2020高考数学(理)必刷试题+参考答案+评分标准 (86)
2020高考数学模拟试题
(理科)
满分150分,考试时间120分钟
一、选择题:(本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合P={x|x2≤1},M={a},若P∪M=P,则a的取值范围是( ) A. (-∞,-1] B. [1,+∞) C. [-1,1] D. (-∞,-1]∪[1,+∞)
2.下列命题错误的是( )
A.命题“若xy=0,则x,y中至少有一个为零”的否定是:“若xy≠0,则x,y都不为零”。
B.对于命题p:?x 0∈R,使得+x0+1<0,则p:?x∈R,均有x2+x+1≥0。C.命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题为“若方程x2+x -m=0无实根,
则m≤0”。
D.“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件。
3.平面向量a与b的夹角为60°,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|等于( ) A. 2 B. 2 C. 12 D.
4.函数f(x)=tanωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y=2所得线段长为,则f的值是( )
A.- B. C.1 D.
5.已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面.以下命题中正确命题的个数是()
①m,n相交且都在平面α,β外,m∥α, m∥β , n∥α, n∥β ,则α∥β;
②若m∥α, m∥β , 则α∥β;③若m∥α, n∥β , m∥n, 则α∥β.
A.0 B.1 C.2 D.3
6.函数
cos
x
x
y
e
的图像大致是()
A .
B .
C .
D .
7.已知椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的焦点分别为1F ,2F ,点A ,B 在椭圆上,
12AB F F ⊥于2F ,4AB =,1223F F =,则椭圆方程为( )
A .2
213
x y +=
B .22132x y +=
C .22196x y +=
D .22
1
129x y +=
8.在各棱长均相等的直三棱柱111ABC A B C -中,已知M 是棱1BB 的中点,N 是棱AC 的中点,则异面直线1A M 与NB 所成角的正切值为( ) A .3 B .1 C .
6
D .
2 9.已知奇函数
在R 上是增函数,
.若,
,
,则a ,b ,c 的大小关系为( ) A.
B.
C .
D.
10.设函数f (x )=cos(2x +?)+sin(2x +?)
,且其图象关于直线x =0对
称,则( )
A .y =f (x )的最小正周期为π,且在
上为增函数
B .y =f (x )的最小正周期为π,且在上为减函数
C .y =f (x )的最小正周期为,且在上为增函数
D .y =f (x )的最小正周期为,且在
上为减函数
11.双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别|为1F 、2F ,点P 在C 上,
且123PF PF b +=,129
4
PF PF ab ?=,则双曲线的离心率为( ) A .
103
B .10
C .
43 D .5
3
12.定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x -=,且当[]1,2x ∈时,
2()41814f x x x =-+-,若函数()()g x f x mx =-有三个零点,则正实数m 的取值范
围为( )
A .3,184142??- ???
B .()
2,18414- C .()2,3 D .3,32?? ???
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分) 13.计算
=________.
14.已知命题p :2,20x R x x m ?∈++≤,命题q :幂函数
1
13
()m f x x
+-=在()0,∞+是
减函数,若“p q ∨”为真命题,“p q ∧”为假命题,则实数m 的取值范围是_________.
15.已知抛物线2
4y x =的焦点为F ,准线为l ,若l 与双曲线22
221(0,0)
x y a b a b
-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ,且||4||AB OF =(O 为原点),则双曲线的离心率为_________.
16.已知三棱锥P ?ABC 的四个顶点在球O 的球面上,PA =PB =PC ,△ABC 是边长
为2的正三角形,E ,F 分别是PA ,AB 的中点,∠CEF =90°,则球O 的体积为_______.
三、解答题:(共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21
题为必考题,每题必须作答。第22,23题为选考题,考生根据要求作答。)
(一)必考题:共60分,每题12分
17.已知圆C 的方程为()2
211x y -+=,求: (1)过定点()2,3-且与圆C 相切的直线方程;
(2)截得的弦长的最小值。
被圆直线C k kx y 2
3
21-+=
18.已知a ,b ,c 分别为△ABC 三个内角A ,B ,C 的对边,a cos C +a sin C -b -c
=0.
(1)求A 的大小;
(2)若a =7,求△ABC 的周长的取值范围.
19.如图,在四棱锥P ?ABCD 中,AB//CD ,且90BAP CDP ∠=∠=o .
(1)证明:平面PAB ⊥平面PAD ;
(2)若PA =PD =AB =DC ,90APD ∠=o ,求二面角A ?PB ?C 的余弦值.
20.设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为1
2
,直线l 过点
、,
且与椭圆C 相切于点P .
(1)求椭圆C 的方程; (2)是否存在过点
的直线m 与椭圆C 相交于不同两点M 、N ,使得成立?若存在,求出直线m 的方程;若不存在,说
明理由. 21. 设函数,曲线
过点
,且在点
处的切线方
程为
.
(1)求a,b 的值; (2)证明:当时,
;
(3)若当时,
恒成立,求实数的取值范围.
(二)选考题:共10分。请考生在第22,23题中任选一题作答。如果多做,那么按所做的第一题计分。
22.(10分)【选修4-4:坐标系与参数方程】 已知圆C :
(θ为参数)和直线l :
(其中t 为参数,α为直线
l 的倾斜角).
(1)当α=时,求圆上的点到直线l 距离的最小值; (2)当直线l 与圆C 有公共点时,求α的取值范围.
23.(10分)【选修4-5:不等式选讲】
已知f (x )=|x +1|+|x -1|,不等式f (x )<4的解集为M . (1)求M ;
(2)当a ,b ∈M 时,证明:2|a +b |<|4+ab |.
答案解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C
A
B
D
B
D
C
C
A
B
D
A
1.【答案】C
【解析】P ={x |x 2≤1}={x |-1≤x ≤1},P ∪M =P a ∈[-1,1],故选C.
2.【答案】A
【解析】命题的否定是否定命题的结论,故A 不正确;B 选项是一个特称命题的否定,变化正确;C 选项是写一个命题的逆否命题,需要原来的命题条件和结论都否定再交换位置,C 正确;D 选项由前者可以推出后者,而反过来不是只推出x =1,故D 正确,故选A. 3.【答案】B 【解析】|a +2b |==
=
=2
,故选B. 4.【答案】D
【解析】由题意可知该函数的周期为, ∴=,ω=2,f (x )=tan 2x ,∴f =tan =
.
5. 【答案】B
6. 【答案】D
7.【答案】C
【解析】椭圆22
22 10x y a b a b
+=>>()
的焦点分别为1F ,2F ,点A ,B 在椭圆上, 12AB F F ⊥于2F ,4AB =,1223F F =3c =2
2 4b a
=, 222c a b =-,解得3a =,6b =,所以所求椭圆方程为22196
x y
+
=,故选C .
8.【解析】各棱长均相等的直三棱柱111ABC A B C -中,棱长为2, 以A 为原点,AC 为y 轴,1AA 为z 轴,建立空间直角坐标系,
则()10,0,2A
,(
)3,1,1M
,(
)3,1,0B
,()0,1,0N ,(
)13,1,1A M =
-u u u u r
,()
3,0,0BN =-u u u r
,
设异面直线1A M 与BN 所成角为θ,则1115
cos 53A M BN A M BN
θ?==
=??u u u u r u u u r u u u u r u u u r , ∴6tan θ=
.∴异面直线1A M 与BN 所成角的正切值为6
.故选C . 9.【答案】A (互换了答案)
【考点】指数、对数、函数的单调性与奇偶性
10.【答案】B 【解析】f (x )=
cos(2x +φ)+sin(2x +φ)=2sin
,
∵其图象关于x =0对称,
∴f (x )是偶函数,∴+φ=+k π,k ∈Z . 又∵|φ|<,∴φ=.∴f (x )=2sin =2cos 2x .
易知f (x )的最小正周期为π,在
上为减函数.
11.【答案】D
【解析】由双曲线的定义得:|PF 1|﹣|PF 2|=2a ,(不妨设该点在右支上) 又|PF 1|+|PF 2|=3b ,所以()()1211
233222
PF a b PF b a =+=-,
, 两式相乘得
()
2219
9444
b a ab -=.
结合c 2=a 2+b 2
,得53c a =,故e 5
3
=.故选D 12.【答案】A
【解析】由(2)()f x f x -=得函数是周期函数且周期为2,这样由[1,2]x ∈的解析式可求得
[1,0]x ∈-的解析式,再由偶函数可得[0,1]x ∈时的解析式,从而再由周期性可得函数解析式
和图象。作出函数图象,及直线y mx =,由图象可得它们有三个交点的情况。 【详解】
()()g x f x mx =-有三个零点,则函数()y f x =的图象与直线y mx =有三个交点。
∵(2)()f x f x -=,∴函数()f x 是周期函数且周期为2, ∴[1,0]x ∈-时,2[1,2]x +∈,
22()(2)4(2)18(2)14426f x f x x x x x =+=-+++-=-++,
又()f x 是偶函数,∴[0,1]x ∈时,2
()()426f x f x x x =-=--+,
同理,[3,4]x ∈时,2
()43466f x x x =-+-, 利用周期性作出()f x 的图象,再作直线y mx =,如图,
当直线y mx =与()([1,2]y f x x =∈的图象相切时,由241814x x mx -+-=得
24(18)140x m x +-+=,2(18)44140m ?=--??=,18414m =-18414m =+),此时切线横坐标为14
[1,2]2
x =
,
当直线y mx =与()([3,4]y f x x =∈的图象相切时,由243466x x mx -+-=得
24(34)660x m x +-+=,2(34)44660m ?=--??=,34466m =-(舍去
34466m =+)
,此时切线横坐标为66
42
x =>,
又(4)6f =,直线y mx =过点(4,6)时,32
m =
, ∴m 的取值范围是3(,18414)2
-。 故选:A 。
13.【答案】 【解析】
=
=
=
=.
14.【答案】(]
(),12,3-∞? 【详解】
对命题p ,因为2
,20x R x x m ?∈++≤,
所以440m -≥,解得1m ≤;
命题q ,因为幂函数()1
1
3m f x x +-=在()0,+∞是减函数,
所以
1
103
m +<-,解得23m <<; 因为“p q ∨”为真命题,“p q ∧”为假命题,
所以p q 、一真一假,
若p 真q 假,可得1m ≤且3m ≥或2m ≤,解得1m ≤; 若p 假q 真,可得 1m >,且23m <<,解得23m <<; 实数m 的取值范围是(]
(),12,3-∞?,
15.【解析】抛物线2
4y x =的准线l 的方程为1x =-, 双曲线的渐近线方程为b
y x a
=±, 则有(1,),(1,)b b A B a a
---,
∴2b AB a =
,
24b
a
=,2b a =, ∴22
5c a b e a +===.
16.【解析】解法一:,PA PB PC ABC ==Q △为边长为2的等边三角形,P ABC ∴-为正三棱锥,
PB AC ∴⊥,又E ,F 分别为PA ,AB 的中点,EF PB ∴∥,
EF AC ∴⊥,又EF CE ⊥,,CE AC C EF =∴⊥I 平面PAC ,∴PB ⊥平面PAC ,
2APB PA PB PC ∴∠=90?,∴===,P ABC ∴-为正方体的一部分,
22226R =++=,即364466
,π62338
R V R =
∴=π=?=π
解法二:设2PA PB PC x ===,,E F 分别为,PA AB 的中点,EF PB ∴∥,且
1
2
EF PB x =
=,ABC Q △为边长为2的等边三角形,3CF ∴= 又90CEF ∠=?,2
13,2CE x AE PA x ∴=-==,
AEC △中,由余弦定理可得()2243cos 22x x EAC x
+--∠=
??,
作PD AC ⊥于D ,
PA PC =Q ,D \为AC 的中点,1cos 2AD EAC PA x ∠==,22431
42x x x x +-+∴=, 2212
21222
x x x ∴+=∴==
,,,2PA PB PC ∴===
又===2
AB BC AC,,,
PA PB PC
∴两两垂直,
22226
R
∴=++=,
6
2
R
∴=,3
4466
6
338
V R
∴=π=π?=π17.【答案】(1)2
x=或4310
x y
++=;(2)2.
【解析】(l)当切线的斜率存在时,设切线方程为()
32
y k x
+=-,即230
kx y k
---=,
则圆心()
1,0到该直线的距离
22
023
1
1
k k
d
k
---
==
+
,解得
4
3
k=-,
∴切线方程为()
4
32
3
y x
+=--,即4310
x y
++=,
当切线的斜率不存在时,直线2
x=也是圆的切线,
综上所述:所求切线方程为2
x=或4310
x y
++=.
(2)
.2
2
1
-1
2
,
2
2
2
1
2
3
=
=
?
?
?
?
?
则最短弦长为
此时圆心到直线距离
垂直时,弦长最短。
,则当弦与
,
直线过定点
BC
BC
B
18.【答案】(1)∵a cos C+a sin C-b-c=0,
∴由正弦定理可得sin A cos C+sin A sin C=sin B+sin C,
∴sin A cos C +sin A sin C =sin(A +C )+sin C ,
∴
sin A -cos A =1,∴sin(A -30°)=,∴A -30°=30°,∴A =60°.
(2)由题意,b >0,c >0,b +c >a =7,
∴由余弦定理49=b 2
+c 2
-2bc cos =(b +c )2
-3bc ≥(b +c )2
(当且仅当b =c 时取等号), ∴b +c ≤14,
∵b +c >7,∴7<b +c ≤14,
∴△ABC 的周长的取值范围为(14,21]. 19.【答案】(1)见解析;(2)3-
. 【解析】(1)由已知90BAP CDP ∠=∠=?,得AB ⊥AP ,CD ⊥PD . 由于AB//CD ,故AB ⊥PD ,从而AB ⊥平面PAD . 又AB ?平面PAB ,所以平面PAB ⊥平面PAD . (2)在平面PAD 内作PF AD ⊥,垂足为F ,
由(1)可知,AB ⊥平面PAD ,故AB PF ⊥,可得PF ⊥平面ABCD .
以F 为坐标原点,FA u u u r
的方向为x 轴正方向,||AB uuu r 为单位长,建立如图所示的空间直角坐
标系F xyz -.
由(1)及已知可得22A ,2(0,0,2P ,22B ,2(,1,0)2
C -.
所以22(,1,)22PC =--u u u r ,(2,0,0)CB =u u u r ,22
(,0,)22
PA =-u u u r ,(0,1,0)AB =u u u r .
设(,,)x y z =n 是平面PCB 的法向量,则
0,0,PC CB ??=???=??u u u r u u u r n n 即220,2220,
x y z x ?-
+-=???=?
可取(0,1,2)=--n . 设(,,)x y z =m 是平面PAB 的法向量,则
0,0,PA AB ??=???=??u u u r u u u r m m 即220,220.
x z y ?-=???=?
可取(1,0,1)=m . 则3
cos ,||||3
?=
=-
<>n m n m n m , 所以二面角A PB C --的余弦值为3
3
-
. 20.【解析】(1)由题得过两点
,
直线的方程为
.
因为
1
2
c a =,所以,.
设椭圆方程为2
2
22143x y c c +=,由22
22240
1
43x y x y c c
+-=+=??
???, 消去得,.
又因为直线与椭圆相切,所以()
22=12441230Δc -?-=,解得
.
所以椭圆方程为22
143
x y +=. (2)已知直线的斜率存在,设直线的方程为
,
由()
224143y k x x y ?=-+
=?
???
,消去,整理得
,
由题意知(
)
()()2
2223243464120Δk
k k =-+->,解得11
22
k -<<,
设,
,则22121222
326412
3434k k x x x x k k -+==++.
又直线
与椭圆22
:143
x y C +=相切, 由22240
143
x y x y +-=+
=?????解得31
2x y ==,,所以31,2P ??
???,则2454AP =. 所以3645813547
AM AN ?=
?=. 又()
()
2
2
22112244AM AN x y x y ?=
-+?
-+
()
()()
()()()()2
2
2
2
2221122124444144x k x x k x k x x =
-+-?
-+-=+--
()()()()22
2
2
121222
641232141614163434k k k x x x x k k k ??-=+-++=+-?+ ?++??
()
22
36
134k k =++.
所以(
)2
2
36
811
347
k k
+=
+,解得24k =±,经检验成立.
所以直线的方程为()2
44
y x =±
-. 21.(1)由题意可知,
定义域为
,
,
.
(2), 设,,
由,在
上单调递增, ∴
,
在
上单调递增,
.
∴.
(3)设,,,
由(2)中知,,
∴,
当即时,,
所以在单调递增,,成立.
②当即时,
,令,得,
当时,单调递减,则,
所以在上单调递减,所以,不成立.
综上,.
22.【答案】(1)当α=时,直线l的直角坐标方程为x+y-3=0,圆C的圆心坐标为(1,0),圆心到直线l的距离d==,圆的半径为1,故圆上的点到直线l距离的最小值为-1.
(2)圆C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,得t2+2(cosα+sinα)t+3=0,这个关于t的一元二次方程有解,故Δ=4(cosα+sin α)2-12≥0,则sin2(α+)≥,即sin(α+)≥或sin(α+)≤-.
又0≤α<π,故只能sin(α+)≥,即≤α+≤,即≤α≤.故α的取值范围是.
【解析】
23.【答案】(1)f(x)=|x+1|+|x-1|=