波动方程推导过程
波动方程推导过程
波动方程推导过程波动方程是描述波动现象的一维偏微分方程，常见于物理学、工程学等领域。
本文将详细推导波动方程的推导过程，并附上适当的数学解释。
我们从一维弦的振动出发，假设弦在水平方向上的位移为u(x,t)，其中x为弦上的位置，t为时间。
我们希望找到u(x,t)满足的方程。
首先，我们考虑弦元素。
假设弦元素的质量为m，长度为Δx。
弦元素在x位置的受力可由受力平衡方程得到。
考虑弦元素下方的拉力，可以得到：T(x+Δx, t)cosθ(x+Δx, t) - T(x, t)cosθ(x, t) =mΔx∂²u/∂t²其中，T(x,t)为弦元素在位置x的拉力，θ(x,t)为弦元素在位置x 的与水平方向的夹角。
我们进一步假设弦的线密度为ρ，弦的张力T与弦的位置无关且恒定。
即T(x,t) = T0。
同时，假设弦的振动幅度很小，θ(x,t)的正弦值与斜率成正比。
即：sinθ(x,t) ≈ ∂u/∂x，cosθ(x,t) ≈ 1将这些假设带入上述受力平衡方程中，得到：T0(∂u/∂x+∂u/∂xΔx)-T0∂u/∂x=mΔx∂²u/∂t²化简可得：T0∂²u/∂x²=mΔx∂²u/∂t²考虑到弦元素长度Δx的无穷小极限，我们取Δx→0，并将Δx去掉，得到：T0∂²u/∂x²=m∂²u/∂t²进一步，我们可以将上式中m除以弦的线密度ρ，并将T0除以根号下(ρ/μ)（其中μ为线密度ρ与弦的横波速度v的乘积），得到：∂²u/∂x²=1/v²∂²u/∂t²此即为波动方程。
上式表示了u(x,t)在时空上的二阶偏导数之间的关系。
从推导过程可以看出，波动方程的形式是基于一维弦振动的受力平衡获得的。
它说明了弦元素位移的二阶偏导数与时间的二阶偏导数之间的相关性。
波动方程描述了波动现象的特征，如波速等。
平面简谐波__波动方程
的位移就是O 点处质点在t – t 时刻的位移，从相位来说，
P 点将落后于O点，其相位差为 t。
P点处质点在时刻t 的位移为：
yP (t) Acos t t' 0
平面简谐波的波动表式
因 t' x u
yP (t)
A cos
t
x u
的相位落后 。
(7)3T/4时的波形如下图中实线所示，波峰M1和M2已
分别右移3 而4 到达
y /cm
和M1' 处M。2 '
0.5 M1
M1' M2
M2'
0.4
0.2
a
0
b
0.2 10 20 30 40 50 60 70 x /cm
0.4
0.5
t=3T/4
波动方程的推导
(5)质点的最大速率
vm
波动表式的意义：
x 一定。令x=x1，则质点位移y 仅是时间t 的函数。
即
y
A cos
t
2
x1
0
上式代表x1 处质点在其平衡位置附近以角频率
作简谐运动。
y
A
O
t
t 一定。令t=t1，则质点位移y 仅是x 的函数。
平面简谐波的波动表式
即
y
A cos
t1
2
x
0
以y为纵坐标、x 为横坐标，得到一条余弦曲线，
t 2
)
球面波的余弦表式如下：
a r
cos
t
r u
0
a —r —振幅
3. 波动方程的推导
设固体细长棒的截面为S、密度为
由麦克斯韦方程组推导波动方程
由麦克斯韦方程组推导波动方程麦克斯韦方程组是电磁学中最为基本的方程组，它描述了电磁场在空间中的分布和变化规律。
而波动方程则是描述波动现象的基本方程，因此推导出波动方程对于电磁学的研究具有重要意义。
下面我们将从麦克斯韦方程组的物理意义出发，推导出电磁波的基本特性所遵循的波动方程。
对于自由空间中的电磁波，其传播时所遵循的方程为：$\nabla^2\vec{E}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2}=0$ 和 $\nabla^2\vec{B}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\vec{B}}{\partial t^2}=0$要推导出电磁波所遵循的波动方程，我们先来了解一下麦克斯韦方程组所描述的物理实验。
这些实验包括：高斯定理、安培环路定理、法拉第电磁感应定律和麦克斯韦-安培定理。
这些实验所得出的结论是：在空间中存在着电场$\vec{E}$和磁场$\vec{B}$，它们之间存在着紧密的关系。
根据法拉第电磁感应定律，磁场的变化会在空间中产生电场，而根据麦克斯韦-安培定理，则是电流的产生——‘电流可以产生磁场’。
这两个定律的结合，在一定条件下就会引起空间中的波动现象，即电磁波的产生。
为了更好地理解这一点，我们来看一下麦克斯韦方程组所描述的物理实验。
在一个高斯面内，根据高斯定理：$\oint\vec{E}\cdotd\vec{S}=\frac{Q}{\varepsilon_0}$，其中Q表示该高斯面内的电荷总量。
通过对该式进行求导并应用安培环路定理：$\oint\vec{B}\cdot d\vec{l}=\mu_0I_{enc}$，其中$I_{enc}$表示该高斯面所包括的电流总量，得到：$\nabla^2\vec{E}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2}=0$ 和$\nabla^2\vec{B}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\vec{B}}{\partialt^2}=0$这两个方程就是电磁波遵循的波动方程。
波动方程推导过程
由 d'Alembert 公式有 1 1 v( x, t) = [(h − x + at)φ( x − at) + (h − x − at)φ( x + at)] + 2 2a 再由 (1) 知此定解问题的解. 注：此问题也可由 (1) 并利用初始条件决定 F 和 G. 例 2.2 问初始条件 φ( x) 与 ψ( x) 满足怎样的条件时, 齐次波动方程初值问题的解仅由右传播 波组成? 解: 由题意知 1 1 G ( x ) = φ( x ) + 2 2a 故 G ′ ( x) = 0, 即 ∫
由 Hooke 定律, B 两端的张力分别为 E ( x)u x | x , E ( x)u x | x+∆ x . B 段的运动方程为 S ρ( x)∆ x ∂2 u ( x, t) = E ( x)S u x | x+∆ x − E ( x)S u x | x ∂t 2
其中 S 为细杆截面面积, x 为 B 段重心坐标. 约去 S , 令 ∆ x → 0, 有 ( ) ( ) ∂u ∂ ∂u ∂ ρ( x) = E ( x) . ∂t ∂t ∂x ∂x 例 1.2 在杆纵向振动时, 假设 (1) 端点固定, (2) 端点自由, (3) 端点固定在弹性支撑上, 试分别 导出这三种情况下所对应的边界条件. 解: (1) u(0, t) = u(l, t) = 0; u ∂u (2) 端点自由, 即端点处无外力作用. 在左端点 S E (0) ∂ ∂ x (0, t) = 0, 即 ∂ x (0, t) = 0. 同理右端 u 点∂ ∂ x (l, t ) = 0 . (3)端点固定在弹性支承上, 端点受的外力与支撑的变形成比例. 如左端有弹性支承, 弹性 系数设为 k, 则 ∂u S E (0) (0, t) = ku(0, t), ∂x 同理右端: ( ( ∂u − + hu ∂x ) = 0.
平面简谐波的波动方程
解（１）将题给的波动方程改写成
y
0.02
cos
2
25 2
t
0.1 2
x
而波动方程的标准方程为
y
Acos 2
t T
x
二式比较得
A 0.02m
T 2 0.08s 25
2 10m
0.1
u 250m s1
T
（2）质元的振动速度为
v y 0.02 25 sin 25t 0.1xm s1
方程表示距原点为x 处的质元在不同时刻
的位移. y-t 曲线称之为位移时间曲线.
y
o
t
T
如果t 给定，则y 只是x 的函数, 这时波 动方程表示在给定时刻波射线上各振动质 元的位移，即给定时刻的波形图.
y
o
x
如果x 和t 都变化，则波动方程表示波射 线上各振动质元在不同时刻的位移，即波形 的传播.
dI Idx
I dI
x
dx
I0 I
0
ln I ax I0
I0
I
I I0eax
o
dx
x
I
I0
o
x
10.2.3 例题分析
1.一平面简谐波沿x 轴的正向传播已知波 动方程为
y 0.02cos 25t 0.1xm
求：（1）波的振幅、波长、周期及波速;
（2）质元振动的最大速度;
（3）画出t =1 s 时的波形图.
均能量密度: 能量密度在一个周期内的 平均值.
w 1
T
T 0
A2
2
sin2
t
x u
dt
1 2
A2
2
3. 能流密度
波动方程推导过程
波动方程推导过程1.假设波动是在一维空间中发生的，即沿着x轴传播，波的振动方向与x轴垂直。
假设波动是机械波，即需要介质来传播。
同时假设波动是纵波，即介质的波动方向与波的传播方向一致。
2.建立坐标系。
在一维空间中，选择一个坐标系，通常将波的起点设置为坐标原点。
3. 考虑微元上的受力平衡。
取波动方向为y轴，波的纵向位移为y(x,t)。
假设一个很小的区域，长度为dx，在位置x上物质点受到的作用力为F。
由于介质中粒子之间的相互作用，引起的弹力与位移成正比，且反向。
可以使用胡克定律来描述这个弹力关系：F=-k*y(x,t)其中k为弹性系数。
4.考虑微元上的惯性力。
在波的传播过程中，介质中的粒子具有质量，会有惯性力的作用。
由于波的传播方向是沿着x轴，所以x方向上的惯性力对受力平衡没有贡献。
所以只需要考虑y方向上的惯性力。
根据牛顿第二定律，惯性力与加速度成正比。
粒子的加速度可以用纵向速度对时间的导数来表示：F = m * d²y/dt²其中m为单位长度的质量。
5.结合弹力和惯性力。
将弹力和惯性力相加，得到微元受到的总力：F = -k * y(x,t) - m * d²y/dt²6.使用牛顿第二定律来描述微元受到的总力。
根据牛顿第二定律，力等于质量乘以加速度。
将微元受到的总力代入方程中，得到：-m * d²y/dt² = -k * y(x,t) - m * d²y/dx²7.化简方程。
将方程重写为标准形式：d²y/dx² = (1/v²) * d²y/dt²其中v²=k/m为波速的平方。
8.一维波动方程的描述。
将标准形式的方程扩展为一维波动方程：d²y/dx² - (1/v²) * d²y/dt² = 0这就是波动方程，它描述了波沿着x轴传播的过程。
医学超声原理 第三讲 波动方程及其解
二、 波动方程的解
(2)假定声强不是太大，因此体积元的密度变化也 不是太大。这在超声用于诊断的时候都是能够满 足的。但在超声手术治疗等强功率超声情况下， 则直接应用(15)式将会产生较大的误差。 (3)在声波的传播过程中无热量的交换。也就是说， 声波的传播是在绝热条件下进行的。这一点，在 超声治疗等强功率而频率较低的超声情况下，很 难满足，应当注意。
2 pr 1 2 ( pr)源自r 2 c 2 t 2（2 ）
一、 波动方程
• 波动方程的推导
1、前提假设以及运动方程
• 几点假设： ➢ A）体积元的尺寸远小于波长 ➢ B）体积元内的量变忽略不计 ➢ C）体积元的尺寸远大于原子分子的尺寸，同时认为介质是连续的。 出发点1：对于介质体元，牛顿第二定律得到（运动方程）：
（6）
p v v v
x t x
（7）
运动方程的近似简化
• 当超声波功率较低时，假设体元的密度变化为一 微小量，则有：
0 1且1 0
（8）
• 将上式代入（7），假设介质密度扰动很小，且质 点振动幅度不大，忽略高级小量，可得：
p x
0
v t
0
（9）
2、连续性方程
• 出发点2：另外，根据质量守恒定律，单位时间内离开体 积元的质量，等于体积元质量的减少，有：
A e j(tk ) 2
（17）
• 其中的参数关系为：
• 色散关系为
2 c
kf
（18）
c 1
k
0K
（19）
二、 波动方程的解
在应用这个波动方程的时候，绝不可以忘记导出 它所使用的几个假定： (1)假定媒质中传播横波比起纵波来小得可忽略不计。
通常在生物体软组织或水等剪切弹性模量极小 的媒质中是存在这种情况的。
波动方程或称波方程
波动方程或称波方程（英语：wave equation)是一种重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各种的波动现象，包括横波和纵波，例如声波、光波、无线电波和水波。
波动方程抽象自声学、物理光学、电磁学、电动力学、流体力学等领域.历史上许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔·伯努利和拉格朗日等在研究乐器等物体中的弦振动问题时,都对波动方程理论作出过重要贡献。
波动方程是双曲形偏微分方程的最典型代表，其最简形式可表示为：关于位置x 和时间t的标量函数u（代表各点偏离平衡位置的距离）满足：这里c通常是一个固定常数，代表波的传播速率。
在常压、20°C的空气中c为343米/秒（参见音速）.在弦振动问题中,c依不同弦的密度大小和轴向张力不同可能相差非常大.而在半环螺旋弹簧（一种玩具，英文商标为 Slinky)上,波速可以慢到1米/秒.在针对实际问题的波动方程中，一般都将波速表示成可随波的频率变化的量,这种处理对应真实物理世界中的色散现象。
此时，c应该用波的相速度代替：实际问题中对标准波动方程的另一修正是考虑波速随振幅的变化，修正后的方程变成下面的非线性波动方程：另需注意的是物体中的波可能是叠加在其他运动(譬如介质的平动，以气流中传播的声波为例）上的。
这种情况下，标量u的表达式将包含一个马赫因子（对沿流动方向传播的波为正，对反射波为负）。
三维波动方程描述了波在均匀各向同性弹性体中的传播。
绝大多数固体都是弹性体，所以波动方程对地球内部的地震波和用于检测固体材料中缺陷的超声波的传播能给出满意的描述。
在只考虑线性行为时，三维波动方程的形式比前面更为复杂,它必须同时考虑固体中的纵波和横波:式中：•和被称为弹性体的拉梅常数(也叫“拉梅模量”，英文Lamé constants 或 Lamé moduli)，是描述各向同性固体弹性性质的参数;•表示密度；•是源函数（即外界施加的激振力）；•表示位移；注意在上述方程中，激振力和位移都是矢量，所以该方程也被称为矢量形式的波动方程。