耦合电感和谐振电路(品质因数)
第4章 耦合电感和谐振电路
（inductor of coupling and resonance circu it ）
本章主要介绍:
① ① 耦合电感元件，耦合电感的串、并联;
② ② 含有耦合电感的正弦电流电路的分析, 理想变压器的初步概念; ③ ③ 串联谐振、并联谐振的物理现象，谐振条件，谐振特点。
4.1耦合电感元件(coupled inductors)
磁耦合：两个线圈的磁场存在着相互作用，这种现象称为磁耦合，亦具有互感。 本节只讨论一对线圈相耦合的情况。
一.互感（mutual inductance ）
1.互感：当两个电感线圈物理上相互靠近，一个线圈所产生的磁通与另一个线圈相交链，使之产生感应电压的现象。图为两个有耦合的线圈。设线圈芯子及其周围的磁介质为非铁磁性物质。线圈1的匝数为1N ,线圈2的匝数为2N 。规定每个线圈电流与电压为关联参考方向，电流与其产生的磁链（或电流与磁通）的参考方向符合右手螺旋法则，也是相关联。
耦合线圈无耦合线圈
①自感磁链：1i 在线圈1中产生的磁通为11Φ及磁链为11Ψ，即：11111ΦN Ψ=
2i 在线圈2中产生的自感磁链22Ψ，即：2222i L Ψ=
②互感磁链：1i 在线圈2中产生的磁链21Ψ，即：21221ΦN Ψ=，21M ——线圈1与2的互感。
2i 在线圈1中产生的磁链12Ψ，即：21212i M Ψ=，12M ——线圈2与1的
互感。
由于磁场耦合作用，每个线圈的磁链不仅与线圈本身的电流有关，也和与之耦合的线圈电流有关，即
),(2111i i f Ψ=及),(2122i i f Ψ=
由于线圈周围磁介质为非铁磁性物质，上两式均为线性的，即磁链是电流的线性函数。 2.结论：①互感系数：只要磁场的介质是静止的，根据电磁场理论可以证明2112M M =，所以，统一用M 表示，简称互感，其SI 单位：亨利（H ）。②互感的量值反映了一个线圈在另一个线圈产生磁链的能力。互感的大小不仅
与两线圈的匝数、形状及尺寸有关，还与两线圈的相对位置有关。如果两线圈使其轴线平行放置，则相距越近，互感便越大，反之越小。而两线圈轴线相互垂直，如图所示在这种情况下，线圈1产生的磁力线几乎不与线圈2相交链，互感磁链接近零，所以互感接
近零。
③耦合系数：一对耦合线圈的电流产生的磁通只有部分磁通相交链，而彼此不交
链的那一部分磁通称为漏磁通。表征耦合线圈的紧密程度，用耦合系数k 表示，其定义为21L L M
k =
0≤k ≤1 1=k 时称为全耦合（紧耦合）
0=k 称为无耦合 k 值较小称为松耦合
④线圈1、2同时分别有电流1i 和2i 时，线圈1、2的总磁链可以看作是1i 和2i 单
独作用时磁链的叠加。取电流和磁通的参考方向符合右手螺旋法则，电压和电流为关联参考方向，则两个耦合线圈的磁链可表示为21112111Mi i L ΨΨΨ±=+= 12221222Mi i L ΨΨΨ±=+=
当自感磁链和互感磁链参考方向一致时，线圈的磁链是增强的，M 前面取的是“+”号； 当自感磁链和互感磁链参考方向相反时，线圈的磁链是减弱的，M 前面取的是“－”号。
二．同名端（dotted terminals ）
1.同名端定义：当1i 和2i 在耦合线圈中产生的磁场方向一致时，即线圈的总磁链是增强
的，电流1i 和2i 流入（或流出）的两个端钮称为同名端。2.同名端标注的原则：当两电感元件电流参考方向都是由同名端进入（或流出）元件时，互感为正。
3.同名端标注的符号：用一对“·”或“*”、“△”标记。
两个耦合线圈的同名端可以根据线圈绕向和相对位置来判别，也可以通过实验方法确定。
两个耦合线圈的同名端确定之后，便可用图（b ）所示的电路模型来表示。 例电路如图所示，试确定开关S 打开瞬间，22'间电压的实际极性。
解：假定i 及电压M u 的参考方向如图所示，
根据同名端原则可得
t i u d d M
M =
当开关S 打开瞬间，正值电流减小，即
t i
d d ＜0，所以M u ＜0，其极性与假设极性相反，
所以，22'间的电压的实际极性是2'为高电位端，
2为低电位端。
三．互感电压（mutual inductance voltage ）
忽略互感线圈的内阻后，线圈1对线圈2的互感电压可表示为
t ψu d d 2121=
(a) (b)选择互感电压与互感磁链的参考方向符合右手螺旋法则，如图所示，则上式为
t i
t ψu d d M d d 1
2121==
因为000d d 0d d 212121
1>→<→>→>u e t ψt i
000d d 0d d 212121
1<→>→<→
当电流为正弦交流量时，互感电压用相量表示为
1M 121jX M j I I U =ω=
式中M X M =ω称为互感电抗，单位：欧姆。
结论：①互感电压的方向与两耦合线圈的实际绕向有关。
②互感电压与产生该电压的电流的参考方向对同名端一致（即相关联）时，互感
电压取正，不一致（非关联）时为负。4.2含有耦合电感的正弦电流电路
（sinusoidal current circuit with coupled inductors ）互感电路：含有耦合电感的电路。 （简称互感电路）的正弦稳态计算可采用相量法。分析时要注意耦合电感上的电压是由自感电压和互感电压叠加而成的。根据电压，电流的参考方向及耦合电感的同名端确定互感电压的正、负是互感电路分析计算的难点。由于耦合电感支路的电压不仅与本支路电流有关，还和与之有耦合支路的电流有关，所以互感电路的分析计算一般采用支路电流法或网孔电流法。一．耦合电感的串联（series connection of coupled inductors ）
耦合电感的串联联接有两种方式：顺向串联和反向串联。 1.顺向串联
①电路图及方程：耦合电感的顺向串联是异名端相接，如图（a ）所示。电流是从两电感的同名端流入（或流出），其线圈磁链是增强的。
(a) (b)
按图示参考方向，KVL 方程为：
?
???+ω=ω+ω=I M L I M I L U )(j j j 111 ?
?
?
?
+ω=ω+ω=I M L I M I L U )(j j j 222
?
????ω=++ω=+=I L I M L L U U U j )2(j 2121
其中L=L 1+L 2+2M
②等效（去耦等效）电感：L=L 1+L 2+2M 2.反向串联
①电路图及方程：耦合电感的反向串联是同名端相接，如图（a ）所示。电流是从一个线圈的同名端流入（或流出），从另一个线圈的同名端流出（或流入），其线圈的磁链是减弱的。
(a) (b)
按图示的参考方向，KVL 方程为：
?
???-ω=ω-ω=I M L I M I L U )(j j j 111 ?
?
?
?
-ω=ω-ω=I M L I M I L U )(j j j 222
?
?
?
?
?
ω=-+ω=+=I L I M L L U U U j )2(j 2121
其中L=L 1+L 2－2M
②等效（去耦等效）电感：L=L 1+L 2-2M
注意：去耦后，耦合电感支路等效为（L 1-M ）和（L 2-M ），这两者其中之一有可能为负值。但其耦合等效电感L 不可能为负（因为有L 1+L 2>2M ）。二．耦合电感的并联（parallel connection of coupled inductors ）耦合电感的并联也有两种方式：同侧并联和异侧并联。
1.同侧并联
①电路图及方程：耦合电感的同侧并联是两个同名端连接在同一个节点上，如图（a ）所示。
(a) (b)
在正弦稳态情况下，按图示的参考方向有
?
??ω+ω=211j j I M I L U ?
?
?
ω+ω=122j j I M I L U
因为??
?
+=21I I I ，所以上两式可写成
11)(j j ?
?
?
-ω+ω=I M L I M U
22)(j j ?
??-ω+ω=I M L I M U
由上式得到去耦等效电路如图（b ）所示。注意去耦等效之后原电路中的节点A 的对应点为图（b ）中的A 点而非A ＇点。
②等效（去耦等效）电感：
M L L M L L L 2212
21-+-=
由图（b ）电路可求出等效阻抗为
L
M L L M L L M L M L M L M L M Z ω=-+-ω=-ω+-ω-ω?-ω+ω=j 2j )(j )(j )(j )(j j 212
212121
2.异侧并联
①电路图及方程：耦合电感的异侧并联是两个异名端连接在同一节点上，如图（a ）所示。
可以证明，只要改变同侧并联电路图（b ）中M 前符号就是其等效电路，如图（b ）所示。
②等效（去耦等效）电感：
M L L M L L L 2212
21++-=
3.耦合电感的两个线圈有一个端钮相连接时
耦合电感的两个线圈虽然不是并联，但它们有一个端钮相连接，即有一个公共端，去耦法仍然适用，仍然可以把有耦合电感的电路化为去耦后的等效电路。如图（a ）所示。
由图（a ）可得
21113j j ?
??ω+ω=I M I L U 12223j j ?
?
?
ω+ω=I M I L U
由于?
?
?
+=21I I I ，所以上式可写成
?
?
?
ω+-ω=I M I M L U j )(j 1113
?
??ω+-ω=I M I M L U j )(j 2223
由上式可得去耦等效电路如图（b ）所示。
如改变图（a ）中耦合线圈同名端的位置，如下图（a ）同样可推导其去耦等效电路如下图（b ）。
三．含耦合电感电路的一般计算方法
（analysis methods circuit with coupled inductors ）
在计算含有耦合电感的正弦电流电路时，采用相量表示电压、电流，则前面介绍的相量法仍然适用。但由于某些支路具有耦合电感，这些支路的电压不仅与本支路的电流有关，同时还与那些与之有耦合关系的支路电流有关，因而象阻抗串并联公式、节点电压法等不便直接应用。而以电流为未知量的支路电流法、网孔电流法则可以直接应用，因为互感电压可以直接计入KVL 方程中。例已知图中，L 1=1H ，L 2=2H ，M=0.5H ，R 1=R 2=1K Ω，V 200sin 100S t u π=， 试求电路中电流i 及耦合系数K 。
解：支路的阻抗为
所以)A 132200sin(342
.t .i -π=
耦合系数为
354
.02
5.02
1==
=
L L M k 例电
路
如
图
所
示
，
已
知
Ω=ωΩ=ω=ωΩ==∠=2M 4L L 3V 01021211,,R R ,U ，试求开路电压2U 。
(a) (b)
解法一：由题意知02=I
根据图示电路的参考方向可得
解得
解法二：原电路的去耦等效电路如图（b ）所示
4.3 理想变压器（ideal transformer ）
一．理想变压器模型（ideal transformer model ）
1.理想变压器电路模型及特性
(a) 理想变压器电路模型 (b) 受控源表示的电路模型 (c) 受控源表示的电路模型
2.理想变压器几个参数 ⅰ) K=1
ⅱ) 1N 、2N 为原边、副边的匝数
ⅲ) 21N N n =（常量），理想变压器的变比 3.理想变压器方程
按图（a ）中所示的同名端及电压、电流参考方向原、副边电压和电流关系为
2
1211i n i nu u -==
4.变压器的理想化条件： K=1
1L 、2L 和M 均为无限大
n L L =21
采用的措施：芯子用磁导率μ很高的磁性材料
保持匝数比21N N 不变情况下，尽可能增加匝数 使K 接近于1，即尽量紧密耦合
二．理想变压器特性（ideal transformer model ）
1.理想变压器：是无记忆性，无动态过程，无损元件。理想变压器是一个变换信号和传输能量的元件。
因为02211=+i u i u 2.理想变压器的变阻抗： 原边的入端阻抗为
L
i Z n I U n I n 1U n I U Z 22222
2
11)(=-=-==
理想变压器输出端口接有阻抗L Z ，则输入端口的入端阻抗（折合到原边）为L Z n 2
。 例图（a ）理想变压的匝数比为1：10及V 10sin 10501S 21t u ,R ,R =Ω=Ω=，求2u 。 解法一：用回路电流法，根据图（a ）可得
理想变压器的电压、电流关系为
解得
V )10sin(3.333102t u u S
-=-
=
解法二：用阻抗变换法，等效电路如图（b ）所示。
S
S eq eq
u u R R R u 31
11=+=
S
u u n u 31112-=-=
∴V )10sin(3.332t u -= 4.4串联谐振（series resonance ）
谐振：端口电流与外加电压同相的现象。 谐振电路：发生谐振的电路。 谐振条件：使谐振发生的条件。
谐振的实际意义：①在无线电工程中广泛的应用
②在电力系统中应避免，谐振可能会破坏系统正常工作。
一．RLC 串联电路的谐振条件
（condition of series resonance on RLC series circuit ） 1.串联谐振：RLC 串联电路中发生的谐振。
2.谐振的条件
如图RLC 串联电路中，电路的阻抗为
?∠=+=-+=ω-
ω+=Z X R X X R C L R Z C L j )j()1
j(
发生串联谐振时阻抗的虚部为零，即[]0=Z I m 或01=ω-ωC L
谐振角频率和谐振频率（固有频率）分别为
LC
10=
ω
LC f π=
21
结论：谐振频率由电路结构参数决定。RLC 串联电
路的谐振频率由L 、C 决定，与R 无关。
二．串联谐振电路的特点
（characteristic of series resonance on RLC series circuit ）1.谐振时电路的特点
①阻抗为最小值(R Z =)，电流为最大值(R U I =0) ②QU U U C L ==
2.特性阻抗ρ和品质因数Q
R ρ
RC ωR L ωQ C
ωL ωρ===
==000011
U U U U I R I L ωR L ωQ L
L ====
R 00
品质因数Q 的定义：为了维持谐振电路中的电磁振荡，激励源必须不断供给能量以补
偿电路中电阻损耗的能量。与谐振电路所储存电磁场总能量相比，每振荡一次电路消耗能量愈减少，即维持一定能量的振荡所需功率愈小（Q 愈大），则振荡电路的“品质”愈好。因此Q 的定义为R L ωR L f RI T LI Q 0020
02
2212122=
π=??π=?π=损耗能量谐振时一周期内电路中能量谐振时电路中电磁场总
过电压现象：Q>>1时，在电感和电容两端出现大大高于外施电压U 的高电压的现象。
实际电路的Q 值可达200 ~ 500，甚至更高。 3.串联谐振电路中的磁场能量和电场能量
RLC 串联电路中储存能量的总和为
设谐振时外加电压为V sin 20t U u ω=，
则有
A sin 2sin 2
00t I t R U
i ω=ω=
2
00220000222
2)(
1)1(
)1(ω
ωωωQ R U
CR
ωωωR L ωωωR R U
ωC
ωL R U
Z
U I -+=
-?+=
-
+==
V cos 2cos C 2)90sin(C 1200000C t QU t I
t R U u ω-=ωω-=-ωω=
又因为C L R Q 1=
所以
常量
====ω+ω=ω-+ω=
2
Cm 2220222022202021cos sin )cos 2(2
1
)sin 2(21CU U CQ LI t U CQ t LI t QU C t I L W
结论：磁场能量和电场能量的总和为一常数。即：在电感和电容之间，周期性地进行着磁场能量与电场能量的交换。例串联谐振电路如图所示，已知H 500μ=L ，C ＝2000pF ，Q ＝50，电源电压有效值U ＝100mV ，试求电路的谐振频率0f ，谐振时的电流I 和电容上的电压C U 。解：
谐振时的电流
谐振时电容上的电压
三．频率特性和电流谐振曲线
（frequency characteristic and current-resonant curve ）频率特性：电压、电流、阻抗和幅角、电抗等与频率的关系。 谐振曲线：I 、L U 、C U 与ω的关系曲线。 1.电抗的频率特性
C L X X X C L ω-ω=-=1
2.电流谐振曲线
故
222
0020
)1(11)(
11
η-
η+=
-+=Q ω
ωωωQ I I
式中，
R U
I =
0：谐振电
流；
0ωω
=
η：相对频率，即电源频率与谐振频率之比。
图示谐振曲线称为通用谐振曲线。 可见：输出具有选择性。
①η=1(谐振点)时，曲线出现高峰，输出为最大。
②η＜1和η＞1时，输出逐渐下降，随η→0和η→∞而下降为零。 ③选择性：对偏离谐振点的输出有抑制能力，在谐振频率附近频域内有较大幅度的
输出。
电路选择性的优劣取决于对非谐振频率输入信号的抑制能力。
④滤波性质：谐振电路的这种只允许一定范围频率的电流信号通过的性质。 ⑤通频带：通频宽度，又称带宽。它规定了谐振电路允许通过信号的频率范围。
一般规定，以通用曲线上
707.0210==I I
综上分析，品质因数Q 值越大，电流比就下降得越多，电路的通频带越窄，表明电路对不是谐振角频率的电流具有较强的抑制能力，即选择性较好；反之，品质因数Q 值很小，则在谐振点附近电流变化不大，选择性很差。Q 值称为品质因数即来源与此。4.5并联谐振（parallel resonance ）
串联谐振电路适合于激励源内阻很小的情况，如果激励源的内阻很大，采用串联谐振电
路将严重地降低回路的品质因数，使电路的选择性变坏。此时应采用并联谐振电路。一．RLC 并联谐振的谐振条件
（condition of series resonance on RLC parallel circuit ）1.并联谐振：RLC 并联电路中发生的谐振。
2.谐振的条件
如图RLC 并联电路中，电路的导纳为
)1j()j(j ωL ωC G B B G B G Y L C -
+=-+=+=
发生并联谐振时导纳的虚部为零，即[]0I =Y m 或01
=ω-
ωC L
谐振角频率和谐振频率（固有频率）分别为
LC
10=
ω
LC f π=
21
结论：谐振频率由电路结构参数决定。RLC 并联电路的谐振频率由L 、C 决定，与R 无关。
二．并联谐振电路的特点
（characteristic of series resonance on RLC parallel circuit ）1.谐振时电路的特点
①复导纳最小，Y G =，电路呈电阻性；回路电压最大，
G I U S 0=。
②
S S
S C L QI LG ωI G I C
ωCU ωI I =====0000，各元件上的电流为
??????
???-==-====L
C L S S G I U C ωI U L ωI I G I G U G I 000
00j 1j
2.品质因数Q
并联谐振电路的品质因数定义为谐振时感纳（或容纳）与输入电导的比值，即
L C
G LG ωG C ωQ 1100===
3.谐振时能量：电路的总无功功率为零。电源的能量全部消耗在电阻上，电容和电感之
间进行磁场能量和电场能量的转换，不与电源发生能量转换。若R=∞，电路为由L 和C 组成的LC 并联电路，此电路发生并联谐振时其阻抗为无穷大。在实际应用中常利用并联谐振电路阻抗高的特点来选择信号或消除某种信号的频率。
例图示电路中，已知L =100mH ，输入信号中含有0f =100H Z ，1f =500H Z ，2f =1kH Z 的三种频率信号，若要将0f 频率的信号滤去，则应选多大的电容？解：当LC 并联电路在0f 频率下发生并联谐振时，可滤去此频率信号的要求，因此，由并联谐振条件
0f
可得
L f C 20)π2(1=
=231
(2100)10010π-???F=25.4μ
F
谐振电路的品质因素与计算公式
谐振电路的品质因素与计算公式 谐振电路在电子技术中有着广泛的应用.谐振电路的特性与该谐振电路的品质因数(即Q值)密切相关.求1个电路的Q值应从其定义出发,才能对Q值的意义有更深刻的理解对谐振电路的特性有更全面的认识。在研究各种谐振电路时，常常涉及到电路的品质因素Q值的问题，那么什么是Q值呢？下面我们作详细的论述。 品质因数的原始定义是由能量来定义的，表示了电路中能量之间的转换的关系，即电路的储能效率。从能量定义品质因数可以清楚地表达品质因数的物理意义,对于各种电路具有普遍意义。 对于简单的RLC串联、并联电路品质因数的计算我们可以直接套用品质因数在RLC串联、并联电路中的定义式进行计算，但是对于稍复杂的RLC谐振电路这些公式就不再适用。通过品质因数最原始的定义即能量定义一定是可以计算的任意谐振电路的品质因数，但是却会较为繁琐。 图1是一串联谐振电路，它由电容C、电感L和由电容的漏电阻与电感的线电阻R所组成。此电路的复数阻抗Z为三个元件的复数阻抗之和。
Z=R+jωL+(-j/ωC)=R+j(ωL-1/ωC) ⑴ 上式电阻R是复数的实部，感抗与容抗之差是复数的虚部，虚部我们称之为电抗用X表示, ω是外加信号的角频率。 当X=0时，电路处于谐振状态,此时感抗和容抗相互抵消了，即式⑴中的虚部为零，于是电路中的阻抗最小。因此电流最大，电路此时是一个纯电阻性负载电路，电路中的电压与电流同相。电路在谐振时容抗等于感抗，所以电容和电感上两端的电压有效值必然相等， 电容上的电压有效值UC=I*1/ωC=U/ωCR=QU品质因素Q=1/ωCR，这里I 是电路的总电流。 电感上的电压有效值UL=ωLI=ωL*U/R=QU品质因素Q=ωL/R 因为：UC=UL 所以Q=1/ωCR=ωL/R 电容上的电压与外加信号电压U之比UC/U= （I*1/ωC）/RI=1/ωCR=Q 电感上的电压与外加信号电压U之比UL/U= ωLI/RI=ωL/R=Q 从上面分析可见，电路的品质因素越高，电感或电容上的电压比外加电压越高。结论 品质因数的能量定义清楚地表达了品质因数的物理意义，对于各种电路具有普遍意义，但是如果利用它去求解较为复杂的谐振电路的品质因数则相当困难，甚至难以求解。串联和并联谐振电路的品质因数的定义，是从电路参数的角度对品质因数直接下了定义，这种定义有利于求解品质因数的计算，但是从理解的角度讲,不如品质因数的能量定义更加明确，更容易看清其所包含的物理意义。从第一部分的证明我们可以看出串联、并联谐振电路的品质因数的定义可以由品质因
串联谐振电路品质因数的定义
串联谐振电路品质因数的定义 谐振电路中一个非常重要的参数就是品质因数Q,它揭示了谐振电路的各种重要关系,Q值的大小直接影响谐振电路的通频带和选择性等重要指标。然而,在现有的电子教科书中,对谐振电路品质因数的描述大都比较简单,这不利于学生对这一概念与其内涵的真正理解与把握。特别是对品质因数Q值的求解,学生更是感到无从下手。针对于这问题,本文从品质因数的定义出发进行研究,介绍了一种计算品质因数Q值简单而又有效的方法。 1.品质因数的定义 电路的品质因数分为串联电路的品质因数与并联电路的品质因数,以及部分电路的品质因数和整体电路的品质因数。品质因数有以下几种定义方式: 1.1用能量定义品质因数的能量定义清楚地表达了品质因数的物理意义,对于各种电路具有普遍意义,但在电路中利用能量定义来计算品质因数Q值相对比较复杂,有时候甚至难以计算。计算公式如下: 品质因数Q=2π(ω0/ωR0) 式中:0ω———谐振时电路储存的能量,ωR0———谐振时电路在1周期内消耗的能量。 品质因数Q=2π(ωLOM/P0T0) 式中:ωLOM———谐振时电路中电感能量的最大值,P0———谐振时电路中消耗的有功功率,T0———谐振周期。
1.2用功率定义品质因数的功率定义是从另一个角度对品质因数的能量定义的一种解释,它也较好地表达了品质因数的物理意义,用它来计算品质因数Q值的方法相对来说比用能量定义的方法来求解要好得多,不会出现计算不出来的情况。但对较为复杂电路,其计算过程较为繁琐。其计算公式如下: 品质因数Q=Q0/P0 式中:Q0———谐振时的无功功率,P0———谐振时的有功功率。 1.3串联电路品质因数的定义 1.3.1用参数定义如图1所示的RLC串联谐振电路,一般教科书用参数这样定义串联电路的品质因数:谐振时回路感抗值(或容抗值)与回路电阻R的比值称为回路的品质因数,用参数计算公式如下: 品质因数Q=ω0L/R=1/ω0CR=1R·L/R(1) 式中:0ω———电路谐振角频率,L———电路中的电感,C———电路中的电容,R———电路的电阻。
含有耦合电感的电路(学生用)
第十章 含有耦合电感的电路 §1. 耦合电感器与互感电压 一、耦合电感器 ──如果电感器L 1，L 2之间有公共磁通相交链，这两个电感器就构成一个耦合电感器。 1、11φ21φ1L φ 电感器2与1的互感（mutual inductance ） 1 21 212121i N i M φψ=? 注2，21φ的方向与电感器2导线的绕向无关。 2 2’
1=k ──全耦合电感器（相当于021==L L φφ无漏磁通） 实际中： 当双线并绕时，耦合最强，1→k 。 当两个耦合电感器相距甚远，或彼此垂直时，其间耦合较弱，0→k 。
? ??><称强耦合时称弱耦合时,5.0,5.0k k 1ψ2ψ 1ψ13331333Mi i L -=-=ψψψ 表明：在这种绕线方式中，互感磁链与自感磁链方向相反，称为互感的“削弱”作用。 ΦΦ3’ 3
问题：在电路分析中，在确定互感电压时，是否一定要知道耦合电感器的实际绕向呢？ 同名端──在耦合电感器各自一个端钮上通进电流，如果它们产生的互感磁通同方向，这两个端钮就称为同名端。在同名端上打上标记“。”、“.”、“*”或“?”均可。 标有同名端，并用参数表示的耦合电感器的电路符号为： 3. 21i i 、为时变函数时： dt di M dt di L dt Mi i L d dt d u 2 1121111)(+=+==ψ dt di M dt di L dt Mi i L d dt d u 1 2212222)(+=+==ψ
当21i i 、为同频率正弦量时，在正弦稳态情况下： 2 111I M j I L j U ωω+=? 1 222I M j I L j U ωω+=? M ω──互感抗
耦合电感的剖析
电感分析： 电感元件是电感线圈的理想化模型，用于反映电路中存储磁场能量的物理现 象。当线圈中通过电流i（t）时，就会在线圈内外产生磁通? （t） ，建立起磁场，其中储存有以磁场形式存在、由电能转化而来的磁场能量。 如果线圈的匝数为N，则与线圈交链的总磁通称为磁链，记为Ψ （t） ，有 Ψ（t）=N? （t） ，对于电感而言，磁通和磁链均是流过线圈自身的电流i（t）产 生的，所以成为自感磁通和自感磁链，简称为磁通和磁链，他们均是电流i（t）的函数。
Ψ（t ）=L ?i （t ） U （t ）=-e （t ）= d ψ（t ）dt = Nd ?（t ） dt =L di （t ）dt 其中，U （t ）是电感的端电压，e （t ）是 感应电动势。一般电流和端电压关联，和感应电动势相反。 上面解释了，电感电流的跃变必然伴随着电感储能的跃变。电感储能与电压无关，和电流有关。 耦合电感： 电感仅仅考虑了流过一个线圈本身的时变电流所产生的磁通在自己内部引起的感应电压即自感电压。但是根据法拉第电磁感应定律，若两个或多个线圈相互邻近，则任一个线圈所载电流变化所产生的磁通，不仅能和自身交链，引起自感电压，而且还会有一部分与邻近的线圈交链，在该线圈上产生互感电压。 耦合电感与电感在开关电源中功能分析：对于电感，感值和匝数恒定，那么伏秒定则的含义是电感磁芯的磁通不变（或者是电流变化不变）。根据Ψ t =N ?（t ），Ψ t =L ?i （t ），电感端电压感应电动势U （t ）=-e （t ）= d ψ（t ）dt =L di （t ）dt 。可得U L ?t = d ψ（t ）?t Ldt ===》d ψ t =?ψ t =?N ?（t ），由于电感匝 数恒定，事实上是磁通变化量??（t ）恒定。 而在耦合电感中由于值存在原边、副边、互感，匝数有原边匝数、副边匝数，那么伏安关系变为磁通变化量的恒定。 耦合电感:
品质因数计算
电路理论基础论文 名称：电路品质因数的定义及计算方法 学生姓名： 学院： 班级： 学号： 2013年12月
电路品质因数的定义及计算方法 XXX （哈尔滨工业大学 控制科学与工程 哈尔滨150001） 摘要：品质因数是谐振电路中非常重要的一个参数。本文将介绍品质因数的三种定义及之间的相互关系并对谐振电路中品质因数的计算方法进行讨论，给出了一般RLC 电路谐振时品质因数的简单计算方法。 关键词：品质因数；定义；计算方法；谐振电路；等效阻抗；等效导纳； 品质因数是谐振电路中一个非常重要的参数，然而在课程教材只是在RLC 串联、并联谐振电路中直接给出了谐振电路的品质因数的计算公式并由计算公式定义了品质因数，但对于品质因数的原始定义、其物理意义及在较为复杂的RLC 混联电路中的计算方法却并没有说明。本文将介绍品质因数的原始定义，并从原始定义分别推导RLC 串联、并联谐振电路的品质因数定义式，最终给出复杂RCL 谐振电路的品质因数计算的简单方法。 1. 品质因数的定义及相互间的关系 1.1 从能量的角度定义 =2Q π 电路中存储的最大能量电路在一周期内消耗的总能量 品质因数的原始定义是由能量来定义的，表示了电路中能量之间的转换的关系，即电路的储能效率。从能量定义品质因数可以清楚地表达品质因数的物理意义,对于各种电路具有普遍意义,但在电路中利用能量定义来计算品质因数Q 值则相对比较复杂。 1.2 在RLC 串联谐振电路中的定义 R L C 图一：RCL 串联电路 RLC 串联电路图如图所示，电路处于谐振状态时，L 、C 为RLC 串联电路中的电感及电容，C L = ρ，ρ称为RLC 串联电路的特性阻抗。则品质因数R Q ρ=。 1.3 在RLC 并联谐振电路中的定义
品质因数
线圈的品质因数称作q值。它表示线圈在一定频率的交流电压下工作时，其感抗ｘl和等效损耗电阻之比，即为q值。表示公式为 式中：2---常数 f--频率 l--线圈的电感量 r--线圈的总损耗电阻,在低频下可视为线圈的直流电阻. q值的大小一般在几十到几百。q值越高，电路的损耗越小，效率越高。提高绕制线圈的q值可从以下几方面实施: 1)在线圈中装人磁心，这样可以增大电感值，从而提高q值。 2)尽量使用较粗的导线绕制线圈，在高频时还应采用多股线，这样可以减小导线电阻, 提高q值. 电感器的Q值越高,其损耗越小,效率越高. 电感器品质因数的高低与线圈导线的直流电阻、线圈骨架的介质损耗及铁心、屏蔽罩等引起的损耗等有关. 也有人把电感的Q值特意降低的,目的是避免高频谐振/增益过大.降低Q值的办法可以是增加绕组的电阻或使用功耗比较大的磁芯. Q值过大,引起电感烧毁,电容击穿,电路振荡. Q很大时,将有VL=VC>>V的现象出现.这种现象在电力系统中,往往导致电感器的绝缘和电容器中的电介质被击穿,造成损失.所以在电力系统中应该避免出现谐振现象.而在一些无线电设备中,却常利用谐振的特性,提高微弱信号的幅值. 品质因数又可写成Q=2pi*电路中存储的能量/电路一个周期内消耗的能量 通频带BW与谐振频率w0和品质因数Q的关系为:BW=w0/Q,表明,Q大则通频带窄,Q 小则通频带宽. Q=wL/R=1/wRC 其中: Q是品质因素 w是角频率 L是电感 R是串的电阻 C是电容 品质因数（□值）是表征电子电路中谐振回路特性的基本参数。谐振回路的能量关系为□也可用谐振回路各阻抗参量表示为 □通常，某个元件（如电感器或电容器）的□值,指这一元件与一理想的无损耗元件所组成的谐振回路的□值。品质因数测量有Q表法和变电容或变频率两种方法。 Q表法（电压比法）在高频范围广泛采用Q表法测量□值（图1高频Q表法原理图）。其基本原理是:被测件与Q表内部调谐电容器（及辅助电感）组成谐振回路，通过谐振电压和激励电压之比在谐振电压表上利用直接刻度得出谐振回路的直读□值。用此法还可由调谐电容读数求出被测件的电感或电容值。Q表法具有多用途、宽量程和可在实际工作频率下进行测量等特点。 变电容或变频率(通带)法这种方法是各种微波□□值测量方法的基础(图2变电容或变频率(通带)法原理图)。改变电容□或频率□测出谐振回路的谐振曲线,从而求出回路的□值,□
谐振电路和品质因数Q值的物理意义及教学思路
收稿日期:2012-11-27 作者简介:雷志坤(1966~),广西机电职业技术学院讲师,研究方向:电子技术、实验实训教学。浅谈谐振电路和品质因数Q 值的 物理意义及教学思路 雷志坤 (广西机电职业技术学院,广西南宁 530007) 摘 要:谐振是电路在运行过程中的一个特殊状态,处于谐振状态的电路具有明显而独特的特征;电路品质因数Q 值的物理意义在于揭示了电路谐振程度的强弱,体现了电路对信号源频率的选择性以及电路中无功功率对有功功率的比例。充分理解谐振和品质因数的物理含义对掌握和应用其原理起到事半功倍的效果。本文从实用角度出发,通过对常见应用实例分析引出谐振的概念及其学习重点,并通过对比方法讨论了两种典型谐振的特点及品质因数Q 值物理意义区别,给电路分析相关内容的教学提供了一些有效的参考方法。 关键词:谐振;品质因数Q 值;物理意义;讨论 中图分类号:G642 文献标识码:A 文章编号:1008-7508(2013)01-0123-03 引言 谐振是电路在运行过程中出现的一种特殊物理现象, 其重要性从无线电通信等技术中的应用中可见一斑。具有 电感和电容元件的不含独立激励源二端电路网络,当网络 的输入阻抗等效为纯电阻时,该电路发生了谐振现象,谐 振时电感感抗大小等于电容容抗,网络端口的电压和电流 同相位,在电感或电容上将获得比端口信号大得多的信号 响应量。Q 值的物理意义体现了一个电路发生谐振的强弱 程度和电路对输入信号选频性的好坏。然而,在电路分析 教学中,我们常常发现学生(尤其是高、中职学校的学生) 对谐振其品质因数Q 这些重要概念的物理含义理解不清或 一知半解,究其原因主要是因为其概念较为抽象,教材中 又多采用复杂而繁琐的数学公式推导,直观性不强,造成 学生对这些概念的理解出现一定程度的困难,将影响到他 们后续课程的学习效果。 如何才能便捷有效地理解电路中的谐振和品质因数等 概念呢?笔者在多年的教学实践中总结出一些较为理想的 教学方法,现归纳为以下几点供同行们探讨。 一、举例说明谐振概念及其品质因数Q 值的物理意义 1、谐振的概念及典型应用举例 现以最常见的收音机输入回路(即调台电路)为例。 如图1为简单的收音机信号输入等效电路,由天线和电阻 R 、电感L 及电容C 组成,其中,R 、L 、C 构一个串联谐振回路。 Journal of Jilin Radio and TV University No.1,2013(Total No.133) 吉林广播电视大学学报 2013年第1期(总第133期) 学术论坛
06谐振电路分析解析
谐振电路分析 一、是非题 2.由R、L、C组成的串联电路，当其外加正弦电压源的角频率变为时，电路中的电流最大。 3.RLC串联电路谐振时，。 4.RLC串联电路谐振时，电路中的电流最大，因此L、C上的电压也一定大于电源电压。 5.RLC串联电路的通频带?f随着电阻R的增大而增大。 6.电感元件和电容元件组成并联谐振电路时，其电路的品质因数为无穷大；谐振时电路的等效阻抗也为无穷大。 7.图示电路，当发生电流谐振时，U C =0。 8.图示RLC串联电路，S闭合前的谐振频率与品质因数为f0与Q，S闭合后的谐振频率与品质因数为与Q'，则，Q 10.图示RLC串联电路，未并联C2时，谐振角频率与品质因数分别为ω0与Q，并联C2后，谐振角频率与品质因数为ω0'与Q'，则ω0>ω0'，Q >Q'。 12.图示电路，当LC并联谐振时，U R =0。 2.答案(+) 3.答案(+) 4.答案(-) 5.答案(+) 6.答案(+) 7.答案(-)8.答案(+)9.答案(-)10.答案(+)12.答案(+) 二、单项选择题 1.RLC串联电路的串联谐振频率为。当f 第十章 含有耦合电感的电路 本章重点： 1.互感及互感电压 2.互感线圈的串并联 3.理想变压器的变换作用 本章难点：空心变压器的等效电路 本章内容 §10-1 互感 1、概念：互感、总磁链、同名端。 2、耦合线圈的电压、电流关系） 设,u i 为关联参考方向： (1) 121111u u L u +=±== dt di M dt di dt d 211ψ 222122u u L u +=+±== dt di dt di M dt d 212ψ 式中：u 11=L 1 dt di 1 ，u 22=L 2dt di 2称为自感电压； u 22=±M dt di 1，u 12=±M dt di 2称为互感电压(互感电压的正负，决定于互感电压“+”极性端子，与产生它的电流流进的端子为一对同名端，则互感电压为“+”号). (2) 相量式 1212111j L L M U I j M I jX I J Z I ωω? ? ? ? ? =±=+ 1221222j L L M U M I j I jX I J Z I ωω? ? ? ? ? =±+=+ 式中M Z j M ω=为互感抗。 3、耦合因数： 1def k == =≤ §10-2 含有耦合电感电路的计算 1、耦合电感的串联 (1)反向串联：把两个线圈的同名端相连称为反接。由(a)图知： 111 11(L -M )=(L -M)di di di u R i R i dt dt dt =++ 22222(L -M )=(L -M)di di di u R i R i dt dt dt =++ 122212()(L +L -2M)di u u u R R i dt =+=++ 其相量式为(b 图去耦等效电路) 12 12()(L +L -2M)U R R I j I ω=++&&& 1212()(L +L -2M)Z R R j ω=++ (2)顺向串联；把两个线圈的异名端相连，称为顺接。 1212()(L +L +2M)Z R R j ω=++ 2、耦合电感线圈并联 (1)同侧并联电路：把两个耦合电感的同名端连在同一个结点上，称为同侧并联电路，由(a) 图得： ? ? ? 1211( )U R j L I j M I ωω=++； ? ? ? 1222 ()U j M I R j ML I ωω=++ i + ?? R 1 R 2 L 1 L 2 + + — — —U 1 U 2 i + R 1 R 2 L 1-M L 2-M + + — — U 1 U 2 — (a) (b) i ? + — ???U &j M ω1j L ω2 j L ω3I &1I &2 I &1R 20 ? + — ?U &3 j L ω() 1 j L M ω-() 2 j L M ω-3I &1 I & 2 I &1R 2 R 0 （a ） （b ） ① ① 1' 第4章 耦合电感和谐振电路 （inductor of coupling and resonance circu it ） 本章主要介绍: ① ① 耦合电感元件，耦合电感的串、并联; ② ② 含有耦合电感的正弦电流电路的分析, 理想变压器的初步概念; ③ ③ 串联谐振、并联谐振的物理现象，谐振条件，谐振特点。 4.1耦合电感元件(coupled inductors) 磁耦合：两个线圈的磁场存在着相互作用，这种现象称为磁耦合，亦具有互感。 本节只讨论一对线圈相耦合的情况。 一.互感（mutual inductance ） 1.互感：当两个电感线圈物理上相互靠近，一个线圈所产生的磁通与另一个线圈相交链，使之产生感应电压的现象。图为两个有耦合的线圈。设线圈芯子及其周围的磁介质为非铁磁性物质。线圈1的匝数为1N ,线圈2的匝数为2N 。规定每个线圈电流与电压为关联参考方向，电流与其产生的磁链（或电流与磁通）的参考方向符合右手螺旋法则，也是相关联。 耦合线圈无耦合线圈 ①自感磁链：1i 在线圈1中产生的磁通为11Φ及磁链为11Ψ，即：11111ΦN Ψ= 2i 在线圈2中产生的自感磁链22Ψ，即：2222i L Ψ= ②互感磁链：1i 在线圈2中产生的磁链21Ψ，即：21221ΦN Ψ=，21M ——线圈1与2的互感。 2i 在线圈1中产生的磁链12Ψ，即：21212i M Ψ=，12M ——线圈2与1的 互感。 由于磁场耦合作用，每个线圈的磁链不仅与线圈本身的电流有关，也和与之耦合的线圈电流有关，即 ),(2111i i f Ψ=及),(2122i i f Ψ= 由于线圈周围磁介质为非铁磁性物质，上两式均为线性的，即磁链是电流的线性函数。 2.结论：①互感系数：只要磁场的介质是静止的，根据电磁场理论可以证明2112M M =，所以，统一用M 表示，简称互感，其SI 单位：亨利（H ）。②互感的量值反映了一个线圈在另一个线圈产生磁链的能力。互感的大小不仅 与两线圈的匝数、形状及尺寸有关，还与两线圈的相对位置有关。如果两线圈使其轴线平行放置，则相距越近，互感便越大，反之越小。而两线圈轴线相互垂直，如图所示在这种情况下，线圈1产生的磁力线几乎不与线圈2相交链，互感磁链接近零，所以互感接 第十章（含耦合电感的电路）习题解答 一、选择题 1．图10—1所示电路的等效电感=eq L A 。 Ａ．8H ； Ｂ．7H ； Ｃ．15H ； Ｄ．11H 解：由图示电路可得 121 d d 2d d ) 63(u t i t i =++， 0d d 4d 221=+t i t i d 从以上两式中消去 t i d d 2 得t i u d d 811=，由此可见 8=eq L H 2．图10—2所示电路中，V )cos(18t u s ω=，则=2i B A 。 Ａ．)cos(2t ω； Ｂ．)cos(6t ω； Ｃ．)cos(6t ω-； Ｄ．0 解：图中理想变压器的副边处于短路，副边电压为0。根据理想变压器原副边电压的关系可知原边的电压也为0，因此，有 A )cos(29 ) cos(18 1t t i ω=ω= 再由理想变压器原副边电流的关系n i i 121= (注意此处电流2i 的参考方向)得 A )cos(612t ni i ω== 因此，该题应选B 。 3．将图10─3（a ）所示电路化为图10—3（b ）所示的等效去耦电路，取哪一组符号取决于 C 。 Ａ．1L 、2L 中电流同时流入还是流出节点0； Ｂ．1L 、2L 中一个电流流入0，另一个电流流出节点0 ； Ｃ．1L 、2L 的同名端相对于0点是在同侧还是在异侧，且与电流参考方向无关； Ｄ．1L 、2L 的同名端相对于0点是在同侧还是在异侧，且与电流参考方向有关。 解：耦合电感去耦后电路中的M 前面是取“+”还是取“–”，完全取决于耦合电感的同名端是在同侧还是在异侧，而与两个电感中电流的参考方向没有任何关系。因此，此题选C 。 RLC 串联谐振电路实验误差的分析及改进 一、摘要： 从RLC 串联谐振电路的方程分析出发，推导了电路在谐振状态下的谐振频率、品质因数和输入阻抗，并且基于Multisim仿真软件创建RLC 串联谐振电路，利用其虚拟仪表和仿真分析，分别用测量及仿真分析的方法验证它的理论根据。其结果表明了仿真与理论分析的一致性，为仿真分析在电子电路设计中的运用提供了一种可行的研究方法。 二、关键词：RLC；串联；谐振电路； 三、引言 谐振现象是正弦稳态电路的一种特定的工作状态。通常，谐振电路由电容、电感和电阻组成，按照其原件的连接形式可分为串联谐振电路、并联谐振电路和耦合谐振电路等。 由于谐振电路具有良好的选择性，在通信与电子技术中得到了广泛的应用。比如，串联谐振时电感电压或电容电压大于激励电压的现象，在无线电通信技术领域获得了有效的应用，例如当无线电广播或电视接收机调谐在某个频率或频带上时，就可使该频率或频带内的信号特别增强，而把其他频率或频带内的信号滤去，这种性能即称为谐振电路的选择性。所以研究串联谐振有重要的意义。 在含有电感L 、电容C 和电阻R 的串联谐振电路中，需要研究在不同频率正弦激励下响应随频率变化的情况，即频率特性。Multisim 仿真软件可以实现原理图的捕获、电路分析、电路仿真、仿真仪器测试等方面的应用，其数量众多的元件数据库、标准化仿真仪器、直观界面、简洁明了的操作、强大的分析测试、可信的测试结果都为众多的电子工程设计人员提供了一种可靠的分析方法，同时也缩短了产品的研发时间。 四、正文 （1）实验目的： 1.加深对串联谐振电路条件及特性的理解。 2.掌握谐振频率的测量方法。 3.理解电路品质因数的物理意义和其测定方法。 4.测定RLC串联谐振电路的频率特性曲线。 https://www.360docs.net/doc/5216104546.html, 什么是谐振电路的品质因数 在研究各种谐振电路时，常常涉及到电路的品质因素Q值的问题，那末什么是Q值呢？下面我们作详细的论述。 1是一串联谐振电路，它由电容C、电感L和由电容的漏电阻与电感的线电阻R所组成。此电路的复数阻抗Z为三个元件的复数阻抗之和。 Z=R+jωL+（-j/ωC）=R+j（ωL-1/ωC）⑴ 上式电阻R是复数的实部，感抗与容抗之差是复数的虚部，虚部我们称之为电抗用X表示，ω是外加信号的角频率。 当X=0时，电路处于谐振状态，此时感抗和容抗相互抵消了，即式⑴中的虚部为零，于是电路中的阻抗最小。因此电流最大，电路此时是一个纯电阻性负载电路，电路中的电压与电流同相。电路在谐振时容抗等于感抗，所以电容和电感上两端的电压有效值必然相等， 电容上的电压有效值UC=I*1/ωC=U/ωCR=QU 品质因素Q=1/ωCR，这里I是电路的总电流。 电感上的电压有效值UL=ωLI=ωL*U/R=QU 品质因素Q=ωL/R https://www.360docs.net/doc/5216104546.html, 因为：UC=UL 所以Q=1/ωCR=ωL/R 电容上的电压与外加信号电压U之比UC/U= （I*1/ωC）/RI=1/ωCR=Q 感上的电压与外加信号电压U之比UL/U= ωLI/RI=ωL/R=Q 从上面分析可见，电路的品质因素越高，电感或电容上的电压比外加电压越高。 电路的选择性：图1电路的总电流I=U/Z=U/［R2+（ωL-1/ωC）2］1/2=U/［R2+（ωLω0/ω0-ω0/ωCω0）2］1/2 ω0是电路谐振时的角频率。当电路谐振时有：ω0L=1/ω0C 所以I=U/{R2+［ω0L（ω/ω0-ω0/ω）］2}1/2= U/{R2+［R2（ω0L/R）2］（ω/ω0-ω0/ω）2}1/2= U/R［1+Q2（ω/ω0-ω0/ω）2］1/2 因为电路谐振时电路的总电流I0=U/R， 所以I=I0/［1+Q2（ω/ω0-ω0/ω）2］1/2有：I/I0=1/［1+Q2（ω/ω0-ω0/ω）2］1/2作此式的函数曲线。设（ω/ω0-ω0/ω）2=Y 曲线如图所示。这里有三条曲线，对应三个不同的Q值，其中有Q1》Q2》Q3。从图中可看出当外加信号频率ω偏离电路的谐振频率ω0时，I/I0均小于1。Q值越高在一定的频偏下电流下降得越快，其谐振曲线越尖锐。也就是说电路的选择性是由电路的品质因素Q所决定的，Q值越高选择性越好。 品质因数—搜狗百科 对于无辐射系统,如Z=R+jX,则Q =|X|/R。SI单位:1(一)。Q=无功功率/有功功率谐振回路的品质因数为谐振回路的特性阻抗与回路电阻之比。在串联电路中，电路的品质因数Q 有两种测量方法，一是根据公式Q=UL/U0=Uc/U0测定，Uc与UL分别为谐振时电容器C与电感线圈L上的电压；另一种方法是通过测量谐振曲线的通频带宽度△f=f2-f1，再根据Q=f0/(f2-f1)求出Q值。式中f0为谐振频率，f2与f1 是失谐时，亦即输出电压的幅度下降到最大值的1/√2 （=0.707)倍时的上、下频率点。Q值越大，曲线越尖锐，通频带越窄，电路的选择性越好。在恒压源供电时，电路的品质因数、选择性与通频带只决定于电路本身的参数，与信号源无关。1是一串联谐振电路，它由电容C、电感L和由电容的漏电阻与电感的线电阻R所组成。此电路的复数阻抗Z 为三个元件的复数阻抗之和。 Z=R+jωL+(-j/ωC)=R+j(ωL-1/ωC) ⑴上式电阻R是复数的实部，感抗与容抗之差是复数的虚部，虚部我们称之为电抗用X表示, ω是外加信号的角频率。当X=0时，电路处于谐振状态,此时感抗和容抗相互抵消了，即式⑴中的虚部为零，于是电路中的阻抗最小。因此电流最大，电路此时是一个纯电阻性负载电路，电路中的电压与电流同相。电路在谐振时容 抗等于感抗，所以电容和电感上两端的电压有效值必然相等，电容上的电压有效值UC=I*1/ωC=U/ωCR=QU 品质因数 Q=1/ωCR，这里I是电路的总电流。电感上的电压有效值 UL=ωLI=ωL*U/R=QU 品质因数Q=ωL/R因为：UC=UL 所以Q=1/ωCR=ωL/R电容上的电压与外加信号电压U之比 UC/U= （I*1/ωC）/RI=1/ωCR=Q电感上的电压与外加信号电压U之比UL/U= ωLI/RI=ωL/R=Q从上面分析可见，电路的品质因数越高，电感或电容上的电压比外加电压越高。电路的选择性：图1电路的总电流 I=U/Z=U/[R2+(ωL-1/ωC)2]1/2=U/[R2+(ωLω0/ω0-ω0/ωCω0)2]1/2 ω0是电路谐振时的角频率。当电路谐振时有： ω0L=1/ω0C所以I=U/{R2+[ω0L(ω/ω0-ω0/ω)]2}1/2= U/{R2+[R2(ω0L/R)2](ω/ω0-ω0/ω)2}1/2= U/R[1+Q2(ω/ω0-ω0/ω)2]1/2因为电路谐振时电路的总电流 I0=U/R，所以I=I0/[1+Q2(ω/ω0-ω0/ω)2]1/2有： I/I0=1/[1+Q2(ω/ω0-ω0/ω)2]1/2作此式的函数曲线。设 (ω/ω0-ω0/ω)2=Y曲线如图2所示。这里有三条曲线，对应三个不同的Q值，其中有Q1>Q2>Q3。从图中可看出当外 加信号频率ω偏离电路的谐振频率ω0时，I/I0均小于1。Q值越高在一定的频偏下电流下降得越快，其谐振曲线越尖锐。也就是说电路的选择性是由电路的品质因数Q所决定的，Q值越高选择性越好。 1. 固体激光器的基本结构与工作物质 固体激光器基本上都是由工作物质、泵浦系统、谐振腔和冷却、滤光系统构成的。图7.1.1是长脉冲固体激光器的基本结构示意图(冷却、滤光系统未画出)。 固体工作物质是固体激光器的核心。影响工作特性的关键是工作物质的光谱特性。最常用的是红宝石和掺Nd 3+激光器。 1) 红宝石激光器 工作物质为Al 2O 3＋Cr 2O 3，Cr 3＋决定光谱性能，从红宝石中铬离子的能级结构图（7.1.2）红宝石激光器为三能级系统，激光谱线：0.6943μm+0.6929μm ；0.6943μm 占优势。泵浦源为脉冲氙灯。由于固体激光器的工作物质是绝缘晶体，所以一般用光泵浦源激励。 优缺点：阈值高、温度效应非常严重、室温下不适于连续和高重复率工作。 图7.1.1 固体激光器的基本结构示意图 图7.1.2 红宝石中铬离子的能级结构 2) Nd 3＋ :YAG 激光器 突出优点：阈值低和具有优良的热学性质，这就使得它适于连续和高重复率工作。 Nd 3＋:YAG 是目前能在室温下连续工作的唯一实用的固体工作物质，在中小功率脉冲器件中，特别是在高重复率的脉冲器件中，目前应用Nd 3＋:YAG 的量，远远超过其它固体工作物质。可以说， Nd 3＋:YAG 从出现至今，大量使用，长盛不衰。 工作物质:将一定比例的A12O 3、Y 2O 3，和Nd 2O 3在单晶炉中进行熔化结晶而成的，呈淡紫色。它的激活粒子是钕离子(Nd 3＋)， YAG 中Nd 3＋与激光产生有关的能级结构如图7.1.3所示。它属于四能级系统。 2. 固体激光器的泵浦系统 1) 固体激光工作物质是绝缘晶体，一般都采用光泵浦激励。泵浦光源应当满足两个基本条件。 2) 常用的泵浦灯在空间的辐射都是全方位的，因而固体工作物质一般都加工成圆柱棒形状，所以为了将泵浦灯发出的光能完全聚到工作物质上，必须采用聚光腔。 3) 图7.1.4所示的椭圆柱聚光腔是小型固体激光器中最常采用的聚光腔，它的内表面被抛光成镜面，其横截面是一个椭圆。 4) 固体激光器的泵浦系统还要冷却和滤光。常用的冷却方式有液体冷却、气体冷却和传导冷却等，其中以液冷最为普遍。 5) 泵浦灯和工作物质之间插入滤光器件滤去泵浦光中的紫外光谱。 图7.1.3 Nd 3＋ :Y AG 的能级结构 品质因数Q 的讨论 摘要 通过课上对谐振电路中的品质因数的学习，了解了品质因数的由来及定义。本文通过对谐振电路在串并联中品质因数的几种定义，比较了各种定义的优劣。并以此来进一步加深对品质因数的理解。 关键词 谐振电路 品质因数 定义比较 一 品质因数Q 的定义 1 能量定义 品质因数的能量定义清楚地表达品质因数的物理本质，对各电路具有普遍意义。 ()()?? ????=002ωωπR W W Q 式中()0ωW ——谐振时电路储存的能量，()0ωR W ——谐振时电路在一个周期???? ? ?=002ωπT 内消耗的能量。 2 功率定义 品质因数的功率定义较好地表达了品质因数的物理意义，用它来计算品质因数Q 值的方法比用能量定义的方法求解要好的多。 00 P Q Q = 式中0Q ——谐振时的无功功率，0P ——谐振时的有功功率。 二 串联电路的品质因数 1 用参数定义 如下图的RLC 串联谐振电路，品质因数定义为：谐振时的感抗（或容抗）与电阻的比值。 C L R CR R L Q 1100===ωω 式中o ω——谐振角频率，L ——电路中的电感，C ——电路中的电容，R ——电路的电阻。 2 用电压定义 品质因数定义为：谐振时电感电压（或电容电压）与电源电压大小的比值。 U U U U Q L C == 三 并联电路的品质因数 1 用参数定义 如下图的RLC 并联谐振电路，其品质因数定义的方法和串联谐振定义的方法一样。 L C R C R L R Q ===00ωω 式中L ——电路中的电感，C ——电路中的电容，R ——电路中的电阻，0ω——谐振角频率。 第十章 耦合电感和变压器电路分析 一 内容概述 1 互感的概念及VCR ：互感、同名端、互感的VCR 。 2 互感电路的分析方法： ①直接列写方程：支路法或回路法； ②将互感转化为受控源； ③互感消去法。 3 理想变压器： ①理想变压器的模型及VCR ； ②理想变压器的条件； ③理想变压器的阻抗变换特性。 本章的难点是互感电压的方向。具体地说就是在列方程时，如何正确的计入互感电压并确定“＋、－”符号。 耦合电感 1）耦合电感的伏安关系 耦合电感是具有磁耦合的多个线圈 的电路模型，如图10-1(a)所示，其中L 1、 L 2分别是线圈1、2的自感，M 是两线圈之 间的互感，“．”号表示两线圈的同名端。 设线圈中耦合电感两线圈电压、电流 选择关联参考，如图10-1所示，则有： dt di M dt di L )t (u dt di M dt di L )t (u 1 2222 11 1±=±= 若电路工作在正弦稳态，则其相量形式为： . 1 . 2. 2. 2. 1. 1I M j I L j U I M j I L j U ωωωω±=±= 其中自感电压、互感电压前正、负号可由以下规则确定：若耦合电感的线圈电压与电流的参考方向为关联参考时，则该线圈的自感电压前取正号(如图10-l (a)中所示)t (u 1的自感电压)，否则取负号；若耦合电感线圈的线圈电压的正极端与该线圈中产生互感电压的另一线圈的 图10-1 电流的流入端子为同名端时，则该线圈的互感电压前取正号(如图10-l (a)所示中)t (u 1的互感电压)，否则取负号(如图10-1(b)中所示)t (u 1的互感电压)。 2）同名端 当线圈电流同时流人(或流出)该对端钮时，各线圈中的自磁链与互磁链的参考方向一致。 2 耦合电感的联接及去耦等效 1）耦合电感的串联等效 两线圈串联如图10-2所示时的等效电感为： M 2L L L 2 1eq ±+= （10-1） （10-1）式中M 前正号对应于顺串，负号对应于反串。 2）耦合电感的三端联接 将耦合电感的两个线圈各取一端联接起来就成了耦合电感的三端联接电路。这种三端联接的电路也可用3个无耦合的电感构成的T 型电路来等效，如图10-3所示 图10-2 图10-3 §10.1 互感 耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中，如收音机、电视机中的中周线圈、振荡线圈，整流电源里使用的变压器等都是耦合电感元件，熟悉这类多端元件的特性，掌握包含这类多端元件的电路问题的分析方法是非常必要的。 1. 互感 两个靠得很近的电感线圈之间有磁的耦合，如图10.1所示，当线圈1中通电流 i 1 时，不仅在线圈1中产生磁通f 11，同时，有部分磁通 f 21 穿过临近线圈2，同理，若在线圈2中通电流 i 2 时，不仅在线圈2中产生磁通f 22， 同时，有部分磁通 f 12 穿过线圈1，f 12和f 21称为互感磁通。定义互磁链： 图 10.1 ψ12 = N 1φ12 ψ21 = N 2φ21 当周围空间是各向同性的线性磁介质时，磁通链与产生它的施感电流成正比，即有自感磁通链： 互感磁通链： 上式中 M 12 和 M 21 称为互感系数，单位为（H ）。当两个线圈都有电流时，每一线圈的磁链为自磁链与互磁链的代数和： 需要指出的是： １）M 值与线圈的形状、几何位置、空间媒质有关，与线圈中的电流无关，因此，满足 M12 =M21 =M ２）自感系数L 总为正值，互感系数 M 值有正有负。正值表示自感磁链与互感磁链方向一致，互感起增助作用，负值表示自感磁链与互感磁链方向相反，互感起削弱作用。 2. 耦合因数 工程上用耦合因数k 来定量的描述两个耦合线圈的耦合紧密程度，定义 一般有： 当k =1 称全耦合，没有漏磁，满足f11 = f21，f22 = f12。 耦合因数k 与线圈的结构、相互几何位置、空间磁介质有关。 3. 耦合电感上的电压、电流关系 当电流为时变电流时，磁通也将随时间变化，从而在线圈两端产生感应电压。根据电磁感应定律和楞次定律得每个线圈两端的电压为： 即线圈两端的电压均包含自感电压和互感电压。 在正弦交流电路中，其相量形式的方程为 注意：当两线圈的自感磁链和互感磁链方向一致时，称为互感的“增助”作用，互感电压取正；否则取负。以上说明互感电压的正、负： （1）与电流的参考方向有关。 RLC 串联谐振电路 一、知识要求： 理解RLC 串联电路谐振的含义；理解谐振的条件、谐振角频率、频率；理解谐振电路的特点，会画矢量图。 二、知识提要： 在RLC 串联电路中，当总电压与总电流同相位时，电路呈阻性的状态称为串联谐振。 （1）、串联谐振的条件：C L C L X X U U ==即 （2）、谐振角频率与频率：由LC f LC ：C L πωωω21110=== 谐振频率得 （3）、谐振时的相量图： （4）、串联谐振电路的特点： ①.电路阻抗最小：Z=R ②、电路中电流电大：I 0=U/R ③、总电压与总电流同相位，电路呈阻性 ④、电阻两端电压等于总电压，电感与电容两端电压相等，相位相反，且为总电压的Q 倍，。即：U L =U C =I 0X L =I 0X C =L X R U =U R X L =QU 式中：Q 叫做电路的品质因数，其值为： CR f R L f R X R X Q C L 00212ππ====＞＞1(由于一般串联谐振电路中的R 很小，所以Q 值总大于1，其数值约为几十，有的可达几百。所以串联谐振时，电感和电容元件两端可能会产生比总电压高出Q 倍的高电压，又因为U L =U C ，所以串联谐振又叫电压谐振。) （5）、串联谐振电路的应用： 适用于信号源内阻较低的交流电路。常被用来做选频电路。 三、例题解析： 1、在RLC 串联回路中，电源电压为5mV ，试求回路谐振时的频率、谐振时元件L 和C 上的电压以及回路的品质因数。 解：RLC 串联回路的谐振频率为 谐振回路的品质因数为 谐振时元件L 和C 上的电压为 2、 在RLC 串联电路中，已知L ＝100mH ，R ＝Ω，电路在输入信号频率为400Hz 时发生谐振，求电容C 的电容量和回路的品质因数。 解：电容C 的电容量为 回路的品质因数为 3、已知某收音机输入回路的电感L=260μH,当电容调到100PF 时发生串联谐振，求电路的谐振频率，若要收听频率为640KHz 的电台广播，电容C 应为多大。（设L 不变） 解：LC f π21 0==12610101026014.321 --X X X X X ≈KHZ 623210 260)1064014.32(1)2(1-==X X X X X L f C π≈238PF 四、练习题： （一）、填空题 1、串联正弦交流电路发生谐振的条件是 ，谐振时的谐振频率品质因数Q= ，串联谐振又称为 。 2、在发生串联谐振时，电路中的感抗与容抗 ；此时电路中的阻抗最 ，电流最 ，总阻抗Z= 。 3、在一RLC 串联正弦交流电路中，用电压表测得电阻、电感、电容上电压均为10V ，用电流表测得电流为10A ，此电路中R= ，P= ，Q= ，S= 。 4、在含有L 、C 的电路中，出现总电压、电流同相位，这种现象称为 。这种现象若发生在串联电路中，则电路中阻抗 ，电压一定时电流 ，且在电感和电容两端将出现 。 5、谐振发生时，电路中的角频率=0ω ，=0f 。 （二）、判断题 1、串联谐振电路不仅广泛应用于电子技术中，也广泛应用于电力系统中。 （ ） 2、串联谐振在L 和C 两端将出现过电压现象，因此也把串谐称为电压谐振。 （ ） （三）、选择题 1、RLC 并联电路在f 0时发生谐振，当频率增加到2f 0时，电路性质呈（ ） A 、电阻性 B 、电感性 C 、电容性 2、处于谐振状态的RLC 串联电路，当电源频率升高时，电路将呈现出（ ） A 、电阻性 B 、电感性 C 、电容性 3、下列说法中，（ ）是正确的。 A 、串谐时阻抗最小 B 、并谐时阻抗最小 C 、电路谐振时阻抗最小 4、发生串联谐振的电路条件是（ ） A 、R L 0ω B 、LC f 1 0= C 、LC 1 0=ω 5、在RLC 串联正弦交流电路，已知XL=XC=20欧，R=20欧，总电压有效值为220V ，电感上的电压为（ ）V 。 A 、0 B 、220 C 、 6、正弦交流电路如图所示，已知电源电压为220V ，频率f=50HZ 时，电路发生谐振。现将含有耦合电感的电路
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