数学物理方法第2章复变函数积分2016资料.
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复变函数及积分变换第二章
x
arg z在负实 轴上不连续.
若z0=x0+iy0不是原点也不是负实轴及虚轴上的点
arctan( y / x),
arg z arctan( y / x) π,
arctan( y / x), arctan( y / x),
x0 0
lim
z z0
arg
z
lim
( x, y)( x0
,
y0
)
arctan(
) ，则说函数 f(z) 在点 z0 处连 内每一点都连续，那么称函
数f(z)在区域D内连续.
定理2.3 若 f(z)、g(z) 在点z0连续，则其和、差、积、 商（要求分母不为零）在点z0处连续.
(1)多项式 w a0 zn a1zn1 an1z an 在整个复平
面上连续；
(2)任何一个有理分式函数
例2.2 判断下列函数在原点处的极限是否存在，若存
在，试求出极限值：
(1) f (z)
z Re(z) ; z
(2) f (z)
Re( z
z
2
2
)
.
解： (1)方法一
因为
f (z)
z
Re(z) z
z
所以 0，取 ，当0 z 时，总有
f (z) 0 f (z) z
根据极限定义 lim f (z) 0 z0
解：dw lim f (z Δz) f (z) lim (z Δz)n zn
dz Δz0
Δz
Δz 0
Δz
Δlizm0(Cn1 zn1 Cn2 zn2Δz
C n1 n
zΔz
n2
Cnn Δz n1 )
Cn1zn1 nzn1,
2 复变函数的积分
• （五）*刘维尔定理：
如果f(z)在全平面上解析，并且是有界的，即|f(z)|≤N， 则f(z)必为常数。
讨论：在物理上的热传导方程、扩散方程、静电场方程 的稳定分布场均满足拉普拉斯方程，它们的最大和最小 值只能在边界上。
2. 从物理上理解，解析函数对应于一个平面标量场， 标量场必须满足拉普拉斯方程，其在区域内的分布 完全由边界上的值确定决定。
3. 注意柯西积分公式与柯西定理的差异与关系？
• （二）复连通域上的柯西积分公式：
设B是由C0 , C1, C2 , … , Cn围成的多连通区域， 函数f(z)在B内解析，在B上连续，则对B内任一 点ζ，有
计算积分：
2z 1 z2 z
dz
Γ O1 x
其中Γ为包含|z|=1在内的任何正向的闭曲线。
例3.
计算积分：
|z|2
z
1 2
1
dz
y -2 -1 1 2 x
§2.3 原函数与不定积分
• （一）原函数的概念：
1. 若F’(z)在单连通区域B上解析，且F’(z)= f(z)，则称 F(z)是f(z)的原函数，其中z∈B。
f(z)dz F(z) C
2. 若函数 f(z)在单连通区域B内解析，而F(z)是它的一个
原函数，则有
z2 f(z)dz
z1
F(z2 )
F(z1)
其中z1, z2 ∈B。
B
z2
说明：对于非单连通区域G，函
数的积分不能写成上述形式！
z1
例1. 计算积分： 1z cos zdz 0
例2. 计算积分：p27
dz
(z a)n
2 i, 0,
如果f(z)在全平面上解析，并且是有界的，即|f(z)|≤N， 则f(z)必为常数。
讨论：在物理上的热传导方程、扩散方程、静电场方程 的稳定分布场均满足拉普拉斯方程，它们的最大和最小 值只能在边界上。
2. 从物理上理解，解析函数对应于一个平面标量场， 标量场必须满足拉普拉斯方程，其在区域内的分布 完全由边界上的值确定决定。
3. 注意柯西积分公式与柯西定理的差异与关系？
• （二）复连通域上的柯西积分公式：
设B是由C0 , C1, C2 , … , Cn围成的多连通区域， 函数f(z)在B内解析，在B上连续，则对B内任一 点ζ，有
计算积分：
2z 1 z2 z
dz
Γ O1 x
其中Γ为包含|z|=1在内的任何正向的闭曲线。
例3.
计算积分：
|z|2
z
1 2
1
dz
y -2 -1 1 2 x
§2.3 原函数与不定积分
• （一）原函数的概念：
1. 若F’(z)在单连通区域B上解析，且F’(z)= f(z)，则称 F(z)是f(z)的原函数，其中z∈B。
f(z)dz F(z) C
2. 若函数 f(z)在单连通区域B内解析，而F(z)是它的一个
原函数，则有
z2 f(z)dz
z1
F(z2 )
F(z1)
其中z1, z2 ∈B。
B
z2
说明：对于非单连通区域G，函
数的积分不能写成上述形式！
z1
例1. 计算积分： 1z cos zdz 0
例2. 计算积分：p27
dz
(z a)n
2 i, 0,
02复变函数微积分
（1）曲线积分法 （2）凑全微分法 （3）不定积分法
数学物理方法
应用
v( x, y ) dv
2 2 u ( x , y ) x y 例2.5 已知解析函数f(z)的实部
且f(0)=0,试求出虚部和f(z) 。 解： v u 2 y x y
v u 2x y x
数学物理方法
2 xy C
（2）凑全微分显示法
dv( x, y) 2 ydx 2 xdy d (2 xy C )
v( x, y) 2 xy C
（3）不定积分法
v u 2x y x
v u 2y x y
v 2 y ( x) x
l l
l1 l 2
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz
l1 l2
l
l
f ( z )dz f ( z )dz , 其中 l 是l的逆向
l
f ( z )dz
l
f ( z ) dz
f ( z)dz
l l
f ( z ) ds
那么有
u v v u , x y x y
上式称为柯西－黎曼条件。简称（C-R条件）
数学物理方法
证明：
1）若 y 0, x 0
f ( z z ) f ( z ) u ( x x, y ) iv( x x, y ) u ( x, y ) iv( x, y ) lim z 0 z 0 z x u ( x x, y ) u ( x, y ) v( x x, y ) v( x, y ) lim i lim z 0 z 0 x x u ( x, y ) v( x, y ) i x x lim
数学物理方法
应用
v( x, y ) dv
2 2 u ( x , y ) x y 例2.5 已知解析函数f(z)的实部
且f(0)=0,试求出虚部和f(z) 。 解： v u 2 y x y
v u 2x y x
数学物理方法
2 xy C
（2）凑全微分显示法
dv( x, y) 2 ydx 2 xdy d (2 xy C )
v( x, y) 2 xy C
（3）不定积分法
v u 2x y x
v u 2y x y
v 2 y ( x) x
l l
l1 l 2
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz
l1 l2
l
l
f ( z )dz f ( z )dz , 其中 l 是l的逆向
l
f ( z )dz
l
f ( z ) dz
f ( z)dz
l l
f ( z ) ds
那么有
u v v u , x y x y
上式称为柯西－黎曼条件。简称（C-R条件）
数学物理方法
证明：
1）若 y 0, x 0
f ( z z ) f ( z ) u ( x x, y ) iv( x x, y ) u ( x, y ) iv( x, y ) lim z 0 z 0 z x u ( x x, y ) u ( x, y ) v( x x, y ) v( x, y ) lim i lim z 0 z 0 x x u ( x, y ) v( x, y ) i x x lim
数学物理方法第二章复变函数的积分
d z b ln b ln a ln i Arg b Arg a az a
b
ln z ln(| z |e )
Arg z
此积分与路径有关系！因z = 0 是1/z的一个奇点。 如被积函数有奇点，则由不定积分给出的函数可能是 多值的。被积函数的奇点，可能是该函数的支点。
x d y y d x d d f ( z ) d z u v d t i u v d t l t d t t d t d t d t A A
t B t B
几个重要性质 1.常数因子可以移到积分号之外
c f ( z ) d z c f ( z ) d z
推广：若 f (z)在单连通域B上解析，在闭单连通 域 B 上连续，则沿 B 上任一分段光滑闭合曲 线 l (也可以是 B 的边界)，有
l
f (z)d z 0
（二）复连通域情形 如果区域内存在： (1)奇点 ；(2)不连续线段；(3)无定义区 为了把这些奇异部分排除在外，需要作适当的 围道 l1、l2、 l3 把它们分隔开来，形成带孔的区 域—复连通区域。
C 2
只要起点和终点固定不变，当积分路径连续变形时 （不跳过“孔”）时，函数的路积分值不变。
§2.3 不定积分（原函数）
根据 Cauchy 定理，若函数 f (z) 在单连通
区域B上解析， 则沿B上任一分段光滑曲线 l
的积分
l
f ( z) dz 只与起点和终点有关，而与
路径无关。因此如果固定起点 z0 而变化终点 z, 这个不定积分便定义了一个单值函数 F(z):
l
f (z)d z 0
George Green
数学物理方法-复变函数复习31页PPT
u d xz
1
2 y d x ？
0 x 0 2 x x 2 y 22x 2 y 2
极坐标
v x x 2 y 2c o s( 1 c o s)
2 sin 2 2
u1v,v1u
u 1 v 1 (2 sin 2)2 1 co s 2 u v (2 sin 2) 2sin 2
a0a1z1a2z2a3z3L1 2a0z21 2a1z31 2a2z41 2a3z5L 4 1!a0z44 1!a1z54 1!a2z64 1!a3z7L1
a 0 a 1 z 1 ( a 2 1 2 a 0 ) z 2 ( a 3 1 2 a 1 ) z 3 ( a 4 1 2 a 2 4 1 ! a 0 ) z 4 L 1
例
1111
4 7 10
解
绝对一致收敛
t 1 a1 a0,b0
01tbdt n0
1ta1(tb)nd
0
t
t1 anb1(1)ndt
0 n0
(1)n
1 dtanb
( 1) n
n0 anb0
n0 a nb
1 1 1 1 1 1 ( 1 )3 1 1 1 dt
4710 1 3
例：在z=0展开 1
cos z
1 1 cos 0
在z=0解析
待定系数法
待定系数法：设
1 cos z
k 0
ak zk
又
cosz
(1)k z2k
k0 (2k)!
a k 为待定系数
则
akzk
k0
k0
(1)k z2k 1 (2k)!
[ a k a k z k a k z k a k z k L ] [ 1 1 2 z 2 4 1 ! z 4 6 1 ! z 6 L ] 1
数学物理方法第2章复变函数积分-2016方案
(2.1.3)
(2) 化为参数积分计算．设积分曲线L的参数方程为z(t)，
将z(t)及dz(t)＝z'(t)dt代入式(2.1.4)，可得
3
【例2.1.1】计算积分I=
其中曲线L是
(1)沿1+ i 到2+4 i 的直线，见图2.2(a)；
(2)沿1+ i 到2+i，再到2+4 i 的折线，见图2.2(b)；
§2.2.1 单通区域的柯西定理
定理 若函数f(z)在单通区域D 内解析，则f(z)在D内沿任意 闭曲线的积分为零
∮l f(z)dz = 0 (2.2.1)
证明 这个定理的严格证明比较复 杂, 为简单起见, 我们在“f(z)在D 内连续” 附加条件下证明这个定 理．
先将复变积分化为两个实变积 分的线性叠加
29
这就是解析函数的定积分公式，它与实变 函数中的牛顿-莱布尼茨公式具有相同的形 式。
通常把f(z)的原函数的集合
称f(z)的不定积分，式中C为复常数。
30
(2.2.8)
31
§2.2.3 复通区域的柯西定理
定理 若f(z)在闭复通区域 解析，则f(z)沿所
有内、外边界线(L=L0+ 之和为零
37
【2.2.2】试计算 其中积分回路分别(图2.11) (1) |z-i|＝2；(2) |z+i|＝2；(3) |z|＝3.
38
解 首先，将被积函数分解为部分分式(利用通 分可以凑出来)
≠0
=0
39
40
【例2.2.3】若f(z)=1/(z-a) 在z=a的无心邻域内 连续，积分回路是以a点为圆心的圆弧
由于a点在D内随意变动时，柯西公式依然成立， 有时分别用z和x代替式 (2.3.1)的a和z。将柯西公 式改写为
数学物理方法 第二章 复变函数的积分
wuxia@
证明： 1 dz 1 f (α )dz (1)已知f (α ) = f (α ) ⋅ ∫l z − α = 2πi ∫l z − α 2πi 1 f ( z )dz 1 f ( z ) − f (α ) 与f (α ) = 比较，只需证明 ∫l z − α ∫l z − α dz = 0即可. 2πi 2πi f ( z ) − f (α ) (2)因为z = α为 的奇点，因此，以α为圆心，取任意小 z −α f ( z ) − f (α ) ε为半径做小圆Cε , 这样在l及Cε 所围复通区域上 单值解析。 z −α f ( z ) − f (α ) 1 f ( z ) − f (α ) 1 根据柯西定理， ∫ dz = ∫Cε z − α dz l 2πi z −α 2πi 对于Cε 上的z有：z − α = εe iϕ , dz = iεeiϕ dϕ 于是, 有： 1 f ( z ) − f (α ) 1 2π f ( z ) − f (α ) iϕ 1 iεe dϕ = iϕ ∫l z − α dz = 2πi ∫0 εe 2πi 2π
wuxia@
∫
2π
0
[ f ( z ) − f (α )]dϕ
(3)现在需要对上式右端做估计 因为f ( z )连续，一定可以找到∆ > 0,当 | z − α |≤ ∆时， | f ( z ) − f (α ) |≤ ε ′ 因而有： 1 2π 1 2π 1 ∫0 [ f ( z ) − f (α )]dϕ ≤ 2π ∫0 | f ( z ) − f (α ) |⋅ | dϕ |< 2π 2π =ε 1 f ( z ) − f (α ) 1 f ( z) ∴ dz = 0, f (α ) = ∫l z − α ∫l z − α dz 2πi 2πi
证明： 1 dz 1 f (α )dz (1)已知f (α ) = f (α ) ⋅ ∫l z − α = 2πi ∫l z − α 2πi 1 f ( z )dz 1 f ( z ) − f (α ) 与f (α ) = 比较，只需证明 ∫l z − α ∫l z − α dz = 0即可. 2πi 2πi f ( z ) − f (α ) (2)因为z = α为 的奇点，因此，以α为圆心，取任意小 z −α f ( z ) − f (α ) ε为半径做小圆Cε , 这样在l及Cε 所围复通区域上 单值解析。 z −α f ( z ) − f (α ) 1 f ( z ) − f (α ) 1 根据柯西定理， ∫ dz = ∫Cε z − α dz l 2πi z −α 2πi 对于Cε 上的z有：z − α = εe iϕ , dz = iεeiϕ dϕ 于是, 有： 1 f ( z ) − f (α ) 1 2π f ( z ) − f (α ) iϕ 1 iεe dϕ = iϕ ∫l z − α dz = 2πi ∫0 εe 2πi 2π
wuxia@
∫
2π
0
[ f ( z ) − f (α )]dϕ
(3)现在需要对上式右端做估计 因为f ( z )连续，一定可以找到∆ > 0,当 | z − α |≤ ∆时， | f ( z ) − f (α ) |≤ ε ′ 因而有： 1 2π 1 2π 1 ∫0 [ f ( z ) − f (α )]dϕ ≤ 2π ∫0 | f ( z ) − f (α ) |⋅ | dϕ |< 2π 2π =ε 1 f ( z ) − f (α ) 1 f ( z) ∴ dz = 0, f (α ) = ∫l z − α ∫l z − α dz 2πi 2πi
数学物理方法课件-2 复变积分
其中，M (R) max f (z) , n 1,2, z R
证：
f (n) ( )
n!
2i
(
f ( ) )n1
d
n!
2
M (R) R n 1
2R
n!M (R) Rn
即
f
(n) ( )
n!M R
(
n
R)
，得证.
整函数: 在整个复平面上解析的函数称为整函数.
49
1
0 1
z100 k 1 z 2k
98!!
§2.5 解析函数的高阶导数
1.高阶导数
2. 柯西不等式与刘维尔定理
柯西不等式：设f (z)在区域B上解析，为B内一点，以
为圆心作圆周： R，只要及其所包含区域均含于
B, 则有
f
(n) ( )
n!M (R) Rn
0 2i 2i 0 0
即
C
1 z2
z
dz
0
§2.3 不定积分
证:
B
§2.4 柯西公式
1.有界区域柯西公式
( )
证: 如图，根据复连通区域柯西定理有
1 f (z)
1 f (z)
dz
dz
2i C z
2i Cr z
欲证原式，即证
第二章 复变积分
§2.1 复变积分
性质:
例:
补:简单曲线 光滑曲线
1. 简单曲线
设曲线C的参数方程为 x x(t), y y(t), z z(t) (a t b)
其中，x(t), y(t), z(t)在[a, b]连续，当t1 t2 (a t1, t2 b)时, (x(t1), y(t1), z(t1)) (x(t2 ), y(t2 ), z(t2 ))
数学物理方法第2章复变函数积分-2016
49
50
【例2.3.2】试计算积分，
积分回路L为x2 + y2=2x 解 (1) 积分回路的形状： (x-1)2+y2=1
(2)被积函数的奇点．
方程z4+1=0有四个根：z=exp[i (p+2kp)/4]， k=0,1,2,3，因此，被积函数有四个奇点，但仅有 z1与z4位于积分回路之内
51
2. 复通区域的柯西公式
设f (z)在闭复通区域D中解析，a为D的内点， 则 式中积分沿D的内外边界线的正方向．
32
证明 为了应用单通区域的柯西定理，作割线把外边界线 L0与内边界线连接起来，将闭复通区域变成闭单通区域。
33
推论3 在f(z)的解析区域中，积分回路连 续变形时，其积分值不变．
证明 取变形前后的积分回路 作为复通区域 的内外边界 线，如图2.9所示．由式 (2.2.21a) 可得
移项后，改变l2的积分方向，即有
复变积分性质(5)及式(2.2.34)，可证
43
由于e可任意地小，(q2-q1)为常量，式
(2.2.35)表明
可任意地小根据极限的定义，可得
44
2. 大圆弧引理
若j(z)在无穷远点的无心邻域内连续，在大 圆弧CR(z=Reiq, R→∞,q1<q<q2 )上
这两个引理为计算沿圆弧的积分带来方便． 2.3节将分别用来证明单通区域及无界区域的 柯西公式．
(3)按复通区域的柯西定理及柯西公式计算以小圆周c1 和c2分别包围奇点z1和z4 ，则被积函数在外边界线l 与内边界线c1 ， c2 所围的复通区域解析。按复通区 域的柯西定理，沿l的积分等于沿C1与C2积分之和， 后两个积分可按柯西公式算出，即
第02章 复变函数的积分
第二章复变函数的积分基本要求：1．正确理解复变数函数路积分的概念；2．深刻理解柯西定理及孤立奇点的定义；3．理解并会熟练运用柯西公式。
教学内容：§2.1 复数函数的积分，路积分及其与实变函数曲线积分的联系。
§2.2 柯西定理。
柯西定理的内容和应用，孤立奇点，单连通区域，复连通区域，回路积分。
§2.3 不定积分*。
原函数。
§2.4 柯西公式。
柯西公式的导出，高阶导数的积分表达式。
（模数原理及刘维定理不作要求）本章重点：柯西定理，柯西公式和孤立奇点。
§2.1 复变函数的积分（一）复变函数的积分（简称复积分）1.复积分的定义曲线l 是分段光滑曲线（起点0()A z ，终点()n B z ）；()f z 在l 上连续；（光滑曲线：曲线上每一点都有切线）。
把曲线l 分成n 小段，1k k z z -→是第k 小段，在1[]k k z z --上任取一点k ζ，求和111()()=()nnkk k k k k k f z z f z ζζ-==-∆∑∑，当n →∞而且每个k z ∆都趋于零时，如果这个和的极限存在，而且其值与各个k ζ的选取无关，则这个和的极限称为函数()f z 沿曲线l 从A ，终点B 的路积分，记作()lf z dz ⎰，即max 01()lim()k nkk lz k f z dz f z ζ∆→==∆∑⎰(2.1.1)2. 复积分的计算方法复变函数积分可以分解为两个实积分来计算。
即：()(,)(,)f z u x y iv x y =+，dz dx idy =+(,)(,)(()[(,),(,)]())(,)llllu x y dx v x y d f z dz u x y iv x y dx idy i y v x y dx u x y dy-+=++=+⎰⎰⎰⎰3. 复积分的性质复变函数的路积分可以归结为两个实变函数的线积分，因而实变函数线积分的许多性质也对路积分成立，如(1)常数因子可以移到积分号之外；()d ()d llcf z z c f z z =⎰⎰(2)函数和的积分等于各个函数的积分和；[]1212()()......()()().......()nnll l l f z f z f z dz f z dz f z dz f z dz +++=+++⎰⎰⎰⎰(3)反转积分路径，积分变号；()()l lf z dz f z dz +-=-⎰⎰(4)全路径上的积分等于各段上的积分和。
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证明 设A、B分别为两积分 曲线的起点和终点，如图2.6 所示．
因为l1,与l2- (l2- 与l2重合但反 向)构成闭曲线l，由柯西定 理可得
(2.2.6)
移项，利用复变积分的性质(2)，即有
(2.2.7)
23
§2.2.2 原函数与定积分公式
既然单通区域中解析函数的积分与路径无关， 设积分路径的起点为定点z0，终点为动点z, 则 积分上限的函数 (2.2.8)
第二章 复变函数的积分
2.1. 复变积分的定义、性质 2.2. 柯西定理、原函数与定积分公式 2.3. 柯西公式
复变函数的积分是研究解析函数的重要 工具解析函数特有的积分性质:
柯西定理、柯西公式、高阶导数公式、 最大模定理等，
它们是今后解决许多理论与实际问题的 重要基础.
1
§2.1.1 复变函数积分的定义
§2.2.1 单通区域的柯西定理
定理 若函数f(z)在单通区域D 内解析，则f(z)在D内沿任意 闭曲线的积分为零
∮l f(z)dz = 0 (2.2.1)
证明 这个定理的严格证明比较复 杂, 为简单起见, 我们在“f(z)在D 内连续” 附加条件下证明这个定 理．
先将复变积分化为两个实变积 分的线性叠加
sinq >2q/p ； 而在闭区间[0,p/2 ]的端点，有sinq = 2q/p。
14
【2.1.4】试证明 若当引理：若z在上半平 面及实轴上趋于∞时，f(z)一致地趋于零 (与辐角无关)，则
式中m>0，CR是以原点 为圆心、R为半径的上 半圆周，参看图2.3.
15
证明 当z 在CR上时，z=Reiq，由复变积
(2)掉转积分路径的方向，积分变号，即
式中l-与l重合，但方向相反
8
(3) 若f1(z)与f2(z)沿L的积分存在，则
(2.1.10) 上式还可推广为有限多项函数和、差的情形． (4) 被积函数中的任意复常数a 可提出积分号外， 即
9
(5) 复变积分的模不大于被积函数的模沿曲线 的实变线积分，即
(2.2.2)
20
其次, 考查上述两个实变积分在什么条件下为零？
设l为D内任一闭曲线(图2.5), 若函数P(x,y),
Q(x,y) 以及
在D内连续，则格林公式
成立
由f(z)在 D内解析及 f’(z)在D内连续可得u,v
及ux,uy,vz,vy连续，将格林公式与C-R条件 代入式(2.2.2)，可得
(3)沿抛物线x=t, y=t2，其中1≤ t ≤2，见图 2.2(c)．
4
解 (1) 直线方程为 先将 z=x+iy 代入被积表达式，
随后将 y=3x-2 代入，即有
5
(2) 在1+i到2+i段 有 y=1，dy=o；
在2+i到2+4i段 有 x=2，dx=0，
因而
6
(3) 将z=x+iy=t(1+it)及dz＝(1+i2t)dt 代入，即有
设L为复平面上的曲线，函 数f(z)在L上有定义，将曲
线L任意分成n段，xk是第k 段［zk-1，zk］上的任一
点．令n→∞，且每一段的 长度|Dz|→0时，若和式的 极限
存在，且与弧段的分法及各xk的选取无关，则称此
极限为f(z)沿曲线L的积分，记作
2
§2.1.2 复变积分的计算方法
(1) 化为两个实变线积分计算． 将 f(z) = u+iv 及 dz = dx+idy 代入，即有
(2.1.3)
(2) 化为参数积分计算．设积分曲线L的参数方程为z(t)，
将z(t)及dz(t)＝z'(t)dt代入式(2.1.4)，可得
3
【例2.1.1】计算积分I=
其中曲线L是
(1)沿1+ i 到2+4 i 的直线，见图2.2(a)；
(2)沿1+ i 到2+i，再到2+4 i 的折线，见图2.2(b)；
证明 式(2.1.16)中的 积分是一个复数，只 要证明，当R→∞时这 个复数的模为零，则 式(2.1.16)得证.
12
根据复变积分性质(5)及式(2.1.15)，易得
13
【2.1.3】试证明 若当(Jordan)不等式
证明 分别作出
y1=2q/p 及
y2 = sinq 的函数 曲线图(图2.4). 易见在开区间 (0,p/2)中，有
u = v x y u = - v y x
21
推论1 若f(z)在闭单通区域 中解析，则 f(z)沿 的边界L的积分为零．
证明 按定义, f(z)在包含 的某个开区域D+内 解析，这样 的边界线L就是D +内部的一条 闭曲线．根据柯西定定理可知, f(z)沿L的积分 为零
(2.2.5)
22
推论2 若f(z)在单通区域D内解析，则 ∫l f(z)dz 与路径无关。
分性质(5)可得
将积分(2.1.19)分为两项: 0由p/2的积分与由p/2 到p的积分．第二项先作变换 q = p-j，再用q 表示j，两项合并后利用若当不等式，即有
16
17
综合式(2.1.20)和式(2.1.19)式，并利用题设条件
(2.1.21)
由复变积分性质(5)导出的例2.1.2和例2.1.4这 两个结论，将会启发我们怎样用留数定理计 算实变积分，见4.2节．
证明由实变函数线积分的定义出发，并利用 “矢量之和的长度不大于矢量长度之和” ， 以及复变积分的定义，即有
10
(6)若在曲线 l 上, max|f(z)|=M, 曲线 l 的长度为
l ，则
11
【2.1.2】试证明，若z在上半平面及实轴上趋 于∞时, zf(z)一致地趋于零(与辐角无关)，即
则f(z)沿图2.3中无穷大半圆周CR的积分
对于解析函数的积分，还具有一些特有的性 质，由2.2节、2.3节介绍的柯西定理、柯西公 式、最大模定理等反映．
18
§2.2 解析函数的柯西定理 原函数与定积分公式
柯西定理：解析函数积分理论的基本定理，从 积分的角度给出解析函数在其解析 区域取值的关联性．
C-R条件: 在解析点, f(z)的实部与虚部取值的 关联性；
x=t, y=t2
本题沿三个不同路径的积分值相同，但是 “积分与路径无关”这个结果不是必然的．
7
§2.1.3 复变积分的性质 既然复变积分可归结为实变积分，因此，复变
积分的许多性质是实变积分的直接推广。对 于这些性质，我们将不则
因为l1,与l2- (l2- 与l2重合但反 向)构成闭曲线l，由柯西定 理可得
(2.2.6)
移项，利用复变积分的性质(2)，即有
(2.2.7)
23
§2.2.2 原函数与定积分公式
既然单通区域中解析函数的积分与路径无关， 设积分路径的起点为定点z0，终点为动点z, 则 积分上限的函数 (2.2.8)
第二章 复变函数的积分
2.1. 复变积分的定义、性质 2.2. 柯西定理、原函数与定积分公式 2.3. 柯西公式
复变函数的积分是研究解析函数的重要 工具解析函数特有的积分性质:
柯西定理、柯西公式、高阶导数公式、 最大模定理等，
它们是今后解决许多理论与实际问题的 重要基础.
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§2.1.1 复变函数积分的定义
§2.2.1 单通区域的柯西定理
定理 若函数f(z)在单通区域D 内解析，则f(z)在D内沿任意 闭曲线的积分为零
∮l f(z)dz = 0 (2.2.1)
证明 这个定理的严格证明比较复 杂, 为简单起见, 我们在“f(z)在D 内连续” 附加条件下证明这个定 理．
先将复变积分化为两个实变积 分的线性叠加
sinq >2q/p ； 而在闭区间[0,p/2 ]的端点，有sinq = 2q/p。
14
【2.1.4】试证明 若当引理：若z在上半平 面及实轴上趋于∞时，f(z)一致地趋于零 (与辐角无关)，则
式中m>0，CR是以原点 为圆心、R为半径的上 半圆周，参看图2.3.
15
证明 当z 在CR上时，z=Reiq，由复变积
(2)掉转积分路径的方向，积分变号，即
式中l-与l重合，但方向相反
8
(3) 若f1(z)与f2(z)沿L的积分存在，则
(2.1.10) 上式还可推广为有限多项函数和、差的情形． (4) 被积函数中的任意复常数a 可提出积分号外， 即
9
(5) 复变积分的模不大于被积函数的模沿曲线 的实变线积分，即
(2.2.2)
20
其次, 考查上述两个实变积分在什么条件下为零？
设l为D内任一闭曲线(图2.5), 若函数P(x,y),
Q(x,y) 以及
在D内连续，则格林公式
成立
由f(z)在 D内解析及 f’(z)在D内连续可得u,v
及ux,uy,vz,vy连续，将格林公式与C-R条件 代入式(2.2.2)，可得
(3)沿抛物线x=t, y=t2，其中1≤ t ≤2，见图 2.2(c)．
4
解 (1) 直线方程为 先将 z=x+iy 代入被积表达式，
随后将 y=3x-2 代入，即有
5
(2) 在1+i到2+i段 有 y=1，dy=o；
在2+i到2+4i段 有 x=2，dx=0，
因而
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(3) 将z=x+iy=t(1+it)及dz＝(1+i2t)dt 代入，即有
设L为复平面上的曲线，函 数f(z)在L上有定义，将曲
线L任意分成n段，xk是第k 段［zk-1，zk］上的任一
点．令n→∞，且每一段的 长度|Dz|→0时，若和式的 极限
存在，且与弧段的分法及各xk的选取无关，则称此
极限为f(z)沿曲线L的积分，记作
2
§2.1.2 复变积分的计算方法
(1) 化为两个实变线积分计算． 将 f(z) = u+iv 及 dz = dx+idy 代入，即有
(2.1.3)
(2) 化为参数积分计算．设积分曲线L的参数方程为z(t)，
将z(t)及dz(t)＝z'(t)dt代入式(2.1.4)，可得
3
【例2.1.1】计算积分I=
其中曲线L是
(1)沿1+ i 到2+4 i 的直线，见图2.2(a)；
(2)沿1+ i 到2+i，再到2+4 i 的折线，见图2.2(b)；
证明 式(2.1.16)中的 积分是一个复数，只 要证明，当R→∞时这 个复数的模为零，则 式(2.1.16)得证.
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根据复变积分性质(5)及式(2.1.15)，易得
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【2.1.3】试证明 若当(Jordan)不等式
证明 分别作出
y1=2q/p 及
y2 = sinq 的函数 曲线图(图2.4). 易见在开区间 (0,p/2)中，有
u = v x y u = - v y x
21
推论1 若f(z)在闭单通区域 中解析，则 f(z)沿 的边界L的积分为零．
证明 按定义, f(z)在包含 的某个开区域D+内 解析，这样 的边界线L就是D +内部的一条 闭曲线．根据柯西定定理可知, f(z)沿L的积分 为零
(2.2.5)
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推论2 若f(z)在单通区域D内解析，则 ∫l f(z)dz 与路径无关。
分性质(5)可得
将积分(2.1.19)分为两项: 0由p/2的积分与由p/2 到p的积分．第二项先作变换 q = p-j，再用q 表示j，两项合并后利用若当不等式，即有
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综合式(2.1.20)和式(2.1.19)式，并利用题设条件
(2.1.21)
由复变积分性质(5)导出的例2.1.2和例2.1.4这 两个结论，将会启发我们怎样用留数定理计 算实变积分，见4.2节．
证明由实变函数线积分的定义出发，并利用 “矢量之和的长度不大于矢量长度之和” ， 以及复变积分的定义，即有
10
(6)若在曲线 l 上, max|f(z)|=M, 曲线 l 的长度为
l ，则
11
【2.1.2】试证明，若z在上半平面及实轴上趋 于∞时, zf(z)一致地趋于零(与辐角无关)，即
则f(z)沿图2.3中无穷大半圆周CR的积分
对于解析函数的积分，还具有一些特有的性 质，由2.2节、2.3节介绍的柯西定理、柯西公 式、最大模定理等反映．
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§2.2 解析函数的柯西定理 原函数与定积分公式
柯西定理：解析函数积分理论的基本定理，从 积分的角度给出解析函数在其解析 区域取值的关联性．
C-R条件: 在解析点, f(z)的实部与虚部取值的 关联性；
x=t, y=t2
本题沿三个不同路径的积分值相同，但是 “积分与路径无关”这个结果不是必然的．
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§2.1.3 复变积分的性质 既然复变积分可归结为实变积分，因此，复变
积分的许多性质是实变积分的直接推广。对 于这些性质，我们将不则