高考数学中的特殊模型抽象函数

抽象函数

抽象函数的题型与求解策略抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只是给出了函数满足的一些条件的函数问题．这类问题对培养学生的观察、联想、类比、合情推理、抽象思维等探究能力，增强用数学的意识具有十分重要的作用。

另外抽象函数的研究是高考的一个难点，在高考中，易、中、难问题都有。

抽象函数的解决方法具有探究性，常用的方法有：（1）借鉴模型函数（列表如下）（2）利用函数的性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性等）进行演绎探究。

（3）利用一些方法（如赋值、类比、递推等）进行逻辑探究。

【走近高考】07高考试题汇编1.给出下列三个等式：()()()f xy f x f y =+，()()()f x y f x f y +=， ()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-，下列函数中不满足其中任何一个等式的是（） A ．()3xf x =B ．()sin f x x =C ．2()log f x x =D ．()tan f x x =2．在R 上定义的函数()f x 是偶函数，且()(2)f x f x =-，若()f x 在区间[12]，上是减函数，则()f x （）Ａ．在区间[21]--，上是增函数，在区间[34]，上是增函数Ｂ．在区间[21]--，上是增函数，在区间[34]，上是减函数Ｃ．在区间[21]--，上是减函数，在区间[34]，上是增函数Ｄ．在区间[21]--，上是减函数，在区间[34]，上是减函数3．已知定义域为R 的函数()f x 在(8)+∞，上为减函数，且函数(8)y f x =+为偶函数，则（）Ａ．(6)(7)f f >Ｂ．(6)(9)f f >Ｃ．(7)(9)f f >Ｄ．(7)(10)f f >4．已知()f x 为R 上的减函数，则满足1(1)f f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭的实数x 的取值范围是（） A ．(11)-，B ．(01)，C ．(10)(01)- ，，D ．(1)(1)-∞-+∞ ，，5．已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（）A ．()0()0f x g x ''>>，B ．()0()0f x g x ''><，C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<，6．设函数()f x 是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线()y f x =在5x =处的切线的斜率为（）Ａ．15-Ｂ．0Ｃ．15Ｄ．57．定义在R 上的函数()f x 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期．若将方程()0f x =在闭区间[]T T -，上的根的个数记为n ，则n 可能为（） A ．0B ．1C ．3D ．58．()f x 是定义在(0)+∞，上的非负可导函数，且满足()()0xf x f x '+≤．对任意正数a b ，，若a b <，则必有（） A ．()()af b bf a ≤ B ．()()bf a af b ≤ C ．()()af a f b ≤D ．()()bf b f a ≤抽象函数问题主要有以下题型：1、求函数的定义域例1、（1）已知)(x f 的定义域是[1，2]，求函数)(x f 的定义域。

天津高考抽象函数知识点

天津高考抽象函数知识点抽象函数是天津高考中的一个重要知识点，作为数学的一个基础概念，它对于学生的数学思维和问题解决能力有着深远的影响。

本文将从抽象函数的定义、性质以及在高考中的应用等方面进行论述和分析。

一、抽象函数的定义抽象函数是指一种将输入映射为输出的数学关系，它的具体定义可通过函数表达式、图像、数据等形式来表示。

在数学中，抽象函数通常用f(x)表示，其中x为自变量，f(x)为因变量。

抽象函数的定义域、值域以及各种性质是对应学习者所要掌握的基本内容。

二、抽象函数的性质1. 定义域与值域：抽象函数的定义域是指函数的输入值的集合，而值域则是函数输出值的集合。

在考试中，学生需要根据具体问题对抽象函数的定义域和值域进行判断和求解，注意排除不存在的值。

2. 奇偶性：抽象函数的奇偶性是指函数在自变量变为负数时是否保持不变。

对于奇函数，有f(-x)=-f(x)，即绕原点对称；对于偶函数，有f(-x)=f(x)，即轴对称。

3. 单调性：抽象函数的单调性是指函数在定义域内的取值随自变量的增减而增减的性质。

单调函数可以分为递增和递减两种，可以通过导数的正负性来判断函数的单调性。

4. 极值与最值：抽象函数的极值是指函数在定义域内取得的局部最大值或最小值，最值则是函数在整个定义域内取得的最大值和最小值。

为求得函数的极值和最值，需利用函数的导数和二次函数的特性进行分析。

三、抽象函数在高考中的应用1. 函数组成：抽象函数可以通过一系列的函数组成，从而形成新的函数。

高考中许多关于函数的复合、迭代以及函数方程的题目都需要运用抽象函数的概念和性质来解决。

2. 函数图像：抽象函数的图像可以通过绘制函数曲线来表示，其中包括函数的关键点、拐点、渐近线等信息。

在高考中，图像分析是一个重要的解题方法，学生需要根据图像的特点来解答相关问题。

3. 函数方程的解：抽象函数也常常用于求解函数方程。

通过对函数的定义域、值域等性质的分析，可以得到函数方程的解集及其特点。

高考数学重难点第6讲抽象函数及其性质8大题型(原卷版)(全国通用)(学生专用)(新高考专用)

重难点第6讲抽象函数及其性质8大题型——每天30分钟7天掌握抽象函数及其性质8大题型问题【命题趋势】抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一个函数，由抽象函数构成的数学问题叫做抽象函数问题。

抽象函数问题能综合考查学生对函数概念和各种性质的理解，但由于其表现形式的抽象性和多变性，学生往往无从下手，这类问题是高考的一个难点，也是近几年高考的热点之一。

第1天认真研究满分技巧及思考热点题型【满分技巧】一、抽象函数的赋值法赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种： 1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解； 2、通过()()12-f x f x 的变换判定单调性；3、令式子中出现()f x 及()-f x 判定抽象函数的奇偶性；4、换x 为+x T 确定周期性. 二、判断抽象函数单调性的方法：（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.①若给出的是“和型”抽象函数() =+y x f ，判断符号时要变形为：()()()()111212)(x f x x x f x f x f -+-=-或()()()()221212)(x x x f x f x f x f +--=-;②若给出的是“积型”抽象函数() =xy f ，判断符号时要变形为：()()()112112x f x x x f x f x f -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-或()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=-212212x x x f x f x f x f . 三、常见的抽象函数模型1、()()()+=+f x y f x f y 可看做()=f x kx 的抽象表达式；2、()()()+=f x y f x f y 可看做()=x f x a 的抽象表达式（0>a 且1≠a ）；3、()()()=+f xy f x f y 可看做()log =a f x x 的抽象表达式（0>a 且1≠a ）；4、()()()=f xy f x f y 可看做()=a f x x 的抽象表达式. 四、抽象函数中的小技巧1、很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同特征而设计出来的，在解决问题时，可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数的性质；2、解答抽象函数问题要注意特殊赋值法的应用，通过特殊赋值法可以找到函数的不变性质，这个不变性质往往是解决问题的突破口；3、抽象函数性质的证明是一种代数推理，和几何推理一样，要注意推理的严谨性，每一步推理都要有充分的条件，不可漏掉一些条件，更不要臆造条件，推理过程要层次分明，书写规范。

高三数学总复习——抽象函数

高三数学总复习——抽象函数所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号表示的函数。

抽象来源于具体。

抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的，高中大量的抽象函数都是以中学阶所学的基本函数为背景抽象而得，解题时，若能从研究抽象函数的“模型”入手，根据题设中抽象函数的性质，通过类比、猜想出它可能为某种基本函数，变抽象为具体，变陌生为熟知，常可猜测出抽象函数所蕴含的重要性质，并以此作为解题的突破口，必能为我们的解题提供思路和方法。

常见的抽象函数对应的初等函数模型如下:初等函数模型抽象函数性质正比例函数()(0)f x kx k =≠()()()f x y f x f y ±=±一次函数()(0)f x kx b k =+≠()()()f x y b f x f y ++=+幂函数()nf x x=()()()()()()x f x f xy f x f y f y f y ==或二次函数2()f x ax bx c =++（a≠0）f（x+y）=f（x）+f（y）+2axy-c指数函数()(01)xf x a a a =>≠且()()()()()()f x f x y f x f y f x y f y +=-=或对数函数()log (01)a f x x a a =>≠且()()()()()()xf xy f x f y f f x f y y=+=-或或f(x m )=mf(x)余弦函数()cos f x x=()()2()()22x y x yf x f y f f +-+=()()2()()f x y f x y f x f y ++-=正切函数()tan f x x=()()()1()()f x f y f x y f x f y ±±=下面从这一认识出发，例谈七种类型的抽象函数及其解法。

（备注：解小题可参对应的具体函数，解大题得赋值，可在草纸上借助具体函数验证赋值所得结果是否正确。

函数——抽象函数(函数类型)

函数—抽象函数（函数类型）所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号表示的函数。

抽象来源于具体。

抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的，高中大量的抽象函数都是以中学阶所学的基本函数为背景抽象而得，解题时，若能从研究抽象函数的“模型”入手，根据题设中抽象函数的性质，通过类比、猜想出它可能为某种基本函数，变抽象为具体，变陌生为熟知，常可猜测出抽象函数所蕴含的重要性质，并以此作为解题的突破口，必能为我们的解题提供思路和方法。

★★抽象函数常见模型:函数模型抽象函数性质正比例函数一次函数幂函数二次函数（a≠0）f（x+y）=f（x）+f（y）+2axy-c 指数函数对数函数或f(x m)=mf(x)余弦函数（和差化积）还有周期性。

正切函数余切函数 f(x)=cotx一．以正比例函数为模型的抽象函数正比例函数是满足函数恒等式的最常见的模型。

若我们能从这个具体的模型出发，根据解题目标展开联想，给解题带来了思路。

例1、已知函数对任意实数，均有，且当时，，，求在区间[－2，1]上的值域。

分析：由题设可知，函数是的抽象函数，因此求函数的值域，关键在于研究它的单调性。

二、以一次函数为模型的抽象函数一次函数y=ax+b是满足函数恒等式f（x+y）=f（x）+f（y）-b的最常见的模型。

例2、已知函数f（x）对任意，满足条件f（x）＋f（y）＝2 + f（x ＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式的解。

分析：由题设条件可猜测：f（x）是y＝x＋2的抽象函数，且f（x）为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。

三、以幂函数为模型的抽象函数幂函数型抽象函数，即由幂函数抽象而得到的函数。

由幂函数的运算法则知是我们最熟悉的满足恒等式的函数。

例3、已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）·f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当时，。

抽象函数的讲义

x
xf
2.
.1.
于是在上是减函数.(0,..)
（3）因为
(4)
f
.
,(2)
(2)
1f
f.
.
.
所以
32
..
4
因为在上是减函数，(0,..)
f
(m).
f
(n).1，当x
..
12
时，
f(x)
.
0
（1）求
f
(.1)的值；
2
（2）求证：f
(x)在定义域R上是单调递增函数。
解：（
1）令m
.
n
.
0，得f
(0)
.
2
f
(0).1，.
f(0)
f
(2)=
2即
f
(2x2
.1)<
f
(4)
故而
2x2
.1
<4即
-4<2x2
.1<4解得
.
10
10
.
x.
22
针对练习：
已知定义在(0,..)上的函数
f
(x)，对于任意的m,
n
.
(0,..)，都有f
.
y)
.
f
(x).
f
(y)-bf(x)=kx+b
2、指数函数型：
(x
.
y)
.
f
(x).
f
(y)
f
(x

抽象函数和复合函数的应用解析版-高中数学

抽象函数与复合函数的应用①抽象函数的性质(定义域、单调性、奇偶性、周期性、对称性)②常见抽象函数模型①-一次函数、二次函数、反比例函数③常见抽象函数模型②-指对幂函数、三角函数④复合函数的应用一、必备知识整合一、抽象函数的性质1.周期性：f x +a =f x ⇒T =a ；f x +a =−f x ⇒T =2a ；f x +a =kf x⇒T =2a ；(k 为常数)；f x +a =f x +b ⇒T =a −b 2.对称性：对称轴：f a −x =f a +x 或者f 2a −x =f x ⇒f x 关于x =a 对称；对称中心：f a −x +f a +x =2b 或者f 2a −x +f x =2b ⇒f x 关于a ,b 对称；3.如果f x 同时关于x =a 对称，又关于b ,c 对称，则f x 的周期T =a −b 4.单调性与对称性(或奇偶性)结合解不等式问题①f x 在R 上是奇函数，且f x 单调递增⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >0，则有x 1+x 2>0；f x 在R 上是奇函数，且f x 单调递减⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >0，则有x 1+x 2<0；②f x 在R 上是偶函数，且f x 在0,+∞ 单调递增⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1 >x 2 (不变号加绝对值)；f x 在R 上是偶函数，且f x 在0,+∞ 单调递减⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1 <x 2 (变号加绝对值)；③f x 关于a ,b 对称，且f x 单调递增⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >2b ，则有x 1+x 2>2a ；f x 关于a ,b 对称，且f x 单调递减⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >2b ，则有x 1+x 2<2a ；④f x 关于x =a 对称，且f x 在a ,+∞ 单调递增⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1−a >x 2−a (不变号加绝对值)；f x 关于x =a 对称，且f x 在a ,+∞ 单调递减⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1−a <x 2−a (不变号加绝对值)；5.常见的特殊函数性质一览①f x =log a 1+mx 2±mx 是奇函数②f x =log ak −x k +x f x =log a k +xk −x(k 为常数)是奇函数③f x =1−a x 1+a x 或者f x =1+a x 1−a x 或者f x =a x +1a x −1或者f x =a x −1a x +1是奇函数④f x =m a x+1关于0,m2 对称⑤f g x 复合函数的奇偶性：有偶为偶，全奇为奇二、抽象函数的模型【反比例函数模型】反比例函数：f (x +y )=f (x )f (y )f (x )+f (y )，则f (x )=f (1)x ，x ,f (x ),f (y ),f (x +y )均不为0【一次函数模型】模型1：若f (x ±y )=f (x )±f (y )，则f (x )=f (1)x ；模型2：若f (x ±y )=f (x )±f (y )，则f (x )为奇函数；模型3：若f (x +y )=f (x )+f (y )+m ,则f (x )=f 1 +m x -m ；模型4：若f (x -y )=f (x )-f (y )+m ,则f (x )=f 1 -m x +m ；【指数函数模型】模型1：若f (x +y )=f (x )f (y )，则f (x )=[f (1)]x ；f (x )>0模型2：若f (x -y )=f (x )f (y )，则f (x )=[f (1)]x ；f (x )>0模型3：若f (x +y )=f (x )f (y )m ，则f (x )=f 1 mxm；模型4：若f (x -y )=m f (x )f (y )，则f (x )=m f 1 m x ；【对数函数模型】模型1：若f (x n )=nf (x )，则f (x )=f a log a x a >0且≠1,x >0模型2：若f (xy )=f (x )+f (y )，则f (x )=f a log a x a >0且≠1,x ,y >0模型3：若fxy=f(x)-f(y)，则f(x)=f a log a x a>0且≠1,x,y>0模型4：若f(xy)=f(x)+f(y)+m，则f(x)=f a +mlog a x-m a>0且≠1,x,y>0模型5：若fxy=f(x)-f(y)+m，则f(x)=f a -mlog a x+m a>0且≠1,x,y>0【幂函数模型】模型1：若f(xy)=f(x)f(y)，则f x =f a log a x a>0且≠1模型2：若fxy=f(x)f(y)，则f x =f a log a x a>0且≠1,y≠0,f y ≠0代入f a 则可化简为幂函数；【余弦函数模型】模型1：若f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)f(x)不恒为0，则f(x)=cos wx模型2：若f(x)+f(y)=2fx+y2f x-y2f(x)不恒为0，则f(x)=cos wx【正切函数模型】模型：若f(x±y)=f(x)±f(y)1∓f(x)f(y)f(x)f(y)≠1，则f(x)=tan wx模型3：若f(x+y)+f(x-y)=kf(x)f(y)f(x)不恒为0，则f(x)=2kcos wx三、复合函数1.复合函数定义：两个或两个以上的基本初等函数经过嵌套式复合成一个函数叫做复合函数。