具有时滞的Lotka-Volterra模型的正周期解的存在性
几类捕食-食饵模型周期解的存在性与稳定性问题的开题报告
几类捕食-食饵模型周期解的存在性与稳定性问题的开题报告一、选题背景及意义捕食-食饵模型是生态学领域最为经典的研究领域之一，其研究对象是生态系统中的食饵和食肉动物之间的关系。
这种模型的建立可以有效的分析和预测生态系统中的变化，评估人类活动对生态系统的影响。
捕食-食饵模型的研究中存在周期解的存在性和稳定性问题，对此问题的解决可以有效地预测生态系统的变化，制定科学的保护策略，有助于保护地球生态环境，实现可持续发展。
二、选题内容和研究目的本文将以Ricker模型和Lotka-Volterra模型为基础，探讨捕食-食饵模型周期解的存在性和稳定性问题。
具体研究目的包括：1、判断模型的周期解是否存在。
2、分析周期解的稳定性，包括周期解的局部稳定性和全局稳定性。
3、探讨影响周期解稳定性的因素，如参数的变化对周期解的影响。
三、研究方法与预期结果本论文将采用数学建模和分析的方法研究该问题，并通过分析得到如下预期结果：1、在Ricker模型和Lotka-Volterra模型中，周期解的存在性与参数之间的关系。
2、利用线性稳定性分析周期解的局部稳定性。
3、通过Lyapunov函数法或直接算法讨论周期解的全局稳定性。
4、探讨环境变化对模型的周期解稳定性的影响，以及如何通过人类活动控制环境变化来实现捕食-食饵模型的可持续发展。
四、论文的创新点本文将从周期解的存在性和稳定性角度出发，研究捕食-食饵模型的演化及其稳定性。
创新点主要体现在以下几个方面：1、基于周期解探讨捕食-食饵模型的演化情况。
2、针对周期解的局部和全局稳定性分别进行讨论，比较两种模型间的区别。
3、探讨环境变化对模型的周期解稳定性的影响，提出有针对性的保护措施。
五、论文的结构文章的结构设计如下：第一章：绪论1.1 选题背景和意义1.2 选题内容和研究目的1.3 研究方法和预期结果1.4 论文创新点1.5 论文结构第二章：相关理论介绍2.1 捕食-食饵模型基本概念2.2 Ricker模型及其分析2.3 Lotka-Volterra模型及其分析第三章：周期解的存在性分析3.1 Ricker模型的周期解3.2 Lotka-Volterra模型的周期解第四章：周期解的稳定性分析4.1 Ricker模型周期解的局部稳定性4.2 Lotka-Volterra模型周期解的局部稳定性4.3 Ricker模型周期解的全局稳定性4.4 Lotka-Volterra模型周期解的全局稳定性第五章：环境变化对周期解稳定性的影响5.1 环境变化的影响机制分析5.2 人类活动对周期解的影响5.3 指导对策第六章：结论6.1 研究成果回顾6.2 不足之处与改进方向6.3 后续研究建议参考文献。
具有偏害关系的Lotka-Volterra模型周期正解的存在性
（ 福 州大学 福 建福 州 ３ ５ ０ １ １ ６ ）
摘要 ： 借助重合度理论， 得到一组保证 非 自治具有偏 害关系的 Ｌ ｏ ｔ ｋ ａ — Ｖ ｏ ｈ ｅ ｒ ｒ ａ 模型存在周期
正 解 的 充分性 条 件 。 关 键 词 ：偏 害模 型 ；周期 正 解 ； 重合 度 中图分 类 号 ： ０１ ７ ５ ． １ ４ 文献 标 识码 ： Ａ 文 章编 号 ： １ ６ ７ ３ — ４ ６ ２ ９ （ ２ ０ １ ５ ） ０ ２ — ０ ０ ２ ２ — ０ ５
种间偏害关 系是 自 然界 中一种较为普遍存在 的关 系。所谓 偏害 ， 是指种 间相互作用仅使一方受到
抑制 ， 而对 另一 方 没有 影 响 。具有 这 种作 用关 系 的生 物 种 群 是 很 多 的 ， 如最近文献 ［ １ ］ 就指 出在 青 藏 高
原东部的高寒草甸上 ， 蝗虫的“ 无意识 ” 干扰 （ 自然跳跃） 严重降低了草原毛虫的生存质量。孙广才 提
０， （ ｔ ）是第 一 个 种群 在 ｔ 时刻 的生 长密 度 ， （ ｔ ）是第 二 个 种群 在 ｔ 时刻 的生 长密 度 ， 其 中第二 个 种群
对第一个种群的生长起到不利作用 ， 而第一个种群却对第二个种群生长不起作用 。这里我们 并不假设
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ５ 一 Ｏ １ — ０ ３
出 了如 下两 种群 偏 害关 系 模 型
ｄ ｘ ， １一 —ａ
ｄ ｙ ｄｔ
， ２． Ｙ、 ． ． ． ｚ ｙ ，
其中 ｒ ｌ ， ｋ ， ｉ ＝１ ， ２均 为正 常数 ， 作 者 借 助特 征 根分 析 的方 法研 究 了系 统 （ １ ） 的各 个 平衡 点 的局 部 稳定 性
变时滞Lotka-Volterra互惠系统周期正解的存在性
Ｅ 和 Ｋｕ ｎ ２分 别 考 虑 了 单 种 群 时 滞 微 分 模 型 ， 得 了其 正 平 衡 点 全 局 吸 引 性 的 充 分 条 件． ＭＥ ａ ｇ Ｙ［ 获
Ｂ Ｓ Ｇｏ Ｅ 非 自治 时滞二 维互 惠 系统 研究 了 它 的全 局 稳 定 性 充 分 条 件． ｐ ｌａ 对 于 时 滞 自治 ． ． ｈ 对 Ｇｏ ａｓ ｍｙＫ［
Ｊ ０
根据 生态 学 的意义 ， Ｙ （ ） ， 而 （） ， 有 ０ ＞０ 从 ￡＞０ 即系统 （ ） 足正 初值 的解 的每 个 分量 都 不 可能 在 有 限时 １满
维普资讯
№ ． ６
・
陕 西 科 技 大 学 学 报
Ｊ ０ＵＲＮＡＬ ＯＦ Ｓ ＨＡＡＮＸＩＵＮＩ ＶＥＲＳ ＴＹ ＣＩ Ｉ ＯＦ Ｓ ＥＮＣＥ ＆ ＴＥＣＨ ＮＯＬＯＧＹ
Ｄｅ ． Ｏ７ ｃ ２Ｏ
１ ４２ ・
Ｖ ０ｌ ２ ＿５
解．
引理 １ Ｒ ： ｛ ， ｌ ，一１ ２ 是 系统 （ ） （ Ｙ ） Ｙ＞０ ｉ ， ｝ １ 的正 不变 集． 证明： 因为 系统 （ ） 价于 如下 积分 方程 １等
ｒ ￡
Ｙ（） Ｙ（）ｘ ｛ （） ｓ ｓ （） 十口 （），ｓ ｆｓ）ｄ ）ｉ ￡ 一 ０ ｅ ｐ Ｉ［ 一口 （） 一 ｓ） ｓ （ —ｒ（）］ ｓ，， １２ ｉ Ｊ （ Ｊ Ｊ一 ， ，≠ ，
０ 引 言
在种群 动 力学 、 生物 学 等 的研 究 中 ， 态 系统周 期 正解 的存在 性 具 有 非 常重 要 的实 际 意义 ， 来 受 到 生 历
了学术 界 的重视 ， 多学 者都 进行 过深 入 的研 究 ， 是 大 部 分工 作 局 限于 生态 竞 争 系 统 和 生态 捕于非 线性 常微 分 方程泛 函分 析研 究 了一 类 变时 滞二 维非 自治 Ｌ ｔａＶｏｔｒａ互 惠 基 ｏｋ — ｌ ｒ ｅ 系统 ， 用重合 度理 论建 立 了这 类 系统周期 正 解 的存在 性判 据 ， 到 了相 应 的充 分性 条件． 利 得
无穷时滞Lotka-Volterra型系统的正周期解
三 （） ＞ ０ ￡， ．
ｎ （ ≤ ｎ（ 一厂（，） ２ ， Ｉ ｄ ＞ ０， １ ￡ ） ￡ ≤ ａ （ ） ） 口 （）
其 中 ＳＥ （ 。 ，］ 一 。Ｏ ； （ ）ｂ（ ， Ｈ ）把有 界集 映为有 界集 ， 且存 在连 续非 负 的 ｃ ｃ 期 函数 ｂ ￡ 对 ＶｔＥ ， Ｅ Ｂ， 厂周 （） Ｖ
大 学 数 学
第２ ７卷
ｎ 一 ｛ ∈ Ｂ ｕ ｔ 一 （ １ ， （） … ， （） ， ： （） （） ２￡ ， ￡） ０≤ （） Ｃ 对 ｔ∈ ≤ ， 一 １２… ， ， ｉ ， ， ｝
舯
坚 一 （）口（ 一ｆ （ ）一 ￡（ ￡ ） ｉ Ｕ
们 一 ∑ １ 定义 ．
考虑 下述 无穷 时滞周 期泛 函微 分方 程组 Ｇ ÷ 一ｚ （） ａ（） ｉ￡ｚ ） ｉ ） ￡ （ ｉ 一ｂ（ ， Ｘ （ 一厂 （， ） ； ｚ） ，
ｔ
一１ ２ … ， ， ， ， ， ２
（） １
其 中 ｔ ， ￡ 一（ ｌ ￡ ， ， ， ）Ｅ ” （） Ｅ （） ｚ （）ｚ （） … ｚ （） ， ５ 一 （ ＋ ｓ 对一 切 ＳＥ （ ｘ，］． 于 ｉ ， ２ ￡ ） 一ｃ ０ 对 ３ 一１
方 程组 （ ） １ 的正 厨期解 存在 性 ， 到Ｔｉ 周期 解存 在 的 充分 条 件． 本 文 结果 中 ， 必假 设 关 于 为 得 Ｅ 在 不
局 部 Ｌｐ ｈｔ 的及 为非 负 的 ， ｉｓ ｉ ｚ 因此 本 文结果 在 一定程 度 上推 广并 改进 了文 ［ ］ １ 的结果 ．
Lotka—Volterra竞争扩散系统连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性
Lotka—Volterra竞争扩散系统连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性【摘要】本文探讨了Lotka—Volterra竞争扩散系统连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性问题。
首先介绍了竞争扩散系统的基本原理，然后分别定义和描述了边界平衡点和正平衡点的性质。
接着阐述了行波解的概念，并重点讨论了连接边界平衡点和正平衡点的行波解存在性。
探讨了存在性分析的意义，并展望了进一步的研究方向。
本文通过理论分析和数值模拟，深入探究了竞争扩散系统中行波解的存在性，对于生态学和数学建模领域具有重要的理论意义和应用价值。
【关键词】Lotka—Volterra竞争扩散系统、边界平衡点、正平衡点、行波解、存在性分析、研究展望1. 引言1.1 研究背景在生态学领域，竞争扩散系统是一种重要的研究对象，其中Lotka—Volterra模型是经典的描述种群竞争关系的数学模型。
竞争扩散系统可以模拟不同种群之间的竞争和扩散过程，揭示种群数量和空间分布之间的动态关系。
在实际生态系统中，种群之间的竞争和扩散是普遍存在的现象，对于生态系统的稳定性和可持续发展具有重要意义。
研究Lotka—Volterra竞争扩散系统的连接边界平衡点和正平衡点的行波解存在性，不仅可以加深我们对生态系统动态特性的理解，还可以为生态系统的管理和保护提供理论指导。
在实际应用中，行波解的存在性分析可以为预测种群扩散和竞争的趋势提供参考，为生态环境的健康和生物多样性的维护提供科学依据。
探究Lotka—Volterra竞争扩散系统连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性，具有重要的理论和应用意义。
1.2 研究目的研究目的是探讨在Lotka—Volterra竞争扩散系统中连接边界平衡点和正平衡点的行波解的存在性问题。
具体来说，我们的目的包括以下几点：1. 确定竞争扩散系统的基本原理，深入理解系统内各种影响因素之间的相互作用关系，从而为后续研究奠定基础。
2. 研究和探讨边界平衡点和正平衡点在竞争扩散系统中的定义和性质，分析它们在系统中的作用和重要性。
Lotka—Volterra竞争扩散系统连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性
Lotka—Volterra竞争扩散系统连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性Lotka-Volterra竞争扩散系统是描述种群竞争和迁移的数学模型，它由Alfred J. Lotka和Vito Volterra在20世纪初提出。
这个系统描述了两个不同种群在空间中的竞争和扩散的动态过程，对于了解生态系统中物种之间的相互作用具有重要意义。
在Lotka-Volterra竞争扩散系统中，连接边界平衡点和正平衡点的行波解的存在性是一个重要问题，对于我们理解这个系统的稳定性和动态行为具有重要的意义。
让我们来了解一下Lotka-Volterra竞争扩散系统的基本形式。
该系统的基本描述是由一对常微分方程组成，考虑两个种群的竞争和扩散过程。
假设有两个物种，分别用u(x, t)和v(x, t)表示它们在空间位置x和时间t上的密度。
那么Lotka-Volterra竞争扩散系统可以用如下的方程描述：∂u/∂t = d₁∇²u + r₁u(1 - u - α₁v)∂v/∂t = d₂∇²v + r₂v(1 - v - α₂u)d₁和d₂分别表示两个种群的扩散系数，r₁和r₂分别表示两个种群的增长率，α₁和α₂表示两个种群之间的竞争系数。
这个系统描述了种群的扩散和竞争，其中扩散项描述了种群在空间中的迁移，而竞争项描述了种群之间的相互作用。
连接边界平衡点和正平衡点的行波解是指在这个系统中，当种群的密度在空间和时间上变化时，存在一种特殊的解，它以一定的速度向着某个方向传播，并且在这个速度下保持稳定。
连接边界平衡点和正平衡点的行波解的存在性意味着在这个系统中，存在着一种特殊的动态行为，种群可以在空间中形成稳定的结构，即使在竞争和扩散的作用下也能够维持一定的稳定形态。
关于连接边界平衡点和正平衡点的行波解的存在性，已经在过去的研究中得到了一些结论。
一些研究表明，在一些特定的参数范围内，Lotka-Volterra竞争扩散系统确实存在连接边界平衡点和正平衡点的行波解，而这些行波解对于了解种群的空间动态行为具有重要的意义。
Lotka—Volterra竞争扩散系统连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性
Lotka—Volterra竞争扩散系统连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性Lotka-Volterra竞争扩散系统是描述两个物种之间竞争和扩散关系的模型，它在生物学和生态学领域有着重要的应用。
在该系统中，两个物种之间通过资源的竞争相互影响，并且通过空间的扩散进行传播。
本文将探讨Lotka-Volterra竞争扩散系统连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性。
我们来了解一下Lotka-Volterra竞争扩散系统的基本形式。
该系统描述了两个物种在时间和空间上的分布和相互作用。
假设我们有两个物种u和v，它们的分布随时间t和空间x的变化可以由以下方程描述：\[\frac{\partial u}{\partial t} = d_u \nabla^2 u + r_u u \left(1 - \frac{u + \alpha v}{K}\right)\]du和dv分别代表两个物种的扩散系数，ru和rv分别代表两个物种的增长率，K代表环境的承载能力，α和β分别表示两个物种对对方竞争的敏感度。
在上述方程中，存在两种平衡点：边界平衡点和正平衡点。
边界平衡点指的是物种在空间的边界处达到平衡状态，而正平衡点指的是物种在空间内部达到平衡状态。
连接边界平衡点和正平衡点的行波解，描述了两个物种在空间中的扩散和竞争关系。
接下来，我们将讨论连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性。
在实际生态系统中，很多情况下物种之间存在着空间上的扩散和竞争关系，因此连接边界平衡点和正平衡点的行波解的存在性具有重要的理论和实际意义。
通过数学分析和数值模拟可以发现，连接边界平衡点和正平衡点的行波解在Lotka-Volterra竞争扩散系统中是存在的。
具体来说，在一些特定的参数取值条件下，我们可以得到连接边界平衡点和正平衡点的行波解。
这些行波解描述了两个物种在空间中的分布和相互作用，展现了它们在空间上的动力学特性。
连接边界平衡点和正平衡点的行波解的存在性为我们理解生物群落的空间格局提供了重要的线索。
Lotka—Volterra竞争扩散系统连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性
Lotka—Volterra竞争扩散系统连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性Lotka-Volterra竞争扩散系统是描述生态系统中种群竞争和扩散相互作用的数学模型，它由Alfred Lotka和Vito Volterra在20世纪初提出，并被广泛应用于生态学、生物学和数学领域。
在生态系统中，不同种群之间存在着资源的竞争和空间的扩散。
这种竞争扩散系统的动力学特性对生态系统的稳定性和多样性具有重要影响。
在过去的研究中，人们主要关注于Lotka-Volterra竞争扩散系统内部正平衡点的存在性和稳定性，但对于连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性研究相对较少。
本文将重点讨论Lotka-Volterra竞争扩散系统的连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性，探讨这一问题在生态系统稳定性和多样性中的重要意义。
我们将介绍Lotka-Volterra竞争扩散系统的基本模型和数学表达式，然后分析连接边界平衡点和正平衡点行波解的存在性，最后讨论这一研究对生态学和数学的意义和应用。
1. Lotka-Volterra竞争扩散系统的基本模型Lotka-Volterra竞争扩散系统是一种描述生态系统中种群竞争和扩散相互作用的数学模型，其基本形式可以表示为：\begin{cases}\frac{\partial u}{\partial t} = d_u\Delta u+ru(1-\frac{u}{K})-auv\\\frac{\partial v}{\partial t} = d_v\Delta v+sv(1-\frac{v}{L})-buv\end{cases}u和v分别表示两个种群的密度，t表示时间，d_u和d_v表示扩散系数，r和s分别表示种群的增长率，K和L分别表示种群的最大容纳量，a和b分别表示种群之间的竞争强度。
上式中的第一项表示扩散项，第二项表示种群的自我增长，第三项表示种群之间的竞争作用。
这个模型描述了种群在空间中的扩散和竞争，可以用来研究生态系统中种群的动态演变和空间分布。
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型的研究 结果是 对前人 工作 的一 个很 好补充 ．
收稿 日期 ： ０ ９ ｌ 一２ ２０－ Ｏ ６
基金 项 目 ： 南 工程 学 院科 研 启 动基 金 资 助 项 目（７ ４ ． 湖 ０４） 作 者 简 介 ： 昌进 （９ ０ ， ， 读 博 士 ， 徐 １７ 一） 男 在 讲师 ， 究 方 向 ： 函微 分方 程 及 其 应 用． 研 泛
一
连续 投影 Ｐ： ｘ— ｘ 及 Ｑ： ｚ—Ｚ使 得 Ｉ ｍＰ：ＫｅＬ， ｒ
Ｉ ＫｅＱ— Ｉ （ — Ｑ ， Ｄｏ ＬｎＫｅＰ：１ Ｐ） ｍＬ ｒ ａ ｒ Ｉ ） ＬＩ ｔ ａ ｒ （一
ｒ］ ）
（） ２
的平衡点 的全局 吸引性 ， 中 ｒ ∈（ Ｏ ＋。 ） （ ， 其 （） ［ ， 。 ，Ｏ
第 ２ 卷 第 １期 Ｏ
２１ ０ ０年 ３月
湖 南 工 程 学 院 学 报 Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＨ ｕ ａ ｎ ｔ ｕ ｅｏ ｇｎ ｅｉｇ ｏ ｒ ａ ｎ ｎ Ｉ ｓｉ ｔ ｆＥｎ ｉｅ ｒｎ ｏ ｔ
Ｖｏ ． ０ Ｎｏ １ １ ２ ． ．
Ｍ ａ ．２ ０ ｒ ０１
具 有 时 滞 的 Ｌｏｔ － ｏｌｅ ｒ ｋａ Ｖ ｔ ｒ ａ模 型 的
理容 易证 明 Ｎ 在 上是 为 Ｌ一 紧 的． 对任 意 的 ∈
（ ， ） 子方程 Ｏ１ 算
Ｌ ｘ一 ） ｘ 对应 于 ｄ Ｖ
￣ ｒ ｔ［ ｃ （） １一 ｂ ｔｅ ｐ ｘ ｔ）一 ｃｔｅ ｐ ２ （ Ｒ （） ｘ （ （） （） ｘ （ ｘ ｔ—
了大量 的研究 ． １ 研究 了模型 文［ ］
（） 一Ｎ（）ｎ Ｎ（一ｒ一ｃ （一ｒ］ （） ￡［ 一６ ） Ｎ ） ， １
得到 了平 衡点渐 近稳 定 的条 件 ， 中 ａ ０ ６ ， 其 ＞ ，＞０ Ｃ
＞ Ｏ为正常数 ，≥ Ｏ ｒ ．文［ ］ 究 了模 型 ２研
（） （） ￡［ —６ ￡ Ｎ（一ｒ 一ｃ （ 一ｒ ￡Ｎ（） １ Ｎ（一６ ￡ ） Ｎ
（ ）对 任 意 的 ∈ （ ， ） ｎ ０ １ ｚ∈ａ 都 有 Ｌ ≠ ｎ， ｚ
ＡＮ ｘ ；
Ｎ（） ￡一 （） 一 ￡ ， ￡ ∈（ 一ｒ０ ， ） ￡， ≤Ｏ （） ［ ，］Ｒ ，
（ ） Ｏ Ｏ＞ ．
（ ）对任意 的 ｚ∈ＫｅＬｎａ ＱＮｘ ６ ｒ ｎ， ≠Ｏ并 且 ，
ｄ ｇ Ｊ Ｎ， ｅ ｛ Ｑ ０ｎ３ ｒ ０ ≠ Ｏ 则 方 程 ≠ Ｎｘ ＫｅＬ，） ；
同 构 ， 以存 在 同 构 映 射 Ｊ： 所 Ｉ — ＫＰＬ ｍＱ ｒ．
考虑 到种 群 生 存环 境 的周期 性 变 化 ， 我们考 虑 比模型 （ ） ２ 的更一 般 的模 型
（） （） ￡ ［ —６ ￡Ｎ（ 一ｒ 一Ｃ ￡Ｎ。 ￡ ￡一ｒ￡ Ｎ（） １ （） ￡ ） （） （
一
ｒ］ ）
十 。 ） ｂ Ｒ ， ∈ （ ＋ ∞ ） ｒ （ ＋ ∞ ）． 。 ，∈ Ｃ Ｏ， ， Ｅ ０，
Ｘ— ｍＬ可逆 ， 设其逆 映射 为 Ｋ ， ｎ为 Ｘ 中的有 设
界开 集 ， 如果 Ｑ ｎ）有界且 ＫＰ 卜一 Ｎ： Ｎ（ （ Ｑ） ｎ—Ｘ是 紧 的 ， 称 Ｎ 在 ｎ 为 Ｌ～紧． 因 为 Ｉ 与 ＫｅＬ 则 又 ｍＱ ｒ
Ｏ 引 言
在 种群 动力 学 中 ， 种 群 Ｌ ｔａ Ｖｏｔｒａ模 单 ｏｋ — ｌ ｒ ｅ 型有着 十分重要 的 现 实 的应 用价 值． 时 间来 引起 长 学术界 的诸多关 注 ， 多 学者 对 此类 相 关模 型 进行 许
１ 基 本 引理
为 了证 明周期 解 的存 在性 ， 们先介 绍重合度 我 理 论 中的 延拓 定 理 ． Ｘ， 设 Ｚ是 赋 范 向量 空 间 ，Ｌ： Ｄｏ ＬｃＸ—Ｚ为 线性映射 ， Ｘ—Ｚ为连续映射． ａ ｒ Ｎ： 如果 ｄｍＫｅＬ—Ｃ ｉ Ｉ Ｌ＜ ｏ 且 Ｉ Ｌ 为 Ｚ ｉ ｒ Ｏｄｍ ｍ ｏ ｍ 中的闭子集 ， 称映 射 Ｌ 为指标 为 ０ ｒｄ ｏ 映 则 ．Ｆ ｅ ｈ ｌ ｍ 射． 如果 Ｉ Ｌ 是指 标 为 ０的 Ｆ ｅ ｈ ｌ 映 射且 存在 ｍ ｒｄ ｏｍ
（） ３
引理 １（ 拓定理 ） 设 Ｌ是指标 为 ０的 Ｆ ｅ－ 延 ｒｄ ｈ ｌ 映射 ， 在 ０ 为 Ｌ一紧的． ｏｍ Ｎ 假设
并 假设．（） ６ ￡ ，（） ［ ， ｏ ， ０ ＋ 。 ） 连 ｒ ，（） ｃ￡ ∈（ Ｏ ＋ｏ ） （ ， 。 是
续 的 叫 硼＞Ｏ 周 期 函数 且满足 初始条 件 ： （ ）
本文 利用重 合度理论 研究模 型 （ ） ３ 的周期解 ， 得 到 了模型 （ ） ３ 存在 正周期 解 的一个 充分 条件 ， 此模 对
在 Ｄｏ Ｌｎｎ 内至少存 在一个解． ａ ｔ
引理 ２ Ｒ 一｛ ￡ ） ≥Ｏ 关 于系统 Ｎ（） ∈Ｒ ｌ ） ） Ｎ（
（ ） 正 向不变 的． ３是
．
正 周 期 解 的存 在 性
徐 昌进
（ 湖南 工 程 学 院 理 学 院 ， 潭 ４ １０ ） 湘 １１ ４
摘
要 ：运 用重合 度理论 中的 连 续性 定理研 究 了一 类 具有 时 滞 的 Ｌ ｔａ Ｖｏｔｒａ 型． 们得 到 了 ｏｋ － ｌ ｒ 模 ｅ 我
该模 型存在 正周期 解的一 个充分 条件． 结果是对前 人研 究的有益补 充． 该 关 键 词 ：Ｌ ｔａ ｏｋ —Ｖｏｔｒａ 型 ；周 期 解 ；时滞 ； 扑 度 ｌ ｒ模 ｅ 拓 中 图 分 类 号 ：Ｏ１ ５ １ 文 献 标 识 码 ：Ａ ７．２ 文 章 编 号 ：１ ７ — １ ９ ２ １ ） １ ０ ４ －０ ６ １ １Ｘ（ ０ Ｏ ０ － ０ ８ ３
第１ 期
徐 昌进 ： 有时滞 的 Ｌ ｔａＶｏｔｒａ 型 的正周期 解 的存 在性 具 ｏｋ — ｌ ｒ 模 ｅ
４ ９
Ｎ（ （） ｐ ｒ ）１ ｂｓ （ — ｒ 一 ￡ ）一 ｏｅ Ｉ （ ［ 一 （ Ｎ ｓ ） ｘ ｓ ）
ｃｓＮ。ｓ ｒ － ￣ 显然 ， 题成 立． （） （ — ）ｄ ， ｌ 命