n n n a a a a a k a a a k ----<<≤< ，k 进制的数也可以表示成不同位上数字与基数k的幂的乘积之和的形式,即1120()110n n n n n k n n a a a a a k a k a k a ----=⨯+⨯++⨯+ 。

（2）进位制的换算对于进位制的换算，重点是掌握(10)k k ≠进制转化成十进制，以及十进制转化为(10)k k ≠进制。

①(10)k k ≠进制转化成十进制 关键是将(10)k k ≠进制数写成各位上数字与k 的幂的乘积之和，再求此和即为k 进制数对应的十进制数。

若设1120()110n n n n n k n n a a a a a k a k a k a M ----=⨯+⨯++⨯+= ，则M 即为k 进制数的十进制数。

②十进制转化成(10)k k ≠进制 十进制转化成(10)k k ≠进制的算法，可简称为除k 取余法。

其它进制间的转化可借助十进制作为中介进行转化。

二、典型例题讲解问题一：辗转相除法与更相减损术的应用 例1、（1）利用辗转相除法求4800和10800的最大公约数，并用更相减损术验证。

（2）求27090，21672，8127的最大公约数。

（3）设计求204a =与85b =的最小公倍数的算法，并给出其程序框图和程序。

问题二：秦九韶算法例2、用秦九韶算法求65432()126016024019264f x x x x x x x =-+-+-+当2x =时的值。

问题三：进位制的转化 例3、（1）把十进制数51化为二进制数； （2）将二进制数(2)1101011化为五进制数。

第二章统计2.1随机抽样第一课时简单随机抽样一、知识点回顾与归纳1、几个概念总体与个体：在统计里，我们把我们所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一个被考察的对象叫做个体；样本与样本容量：从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫样本容量。

2、统计学的基本思想用样本估计总体，即通常不是直接去研究总体，而是通过从总体中抽取一个样本，根据样本的情况去估计总体的相应情况。

因此统计的核心问题是如何根据样本的情况对总体的情况作出一种推断．这里又包括两类问题：一类是如何从总体中抽取样本，另一类是如何根据对样本的整理、计算和分析，对总体的情况作出推断．3、抽样方法分类：如果每次抽取后再放回，就称为有放回抽样；如果每次抽取后不放回，就称为不放回抽样和．在实际应用中，采用较多的是不放回抽样．相对来说，放回抽样在理论研究中显得更为重要．本讲中介绍的三种抽样方法都是等可能的不放回抽样．4、简单随机抽样的概念一般地，设一个总体的个体总数为N，如果通过逐个抽取的方法从中抽取样本（样本容量为n，且每次抽取时各个个体被抽到的机会相等，就称这样的抽样为简单随机抽样。

5、简单随机抽样的特点：(1)它要求被抽取样本的总体的个体数有限．这样，便于对其中各个个体被抽取的概率进行分析；(2)这种抽样是从总体中逐个地进行抽取．这样使得它具有可操作性；(3)它是一种不放回抽样．由于抽样中多采用不放回抽样，使其具有广泛的应用性，而且由于在抽取的样本中没有被重复抽取的个体，所以便于进行分析与计算；(4)它是一种等可能抽样，，这里的等可能不仅要求每次从总体中抽取的一个个个体，各个个体被抽取的可能性相等，而且在整个抽样过程中，各个个体被抽取的可能性也相等，从而保证了这种抽样方法的公平性。

6、简单随机抽样两种方法（1）抽签法将总体中的所有个体编号，并把号码写在形状、大小相同的号签上，然后将这写号签放在同一个盒子里，每次从中抽出一个号签，连续抽取n次得到一个容量为n的样本。

解决的问题是：总体容量较小，抽出的样本容量也较小抽签法的实施步骤：①给调查对象群体中的每个对象编号；②准备“抽签”的工具，实施“抽签”；③对样本中每一个个体进行测量或调查。

（2）随机数表法①理解随机数表：由数字0，1，2，…，9组成，并且这十个数字每个数字在表中各个位置出现的机会都是一样，满足这两个特点的数表称为随机数表，其中各个位置上出现的数称为随机数；随机数表并不唯一，只要符合各个位置上等机会地出现其中各个数的要求，就可以构成随机数表．统计工作者常用计算机来生成随机数．随机数表中各个位置上出现各个数字的等机会性，决定了利用随机数表进行时抽取到总体中各个个体序号的等机会性．②利用随机数表进行抽样时的步骤：第一步：将总体中的个体编号（每个号码位数一致，即所选出的第一个数是几位数，则其余的也应是几位数）．由于需要这一步骤，如果总体中的个体数太多，利用随机数表法进行抽样就显得不方便．第二步：选定开始的数字．为了保证所选定数字的随机性，应在面对数表之前就指出开始数字的纵横位置．第三步：确定读数方向获取样本号码．读数的方向可向左、向右、向上、向下等等．个体编号是几位数就需将几个数码视为一个整体，在读取的过程中，若得到的数码不再编号内，则跳过去；若在编号内，则取出；如果得到的号码前面已经取出，则跳过去；继续下去，直到取满为止。

第四步：根据选定的号码抽取样本。

二、典型例题讲解问题一：简单随机抽样概念的理解例1、下列抽取样本的方法是否属于简单随机抽样？说明理由。

（1）从无限多个个体中抽取100个个体作为样本；（2）盒子中共有80个零件，从中选取5个零件进行质量检验，在抽样操作中，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里。