正弦稳态响应的叠加
正弦稳态响应
当是t的函数时，正弦量Amcos(t+)可用复值函数来表示
Am cos(t ) Re( Ame j(t ) ) Re( Ame je jt ) Re( A&me jt )
9
§8.1 正弦稳态响应(正弦量和相量)
Am sin(t ) Re( Ame j(t) ) Re( Ame je jt ) Re( A&me jt )
T0
15
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
1 U 2 Um
或
Um 2U
若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V；
U=380V，
Um537V。
注 （1）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设
备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指
的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大
A2 e j2
A1
A e j(1 2 ) 2
A1 A2 1 2 乘法：模相乘，角相加。
A1 A2
| A1 |θ 1 | A2 |θ 2
| A1 | ejθ1 | A2 | ejθ 2
| A1 | e j(θ1θ 2 ) | A2 |
| A1 | | A2 |
θ1 θ2
除法：模相除，角相减。
20
几种不同值时的旋转因子
,
2
j
e 2 cos j sin j
2
2
Im
jI
I
0
Re
I jI
,
j
e2
cos(
)
j sin(
)
j
2
2
2
, e j cos() j sin() 1
4.4正弦稳态响应
4.4
正弦稳态响应
一、正弦稳态的功率
i + u –
I
•
无源 网络
•
U
•
+ –
无源 网络
=U Ψu U
•
u = 2Ucosωt √ ω
I = I Ψi
•
U =Z ϕ Z= • I i= 2Icos( ωt– ϕ) √ ° • U 0° I –ϕ • ϕ 0° I = ° = U =U Z ϕ
• I1 ϕ • I ϕ1
=11×0.866 －6.04×0.415 =7.02 A × ×
IC = 101.57 µF C= ωU
4.4
正弦稳态响应
7、最大功率传输
NS
ZL
+ –
Zin .
ZL
UOC
ZL= Z* in
4.4
正弦稳态响应
最大功率传输定理 工作于正弦稳态的单口网络， 工作于正弦稳态的单口网络，在负 载阻抗等于含源单口网络输出阻抗的共 载阻抗等于含源单口网络输出阻抗的共 * 轭复数（ 轭复数（即 Z L = Z o ）时，负载可以获得 最大平均功率
• •
•
•
4.4
正弦稳态响应
谐振电路呈现电阻性 电源供给电路的能量全部被电阻所消耗， 电源不与电路进行能量互换，能量的互换只发 生在电感线圈和电容器之间。
I
• U
•
R jωL ω ∩∩ ∩ ∩∩ ∩ • • + U – + UL– + R
UL
电 源 P1=UI1cosϕ1 ϕ cosϕ1 =0.5 ϕ 1.21×103=220×11× cosϕ1 × × × ϕ
同济电路理论期末总复习
iCR +UC = 0
由于 1 +
t=0 K 2
iC R C
du C iC dt
U
-
uC
十二、一阶电路的三要素法 稳态值，初始值和时间常数称为一阶电路的 三要素，通过三要素可以直接写出一阶电路的全 响应。这种方法称为三要素法。 若全响应变量用f(t)表示，则全响应可按下式求出：
f (t ) f () [ f (0 ) f ()]e
九、最大功率传输定理：
含源线性电阻单口网络(Ro>0)向可变电阻负载 RL传输最大功率的条件是：负载电阻RL与单口网 络的输出电阻Ro相等。满足RL=Ro条件时，称为最 大功率匹配，此时负载电阻RL获得的最大功率为
u pmax 4Ro
2 oc
(4 14)
十、一阶电路的零状态响应
零状态响应：在所有储能元件的储能为零的情况下，仅 由外加电源输入引起的响应。
功率守恒
P Pk
p(t ) pk (t )
十六、正弦稳态最大功率传递功率
负载获得最大功率的条件为
. I . US ＋ － ZS ZL
XL XS RL RS
Z L Z S Rs jX s
最大功率为
U Pmax 4 RS
2 S
十七、正弦稳态的叠加
叠加原理 可以计算多个正弦电源作用于网络的稳态响应。 根据叠加原理，需先求出各正弦电源单独作用下的 正弦稳态分量。
六、叠加定理 以上表明，由两个独立电源共同产生的响应，
等于每个独立电源单独作用所产生响应之和。线
性电路的这种叠加性称为叠加定理。
叠加定理陈述为：由全部独立电源在线性电阻
电路中产生的任一电压或电流，等于每一个独立 电源单独作用所产生的相应电压或电流的代数和。
第10章-频率响应--多频正弦稳态电路
§10-5 平均功率的叠加
设us1和us2 为两个任意波形的电压源 当us1单独作用时，流过R的电流为i1(t)
us2单独作用时，流过R的电流为i2(t)
iR
++ uS1 uS2 ––
依据叠加原理 i(t) = i1(t) + i2(t) 电阻消耗的瞬时功率
p(t) =Ri2(t)=R(i1+i2)2= Ri12 + Ri22 +2R i1i2 = p1+ p2+ 2R i1i2
∫ =
1
2
0 Im sinwtdwt
0
=
Im
2 3 w t
非正弦周期信号的谐波分析法
设非正弦周期电压 u 可分解成傅里叶级数
u = U0 + U1mcos(wt +1) +U2mcos( 2wt +2) + ······
其作用就和一个直流电压源及一系列不同频率的
正弦电压源串联起来共同作用在电路中的情况一样。
5. 滤波电路 电感或电容元件对不同频率的信号具有不同的
阻抗，利用感抗或容抗随频率而改变的特性构成四 端网络，有选择地使某一段频率范围的信号顺利通 过或者得到有效抑制，这种网络称为滤波电路。
下面以RC电路组成的滤波电路为例说明求网络 函数和分析电路频率特性的方法。
低通滤波电路
低通滤波电路可使低频信号较少损失地传输到输 出端，高频信号得到有效抑制。
u
u
Um
Um
0 2 3 wt
0
2 4 wt
u
u
Um
Um
0
2 wt
0 2
wt
几种非正弦周期电压的波形
对叠加定理几点感悟
对叠加定理的几点感悟一、叠加定理（superposition theorem ）的定义 在线性系统或线性电路中，如果有两个或两个以上的激励同时作用，则响应等于诸激励分别单独作用下产生的诸响应分量之和。
推论（齐性定理）：在线性电路中，当所有的激励源（电压源和电流源）都同时增大或缩小K 倍（K 为常数）时，响应（电压源和电流源）也将同样增大或缩小K 倍。
二、运用叠加定理的注意点1、叠加定理只适用于线性电路，不适用于非线性电路。
2、叠加时，电路的联接方式以及电路中的有电阻和受控源都不能变动。
电压源不作用以短路代替；电流源不作用以开路代替。
3、叠加时要注意电流和电压的参考方向，即各个电源单独作用时产生的分电流或分电压的参考方向，与电路中全部电源共同作用时对应的电流或电压的参考方向相同时取正号，反之取负号。
4、叠加定理不能用于计算功率。
三、叠加定理的应用1、电路如图所示，若已知：V2sin 15,V cos 20 )3(V5,V 10 )2(V 10,V 5 )1(2S 1S 2S 1S 2S 1S t u t u u u u u ωω======试用叠加定理计算电压u 。
解：①画出uS1和uS2单独作用的电路，如图(b)和(c)所示，分别求出：V) 2sin(15,V ) cos(20 )3(V5,V 10 )2(V 10,V 5 )1(2S 1S 2S 1S 2S 1S t u t u u u u u ωω======②根据叠加定理：2S 1S "'2.04.0u u uu u +=+=③代入uS1和uS2数据，分别得到：V)]2sin(3)cos(8[V )]2sin(152.0)cos(200.4[ )3(V5V 52.0V 100.4 )2(V 4V 102.0V 50.4 )1(t t t t u u u ωωωω+=⨯+⨯==⨯+⨯==⨯+⨯=2、用叠加定理求图 (a)电路中电压u。
(完整版)电路分析基础知识点概要(仅供参考)
电路分析基础知识点概要请同学们注意：复习时不需要做很多题，但是在做题时，一定要把相关的知识点联系起来进行整理复习，参看以下内容：1、书上的例题2、课件上的例题3、各章布置的作业题4、测试题第1、2、3章电阻电路分析1、功率P的计算、功率守恒：一个完整电路，电源提供的功率和电阻吸收的功率相等关联参考方向：ui=P-P=；非关联参考方向：ui<P吸收功率0P提供（产生）功率>注意：若计算出功率P=-20W，则可以说，吸收-20W功率，或提供20W功率2、网孔分析法的应用：理论依据---KVL和支路的VCR关系1）标出网孔电流的变量符号和参考方向，且参考方向一致；2）按标准形式列写方程：自电阻为正，互电阻为负；等式右边是顺着网孔方向电压（包括电压源、电流源、受控源提供的电压）升的代数和。
3）特殊情况：①有电流源支路：电流源处于网孔边界：设网孔电流=±电流源值电流源处于网孔之间：增设电流源的端电压u并增补方程②有受控源支路：受控源暂时当独立电源对待，要添加控制量的辅助方程3、节点分析法的应用：理论依据---KCL和支路的伏安关系1）选择参考节点，对其余的独立节点编号；2）按标准形式列写方程：自电导为正，互电导为负；等式右边是流入节点的电流（包括电流源、电压源、受控源提供的电流）的代数和。
3）特殊情况：①与电流源串联的电阻不参与电导的组成；②有电压源支路：位于独立节点与参考节点之间：设节点电压=±电压源值位于两个独立节点之间：增设流过电压源的电流i 并增补方程③有受控源支路：受控源暂时当独立电源对待，要添加控制量的辅助方程4、求取无源单口网络的输入电阻i R （注：含受控源，外施电源法，端口处电压与电流关联参考方向时，iu R i =） 5、叠加原理的应用当一个独立电源单独作用时，其它的独立电源应置零，即：独立电压源用短路代替，独立电流源用开路代替；但受控源要保留。
注意：每个独立源单独作用时，要画出相应的电路图；计算功率时用叠加后的电压或电流变量求取。
ANSYSWorkbench正弦响应分析之详细版
ANSYSWorkbench正弦响应分析之详细版这是 ANSYS 工程实战第 42 篇文章问题描述：正弦分析选用的项目模块为谐响应分析（Harmonic Response），这里对谐响应分析的关键知识点和正弦分析具体分析步骤和方法进行了详细介绍。
1. 谐响应分析理论介绍1.1 谐响应分析的定义谐响应分析是用于确定线性结构在承受一个或多个随时间按正弦（简谐）规律变化的载荷时稳态响应的一种技术。
1.2 谐响应分析的目的谐响应分析的目的是计算出结构在几种频率下的响应并得到一些响应值对频率的曲线（如位移对频率曲线），从这些曲线上可以找到“峰值”响应，并进一步考察频率对应的应力。
1.3 谐响应分析的输入条件谐响应分析的输入条件：相同频率的多种载荷。
1.4 谐响应分析的运算求解方法谐响应分析的运算求解方法包括完全法（Full）和模态叠加法(Mode Superposition)。
完全法是一种最简单的方法，不需要先进行模态分析，但求解更耗时，对于复杂结构，8核并行运算，一般计算时间在3h以上。
模态叠加法是 Workbench 谐响应计算的默认求解方法，从模态分析中叠加模态振型。
采用模态叠加法进行谐响应分析时，首先需要自动进行一次模态分析，虽然首先进行的是模态分析，但谐响应部分的求解仍然比完全法快的多。
一般对于复杂结构，8核并行运算，谐响应部分的计算时间小于0.5h。
2. 用完全法进行正弦分析的分析步骤及设置2.1 插入响应模块完全法进行正弦分析时直接将 Analysis Systems 下的 Harmonic Response 谐响应模块拉到项目管理区中或者直接引用项目管理区中模态分析的模型（Model），如图 1 所示。
图 1 插入响应模块2.2 三维模型导入及处理在 Inventor 软件中对行波管进行建模，经过模型干涉检查合格后，将建立好的模型生成stp 格式，导入到有限元软件ANSYS Workbench 中，行波管模型如图 2 所示，包括底板、包装件、电子枪、收集极和高频等组件。
什么是正弦稳态电路(精)
二、研究正弦稳态电路的意义
正弦电压和电流产生容易，与非电量转换方便，在实用 电路中使用广泛。 复杂信号皆可分解为若干不同频率正弦信号之和，因此可 利用叠加定理将正弦稳态分析推广到非正弦信号激励下的电 路响应。
三、正弦稳态电路的分析方法
采用相量分析法，引入相量的概念以后，在电阻电路 中应用的公式、定理均可以运用于正弦稳态电路。
试求 i3 (t )，并作出各电流相量的相量图。
解：由 i1 (t ) 、 i2 (t ) 的时域形式，得：
I1 20 I 2 2120
i1 (t )
i2 (t )
i3 (t )
由KCL的相量形式，得：
I3 I1 I 2 20 2120 2 1 j 3 2 120 A
u2 (t ) 2U 2 cos(t 2 )
相位差定义为：
12 (t 1 ) (t 2 ) 1 2
同频正弦量的相位差等于它们的初相之差，是一个与 时间无关的常数
比较两正弦量的相位差时应注意： （1）两正弦量必须是同类型的函数
（2）两正弦量必须具有相同的频率
i iR u(t) iC C iL L
R=15Ω，C=83.3μF,L=30mH,求电流I. 解：利用KCL相量关系，有：
I I R IC I L
U 120 j120 V 2
U j120 IR j8 A R 15 I C j CU j 1000 (83.3 106 ) ( j120) 10 A U j120 IL 4A 3 j L j1000 (30 10 )
定理4
若A、B为复常数,若在所有的时刻都满足
Re[ Ae jt ] Re[ Be jt ]
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20 4 20 5 cos( ω 1t ) cos(3 ω 1t ) cos(5 ω 1t ) V 3
(1) 5V直流电压源作用时，由 于=0，在直流稳态条件下，电感 相当于短路，所以
u0 (t ) U 0 5V
(2)基波电压(20/)cos1t作用时，1=2/T=103rad/s，根据相 应的相量模型可以计算出相应的相量电压分量
u (t ) u ' (t ) u " (t ) 10 2 cos(100t 55 )V 4.47 2 cos(200t 76.6 )V
u (t ) u ' (t ) u " (t ) 10 2 cos(100t 55 )V 4.47 2 cos(200t 76.6 )V
图(a),(b),(c)所 示三种非正弦 周期信号的傅 里叶级数分别 为：
4A 1 1 f (t ) sin(1t ) sin(31t ) sin(51t ) 3 5 A A 1 1 g (t ) sin(1t ) sin(21t ) sin(31t ) 2 2 3 4A 1 1 1 1 h(t ) cos( t ) cos( 2 t ) cos( 3 t ) 1 1 1 2 3 15 35
正弦稳态响应的叠加
本节讨论几个不同频率的正弦激励在线性时不变电路
中引起的非正弦稳态响应。
几个频率不同的正弦激励在线性时不变电路中产生的
稳态电压和电流，可以利用叠加定理，分别计算每个正弦
激励单独作用时产生的正弦电压uk(t)和电流ik(t)，然后相加 求得非正弦稳态电压u(t)和电流i(t)。 在计算每个正弦激励单独作用引起的电压和电流时， 仍然可以使用相量法先计算出电压电流相量，然后得到电 压电流的瞬时值uk(t)和ik(t)。
Cos( 7.000E+03t +98.13) + 7.811E-02Cos( 9.000E+03t -83.66)
+ 5.240E-02Cos( 1.100E+04t +95.19) + 3.756E-02Cos( 1.300E+04t -85.60) + 2.823E-02Cos( 1.500E+04t +93.81) + 2.199E-02Cos( 1.700E+04t -86.63)
' " u ' (t ) 和 u " (t ) 的波形如图(a)所示。 u(t ) u (t ) u (t ) 的
波形如图(b)所示，它是一个非正弦周期波形。
对于周期性非正弦信号在线性时不变电路中引起的稳 态响应，也可应用叠加定理，按不同频率正弦激励下响应 的计算方法求得。为此，先用傅里叶级数把非正弦周期信 号分解为直流分量和一系列不同频率正弦分量之和。
例10-27 图(a)所示电路中，已知
100t 10 )V 电压源电压 uS (t ) 20cos(
电流源电流 iS (t )
2 cos(200 t 50 )A
试用叠加定理求稳态电压u(t)。
u ( t ) 20 cos( 100 t 10 )V 单独作用时产生 解：1.计算 S
的电压 u ' (t )
将电流源iS(t)以开路代替，得到图(b)所示相量模型，
由此求得
j5 j5 ' U US 10 210 1055 V 5 j5 5 j5
由相量写出相应的瞬时值表达式
u' (t ) 10 2 cos(100t 55 )V
2.计算 iS (t ) 2 cos(200t 50 )A 单独作用时产生的 电压 u " (t ) 。
U 1
R 10 20 U S1 3.183 45 V R jω1L 10 j10 π 2
相应的瞬时值表达式为
u1 (t ) 4.5 cos(10 t 45 )V
3
(3) 三次谐波电压 (-20/3)cos(31t) 作用时， 31=3103rad/s，根据相应的相量模型可以计算出相应的
注意：在用叠加法计算几个不同频率的正弦激励在电路中 引起的非正弦稳态响应时，只能将电压电流的瞬时 值相加，绝不能将不同频率正弦电压的相量相加。
本ห้องสมุดไป่ตู้用计算机程序ACAP求得输出电压前12项的结果
以及波形如下所示：
u 3(t)= 5.00 + .671 + .129 Cos( .000 t +.00) + 4.50 Cos( 1000. t -45.00) Cos( 3.000E+03t+108.43) + .250 Cos( 5.000E+03t -78.69)
将电压源uS(t)用短路代替，得到图(c)所示相量模型， 由此求得
j10 5 j50 “ U IS 150 4.4776.6 V 5 j10 5 j10
由相量写出相应的瞬时值表达式
u" (t ) 4.47 2 cos(200t 76.6 )V
3.根据叠加定理求稳态电压u(t) 将每个正弦电源单独作用时产生的电压瞬时值相加， 得到非正弦稳态电压u(t)
相量电压分量
U 3
R U S3 R j3ω1 L
10 20 0.475 71.6 V 10 j30 3π 2
瞬时值表达式为
u3 (t ) 0.671cos(3 10 t 71.6 )V
3
(4) 五次谐波电压(4/)cos(51t)作用时， 51=5103rad/s，根据相应的相量模型计算出相应的相量
+ 1.761E-02Cos( 1.900E+04t +93.01) + 1.442E-02Cos( 2.100E+04t -87.27)
必作习题：第449~449页 第十章：10 – 61 、10 – 62 2002年春节摄于成都人民公园
到电阻上稳态电压的瞬时值
u (t ) u 0 (t ) u1 (t ) u 3 (t ) u 5 (t ) [5 4.5 cos(103 t 45 ) 0.67 cos(3 103 t 71.6 ) 0.25cos(5 103 t 78.7 ) ]V
电压分量
U 5
R U S5 R j5ω 1 L
10 4 0.1766 78.7 V 10 j50 π 2
瞬时值表达式为
u5 (t ) 0.25cos(5 10 t 78.7 )V
3
(5)其余谐波分量的计算方法相同 最后将直流分量和各次谐波分量的瞬时值相加，就得
例10-28 图10-56(a)所示幅度A=10V，周期T=6.28ms周期方波电 压信号uS(t)作用于图(b)所示电路。试求电阻上的稳态电 压u(t)。
图 10－56
uS (t )
A 2A 1 1 cos( ω t ) cos( 3 ω t ) cos( 5 ω t ) 1 1 1 2 3 5