§10-9正弦稳态响应的叠加本节讨论几个不同频率的正弦激励
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第十章 频率响应 多频正弦稳态电路
周期函数分解为傅立叶级数，求解非正弦周期电路 的稳态响应的方法就称为谐波分析法。 采用谐波分析法的好处： （1）当直流分量作用时，因为直流稳态下电容相 当开路、电感相当于短路，所以计算其产生的稳态响 应分量是很简便的。 （2）由于各次谐波分量均为正弦信号，所以就可 以采用前面谈到相量法来计算各次谐波单独作用时产 生的稳态响应分量。
R1 C R2 L
i2 U0
I（0）
+ I1 (0)
I2 (0)
R2
（b）
解
1）非正弦周期电源的傅氏级数形式已给定
2) U0=10V单独作用，电路如图(b)
I1(0) 0 ; I 2(0) U 0 10 2.5 A ; R2 4 I (0) I 2(0) 2.5 A
u (t ) [10 100 2 cos t 50 2 cos(3 t 30 )]V
f(t) f(t)
o
t
o
t
2. 1非正弦周期电流和电压
基本要求：初步了解非正弦信号产生的原因。
（1） 非正弦周期电流的产生
当电路中有多个不同频率的电源同时作用，如图所示
R1
US
R2
L
U m sin t
R
图 不同频率电源作用的电路
引起的电流便是非正弦周期电流， 解 决方法是？ 根据叠加定理，分别计算不同频率的 响应，然后将瞬时值结果叠加。
i
i1 u ( t)
R1 C R2 L
i2
I1(0) 0 ;
I1(1) 7.0745 A
I1(3) 4.7448.42 A
I 2(0) 2.5 A ;
I 2(1) 22.37 26.57 A
I (0) 2.5 A
R1 C R2 L
i2 U0
I（0）
+ I1 (0)
I2 (0)
R2
（b）
解
1）非正弦周期电源的傅氏级数形式已给定
2) U0=10V单独作用，电路如图(b)
I1(0) 0 ; I 2(0) U 0 10 2.5 A ; R2 4 I (0) I 2(0) 2.5 A
u (t ) [10 100 2 cos t 50 2 cos(3 t 30 )]V
f(t) f(t)
o
t
o
t
2. 1非正弦周期电流和电压
基本要求：初步了解非正弦信号产生的原因。
（1） 非正弦周期电流的产生
当电路中有多个不同频率的电源同时作用，如图所示
R1
US
R2
L
U m sin t
R
图 不同频率电源作用的电路
引起的电流便是非正弦周期电流， 解 决方法是？ 根据叠加定理，分别计算不同频率的 响应，然后将瞬时值结果叠加。
i
i1 u ( t)
R1 C R2 L
i2
I1(0) 0 ;
I1(1) 7.0745 A
I1(3) 4.7448.42 A
I 2(0) 2.5 A ;
I 2(1) 22.37 26.57 A
I (0) 2.5 A
正弦稳态响应的一般求解方法
C
duC dt
1 R uC
I Sm
cos(t
i )
t0
(10 7)
CU Cmsin(t
u
)
1 R
U
Cm
c
os(t
u
)
ISm cos(t
i
)
求解得到
UCm
ISm
2C 2 (1/ R)2
(10 8)
u i arctan(CR) (10 9)
微分方程的完全解为
t
uC (t) Ke RC UCm cos( t u )
代入微分方程
C
d dt
[Re(U Cm e jt
)]
1 R
Re(U Cm e jt
)
Re(ISm e jt
)
取实部与微分运算的次序交换
Re[(jCU Cm e jt
)]
1 R
Re(U Cm e jt )
Re(ISm e jt )
Re[(jC＋1
R
)U
Cm
e
jt
]
Re(ISm
e
jt
)
由于方程在任何时刻相等，其方程的复数部分应该相
等，由此得到一个复系数的代数方程
(jCΒιβλιοθήκη 1 R)UCm
ISm
(10 12)
求解此代数方程得到电容电压相量为
U Cm
ISm
jC 1/ R
U Cm u
电容电压的振幅和初相分别为
U Cm
I Sm
2C 2 (1/ R)2
u i arc tan(CR)
这与式(10－8)和(10－9)完全相同。计算出电容电压的 振幅和初相，就能够写出稳态响应
第9节 正弦稳态电路的叠加
U
k 1
km
sin(kwt uk )
i I0
I
k 1
km
sin(kwt ik )
则单口网络的瞬时功率为
非正弦周期 信号频率f 线性无 源电路 非正弦周期交流 电路的稳态响应
谐波分解
…
时域叠加
直流 分量 一次 谐波 二次 谐波 直流电路 分析 频率 f 的正 弦稳态电路 频率2f 的正 弦稳态电路
…
直流响 应分量 一次谐波 响应分量 二次谐波 响应分量
…
…
…
3. 非正弦周期量的有效值和平均值 有效值的定义
L 5H , C 1 F 3
二、多个不同频率正弦激励的电路
对于不同频率正弦激励的电路，整体不符合单一频 率的条件，不能采用相量法。 在运用叠加定理求每一激励单独作用的响应时，则 可作出不同频率下的相量模型运用相量法求解。在 求得各激励单独作用的分响应相量后，将其转换成 对应的正弦函数形式，然后叠加得出总响应。
I1 I1m 2 1 05 2
I3 I3m 2 0 45 2
所以i 的有效值为
1 05 0 45 2 2 I I1 I 3 0 808 A 2 2
2 2
平均值 一个非正弦周期量的平均值为
k 1
f (t ) A0 AKm sin(Kt k )
k 1
式中k=1、2、3……；
A0称为直流分量； A1msin(ωt+Ψ1)的频率与非正弦周期量f(t)的频率相同，称 为基波分量或一次谐波； 其余各相的频率为非正弦周期量f(t)的频率的整数倍，统 称为高次谐波。 在工程上，一般只需要取前几项之和，近似表征非正弦 周期函数。
第十章多频正弦稳态电路
以Hz为单位时，记为f0，以rad/s为单位时，记为ω0。
3.常用谐振电路: 串联谐振电路:RLC串联构成的谐振电路 并联谐振电路:GCL并联构成的谐振电路 耦合谐振电路:见第11章
二.谐振电路特征:
1.串联谐振（电压谐振）
2.RLC电路谐振特征分析
结论： (1)该电路虽有电容与电感，但当正弦激励的频率为 2000rad/s时，整个电路却表现如一个纯电阻电路。此时，阻 抗值|Z|为最小，在给定电压下，电流为最大。 (2)电容和电感电压的有效值均为250V，为外施电压有效 值10V的25倍！局部电压远高于外施电压。但uC与uL反相，互 相抵消。 (3)当电路处于谐振状态时:由RLC串联电路的输入阻抗
三、品质因数和通频带 1、品质因数的定义:谐振时动态元件的电压与激励电压之 比称为RLC串联电路的品质因数，用Q表示。
发生谐振时，UL=UC=QU
谐振曲线：给定正弦电压时，RLC电路的电流响应幅频 特性曲线I＝U／|Z|。
2、品质因数的物理意义1： 频率选择性 两相比较，Q较大时，曲线较 为尖锐。这样就能较好地选择某一 频率而排除其他频率成分，这种性 质称为电路的选择性。Q值越高， 选择性越强。
学习的力量！
有一句格言说：“只因准备不足，终至 失败。”这句话可以写在无数可怜的失败者 的墓碑上。
带等的计算，了解谐振特点，清楚选频的含义；
4、正确理解并联谐振电路谐振频率、品质因数、通频 带及谐振时的特点；
§10－1 基本概念
一、频率响应的概念:
定义１：在正弦稳态电路中,由于阻抗和导纳是频率的函数， 当电源电压(激励)的频率变化时,电路中的电流和电压(响应) 的大小和相角亦随之变化，响应与频率的关系称为电路的频 率响应或频率特性。 电路中形成多个频率正弦激励的两种情况： 1、电路的激励原本为非正弦周期波，如方波、锯齿波 等等，这类波形在分解为傅里叶级数后，可视为含有直流分 量和一系列频率成整数倍的正弦分量、即谐波分量。这类电 路问题就相当于多个谐波作用于电路的问题。
《电路分析》正弦稳态响应的叠加
1t )
20
3
c os (3ω
1t )
4
c os (5ω
1t
)
V
(1) 5V直流电压源作用时，由
于=0，在直流稳态条件下，电感
相当于短路，所以
u0 (t) U 0 5V
(2)基波电压(20/)cos1t作用时，1=2/T=103rad/s，根据相
应的相量模型可以计算出相应的相量电压分量
U1
R
R jω1L
§10-9 正弦稳态响应的叠加
本节讨论几个不同频率的正弦激励在线性时不变电路 中引起的非正弦稳态响应。
几个频率不同的正弦激励在线性时不变电路中产生的 稳态电压和电流，可以利用叠加定理，分别计算每个正弦 激励单独作用时产生的正弦电压uk(t)和电流ik(t)，然后相加 求得非正弦稳态电压u(t)和电流i(t)。
U
S1
10 10 j10
20 π2
3.183 45 V
相应的瞬时值表达式为
u1(t) 4.5cos(103t 45 )V
(3) 三次谐波电压 (-20/3)cos(31t) 作用时， 31=3103rad/s，根据相应的相量模型可以计算出相应的相
量电压分量
U 3
R
R j3ω1L
U S3
10 20 0.475 71.6 V 10 j30 3π 2
2.计算 iS (t) 2 cos(200t 50 )A 单独作用时产生的 电压 u" (t) 。
将电压源uS(t)用短路代替，得到图(c)所示相量模型，
由此求得
U“
j10 5
5 j10
IS
j50 5 j10
150
4.4776.6 V
正弦稳态响应
可以求得
(t 0) (10 10)
K uC (0) U Cm cos u
最后得到电容电压uC(t)的全响应为
t
uC (t) [uC(0) UCmcosu] eRC UCm cos(t u ) (t 0)
暂态响应
正弦稳态响应
(10 11)
本电路的初始条件为零，属于零状态响应，所画出的 波形如图所示。曲线1表示通解，它是电路的自由响应，当 RC>0的条件下，它将随着时间的增加而按指数规律衰减到 零，称为暂态响应。曲线2表示特解，它按照正弦规律变化， 其角频率与激励电源的角频率相同，当暂态响应衰减完后， 它就是电路的全部响应，称为正弦稳态响应。
245 6.0880.54
0.329 35.5 V
由此得到电容电压的瞬时值表达式
uCp (t) 0.329cos(3t 35.5 )V
这是图10－9所示电路中电容电压uC(t)的特解，也是电 容电压的正弦稳态响应。
例10-5 图10－11所示RLC串联电路中，已知 uS(t)=2cos(2t+30)V, R=1, L=1H, C=0.5F。 试用相量法求电容电压uC(t)和电感电流iL(t)的特解。
求解代数方程，注意到=2rad/s和j2=-1，得到电容电
压相量
U Cm
230
[0.5( j)2 0.5(j) 1]
230 1 j1
2 105 V
根据=2rad/s得到电容电压的瞬时值表达式
uC (t) 2 cos(2t 105 )V
uCp (t) U Cm cos(3t u ) Re(U Cm e j3t )
代入微分方程中
Re[(j3 2＋1)UCmej3t ] Re(2ej45ej3t )
(t 0) (10 10)
K uC (0) U Cm cos u
最后得到电容电压uC(t)的全响应为
t
uC (t) [uC(0) UCmcosu] eRC UCm cos(t u ) (t 0)
暂态响应
正弦稳态响应
(10 11)
本电路的初始条件为零，属于零状态响应，所画出的 波形如图所示。曲线1表示通解，它是电路的自由响应，当 RC>0的条件下，它将随着时间的增加而按指数规律衰减到 零，称为暂态响应。曲线2表示特解，它按照正弦规律变化， 其角频率与激励电源的角频率相同，当暂态响应衰减完后， 它就是电路的全部响应，称为正弦稳态响应。
245 6.0880.54
0.329 35.5 V
由此得到电容电压的瞬时值表达式
uCp (t) 0.329cos(3t 35.5 )V
这是图10－9所示电路中电容电压uC(t)的特解，也是电 容电压的正弦稳态响应。
例10-5 图10－11所示RLC串联电路中，已知 uS(t)=2cos(2t+30)V, R=1, L=1H, C=0.5F。 试用相量法求电容电压uC(t)和电感电流iL(t)的特解。
求解代数方程，注意到=2rad/s和j2=-1，得到电容电
压相量
U Cm
230
[0.5( j)2 0.5(j) 1]
230 1 j1
2 105 V
根据=2rad/s得到电容电压的瞬时值表达式
uC (t) 2 cos(2t 105 )V
uCp (t) U Cm cos(3t u ) Re(U Cm e j3t )
代入微分方程中
Re[(j3 2＋1)UCmej3t ] Re(2ej45ej3t )
电路分析基础ppt第10章 频率响应
第十章 频率响应 多频正弦稳态电路
§10-3 正弦稳态网络函数 ….
电路分析基础
为了描述电路的频率响应特性，引入网络函数。
第十章 频率响应 多频正弦稳态电路
回阅
第三章 叠加方法与网络函数
电路分析基础
对于单一激励的线性、时不变电路，指定的响应对激励之比定义为 网络函数 ，记为H，即
响应 H 激励
第十章 频率响应 多频正弦稳态电路
§10-3 正弦稳态网络函数 ….
总是滞后U ，故又称为滞后网络。 U 2 1
当 ＞ c 时， H u ＜1
电路分析基础
由以上分析可见， H u ，故称为低通电路；
2 0.707，称 c 为截止(角)频率。
2 P U2
当 c时 U 2
0.179 2 cos( t 83.20 )
电路分析基础
1.152 2 cos(10t 39.80 ) 1.5 2 cos(1000t 0.50 ) V 由本例可见： 对于不同频率的激励，电路的响应不相同，响应是 频率的函数。
高通电路：电路对高频信号的响应明显增大
低通电路：电路对低频信号的响应明显增大 带通电路：电路对某一频率范围内信号的响应明显增大
直流分量+基波 三次谐 波
t
由图可见，直流分量与各次谐波逐次叠加后所得 波形，将逐渐趋于周期性方波。 显然，周期性方波对电路产生的响应，等于直流 分量及各次谐波单独作用时所产生的响应之叠加。
第十章 频率响应 多频正弦稳态电路
§10-2 频率响应的基本概念…
R1 3kΩ、R2 1kΩ、C 30F，求u(t )。
R1
式中
Z T ( j )
频率响应多频正弦稳态电路
如ω＝6 rad/s，则
360 j 90 Z ab ( j 6) j 2 3.1348.9 162 j 72
由阻抗可知：U m 3.13
Im
Z 48.9
故知 u(t ) 3.13cos(6t 45 48.9 )V
3.13cos(6t 93.9 )V
频率响应 多频正弦稳态电路
§10-1 基本概念
相量分析Байду номын сангаас使用条件：
线性、时不变、渐近稳定电路 单一频率正弦激励
求解稳态响应
§10-1 基本概念
多个正弦激励的两种情况
1. 电路的激励是非正弦周期波；
周期性非正弦激励作用 下的稳态响应的计算
1 1 f (t ) (sin t sin 3t sin 5t ) 3 5
如ω＝3 rad/s，则
90 j 45 10 j 5 Z ab ( j 3) j j 27 j 36 3 j4 50 j 25 j 2 j 2 2 245 25
Um 2 2 由阻抗可知： Im
Z 45
故知
u( t ) U m cos(3t 45 Z ) 2 2 cos(3t 90 )V
阻抗的模 Z 和阻抗角 Z 也都是 频率ω的函数。
Z 关系，称为阻抗的幅频特性
Z
关系，称为阻抗的相频特性
幅频特性和相频特性合称为单口 网络的频率响应。
解 作出原电路的相量模型 如图（b）所示。由此可得
j ( j 5 / 6)(2 3 / j ) Z ab ( j ) 3 ( j 5 / 6) ( 2 3 / j ) j j 5 ( 3 j 2 ) 3 18 j12 5 2
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图(a),(b),(c)所 示三种非正弦 周期信号的傅 里叶级数分别 为：
f
(t)
4A
sin(1t)
1 3
sin(31t)
1 5
sin(51t)
g(t)
A 2
Aபைடு நூலகம்
sin(1t)
1 2
sin(21t)
1 3
sin(31t)
h(t)
4A
1 2
1 3
cos(1t)
1 15
cos(21t)
1 35
cos(31t)
例10-28 图10-56(a)所示幅度A=10V，周期T=6.28ms周期方波电
压信号uS(t)作用于图(b)所示电路。试求电阻上的稳态电 压u(t)。
图 10－56
uS (t)
A 2
2A
cosω( 1t)
1 3
c os (3ω
1t )
1 5
c os (5ω
1t )
5
20
c osω(
瞬时值表达式为
u5 (t) 0.25 cos(5103t 78.7 )V
(5)其余谐波分量的计算方法相同
最后将直流分量和各次谐波分量的瞬时值相加，就得 到电阻上稳态电压的瞬时值
u(t) u0 (t) u1(t) u3 (t) u5 (t) [5 4.5cos(103 t 45 ) 0.67cos(3103 t 71.6 ) 0.25cos(5 103t 78.7 ) ]V
§10-9 正弦稳态响应的叠加
本节讨论几个不同频率的正弦激励在线性时不变电路 中引起的非正弦稳态响应。
几个频率不同的正弦激励在线性时不变电路中产生的 稳态电压和电流，可以利用叠加定理，分别计算每个正弦 激励单独作用时产生的正弦电压uk(t)和电流ik(t)，然后相加 求得非正弦稳态电压u(t)和电流i(t)。
注意：在用叠加法计算几个不同频率的正弦激励在电路中 引起的非正弦稳态响应时，只能将电压电流的瞬时 值相加，绝不能将不同频率正弦电压的相量相加。
本题用计算机程序ACAP求得输出电压前12项的结果 以及波形如下所示：
u 3(t)= 5.00 Cos( .000 t +.00) + 4.50 Cos( 1000. t -45.00) + .671 Cos( 3.000E+03t+108.43) + .250 Cos( 5.000E+03t -78.69) + .129 Cos( 7.000E+03t +98.13) + 7.811E-02Cos( 9.000E+03t -83.66) + 5.240E-02Cos( 1.100E+04t +95.19) + 3.756E-02Cos( 1.300E+04t -85.60) + 2.823E-02Cos( 1.500E+04t +93.81) + 2.199E-02Cos( 1.700E+04t -86.63) + 1.761E-02Cos( 1.900E+04t +93.01) + 1.442E-02Cos( 2.100E+04t -87.27)
u ' (t) 和 u" (t) 的波形如图(a)所示。 u(t) u ' (t) u" (t) 的 波形如图(b)所示，它是一个非正弦周期波形。
对于周期性非正弦信号在线性时不变电路中引起的稳 态响应，也可应用叠加定理，按不同频率正弦激励下响应 的计算方法求得。为此，先用傅里叶级数把非正弦周期信 号分解为直流分量和一系列不同频率正弦分量之和。
U
S1
10 10 j10
20 π2
3.183 45 V
相应的瞬时值表达式为
u1(t) 4.5 cos(103t 45 )V
(3) 三次谐波电压 (-20/3)cos(31t) 作用时， 31=3103rad/s，根据相应的相量模型可以计算出相应的相
量电压分量
U 3
R
R j3ω1L
U
S3
10 20 0.475 71.6 V 10 j30 3π 2
1t )
20
3
c os (3ω
1t )
4
c os (5ω
1t
)
V
(1) 5V直流电压源作用时，由
于=0，在直流稳态条件下，电感
相当于短路，所以
u0 (t) U 0 5V
(2)基波电压(20/)cos1t作用时，1=2/T=103rad/s，根据相
应的相量模型可以计算出相应的相量电压分量
U1
R
R jω1L
瞬时值表达式为
u3 (t) 0.671 cos(310 3 t 71.6 )V
(4) 五次谐波电压(4/)cos(51t)作用时， 51=5103rad/s，根据相应的相量模型计算出相应的相量电
压分量
U 5
R
R j5ω
1L
U
S5
10 4 0.1766 78.7 V 10 j50 π 2
在计算每个正弦激励单独作用引起的电压和电流时， 仍然可以使用相量法先计算出电压电流相量，然后得到电 压电流的瞬时值uk(t)和ik(t)。
例10-27 图(a)所示电路中，已知
电压源电压 uS(t) 20 cos(100 t 10 )V 电流源电流 iS(t) 2 cos(200t 50)A
试用叠加定理求稳态电压u(t)。
解：1.计算 uS(t) 20 cos(100 t 10 )V 单独作用时产生
的电压 u' (t)
将电流源iS(t)以开路代替，得到图(b)所示相量模型，
由此求得
U
'
5
j5 j5
U
S
5
j5 j5
10
210 1055 V
由相量写出相应的瞬时值表达式
u' (t) 10 2 cos(100 t 55 )V
3.根据叠加定理求稳态电压u(t)
将每个正弦电源单独作用时产生的电压瞬时值相加， 得到非正弦稳态电压u(t)
u(t) u'(t) u"(t) 10 2 cos(100 t 55 )V 4.47 2 cos(200 t 76.6 )V
u(t) u'(t) u"(t) 10 2 cos(100 t 55 )V 4.47 2 cos(200 t 76.6 )V
2.计算 iS (t) 2 cos(200t 50 )A 单独作用时产生的 电压 u" (t) 。
将电压源uS(t)用短路代替，得到图(c)所示相量模型，
由此求得
U“
j10 5
5 j10
IS
j50 5 j10
150
4.4776.6 V
由相量写出相应的瞬时值表达式
u"(t) 4.47 2 cos(200 t 76.6 )V