二次函数1
A F
E
D
B
C
4、已知：如图，BD、CE是△ABC的高， 、已知：如图， 、 是 的高， 的高 试说明 △ADE∽△ABC。 ∽ 。
A E D
B
C
相似三角形的判定方法
● 平行于三角形一边的直线与其他两边
(或延长线 相交 所构成的三角形与原三角 或延长线)相交 或延长线 相交,所构成的三角形与原三角 形相似; 形相似 三边对应成比例,两三角形相似 两三角形相似. ● 三边对应成比例 两三角形相似 两边对应成比例且夹角相等,两三角形 ● 两边对应成比例且夹角相等 两三角形 相似. 相似
2、判断图中△AEB和△FEC是否相似？ 、判断图中△ 是否相似？
AE 54 解： ∵ = =1.5 FE 36
B 45
1
BE 45 ＝ ＝1.5 CE 30
E 36
2
F
A
54
30 C
AE BE ∴ ＝ FE CE
∵∠1＝∠2 ∠1＝ ∠1 ∴△AEB∽△FEC
3.在正方形 在正方形ABCD中，E为AD上的中点 F是 上的中点, 在正方形 中 为 上的中点 是 AB的四分一等分点，连结EF、EC；△AEF 的四分一等分点，连结 、 ； 的四分一等分点 是否相似?说明理由 与△DCE是否相似 说明理由 是否相似 说明理由.
C A
D
F
B E
1、已知△ABC和 △A’B’C’,根据下列条件 判断它们是否相似.
（1）∠A=120°,AB=7cm,AC=14cm, ） ° ∠A`=120°,A`B`=3cm,A`C`=6cm; ° (2) ∠A＝45°，AB=12cm， AC=15cm ∠A’＝45°，A’B’＝16cm，A’C’＝20cm
B D A
E
∠A = ∠A
如果一个三角形的两条 边与另一个三角形的两 条边对应成比例， 条边对应成比例，并且 夹角相等， 夹角相等，那么这两个 三角形一定相似吗 一定相似吗？ 三角形一定相似吗？
• 已知 如图△ABC和△A`B`C`中,∠A＝∠A` , 已知:如图△ 如图 和 中∠ ＝ ∠A` ,A`B`:AB=A`C`:AC. • 求证 △ABC∽△A`B`C` 求证:△ ∽ 证明:在 的边AB、 或它们的延长线 或它们的延长线) 证明 在△ABC的边 、AC(或它们的延长线 的边 上分别截取AD=A`B`,AE=A`C`,连结 连结DE. 上分别截取 连结 ∠A=∠A`, 这样 △ADE≌△A`B`C`. ∠ 这样,△ ≌
A B C A′
AB AC ∵ = ∠A = ∠A' A' B' A' C '
∴△ABC∽△ A' B' C ' (两边对应成比例且夹角 相等，两三角形相似) C′ 相等，两三角形相似)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B′
想一想： 想一想：如果对应相等的角不是两条对应 边的夹角，那么两个三角形是否相似呢？ 边的夹角，那么两个三角形是否相似呢？
相 似 三 角 形 的 判 定
判断两个三角形相似, 判断两个三角形相似,你有哪些方法 方法1：通过定义（不常用） 方法 ：通过定义（不常用）
{
三 角 应 等 个 对 相 三 对 成 例 边 应 比
方法2：通过平行线。 方法 ：通过平行线。 方法3：三边对应成比例。 方法 ：三边对应成比例。
如果有一点E在边 上 那么点E应该在什么 如果有一点 在边AC上，那么点 应该在什么 在边 位置才能使△ 相似呢？ 位置才能使△ADE∽△ABC相似呢？ ∽ 相似呢 此时， ， C AD 1 AE 1 =？ =？ ？ AB 3 AC 3
A`
B` A
C`
∵A`B`:AB=A`C`:AC ∴ AD:AB=AE:AC ∴DE∥BC ∥ ∴△ADE∽△ABC ∽ ∴△A`B`C`∽△ABC ∽
B
D
E
C
相似三角形的识别
如果一个三角形的两条边与另一个三角形 如果一个三角形的两条边与另一个三角形 两条边与另一个三角 两条边对应成比例，并且夹角相等 夹角相等， 的两条边对应成比例，并且夹角相等，那 么这两个三角形相似 么这两个三角形相似 。
二次函数1教案
第12部分 二次函数第1课时 二次函数的意义课标要求通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义. 中招考点二次函数的概念及意义.典型例题例1 下列函数中，哪些是二次函数？（1）02=-x y ； （2）2)1()2)(2(---+=x x x y ；（3）xx y 12+=； （4）322-+=x x y . 分析：形如y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 为常数，且a ≠0)的函数是二次函数，在判别某个函数是否为二次函数时，必须先把它化成y=ax 2+bx+c 的形式，如果a ≠0，那么它就是二次函数；否则，就不是二次函数.例2 m 取哪些值时，函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数？分析：若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数，须满足的条件是：02≠-m m ．解：若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数，则 02≠-m m ． 解得0≠m 且1≠m ．因此，当0≠m 且1≠m 时，函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数．归纳反思形如c bx ax y ++=2的函数只有在0≠a 的条件下才是二次函数．探索：若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的一次函数，则m 取哪些值？ 例3 写出下列各函数关系，并判断它们分别是什么类型的函数？（1）写出正方体的表面积S （cm 2）与正方体棱长a （cm ）之间的函数关系；（2）写出圆的面积y （cm 2）与它的周长x （cm ）之间的函数关系；（3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y （元）与所存年数x 之间的函数关系；（4）菱形的两条对角线的和为26cm ，求菱形的面积S （cm 2）与一对角线长x （cm ）之间的函数关系．解：（1）由题意，得 )0(62>=a a S ，其中S 是a 的二次函数；（2）由题意，得 )0(42>=x x y π，其中y 是x 的二次函数； （3）由题意，得 10000%98.110000⋅+=x y （x ≥0且是正整数），其中y 是x 的一次函数；（4）由题意，得 )260(1321)26(212<<+-=-=x x x x x S ，其中S 是x 的二次函数． 例4 正方形铁片边长为15cm ，在四个角上各剪去一个边长为x （cm ）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．(1)求盒子的表面积S （cm 2）与小正方形边长x （cm ）之间的函数关系式；(2)当小正方形边长为3cm 时，求盒子的表面积．解:（1）)2150(4225415222<<-=-=x x x S ； （2）当x=3cm 时，189342252=⨯-=S （cm 2）．强化练习一、选择题：1．对于任意实数m ，下列函数一定是二次函数的是（ ）A ．22)1(x m y -=B ．22)1(x m y +=C ．22)1(x m y +=D ．22)1(x m y -=2．下列各式中，y 是x 的二次函数的是 （ ）A ．xy=x 2＋1 B.x 2+y –2= 0 C.y 2–ax =–2 D.x 2–y 2+1=03．若二次函数y =（m + 1）x 2 + m 2 – 2m – 3的图象经过原点，则m 的值必为 （ ）A ．– 1和3 B.– 1 C.3 D.无法确定4.对于抛物线y=x 2+2和y=x 2的论断：(1)开口方向不同；(2)形状完全相同；(3)对称轴相同.其中正确的有（ ）A ．0个B ．1个 输入x y=x+2 －2≤x ≤－1 y=x 2 －1＜x ≤1 y=x+2 1＜x ≤2输出y 值 第5题图C ．2个D ．3个5.根据如图的程序计算出函数值，若输 入的x 的值为32，则输出的结果为（ ）. A ．72 B.94 C.12 D.92二、填空题：6．当=m 时，函数m x m x m m y +-+--=)2()32(22是二次函数.7．当k 为 值时，函数1)1(2+-=+k k x k y 为二次函数.8．如果函数1)3(232++-=+-mx x m y m m 是二次函数，那么m 的值为 .9．已知函数72)3(--=m x m y 是二次函数，则m 的值为 ．10．已知抛物线y =（m – 1）x 2，且直线y = 3x + 3 – m 经过一、二、三象限，则m 的范围是 .11．若函数y =（m 2 – 1）x 3 +（m + 1）x 2的图象是抛物线，则m = .12．已知函数m m mx y -=2，当m= 时，它是二次函数；当m= 时，抛物线的开口向上；当m= 时，抛物线上所有点的纵坐标为非正数．13．抛物线9)1(22-++=k x k y ，开口向下，且经过原点，则k= ．14．点A （-2，a ）是抛物线2x y =上的一点，则a= ； A 点关于原点的对称点B 是 ；A 点关于y 轴的对称点C 是 ；其中点B 、点C 在抛物线2x y =上的是 ．15．若抛物线c x x y +-=42的顶点在x 轴上，则c 的值是 ．16．已知函数42)1(22-++-=m x x m y ．当m 时，函数的图象是直线；当m 时，函数的图象是抛物线；当m 时，函数的图象是开口向上且经过原点的抛物线．。
初中复习讲义--二次函数1(学生版)
初中复习讲义--二次函数（学生版）补：1.两条直线平行，21k k =，两条直线垂直，121-=⨯k k2.两点间距离公式;若点),(),,(n m B b a A 则22)()(||b n a m AB -+-=3.点到直线的距离公式：若直线l ：0=++c by ax ，点),(n m A ，则点A 到l 的距离h 为：||22ba c by am h +++=4.两条平行线之间的距离公式：若0:,0:2211=++=++c by ax l c by ax l ，则21,l l 间的距离为：||2221ba c c h +-=5.点在图像上满足函数解析式（重点）一、函数解析式求法问题一般我们根据题设条件来设函数解析式，分别从： 一般式：c bx ax y ++=2顶点式;b h x a y +-=2)(，二次函数的顶点坐标为：),(b h交点式（双根式）：))((21x x x x a y --=，二次函数与x 轴的交点为：)0,(),0,(21x x 对称式：c n x m x y +--=))((，二次函数的对称点为：),(),,(c n c m二、三角形问题研究1.三角形面积。
常采用方法：分割法（这里就有很多种分割方法，具体哪一种比较简单，需要同学们慢慢理解），直接法（点到直线的距离，一般是求三角形的高）例1：（2016•贵阳模拟改编）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A （﹣4，0），B （0，﹣4），C （2，0）三点． （1）求抛物线的解析式；（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．解：（1）满足交点式，则设函数解析式为：))((21x x x x a y --=，将A （﹣4，0），B （0，﹣4），C （2，0）带入得：4212-+=x x y （2）方法一：分割法：连接OM 则，S=S △AOM +S △OBM ﹣S △AOB 又点M 在二次函数上且横坐标为m ，则)421,(2-+m m m M ，且0<m 21|421|||2⨯-+⨯=∆m m AO S AOM ，21||||⨯⨯=∆m OB S OBM21|0|||⨯⨯=∆B OA S AOB ,带入数据得：4)2(4214421)(421)421(4222+--=--=⨯⨯-⨯-⨯+⨯+--⨯=m m m m m m S所以当2=m 时，S 取的最大值为4。
二次函数(一)
二次函数（一）
（2）用待定系数法求二次函数的解析式． ①当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解； ②当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解； ③当已知抛物线与 x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
练习题部分：
1．已知：二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象如图，则下列答案正确的是？（ ）
A．y＝﹣x2﹣x+2 B．y＝x2+x﹣2
C．y＝x2+3x+2 D．y＝﹣x2+x+2
12．已知二次函数 y＝ax2+4x+c，当 x 等于﹣2 时，函数值是﹣1；当 x＝1 时，函数值是 5．则
此二次函数的表达式为（ ）
A．y＝2x2+4x﹣1
B．y＝x2+4x﹣2
C．y＝﹣2x2+4x+1
D．y＝2x2+4x+1
B．﹣1
C．﹣1 或 2
D．以上都不对
6．已知抛物线 y＝﹣x2+4x+3，则该抛物线的顶点坐标为（ ）
A．（﹣2，7） B．（2，7）
C．（2，﹣9） D．（﹣2，﹣9）
7．在函数 y＝（x﹣1）2+3 中，当 y 随 x 的增大而减小时，则 x 的取值范围是（ ）
A．x≥1
B．x＞0
C．x＜3
D．x≤1
2x2 相同，则这个二次函数的表达式是（ ）
二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当 a＞0 时，抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，
x＜﹣ 时，y 随 x 的增大而减小；x＞﹣ 时，y 随 x 的增大而增大；
二次函数知识点总结1
九年级数学学案一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a =-时，y 有最大值244ac b a-． 七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++； 3. 关于原点对称2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：图像参考：y=-2x22y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)2二次函数考查重点与常见题型2-32例1.已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是 例2.如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）例3.已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
二次函数的图像1
答：抛物线抛物线y=x2与抛物线 y= -x2 既关于x轴对 称，又关于原点对称。只要画出y=ax2与y= -ax2中的 一条抛物线，另一条可利用关于x轴对称或关于原点 对称来画。
提高练习
1,已知抛物线y=ax2经过点(-2,2). (1) 求这条抛物线的解析式. (2) 求出这个二次函数的最大值或最小值. (3) 在此抛物线上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),且 x1>x2>0,试比较y1与y2的大小.
它是图像的最低点xy二次函数yx22当x0时当x0时yy随xx增大而减二次函数yx22的图象形如物体抛射时所经过的路线我们把它叫做的图象形如物体抛射时所经过的路线我们把它叫做抛物线
回顾知识: 一、正比例函数y=kx（k ≠ 0）其图象是什么. 二、一次函数y=kx+b（k ≠ 0）其图象又是什么. 正比例函数y=kx (k≠0)的图象是经过 原点（0 ，0）的一 条直线。
谈收获:
1.二次函数y=ax2(a≠0)的图像是一条抛物线. 2.图象关于y轴对称,顶点是坐标原点.
3.当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物 线上的最低点;当a<0时,抛物线的开口向 下,顶点是抛物线的最高点.
再见
»
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
二次函数y=ax² + bx+c（a ≠ 0） 其图象又是什么呢？.
二次函数知识点总结[1]
![二次函数知识点总结[1]](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/0b72d226a66e58fafab069dc5022aaea998f4193.webp)
二次函数知识点总结[1]二次函数是高中数学中非常重要的一部分内容，它在解决实际问题、分析曲线特性以及应用到其他数学领域中都起到了关键作用。
以下是关于二次函数的知识点总结，希望能够帮助到你。
二次函数的定义与性质：1. 定义：二次函数是指形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为实数且a不等于0。
2. 二次函数的图象是一条平滑的曲线，称为抛物线。
3. 二次函数的图象关于y轴对称，当a为正数时开口向上，当a为负数时开口向下。
4. 在二次函数y = ax^2 + bx + c中，a控制着抛物线的开口方向和形状，b控制着抛物线的位置，而c则控制着抛物线与y轴的交点。
二次函数的图象与方程：1. 根据二次函数的定义，通过确定a、b、c的值可以确定一条抛物线的图象，反之，已知抛物线的图象也可以确定a、b、c的值。
2. 二次函数的图象与方程之间存在一一对应的关系。
例如，已知二次函数y = ax^2 + bx + c的图象，可以根据图象的特点，如顶点坐标、与x轴交点等，来确定二次函数的方程。
3. 而已知二次函数的方程y = ax^2 + bx + c，可以通过对其进行整理、求解方程、配方法等方式，来确定二次函数的图象。
二次函数的特点与性质：1. 顶点坐标：二次函数的图象上的最高点称为顶点，它的坐标由公式(-b/2a, f(-b/2a))确定，其中f(x)表示二次函数的值。
2. 对称轴：二次函数的图象在顶点的左右两侧呈对称关系，对称轴即为通过顶点的直线。
3. 零点与方程解：二次函数与x轴的交点称为零点，可以通过求解二次方程ax^2 + bx + c = 0来确定零点的横坐标。
4. 判别式：二次方程ax^2 + bx + c = 0的判别式Δ = b^2 - 4ac可以用来判断二次方程的解的性质，当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根；当Δ = 0时，方程有两个相等的实根；当Δ <0时，方程没有实根。
二次函数(一)
二次函数（一）主讲：黄冈中学数学高级教师李平友考点回顾：1、二次函数的概念一般地，形如y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数．2、二次函数的图像与性质（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像是一条抛物线，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下；（2）抛物线的顶点坐标为；（3）抛物线的对称轴为；（4）当时，二次函数有最小值；当时，二次函数有最大值；3、二次函数一般有三种形式：（1）一般式：；（2）顶点式：y＝a(x－h)2＋k，顶点坐标为（h，k）；（3）交点式：，x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标．解题时，要根据所给的条件，灵活选择其中的一种表达形式．4、了解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系．考点精讲精练：1、二次函数y＝－4x2＋2x＋的对称轴是直线__________．解：a＝－4，b＝2，c＝，对称轴直线是．或y＝－4x2＋2x＋＝－4（x－）2＋，所以对称轴直线是．答案：x＝变式练习11、抛物线y＝(x－2)2＋3的对称轴是（）A．直线x＝－3 B．直线x＝3C．直线x＝－2 D．直线x＝2答案：D2、二次函数的顶点坐标是（）A.(2，－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3）答案：A例2、将y＝3x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得图像的函数表达式是_____．解：．答案：y＝3x2＋18x＋25变式练习21、把抛物线y＝3x2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的函数表达式为（）A．y＝3(x＋3)2－2 B．y＝3(x＋3)2＋2C．y＝3(x－3)2－2 D．y＝3(x－3)2＋2答案：D2、二次函数的图象是由的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的，则b＝ _____，c＝_____．解：依题意，把函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得的图象．把配方得．则，即 b＝－8，c＝7．答案：－8，7例3、已知二次函数的图象如图所示，则点在第_____象限．解：由图象知a<0，c＞0．又∵，∴b＜0．∴bc＜0，在第三象限．答案：三变式练习3在同一坐标系中，一次函数y＝ax＋b和二次函数y＝ax2＋bx的图象可能为（）答案：A例4、已知一抛物线与x轴的交点是A（－2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8）．（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标．解：（1）设这个抛物线的解析式为．由已知，抛物线过A（－2，0），B（1，0），C（2，8）三点，得解这个方程组，得a＝2，b＝2，c＝－4．∴所求抛物线的解析式为．也可以设二次函数解析式为交点式求解．（2）∴该抛物线的顶点坐标为变式练习4在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，－4），且过点B（3，0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标．解：（1）设二次函数解析式为，二次函数图象过点B（3，0），，得a＝1．∴二次函数解析式为，即．（2）令y＝0，得，解方程，得，．∴二次函数图象与x轴的两个交点坐标分别为（3，0）和（－1，0）．∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点．平移后所得图象与轴的另一个交点坐标为（4，0）例5、函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2＋bx＋c－3＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个异号的实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根答案：C- 返回 -备考模拟一、选择题1、在同一坐标系中，抛物线y＝4x2，y＝x2，y＝－x2的共同特点是（）A．关于y轴对称，开口向上B．关于y轴对称，y随x的增大而增大C．关于y轴对称，y随x的增大而减小D．关于y轴对称，顶点是原点2、把抛物线的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是，则有（）A．b＝3，c＝7 B．b＝－9，c＝－15C．b＝3，c＝3 D．b＝－9，c＝213、把抛物线向上平移1个单位，得到的抛物线是（）A. B.C. D.4、二次函数的图像与x轴的交点个数是（）A．0 B．1C．2 D．35、已知二次函数的顶点坐标（－1，－3.2）及部分图象(如图)，由图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是（）A．－1.3 B．－2.3C．－0.3 D．－3.3二、综合题6、如图所示的抛物线是二次函数的图象，那么a的值是________．7、用配方法将二次函数化成的形式，那么y ＝________．8、二次函数的对称轴是x＝2，则b＝_______．9、一个函数具有下列性质：①图象过点（－1，2），②当＜0时，函数值随自变量的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是________（只写一个即可）．10、抛物线的顶点为C，已知直线过点C，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为________．隐藏答案答案：6、－17、y＝（x－6）2＋38、9、如等（答案不唯一）10、1三、综合题11、已知二次函数的部分图象如图所示，写出关于x的一元二次方程的解．隐藏答案答案：，12、如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，求在线段AB上离中心M处5米的地方桥的高度．隐藏答案解：以直线AB、MC为坐标轴建立平面直角坐标系，抛物线解析式为，x＝5时，y＝15，即离中心M处5米的地方桥的高度为15米．13、已知二次函数图象的对称轴是，图象经过(1，－6)，且与y轴的交点为(0，).(1)求这个二次函数的解析式；(2)当x为何值时，这个函数的函数值为0?(3)当x在什么范围内变化时，这个函数的函数值随x的增大而增大?隐藏答案解：(1)设抛物线的解析式为，由题意可得，解得，所以(2)或－5(3)14、某种爆竹点燃后，其上升高度h（米）和时间t（秒）符合关系式（0＜t≤2），其中重力加速度g以10米/秒2计算．这种爆竹点燃后以v0＝20米/秒的初速度上升，（1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米？（2）在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由.隐藏答案解：（1）由已知得，，解得当时不合题意，舍去．所以当爆竹点燃后1秒离地15米．（2）由题意得，＝，可知顶点的横坐标，又抛物线开口向下，所以在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，爆竹在上升．15、如图，已知二次函数的图像经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离．隐藏答案解：（1）将x＝－1，y＝－1；x＝3，y＝－9分别代入得解得∴二次函数的表达式为．（2）对称轴为x＝2；顶点坐标为（2，－10）．（3）将（m，m）代入，得，解得m1＝－1，m2＝6．∵m＞0，∴不合题意，舍去．∴m＝6．∵点P与点Q关于对称轴对称，∴点Q到x轴的距离为6．-END-。
二次函数(1)课件_PPT
篮球运行的路线是什么曲线？ 怎样出手才能把球投进篮圈？ 起跳多高才能成功盖帽？等
函数: 在一个变化过程中,如果有两个
变量x与y, 并且对于x的每一个确定的 值,y都有唯一确定的值与其对应,那么 就说y是x的函数, x是自变量.
一次函数
函 数
y=kx+b (k≠0)
(正比例函数) y=kx (k≠0)
m2－7 例2. y=(m+3)x
(1) m取什么值时,此函数是正比例函数? (2) m取什么值时,此函数是反比例函数? (3) m取什么值时,此函数是二次函数?
看谁算得快!
1 2 k 2 k 1 0 1.函数 y (k ) x 是一次函数，求k的值。 2
2.函数 y (m 1) x 求m的值。
③式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间 的关系,对于x的每一个值, y都有一个对应值,即y是x的 函数.
观察
函数①②③有什么共同点?
y=6x2 ①
1 2 3 d n n② 2 2
y 20 x2 40 x 20③
y是x的函数吗？y是x的一次函数？反比例函数？
在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式 表示的,
反比例函数
k y= x
(k≠0)
思考:
问题1：正方体的六个面是全等的正方形,设正方 形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值,y 都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可 y=6x2① 以表示为
思考:
问题2： 多边形的对角线数d与边数n有什么关系？ 由图可以想出,如果多边形有n条边,那么它有 n 个顶点,从 一个顶点出发,连接与这点不相邻的各顶点,可以作(n-3) 条
（4）x的取值范围是 任意实数 。
二次函数图象1
-5
-6
1 y=- 2 x2
-7
-8
-9
y=-x2
y=-2x2
y
10
y=x2
8
6
y=x2与y=-x2关于 x轴对称
-10 -5
4
2
5 -2
10
x
-4
-6
-8
-10
y=-x2
-12
2的图象的性质 二次函数y=ax
1、当a>0时，抛物线的开口向上；当 a<0时，抛物线的开口向下。 2、对称轴是x=0（或y轴）， 3、顶点坐标是（0，0）， 4、|a|越大开口越小，反之开口越大。
-4
-2
0
2
4
6
x
探 究
画出函数y=-x2,y=- 1x2,y=-2x2的图象，并考虑 2 这些抛物线有什么共同点和不同点。
… … -3 -2 -1 0 1 2 3 … …
x
y=-x2
-9
-4 -3
9 2
-4
-2
-1
-1
1 2
0
0
-1
1
1 2
1
-4
2 3
9 2
-9
4
x
1 y=- x2 2
1
4
9
x y=x2
… …
-3
-2
-1
0
1
2
3
… …
94ຫໍສະໝຸດ 1 y9 80
1
4 y=x2
9
7
6
5
4
3
2
1
-8
-6
-4
-2 -1
2
4
6
二次函数复习(1) 课件
上的最 高 点.
3.抛物线
y 2( x 3) 4
2
可看做是抛物线
y 2x ,
2
先向 右 平移 3 个单位,再向 上 平移 4 个单位得到
4.二次函数 条 抛物线 是
y ax bx c(a 0)
2
的图象是一 ,顶点坐标
b 4ac b ( , ) 2a 4a
b 直线x ,它的对称轴是 2a 2
2
2.二次函数 的图象如图,试根据图 象所给的信息,确定a,b,c的正负性，并说明理由． y y
y ax2 bx c
Ｏ
3.函数
2
x
-1 Ｏ
1
P
x
y x ax b
的图象如图所示.
(1)求a,b的值；（２）求图象与x轴的另一个交点p.
例2.已知抛物线
(3)说出该函数的对称轴,顶点坐标,最值情况.
例3.已知二次函数
y x 2kx k k 2
2 2
(1)当k为何值时，函数图象经过原点？ (2)当k在什么范围取值时，图象的顶点在第四象限？
1.将二次函数 y x 2 x 3 的图象向左平移1个单位, 再向下平移2个单位,求平移后抛物线解析式.
x 4x 的对称轴是(
2
2
A )
A.直线x=2
B.直线x=-2 C.直线4
D.直线x=-4
5.函数 y x px q 的图象是以(3,2)为顶点的抛物 线,则这个函数的关系式是( Ｃ ）
A. y x 6 x 11 C. y x 2 6 x 11
2
B. y x 2 6 x 11 2 D. y x 6 x 7