八年级数学全等三角形培优精选难题
八年级数学全等三角形(培优精选难题)
北京四中八年级培优班数学全等三角形复习题1．如图1，已知在等边△ABC 中，BD ＝CE ，AD 与BE 相交于P ，则∠APE 的度数是 。
图1图2BA图32．如图2，点E 在AB 上，AC ＝AD ，BC ＝BD ，图中有 对全等三角形。
3．如图3，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠O ＝60°，∠C ＝25°，则∠BED 等于 度。
4．如图4所示的2×2方格中，连接AB 、AC ，则∠1＋∠2＝ 度。
图4B图5ABD图6C5．如图5，下面四个条件中，请你以其中两个为已知条件，第三个为结论，推出一个正确的命题。
（ ）①AE ＝AD ；②AB ＝AC ；③OB ＝OC ；④∠B ＝∠C 。
6．如图6，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，延长BA 到点D ，使AD ＝21AB ，点E 、F 分别为边BC 、AC 的中点。
（1）求证：DF ＝BE ；（2）过点A 作AG ∥BC ，交DF 于点G ，求证：AG ＝DG 。
7．如图7，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD ，AB ＞AD ，下列结论正确的是（ ） A. AB －AD ＞CB －CD B. AB －AD ＝CB －CDC. AB －AD ＜CB －CDD. AB －AD 与CB －CD 的大小关系不确定图7BD图8C8．In Fig. 8, Let △ABC be an equilateral triangle, D and E be points on edges AB and AC respectively, F be intersection of segments BE and CD, and ∠BFC=120°, then the magnitude relation between AD and CE is ( )A. AD>CEB. AD<CEC. AD=CED. indefinite（英汉小词典：equilateral 等边的；intersection 交点；indefinite 不确定的；magnitude 大小，量） 9．如图9，在△ABC 中，AC ＝BC ＝5，∠ACB ＝80°，O 为△ABC 中一点，∠OAB ＝10°，∠OBA ＝30°，则线段AO 的长是 。
八年级数学全等三角形(培优篇)(Word版含解析)
八年级数学全等三角形（培优篇）（Word版含解析）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1.如图，在菱形ABCD中，ZABC=120° , AB=10cm，点P是这个菱形内部或边上的一点.若以P,B f C为顶点的三角形是等腰三角形，则P, A（P, A两点不重合）两点间的最短距离为____________ c m .【答案】1OJJ-1O【解析】解：连接3D,在菱形A3CD中，T Z ABC=120° , AB=BC=AD=CD=10 , :. Z A=Z C=60° ,二△ ABD , △ BCD都是等边三角形，分三种情况讨论：①若以边8C为底，则3C垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了"直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短"，即当点P与点D重合时，必最小，最小值^4=10 ；②若以边P3为底，ZPCB为顶角时，以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC相交于一点，则弧3D （除点8外）上的所有点都满足APBC是等腰三角形，当点P在AC上时，AP 最小，最小值为lOjJ-10 ；③若以边PC为底，ZPBC为顶角，以点3为圆心，BC为半径作圆，则弧AC上的点&与点D均满足APBC为等腰三角形，当点P与点A重合时，必最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；综上所述，必的最小值为10>/3-10 （cm）.故答案为：10x/I—10 .点睹：本题考查菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型.2.在等腰△遊中，肋丄肚交直线％于点以若妙丄万G则△磁的顶角的度数为【答案】30。
或150。
或90°【解析】试题分析：分两种情况：①3C为腰，②BC为底，根据直角三角形30。
角所对的直角边等于斜边的一半判断岀ZACD=3O°,然后分AD在^ABC内部和外部两种情况求解即可.解：①BC为腰，VAD丄 BC 于点D t AD= - BC f2:.ZACD二30。
八年级数学上册全等三角形难题模型题精选强化(解析版)
八年级数学上册全等三角形难题模型题精选强化（解析版）一、手拉手模型强化1.（难度★）如图，DAC ∆和EBC ∆均是等边三角形，A 、C 、B 三点共线，AE 与BD 相交于点P ，AE 与BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ，有如下结论：①ACE DCB ∆≅∆；②60DPA ∠=︒；③AC DN =；④EM BN =；⑤//DC EB ，其中正确结论是 （填序号）．【解答】解：DAC ∆和EBC ∆都是等边三角形，60ACD BCE ∴∠=∠=︒，120ACE DCB ∴∠=∠=︒，在ACE ∆与DCB ∆中，AC DC ACE DCB CB CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACE DCB SAS ∴∆≅∆，故①正确；AEC DBC ∴∠=∠，60ECB ∠=︒，60EAC AEC ECB ∴∠+∠=∠=︒，60APD EAC ABP EAC AEC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，故②正确；ACE DCB ∆≅∆，CAM CDN ∴∠=∠，在ACM ∆与DCN ∆中，60CAM CDN AC DCACM DCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，()ACM DCN ASA ∴∆≅∆，DN AM ∴=，同理可得EM BN =，故④正确；在AMC ∆中，AMC MCN ∠>∠，180180606060MCN ACD BCE ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，60ACM ∠=︒，AMC ACM ∴∠>∠，AC AM ∴>，AC DN ∴≠，故③错误；60DCE BEC ∠=∠=︒，//CD BE ∴，故⑤正确；故答案为：①②④⑤．2.（难度★★）如图，ABC ∆和EBD ∆中，90ABC DBE ∠=∠=︒，AB CB =，BE BD =，连接AE ，CD ，AE 与CD 交于点M ，AE 与BC 交于点N ．（1）求证：AE CD =；（2）求证：AE CD ⊥；（3）连接BM ，有以下两个结论：①BM 平分CBE ∠；②MB 平分AM D ∠．其中正确的有 （请写序号，少选、错选均不得分）．【解答】（1）证明：ABC DBE ∠=∠，ABC CBE DBE CBE ∴∠+∠=∠+∠，即ABE CBD ∠=∠，在ABE ∆和CBD ∆中，AB CB ABE CBD BE BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABE CBD ∴∆≅∆，AE CD ∴=．（2）ABE CBD ∆≅∆，BAE BCD ∴∠=∠，180NMC BCD CNM ∠=︒-∠-∠，180ABC BAE ANB ∠=︒-∠-∠，又CNM ANB ∠=∠，90ABC ∠=︒，90NMC ∴∠=︒，AE CD ∴⊥．（3）结论：②理由：作BK AE ⊥于K ，BJ CD ⊥于J ．ABE CBD ∆≅∆，AE CD ∴=，ABE CDB S S ∆∆=， ∴1122AE BK CD BJ =， BK BJ ∴=，作BK AE ⊥于K ，BJ CD ⊥于J ，BM ∴平分AMD ∠．不妨设①成立，则CBM EBM∆≅∆，则AB BD =，显然不可能，故①错误．故答案为②．二、角平分线性质强化3.（难度★）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE ⊥AB，垂足为E．若BD=√2，则CD的长为2．【解答】解：过点D作DF⊥AC于F，∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE＝DF，在Rt△BED中，∠B＝45°，∴2DE2＝BD2＝（√2）2＝2，∴DE2＝1，∴DF＝DE＝1，在Rt△CDF中，∠C＝30°，∴CD＝2DF＝2，故答案为：2．⊥，4．（难度★）如图，点P在MAN∠的角平分线上，点B，C分别在AM，AN上，作PR AMABP ACP∠+∠=︒，则下面三个结论：⊥，垂足分别是R，S．若180PS AN①AS AR=；②//PC AB；③BRP CSP∆≅∆．其中正确的是()A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③ 【解答】解：点P 在MAN ∠的角平分上，PR AM ⊥，PS AN ⊥，PR PS ∴=，90ARP ASP ∠=∠=︒，∴在Rt APR ∆和Rt APS ∆中，AP AP PR PS =⎧⎨=⎩， Rt APR Rt APS(HL)∴∆≅∆，AS AR ∴=，故①正确；180ABP ACP ∠+∠=︒，ABP PCS ∴∠=∠，又PR PS =，90PRB PSC ∠=∠=︒，()BRP CSP AAS ∴∆≅∆，故③正确；若MAP CPA ∠=∠，则//PC AB ，则需要AC PC =得出PAN CPA ∠=∠，从而根据MAP PAN ∠=∠，得出MAP CPA ∠=∠，而题中没有条件说明AC PC =，故②错误；故选：C ．5．（难度★）如图，AD 是ABC ∆的角平分线，CE AD ⊥，垂足为F ．若30CAB ∠=︒，55B ∠=︒，则BDE ∠的度数为( )A ．35︒B ．40︒C ．45︒D ．50︒【解答】解：30CAB ∠=︒，55B ∠=︒，180305595ACB ∴∠=︒-︒-︒=︒，CE AD ⊥，90AFC AFE ∴∠=∠=︒， AD 是ABC ∆的角平分线，130152CAD EAD ∴∠=∠=⨯︒=︒， 又AF AF =，()ACF AEF ASA ∴∆≅∆AC AE ∴=，AD AD =，CAD EAD ∠=∠，ACD AED ∴∆≅∆ ()SAS ，DC DE ∴=，DCE DEC ∴∠=∠，901575ACE ∠=︒-︒=︒，957520DCE DEC ACB ACE ∴∠=∠=∠-∠=︒-︒=︒，202040BDE DCE DEC ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，故选：B ．6．（难度★）已知OM 是∠AOB 的平分线，点P 是射线OM 上一点，点C 、D 分别在射线OA 、OB 上，连接PC 、PD ．（1）如图①，当PC ⊥OA ，PD ⊥OB 时，则PC 与PD 的数量关系是 PC ＝PD ．（2）如图②，点C 、D 在射线OA 、OB 上滑动，且∠AOB ＝90°，当PC ⊥PD 时，PC 与PD 在（1）中的数量关系还成立吗？说明理由．【解答】解：（1）PC＝PD，理由：∵OM是∠AOB的平分线，∴PC＝PD（角平分线上点到角两边的距离相等），故答案为：PC＝PD；（2）证明：过点P点作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，如图，∴∠PEC＝∠PFD＝90°，∵OM是∠AOB的平分线，∴PE＝PF，∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，∴∠PCE+∠PDO＝360°﹣90°﹣90°＝180°，而∠PDO+∠PDF＝180°，∴∠PCE＝∠PDF，在△PCE和△PDF中{∠PPP=∠PPP PPPP=PPPP PP=PP，∴△PCE≌△PDF（AAS），∴PC＝PD．7．（难度★）如图，90ACB∠=︒，AC CD=，过点D作AB的垂线交AB的延长线于点E．若2AB DE=，则BAC∠的度数为()A ．45︒B ．30︒C ．22.5︒D ．15︒【解答】解：连接AD ，延长AC 、DE 交于M ，90ACB ∠=︒，AC CD =，45DAC ADC ∴∠=∠=︒， 90ACB ∠=︒，DE AB ⊥，90DEB ACB DCM ∴∠=︒=∠=∠，ABC DBE ∠=∠，∴由三角形内角和定理得：CAB CDM ∠=∠，在ACB ∆和DCM ∆中CAB CDM AC CDACB DCM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ACB DCM ASA ∴∆≅∆，AB DM ∴=，2AB DE =，2DM DE ∴=，DE EM ∴=，DE AB ⊥，AD AM ∴=，114522.522BAC DAE DAC ∴∠=∠=∠=⨯︒=︒，故选：C．8．（难度★）在ABC∠=，ACB∠的平分线交AB于D，AE平分BAC∠=︒，AB ACBAC∆中，120交BC于E，连接DE，DF BC∠=30︒．⊥于F，则EDC【解答】解：过D作DM AC⊥，⊥交CA的延长线于M，DN AECD平分ACB∠，∴=，DF DMBAC∠=︒，120DAM∴∠=︒，60AE平分BAC∠，BAE∴∠=︒，60∴∠=∠，DAM BAE∴=，DM DNDF BC⊥，∠，DE∴平分AEB=，AE平分BAC∠交BC于E，AB AC∴⊥，AE BC∴∠=︒，90AEB∴∠=︒，DEF45B ACB∠=∠=︒，30DCF∴∠=︒，15∴∠=︒，EDC30故答案为：30．9．（难度★★）已知：点O 到ABC ∆的两边AB ，AC 所在直线的距离相等，且OB OC =．（1）如图1，若点O 在边BC 上，求证：AB AC =；（2）如图2，若点O 在ABC ∆的内部，求证：AB AC =；（3）若点O 在ABC ∆的外部，AB AC =成立吗？请画出图表示．【解答】（1）证明：过点O 分别作OE AB ⊥于E ，OF AC ⊥于F ， 由题意知，在Rt OEB ∆和Rt OFC ∆中OB OC OE OF =⎧⎨=⎩， Rt OEB Rt OFC(HL)∴∆≅∆，ABC ACB ∴∠=∠，AB AC ∴=；（2）过点O 分别作OE AB ⊥于E ，OF AC ⊥于F ， 由题意知，OE OF =．90BEO CFO ∠=∠=︒，在Rt OEB ∆和Rt OFC ∆中OB OC OE OF =⎧⎨=⎩， Rt OEB Rt OFC(HL)∴∆≅∆，OBE OCF ∴∠=∠，又OB OC =，OBC OCB ∴∠=∠，ABC ACB ∴∠=∠，AB AC ∴=；（3）不一定成立，当A ∠的平分线所在直线与边BC 的垂直平分线重合时AB AC =，否则AB AC ≠．（如示例图）三、割补法强化10．（难度★）如图，在△ABC 和△DBC 中，∠A ＝40°，AB ＝AC ＝2，∠BDC ＝140°，BD ＝CD ，以点D 为顶点作∠MDN ＝70°，两边分别交AB ，AC 于点M ，N ，连接MN ，则△AMN 的周长为 4 ．【解答】解：延长AC 至E ，使CE ＝BM ，连接DE ．∵BD ＝CD ，且∠BDC ＝140°，∴∠DBC ＝∠DCB ＝20°，∵∠A ＝40°，AB ＝AC ＝2，∴∠ABC ＝∠ACB ＝70°，∴∠MBD ＝∠ABC +∠DBC ＝90°，同理可得∠NCD ＝90°，∴∠ECD ＝∠NCD ＝∠MBD ＝90°，在△BDM 和△CDE 中，{PP =PPPPPP =PPPP PP =PP，∴△BDM ≌△CDE （SAS ），∴MD ＝ED ，∠MDB ＝∠EDC ，∴∠MDE ＝∠BDC ＝140°，∵∠MDN ＝70°，∴∠EDN ＝70°＝∠MDN ，在△MDN 和△EDN 中，{PP =PPPPPP =PPPP PP =PP，∴△MDN ≌△EDN （SAS ），∴MN ＝EN ＝CN +CE ，∴△AMN 的周长＝AM +MN +AN ＝AM +CN +CE +AN ＝AM +AN +CN +BM ＝AB +AC ＝4；故答案为：4．11．（难度★）在MAN ∠内有一点D ，过点D 分别作DB AM ⊥，DC AN ⊥，垂足分别为B ，C ．且BD CD =，点E ，F 分别在边AM 和AN 上．（1）如图1，若BED CFD ∠=∠，请说明DE DF =；（2）如图2，若120BDC ∠=︒，60EDF ∠=︒，猜想EF ，BE ，CF 具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．【解答】解：（1）DB AM ⊥，DC AN ⊥，90DBE DCF ∴∠=∠=︒，在BDE ∆和CDF ∆中，,,,BED CFD DBE DCF BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BDE CDF AAS ∴∆≅∆．DE DF ∴=；（2）EF FC BE =+，理由：过点D 作CDG BDE ∠=∠，交AN 于点G ，在BDE ∆和CDG ∆中，EBD GCD BD CDBDE CDG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()BDE CDG ASA ∴∆≅∆，DE DG ∴=，BE CG =．120BDC ∠=︒，60EDF ∠=︒，60BDE CDF ∴∠+∠=︒．60FDG CDG CDF ∴∠=∠+∠=︒，EDF GDF ∴∠=∠．在EDF ∆和GDF ∆中，DE DG EDF GDF DF DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∆≅∆．EDF GDF SAS()∴=，EF GF∴=+=+．EF FC CG FC BE12．（难度★）如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AB边上，点E在AC的延长线上，且CE＝BD，连接DE交BC于点F．（1）求证：EF＝DF；（2）过点D作DG⊥BC，垂足为G，求证：BC＝2FG．【解答】证明：（1）过点D作DH∥AC，DH交BC于H，如图1所示：则∠DHB＝∠ACB，∠DHF＝∠ECF，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠DHB，∴BD＝HD，∵CE＝BD，∴HD＝CE，在△DHF 和△ECF 中，{∠PPP =∠PPPPPPP =PPPP PP =PP，∴△DHF ≌△ECF （AAS ），∴EF ＝DF ；（2）如图2，由（1）知：BD ＝HD ，∵DG ⊥BC ，∴BG ＝GH ，由（1）得：△DHF ≌△ECF ，∴HF ＝CF ，∴GH +HF =12BH +12CH =12BC ，∴BC ＝2FG ．13．（难度★★）在△ABC 中，AB ＝AC ，∠ABC ＝∠ACB ，CE 是高，且∠ECA ＝36°，平面内有一异于点A ，B ，C ，E 的点D ，若△ABC ≌△CDA ，则∠DAE 的度数为 117°、27°、9°和81° ．【解答】解：如图：∵在△ABC中，AB＝AC，CE是高，且∠ECA＝36°，∴∠BAC＝54°，∠ACB＝∠ABC＝63°，∵△ABC≌△CDA，∴∠CAD＝∠ACB＝63°，∴∠DAE＝∠CAD+∠BAC＝63°+54°＝117°，同理，∠DAE＝9°，当△ABC为钝角三角形时，∵在△ABC中，AB＝AC，CE是高，且∠ECA＝36°，∴∠EAC＝54°，∠ACB＝∠ABC＝27°，∵△ABC≌△CDA，∴∠CAD＝∠ACB＝27°，∴∠DAE＝∠EAC﹣∠CAD＝54°﹣27°＝27°，同理可得：∠DAE＝81°．故答案为：117°、27°、9°和81°．14．（难度★）如图，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，AX⊥AC，点P和点Q同时从点A出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当AP＝10或20时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABC全等．【解答】解：∵AX⊥AC，∴∠PAQ＝90°，∴∠C＝∠PAQ＝90°，分两种情况：①当AP＝BC＝10时，在Rt△ABC和Rt△QPA中，{PP=PP，PP=PP∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；②当AP＝CA＝20时，在△ABC和△PQA中，{PP=PP，PP=PP∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；综上所述：当点P运动到AP＝10或20时，△ABC与△APQ全等；故答案为：10或20．四、综合运用强化15.（难度★）如图，AB∥CD，BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点E，且与AB互相垂直，点P为线段BC上一动点，连接PE．若AD＝8，则PE的最小值为（）A ．8B ．6C ．5D ．4【解答】解：∵BE 和CE 分别平分∠ABC 和∠BCD ，∴∠EBC =12P ABC ，∠ECB =12P DCB ，∵AB ∥CD ，∴∠ABC +∠DCB ＝180°，∴∠EBC +∠ECB =12×180°=90°，∴∠BEC ＝180°﹣（∠EBC +∠ECB ）＝90°，要使PE 取最小值，只要BC 最小即可，此时BC ⊥AB ，BC ⊥CD ，∠PBE ＝∠PCE ＝45°，∴BE ＝CE ，即△CEB 是等腰直角三角形，当PE ⊥BC 时，PE 最短，∴P 为BC 的中点，∵∠BEC ＝90°，∴PE =12BC ，当BC ⊥CD 时，BC 最小，此时BC ＝AD ＝8，∴PE 最小值是12×8＝4，故选：D ．16．（难度★）如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，PE BC ⊥于点E ，PF CD ⊥于点F ，连接E ，F ．给出下列五个结论：①AP EF =；②PD EC =；③PFE BAP ∠=∠；④APD ∆一定是等腰三角形；⑤AP EF ⊥．其中正确结论的序号是 ①③⑤ ．【解答】解：延长FP交AB于点N，延长AP交EF于点M．四边形ABCD是正方形．ABP CBD∴∠=∠又NP AB⊥，PE BC⊥，∴四边形BNPE是正方形，ANP EPF∠=∠，NP EP∴=，AN PF∴=在ANP∆与FPE∆中，NP EPANP EPFAN PF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ANP FPE SAS∴∆≅∆，AP EF∴=，PFE BAP∠=∠（故①③正确）；APN∆与FPM∆中，APN FPM∠=∠，NAP PFM∠=∠90PMF ANP∴∠=∠=︒AP EF∴⊥，（故⑤正确）；P是BD上任意一点，因而APD∆是等腰三角形和PD EC=不一定成立，（故②④错误）；故正确的是：①③⑤．故答案为：①③⑤17．（难度★）如图，在△ABC中，点D是BC上一点，且AD＝AB，AE∥BC，∠BAD＝∠CAE，连接DE 交AC 于点F ．（1）若∠B ＝70°，求∠C 的度数；（2）若AE ＝AC ，AD 平分∠BDE 是否成立？请说明理由．【解答】解：（1）∵∠B ＝70°，AB ＝AD ，∴∠ADB ＝∠B ＝70°，∵∠B +∠BAD +∠ADB ＝180°，∴∠BAD ＝40°，∵∠CAE ＝∠BAD ，∴∠CAE ＝40°，∵AE ∥BC ，∴∠C ＝∠CAE ＝40°；（2）AD 平分∠BDE ，理由是：∵∠BAD ＝∠CAE ，∴∠BAD +∠CAD ＝∠CAE +∠CAD ，即∠BAC ＝∠DAE ，在△BAC 和△DAE 中，{PP =PP PPPP =PPPP PP =PP，∴△BAC ≌△DAE （SAS ）∴∠B ＝∠ADE ，∵∠B ＝∠ADB ，∴∠ADE ＝∠ADB ，即AD 平分∠BDE ．18．（难度★★）如图，四边形ABDC 中，对角线AD 平分BAC ∠，136ACD ∠=︒，44BCD ∠=︒，则ADB ∠的度数为( )A ．54︒B ．50︒C ．48︒D ．46︒【解答】解：如图所示，过D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，DG BC ⊥于G ，AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，DF DE ∴=，又136ACD ∠=︒，44BCD ∠=︒，92ACB ∴∠=︒，44DCF ∠=︒，CD ∴平分BCF ∠，又DF AC ⊥于F ，DG BC ⊥于G ，DF DG ∴=，DE DG ∴=，BD ∴平分CBE ∠，12DBE CBE ∴∠=∠， AD 平分BAC ∠，12BAD BAC ∴∠=∠， 111()9246222ADB DBE BAD CBE BAC ACB ∴∠=∠-∠=∠-∠=∠=⨯︒=︒， 故选：D ．19．（难度★★）如图，已知等边三角形ABC ，点D 为线段BC 上一点，以线段DB 为边向右侧作DEB ∆，使DE CD =，若ADB m ∠=︒，(1802)BDE m ∠=-︒，则DBE ∠的度数是( )A ．(60)m -︒B ．(1802)m -︒C ．(290)m -︒D ．(120)m -︒【解答】解：如图，连接AE ．ABC ∆是等边三角形，60C ABC ∴∠=∠=︒，ADB m ∠=︒，(1802)BDE m ∠=-︒，180ADC m ∴∠=︒-︒，180ADE m ∠=︒-︒，ADC ADE ∴∠=∠，AD AD =，DC DE =，()ADC ADE SAS ∴∆≅∆，60C AED ∴∠=∠=︒，DAC DAE ∠=∠，DEA DBA ∴∠=∠，1802BDE BAE m ∴∠=∠=︒-，AE AC AB ==，1(1801802)2ABE AEB m m ∴∠=∠=︒-︒+=， (60)DBE ABE ABC m ∴∠=∠-∠=-︒，故选：A ．20．（难度★★）如图，等腰直角ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于D ，ABC ∠的平分线分别交AC 、AD 于E 、F 两点，M 为EF 的中点，延长AM 交BC 于点N ，连接DM ，NE ．下列结论：①AE AF =；②AM EF ⊥；③AEF ∆是等边三角形；④DF DN =，⑤//AD NE ．其中正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：90BAC ∠=︒，AC AB =，AD BC ⊥，45ABC C ∴∠=∠=︒，AD BD CD ==，90ADN ADB ∠=∠=︒，45BAD CAD ∴∠=︒=∠， BE 平分ABC ∠，122.52ABE CBE ABC ∴∠=∠=∠=︒， 9022.567.5BFD AEB ∴∠=∠=︒-︒=︒67.5AFE BFD AEB ∴∠=∠=∠=︒，AF AE ∴=，故①正确；③错误， M 为EF 的中点，AM EF ∴⊥，故②正确；AM EF ⊥，90AMF AME ∴∠=∠=︒，9067.522.5DAN MBN ∴∠=︒-︒=︒=∠，在FBD ∆和NAD ∆中，FBD DAN BD ADBDF ADN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()FBD NAD ASA ∴∆≅∆，DF DN ∴=，故④正确；67.5BAM BNM ∠=∠=︒，∴=，BA BN=，∠=∠，BE BEEBA EBN∴∆≅∆，()EBA EBN SAS∴∠=∠=︒，BNE BAE90∴∠=∠=︒，ENC ADC90∴．故⑤正确，//AD EN故选：D．。
初二上(八年级上)：全等等边三角形难题好题压轴题、培优提高
6、在△ABC中，BD=DC，ED⊥DF．求证：BE＋CF＞ EF．
考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题；探究型．分析：（1）利用同角的余 （3）ED=AD+BE． 已知，如图，三角形ABC是等腰直角三角形， 角相等得出∠CAD=∠BCE，进而根据AAS证明△ADC≌△CEB． 证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE， ∠ACB=90°，F是AB的中点，直线l经过点C，分别过点A、 （2）根据AAS证明△ADC≌△CEB后，得其对应边相等，进而得到ED=BE-AD． ∴∠ADC=∠CEB=90°． B作l的垂线，即AD⊥CE，BE⊥CE， （3）根据AAS证明△ADC≌△CEB后，得DC=BE，AD=CE，又有ED=CE+DC，进 ∵∠ACD+∠ECB=90°，∠CAD+∠ACD=90°， 而得到ED=AD+BE．解答：（1）证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE， ∴∠CAD=∠BCE（同角的余角相等）． （1）如图1，当CE位于点F的右侧时，求证： ∴∠ADC=∠CEB=90°． 在△ADC与△CEB中 △ADC≌△CEB； ∵∠ACD+∠ECB=90°，∠CAD+∠ACD=90°， ∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE AC=BC ， （2）如图2，当CE位于点F的左侧时，求证：ED=BE-AD； ∴∠CAD=∠BCE（同角的余角相等）． ∴△ADC≌△CEB（AAS）． 在△ADC与△CEB中 ∴DC=BE，AD=CE． （3）如图3，当CE在△ABC的外部时，试猜想ED、AD、 ∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE AC=BC ， 又∵ED=CE+DC， BE之间的数量关系，并证明你的猜想． ∴△ADC≌△CEB（AAS）． ∴ED=AD+BE．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质；利用全等三角形的对应 （2）证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE， 边相等进行等量交换，证明线段之间的数量关系，这是一种很重要的方法，注意掌握 ∴∠ADC=∠CEB=90°． ∵∠ACD+∠ECB=90°，∠CAD+∠ACD=90°， ∴∠CAD=∠BCE（同角的余角相等）． 在△ADC与△CEB中 ∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE AC=BC ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）． ∴DC=BE，AD=CE． 又∵ED=CD-CE， ∴ED=BE-AD．
初二上数学培优专题(3)三角形全等
三角形全等例1：已知，OA=2，OB=4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC，（1）如图1，求C点的坐标；（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值；（3）如图3，已知点F坐标为（﹣2，﹣2），当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作Rt△FGH，始终保持∠GFH=90°，FG与y轴负半轴交于点G（0，m），FH与x轴正半轴交于点H（n，0），当G点在y 轴的负半轴上沿负方向运动时，以下两个结论：①m﹣n为定值；②m+n为定值，其中只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．例2：已知△ABC中、∠ABC=∠ACB=40°,BD是∠ABC的平分线，延长BD至点E，使得DE=AD，求∠ECA的度数。
例3．已知∠GOH=90°，A、C分别是OG、OH上的点，且OA=OC=4，以OA为边长作正方形OABC．（1）E是边OC上一点，作∠AEF=90°使EF交正方形的外角平分线CF于点F（如图1），求证：EF=AE．（2）现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在∠GOH的角平分线OP上时停止旋转；旋转过程中，AB边交OP于点M，BC边交OH于点N（如图2），①旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；②设△MBN的周长为p，在正方形OABC的旋转过程中，p值是否有变化？请证明你的结论．例4：如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上由点B出发向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C出发向A点运动．设运动时间为t（s）.(1)若点P的运动速度为3cm/s,则t(s)时，BP= cm,CP= cm,(用含t的代数式表示).若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过几秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由．(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，且点P的速度比点Q的速度慢1cm/s,则点Q的速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（3）若点Q以（2）中的速度从点C出发，点P以（2）中的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次相遇，相遇点在△ABC的哪条边上？1.∆ABC中，高AD和BE交于点H，且BH=AC，则∠ABC=_____2.如图∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN ⑤EM=FN.其中正确的结论有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 2题3.下列条件中能作出唯一的三角形的是（）A.已知两边及一边的对角B.已知两边及第三边上的中线C.已知两角D.已知两边及第三边上的高线4.下列判断正确的是（）A.有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等.B.有两边对应相等，且有一个角为30°的两个等腰三角形全等.C.有一个角和一边对应相等的两个直角三角形全等 .D.有两角和一边对应相等的两个三角形全等. 5题5.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①△ABD≌△CBD；②AC⊥BD；③AO=CO=AC④四边形ABCD的面积=AC•BD，其中正确的结论有 .6.如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线BD，CE相交于O点，且BD交AC于点D，CE交AB于点E．某同学分析图形后得出以下结论：①△BCD≌△CBE；②△BAD≌△BCD；③△BDA≌△CEA；④△BOE≌△COD；⑤△ACE≌△BCE；上述结论一定正确的是（）A．①②③ B．②③④ C．①③⑤ D．①③④7.下列叙述：①任意一个三角形的三条高至少有一条在三角形内部；②以a，b，c为边（a，b，c都大于0，且a+b＞c)一定可以构成一个三角形；③一个三角形内角之比为3：2：1，此三角形为直角三角形；④两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；⑤两条边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；⑥三个角对应相等的两个三角形全等；⑦两边和其中一边上的高分别相等的两个三角形全等。
人教版八年级上册数学 全册全套试卷(培优篇)(Word版 含解析)
人教版八年级上册数学全册全套试卷（培优篇）（Word版含解析）一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．如图，△ABC 中，AB=AC=BC，∠BDC=120°且BD=DC，现以D为顶点作一个60°角，使角两边分别交AB，AC边所在直线于M，N两点，连接MN，探究线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明．（1）如图1，若∠MDN的两边分别交AB，AC边于M，N两点．猜想：BM+NC=MN．延长AC到点E，使CE=BM，连接DE，再证明两次三角形全等可证．请你按照该思路写出完整的证明过程；（2）如图2，若点M、N分别是AB、CA的延长线上的一点，其它条件不变，再探究线段BM，MN，NC之间的关系，请直接写出你的猜想（不用证明）．【答案】（1）过程见解析；（2）MN= NC﹣BM．【解析】【分析】（1）延长AC至E，使得CE=BM并连接DE，根据△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，可以证得△MBD≌△ECD，可得MD=DE，∠BDM=∠CDE，再根据∠MDN=60°，∠BDC=120°，可证∠MDN =∠NDE=60°，得出△DMN≌△DEN，进而得到MN=BM+NC．（2）在CA上截取CE=BM，利用（1）中的证明方法，先证△BMD≌△CED（SAS），再证△MDN≌△EDN（SAS），即可得出结论．【详解】解：（1）如图示，延长AC至E，使得CE=BM，并连接DE．∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，又BD=DC，且∠BDC=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，∴∠MBD=∠ECD=90°，在△MBD与△ECD中，∵BD CDMBD ECD BM CE，∴△MBD≌△ECD（SAS），∴MD=DE，∠BDM=∠CDE∵∠MDN =60°，∠BDC=120°，∴∠CDE+∠NDC =∠BDM+∠NDC=120°-60°=60°，即：∠MDN =∠NDE=60°，在△DMN与△DEN中，∵MD DEMDN EDN DN DN，∴△DMN≌△DEN（SAS），∴MN=NE=CE+NC=BM+NC．（2）如图②中，结论：MN=NC﹣BM．理由：在CA上截取CE=BM．∵△ABC是正三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，又∵BD=CD，∠BDC=120°，∴∠BCD=∠CBD=30°，∴∠MBD=∠DCE=90°，在△BMD和△CED中∵BM CEMBD ECD BD CD，∴△BMD≌△CED（SAS），∴DM= DE，∠BDM=∠CDE∵∠MDN =60°，∠BDC=120°，∴∠NDE=∠BDC-（∠BDN+∠CDE）=∠BDC-（∠BDN+∠BDM）=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°，即：∠MDN =∠NDE=60°，在△MDN和△EDN中∵ND NDEDN MDN ND ND，∴△MDN≌△EDN（SAS），∴MN =NE=NC﹣CE=NC﹣BM．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．2．如图1，在△ACB和△AED中，AC＝BC，AE＝DE，∠ACB＝∠AED＝90°，点E在AB上，F是线段BD的中点，连接CE、FE．（1）请你探究线段CE与FE之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）；（2）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转，使△AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上（如图2），连接BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；（3）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转任意的角度（如图3），连接BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．【答案】（1）线段CE与FE之间的数量关系是CE2FE；（2）（1）中的结论仍然成立．理由见解析；（3）（1）中的结论仍然成立．理由见解析【解析】【分析】（1）连接CF，直角△DEB中，EF是斜边BD上的中线，因此EF=DF=BF，∠FEB=∠FBE，同理可得出CF=DF=BF，∠FCB=∠FBC，因此CF=EF，由于∠DFE=∠FEB+∠FBE=2∠FBE，同理∠DFC=2∠FBC，因此∠EFC=∠EFD+∠DFC=2（∠EBF+∠CBF）=90°，因此△EFC是等腰直角三角形，2EF；（2）思路同（1）也要通过证明△EFC是等腰直角三角形来求解．连接CF，延长EF交CB 于点G，先证△EFC是等腰三角形，可通过证明CF是斜边上的中线来得出此结论，那么就要证明EF=FG，就需要证明△DEF和△FGB全等．这两个三角形中，已知的条件有一组对顶角，DF=FB，只要再得出一组对应角相等即可，我们发现DE∥BC，因此∠EDB=∠CBD，由此构成了两三角形全等的条件．EF=FG，那么也就能得出△CFE是个等腰三角形了，下面证明△CFE是个直角三角形．由上面的全等三角形可得出ED=BG=AD，又由AC=BC，因此CE=CG，∠CEF=45°，在等腰△CFE中，∠CEF=45°，那么这个三角形就是个等腰直角三角形，因此就能得出（1）中的结论了；（3）思路同（2）通过证明△CFE来得出结论，通过全等三角形来证得CF=FE，取AD的中点M，连接EM，MF，取AB的中点N，连接FN、CN、CF．那么关键就是证明△MEF和△CFN全等，利用三角形的中位线和直角三角形斜边上的中线，我们不难得出EM=PN=12AD，EC=MF=12AB，我们只要再证得两对应边的夹角相等即可得出全等的结论．我们知道PN是△ABD的中位线，那么我们不难得出四边形AMPN为平行四边形，那么对角就相等，于是90°+∠CNF=90°+∠MEF，因此∠CNF=∠MEF，那么两三角形就全等了．证明∠CFE是直角的过程与（1）完全相同．那么就能得出△CEF是个等腰直角三角形，于是得出的结论与（1）也相同．【详解】（1）如图1，连接CF，线段CE与FE之间的数量关系是CE＝2FE；解法1：∵∠AED＝∠ACB＝90°∴B、C、D、E四点共圆且BD是该圆的直径，∵点F是BD的中点，∴点F是圆心，∴EF＝CF＝FD＝FB，∴∠FCB＝∠FBC，∠ECF＝∠CEF，由圆周角定理得：∠DCE＝∠DBE，∴∠FCB+∠DCE＝∠FBC+∠DBE＝45°∴∠ECF＝45°＝∠CEF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴CE＝2EF．解法2：易证∠BED＝∠ACB＝90°，∵点F是BD的中点，∴CF＝EF＝FB＝FD，∵∠DFE＝∠ABD+∠BEF，∠ABD＝∠BEF，∴∠DFE＝2∠ABD，同理∠CFD＝2∠CBD，∴∠DFE+∠CFD＝2（∠ABD+∠CBD）＝90°，即∠CFE＝90°，∴CE＝2EF．（2）（1）中的结论仍然成立．解法1：如图2﹣1，连接CF，延长EF交CB于点G，∵∠ACB＝∠AED＝90°，∴DE∥BC，∴∠EDF＝∠GBF，又∵∠EFD＝∠GFB，DF＝BF，∴△EDF≌△GBF，∴EF＝GF，BG＝DE＝AE，∵AC＝BC，∴CE＝CG，∴∠EFC＝90°，CF＝EF，∴△CEF为等腰直角三角形，∴∠CEF＝45°，∴CE＝2FE；解法2：如图2﹣2，连结CF、AF，∵∠BAD＝∠BAC+∠DAE＝45°+45°＝90°，又点F是BD的中点，∴FA＝FB＝FD，而AC＝BC，CF＝CF，∴△ACF≌△BCF，∴∠ACF＝∠BCF＝12∠ACB＝45°，∵FA＝FB，CA＝CB，∴CF所在的直线垂直平分线段AB，同理，EF所在的直线垂直平分线段AD，又DA⊥BA，∴EF⊥CF，∴△CEF为等腰直角三角形，∴CE＝2EF．（3）（1）中的结论仍然成立．解法1：如图3﹣1，取AD的中点M，连接EM，MF，取AB的中点N，连接FN、CN、CF，∵DF＝BF，∴FM∥AB，且FM＝12 AB，∵AE＝DE，∠AED＝90°，∴AM ＝EM ，∠AME ＝90°，∵CA ＝CB ，∠ACB ＝90°∴CN=AN=12AB ，∠ANC ＝90°， ∴MF ∥AN ，FM ＝AN ＝CN ，∴四边形MFNA 为平行四边形， ∴FN ＝AM ＝EM ，∠AMF ＝∠FNA ，∴∠EMF ＝∠FNC ，∴△EMF ≌△FNC ，∴FE ＝CF ，∠EFM ＝∠FCN ，由MF ∥AN ，∠ANC ＝90°，可得∠CPF ＝90°，∴∠FCN+∠PFC ＝90°，∴∠EFM+∠PFC ＝90°，∴∠EFC ＝90°，∴△CEF 为等腰直角三角形，∴∠CEF ＝45°，∴CE ＝2FE ．【点睛】本题解题的关键是通过全等三角形来得出线段的相等，如果没有全等三角形的要根据已知条件通过辅助线来构建．3．在ABC ∆中，90,BAC AB AC ∠=︒=，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与点,B C 重合），以AD 为腰作等腰直角DAF ∆，使90DAF ∠=︒，连接CF ．（1）观察猜想如图1，当点D 在线段BC 上时，①BC 与CF 的位置关系为__________；②CF DC BC 、、之间的数量关系为___________（提示：可证DAB FAC ∆≅∆）（2）数学思考如图2，当点D 在线段CB 的延长线上时，（1）中的①、②结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明；（3）拓展延伸如图3，当点D 在线段BC 的延长线时，将DAF ∆沿线段DF 翻折，使点A 与点E 重合，连接CE CF 、，若4,CD BC AC ==CE 的长．（提示：做AH BC ⊥于H ，做EM BD ⊥于M ）【答案】（1）①BC ⊥CF ；②BC ＝CF ＋DC ；（2）C ⊥CF 成立；BC ＝CF ＋DC 不成立，正确结论：DC ＝CF ＋BC ，证明详见解析；（3）【解析】【分析】（1）①根据正方形的性质得，∠BAC ＝∠DAF ＝90°，推出△DAB ≌△FAC （SAS ）；②由正方形ADEF 的性质可推出△DAB ≌△FAC ，根据全等三角形的性质可得到=CF BD ，ACF ABD ∠=∠ ，根据余角的性质即可得到结论；（2）根据正方形的性质得到∠BAC ＝∠DAF ＝90°，推出△DAB ≌△FAC ，根据全等三角形的性质以及等腰三角形的角的性质可得到结论；（3）过A 作AH BC ⊥ 于H ，过E 作EM BD ⊥ 于M ，证明ADH DEM △≌△ ，推出3EM DH == ，2DM AH == ，推出3CM EM == ，即可解决问题．【详解】（1）①正方形ADEF 中，AD AF =∵90BAC DAF ==︒∠∠∴BAD CAF ∠=∠在△DAB 与△FAC 中AD AF BAD CAF AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()DAB FAC SAS △≌△∴B ACF ∠=∠∴90ACB ACF +=︒∠∠ ，即BC CF ⊥ ；②∵DAB FAC △≌△∴=CF BD∵BC BD CD =+∴BC CF CD =+（2）BC ⊥CF 成立；BC ＝CF ＋DC 不成立，正确结论：DC ＝CF ＋BC证明：∵△ABC 和△ADF 都是等腰直角三角形∴AB ＝AC ，AD ＝AF ，∠BAC ＝∠DAF ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF在△DAB 和△FAC 中AD AF BAD CAF AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAB ≌△FAC （SAS ）∴∠ABD ＝∠ACF ，DB ＝CF∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴∠ACB ＝∠ABC ＝45°∴∠ABD ＝180°－45°＝135°∴∠ACF ＝∠ABD ＝135°∴∠BCF ＝∠ACF －∠ACB ＝135°－45°＝90°，∴CF ⊥BC∵CD ＝DB ＋BC ，DB ＝CF∴DC ＝CF ＋BC（3）过A 作AH BC ⊥ 于H ，过E 作EM BD ⊥ 于M ，∵90BAC ∠=︒，AB AV ==∴1422BC AH BH CH BC ======， ∴114CD BC == ∴3DH CH CD =+=∵四边形ADEF 是正方形∴90AD DE ADE ==︒，∠∵BC CF EM BD EN CF ⊥⊥⊥，，∴四边形CMEN 是矩形∴NE CM EM CN ==，∵90AHD ADC EMD ===︒∠∠∠∴90ADH EDM EDM DEM +=+=︒∠∠∠∠∴ADH DEM =∠∠在△ADH 和△DEM 中ADH DEM AHD DME AD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADH DEM △≌△∴32EM DH DM AH ====，∴3CM EM ==∴CE ==【点睛】本题考查了三角形的综合问题，掌握正方形的性质、全等三角形的性质以及判定、余角的性质、等腰三角形的角的性质是解题的关键．4．如图，在边长为 4 的等边△ABC 中，点 D 从点A 开始在射线 AB 上运动，速度为 1 个单位/秒，点F 同时从 C 出发，以相同的速度沿射线 BC 方向运动，过点D 作 DE⊥AC，连结DF 交射线 AC 于点 G(1)当 DF⊥AB 时，求 t 的值；(2)当点 D 在线段 AB 上运动时，是否始终有 DG=GF?若成立，请说明理由。
八年级全等三角形(培优篇)(Word版 含解析)
八年级全等三角形（培优篇）（Word 版 含解析）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．如图，ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点F ，AG 平分DAC ∠．给出下列结论：①BAD C ∠=∠；②EBC C ∠=∠；③AE AF =；④//FG AC ；⑤EF FG =．其中正确的结论是______．【答案】①③④【解析】【分析】①根据等角的余角相等即可得到结果，故①正确；②如果∠EBC=∠C ，则∠C=12∠ABC ，由于∠BAC=90°，那么∠C=30°，但∠C 不一定等于30°，故②错误；③由BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线，得到∠ABF=∠EBD ．由于∠AFE=∠BAD+∠FBA ，∠AEB=∠C+∠EBD ，得到∠AFE=∠AEB ，可得③正确；④连接EG ，先证明△ABN ≌△GBN ，得到AN=GN ，证出△ANE ≌△GNF ，得∠NAE=∠NGF ，进而得到GF ∥AE ，故④正确；⑤由AE=AF ，AE=FG ，而△AEF 不一定是等边三角形，得到EF 不一定等于AE ，于是EF 不一定等于FG ，故⑤错误．【详解】∵∠BAC=90°，AD ⊥BC ，∴∠C+∠ABC=90°，∠C+∠DAC=90°，∠ABC+∠BAD=90°，∴∠ABC=∠DAC ，∠BAD=∠C ，故①正确；若∠EBC=∠C ，则∠C=12∠ABC ， ∵∠BAC=90°，那么∠C=30°，但∠C 不一定等于30°，故②错误；∵BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线，∴∠ABF=∠EBD ，∵∠AFE=∠BAD+∠ABF ，∠AEB=∠C+∠EBD ，又∵∠BAD=∠C ，∴∠AFE=∠AEF ，∴AF=AE ，故③正确；∵AG是∠DAC的平分线，AF=AE，∴AN⊥BE，FN=EN，在△ABN与△GBN中，∵90ABN GBNBN BNANB GNB∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴△ABN≌△GBN（ASA），∴AN=GN，又∵FN=EN，∠ANE=∠GNF，∴△ANE≌△GNF（SAS），∴∠NAE=∠NGF，∴GF∥AE，即GF∥AC，故④正确；∵AE=AF，AE=FG，而△AEF不一定是等边三角形，∴EF不一定等于AE，∴EF不一定等于FG，故⑤错误．故答案为：①③④．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质定理，全等三角形的判定和性质定理，直角三角形的性质定理，掌握掌握上述定理，是解题的关键．2．如图，已知正六边形 ABCDEF 的边长是 5，点 P 是 AD 上的一动点，则 PE+PF 的最小值是_____．【答案】10【解析】利用正多边形的性质，可得点B关于AD对称的点为点E，连接BE交AD于P点，那么有PB=PF，PE+PF=BE最小，根据正六边形的性质可知三角形APB是等边三角形，因此可知BE 的长为10，即PE+PF的最小值为10.故答案为10.3．如图，P为∠AOB内一定点，M，N分别是射线OA，OB上一点，当△PMN周长最小时，∠OPM＝50°，则∠AOB＝___________．【答案】40°【解析】【分析】作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，根据对称的性质可以证得：∠OP1M=∠OPM=50°，OP1=OP2=OP，根据等腰三角形的性质即可求解．【详解】如图：作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA、OB 的交点时，△PMN的周长最短，连接P1O、P2O，∵PP1关于OA对称，∴∠P1OP=2∠MOP，OP1=OP，P1M=PM，∠OP1M=∠OPM=50°同理，∠P2OP=2∠NOP，OP=OP2，∴∠P1OP2=∠P1OP+∠P2OP=2（∠MOP+∠NOP）=2∠AOB，OP1=OP2=OP，∴△P1OP2是等腰三角形．∴∠OP2N=∠OP1M=50°，∴∠P1OP2=180°-2×50°=80°，∴∠AOB=40°，故答案为：40°【点睛】本题考查了对称的性质，正确作出图形，证得△P 1OP 2是等腰三角形是解题的关键．4．如图，点P 是AOB 内任意一点，5OP cm =，点P 与点C 关于射线OA 对称，点P 与点D 关于射线OB 对称，连接CD 交OA 于点E ，交OB 于点F ，当PEF 的周长是5cm 时，AOB ∠的度数是______度．【答案】30【解析】【分析】根据轴对称得出OA 为PC 的垂直平分线，OB 是PD 的垂直平分线，根据线段垂直平分线性质得出12COA AOP COP ，12POB DOB POD ，PE=CE ，OP=OC=5cm ，PF=FD ，OP=OD=5cm ，求出△COD 是等边三角形，即可得出答案．【详解】解：如图示：连接OC ，OD ，∵点P与点C关于射线OA对称，点P与点D关于射线OB对称，∴OA为PC的垂直平分线，OB是PD的垂直平分线，∵OP=5cm，∴12COA AOP COP，12POB DOB POD，PE=CE，OP=OC=5cm，PF=FD，OP=OD=5cm，∵△PEF的周长是5cm，∴PE+EF+PF=CE+EF+FD=CD=5cm，∴CD=OD=OD=5cm，∴△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴11122230 AOB AOP BOP COP DOP COD，故答案为：30．【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，轴对称性质和等边三角形的性质和判定，能求出△COD 是等边三角形是解此题的关键．5．在锐角三角形ABC中．BC=32，∠ABC=45°，BD平分∠ABC．若M，N分别是边BD，BC上的动点，则CM＋MN的最小值是____．【答案】4【解析】【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN 的最小值，再根据32ABC=45°，BD平分∠ABC可知△BCE是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义即可求出CE的长．【详解】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，∵32ABC=45°，BD平分∠ABC，∴△BCE是等腰直角三角形，∴CE=BC•cos45°=32×22=4． ∴CM+MN 的最小值为4．【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，难度较大,根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．6．如图，在ABC 中，AB AC >，按以下步骤作图：分别以点B 和点C 为圆心，大于BC 一半长为半径作画弧，两弧相交于点M 和点N ，过点M N 、作直线交AB 于点D ，连接CD ，若10AB =，6AC =，则ADC 的周长为_____________________．【答案】16【解析】【分析】利用基本作图可以判定MN 垂直平分BC ，则DC=DB ，然后利用等线段代换得到ACD ∆的周长=AB+AC ，再把10AB =，6AC =代入计算即可．【详解】解：由作法得MN 垂直平分BC ，则DC=DB ，10616ACD C CD AC AD DB AD AC AB AC ∆=++=++=+=+=故答案为：16．【点睛】本题考查了基本作图和线段垂直平分线的性质，熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）是本题的关键．7．如图，△ABC 中，AB =AC ，∠A =30°，点D 在边AB 上，∠ACD =15°，则AD BC =____．【答案】2． 【解析】【分析】根据题意作CE ⊥AB 于E ，作DF ⊥AC 于F ，在CF 上截取一点H ，使得CH ＝DH ，连接DH ，并设AD ＝2x ，解直角三角形求出BC （用x 表示）即可解决问题．【详解】解：作CE ⊥AB 于E ，作DF ⊥AC 于F ，在CF 上截取一点H ，使得CH=DH ，连接DH ．设AD=2x ，∵AB=AC ，∠A=30°， ∴∠ABC=∠ACB=75°，DF 12=AD=x ，AF 3=， ∵∠ACD=15°，HD=HC ，∴∠HDC=∠HCD=15°，∴∠FHD=∠HDC+∠HCD=30°，∴DH=HC=2x ，FH 3=，∴3x ，在Rt △ACE 中，EC 12=AC=x 3+，AE 3=3=， ∴BE=AB ﹣AE 3=﹣x ，在Rt △BCE 中，BC 22BE EC =+=2x ，∴222AD BC x ==． 故答案为：22． 【点睛】本题考查的等腰三角形的性质和解直角三角形以及直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．8．如图，BD 是ABC 的角平分线，AE BD ⊥，垂足为F ，且交线段BC 于点E ，连结DE ，若50C ∠=︒，设 ABC x CDE y ∠=︒∠=︒,，则y 关于x 的函数表达式为_____________．【答案】80y x =-【解析】【分析】根据题意，由等腰三角形的性质可得BD 是AE 的垂直平分线，进而得到AD ＝ED ，求出BED ∠的度数即可得到y 关于x 的函数表达式．【详解】∵BD 是ABC ∆的角平分线，AE BD ⊥∴1122ABD EBD ABC x ∠=∠=∠=︒，90AFB EFB ∠=∠=︒ ∴1902BAF BEF x ∠=∠=︒-︒ ∴AB BE =∴AF EF =∴AD ED =∴DAF DEF ∠=∠∵180BAC ABC C ∠=︒-∠-∠，50C ∠=︒∴130BAC x ∠=︒-︒∴130BED BAD x ∠=∠=︒-︒∵CDE BED C ∠=∠-∠∴1305080y x x ︒=-︒-︒=︒-︒∴80y x =-，故答案为：80y x =-．本题主要考查了等腰三角形的性质及判定，三角形的内角和定理，三角形外角定理，角的和差倍分等相关知识，熟练运用角的计算是解决本题的关键．9．如图，在Rt ABC △中，AC BC =，D 是线段AB 上一个动点，把ACD 沿直线CD 折叠，点A 落在同一平面内的A '处，当A D '平行于Rt ABC △的直角边时，ADC ∠的大小为________．【答案】112.5︒或67.5︒【解析】【分析】当A D '平行于Rt ABC △的直角边时，有两种情况，一是当A D BC '时，二是当A D AC '时，两种情况根据折叠的性质及等腰三角形的性质进行角度的计算即可．【详解】如图1，当点D 在线段AB 上，且A D BC '时，45A DB B '∠=∠=︒，45180ADC A DC '∴∠+∠-=︒︒，解得112.5A DC ADC '∠=∠=︒.图1 如图2，当A D AC '时，45A DB A '∠=∠=︒，45180ADC A DC '∴∠+∠+=︒︒，解得67.5A DC ADC '∠=∠=︒.图2本题考查了翻折变换的性质，等腰直角三角形的性质，掌握折叠的性质是解题关键．10．如图，已知AB=A 1B ，A 1B 1=A 1A 2，A 2B 2=A 2A 3，A 3B 3=A 3A 4，…若∠A=70°，则锐角∠A n 的度数为______.【答案】1702n -︒ 【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理和外角的性质即可得出答案.【详解】在△1ABA 中，AB=A 1B ，∠A=70°可得：∠1BAA =∠1BA A =70°在△112B A A 中，A 1B 1=A 1A 2可得：∠112A B A =∠121A A B根据外角和定理可得：∠1BA A =∠112A B A +∠121A A B∴∠112A B A =∠121A A B =702︒ 同理可得：∠232A A B =2702︒ ∠343A A B =3702︒ …….以此类推：∠A n =1702n -︒ 故答案为：1702n -︒. 【点睛】本题主要考查等腰三角形、三角形的基本概念以及规律的探索，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键..二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）11．已知：如图，点D，E分别在△ABC的边AC和BC上，AE与BD相交于点F，给出下面四个条件：①∠1=∠2；②AD=BE；③AF=BF；④DF=EF，从这四个条件中选取两个，不能判定△ABC是等腰三角形的是（）A．①②B．①④C．②③D．③④【答案】C【解析】【分析】根据全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定进行判断即可．【详解】选取①②:在ADF∆和BEF∆中1=2{12AFD BFEAD BEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取①④:在ADF∆和BEF∆中1=2{12AFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取③④:在ADF∆和BEF∆中={12AF BFAFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=故选C.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，关键是熟练地运用定理进行推理，是一道开放性的题目，能培养学生分析问题的能力．12．已知∠AOB =30°，点P 在∠AOB 内部，P 1与P 关于OB 对称，P 2与P 关于OA 对称，则P 1，O ，P 2三点构成的三角形是 （ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形 【答案】C【解析】【分析】根据题意，作出相应的图形，然后对相应的角进行标记；本题先证明P 1，O ，P 2三点构成的三角形中1260POP ∠=︒，然后证边12OP OP OP ==，得到P 1，O ，P 2三点构成的三角形为等腰三角形，又因为该等腰三角形有一个角为60︒，故得证P 1，O ，P 2三点构成的三角形是等边三角形。
八年级数学上册期中精选试卷(培优篇)(Word版 含解析)
八年级数学上册期中精选试卷（培优篇）（Word版含解析）一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F（1）证明：PC=PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）90°（3）AP=CE【解析】【分析】(1)、根据正方形得出AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，结合PB=PB得出△ABP ≌△CBP，从而得出结论；(2)、根据全等得出∠BAP=∠BCP，∠DAP=∠DCP，根据PA=PE得出∠DAP=∠E，即∠DCP=∠E，易得答案；(3)、首先证明△ABP和△CBP全等，然后得出PA=PC，∠BAP=∠BCP，然后得出∠DCP=∠E，从而得出∠CPF=∠EDF=60°，然后得出△EPC是等边三角形，从而得出AP=CE.【详解】(1)、在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，在△ABP和△CBP中，又∵ PB=PB ∴△ABP ≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∵PA=PE，∴PC=PE；(2)、由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP=∠BCP，∴∠DAP=∠DCP，∵PA=PE，∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E，∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=90°；(3)、AP＝CE理由是：在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP，在△ABP和△CBP中，又∵ PB=PB ∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∠BAP=∠DCP，∵PA=PE，∴PC=PE，∴∠DAP=∠DCP，∵PA=PC ∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC=CE，∴AP=CE考点：三角形全等的证明2．综合实践如图①，90,,,ACB AC BC AD CE BE CE ∠=︒=⊥⊥，垂足分别为点D E 、，2.5, 1.7AD cm DE cm ==．（1）求BE 的长；（2）将CE 所在直线旋转到ABC ∆的外部，如图②，猜想AD DE BE 、、之间的数量关系，直接写出结论，不需证明；（3）如图③，将图①中的条件改为：在ABC ∆中，,AC BC D C E =、、三点在同一直线上，并且BEC ADC BCA α∠=∠=∠=，其中α为任意钝角．猜想AD DE BE 、、之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】(1)0.8cm;(2)DE=AD+BE;(3)DE=AD+BE ，证明见解析．【解析】【分析】(1)本小题只要先证明ACD CBE ≅，得到AD CE =，CD BE =，再根据2.5, 1.7AD cm DE cm ==，CD CE DE =-，易求出BE 的值；(2)先证明ACD CBE ≅，得到AD CE =，CD BE =，由图②ED=EC+CD ，等量代换易得到AD DE BE 、、之间的关系；（３）本题先证明EBC DCA ∠=∠，然后运用“AAS”定理判定BEC CDA ≅，从而得到,BE CD EC AD ==，再结合图③中线段ED 的特点易找到AD DE BE 、、之间的数量关系．【详解】解：(1)∵,AD CD BE CE ⊥⊥∴90ADC E ︒∠=∠=∴90ACD DAC ︒∠+∠=∵90ACB ︒∠=∴90ACD BCE ︒∠+∠=∴ACD BCE ∠=∠在ACD 与CBE △中，90ADC E ACD BCEAC BC ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACD CBE ≅∴,AD CE CD BE ==又∵ 2.5, 1.7AD cm DE cm ==， 2.5 1.70.8()CD CE DE AD DE cm =-=-=-= ∴0.8BE cm =(2)∵,AD CD BE CE ⊥⊥∴90ADC E ︒∠=∠=∴90ACD DAC ︒∠+∠=∴90ACB ︒∠=∴90ACD BCE ︒∠+∠=∴ACD BCE ∠=∠在ACD 与CBE △中，90ADC E ACD BCE AC BC ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACD CBE ≅∴,AD CE CD BE ==又∵ED EC CD =+∴ED AD BE =+(3)∵BEC ADC BCA α∠=∠=∠=∴180BCE ACD a ︒∠+∠=-180BCE BCE a ︒∠+∠=-∴ACD BCE ∠=∠在ACD 与CBE △中， ADC E a ACD BCE AC BC ∠=∠=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACD CBE ≅∴,AD CE CD BE ==又∵ED EC CD =+∴ED AD BE =+【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定，确定一种判定定理，根据已知条件找到判定全等所需要的边相等或角相等的条件是解决这类题的关键．3．如图（1），AB=4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=3cm，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，他们的运动时间为t(s).（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由（2）判断此时线段PC和线段PQ的关系，并说明理由。
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北京四中八年级培优班数学全等三角形复习题1．如图1，已知在等边△ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于P，则∠APE 的度数是。
2．如图2，点E在AB上，AC＝AD，BC＝BD，图中有对全等三角形。
3．如图3，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝60°，∠C＝25°，则∠BED等于度。
4．如图4所示的2×2方格中，连接AB、AC，则∠1＋∠2＝度。
5．如图5，下面四个条件中，请你以其中两个为已知条件，第三个为结论，推出一个正确的命题。
（）①AE＝AD；②AB＝AC；③OB＝OC；④∠B＝∠C。
1AB，6．如图6，在△ABC中，∠BAC＝90°，延长BA到点D，使AD＝2点E、F分别为边BC、AC的中点。
（1）求证：DF＝BE；（2）过点A作AG∥BC，交DF于点G，求证：AG＝DG。
7．如图7，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB＞AD，下列结论正确的是（）A. AB－AD＞CB－CDB. AB－AD＝CB－CDC. AB－AD＜CB－CDD. AB－AD与CB－CD的大小关系不确定9．如图9，在△ABC中，AC＝BC＝5，∠ACB＝80°，O为△ABC中一点，∠OAB＝10°，∠OBA＝30°，则线段AO的长是。
10．如图10，已知BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在a a c 丙︒72︒50 乙︒50甲a ︒50b A BD 的延长线上，BP ＝AC ，点Q 在CE 上，CQ ＝AB 。
求证：（1）AP ＝AQ ；（2）AP ⊥AQ 。
11．如图11，在△ABC 中，∠C ＝60°，AC ＞BC ，又△ABC ′、△BCA ′、△CAB ′都是△ABC 形外的等边三角形，而点D 在AC 上，且BC ＝DC 。
（1）证明：△C ′BD ≌△B ′DC ； （2）证明：△AC ′D ≌△DB ′A ；12．如图12，在△ABC 中，D 、E 分别是AC 、BC 上的点，若△ADB ≌EDB≌EDC ，则∠C 13．如图13，已知△的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的图形是。
14．如图14，在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，AD 、CE交于H点，请你添加一个适当的条件：，使△AEH ≌△CEB 。
15．如图15，在△ABC 中，已知AB ＝AC ，要使AD ＝AE ，需要添加的一个条件是 。
16．有一腰长为5㎝，底边长为4㎝的等腰三角形纸片，沿着底边上的中线将纸片剪开，得到两个全等的直角三角形纸片，用这两个直角三角形纸片拼成的平面图形中有 个不同的四边形。
17．如图16，△ABF 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB 、AC 边翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3＝28：5：3，则∠α的度数为 。
图11图17BC18．如图17，已知CE ⊥AD 于E ，BF ⊥AD 于F ，你能说明△BDF 和△CDE 全等吗？若能，请你说明理由；若不能，在不用增加辅助线的情况下，请添加其中一个适当的条件，这个条件是 ，来说明这两个三角形全等，并写出证明过程。
20．如图20，在△AFD 和△BEC 中，点A 、E 、F 、C 在同一直线上，有下面四个论断：①AD ＝CB ；②AE ＝CF ；③∠B ＝∠D ；④AD ∥BC 。
请用其中有一个作为条件，余下的一个作为结论，编一道数学问题，并写出解答过程。
21．如图21－①，小明剪了一个等腰梯形ABCD ，其中AD ∥BC ，AB ＝DC ；又剪了一个等边△EFG ，同桌的小华拿过来拼成如图②的形状，她发现AD 与FG 恰好完全重合，于是她用透明胶带将梯形ABCD 与△EFG 粘在一起，并沿EB 、EC 剪下。
小华得到的△EBC 是什么三角形？请你作出判断并说明理由。
22．如图22，在△ABC 与△DEF 中，给出以下六个条件：①AB ＝DE ；②BC ＝EF ；③AC ＝DF ；④∠A ＝∠D ；⑤∠B ＝∠F ；⑥∠A ＝∠D ，以其中三个条件作为已知，不能判断△ABC 与△DEF 全等的是（ ）图20AC图21②①FD (G )A (F )图22FEBCA. ①⑤②B. ①②③C. ④⑥①D. ②③④ 23．如图23（1），在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，将△ADE 沿线段DE 向下折叠，得到图23（2），下列关于图23（2）的四个结论中，不一定成立的是（ ）A. 点A 落在BC 边的中点B. ∠B ＋∠1＋∠C ＝180° C ． △DBA 是等腰三角 D. DE ∥BC24．如图24，已知MB ＝ND ，∠MBA ＝∠NDC ，下列不能判定△ABM ≌△CDN 的条件是（ ）A. ∠M ＝∠NB. AB ＝CDC. AM ＝CND. AM ∥CN 25．如图25，在△ABC 中，点D 在AB 上，点E 在BC 上，BD ＝BE 。
（1）请你再添加一个条件，使得△BEA ≌△BDC ，并给出证明，你添加的条件是： 。
并给出证明。
（2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形： （只要求写出一对全等三角形，不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母，不必写出证明过程）。
26．如图26，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，AD ⊥BC 于D 点，E 在AD 上，且DE ＝CD ，求证：BE ＝AC 。
27．已知：如图27，给出下列三个式子：①EC ＝BD ；②∠BDA ＝∠CEA ；③AB ＝AC ；请将其中的两个式子作为题设，一个式子作为结论，构成一个真命题图25B CB图27（收发室形式：如果……，那么……），并给出证明。
28．如图28，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，已知∠ADC ＝∠BCD ，AD ＝BC ，求证：AO ＝BO 。
29．如图29，在△ABC 和△DEF 中，B 、E 、C 、F 在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选3个作为题设，余下一个作为结论，写一个真命题，并加以证明。
①AB ＝DE ；②AC ＝DF ；③∠ABC ＝∠DEF ；④BE ＝CF 。
30．如图30，已知△ABC 为等边三角形，D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，且△DEF 也是等边三角形。
（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的；（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化想到得到？写出变化过程。
31．如图31，点B 在AE 上，∠CAB ＝∠DAB ，要使△ABC ≌△ABD ，可补充的一个条件是：（写一个即可）。
32．如图32，AC 交BD 于点O ，请你从下面三项中选出两个作为条件，另一个为结论，写出一个真命题，并加以证明。
①OA ＝OC ；②OB ＝OD ；③AB ∥DC 。
图28DC图29FB 图32A33．如图33，要在湖的两岸A 、B 间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A 、B 两点间的距离。
请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案。
（1）画出测量图案；（2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）；（3）设计AB 的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）。
34．如图34，在△ABC 中，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE ＝FE ，AE ＝CE ，AB 与CF 有什么位置关系？证明你的结论。
35．如图35，OP 是∠AOC 和∠BOD 的平分线，OA ＝OC ，OB ＝OD 。
求证：AB ＝CD 。
36．如图36，已知AB ＝AC ， （1）若CE ＝BD ，求证：GE ＝GD ；（2）若DE ＝mBD （m 为正数），试猜想GE 与GD 有何关系。
（只写结论，不证明）37．复习“全等三角形”知识时，都是布置了一道作业题：“如图37（1），已知在△ABC 中，AB ＝AC ，P 是△ABC 内任意一点，将AP 绕点A 顺时针旋转至AQ ，使∠QAP ＝∠BAC ，连接BQ 、CP ，则BQ ＝CP 。
”图34D ECB图35CDPAB 图36GEC A BD 图37(2)(1)QQ CBPEFP AG小亮是个爱动脑筋的同学，他通过图（2）的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ＝CP，之后，他将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中其他条件不变，发现“BQ＝CP”仍然成立，请你就图（2）给出证明。
等腰三角形”这一命题时，画出图形，写出“求证”（如图38），她们对各自所作的辅助线描述如下：文文：“过点A作BC的中垂线AD，垂足为D”；彬彬：“作△ABC的角平分线AD”。
数学老师看了两位同学的辅助线作法后说：“彬彬的作法是正确的，而文文的作法需要订正。
”（1）请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里；（2）根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程。
39．将两块全等的含30°角的三角尺如图39（1）摆放在一起，它们的较短直角边长为3。
（1）将△ECD沿直线l向左平移到图（2）的位置，使E点落在AB上，则CC′＝；（2）将△ECD绕点C逆时针旋转到图（3）的位置，使点E落在AB上，则△ECD绕点C旋转的度数＝；（3）将△ECD沿直线翻折到图（4）的位置，ED′与AB相交于F，求证：AF＝FD′。
40．已知：点O至△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB ＝OC。
（1）如图40（1），若点O在边BC上，求证：AB＝AC；（2）如图（2），若点O在△ABC的内部，求证：AB＝AC；（3）若点O在△ABC的外部，AB＝AC成立吗？请画图表示。
41．下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是（）A. 两个锐角相等B. 两条边对应相等C. 一条边与一个锐角对应相等D. 斜边与一个锐角对应相等42．如图43，AD是△ABC的中线，E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF，则（）A. BE＋CF＞EFB. BE＋CF＝EFC. BE＋CF＜EFD. BE＋CF与EF的大小关系不确定43．如图44，在△ABC中，E、D分别是边AB、AC上的点，BD、CE交于F，AF的延长线交BC于H点，若∠1＝∠2，AE＝AD，则图中的全等三角形共有（）对。
A. 3B. 5C. 6D. 744．如图45，将△ABC绕着C点按顺时针方向旋转20°，B点落在B′点位置，A点落在A′点位置，若AC⊥A′B′，则∠BAC＝。
45．如图46，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4。
将矩形ABCD沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为。
46．如图47，设正△ABC的边长为2，M是AB边上的中点，P是BC边上的任意一点，PA ＋PM 的最大值和最小值分别记为s 和t ，则s 2－t 2＝ 。