正弦稳态响应.
正弦稳态响应
当是t的函数时，正弦量Amcos(t+)可用复值函数来表示
Am cos(t ) Re( Ame j(t ) ) Re( Ame je jt ) Re( A&me jt )
9
§8.1 正弦稳态响应(正弦量和相量)
Am sin(t ) Re( Ame j(t) ) Re( Ame je jt ) Re( A&me jt )
T0
15
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
1 U 2 Um
或
Um 2U
若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V；
U=380V，
Um537V。
注 （1）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设
备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指
的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大
A2 e j2
A1
A e j(1 2 ) 2
A1 A2 1 2 乘法：模相乘，角相加。
A1 A2
| A1 |θ 1 | A2 |θ 2
| A1 | ejθ1 | A2 | ejθ 2
| A1 | e j(θ1θ 2 ) | A2 |
| A1 | | A2 |
θ1 θ2
除法：模相除，角相减。
20
几种不同值时的旋转因子
,
2
j
e 2 cos j sin j
2
2
Im
jI
I
0
Re
I jI
,
j
e2
cos(
)
j sin(
)
j
2
2
2
, e j cos() j sin() 1
电路在正弦激励下非正弦稳态响应
电路在正弦激励下非正弦稳态的响应田社平1，孙盾2，张峰1(1上海交通大学电子信息与电气工程学院 上海 200240；2浙江大学电气工程学院 杭州 310027)摘要：基于作者的教学实践，讨论了电路在正弦激励下产生非正弦稳态的响应的各种情况。
零状态动态电路存在正弦稳态响应的充要条件为，响应的象函数Y (s )存在且仅存在一对共轭虚极点，而Y (s )的其它极点均位于复平面的开左半平面上。
通过实例说明了在正弦激励下产生非正弦稳态的响应的情形。
电路本文的讨论对丰富正弦稳态电路分析的教学内容，加深学生对相关知识的理解，具有良好的助益。
关键词：正弦激励；非正弦稳态响应；电路 中图分类号： TM13 文献标识码 ANon-sinusoidal Steady-state Response of Circuit with Sinusoidal ExcitationTIAN She-ping 1, SUN Dun 2, ZHANG Feng 1(1School of Electronic, Information and Electrical Engineering, Shanghai Jiao Tong Univ., Shanghai 200240, China; 2College ofElectrical and Electronic Eng ，Zhejiang Univ.，Hangzhou 310027,China )Abstract: Based on the teaching practice, various situations of non-sinusoidal steady-state response of circuit with sinusoidal excitation are discussed. The necessary and sufficient condition for the existence of sinusoidal steady-state response in a zero-state dynamic circuit is that the Laplace transform of the response which is Y (s ) exists and has only one pair of conjugate virtual poles, while the other poles of Y (s ) lie on the left open plane of the complex plane. Several examples are given to illustrate the non-sinusoidal steady-state response with sinusoidal excitation. The discussion is helpful to enrich the teaching content of sinusoidal steady-state circuit analysis and deepen students' understanding of relevant knowledge.Key words: sinusoidal excitation; non-sinusoidal steady-state response; circuit 处于正弦稳态的电路称为正弦稳态电路。
电路原理(邱关源)习题答案第八章 相量法
第八章 相量法求解电路的正弦稳态响应，在数学上是求非齐次微分方程的特解。
引用相量法使求解微分方程特解的运算变为复数的代数运运算，从儿大大简化了正弦稳态响应的数学运算。
所谓相量法，就是电压、电流用相量表示，RLC 元件用阻抗或导纳表示，画出电路的相量模型，利用KCL,KVL 和欧姆定律的相量形式列写出未知电压、电流相量的代数方程加以求解，因此，应用相量法应熟练掌握：（1）正弦信号的相量表示；（2）KCL,KVL 的相量表示；（3）RLC 元件伏安关系式的相量形式；（4）复数的运算。
这就是用相量分析电路的理论根据。
8－1 将下列复数化为极坐标形式：（1）551j F --=；（2）342j F +-=；（3）40203j F +=；（4）104j F =；（5）35-=F ；（6）20.978.26j F +=。
解：（1）a j F =--=551θ∠25)5()5(22=-+-=a13555arctan -=--=θ(因1F 在第三象限)故1F 的极坐标形式为 135251-∠=F（2） 13.1435)43arctan(3)4(34222∠=-∠+-=+-=j F （2F 在第二象限）（3） 43.6372.44)2040arctan(40204020223∠=∠+=+=j F（4） 9010104∠==j F（5） 180335∠=-=F（6） 19.7361.9)78.220.9arctan(20.978.220.978.2226∠=∠+=+=j F注：一个复数可以用代数型表示，也可以用极坐标型或指数型表示，即θθj ae a ja a F =∠=+=21,它们相互转换的关系为：2221a a a += 12arctan a a =θ和 θcos 1a a = θsin 2a a =需要指出的，在转换过程中要注意F 在复平面上所在的象限，它关系到θ的取值及实部1a 和虚部2a 的正负。
8－2 将下列复数化为代数形式：（1） 73101-∠=F ；（2） 6.112152∠=F ；（3） 1522.13∠=F ；（4） 90104-∠=F ；（5） 18051-∠=F ；（6） 135101-∠=F 。
4.4正弦稳态响应
4.4
正弦稳态响应
一、正弦稳态的功率
i + u –
I
•
无源 网络
•
U
•
+ –
无源 网络
=U Ψu U
•
u = 2Ucosωt √ ω
I = I Ψi
•
U =Z ϕ Z= • I i= 2Icos( ωt– ϕ) √ ° • U 0° I –ϕ • ϕ 0° I = ° = U =U Z ϕ
• I1 ϕ • I ϕ1
=11×0.866 －6.04×0.415 =7.02 A × ×
IC = 101.57 µF C= ωU
4.4
正弦稳态响应
7、最大功率传输
NS
ZL
+ –
Zin .
ZL
UOC
ZL= Z* in
4.4
正弦稳态响应
最大功率传输定理 工作于正弦稳态的单口网络， 工作于正弦稳态的单口网络，在负 载阻抗等于含源单口网络输出阻抗的共 载阻抗等于含源单口网络输出阻抗的共 * 轭复数（ 轭复数（即 Z L = Z o ）时，负载可以获得 最大平均功率
• •
•
•
4.4
正弦稳态响应
谐振电路呈现电阻性 电源供给电路的能量全部被电阻所消耗， 电源不与电路进行能量互换，能量的互换只发 生在电感线圈和电容器之间。
I
• U
•
R jωL ω ∩∩ ∩ ∩∩ ∩ • • + U – + UL– + R
UL
电 源 P1=UI1cosϕ1 ϕ cosϕ1 =0.5 ϕ 1.21×103=220×11× cosϕ1 × × × ϕ
第10章-频率响应--多频正弦稳态电路
§10-5 平均功率的叠加
设us1和us2 为两个任意波形的电压源 当us1单独作用时，流过R的电流为i1(t)
us2单独作用时，流过R的电流为i2(t)
iR
++ uS1 uS2 ––
依据叠加原理 i(t) = i1(t) + i2(t) 电阻消耗的瞬时功率
p(t) =Ri2(t)=R(i1+i2)2= Ri12 + Ri22 +2R i1i2 = p1+ p2+ 2R i1i2
∫ =
1
2
0 Im sinwtdwt
0
=
Im
2 3 w t
非正弦周期信号的谐波分析法
设非正弦周期电压 u 可分解成傅里叶级数
u = U0 + U1mcos(wt +1) +U2mcos( 2wt +2) + ······
其作用就和一个直流电压源及一系列不同频率的
正弦电压源串联起来共同作用在电路中的情况一样。
5. 滤波电路 电感或电容元件对不同频率的信号具有不同的
阻抗，利用感抗或容抗随频率而改变的特性构成四 端网络，有选择地使某一段频率范围的信号顺利通 过或者得到有效抑制，这种网络称为滤波电路。
下面以RC电路组成的滤波电路为例说明求网络 函数和分析电路频率特性的方法。
低通滤波电路
低通滤波电路可使低频信号较少损失地传输到输 出端，高频信号得到有效抑制。
u
u
Um
Um
0 2 3 wt
0
2 4 wt
u
u
Um
Um
0
2 wt
0 2
wt
几种非正弦周期电压的波形
什么是正弦稳态电路(精)
二、研究正弦稳态电路的意义
正弦电压和电流产生容易，与非电量转换方便，在实用 电路中使用广泛。 复杂信号皆可分解为若干不同频率正弦信号之和，因此可 利用叠加定理将正弦稳态分析推广到非正弦信号激励下的电 路响应。
三、正弦稳态电路的分析方法
采用相量分析法，引入相量的概念以后，在电阻电路 中应用的公式、定理均可以运用于正弦稳态电路。
试求 i3 (t )，并作出各电流相量的相量图。
解：由 i1 (t ) 、 i2 (t ) 的时域形式，得：
I1 20 I 2 2120
i1 (t )
i2 (t )
i3 (t )
由KCL的相量形式，得：
I3 I1 I 2 20 2120 2 1 j 3 2 120 A
u2 (t ) 2U 2 cos(t 2 )
相位差定义为：
12 (t 1 ) (t 2 ) 1 2
同频正弦量的相位差等于它们的初相之差，是一个与 时间无关的常数
比较两正弦量的相位差时应注意： （1）两正弦量必须是同类型的函数
（2）两正弦量必须具有相同的频率
i iR u(t) iC C iL L
R=15Ω，C=83.3μF,L=30mH,求电流I. 解：利用KCL相量关系，有：
I I R IC I L
U 120 j120 V 2
U j120 IR j8 A R 15 I C j CU j 1000 (83.3 106 ) ( j120) 10 A U j120 IL 4A 3 j L j1000 (30 10 )
定理4
若A、B为复常数,若在所有的时刻都满足
Re[ Ae jt ] Re[ Be jt ]
第九章 正弦稳态电路的相量分析
+
us -
R
r
（李瀚荪书下册63页第19题）
EX：画出各电压 电流相量图。
b
C
a
r
I
+ +
jXL1
R1
U1
U -
jXL2
I2 I1 R2 U2 －jXC -
+
EX：已知I1＝I2＝I＝5A， 求I1、I2的相位差。
I1
负载
I2
I
XC -
EX ： IR ＝ IC ＝ 2A ， U ＝ 20v 且U和I同相，求 I、R、 XL XC
－
或 I m ＝j C U m
IC
i
I C CU C 0 电容电流超前电压 90 0 90 u i
u
UC
相量图
电容元件VAR的另一种形式：U ＝ I C j 1 I C C j C c
归纳：
U R ＝R I R U L j L I L jX L I L UC＝
1 Y Y=G+jB，G为电导，B为电纳。 U Z 2、三种元件的导纳： I
电阻：Y＝1/R＝G；电容：Y＝jωC=jBC， BC称为容纳
电感： Y＝ 1 ＝ j 1 jBL BL称为感纳。 jL L 3、并联导纳： Y＝Y1＋Y2＋＋Yn ， 即
1 1 1 1 ＝ ＋ ＋＋ Z Z1 Z 2 Zn
五、阻抗（导纳）混联:
求等效阻抗的方法与以前所学求等效电阻类似 小结：如用相量表示正弦稳态时的各电压、电 流，那么这些相量服从 KVL、KCL 及欧姆定律的相 量形式：
第七章正弦稳态分析(精)
正弦量和相量
随时间按正弦规律变化的 电压和电流，称正弦电压 和正弦电流。 y(t)=Amsin(t+)
Am最大值，角频率，初相位, (-180＜＜180)
Am sin(t )
Am
0
t
最大值，角频率，初相位为正弦量的三要素。 三要素确定后，正弦量就被唯一确定。 若正弦量为电流i(t)，则i(t)=Imsin(t+)其中Im 是正弦电流最大值，I是正弦电流有效值。
Am sin(t ) Im( Ame j (t ) ) Im( Ame j e jt ) Im( Am e jt )
其中
Am
Ame j
是t=0时的复值常数，称相量
Am e jt
称旋转相量， e jt 称旋转因子
相量可表示为 Am Ame j Am 作为复数，相量又常用s复平面上的有向线段 表示。这样的图称相量图。 j 设 Am1 Am1e j Am2 Am2e j 2
A phj[ Am sin(t )] phj[ 2 A sin(t )] A
Am phj[ Am sin(t )] Am
相量法反变换phj-1为已知相量，变换成正弦量。
2 A sin(t ) Am sin(t ) phj 1[ A ] phj 1[ A ] Am sin(t ) phj 1[ Am ] phj 1[ Am ]
Am 2
0
jAme j2 j Am 2
Am 2 1 Am1 Am1 j
1
一个相量乘一个j，向逆时针方向旋转90，乘一个 -j， 向顺时针方向旋转90，所以称 j e j 90 90旋转因子
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根据=2rad/s得到电容电压的瞬时值表达式
uC (t ) 2 cos(2t 105 )V
图 10-11
uC (t ) 2 cos(2t 105 )V
求得电容电流和电感电流的瞬时值表达式
d iL (t ) iC (t ) 0.5 [ 2 cos( 2t 105 )] 2 cos( 2t 15 )A dt
由于此二阶电路的两个固有频率都具有负实部，暂态 响应将随着时间的增加而衰减到零，以上计算的电容电压 和电感电流的特解，也就是电路的正弦稳态响应。
三、正弦稳态响应
现在将上面的讨论推广到一般动态电路。具有相同频 率ω的一个或几个正弦信号激励的线性时不变动态电路，
我们感兴趣的响应为x(t)，则x(t)可表为如下形式：
t RC
uC (t ) [uC (0) U Cm cos u ] e U Cm cos(t u ) (t 0)
暂态响应 正弦稳态响应
(10 11)
本电路的初始条件为零，属于零状态响应，所画出的
波形如图所示。曲线1表示通解，它是电路的自由响应，当
2 2
2
(10 8)
u i arctan(CR )
(10 9)
微分方程的完全解为
uC (t ) Ke
可以求得
t RC
U Cm cos( t u )
(t 0) (10 10)
K uC (0) U Cm cos u
最后得到电容电压uC(t)的全响应为
将微分方程转变为复系数代数方程，再求解代数方程得到
电压电流相量，就能写出特解的瞬时值表达式。
例10-4 图10-9所示电路中，已知R=1, C=2F,
iS(t)=2cos(3t+45ห้องสมุดไป่ตู้)A, 试用相量法求解电容电压uC(t)
的特解。
图 10-9
解：写出电路的微分方程
du C 2 u C 2 cos(3t 45 ) dt
对方程先求导，再取实部
e jt )] RC Re[( j )U e jt )] Re(U e jt ) LC Re[( j ) 2U Cm Cm Cm e jt ) Re(U
Sm
得到复系数代数方程为
RC( j )U U U LC( j ) 2 U Cm Cm Cm Sm
j45
可以得到复系数代数方程
(j6 1)U Cm 245
(j6 1)U Cm 245
求解此代数方程得到电容电压相量
245 245 U Cm 0.329 35.5 V (1 j6) 6.0880.54
由此得到电容电压的瞬时值表达式
何初始条件，在具有相同频率ω的正弦电压源和电流源激
励下，电路中全部电压和全部电流随着t将按指数规律 趋于相同频率ω的正弦波形。当这种情况发生时，称电路 处于正弦稳态。
相量法求微分方程特解的方法与步骤如下： 1. 用KCL，KVL和VCR写出电路方程(例如2b方程， 网孔方程，结点方程等)，以感兴趣的电压电流为变量，写 出n阶微分方程。
uCp (t ) 0.329cos(3t 35.5 )V
这是图10－9所示电路中电容电压uC(t)的特解，也是电
容电压的正弦稳态响应。
例10-5 图10－11所示RLC串联电路中，已知
uS(t)=2cos(2t+30)V, R=1, L=1H, C=0.5F。 试用相量法求电容电压uC(t)和电感电流iL(t)的特解。
对应齐次微分方程的通解uCh(t)为
uCh (t ) Ke st Ke
的正弦时间函数，即
t RC
微分方程特解uCp(t)的形式与电流源相同，为同一频率
uCp (t ) U Cm cos(t u )
uCp (t ) U Cm cos(t u )
为了确定UCm和ψu，可以将上式代入微分方程中
代入R=1, L=1H, C=0.5F得到
230 V [0.5( j ) 2 0.5( j ) 1]U Cm
求解代数方程，注意到=2rad/s和j2=-1，得到电容电 压相量
U Cm
230 230 2 105 V 2 [0.5( j ) 0.5( j ) 1] 1 j1
e jt ) iS (t ) I Sm cos(t i ) Re(I Sm e jt ) u (t ) U cos(t ) Re(U
Cp Cm u Cm
代入微分方程
d 1 jt e jt ) Re( I e jt ) C [Re(U Cm e )] Re(U Cm Sm dt R
u i arctan( CR)
这与式(10－8)和(10－9)完全相同。计算出电容电压的 振幅和初相，就能够写出稳态响应
uCp (t ) U Cm cos(t u )
从以上叙述可知，用相量表示正弦电压电流后，可将 微分方程转换为复系数代数方程，求解此方程得到特解的 相量后，易于写出正弦稳态响应的瞬时值表达式。 我们可以将以上求特解的方法推广到一般情况，对于 由正弦信号激励的任意线性时不变动态电路，先写出n阶 常系数微分电路，再用相量表示同频率的各正弦电压电流，
取实部与微分运算的次序交换
1 jt e jt ) Re( I e j t ) Re[(jCU Cm e )] Re(U Cm Sm R 1 e j t ) Re[(jC＋ )U Cm e jt ] Re( I Sm R
由于方程在任何时刻相等，其方程的复数部分应该相
du C 2 u C 2 cos(3t 45 ) dt
将正弦电流用相量表示
iS (t ) 2 cos(3t 45 ) Re(2e
e j3t ) e j3t ) u Cp (t ) U Cm cos(3t u ) Re(U Cm
代入微分方程中
j3t Re[(j3 2 ＋ 1)UCme ] Re(2e e ) j3t j45
正弦稳态响应 一、正弦电流激励的RC电路分析
我们现在讨论图10-9所示RC电路，电路原来已经达到
稳定状态，在t=0时刻断开开关，正弦电流iS(t)=ISmcos(
t+ψi)作用于RC电路，求电容电压uC(t)的响应。
图 10-9
首先建立t>0电路的微分方程如下:
du C 1 C u C I Sm cos(t i ) dt R t0 (10 7)
等，由此得到一个复系数的代数方程
1 (j C )U Cm I Sm R
(10 12)
求解此代数方程得到电容电压相量为
U Cm
I Sm U Cm u jC 1 / R
电容电压的振幅和初相分别为
U Cm
I Sm
2 C 2 (1 / R) 2
x(t ) xh (t ) xp (t ) K1e K 2e K n e X m cos( t )
s1t s 2t sn t
(10 13)
s1、s2、…、sn是n阶动态电路的固有频率。如果全部 固有频率具有负实部 (即处于左半开复平面上)，则对于任
2. 用相量表示同一频率的各正弦电压电流，将n阶微
分方程转换为复系数代数方程。
3. 求解复系数代数方程得到所感兴趣电压或电流的相
量表达式。
4. 根据所得到的相量，写出正弦电压或电流的瞬时值 表达式。 以上步骤中，列出以某个电压或电流为变量的n阶微 分方程，并将它转换为复系数代数方程是最困难工作，电 路越复杂，工作量越大。 为此，我们可以先画出电路的相量模型，用相量形式 的KCL、KVL和元件VCR直接列出复数的电路方程。
图 10-11
解：以电容电压为变量列出电路的微分方程
d 2uC du C LC 2 RC u C uS dt dt
将方程中的uS(t)=2cos(2t+30)V和uC(t)用相量表示
d2 d jt e jt )] Re(U e jt ) LC 2 [Re(U Cm e )] RC [Re(U Cm Cm dt dt e jt ) Re(U Sm
必作习题：第441页 第十章：10 – 11 、10 –12 2002年春节摄于成都人民公园
RC>0的条件下，它将随着时间的增加而按指数规律衰减到 零，称为暂态响应。曲线2表示特解，它按照正弦规律变化， 其角频率与激励电源的角频率相同，当暂态响应衰减完后， 它就是电路的全部响应，称为正弦稳态响应。
图 10-10
二、 用相量法求微分方程的特解
求解正弦电流激励电路全响应的关键是求微分方程的 特解。假如能用相量来表示正弦电压电流，就可以将常系 数微分方程转变为复系数的代数方程，便于使用各种计算 工具。现将这种相量法介绍如下：
du C 1 C u C I Sm cos(t i ) dt R t0 (10 7)
1 CU Cm sin(t u ) U Cm cos( t u ) I Sm cos (t i ) R
求解得到
U Cm
I Sm
C (1 / R)
用相量法求解电路正弦稳态响应的方法和步骤如下： 1. 画出电路的相量模型，用相量形式的KCL，KVL和 VCR直接列出电路的复系数代数方程。 2. 求解复系数代数方程得到所感兴趣的各个电压和电 流的相量表达式。 3. 根据所得到的各个相量，写出相应的电压和电流的 瞬时值表达式。
用相量法分析正弦稳态响应的优点有： 1. 不需要列出并求解电路的n阶微分方程。 2. 可以用分析电阻电路的各种方法和类似公式来分析 正弦稳态电路。 3. 读者采用所熟悉的求解线性代数方程的方法，就能 求得正弦电压电流的相量以及它们的瞬时值表达式。 4. 便于读者使用计算器和计算机等计算工具来辅助电 路分析。