竖曲线习题
竖曲线习题
竖曲线练习题1、设在桩号K2 ＋600 处设一竖曲线变坡点，高程m . i1 =1%, i2 = －2%,竖曲线半径3500 m试计算竖曲线个点高程（20m整桩即能被20整除的桩号）解：ω= i2 －i1 = -2% －1% = -3% 为凸曲线。
曲线长L = Rω= 3500× = 105 m . 切线长T = L/2 = 105÷2 = m竖曲线起点桩号= (K2 ＋600 ) －= K2 ＋竖曲线终点桩号= ( K2 ＋600) ＋= K2 ＋竖曲线起点高程= －× = m竖曲线终点高程= －× = m各20 m整桩K2＋560 X1 = （K2 + 560）－( K2 + = mh1 =X2/2R = ÷7000 = m切线高程: －[(K2 + 600) －(K2 + 560)] X = m设计高程－= mK2＋580 X1 = （K2 + 580）－( K2 + = mh1 =X2/2R = ÷7000 = m切线高程: －((K2 + 600) －(K2 + 580)) X = m设计高程－= mK2＋600 X1 = T =（K2 + 6000）－( K2 + = mh1 =X2/2R = ÷7000 = m切线高程: m设计高程－= mK2＋620 X1 = （K2 + ）－( K2 +620) = mh1 =X2/2R = ÷7000 = m切线高程: －((K2 + 620) －(K2 + 600)) X =设计高程－= 9mK2＋640 X1 = （K2 + ）－( K2 +640) = mh1 =X2/2R = ÷7000 = m切线高程: －[(K2 + 640 －(K2 + 600)] X = m长度不小于500 m 。
试确定竖曲线最小半径值并计算K1 ＋800 、K1 ＋840、K1 ＋860 设计高程。
道路勘测设计【习题+答案】
道路勘测设计习题一、单选题1、《公路工程技术标准》中规定的各级公路所能适应的交通量是指（A ）。
A. 年平均日交通量B. 日平均小时交通量C.最大交通量2、公路设计时确定其几何线形的最关键的参数是（C ）。
A. 设计车辆 B .交通量 C. 设计车速3、超高附加纵坡度，是指超高后的（ B ）纵坡比原设计纵坡增加的坡度。
A.外侧路肩边缘B.外侧路面边缘C.路面中心4、公路弯道加宽一般在（ B ）进行。
A. 外侧B. 内侧 C .两侧同时5、高速、一级公路一般情况下应保证（A ）。
A .停车视距 B.会车视距 C .超车视距6、一般公路在高路堤情况下的超高构成可采用（ B ）。
A. 内边轴旋转B.外边轴旋转C. 中轴旋转7、公路直线部分的路拱横坡度为2%，则公路圆曲线部分最小超高横坡度应是（ B ）。
A. 3%B. 2%C.非定值8、汽车行驶时的理论轨迹为（ C ）。
A. 二次抛物线B. 高次抛物线C.回旋曲线9、二、三、四级公路的路基设计标高一般是指（C ）。
A. 路基中线标高B.路面边缘标高C.路基边缘标高10、凸形竖曲线最小长度和最小半径地确定，主要根据（ A ）来选取其中较大值。
A. 行程时间、离心力和视距B. 加速度、行车时间和离心力C.加速度、行车时间和视距11、汽车在公路上行驶，当牵引力等于各种行驶阻力的代数和时，汽车就（ B ）行驶。
A. 加速B. 等速C. 减速D. 无法确定12、在平原区，纵断面设计标高的控制主要取决于（ A ）A. 路基最小填土高度B. 土石方填挖平衡C. 最小纵坡和坡长13、路基填方用土取“调”或“借”的界限距离称为（ A ）。
A. 经济运距B.平均运距C. 超运运距14、绘制横断面图的比例尺一般为（ B ）。
A. 1：100B. 1：200C. 1：50015、平原区布线应合理考虑路线与城镇的关系，一般是（ C ）。
A.穿过城镇B.离开城镇C.靠近城镇16、导线交点内侧有障碍物，曲线半径一般应根据（ C ）来确定。
竖曲线计算实例
竖曲线计算实例第二节竖曲线设计纵断面上相邻两条纵坡线相交得转折处,为了行车平顺用一段曲线来缓与，这条连接两纵坡线得曲线叫竖曲线。
竖曲线得形状，通常采用平曲线或二次抛物线两种。
在设计与计算上为方便一般采用二次抛物线形式。
纵断面上相邻两条纵坡线相交形成转坡点，其相交角用转坡角表示.当竖曲线转坡点在曲线上方时为凸形竖曲线，反之为凹形竖曲线.一、竖曲线如图所示，设相邻两纵坡坡度分别为ｉ１与i２,则相邻两坡度得代数差即转坡角为ω= ｉ１－i2 ,其中i1、ｉ2为本身之值,当上坡时取正值，下坡时取负值。
当ｉ１—ｉ2为正值时，则为凸形竖曲线。
当 i1 - i2为负值时,则为凹形竖曲线。
(一）竖曲线基本方程式我国采用得就是二次抛物线形作为竖曲线得常用形式。
其基本方程为:若取抛物线参数为竖曲线得半径，则有:(二)竖曲线要素计算公式竖曲线计算图示１、切线上任意点与竖曲线间得竖距通过推导可得:2、竖曲线曲线长： L ＝Rω3、竖曲线切线长： T= T A=ＴＢ≈Ｌ／2 =４、竖曲线得外距： E =⑤竖曲线上任意点至相应切线得距离：式中:ｘ—为竖曲任意点至竖曲线起点（终点)得距离，ｍ；R-为竖曲线得半径,m。
二、竖曲线得最小半径（一）竖曲线最小半径得确定1、凸形竖曲线极限最小半径确定考虑因素(1)缓与冲击汽车行驶在竖曲线上时，产生径向离心力,使汽车在凸形竖曲线上重量减小,所以确定竖曲线半径时，对离心力要加以控制。
（2）经行时间不宜过短当竖曲线两端直线坡段得坡度差很小时,即使竖曲线半径较大,竖曲线长度也有可能较短，此时汽车在竖曲线段倏忽而过，冲击增大,乘客不适;从视觉上考虑也会感到线形突然转折。
因此,汽车在凸形竖曲线上行驶得时间不能太短,通常控制汽车在凸形竖曲线上行驶时间不得小于３秒钟。
（3）满足视距得要求汽车行驶在凸形竖曲线上，如果竖曲线半径太小,会阻挡司机得视线。
为了行车安全,对凸形竖曲线得最小半径与最小长度应加以限制.2、凹形竖曲线极限最小半径确定考虑因素（１)缓与冲击：在凹形竖曲线上行驶重量增大；半径越小,离心力越大；当重量变化程度达到一定时,就会影响到旅客得舒适性，同时也会影响到汽车得悬挂系统。
竖曲线计算原理
式中： 式中：R——抛物线顶点 抛物线顶点 处的曲率半径
A
B
一、竖曲线要素的计算公式 竖曲线的基本方程式： 1．竖曲线的基本方程式：设变坡点相邻两纵坡坡 度分别为i 抛物线竖曲线有两种可能的形式： 度分别为i1和i2。抛物线竖曲线有两种可能的形式： 包含抛物线底（ （1）包含抛物线底（顶）部； 不含抛物线底（ （2）不含抛物线底（顶）部。
2．时间行程不过短 ．时间行程不过短 最短应满足3 行程。 最短应满足3s行程。
Lmin V V = t= 3.6 1.2 则 Rmin V = = ω 1.2ω L min
3．满足视距的要求： 满足视距的要求： 凸形竖曲线： 凸形竖曲线：坡顶视线受阻 凹形竖曲线： 凹形竖曲线：下穿立交 4. 凸形竖曲线主要控制因素：行车视距。 凸形竖曲线主要控制因素：行车视距。 凹形竖曲线的主要控制因素：缓和冲击力。 凹形竖曲线的主要控制因素：缓和冲击力。
1 2 y= x + i1 x 2k 式中： 式中：k——抛物线顶点 抛物线顶点 处的曲率半径 ；
B
i1——竖曲线顶 竖曲线顶 点处切线的坡度。 （底）点处切线的坡度。
A
对竖曲线上任一点P 其切线的斜率（纵坡） 对竖曲线上任一点P，其切线的斜率（纵坡）为
iP = dy x = + i1 dx k
当x=0时，ip=i1； 时 当x=L时， i = L + i = i 时 p 1 2
T2 Lω Tω E= ，E上任一点竖距 ： ）竖曲线上任一点竖距h：
x2 x2 h = PQ = y P − yQ = + i1 x − i1 x = 2R 2R
下半支曲线在竖曲线终点的切线上的竖距h’ 下半支曲线在竖曲线终点的切线上的竖距 ’为：
工程测量习题集
一、填空题：1、地下施工测量中，地下控制应和地面控制采用相同的的坐标系统和高程系统。
这可以通过联系测量来实现。
2、地下建筑物施工测量一般采用现场标定法和解析法。
3、隧道贯穿误差包括纵向贯穿误差、横向贯穿误差和高程贯穿误差。
4、隧道施工精度主要取决于横向贯穿误差和高程贯穿误差。
5、在施工期间，临时水准点的密度应保证放样时只设1个测站，即能将高程传递到建筑物上。
6、隧道中线方向进洞的类型有直线进洞和曲线进洞两种类型。
7、地下导线的三种类型是施工导线、根本导线和主要导线。
8、对于直线型的隧道而言，常用的平面测量类型有中线法和串线法。
9、隧道施工中的测量工作主要任务有定方向、检查施工进度和计算土方量。
二、简答题1、举例说明什么是地下工程2、地下建筑物的施工测量主要包括哪些内容？3、常用的地下建筑物施工测量方法4、地下施工测量的内容5、贯穿误差概念、分类及来源6、什么是进洞数据的推算7、直线进洞数据有哪些？8、曲线进洞的过程9、地下控制测量的内容10、地下导线的特点地下导线布设时的考前须知11、隧道开挖中测量常用的方法，各有何优缺点？12、施工测量的内容有哪些？13、贯穿误差的测定方法14、调整贯穿误差的方法15、地下高程测量与地面高程测量有何不同之处？16、地下工程的地面控制测量有哪些方法和技术？17、地下工程测量有哪些特点？18、何谓联系测量？20、高程联系测量有几种方法？21、简述隧道施工和竣工测量的内容。
22、在深基坑或高楼施工时，通常采用什么方法传递高程的？三、判断题1、隧道的贯穿精度主要取决于纵向贯穿误差和高程贯穿误差。
2、隧道的横向贯穿误差仅受导线测角误差的影响。
第九章竖井联系测量与陀螺经纬仪测量一、填空题1、竖井联系测量是将地面控制中的坐标、方向及高程经由竖井传递到地下去。
2、按照地下控制网与地面上联系的不同，定向方法可以分为一井定向、两井定向、横洞〔斜井〕定向和陀螺经纬仪定向。
3、一井定向在地面上测量的数据有两吊锤线的坐标X、Y以及连线的方向角。
《铁路选线》习题
《铁路设计基础》套题练习适用专业：铁道工程技术专业编写：刘淑娟班级：学号:姓名：注：每位同学必须人手一册，自觉动手练习，有问题集体处理。
第一章铁路能力习题一一、填空题1、铁路运送货物的生产量用（吨 公里）衡量。
2、铁路设计使用的规程和规范主要有：（铁路技术管理）规程，（铁路线路设计）规范。
3、近期通过能力是指运营后的第（ 5 ）年通过能力。
4、远期运量是指运营后的第（10 ）年运量。
5、初期为交付运营后第( 3 )年的客货运量。
6、（机车牵引力）是与列车运行方向相同并可由司机根据需要调解的外力。
7、根据列车运行阻力的性质可分为（基本）阻力、（附加）阻力和（起动）阻力三类。
8、我国《列车牵引计算规程》中规定：以（轮周牵引力）来衡量和表示机车牵引力的大小。
.9、机车车钩牵引力是指机车用来牵引列车的牵引力，其值等于轮周牵引力减去机车全部（运行阻力）。
10、列车阻力是（机车）阻力和（车辆）阻力之和。
11、单位阻力的单位是（N/t ）。
12、列车在曲线上运行比在直线上运行的阻力大，增大的部分称为（曲线附加阻力）。
13、牵引质量就是机车牵引的车列质量，也称（牵引力吨数）。
14、列车的制动距离是指（制动空走距离）和（有效制动距离）之和。
紧急制动时，对于时速120KM及以下列车，我国目前规定允许的最大制动距离为（800 ）米。
15、铁路每昼夜可以通过的列车对数称为（通过能力）。
16、铁路输送能力是铁路（单方向每年）能运送的货物吨数。
17、设计线的吸引范围按运量性质划分为（直通吸引范围）和(地方吸引范围)两种。
18、铁路能力是指（运输）能力和（通过）能力。
19、正线数目是指连接并贯穿（车站）的线路的数目。
二、判断题（正确打√错误打×）1、设计线的主要技术标准在一定程度上影响线路走向的选择，同样的运输任务，采用大功率机车，可采用较大的坡度值，使线路有可能更靠近短直方向。
（√）2、紧坡地段和缓坡地段的定线方法是相同的。
竖曲线计算公式
竖曲线计算公式竖曲线是一种重要的曲线，它存在于大多数物理曲线中，例如比较一个物体施加力和物体受到力的关系，我们可以用竖曲线来描述。
在数学中，需要根据曲线的特性来计算曲线上某一点的坐标，而这就要求我们弄清竖曲线的计算公式。
首先，我们来讨论竖曲线的定义，竖曲线是指按照特定的模式画出的曲线，即x轴和y轴的关系。
这种模式可以用多项式来描述。
一般来说，竖曲线可以用一阶或更高阶多项式拟合，也就是说，可以用y=ax+b来描述一阶多项式，而用y=ax2+bx+c来描述二阶多项式。
其次，我们来讨论竖曲线的计算公式。
首先，如果要求一阶多项式拟合的曲线，则可以使用最小二乘法来求解。
根据最小二乘法的原理，我们需要将曲线上的点分别求出，然后根据两点之间的距离计算出曲线的系数a和b，最后将a和b代入y=ax+b求得该曲线的一阶多项式拟合曲线。
再比如要求二阶多项式拟合的曲线，也可以使用最小二乘法。
但在这种情况下，我们需要将曲线上的点分别求出，然后根据三点之间的距离计算出曲线的系数a、b和c，最后将a、b和c代入y=ax2+bx+c 求得该曲线的二阶多项式拟合曲线。
有时候，曲线的系数不可能精确地求出，例如曲线系数b和c有可能接近于0，此时，使用“拟合法”来求解曲线的系数就会比较简单。
拟合法的基本思想是，我们可以将曲线上的点拟合到一条直线上，这就是一阶多项式拟合，然后以一阶多项式拟合的直线为基础，得出曲线系数b和c，最后再将b和c代入y=ax2+bx+c求得该曲线的二阶多项式拟合曲线。
拟合法可以节省计算的时间和空间，而且它的效果比较准确。
另外，对于特殊形状的竖曲线，例如指数形状、正弦形状、余弦形状等，可以使用除最小二乘法外的其他方法来求解曲线系数，例如加权最小二乘法、最小均方误差法等。
综上所述，竖曲线的计算公式可以分为2类：一阶多项式拟合和二阶多项式拟合。
对于前者，我们可以使用最小二乘法来求解；而对于后者，我们可以使用拟合法或其他方法来求解。
道路勘测设计第三版答案
道路勘测设计第三版答案道路勘测设计第三版答案【篇一：道路勘测设计第三章课后习题参考答案】线计算3-9 某条道路变坡点桩号为k25+460.00，高程为780.72m，i1＝0.8％，i2＝5％，竖曲线半径为5000m。
（1）判断凸、凹性；（2）计算竖曲线要素；（3）计算竖曲线起点、k25+400.00、k25+460.00、k25+500.00、终点的设计高程。
l/2＝105.00 m e=t2/2r＝1.10 m（3）设计高程竖曲线起点桩号：k25+460-t＝k25+355.00竖距：h＝x2/2r＝0.20 m设计高程：780.24+0.20＝780.44 mk25+460：变坡点处设计高程=变坡点高程+e=780.72+1.10＝781.82 m竖曲线终点桩号：k25+460+t＝k25+565两种方法 1）从竖曲线起点开始计算横距：x＝（k25+500）-（k25+355.00）＝145m 竖距：h＝x2/2r＝2.10 m 切线高程（从3-10 某城市i级主干道，其纵坡分别为i1＝-2.5％、i2＝+1.5％，变坡点桩号为k1+520.00，标高为429.00m，由于受地下管线和地形限制，曲线中点处的标高要求不低于429.30m，且不高于429.40m，试确定竖曲线的半径，并计算k1+500.00、k1+520.00、k1+515.00点的设计标高。
竖曲线中点处的设计高程为变坡点高程加外距，则外距的取值范围为e=（429.30-429，429.40-429）＝（0.30，0.40）设计高程计算：设计高程＝429.50+0.07＝429.57 mk1+520.00处：设计高程＝429.00+0.36＝429.36m设计高程＝429.375+0.27＝429.39 m3-11 某平原微丘区二级公路，设计速度80km/h，有一处平曲线半径为250m，该段纵坡初定为5%，超高横坡为8%，请检查合成坡度，若不满足要求时，该曲线上允许的最大纵坡度为多少？解答：根据《公路路线设计规范》，二级公路、设计速度80km/h，最大合成坡度值应取9.0% 22225%8%9.4349.0zhiii=++＝＝％％，不满足要求允许的最大纵坡 22229%8%4.123zhiii=?+＝＝％【篇二：道路勘测设计课后答案第三版杨少伟】二章汽车行驶特性2.1 已知某条道路的滚动阻力系数为0.015，如果东风eq－140型载重汽车装载90％时，挂iv档以30km/h的速度等速行驶，试求（1）h＝0，（2）h=1500m海拔高度上所能克服的最大坡度。
工程测量学习题考点
工程测量学一、名词解释1、工程控制网的优化设计2、外可靠性3、交点转向角4、变形监测5、工程测量学6、极坐标法放样7、竖曲线8、内可靠性 9、Ⅰ类优化设计 10、准则矩阵 11、Ⅱ类优化设计12、零类优化设计 13、插大旗 14、变形 15、线路工程测量16、铁路线路测量17、机助模拟法优化设计 18、初测 19、初步设计20、定测 21、路基边坡放样 22、纵横断面图二、判断题以下说法是否正确？正确的打“√”，错误的打“╳”。
1、观测成果的外业检核是确保外业观测质量，实现预期测量精度的重要环节。
（）2、外业观测成果的检核，只能说明观测值中是否含有大的粗差，而观测值中小的粗差以及控制网本身的精度和可靠性如何，还需要通过网平差来实现。
（）3、控制网的非经典自由网平差，是仅具有必要起始数据的平差方法。
对于高程网来说，即仅具有一个起始点，其高程值在平差中保持不变。
（）4、控制网的经典自由网平差，是仅具有必要起始数据的平差方法。
对于高程网来说，即仅具有一个起始点，其坐标值在平差中保持不变。
（）5、根据多余观测分量，仅能得知观测误差或粗差在多大程度上被平差系统所吞没，以及在多大程度上反映到残差中来。
（）6、控制网的外可靠性亦称观测的可控性，是指在一定的显著水平和检验功效下，用数理统计方法所能探测出的在观测值中存在的最小粗差。
（）7、控制网的内可靠性，是指每个可识别的粗差临界值，即可识别的最小粗差，对平差的未知参数及其这些参数的函数的影响。
（）8、在控制网的设计中，可考虑采用改善网的图形结构来提高网的整体可靠性；对个别观测值，可考虑提高观测精度来改善该观测值的可靠性。
（）9、变形监测网与一般的工程控制网相比，具有较高的精度和灵敏度、以及较好的可区分性。
（）10、工程控制网的质量标准是指整体精度标准、局部精度标准和费用。
（）11、对于一个控制网，其精度越高，则可靠性越好。
（）12、某一观测值的多余观测分量表示该观测值在总的多余观测数中所占的份额。
《工程测量学》习题集部分参考答案
安徽理工大学地球与环境学院测绘与空间信息工程系 余学祥 吕伟才 编
.２５.
《工程测量学》习题集与部分参考答案
英文缩写 COSA 的译音,同时也有“用高科技集成的傻瓜式测量系统”的寓意，它由三个 子系统组成：
(1)“基于掌上型电脑的控制测量数据采集和处理系统”，也称“科傻 1(COSA1)； (2)“现代测量控制网数据处理通用软件包”，也称“科傻 2”(COSA2)； (3)“施工放样测量通用软件包”，也称“科傻 3”(COSA3)。 18、插大旗 在铁路新线建设中，根据方案研究中在小比例尺地形图上所选线路位置，在野外用 “红白旗’标出其走向和大概位置，并在拟定的线路转向点和长直线的转点处插上标旗， 为导线测量及各专业调查指出进行的方向。此项工作称为插大旗。 19、示误三角形 采用三方向前方交会放样点的平面位置时，由于放样交会角误差的影响，在交会点 处三方向将不能交会于一点而出现一个三角形，该三角形称为示误三角形。 21、变形 变形是自然界普遍存在的现象，是指变形体在各种荷载作用下，其形状、大小及位 置在时间域和空间域中的变化。 22、DTM 数字地面模型的英文缩写，是描述地面诸特性空间分布的有序数字阵列，在最通常 的情况下，所记的地面特性是地面点高程 Z，它们的空间分布由地面点平面坐标（X，Y） 来描述。 23、线路工程测量 为铁路与公路、石油与燃气管道、水渠与排灌管道、输电与通讯线路及架空索道等 线性工程的勘察设计、施工安装与运营管理等阶段所进行的测量工作统称为线路工程测 量。 24、铁路线路测量 铁路线路测量是指铁路线路在勘测、设计和施上等阶段户所进行的各种测量工作。 它主要包括：为选择和设计铁路线路中心线的位置所进行的各种测绘工作；为把所设计 的铁路线路中心线标定在地面上的测设工作；为进行路基、轨道、站场的设计和施工的 测绘和测设工作。 25、机助模拟法优化设计 所谓机助模拟优化设计，就是将计算机的计算能力与设计者的判断能力和实际经验 结合起来，利用计算机的屏幕显示功能，通过人机对话，对所设计的方案做不断的修改， 直到设计者满意为止的一种设计方法。它一般不是严格最优方案，但这种设计方法的数 学模型不需建立．因而可用于任何类型的优化设计问题。同时，它的最后结果一定是满 足要求的、切实可行的近似最优方案。
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竖曲线练习题
1、设在桩号K2 ＋600 处设一竖曲线变坡点，高程100.00 m . i1 =1%, i2 = －2%,竖曲线半径3500 m试计算竖曲线个点高程（20m整桩即能被20整除的桩号）
解：ω = i2 － i1 = -2% －1% = -3% 为凸曲线。
曲线长L = R∙ω = 3500×0.03 = 105m . 切线长T = L/2 = 105÷2 = 52.5 m
竖曲线起点桩号= (K2 ＋600 ) －52.5 = K2 ＋547.50
竖曲线终点桩号= ( K2 ＋600) ＋52.5 = K2 ＋652.50
竖曲线起点高程= 100.00 －52.5×0.01 = 99.45 m
竖曲线终点高程= 100.00 －52.5×0.02 = 98.95 m
各20 m整桩
K2＋560 X1 = （K2 + 560）－( K2 +547.5) = 12.5 m
h1 =X²/2R = 12.5 X12.5 ÷7000 = 0.022 m
切线高程:100.00 －[(K2 + 600) －(K2 + 560)] X 0.01 = 99.60 m
设计高程99.60 －0.022 = 99.578 m
K2＋580 X1 = （K2 + 580）－( K2 +547.5) = 32.5 m
h1 =X²/2R = 32.5 X32.5 ÷7000 = 0.151 m
切线高程:100.00 －((K2 + 600) －(K2 + 580)) X 0.01 = 99.80 m
设计高程99.80 －0.151 = 99.649 m
K2＋600 X1 = T =（K2 + 6000）－( K2 +547.5) = 52.5 m
h1 =X²/2R = 52.5 X52.5 ÷7000 = 0.394 m
切线高程:100.00 m
设计高程100.00 －0.394 = 99.606 m
K2＋620 X1 = （K2 + 652.5）－( K2 +620) = 32.5 m
h1 =X²/2R = 32.5 X32.5 ÷7000 = 0.151 m
切线高程:100.00 －((K2 + 620) －(K2 + 600)) X 0.02 = 99.60m
设计高程99.60 －0.151 = 99.49 9m
K2＋640 X1 = （K2 + 652.5）－( K2 +640) = 12.5 m
h1 =X²/2R = 12.5 X12.5 ÷7000 = 0.022 m
切线高程:100.00 －[(K2 + 640 －(K2 + 600)] X 0.02 = 99.2 m
求。
竖曲线长度不小于500 m 。
试确定竖曲线最小半径值并计算K1 ＋800 、K1 ＋840、K1 ＋860 设计高程。
解：ω = i2 － i1 = 1.5% －（－2.5）% = 4% 为凹曲线。
T = L/2 推出R = 2T/ω = 100/0.04 = 2500 m
E = T²/2R =2500/5000 = 0.5 m
竖曲线起点桩号= (K1 ＋840 ) －50 = K1 ＋790
竖曲线终点桩号= ( K1 ＋840) ＋50 = K1 ＋890
K1＋800 X1 = （K1 + 800）－( K1+790) = 10 m
h1 =X²/2R = 100 ÷5000 = 0.02 m
切线高程:200.50 －[(K1+ 840) －(K1 + 800)] X 0.025 = 201.50 m
设计高程201.50 ＋0.02 = 201.52m
K1＋860 切线高程:200.50 m
设计高程200.50 ＋0.50 = 201.00m
K1＋860 X1 = （K1 + 890）－( K1+860) = 30 m
h1 =X²/2R = 900 ÷5000 = 0.18 m
切线高程:200.50 －[(K1+ 860) －(K1 + 800)] X 0.015 = 200.80 m
设计高程200.80 ＋0.18 = 200.98m
3、某公路连续的三个变坡点桩号分别为：K8 + 700、K9 + 100、K9 + 380.对应连续设计标高分别为：77.567 m、65.356 m、68.717 m。
在变坡点K9 + 100处竖曲线半径为3000 m。
求（1）该竖曲线要素及起始点桩号（2）桩号K8 + 980、K9 + 100 K9 + 060、K9 + 150、K9 + 220设计高程.
解：（1）i1 =（65.356－77.756）÷ 400 =－0.031.i2 =（68.717－65.356）÷ 280 =0.012 ω = i2 － i1 =0.012 + 0.031 = 0.043 为凹曲线
曲线长L = R∙ω = 3000×0.043 = 129m . 切线长T = L/2 = 129÷2 = 64.5 m
中心竖距E = T²/2R =64.5 X64.5÷6000 = 0.69 m
竖曲线起点桩号= (K9 + 100 ) －64.5 = K9 + 035.5
竖曲线终点桩号= (K9 + 100) ＋64.5 = K9 + 164.5
（2）
K9 + 060X1 = （K9 + 060）－( K9 + 035.5) = 24.5 m
h1 =X²/2R = 24.5 X 24.5 ÷ 6000 = 0.1 m
切线高程:65.356 ＋[(K9+ 100) －(K9 + 060)] X 0.031 = 66.59 m
设计高程66.59 ＋0.1 = 66.69m
K9 + 150X1 = （K9 + 164.5）－( K9 +150) = 14.5 m
h1 =X²/2R = 14.5 X 14.5 ÷ 6000 = 0.035 m
切线高程:65.356 ＋[(K9+ 150) －(K9 + 100)] X 0.012 = 65.956 m
设计高程:65.956 ＋0.035 = 65.991m
K8 + 980 设计高程:65.356 ＋[(K9+ 100) －(K8 + 980)] X 0.031 = 69.076 m
K9 + 220 设计高程:65.356 ＋[(K9+220) －(K9 + 100)] X 0.012 = 66.796 m。