高考数学专题圆锥曲线(解答题)
全国名校高考数学专题训练08圆锥曲线（解答题1)
1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)设1F 、2F 分别是
椭圆
2
2154
x y 的左、右焦点.
（Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF PF ?的最大值和最小值；
（Ⅱ）是否存在过点A （5，0）的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得|F 2C|=|F 2D|？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 解：（Ⅰ）易知)0,1(),0,1(,1,2,521F F c b a -=∴===
设P （x ，y ），则1),1(),1(2
2
21-+=--?---=?y x y x y x PF PF
35
1
1544222+=--
+x x x ]5,5[-∈x ，
0=∴x 当，即点P 为椭圆短轴端点时，21PF ?有最小值3；
当5±=x ，即点P 为椭圆长轴端点时，21PF ?有最大值4
（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l 易知点A （5，0）在椭圆的外部，当直线l 的斜率不
存在时，直线l 与椭圆无交点，所在直线l 斜率存在，设为k 直线l 的方程为)5(-=x k y
由方程组22
22221(54)5012520054
(5)x y k x k x k y k x ?+
=?+-+-=??=-?
，得
依题意2
20(1680)0k k ?=-><<，得当5
5
55<<-
k 时，设交点C ),(),(2211y x D y x 、，CD 的中点为R ),(00y x ， 则4
5252,455022
2102221+=+=+=+k k x x x k k x x
.4
520)54525()5(22200+-=-+=-=∴k k
k k k x k y
又|F 2C|=|F 2D|122-=??⊥?R F k k l R F
1204204
5251)4520(02
22
222-=-=+-+-
-?=?∴k k k k k k
k k k R
F ∴20k 2
=20k 2
－4，而20k 2
=20k 2
－4不成立，所以不存在直线l ，使得|F 2C|=|F 2D| 综上所述，不存在直线l ，使得|F 2C|=|F 2D|
2、(江苏省启东中学高三综合测试二)已知动圆过定点P （1，0），且与定直线L:x=-1相切，点C 在l 上.
(1)求动圆圆心的轨迹M 的方程；
.B ,A M 3,P )2(两点相交于的直线与曲线且斜率为设过点-
（i ）问：△ABC 能否为正三角形？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由 （ii ）当△ABC 为钝角三角形时，求这种点C 的纵坐标的取值范围.
解：(1)依题意，曲线M 是以点P 为焦点，直线l 为准线的抛物线，所以曲线M 的方程为y 2=4x.
:
y x
4y )1x (3y )1x (3y :AB ,)i )(2(2得消去由的方程为直线由题意得???
=--=--=.
316
2x x |AB |),32,3(B ),332,31(A .3x ,31x ,03x 10x 321212=++=-===+-所以解得
假设存在点C （－1，y ），使△ABC 为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即
),(9314y ,)332y ()34()32y (4:)316()32y ()131(,)316()32y ()13(22222
2222
2舍不符解得相减得-=-+=++?????=-
++=+++
因此，直线l 上不存在点C ，使得△ABC 是正三角形.
（ii ）解法一：设C （－1，y ）使△ABC 成钝角三角形，
.32y ,C ,B ,A ,32y 1x )1x (3y ≠=???
-=--=故三点共线此时得由，
9256)316(|AB |,y 3y 34928)332y ()311(|AC |222222=
=+-=-+--=又， , 392
y ,9256y y 334928y y 3428,|AB ||AC ||BC |22222时即即当>++->
+++>
∠CAB 为钝角.
9256
y y 3428y y 334928,|AB ||BC ||AC |22222+++>+-+>即
当
.CBA 3310
y 为钝角时∠-
<
2
2222y y 3428y 3y
349289256,|BC ||AC ||AB |++++->+>即又
0)32y (,034y 334y :2
2<+<++
即.
该不等式无解，所以∠ACB 不可能为钝角.
因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是:
)32(93
23310≠>-
解法二：以AB 为直径的圆的方程为: 38 1x :L )332,35()38()332y ()35x (222的距离为 到直线圆心-=-=++-. ).33 2,1(G L AB ,--相切于点为直径的圆与直线以所以 当直线l 上的C 点与G 重合时，∠ACB 为直角，当C 与G 点不重合，且A ， B ，C 三点不共线时，∠ACB 为锐角，即△ABC 中∠ACB 不可能是钝角. 因此，要使△ABC 为钝角三角形，只可能是∠CAB 或∠CBA 为钝角. 93 2y 1x ).31x (33332y :AB A =-=-=- 得令垂直的直线为且与过点. 3310 y 1x ),3x (3332y :AB B -=-=-= +得令垂直的直线为且与过点. , )32,1(C ,,32y 1x )1x (3y 时的坐标为当点所以解得又由-=??? -=--= A ，B ，C 三点共线，不构成三角形. 因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是： ).32(93 23310≠>- 3、(江苏省启东中学高三综合测试三)（1）在双曲线xy=1上任取不同三点A 、B 、C ，证明： ⊿ABC 的垂心H 也在该双曲线上； （2）若正三角形ABC 的一个顶点为C(―1,―1)，另两个顶点A 、B 在双曲线xy=1另一支上，求顶点A 、B 的坐标。 解：（1）略；（2）A(2+3,2－3), B(2－3,2+3)或A(2－3,2+3), B(2+3,2－3) 4、(江苏省启东中学高三综合测试四)已知以向量v =(1, 2 1 )为方向向量的直线l 过点(0, 4 5)，抛物线C ：px y 22 =(p >0)的顶点关于直线l 的对称点在该抛物线上． （Ⅰ）求抛物线C 的方程； （Ⅱ）设A 、B 是抛物线C 上两个动点，过A 作平行于x 轴的直线m ，直线OB 与直线m 交于点N ，若02 =+?p (O 为原点，A 、B 异于原点)，试求点N 的轨迹方程． 解：（Ⅰ）由题意可得直线l ：4 521+= x y ① 过原点垂直于l 的直线方程为x y 2-=② 解①②得2 1 - =x ． ∵抛物线的顶点关于直线l 的对称点在该抛物线的准线上． ∴22 1 2?-=- p ，2=p ∴抛物线C 的方程为x y 42 =． （Ⅱ）设),(11y x A ，),(22y x B ，),(y x N ， 由02 =+?p ，得042121=++y y x x ． 又1214x y =，22 24x y =． 解得821-=y y ③ 直线ON ：x x y y 2 2= ，即x y y 24 =④ 由③、④及1y y =得， 点N 的轨迹方程为2-=x )0(≠y ． 5、(安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)已知线段AB 过y 轴上一点),0(m P ，斜率为k ，两端点A ，B 到y 轴距离之差为k 4)0(>k ， （1）求以O 为顶点，y 轴为对称轴，且过A ，B 两点的抛物线方程； （2）设Q 为抛物线准线上任意一点，过Q 作抛物线的两条切线，切点分别为M ，N ，求 证：直线MN 过一定点； 解：（1）设抛物线方程为)0(22 >=p py x ，AB 的方程为m kx y +=， 联立消y 整理，得0222 =--pm pkx x ；∴pk x x 221=+， 又依题有pk k x x 24||21==+，∴2=p ，∴抛物线方程为y x 42 =； （2）设M )4,(211x x ，N )4,(2 2 2x x ，)1,(0-x Q ，∵2 1x k MQ =， ∴MQ 的方程为?-=-)(2 411 21x x x x y 042121=+-y x x x ； ∵MQ 过Q ，∴0420121=--x x x ，同理042022 2=--x x x ∴21,x x 为方程04202 =--x x x 的两个根；∴421-=x x ； 又4 21x x k MN +=，∴MN 的方程为)(4412121x x x x x y -+=- ∴14 2 1++= x x x y ，显然直线MN 过点)1,0( 6、(江西 省五校 2008 届高三开学联考 )已知圆 M P N y x M 为圆点定点),0,5(,36)5(:22=++上的动点，点Q 在NP 上，点G 在 MP 上，且满足0,2=?=. （I ）求点G 的轨迹C 的方程； （II ）过点（2，0）作直线l ，与曲线C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，设, OB OA OS +=是否存在这样的直线l ，使四边形OASB 的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，试说明理由. 解：（1）??? ? ??=?=02Q 为PN 的中点且GQ ⊥PN ?GQ 为PN 的中垂线?|PG|=|GN| ∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G 点的轨迹是以M 、N 为焦点的椭圆，其长半轴长3=a ，半焦距 5=c ，∴短半轴长b=2，∴点G 的轨迹方程是14 92 2=+y x ………5分 （2）因为OB OA OS +=，所以四边形OASB 为平行四边形 若存在l 使得|OS |=||，则四边形OASB 为矩形0=?∴OB OA 若l 的斜率不存在，直线l 的方程为x =2，由?? ???±==?????=+=35 221492 22y x y x x 得 0,09 16 =?>= ?∴与矛盾，故l 的斜率存在. ………7分 设l 的方程为),(),,(),2(2211y x B y x A x k y -= 0)1(3636)49(149 )2(222222=-+-+???? ??=+-=k x k x k y x x k y 由 4 9) 1(36,49362 2212221+-=+=+∴k k x x k k x x ① )]2()][2([2121--=x k x k y y 4 920]4)(2[22 21212 +-=++-=k k x x x x k ②……………9分 把①、②代入2 302121± ==+k y y x x 得 ∴存在直线06230623:=-+=--y x y x l 或使得四边形OASB 的对角线相等. 7、(安徽省淮南市2008届高三第一次模拟考试)已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y = 41x 2 的焦点，离心率等于5 52. （1）求椭圆C 的方程； （2）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若MA =λ1AF ，=λ2，求证λ1+λ2为定值. 解：（I ）设椭圆C 的方程为)0(122 22>>=+b a b y a x ，则由题意知b = 1. .5.55211.5522 2 222=∴=-=-∴a a a b a 即 ∴椭圆C 的方程为.15 22 =+y x …………………………………………………5分 （II ）方法一：设A 、B 、M 点的坐标分别为).,0(),,(),,(02211y M y x B y x A 易知F 点的坐标为（2，0）. 分 8. 1,12).,2(),(,1 0111 11110111 λλλλλ+=+=∴--=-∴=y y x y x y y x 将A 点坐标代入到椭圆方程中，得.1)1()12( 5121 02 11=+++λλλy 去分母整理得.055102 0121=-++y λλ…………………………………………10分 , 05510,. 05510:,2 2 212 02222的两个根是方程可得由同理=-++∴=-++=y x x y BF MB λλλλλ .1021-=+∴λλ…………………………………………………………12分 方法二：设A 、B 、M 点的坐标分别为).,0(),,(),,(02211y M y x B y x A 又易知F 点的坐标为（2，0）. 显然直线l 存在的斜率，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程是).2(-=x k y 将直线l 的方程代入到椭圆C 的方程中，消去y 并整理得 .052020)51(2222=-+-+k x k x k ……………………………………7分 .515 20,51202 2212221k k x x k k x x +-=+=+∴……………………………………8分 又.2,2,,2 2 211121x x x x -=-= ==λλλλ将各点坐标代入得 .10)(242)(2222 1212 121221121-==++--+=-+-= +∴ x x x x x x x x x x x x λλ 8、(安徽省巢湖市2008届高三第二次教学质量检测)已知点R （－3,0）,点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上 ,且满足230PM MQ +=，0RP PM ?=. （Ⅰ）⑴当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C 的方程； （Ⅱ）设1122(,) (,)A x y B x y 、为轨迹C 上两点，且111, 0x y >>，N(1,0)，求实数λ，使AB AN λ=，且163 AB ||= . 解：(Ⅰ)设点M(x,y)，由230PM MQ +=得P(0，2y - )，Q(,03 x ). 由0,RP PM ?=得(3，2y - )·(x ，32 y )＝0,即x y 42 = 又点Q 在x 轴的正半轴上，0>∴x 故点M 的轨迹C 的方程是 24(0)y x x =>.……6分 （Ⅱ）解法一：由题意可知N 为抛物线C:y 2＝4x 的焦点，且A 、B 为过焦点N 的 直线与抛物线C 的两个交点。 当直线AB 斜率不存在时，得A(1,2)，B(1,-2)，|AB|16 43 =<，不合题意；………7分 当直线AB 斜率存在且不为0时，设: (1)AB l y k x =-，代入24y x =得 22222(2)0k x k x k -++= 则|AB|212222(2)4162243 k x x k k +=++=+=+= ,解得32 =k …………………10分 代入原方程得031032=+-x x ，由于11>x ，所以1213,3 x x ==, 由AB AN λ=，得2111343313 N x x x x λ- -== =--. ……………………13分 解法二：由题设条件得 ????? ? ????? =-+--=--=-==) 5(316)()()4()3()1()2(4)1(42 122121 1 211222 2121y y x x y y y x x x x y x y λλ 分 化简后可得） ）并结合（）代入（）、（同样把（分 ）代入上式并化简得 再把（）得代入（）得）、（由（11)7(3 16 )1(15439)6(1 )1(1)1(44)1(2)1()1(4311112121 2112 =+=--+=-?? ?-=-+=λλλλλλx x x x y y y x x x 由（6）、（7）解得??? ??==3341 x λ或?????==3141x λ，又11>x ，故34=λ. 9、(北京市朝阳区2008年高三数学一模)已知椭圆W 的中心在原点，焦点在x 轴上，离 6. 椭圆W 的左焦点为F ，过左准线与x 轴的交点M 任作一条斜率不为零的直线l 与椭圆W 交于不同的两点A 、B ，点A 关于x 轴的对称点为C . （Ⅰ）求椭圆W 的方程； （Ⅱ）求证：CF FB λ= (λ∈R )； （Ⅲ）求MBC ?面积S 的最大值. 解：（Ⅰ）设椭圆W 的方程为22 221x y a b +=，由题意可知 222 2 ,26,c a a b c a c ?=???=+????=?? 解得a =2c = ，b =， 所以椭圆W 的方程为22 162x y +=．……………………………………………4分 （Ⅱ）解法1：因为左准线方程为2 3a x c =-=-，所以点M 坐标为(3,0)-.于是可设直线l 的方程为(3)y k x =+． 22 (3),16 2y k x x y =+???+=??得2222 (13)182760k x k x k +++-=. 由直线l 与椭圆W 交于A 、B 两点，可知 2222(18)4(13)(276)0k k k ?=-+->，解得22 3 k < ． 设点A ，B 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y , 则2 122 1813k x x k -+=+，212227613k x x k -=+，11(3)y k x =+，22(3)y k x =+． 因为(2,0)F -，11(,)C x y -， 所以11(2,)FC x y =+-，22(2,)FB x y =+. 又因为1221(2)(2)()x y x y +-+- 1221(2)(3)(2)(3)x k x x k x =+++++ 1212[25()12]k x x x x =+++ 2222 541290[12]1313k k k k k --=++++ 2222 (5412901236) 013k k k k k --++==+， 所以CF FB λ=．……………………………………………………………10分 解法2：因为左准线方程为2 3a x c =-=-，所以点M 坐标为(3,0)-. 于是可设直线l 的方程为(3)y k x =+，点A ，B 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y , 则点C 的坐标为11(,)x y -，11(3)y k x =+，22(3)y k x =+． 由椭圆的第二定义可得 22113|| ||||3|| x y FB FC x y +==+, 所以B ，F ，C 三点共线，即CF FB λ=．…………………………………10分 (Ⅲ)由题意知 1211 ||||||||22 S MF y MF y =+ 121 ||||2 MF y y =?+ 121 |()6|2 k x x k =++ 23|| 13k k = +313|||| k k =≤= +， 当且仅当21 3 k = 时“=”成立， 所以MBC ?面积S 的最大值为 32 ． 10、(北京市崇文区2008年高三统一练习一)已知抛物线2 :ax y C =，点P （1，－1）在抛物线C 上，过点P 作斜率为k 1、k 2的两条直线，分别交抛物线C 于异于点P 的两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且满足k 1+k 2=0. （I ）求抛物线C 的焦点坐标； （II ）若点M 满足=，求点M 的轨迹方程. 解：（I ）将P （1，－1）代入抛物线C 的方程2 ax y =得a =－1， ∴抛物线C 的方程为2 x y -=，即.2 y x -= 焦点坐标为F （0，－ 4 1 ）.……………………………………4分 （II ）设直线PA 的方程为)1(11-=+x k y ， 联立方程?? ?-=-=+. ), 1(12 1x y x k y 消去y 得,01112 =--+k x k x 则.1,111111--=--=?k x k x 即 由.2,0)2()1(412 112 1-≠>+=---=?k k k k 得………………7分 同理直线PB 的方程为),1(12-=+x k y 联立方程???-=-=+. ),1(12 2x y x k y 消去y 得,01222 =--+k x k x 则.2.1,1122222-≠--=--=?k k x k x 且即 又.2,0121≠∴=+k k k …………………………9分 设点M 的坐标为（x ，y ），由.2 ,2 1x x x MA BM += =则 .2 ) (22112121k k k k x +--=----= 又.1,021-=∴=+x k k …………………………………………11分 . 5,2,1)1(2)1()1(2)1()1(22121212122212 22121-≠∴±≠-≤+-=-----= -----=--=+=y k k k k k k x x y y y 又 ∴所求M 的轨迹方程为：).51(1-≠-≤-=y y x 且 11、(北京市东城区2008年高三综合练习一）已知定圆,16)1(:2 2 =++y x A 圆心为A ，动圆M 过点B (1,0)且和圆A 相切，动圆的圆心M 的轨迹记为C . （I ）求曲线C 的方程； （II ）若点),(00y x P 为曲线C 上一点，求证：直线01243:00=-+y y x x l 与曲线C 有且 只有一个交点. 解：（I ）圆A 的圆心为4),0,1(1=-r A 半径， 设动圆M 的圆心.||,,),,(22MB r r y x M =依题意有半径为 由|AB|=2，可知点B 在圆A 内，从而圆M 内切于圆A ， 故|MA|=r 1—r 2，即|MA|+|MB|=4， 所以，点M 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆， 设椭圆方程为12222=+b y a x ，由.3,4,22,422 2====b a c a 可得 故曲线C 的方程为.13 42 2=+y x …………6分 （II ）当2,13 4,0020 400±==+=x y x y 可得由时， ???? ?? ?=+-=-=≠--==-====.134 ,4312:,4312,0).0,2(,2,0,2).0,2(,2,0,22 2000 00000000y x y x x y y x x y l y C l x l y x C l x l y x 联立方程组的方程为直线时当有且只有一个交点与曲线直线的方程为直线时当有且只有一个交点与曲线直线的方程为直线时当 消去.0164824)34(,2 0023020=-+-+y x x x x y y 得① 由点),(00y x P 为曲线C 上一点， .1234.13 420202020=+=+x y y x 可得得 于是方程①可以化简为.022 002=+-x x x x 解得0x x =， ), ,(,4312000000y x P C l y y y x x y x x 有且有一个交点与曲线故直线可得代入方程将=-= = 综上，直线l 与曲线C 有且只有一个交点，且交点为),(00y x P . 12、(北京市东城区2008年高三综合练习二)已知双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的一条 渐近线方程为x y 3= ，两条准线的距离为l . （1）求双曲线的方程； （2）直线l 过坐标原点O 且和双曲线交于两点M 、N ，点P 为双曲线上异于M 、N 的一点， 且直线PM ，PN 的斜率均存在，求k PM ·k PN 的值. （1）解：依题意有：. 3,1,,12,3222222==???? ???? ?=+==b a c b a c a a b 解得 可得双曲线方程为.13 2 2 =-y x ………………………………………………6分 （2）解：设).,(,),,(0000y x N y x M --可得由双曲线的对称性 , 33,33, 13.),,(222 0202 20 2 22 020000-=-==---=++?--=?P P P P P P P P PN PM P P x y x y y x x x y y x x y y x x y y k k y x P 同理所以又则设 所以.333332 22 02=-+--=?x x x x k k P P PN PM 13、(北京市丰台区2008年4月高三统一练习一)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (-1, 0)、 B (1, 0), 动点 C 满足条件：△ABC 的周长为2＋2 2.记动点C 的轨迹为曲线W . (Ⅰ)求W 的方程； (Ⅱ)经过点（0, 2）且斜率为k 的直线l 与曲线W 有两个不同的交点P 和Q ， 求k 的取值范围； （Ⅲ）已知点M （2，0），N （0, 1），在(Ⅱ)的条件下，是否存在常数k ，使得向量OP OQ +与MN 共线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由. 解：(Ⅰ) 设C （x , y ）, ∵2AC BC AB +=+＋2AB =, ∴2AC BC +=, ∴由定义知，动点C 的轨迹是以A 、B 为焦点，长轴长为22的椭圆除去与x 轴的两个交点. ∴ =1a c =. ∴2221b a c =-=. ∴W : 2 212 x y +=(0)y ≠. …………………………………………… 2分 (Ⅱ) 设直线l 的方程为 y kx =+22(12 x kx +=. 整理，得 221()102k x +++=. ①………………………… 5分 因为直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于 2221 84()4202 k k k ?=-+=->，解得k ∴满足条件的k 的取值范围为2 ,(,)22 k ∈ -∞-+∞（………… 7分 （Ⅲ）设P （x 1,y 1）,Q (x 2,y 2),则OP OQ +＝（x 1+x 2，y 1+y 2), 由①得12x x +=. ② 又1212()y y k x x +=++ 因为 0)M ，(0, 1)N ，所以()MN =-.……………………… 11分 所以OP OQ +与MN 共线等价于1212)x x y y ++. 将②③代入上式，解得k =所以不存在常数k ，使得向量OP OQ +与MN 共线. 14、(北京市海淀区2008年高三统一练习一)已知点,A B 分别是射线()1:0l y x x =≥， ()2:0l y x x =-≥上的动点，O 为坐标原点，且OAB ?的面积为定值2． （I ）求线段AB 中点M 的轨迹C 的方程； （II ）过点()0,2N 作直线l ，与曲线C 交于不同的两点,P Q ，与射线12,l l 分别交于点,R S ，若点,P Q 恰为线段RS 的两个三等分点，求此时直线l 的方程． 解：（I ）由题可设()11,A x x ，()22,B x x -，(),M x y ，其中120,0x x >>. 则1212,(1) 2,(2) 2 x x x x x y +?=??? -?=?? 1分 ∵OAB ?的面积为定值2， ∴ ) 1 21211 222 OAB S OA OB x x ?= ?===. 2分 22(1)(2)-，消去12,x x ，得：222x y -=． 4分 由于120,0x x >>，∴0x >，所以点M 的轨迹方程为2 2 2x y -=（x ＞0）． 5分 （II ）依题意，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为2y kx =+． 由22 2, 2, y kx x y =+?? -=?消去y 得：() 221460k x kx ---=， 6分 设点P 、Q 、R 、S 的横坐标分别是P x 、Q x 、R x 、P x ， ∴由,0P Q x x >得()222 2210,162410,40,160,1P Q P Q k k k k x x k x x k ?-≠??=+->?? ?+=>?-? -?=>?-? 8分 解之得：1k <<-． ∴ P Q x x -= =. 9分 由2,,y kx y x =+??=? 消去y 得：21R x k =-， 由2,, y kx y x =+?? =-?消去y 得：2 1S x k =--， ∴24 1 R S x x k -= -. 10分 由于,P Q 为RS 的三等分点，∴3R S x x -=P Q x x -. 11分 解之得5 3 k =- . 12分 经检验，此时,P Q 恰为RS 的三等分点，故所求直线方程为5 23 y x =-+. 15、(北京市十一学校2008届高三数学练习题)如图，椭圆的中心在原点，其左焦点1F 与抛物线2 4y x =-的焦点重合，过1F 的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，与抛物线交于C 、D 两点．当直线l 与x 轴垂直时，CD AB = （Ⅰ）求椭圆的方程； （II ）求过点O 、1F ，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程； （Ⅲ）求22F A F B ?的最大值和最小值． 解：（Ⅰ）由抛物线方程，得焦点1(1,0)F -． 设椭圆的方程：)0(122 22>>=+b a b y a x ． 解方程组241 y x x ?=-?=-?得C （-1，2），D （1，-2）． 由于抛物线、椭圆都关于x 轴对称， ∴ 11|||| |||| F C CD F A AB == 1||F A = ，∴A ．…………2分 ∴ 22 1112a b +=又12 22==-c b a ， 因此，2211 112b b +=+，解得21b =并推得22a =． 故椭圆的方程为2 212 x y +=．…………4分 （Ⅱ） 2,1,1a b c ===， 圆过点O 、1F ， ∴圆心M 在直线1 2 x =- 上． 设1 (,),2M t - 则圆半径，由于圆与椭圆的左准线相切， ∴13()(2).2 2 r =---= 由,OM r =3 ,2 = 解得t = ∴所求圆的方程为2219 ()(.24 x y ++±=…………………………8分 （Ⅲ）由12(1,0),(1,0)F F -点 ①若AB 垂直于x 轴，则)2 2 ,1(),22, 1(---B A ， 222(2, ),(2,F A F B ∴=-=-， 2217 422 F A F B ?=-=…………………………………………9分 ②若AB 与x 轴不垂直，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为 )1(+=x k y 由?? ? =-++=0 22) 1(2 2 y x x k y 得0)1(24)21(2 222=-+++k x k x k 0882>+=?k ，∴方程有两个不等的实数根． 设),(11y x A ，),(22y x B . 2 221214k k x x +-=+, 222121) 1(2k k x x +-=?………………………………11分 ),1(),,1(222112y x F y x F -=-=∴ )1)(1()1)(1()1)(1(21221212122+++--=+--=?x x k x x y y x x F F 22122121))(1()1(k x x k x x k +++-++= 2 2 22222 1)214)(1(21)1(2)1(k k k k k k k +++--++-+= =)21(29 2721172 22k k k +-=+- 1211 0,121,02 22≤+< ≥+≥k k k ]2 7,1[22-∈?∴B F A F ，所以当直线l 垂于x 轴时，F F 22?取得最大值27 当直线l 与x 轴重合时，B F A F 22?取得最小值1- 16、(北京市西城区2008年4月高三抽样测试)已知定点)01(，-C 及椭圆532 2 =+y x ，过点C 的动直线与椭圆相交于A B ，两点. （Ⅰ）若线段AB 中点的横坐标是1 2 - ，求直线AB 的方程； （Ⅱ）在x 轴上是否存在点M ，使MB MA ?为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由. （Ⅰ）解： 依题意，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为(1)y k x =+， 将 (1)y k x =+代入 5 322=+y x ，消去y 整理得 2222(31)6350.k x k x k +++-= ………….. 2分 设 1122() () A x y B x y ，，，，则 4222 122364(31)(35)0 (1) 6. (2) 31k k k k x x k ??=-+->? ?+=-?+? ， ………….. 4分 由线段AB 中点的横坐标是1 2 -，得2122312312x x k k +=-=-+， 解 得 k =，适合 (1). ………….. 5分 所 以 直 线 AB 的方程 为 10 x -+=， 或 10x ++=. ………….. 6分 （Ⅱ）解： 假设在x 轴上存在点(,0)M m ，使?为常数. ①当直线AB 与x 轴不垂直时，由（Ⅰ）知2212122 2635 . (3)3131 k k x x x x k k -+=-=++， 所以2 12121212()()()()(1)(1)MA MB x m x m y y x m x m k x x ?=--+=--+++ 22221212(1)()().k x x k m x x k m =++-+++ ………….. 8分 将(3)代入，整理得22 2222 114(2)(31)2(61)5333131 m k m m k MA MB m m k k -+-- --?=+=+++ 22 1614 2.33(31) m m m k +=+--+ 注意到MB MA ?是与k 无关的常数，从而有761403m m +==-，，此时4 .9 MA MB ?= .. 11分 ②当直线AB 与x 轴垂直时，此时点A B ， 的坐标分别为11??-- ??、， 当 73 m =- 时，亦 有 4 .9MA MB ?= ………….. 13分 综上，在x 轴上存在定点703M ??- ??? ， ，使MB MA ?为常数. 17、(北京市西城区2008年5月高三抽样测试)已知抛物线的方程为()220x py p =>，过点()0,P p 的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作抛物线的两条切线1l 和2l 的 斜率之积为定值； （Ⅰ）证明：直线1l 和2l 的斜率之积为定值； （Ⅱ）求点M 的轨迹方程。 解：(I)依题意，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋p y x F E D C B A 18、(北京市宣武区2008年高三综合练习一)在面积为9的ABC ?中，3 4 tan - =∠BAC ，且2=。现建立以A 点为坐标原点，以BAC ∠的平分线所在直线为x 轴的平面直角坐标系，如图所示。 (1)求AB 、AC 所在的直线方程； (2)求以AB 、AC 所在的直线为渐近线且过点D 的双曲线的方程； (3)过D 分别作AB 、AC 所在直线的垂线DF 、DE （E 、F 为垂足）， 求?的值。 解：（1）设α=∠CAx 则由34 tan 1tan 22tan tan 2 -=-= =∠α ααBAC 2020高考虽然延期，但是每天练习一定要跟上，加油！ 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、 F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2， －1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （4 1 ，－1） B. （4 1，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点 的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 1 1 c a ＜2 2 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点 到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.（江西卷7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=u u u u r u u u u r 的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1 (0,]2 C ．(0, 2 D ．,1)2 6.（辽宁卷10）已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） A B ．3 C D ．92 7.（全国二9）设1a >，则双曲线22 22 1(1)x y a a - =+的离心率e 的取值范围是（ B ） A ． B ． C ．(25)， D ．(2 8.（山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为 13 5 ，焦点在X 轴上且长轴长为 A B C D - 高考二轮复习专项：圆锥曲线 1. 如图，直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l1 上(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. 2. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l1、l2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： ○1(R);AG AD λλ=∈u u u r u u u r ○22;GE GF GH +=u u u r u u u r u u u r ○30.GH EF ?=u u u r u u u r 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率 23=e ，已知点)3,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是, 425=x 其左、右顶点分别 是A 、B ；双曲线1 :22 222=-b y a x C 的一条渐近线方程为3x －5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P ，连结AP 交椭圆C1于点M ，连结PB 并延长交椭圆C1于点N ，若=. 求证：.0=? B A D M B N l2 l1 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F （c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A ，B 两点.设AB 中点为M ，直线AB 与OM 的夹角为αa. （1）用半焦距c 表示椭圆的方程及tg α; （2）若2 【高考数学中最具震撼力的一个解答题！】注：【求解完第一问以后，】→WILL COME ACROSS圆锥曲线题10大题型：（1）弦长问题（2）中点问题（3）垂直问题（4）斜率问题（5）对称问题（6）向量问题（7）切线问题（8）面积问题（9）最值问题（10）焦点三角形问题。中的2-----4类；分门别类按套路求解； 1.高考最重要考：直线与椭圆，抛物线的位置关系。第一问最高频考（总与三个问题有关）：（1）———————；（2）——————————；（3）—————————； 2.圆锥曲线题，直线代入圆锥曲线的“固定3步走”：---------------------------------------------------; ——————————————————————————————————————； 3.圆锥曲线题固定步骤前9步：-------------------；---------------------------------------------；————————————；—————————；——————————；—————————————————；———————————；——————————————； 4.STEP1:首先看是否属于3种特殊弦长：（1）圆的弦长问题；（2）中点弦长问题（3）焦点弦长问题；→（1）圆的弦长问题：（2法）首选方法：垂径定理+勾 股定理：图示：--------------------------------；公式为：-------------------------；其中求“点线距”的方法：———————；次选：弦长公式；→（2） 中点弦长问题：（2法）首选方法：“点差法” 椭圆：（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；副产品：两直线永远不可能垂直！原因：___________；【两直线夹角的求法：（夹角公式）___________；】双曲线（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；抛物线：形式一：___________；（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；形式2：___________；（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；附：“点差法”步骤：椭圆：“点”_______________________;___________________________;“差”__________________________________;“设而不求法”_______________________________;“斜率公式”+“中点公式”_____________________;___________;___________;→得公式：（公式一）-------------------；（公式二）---------------------；附：“点差法”步骤：抛物线；形式一___________;：“点”_______________________;_____________________;“差”_________________________;“设而不求法”___________________;“斜率公式”+“中点公式”_____________;___________;___________;→得公式：（公式一）---------------------；（公式二）--------------------；附：“点差法”步骤： 圆锥曲线 一、填空题 1、（2015年江苏高考）在平面直角坐标系xoy 中，P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点，若P 到直线10x y -+=的距离大于c 恒成立，则c 的最大值 为___ 2 __________。 2、（2013年江苏高考）双曲线19 162 2=-y x 的两条渐近线的方程为 。 3、（2013年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为 )0,0(122 22>>=+b a b y a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆 C 的离心率为 。 4、（ 南京、盐城市高三二模）在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线C ： y x 42=的焦点为F ，定点)0, 22(A ，若射线FA 及抛物线C 相交于点M ，及抛物线C 的准线相交于点N ，则FM ：MN= 5、（苏锡常镇四市 高三教学情况调研（二））已知双曲线22 221(,0) x y a b a b -=>的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为 ▲ 6、（泰州市 高三第二次模拟考试）已知双曲线22 14x y m -=的渐近线方程为 2 y x =± ，则m = ▲ 7、（盐城市 高三第三次模拟考试）若抛物线28y x =的焦点F 及双曲线 22 13x y n -=的一个焦点重合，则n 的值为 ▲ 8、（ 江苏南京高三9月调研）已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近 线方程 为y ＝±3x ，则该双曲线的离心率为 ▲ 9、（ 江苏苏州高三9月调研）已知双曲线22 15 x y m -=的右焦点及抛物线 212y x =的焦点相同,则此双曲线的渐近线方程为 ▲ 10、（南京市、盐城市 高三）若双曲线222(0)x y a a -=>的右焦点及抛物线 24y x =的焦点重合，则a = ▲ . 11、（南通市 高三）在平面直角坐标系xOy 中，以直线2y x =±为渐近线，且经过抛物 线24y x =焦点的双曲线的方程是 12、（苏州市 高三上期末）以抛物线24y x =的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线标准方程为 13、（泰州市 高三上期末）双曲线12222=-b y a x 的右焦点到渐近线的距离是其 到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e = ▲ 14、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22 19x y m -=的一个焦点为（5，0），则实数 m = ▲ 15、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））在平面直角坐 标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线及抛物线y 2＝4x Y 高三文科数学圆锥曲线综合复习讲义 一、基础知识【理解去记】 1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c). 第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0 圆锥曲线 一、知识结构 1.方程的曲线 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线. 点与曲线的关系若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上?f(x0,y 0)=0； 点P0(x0,y0)不在曲线C上?f(x0,y0)≠0 两条曲线的交点若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则 f1(x0,y0)=0 点P0(x0,y0)是C1，C2的交点? f2(x0,y0) =0 方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点. 2.圆 圆的定义：点集：｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 圆的方程： (1)标准方程 圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是 (x-a)2 +(y-b)2 =r 2 圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是 x 2 +y 2 =r 2 (2)一般方程 当D 2 +E 2 -4F ＞0时，一元二次方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程，圆心为(-2D ,-2 E ），半径是 2 4F -E D 22+.配方，将方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0化为 (x+2D )2+(y+2 E )2=44 F -E D 22+ 当D 2 +E 2 -4F=0时，方程表示一个点 (-2D ,-2 E ); 当D 2 +E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形. 点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则 ｜MC ｜＜r ?点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ?点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ?点M 在圆C 内， 其中｜MC ｜=2 02 0b)-(y a)-(x +. (3)直线和圆的位置关系 ①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交?有两个公共点 直线与圆相切?有一个公共点 直线与圆相离?没有公共点 ②直线和圆的位置关系的判定 (i)判别式法 (ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d= 2 2 C Bb Aa B A +++与半径r 的大小关系来判 定. 全国名校高考专题训练——圆锥曲线选择填空100题 一、选择题(本大题共60小题) 1.(江苏省启东中学高三综合测试二)在抛物线y2＝2px上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为( ) C. 2 D. 4 2.(江苏省启东中学高三综合测试三)已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率等于( ) 3.(江苏省启东中学高三综合测试四)设F1，F2是椭圆4x2 49 ＋ y2 6 ＝1的两个焦 点，P是椭圆上的点，且|PF1|：|PF2|＝4：3，则△PF1F2的面积为( ) 4.(安徽省皖南八校高三第一次联考)已知倾斜角α≠0的直线l过椭圆x2 a2＋ y2 b2 ＝1(a＞b＞0)的右焦点F交椭圆于A，B两点，P为右准线上任意一点，则∠APB为( ) A.钝角 B.直角 C.锐角 D.都有可能 5.(江西省五校高三开学联考)从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b2，4b2]，则这一椭圆离心率e的取值范围是( ) A.[ 5 3 ， 3 2 ] B.[ 3 3 ， 2 2 ] C.[ 5 3 ， 2 2 ] D. [ 3 3 ， 3 2 ] 6.(安徽省淮南市高三第一次模拟考试)已知点A ，F 分别是椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点和左焦点，点B 为椭圆短轴的一个端点，若BF →·BA →＝0=0，则椭圆的离心率e 为( ) 7.(安徽省巢湖市高三第二次教学质量检测)以椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的 右焦点为圆心的圆经过原点，且被椭圆的右准线分成弧长为2:1的两段弧，那么该椭圆的离心率等于( ) 8.(北京市朝阳区高三数学一模)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的 左，右焦点分别为F 1，F 2，抛物线C 2的顶点在原点，它的准线与双曲线C 1的左准线重合，若双曲线C 1与抛物线C 2的交点P 满足PF 2⊥F 1F 2，则双曲线 C 1的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.233 2 9.(北京市崇文区高三统一练习一)椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的中心，右焦 点，右顶点，右准线与x 轴的交点依次为O ，F ，A ，H ，则|FA | |OH |的最大值为 ( ) A.12 B.13 C.14 10.(北京市海淀区高三统一练习一)直线l 过抛物线y 2＝x 的焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，且点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角θ≥ π 4 ，则|FA | 1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)设1F 、2F 分别是 椭圆22 154 x y +=的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF PF ?的最大值和最小值； （Ⅱ）是否存在过点A （5，0）的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得|F 2C|=|F 2D|？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 解：（Ⅰ）易知)0,1(),0,1(,1,2,521F F c b a -=∴=== 设P （x ，y ），则1),1(),1(2 221-+=--?---=?y x y x y x PF 35 1 1544222+=-- +x x x ]5,5[-∈x ， 0=∴x 当，即点P 为椭圆短轴端点时，21PF PF ?有最小值3； 当5±=x ，即点P 为椭圆长轴端点时，21PF PF ?有最大值4 （Ⅱ）假设存在满足条件的直线l 易知点A （5，0）在椭圆的外部，当直线l 的斜率不 存在时，直线l 与椭圆无交点，所在直线l 斜率存在，设为k 直线l 的方程为)5(-=x k y 由方程组22 22221(54)5012520054 (5)x y k x k x k y k x ?+ =?+-+-=??=-? ，得 依题意220(1680)0k k ?=-><< ，得 当5 5 55< <- k 时，设交点C ),(),(2211y x D y x 、，CD 的中点为R ),(00y x ， 则4 5252,455022 2102221+=+=+=+k k x x x k k x x .4 520)54525()5(22200+-=-+=-=∴k k k k k x k y 又|F 2C|=|F 2D|122-=??⊥?R F k k l R F 全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 1. 如图，直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l 1上(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l 1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： (R); AG AD λλ=∈2; GE GF GH +=0.GH EF ?= 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率 23 = e ，已知点)3,0(P 到 这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是 , 425=x 其左、右顶点分别 B A D M B N l 2 l 1 是A、B；双曲线 1 : 2 2 2 2 2 = - b y a x C 的一条渐近线方程为3x－5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若AM=. 求证：.0 = ?AB MN 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹角为αa. （1）用半焦距c表示椭圆的方程及tanα; （2）若2 圆锥曲线的综合问题 [知识能否忆起] 1．直线与圆锥曲线的位置关系 判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y (或x )得关于变量x (或y )的方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)． 若a ≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有： Δ>0?直线与圆锥曲线相交； Δ＝0?直线与圆锥曲线相切； Δ<0?直线与圆锥曲线相离． 若a ＝0且b ≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点． 2．圆锥曲线的弦长问题 设直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长|AB |＝1＋k 2|x 1 －x 2|或 1＋1 k 2|y 1－y 2|. [小题能否全取] 1．(教材习题改编)与椭圆x 212＋y 2 16＝1焦点相同，离心率互为倒数的双曲线方程是( ) A ．y 2－ x 23＝1 B.y 23 －x 2 ＝1 C.34x 2－3 8 y 2＝1 D.34y 2－3 8 x 2＝1 解析：选A 设双曲线方程为y 2a 2－x 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， 则????? a 2＋ b 2＝ c 2， c a ＝2，c ＝2， 得a ＝1，b ＝ 3. 故双曲线方程为y 2－ x 2 3 ＝1. 2．(教材习题改编)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 2 4＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定 解析：选A 由于直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1,1)，而(1,1)在椭圆内，故直 高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题 1.设双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( C ) （A （B ）2 （C （D 2.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3F A F B =,则||AF = (A). (B). 2 (D). 3 3.过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为,B C ．若1 2 AB BC =，则双曲线的离心率是 ( ) A B C D 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴， 直 线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ） A B ．2 C ．13 D ．12 5.点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点，且 |||PA AB =，则称点P 为“ 点”，那么下列结论中正确的是 （ ） A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“ 点” D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“ 点” 6.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2 +1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 ( ). A. 4 5 B. 5 C. 25 D.5 7.设斜率为2的直线l 过抛物线2 (0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点) 圆锥曲线专题 【考纲要求】 一、直线 1.掌握直线的点方向式方程、点法向式方程、点斜式方程，认识坐标法在建立形与数的关 系中的作用； 2.会求直线的一般式方程，理解方程中字母系数表示斜率和截距的几何意义：懂得一元二 次方程的图像是直线； 3.会用直线方程判定两条直线间的平行或垂直关系（方向向量、法向量）； 4.会求两条相交直线的交点坐标和夹角，掌握点到直线的距离公式。 二、圆锥曲线 1.理解曲线的方程与方程的曲线的意义，并能由此利用代数方法判定点是否在曲线上，以 及求曲线交点； 2.掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，并理解上述曲线在直角坐标系中的标准方程的 推导过程； 3.理解椭圆、双曲线、抛物线的有关概念及简单的几何特性，掌握求这些曲线方程的基本 方法，并能根据曲线方程的关系解决简单的直线与上述曲线有两个交点情况下的有关问题； 4.能利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定，确定它们之间的位置关系，并能利用 解析法解决相应的几何问题。 【知识导图】【精解名题】 一、弦长问题 例1 如图，已知椭圆 2 21 2 x y +=及点B(0, -2)，过点B引椭圆的割线（与椭圆相交的直线）BD与椭圆交于C、D两点 （1）确定直线BD斜率的取值范围 （2）若割线BD过椭圆的左焦点 12 ,F F是椭圆的右焦点，求 2 CDF ?的面积 y x B C D F1F2 O 二、轨迹问题 例2 如图，已知平行四边形ABCO ，O 是坐标原点，点A 在线段MN 上移动，x=4,y=t (33)t -≤≤上移动，点C 在双曲线 22 1169 x y -=上移动，求点B 的轨迹方程 三、对称问题 例3 已知直线l ：22 2,: 1169 x y y kx C =++=，问椭圆上是否存在相异两点A 、B ，关于直线l 对称，请说明理由 四、最值问题 例4 已知抛物线2 :2()C x y m =--，点A 、B 及P(2, 4)均在抛物线上，且直线PA 与PB 的倾斜角互补 （1）求证：直线AB 的斜率为定值 （2）当直线AB 在y 轴上的截距为正值时，求ABP ?面积的最大值 五、参数的取值范围 例5 已知(,0),(1,),a x b y → → == ()a → +⊥()a → - （1）求点P （x, y ）的轨迹C 的方程 （2）直线:(0,0)l y kx m k m =+≠≠与曲线C 交于A 、B 两点，且在以点D （0，-1）为圆 心的同一圆上，求m 的取值范围 六、探索性问题 例6 设x, y ∈R ，,i j →→ 为直角坐标平面内x, y 轴正方向上的单位向量，若向量 (2)a x i y j → →→=++，且(2)b x i y j →→→=+-且8a b →→ += （1）求点M （x, y ）的轨迹方程 （2）过点(0，3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP OA OB → → → =+，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由 第六节 圆锥曲线综合 考纲解读 1.掌握与圆锥曲线有关的最值、定值和参数范围问题. 2.会处理动曲线（含直线）过定点的问题. 3.会证明与曲线上的动点有关的定值问题. 4.会按条件建立目标函数，研究变量的最值及取值范围问题，注意运用数形结合法和几何法求某些量的最值. 命题趋势研究 从内容上看，预测2015年高考主要考查两大类问题：一是根据条件，求出表示平面曲线的方程；二是通过方程，研究平面曲线的性质，其热点有：①以客观题的形式考查圆锥曲线的基本概念和性质；②求平面曲线的方程和轨迹；③圆锥曲线的有关元素计算、关系证明或范围确定；④涉及圆锥曲线对称变换、最值或位置关系的有关问题. 从形式上看，以解答题为主，难度较大. 从能力要求上看，要求学生具备一定的数形结合、分析问题和解决问题及运算能力. 知识点精讲 一、定值问题 解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决.证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下： （1）变量----选择适当的量为变量. （2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数. （3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值. 求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值. 二、求最值问题常用的两种方法 （1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决，这是几何法. （2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值.求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等，这就是代数法. 三、求定值、最值等圆锥曲线综合问题的“三重视” （1）重视定义在解题中的作用(把定义作为解题的着眼点). （2）重视曲线的几何特征特别是平面几何性质与方程的代数特征在解题中的作用. （3）重视根与系数的关系在解题中的作用(涉及弦长、中点要用根与系数的关系). 四、求参数的取值范围 据已知条件及题目要求等量或不等量关系，再求参数的范围. 题型归纳及思路提示 题型150 平面向量在解析几何中的应用 思路提示 解决平面向量在解析几何中的应用要把几何特征转化为向量关系，并把向量用坐标表示.常见的应用有如下两个方面. （1）用向量的数量积解决有关角的问题.直角?0a b =,钝角?0a b <(且,a b 不反向), 高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 1. 如图，直线11与12是同一平面两条互相垂直的直线， 交点是A ，点B 、D 在直线11上(B 、 D 位于点A 右侧)，且|AB|=4 , |AD|=1 , M 是该平面上的一个动点， M 在l i 上的射影点 是 N ，且 |BN|=2|DM|. (I )建立适当的坐标系，求动点 M 的轨迹C 的方程. (II )过点D 且不与11、12垂直的直线1交(I )中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点 G 、 求点G 的横坐标的取值围. M ___ B ___________________ A D N B 11 、3 e 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，离心率 2，已知 点P(0，3) 到这个椭圆 上的点的最远距离是 4,求这个椭圆的方程. H 满足: AD( R)； G E G F 2G H ； G H E F 0. 12 2 2 C x y 1( b 0) 3. 已知椭圆/ b2的一条准线方程是25 ， 4其左、右顶点分别 (I) 求椭圆C i的方程及双曲线C2的离心率； (H)在第一象限取双曲线C2上一点P,连结AP交椭圆C i于点M,连结PB并延长交椭 圆C i于点N,若AM MP.求证：MN ?AB 0. 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F (c,0)到相应准线的距离为1,倾斜角为45。的直线交 椭圆于A, B两点.设AB中点为M,直线AB与OM的夹角为 a. (1) 用半焦距c表示椭圆的方程及tan ; (2) 若2 高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 1. 如图，直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l 1上 (B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l 1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： ①(R);AG AD λλ=∈②2;GE GF GH +=③0.GH EF ?= 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率23 = e ，已知点)3,0(P 到这个椭圆 上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是 , 425=x 其左、右顶点分别 B A D M B N l 2 l 1 是A、B；双曲线 1 : 2 2 2 2 2 = - b y a x C 的一条渐近线方程为3x－5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若MP AM=. 求证：.0 = ?AB MN 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹角为αa. （1）用半焦距c表示椭圆的方程及tanα; （2）若2 高考数学试题圆锥曲线 一． 选择题： 1.又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点， 且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到 抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 41 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点到右焦点的距离大于它 到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1 (0,]2 C ． D ． 6.已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） 椭圆与双曲线的性质 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长 轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线 方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆 的焦点角形的面积为122 tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应 于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除 去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） 数学高考圆锥曲线压轴 题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 数学高考圆锥曲线压轴题经典预测一、圆锥曲线中的定值问题 ★★椭圆C：x2 a2＋ y2 b2＝1（a＞b＞0）的离心率e＝ 3 2，a＋b＝3． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m－k为定值． ★★如图，椭圆C：x2 a2＋ y2 b2＝1（a＞b＞0）经过点P（1， 3 2），离心率e＝ 1 2，直 线l的方程为x＝4． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3若存在，求λ的值；若不存在，说明理由． ★★椭圆C：x2 a2＋ y2 b2＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别是F1，F2，离心率为 3 2，过 F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围； （Ⅲ）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只 有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明 1 kk1＋ 1 kk2 为定值，并求出这个定值． - 2 - 二、圆锥曲线中的最值问题 ＋y2 b2＝1（ a＞b＞0）的离心率为 （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且A D⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．（i）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1＝λk2，并求出λ的值； （ii）求△OMN面积的最大值． - 3 -2020高考数学圆锥曲线试题(含答案)
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