2-3 随机变量及其分布2.4
最新人教版高中数学选修2-3《正态分布》知识讲解
2.4 正态分布1．正态曲线(1)函数______________，x ∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数．我们称φμ，σ(x )的图象为正态分布密度曲线，简称________．(2)随机变量X 落在区间(a ，b ]的概率为P (a ＜X ≤b )≈__________，即由正态曲线，过点(a,0)和点(b,0)的两条x 轴的垂线，及x 轴所围成的平面图形的面积，就是X 落在区间(a ，b ]的概率的近似值．预习交流1(1)正态曲线φμ，σ(x )中参数μ，σ的意义是什么？(2)设随机变量X 的正态分布密度函数φμ，σ(x )＝12πe －(x ＋3)24，x ∈(－∞，＋∞)，则参数μ，σ的值分别是( )．A ．μ＝3，σ＝2B ．μ＝－3，σ＝2C ．μ＝3，σ＝ 2D ．μ＝－3，σ＝ 22．正态分布一般地，如果对于任何实数a ，b (a ＜b )，随机变量X 满足P (a ＜X ≤b )＝__________，则称X 服从________．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作________，如果随机变量X 服从正态分布，则记为________．3．正态曲线的特点(1)曲线位于x轴____，与x轴______；(2)曲线是单峰的，它关于直线____对称；(3)曲线在____处达到峰值______；(4)曲线与x轴之间的面积为__；(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“____”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“____”，表示总体的分布越分散，如图②.预习交流2设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X≤C)＝P(X＞C)，则C＝()．A．0B．σC．－μD．μ4．正态总体在三个特殊区间内取值的概率若X～N(μ，σ2)，则对于任何实数a＞0，概率P(μ－a＜X≤μ＋a)＝__________.特别地有P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝______，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝______，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝______.5．3σ原则正态变量在(－∞，＋∞)内的取值的概率为1，正态总体几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间以外取值的概率只有0.002 6，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，因此在实际应用中通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，简称为________．预习交流3(1)如何求服从正态分布的随机变量X在某区间内取值的概率？(2)正态总体N(4,4)在区间(2,6]内取值的概率为__________．答案：1．(1)φμ，σ(x)＝12πσ22()2exμσ--正态曲线(2)∫b aφμ，σ(x)d x预习交流1：(1)提示：参数μ反映随机变量取值的平均水平的特征数，即若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ.同理，参数σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．(2)提示：写成标准式φμ，σ(x)＝12π2 e∴μ＝－3，σ＝ 2.2.∫b aφμ，σ(x)d x正态分布N(μ，σ2)X～N(μ，σ2)3．(1)上方不相交(2)x＝μ(3)x＝μ1σ2π(4)1(6)瘦高矮胖预习交流2：提示：正态分布在x＝μ对称的区间上概率相等，则C＝μ.4.∫μ＋aμ－aφμ，σ(x)d x0.682 60.954 40.997 45．3σ原则预习交流3：(1)提示：首先找出服从正态分布时μ，σ的值，再利用3σ原则求某一个区间上的概率，最后利用在关于x＝μ对称的区间上概率相等求得结果．(2)提示：由题意知μ＝4，σ＝2，∴P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝P(2＜X≤6)＝0.682 6.一、正态曲线的图象应用如图所示的是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．思路分析：给出一个正态曲线就给出了该曲线的对称轴和最大值，从而就能求出总体随机变量的期望、标准差以及解析式．如图是正态分布N(μ，σ21)，N(μ，σ22)，N(μ，σ23)(σ1，σ2，σ3＞0)相应的曲线，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是()．A．σ1＞σ2＞σ3 B．σ3＞σ2＞σ1 C．σ1＞σ3＞σ2D．σ2＞σ1＞σ3(1)用待定系数法求正态变量概率密度曲线的函数表达式，关键是确定参数μ和σ的值，并注意函数的形式．(2)当x＝μ时，正态分布的概率密度函数取得最大值，即f(μ)＝12πσ为最大值，并注意该式在解题中的应用．二、利用正态曲线的对称性求概率已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，P(X＜4)＝0.84，则P(X≤0)＝()．A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84思路分析：画出正态曲线，结合其意义及特点求解．若随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，已知P(ξ＜－1.96)＝0.025，则P(|ξ|＜1.96)＝()．A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975充分利用正态曲线的对称性及面积为1的性质求解．①熟记正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等．②P(X＜a)＝1－P(X≥a)；P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)．三、正态分布的应用在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N(90,100)．(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110]内的概率是多少？(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100]间的考生大约有多少人？思路分析：正态分布已经确定，则总体的期望μ和标准差σ就可以求出，这样就可以根据正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示．若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数是()．A．997 B．954 C．819 D．683求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法：(1)根据题目中给出的条件确定μ，σ的值；(2)将待求问题向(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化；(3)利用上述区间求出相应的概率．答案：活动与探究1：解：从给出的正态曲线可知该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是12π，所以μ＝20，12πσ＝12π，则σ＝ 2.所以概率密度函数的解析式是f(x)＝12π2(20)4ex--，x∈(－∞，＋∞)．总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝(2)2＝2.迁移与应用：A活动与探究2：A解析：由X～N(2，σ2)，可知其正态曲线如图所示，对称轴为x＝2，则P(X≤0)＝P(X≥4)＝1－P(X＜4)＝1－0.84＝0.16.迁移与应用：C解析：由已知正态曲线的对称轴为x＝μ＝0，∴P(ξ＜－1.96)＝P(ξ＞1.96)＝0.025.∴P(|ξ|＜1.96)＝1－P(ξ≥1.96)－P(ξ≤－1.96)＝0.950.活动与探究3：解：∵ξ～N(90,100)，∴μ＝90，σ＝100＝10.(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ]内取值的概率是0.954 4，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70,110]内的概率就是0.954 4.(2)由μ＝90，σ＝10得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ]内取值的概率是0.682 6，所以考试成绩ξ位于区间(80,100]内的概率是0.682 6.一共有2 000名考生，所以考试成绩在(80,100]间的考生大约有2 000×0.682 6≈1 365(人)．迁移与应用：D解析：由题意，可知μ＝60.5，σ＝2，故P(58.5＜X≤62.5)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6，从而属于正常情况的人数是1 000×0.682 6≈683.1．正态曲线关于y轴对称，则它所对应的正态总体的均值为()．A．1 B．－1 C．0 D．不确定2．设随机变量X ～N (1,22)，则D ⎝⎛⎭⎫12X ＝( )．A ．4B ．2 C.12D ．1 3．已知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)，若P (ξ＞2)＝0.023，则P (－2≤ξ≤2)＝( )．A ．0.447B ．0.628C ．0.954D ．0.9774．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ＞0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为__________．5．一批灯泡的使用时间X (单位：小时)服从正态分布N (10 000,4002)，则这批灯泡使用时间在(9 200，10 800]内的概率是__________．答案：1．C 解析：由正态曲线关于y 轴对称，∴μ＝0，均值为0.2．D 解析：因为X ～N (1,22)，所以D (X )＝4，所以D ⎝⎛⎭⎫12X ＝14D (X )＝1.3．C 解析：∵随机变量ξ服从标准正态分布N (0，σ2)，∴正态曲线关于x ＝0对称．又P (ξ＞2)＝0.023，∴P (ξ＜－2)＝0.023.∴P (－2≤ξ≤2)＝1－2×0.023＝0.954.4．0.8 解析：易得P (0＜ξ＜1)＝P (1＜ξ＜2)，故P (0＜ξ＜2)＝2P (0＜ξ＜1)＝2×0.4＝0.8.5．0.954 4 解析：μ＝10 000，σ＝400，P (9 200＜X ≤10 800)＝P (10 000－2×400＜X ≤10 000＋2×400)＝0.954 4.。
高中数学选修2-3精品课件2：2.4正态分布
P(1 <x<2)= P(-1.5 <x<-1)= P(-0.5 <x<1.5)=
正态分布0)
(
X0-
)
例题选讲 求正态总体N（1，4）在区间（2，3）内取值的概率？
P(2 <x<3)=( 1)- (0.5)=0.1498
（ - 2 ， + 2）
95.4%
（ - 3 ， +3 ）
99.7%
小概率事件
正态总体在( - 2 ， + 2)以外取值的概率是 4.6% 正态总体在( - 3 ， + 3)以外取值的概率是 0.3%
O
4
x
6
小概率事件在一次实验中几乎不可能发生
控制上界 + 3
中心线
控制下界 -3
练习
1.设零件尺寸服从正态总体N（4，0.25）质检人员从工厂
生产的1000件产品中随机抽查一件，测得其尺寸为5.7,试问
这批产品是否合格？
控制上界
+ 3=4+3×0.5=5.5
控制下界
- 3=4－3×0.5=2.5
5.7(2.5，5.5)
该产品不合格
2.设零件尺寸服从正态总体N( 25，0. 09)为使生产的产品有 95%以上的合格率，求零件尺寸允许值的范围？
1234
x
=-2
=0
=3
N (0 ,4)
N (0, 1) y
-4 -3 -2 -1 O
1
N (0, 1/9)
=1/3
=1
=2
234
x
正态曲线的性质
信息技术应用μ,σ对正态分布的影响
结论：在实际应用中，通常认为服从于正态分布
N(μ,σ2)的随机变量只取 3 , 3 之间的
值，并称为3σ原则．
几何画板演示
应用举例
例1. 设三个正态分布
N
(1,12 )(1
0),
N (2, 22 )( 2
0),
N
(
3,
2 3
)(
3
0)
的密度函数图象如图，判断 1, 2 , 3以及1, 2, 3
思考探究三
固定, a的取值， 的变化对 P( a X a)
的影响
结论：对于固定的 , a 而言， 越小，阴影部分的面积
越大，P( a X a) 越大. 越大，阴影部分
的面积越小，P( a X a) 越小.
几何画板演示探究
思考探究三
特别有
P( X ) 0.6827 P( 2 X 2 ) 0.9545 P( 3 X 3 ) 0.9973
人教A版高中数学选修2-3
第二章 随机变量及其分布
2.4 信息技术应用：, 对正态分布的影响
张守杰
白银市实验中学
复习回顾
• 正态分布密度曲线： y
O
x
高尔顿板试验：
flash动画演示
几何画板演示
复习回顾
• 正态分布密度函数:
， (x)
1
e
(
x )2 2 2
,
x
(
,
)
2
其中 , ( 0) 为参数
解：
9.8
=10 10.2
课堂小结
正态分布密度曲线 正态分布密度函数
对正态曲线位置的影响
对正态曲线形状的影响
, 对正态分布概率的影响
第二章 随机变量及其分布(第2讲)
引入随机变量和分布函数，在随机现象与数 学分析之间搭起了桥梁。
学习内容
§2.1 随机变量 §2.2 离散型随机变量及其分布 §2.3 随机变量的分布函数 §2.4 连续型随机变量及其分布 §2.5 随机变量函数的分布
引言
连续型随机变量（random variables of continuous type)
四、几种重要的连续型分布 均匀分1. 布均的匀实分际布背景是： 并概f ( x率且)随=与取⎪⎩⎪⎨⎧机0b这值−1变a个在量小（其x ∈X它区a取[a,,间bb值）] 的在中是 记长区一 为任度个间意成概X（小正~率aU区比密,[ab间度。,)b上内]函，的数.
利用分布函数与概率密度函数之间的关系，可以求得服从均匀 分布的随机变量 X 的分布函数
f
(x)
=
⎪⎧ ⎨
1 3
,
⎪⎩0 ,
0≤ x≤3 其它
∫ ∫ 所求概率 P{0 ≤ X ≤ 2}=
2 f (x )dx =
0
2 0
1 3
dx
=
2 3
四、几种重要的连续型分布
2.指数分布
定义: 若随机变量X的概率密度函数
X
~
f
(
x)
=
⎧λ
⎨
e−λ
x
⎩0
x>0 x≤0
称 X 服从参数为λ的指数分布,记为X~E(λ) (λ>0),
学习内容
§2.1 随机变量 §2.2 离散型随机变量及其分布 §2.3 随机变量的分布函数 §2.4 连续型随机变量及其分布 §2.5 随机变量函数的分布
引言
§2.2节学习的分布律对于非离散型型随 机变量失效
高中数学《第二章随机变量及其分布2.4正态分布信息技术应用μ,σ对正...》207PPT课件
能说 说正态 曲线的特点 吗?
2曲 线 是单 峰 的,它 关 于直 线x μ
对 称;
3曲线在x μ处达到峰值;
4曲 线 与x轴 之 间 的 面 积 为1.
正态曲线下的面积规律
• X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 • 对称区域面积相等。
S(-,-X)
S(X,)＝S(-,-X)
例1： 在一次测试中，测量结果X服从正态分布 N(2，σ2)(σ＞0)，若X在(0,2)内取值的概率为
观察正态分布曲线的变化
用几何画板研究正态曲线随着 和变化的特点
信息技术 的应用
2. 正态曲线的特点
的意义
正态曲线 f x
1
x 2
e 2 2 , x ,
2
由图象可以知道
(1)曲线是单峰的，它关于直线 x 对称.
(2)曲线在 x 处达到峰值 1
.
2
参数反映随机变量取值的平均水平
我们从上图看到，正态总体在(μ－2σ,μ＋2σ)以外取值的概率只有 4.5％，在
3 , 3 以外取值的概率只有 0.27％。
小概率事件:
.由图可知，正态分布几乎总取值于区间 3 , 3 之内,而在此区间以外
取值的概率只有 0.0027, 由于这些概率值很小（一般不超过 5％），通常称这些
标准正态曲线
正态曲线的函数表示式
f x
1
x 2
e 2 2 , x ,
2
标准正态曲线
y
当时
f x
1
e
x2 2
,
x
,
2
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
称为标准正态分布的函数,其图象称为标准正态曲线.
从正态曲线分析，随机变量X在区间(a，b]内取值的 概率有什么几何意义？在理论上如何计算？
人教新课标A版高二数学《选修2-3》2.4 正态分布
O
x
(5)当一定时,曲线随着的变化而沿x轴平移 (6)当一定时,曲线的形状由的确定.
越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中; 越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散.
若X~N(,2),则对于任何实数a>0,概率
P a X a
dx , a x a
大约应有57人的分数在下列哪个区间内？（ C ）
A.(90,110] B.(95,125] C.(100,120] D.(105,115]
2.已知X~N (0,1)，则X在区间 (, 2) 内取值的概率等于（ D ） A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.0228
3.设离散型随机变量X~N(0,1),则 P( X
a
P X 0.6826
P 2 X 2 0.9544 P 3 X 3 0.9974
3原则 通常认为服从于正态分布N(,2)的随机变量X只取 (-3,+3)之间的值.
课堂小结
b a
如果对于任何实数a<b,随机变量X满足 b Pa X b , x dx a
则称X的分布为正态分布 记N , 2 X服从正态分布,则记 X ~ N , 2
是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去
估计；
是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去
第二章 随机变量及其分布
2.4 正态分布
知识回顾
随机变量的方差
性质
意义
D(aX+b)=a2D(X)
若X服从两点分布,则DX=p(1-p)
若X~B(n,p),则D(X)=np(1-p)
概率论与数理统计第2章随机变量及其分布
1 4
)0
(
3 4
)10
C110
(
1 4
)(
3 4
)9
0.756.
(2)因为
P{X
6}
C160
(
1)6 4
(
3 4
)4
0.016
,
即单靠猜测答对 6 道题的可能性是 0.016,概率很小,所
以由实际推断原理可推测,此学生是有答题能力的.
二项分布 b(n, p) 和 (0 1) 分布 b(1, p ) 还有一层密切关
P{X 4} P(A1 A2 ) P(A1)P(A2 ) 0.48 ,
P{X 6} P(A1A2 ) P(A1)P(A2 ) 0.08 , P{X 10} P(A1A2 ) P(A1)P(A2 ) 0.32 , 即 X 的分布律为
X 0 4 6 10
P 0.12 0.48 0.08 0.32
点 e, X 都有一个数与之对应. X 是定义在样本空间 S 上的
一个实值单值函数,它的定义域是样本空间 S ,值域是实数
集合 {0,1,2},使用函数记号将 X写成
0, e TT , X＝X (e) 1, e HT 或TH ,
2, e HH.
▪
例2.2 测试灯泡的寿命.
▪
样本空间是 S {t | t 0}.每一个灯泡的实际使用寿命可
(2)若一人答对 6 道题,则推测他是猜对的还是有答 题能力.
解 设 X 表示该学生靠猜测答对的题数,则
X
~
b(10,
1) 4
.
(1) X 的分布律为
P{X
k}
C1k0
(
1)k 4
(
3 4
人教新课标A版选修2-3第二章随机变量及其分布2.4正态分布
, ()d.
M 目标导航
UBIAODAOHANG
1
2
3
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
4
2.正态散布
一般地,如果对于任何实数a,b(a<b),随机变量X满足
2.用待定系数法求正态散布密度曲线的函数表达式,关键是确定
参数μ与σ的值.
1
3.当x=μ时,正态散布密度曲线的函数取得最大值,即 f(μ)=
,
2π
注意该式在解题中的运用.
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题型一
题型二
题型三
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
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答案:D
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D典例透析
IANLI TOUXI
4
4.正态总体在三个特殊区间内取值的概率
P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.682 7;
P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.954 5;
P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.997 3.
题型四
1
解:由图象可知,该正态曲线关于直线 x=20 对称,最大值为2 π,
则 μ=20,
1
2π
1
= 2 π,解得 σ= 2.于是正态分布密度曲线的函数解析
青海省高中数学人教版选修2-3(理科)第二章随机变量及其分布2.4正态分布
青海省高中数学人教版选修2-3（理科）第二章随机变量及其分布 2.4正态分布姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）(2017·葫芦岛模拟) 某年高考中，某省10万考生在满分为150分的数学考试中，成绩分布近似服从正态分布N（110，100），则分数位于区间（130，150]分的考生人数近似为（）（已知若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）=0.9974．A . 1140B . 1075C . 2280D . 21502. （2分）设随机变量ξ～N（μ，σ2），且P（ξ＜﹣1）=P（ξ＞2）=0.3，则P（ξ＜2μ+1）=（）A . 0.4B . 0.5C . 0.6D . 0.73. （2分） (2015高二上·承德期末) 设随机变量服从正态分布.若，则的值为（）A . 0.2B . 0,3C . 0.4D . 0.64. （2分）在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布（100，σ2），（σ＞0），若ξ在（80，120）内的概率为0.8，则落在（0，80）内的概率为（）A . 0.05B . 0.1C . 0.15D . 0.25. （2分）设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞2）=p，则P（﹣2＜ξ＜0）（）A . +PB . 1﹣PC . ﹣PD . 1﹣2P6. （2分）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布，则％，％A . 4.56%B . 13.59%C . 27.18%D . 31.74%7. （2分）已知随机变量服从正态分布 N（100,4），若，则等于（）[附： ]A .B . 101C .D .8. （2分） (2017高二下·咸阳期末) 已知随机变量ξ服从正态分布N（2017，σ2），则P（ξ＜2017）等于（）A .B .C .D .二、填空题 (共3题；共3分)9. （1分） (2016高二下·宜春期末) 已知随机变量X服从正态分布N（0，δ2），且P（﹣2≤x≤0）=0.4，则P（x＞2）=________．10. （1分） (2017高二下·濮阳期末) 已知随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=a，a为常数，则P（﹣1≤ξ≤0）=________．11. （1分）(2017·沈阳模拟) 若正态变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则ξ在区间（μ﹣σ，μ+σ），（μ﹣2σ，μ+2σ），（μ﹣3σ，μ+3σ）内取值的概率分别是0.6826，0.9544，0.9973．已知某大型企业为10000名员工定制工作服，设员工的身高（单位：cm）服从正态分布N（172，52），则适宜身高在177～182cm范围内员工穿的服装大约要定制________套．（用数字作答）三、解答题 (共3题；共20分)12. （5分）(2018·成都模拟) 当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进.高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施.程度2019年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项考试满分50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分.某学校在初三上期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到下边频率分布直方图，且规定计分规则如下表：每分钟跳绳个数得分17181920（Ⅰ）现从样本的100名学生中，任意选取2人，求两人得分之和不大于35分的概率；；（Ⅱ）若该校初三年级所有学生的跳绳个数服从正态分布，用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差，已知样本方差（各组数据用中点值代替）.根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，现利用所得正态分布模型：预计全年级恰有2000名学生，正式测试每分钟跳182个以上的人数；（结果四舍五入到整数）若在全年级所有学生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳195以上的人数为ξ，求随机变量的分布列和期望.附：若随机变量服从正态分布，则，， .13. （5分）(2019·河北模拟) 《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成.将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8个等级.参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91,100]、[81,90]、[71,80]、[61,70]、[51,60]、[41,50]、[31,40]、[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布N（60,169）．（Ⅰ）求物理原始成绩在区间（47,86）的人数；（Ⅱ）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成绩在区间[61,80]的人数，求X的分布列和数学期望.（附：若随机变量，则，，）14. （10分） (2019高二下·潍坊期中) 某市举办数学知识竞赛活动，共5000名学生参加，竞赛分为初试和复试，复试环节共3道题，其中1道多选题，2道单选题，得分规则如下：参赛学生每答对一道单选题得2分，答错得0分，答对多选题得3分，答错得0分，答完3道题后的得分之和为参赛学生的复试成绩.附：P（μ-σ<X<μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ<X<μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ<K<μ+3σ）=0.9974.（1）通过分析可以认为学生初试成绩x服从正态分布N（u，o2），其中u=66，02=144，试估计初试成绩不低于90分的人数；（2）已知小强已通过初试，他在复试中单选题的正答率为，多选题的正答率为，且每道题回答正确与否互不影响.记小强复试成绩为Y，求Y的分布列及数学期望。
2.4_正态分布
练习:课本第74页1,3
练习:课本第75页1,2
作 业
作业本(A)Ｐ69
2014-3-4
申占宝
14
2014-3-4
申占宝
7
X落在区间(a,b]的概率为:
y
P (a x X ≤ b)
( x )dx
, a
b
X的分布为正态分布.
y , ( x )
x
a b 正态分布完全由参数 和 确定,因此正态分布
常记作 N ( , 2 ) .如果随机变量 X 服从正态分布,则 2014-3-4 8 申占宝 2 x N ( , ) 记为 X
y μ= 1 σ=0.5
σ=0.5
-3 -2 -1 0
1 2
x -3 -2 -1 0
1 2
x
-3 -2 -1 0
1 2
x
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交. （2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.
（3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点) （4）曲线与x轴之间的面积为 1 2014-3-4 申占宝
选修2-3 第二章 随机变 3-4
申占宝
1
N=500,
P=0.5
M=10
2014-3-4
申占宝
2
频率颁布直方图
频率 组距
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
球槽 的编号
2014-3-4 申占宝 3
频率 组距
球槽 的编号
2014-3-4 申占宝 4
样本容量增大时 频率分布直方图
频率 组距
钟形曲线
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第二章
2.4
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-3
(2)标准正态分布的性质
①标准正态总体 N(0,1) 在正态总体的研究中占有重要的地 位，任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率 问题． ②标准正态曲线关于y轴对称． ③正态曲线是单峰的，其与 x 轴围成的面积为 1 ，与参数 μ，σ的变化无关．
第二章 2.4
)
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[答案] D [ 解析 ] 由题意，可知 μ ＝ 60.5 ， σ ＝ 2 ，故 P(58.5<X≤62.5) ＝ P(μ － σ<X≤μ ＋ σ) ＝ 0.6826 ， 从 而 属 于 正 常 情 况 的 人 数 是 1000×0.6826≈683.
0.9544， 所以 P(3<X≤4)＋P(6<X≤7)＝0.9544－0.6826＝0.2718， 0.2718 由对称性得 P(3<X≤4)＝P(6<X≤7)， 所以 P(6<X≤7)＝ 2 ＝ 0.1359.
[ 规律总结]
要记住正态总体在三个区间取值的概率，并
会利用对称性将待求区间加以转化．
第二章
成才之路 ·数学
人教A版 ·选修2-2 2-3
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第二章
随机变量及其分布
第二章
随机变量及其分布
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第二章 2.4 正态分布
第二章
2.4
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量在9.8～10.2的概率，需化为(μ－2σ，μ＋2σ)的形式，然后利
用特殊值求解． 由正态分布N(10,0.12)知，μ＝10，σ＝0.1， 所 以 质 量 在 9.8 ～ 10.2kg 的 概 率 为 P(10 － 2×0.1<X≤10 ＋ 2×0.1)＝0.9544.
第二章
2.4
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0.9544 ②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝________ 0.9974 ③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝________.
第二章 2.4
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4．3σ原则
通常服从正态分布 N(μ，σ2)的随机变量 X只取(μ－ 3σ，μ＋
3σ)之间的值．
⑤当σ 一定时，曲线的位置由 μ 确定，曲线随着 μ 的变化而 沿x轴平移，如图甲所示； ⑥当μ 一定时，曲线的形状由 σ 确定， σ 越大，曲线越“矮
胖”，总体分布越分散； σ 越小．曲线越“瘦高”．总体分布
越集中，如图乙所示：
第二章 2.4
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x∈(－∞，＋∞)，总体随机变量的期望是 μ＝20， 方差是 σ2＝( 2)2＝2.
第二章 2.4
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3σ原则的应用
设 X～N(5,1)，求 P(6<X≤7). 导学号 03960542
[ 思路分析]
由 X～N(5,1)知 μ＝5，σ＝1，故 P(4<X≤6)＝
0.6826 ， P(3<X≤7) ＝ 0.9544. 由 对 称 性 知 P(3<X≤4) ＝ P(6<X≤7)，由此可求 P(6<X≤7)．
第二章
2.4
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[ 解析]
由 已 知 得 P(4<X≤6) ＝ 0.6826 ， P(3<X≤7) ＝
[ 解析]
Hale Waihona Puke (1)根据正态分布的性质：对称轴方程 x＝μ，σ 表
示正态曲线的形状，由图可得，选 A． (2)从正态曲线可知，该正态曲线关于直线 x＝20 对称，最 1 1 大值为 ，所以 μ＝20， ＝ ， 2 π 2πσ 2 π 所以 σ＝ 2. 于是 φμ，σ(x)＝ 2 π 1 x－202 · e－ 4 ， 1
第二章
2.4
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1．已知随机变量 X 服从正态分布 N(3,1)，且 P(2≤X≤4) ＝0.6826，则 P(X>4)＝ 导学号 03960535 ( A．0.1588 C．0.1586 B．0.1587 D．0.1585 )
[ 答案]
[ 答案]
[ 解析]
10
由 ξ～N(100,102)知，μ＝100，σ＝10，
又 P(90≤ξ≤100)＝0.3， 1－P90≤ξ≤110 ∴P(ξ>110)＝P(ξ<90)＝ 2 1－2P90≤ξ≤100 1－2×0.3 ＝ ＝ ＝0.2. 2 2 ∴该班学生成绩在 110 分以上的人数为 0.2×50＝10 人．
甲
乙
第二章
2.4
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2．正态分布 一般地，如果对于任何实数 a，b(a<b)，随机变量 X 满足
b P(a<X≤b)＝ φμ，σ(x)dx，则称随机变量 X 服从正态分布(normal
a
distribution)．正态分布完全由参数 μ 和 σ 确定，因此正态分布 常记作 N(μ，σ2)．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为 X～ N(μ，σ2)． 3．正态总体三个特殊区间内取值的概率值 0.682 6 ； ①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝________
[答案] 0.1 [解析] ∵随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，
∴曲线关于直线x＝1对称，
∵P(ξ<2)＝0.6， ∴P(0<ξ<1)＝0.6－0.5＝0.1，
故答案为0.1.
第二章
2.4
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4．某班有 50 名学生，一次考试的数学成绩 ξ 服从正态分 布 N(100,102)，已知 P(90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成 绩在 110 分以上的人数为________. 导学号 03960538
[ 答案]
[ 解析]
D
已知 ξ～N(4,5)，所以 μ＝4，
又因为 P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)， 2a－3＋a＋2 所以 ＝4，解得 a＝3. 2
第二章
2.4
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3． (2016· 潍坊五县高二检测)已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(1 ， σ2) ， 且 P(ξ<2) ＝ 0.6 ， 则 P(0<ξ<1) ＝ ________. 导学号 03960537
举．德国的10马克纸币上印有高斯的头像和正态分布的曲线，
这就传达了一个信息：在高斯的科学贡献中，对人类文明影响 最大的是“正态分布”．
那么，什么是正态分布？正态分布的曲线有什么特征？
第二章
2.4
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1．正态曲线及其性质 (1)正态曲线： x－μ 1 函数 φμ，σ(x)＝ e－ 2σ2 ，x∈(－∞，＋∞)，其中实 2πσ 数 μ， σ(σ>0)为参数， 我们称 φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线， 简称正态曲线．
第二章
2.4
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导学号 03960541
2 (1)设两个正态分布 N(μ1，σ2 )( σ >0) 和 N ( μ ， σ 1 1 2 2)(σ2>0)的密
度函数图像如图所示．则有( A．μ1<μ2，σ1<σ2
B．μ1<μ2，σ1>σ2 C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2
2.4
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-3
导学号 03960543 为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区 1000 名年龄在 17.5 岁至 19 岁的高三男生的体重情况，抽查结 果表明他们的体重 X(kg)服从正态分布 N(μ，22)，且正态分布密 度曲线如图所示． 若体重大于 58.5kg 小于等于 62.5kg 属于正常 情况，则这 1000 名男生中属于正常情况的人数是( A．997 B．954 C．819 D．683
第二章 2.4
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5．商场经营的某种包装的大米质量服从正态分布 N(10,0.12)(单位：kg)．任选一袋这种大米，质量在 9.8～10.2kg 的概率是多少？ 导学号 03960539
[解析] 因为大米的质量服从正态分布 N(10,0.12)，要求质
)
第二章
2.4
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(2)如图所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分 布的概率密度函数的解析式， 求出总体随机变量的均值和方差．
[ 答案]
(1)A (2)见解析
第二章
2.4
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[ 解析]
B
1 ∵X～N(3,1)，∴P(X>4)＝P(X<2)＝2[1－P(2≤X ≤
1 4)] ＝2(1－0.6826)＝0.1587.