数据结构 平衡二叉树的操作演示
数据结构平衡二叉树的操作演示
平衡二叉树操作的演示1.需求分析本程序是利用平衡二叉树，实现动态查找表的基本功能：创建表，查找、插入、删除。
具体功能：（1）初始，平衡二叉树为空树，操作界面给出创建、查找、插入、删除、合并、分裂六种操作供选择。
每种操作均提示输入关键字。
每次插入或删除一个结点后，更新平衡二叉树的显示。
（2）平衡二叉树的显示采用凹入表现形式。
（3）合并两棵平衡二叉树。
（4）把一棵二叉树分裂为两棵平衡二叉树，使得在一棵树中的所有关键字都小于或等于x，另一棵树中的任一关键字都大于x。
如下图：2．概要设计平衡二叉树是在构造二叉排序树的过程中，每当插入一个新结点时，首先检查是否因插入新结点而破坏了二叉排序树的平衡性，若是则找出其中的最小不平衡子树，在保持二叉排序树特性的前提下，调整最小不平衡子树中各结点之间的链接关系，进行相应的旋转，使之成为新的平衡子树。
具体步骤：（1）每当插入一个新结点，从该结点开始向上计算各结点的平衡因子，即计算该结点的祖先结点的平衡因子，若该结点的祖先结点的平衡因子的绝对值不超过1，则平衡二叉树没有失去平衡，继续插入结点；（2）若插入结点的某祖先结点的平衡因子的绝对值大于1，则找出其中最小不平衡子树的根结点；（3）判断新插入的结点与最小不平衡子树的根结点个关系，确定是那种类型的调整；（4）如果是LL型或RR型，只需应用扁担原理旋转一次，在旋转过程中，如果出现冲突，应用旋转优先原则调整冲突；如果是LR型或RL型，则需应用扁担原理旋转两次，第一次最小不平衡子树的根结点先不动，调整插入结点所在子树，第二次再调整最小不平衡子树，在旋转过程中，如果出现冲突，应用旋转优先原则调整冲突；（5）计算调整后的平衡二叉树中各结点的平衡因子，检验是否因为旋转而破坏其他结点的平衡因子，以及调整后平衡二叉树中是否存在平衡因子大于1的结点。
流程图3.详细设计二叉树类型定义：typedef int Status;typedef int ElemType;typedef struct BSTNode{ElemType data;int bf;struct BSTNode *lchild ,*rchild;} BSTNode,* BSTree;Status SearchBST(BSTree T,ElemType e)//查找void R_Rotate(BSTree &p)//右旋void L_Rotate(BSTree &p)//左旋void LeftBalance(BSTree &T)//插入平衡调整void RightBalance(BSTree &T)//插入平衡调整Status InsertAVL(BSTree &T,ElemType e,int &taller)//插入void DELeftBalance(BSTree &T)//删除平衡调整void DERightBalance(BSTree &T)//删除平衡调整Status Delete(BSTree &T,int &shorter)//删除操作Status DeleteAVL(BSTree &T,ElemType e,int &shorter)//删除操作void merge(BSTree &T1,BSTree &T2)//合并操作void splitBSTree(BSTree T,ElemType e,BSTree &T1,BSTree &T2)//分裂操作void PrintBSTree(BSTree &T,int lev)//凹入表显示附录源代码：#include<stdio.h>#include<stdlib.h>//#define TRUE 1//#define FALSE 0//#define OK 1//#define ERROR 0#define LH +1#define EH 0#define RH -1//二叉类型树的类型定义typedef int Status;typedef int ElemType;typedef struct BSTNode{ElemType data;int bf;//结点的平衡因子struct BSTNode *lchild ,*rchild;//左、右孩子指针} BSTNode,* BSTree;/*查找算法*/Status SearchBST(BSTree T,ElemType e){if(!T){return 0; //查找失败}else if(e == T->data ){return 1; //查找成功}else if (e < T->data){return SearchBST(T->lchild,e);}else{return SearchBST(T->rchild,e);}}//右旋void R_Rotate(BSTree &p){BSTree lc; //处理之前的左子树根结点lc = p->lchild; //lc指向的*p的左子树根结点p->lchild = lc->rchild; //lc的右子树挂接为*P的左子树lc->rchild = p;p = lc; //p指向新的根结点}//左旋void L_Rotate(BSTree &p){BSTree rc;rc = p->rchild; //rc指向的*p的右子树根结点p->rchild = rc->lchild; //rc的左子树挂接为*p的右子树rc->lchild = p;p = rc; //p指向新的根结点}//对以指针T所指结点为根结点的二叉树作左平衡旋转处理，//本算法结束时指针T指向新的根结点void LeftBalance(BSTree &T){BSTree lc,rd;lc=T->lchild;//lc指向*T的左子树根结点switch(lc->bf){ //检查*T的左子树的平衡度，并做相应的平衡处理case LH: //新结点插入在*T的左孩子的左子树，要做单右旋处理T->bf = lc->bf=EH;R_Rotate(T);break;case RH: //新结点插入在*T的左孩子的右子树上，做双旋处理rd=lc->rchild; //rd指向*T的左孩子的右子树根switch(rd->bf){ //修改*T及其左孩子的平衡因子case LH: T->bf=RH; lc->bf=EH;break;case EH: T->bf=lc->bf=EH;break;case RH: T->bf=EH; lc->bf=LH;break;}rd->bf=EH;L_Rotate(T->lchild); //对*T的左子树作左旋平衡处理R_Rotate(T); //对*T作右旋平衡处理}}//右平衡旋转处理void RightBalance(BSTree &T){BSTree rc,ld;rc=T->rchild;switch(rc->bf){case RH:T->bf= rc->bf=EH;L_Rotate(T);break;case LH:ld=rc->lchild;switch(ld->bf){case LH: T->bf=RH; rc->bf=EH;break;case EH: T->bf=rc->bf=EH;break;case RH: T->bf = EH; rc->bf=LH;break;}ld->bf=EH;R_Rotate(T->rchild);L_Rotate(T);}}//插入结点Status InsertAVL(BSTree &T,ElemType e,int &taller){//taller反应T长高与否if(!T){//插入新结点，树长高，置taller为trueT= (BSTree) malloc (sizeof(BSTNode));T->data = e;T->lchild = T->rchild = NULL;T->bf = EH;taller = 1;}else{if(e == T->data){taller = 0;return 0;}if(e < T->data){if(!InsertAVL(T->lchild,e,taller))//未插入return 0;if(taller)//已插入到*T的左子树中且左子树长高switch(T->bf){//检查*T的平衡度，作相应的平衡处理case LH:LeftBalance(T);taller = 0;break;case EH:T->bf = LH;taller = 1;break;case RH:T->bf = EH;taller = 0;break;}}else{if (!InsertAVL(T->rchild,e,taller)){return 0;}if(taller)//插入到*T的右子树且右子树增高switch(T->bf){//检查*T的平衡度case LH:T->bf = EH;taller = 0;break;case EH:T->bf = RH;taller = 1;break;case RH:RightBalance(T);taller = 0;break;}}}return 1;}void DELeftBalance(BSTree &T){//删除平衡调整BSTree lc,rd;lc=T->lchild;switch(lc->bf){case LH:T->bf = EH;//lc->bf= EH;R_Rotate(T);break;case EH:T->bf = EH;lc->bf= EH;R_Rotate(T);break;case RH:rd=lc->rchild;switch(rd->bf){case LH: T->bf=RH; lc->bf=EH;break;case EH: T->bf=lc->bf=EH;break;case RH: T->bf=EH; lc->bf=LH;break;}rd->bf=EH;L_Rotate(T->lchild);R_Rotate(T);}}void DERightBalance(BSTree &T) //删除平衡调整{BSTree rc,ld;rc=T->rchild;switch(rc->bf){case RH:T->bf= EH;//rc->bf= EH;L_Rotate(T);break;case EH:T->bf= EH;//rc->bf= EH;L_Rotate(T);break;case LH:ld=rc->lchild;switch(ld->bf){case LH: T->bf=RH; rc->bf=EH;break;case EH: T->bf=rc->bf=EH;break;case RH: T->bf = EH; rc->bf=LH;break;}ld->bf=EH;R_Rotate(T->rchild);L_Rotate(T);}}void SDelete(BSTree &T,BSTree &q,BSTree &s,int &shorter){if(s->rchild){SDelete(T,s,s->rchild,shorter);if(shorter)switch(s->bf){case EH:s->bf = LH;shorter = 0;break;case RH:s->bf = EH;shorter = 1;break;case LH:DELeftBalance(s);shorter = 0;break;}return;}T->data = s->data;if(q != T)q->rchild = s->lchild;elseq->lchild = s->lchild;shorter = 1;}//删除结点Status Delete(BSTree &T,int &shorter){ BSTree q;if(!T->rchild){q = T;T = T->lchild;free(q);shorter = 1;}else if(!T->lchild){q = T;T= T->rchild;free(q);shorter = 1;}else{SDelete(T,T,T->lchild,shorter);if(shorter)switch(T->bf){case EH:T->bf = RH;shorter = 0;break;case LH:T->bf = EH;shorter = 1;break;case RH:DERightBalance(T);shorter = 0;break;}}return 1;}Status DeleteAVL(BSTree &T,ElemType e,int &shorter){ int sign = 0;if (!T){return sign;}else{if(e == T->data){sign = Delete(T,shorter);return sign;}else if(e < T->data){sign = DeleteAVL(T->lchild,e,shorter);if(shorter)switch(T->bf){case EH:T->bf = RH;shorter = 0;break;case LH:T->bf = EH;shorter = 1;break;case RH:DERightBalance(T);shorter = 0;break;}return sign;}else{sign = DeleteAVL(T->rchild,e,shorter);if(shorter)switch(T->bf){case EH:T->bf = LH;shorter = 0;break;case RH:T->bf = EH;break;case LH:DELeftBalance(T);shorter = 0;break;}return sign;}}}//合并void merge(BSTree &T1,BSTree &T2){int taller = 0;if(!T2)return;merge(T1,T2->lchild);InsertAVL(T1,T2->data,taller);merge(T1,T2->rchild);}//分裂void split(BSTree T,ElemType e,BSTree &T1,BSTree &T2){ int taller = 0;if(!T)return;split(T->lchild,e,T1,T2);if(T->data > e)InsertAVL(T2,T->data,taller);elseInsertAVL(T1,T->data,taller);split(T->rchild,e,T1,T2);}//分裂void splitBSTree(BSTree T,ElemType e,BSTree &T1,BSTree &T2){ BSTree t1 = NULL,t2 = NULL;split(T,e,t1,t2);T1 = t1;T2 = t2;return;}//构建void CreatBSTree(BSTree &T){int num,i,e,taller = 0;printf("输入结点个数:");scanf("%d",&num);printf("请顺序输入结点值\n");for(i = 0 ;i < num;i++){printf("第%d个结点的值",i+1);scanf("%d",&e);InsertAVL(T,e,taller) ;}printf("构建成功，输入任意字符返回\n");getchar();getchar();}//凹入表形式显示方法void PrintBSTree(BSTree &T,int lev){int i;if(T->rchild)PrintBSTree(T->rchild,lev+1);for(i = 0;i < lev;i++)printf(" ");printf("%d\n",T->data);if(T->lchild)PrintBSTree(T->lchild,lev+1);void Start(BSTree &T1,BSTree &T2){int cho,taller,e,k;taller = 0;k = 0;while(1){system("cls");printf(" 平衡二叉树操作的演示 \n\n");printf("********************************\n");printf(" 平衡二叉树显示区 \n");printf("T1树\n");if(!T1 )printf("\n 当前为空树\n");else{PrintBSTree(T1,1);}printf("T2树\n");if(!T2 )printf("\n 当前为空树\n");elsePrintBSTree(T2,1);printf("\n********************************************************************* *********\n");printf("T1操作：1.创建 2.插入 3.查找 4.删除 10.分裂\n");printf("T2操作：5.创建 6.插入 7.查找 8.删除 11.分裂\n");printf(" 9.合并 T1,T2 0.退出\n");printf("*********************************************************************** *******\n");printf("输入你要进行的操作：");scanf("%d",&cho);switch(cho){case 1:CreatBSTree(T1);break;case 2:printf("请输入要插入关键字的值");scanf("%d",&e);InsertAVL(T1,e,taller) ;break;case 3:printf("请输入要查找关键字的值");scanf("%d",&e);if(SearchBST(T1,e))printf("查找成功！\n");elseprintf("查找失败！\n");printf("按任意键返回87"); getchar();getchar();break;case 4:printf("请输入要删除关键字的值"); scanf("%d",&e);if(DeleteAVL(T1,e,k))printf("删除成功！\n");elseprintf("删除失败！\n");printf("按任意键返回");getchar();getchar();break;case 5:CreatBSTree(T2);break;case 6:printf("请输入要插入关键字的值"); scanf("%d",&e);InsertAVL(T2,e,taller) ;break;case 7:printf("请输入要查找关键字的值"); scanf("%d",&e);if(SearchBST(T2,e))printf("查找成功！\n");elseprintf("查找失败！\n");printf("按任意键返回");getchar();getchar();break;case 8:printf("请输入要删除关键字的值"); scanf("%d",&e);if(DeleteAVL(T2,e,k))printf("删除成功！\n");elseprintf("删除失败！\n");printf("按任意键返回");getchar();getchar();break;case 9:merge(T1,T2);T2 = NULL;printf("合并成功，按任意键返回"); getchar();getchar();break;case 10:printf("请输入要中间值字的值"); scanf("%d",&e);splitBSTree(T1,e,T1,T2) ;printf("分裂成功，按任意键返回"); getchar();getchar();break;case 11:printf("请输入要中间值字的值"); scanf("%d",&e);splitBSTree(T2,e,T1,T2) ;printf("分裂成功，按任意键返回"); getchar();getchar();break;case 0:system("cls");exit(0);}}}main(){BSTree T1 = NULL;BSTree T2 = NULL;Start(T1,T2);}。
平衡二叉树用途
平衡二叉树用途介绍平衡二叉树是一种特殊的二叉树数据结构，它的所有节点的左子树和右子树的高度之差不超过1。
平衡二叉树可以有效地支持高效的检索、插入和删除操作。
它在很多应用领域都有广泛的用途。
二叉查找树平衡二叉树是一种特殊的二叉查找树，也称为AVL树。
二叉查找树是一种有序的二叉树，它的每个节点都包含一个关键字，左子树的所有节点的关键字小于根节点的关键字，右子树的所有节点的关键字大于根节点的关键字。
二叉查找树的一个重要应用是在数据库中实现索引。
数据库的索引是为了快速查找和排序数据而创建的，通过将数据存储在一个有序的平衡二叉树中，可以实现较快的检索。
平衡二叉树的性质平衡二叉树具有以下几个重要的性质：1.每个节点的左子树和右子树的高度之差不超过1。
2.所有节点的左子树和右子树也都是平衡二叉树。
3.节点的左子树和右子树的高度差不超过1，称为平衡因子。
这些性质保证了平衡二叉树的高度始终保持在较小的范围内，使得它的插入、删除和查找操作都能在较快的时间内完成。
平衡二叉树的插入操作平衡二叉树的插入操作是通过不断地进行左旋和右旋操作来保持树的平衡性。
插入操作的大致过程如下：1.在树中找到插入位置，并插入新节点。
2.从插入位置向上回溯到根节点，检查每个节点的平衡因子。
3.如果平衡因子超过1或小于-1，说明树失去平衡，需要进行旋转操作来恢复平衡。
平衡二叉树的删除操作平衡二叉树的删除操作也需要进行左旋和右旋操作来保持树的平衡性。
删除操作的大致过程如下：1.在树中找到待删除节点。
2.如果待删除节点没有子节点，直接删除即可。
3.如果待删除节点有一个子节点，将子节点替换为待删除节点。
4.如果待删除节点有两个子节点，找到待删除节点的后继节点，将后继节点替换为待删除节点，然后删除后继节点。
在删除操作中，需要注意维护平衡二叉树的平衡性，需要根据情况进行旋转操作来恢复平衡。
平衡二叉树的优点平衡二叉树具有以下几个优点：1.高效的查找操作：平衡二叉树的平衡性保证了树的高度较小，因此查找操作的时间复杂度为O(logN)，其中N表示树中节点的数量。
二叉树的建立与基本操作
二叉树的建立与基本操作二叉树是一种特殊的树形结构，它由节点（node）组成，每个节点最多有两个子节点。
二叉树的基本操作包括建立二叉树、遍历二叉树、查找二叉树节点、插入和删除节点等。
本文将详细介绍二叉树的建立和基本操作，并给出相应的代码示例。
一、建立二叉树建立二叉树有多种方法，包括使用数组、链表和前序、中序、后序遍历等。
下面以使用链表的方式来建立二叉树为例。
1.定义二叉树节点类首先，定义一个二叉树节点的类，包含节点值、左子节点和右子节点三个属性。
```pythonclass Node:def __init__(self, value):self.value = valueself.left = Noneself.right = None```2.建立二叉树使用递归的方法来建立二叉树，先构造根节点，然后递归地构造左子树和右子树。
```pythondef build_binary_tree(lst):if not lst: # 如果 lst 为空，则返回 Nonereturn Nonemid = len(lst) // 2 # 取 lst 的中间元素作为根节点的值root = Node(lst[mid])root.left = build_binary_tree(lst[:mid]) # 递归构造左子树root.right = build_binary_tree(lst[mid+1:]) # 递归构造右子树return root```下面是建立二叉树的示例代码：```pythonlst = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]root = build_binary_tree(lst)```二、遍历二叉树遍历二叉树是指按照其中一规则访问二叉树的所有节点，常见的遍历方式有前序遍历、中序遍历和后序遍历。
1.前序遍历前序遍历是指先访问根节点，然后访问左子节点，最后访问右子节点。
```pythondef pre_order_traversal(root):if root:print(root.value) # 先访问根节点pre_order_traversal(root.left) # 递归访问左子树pre_order_traversal(root.right) # 递归访问右子树```2.中序遍历中序遍历是指先访问左子节点，然后访问根节点，最后访问右子节点。
《数据结构与算法》课程思政优秀教学案例(一等奖)
《数据结构与算法》课程思政优秀教学案例（一等奖）一、课程简介数据结构与算法是计算机科学与技术专业的核心基础课程，是一门理论与实践相结合的课程，在课程体系中处于举足轻重的地位。
课程主要介绍线性表、栈、队列、数组、树、图等常用数据结构的基本概念、操作及其典型应用及基本和经典的查找、排序算法。
通过研究数据的逻辑结构和存储结构，建立在数据结构上基本运算的正确概念，学习基本算法效率的定性和定量分析方法。
使学生熟悉数据结构在计算机科学中最基本的应用，了解数据对象的特性，学会数据组织的方法，并初步具备分析和解决现实世界问题的能力。
学完本课程后学生将基本掌握数据结构和算法的设计分析技术，提高程序设计的质量；根据所求解问题的性质选择合理的数据结构并对时间空间复杂性进行必要的控制。
二、课程内容三、案例（一）案例来源案例1：人与自然的和谐发展案例2：构建社会主义和谐社会的提出过程（二）案例点评适用范围：本案例主要适用于数据结构、思想政治等课程。
本案例是一个人与自然关系、社会主义和谐观的思考，通过结合数据结构中平衡二叉树的概念，其教学目的在于使学生对平衡的概念更清晰、准确和透彻的理解，提高学生正确认识问题、分析问题和解决问题并培养严谨对待问题的工匠精神。
思政元素：和谐价值观课程思政教学目标：（1）通过案例讨论，演示平衡二叉树调整的4种情况，让学生发现其中的变化及调整规律。
（2）加强学生对平衡概念的认识，并启发学生注重心态平衡，以及社会和谐。
相关教学经验：将专业知识与社会科学、科学精神等结合，从课程知识过渡到思政元素的过程中，如何做到过渡自然，是需要注意的地方。
课上，通过讨论对平衡的理解，使学生对平衡二叉树的概念有了更深的感悟，不仅学到了课本知识，还对人与自然和谐、国家构建和谐社会有了进一步认识。
数据结构与算法系列研究五——树、二叉树、三叉树、平衡排序二叉树AVL
数据结构与算法系列研究五——树、⼆叉树、三叉树、平衡排序⼆叉树AVL树、⼆叉树、三叉树、平衡排序⼆叉树AVL⼀、树的定义树是计算机算法最重要的⾮线性结构。
树中每个数据元素⾄多有⼀个直接前驱，但可以有多个直接后继。
树是⼀种以分⽀关系定义的层次结构。
a.树是n(≥0)结点组成的有限集合。
{N.沃恩}(树是n(n≥1)个结点组成的有限集合。
{D.E.Knuth})在任意⼀棵⾮空树中：⑴有且仅有⼀个没有前驱的结点----根(root)。
⑵当n>1时，其余结点有且仅有⼀个直接前驱。
⑶所有结点都可以有0个或多个后继。
b. 树是n(n≥0)个结点组成的有限集合。
在任意⼀棵⾮空树中：⑴有⼀个特定的称为根（root）的结点。
⑵当n>1时，其余结点分为ｍ（ｍ≥0）个互不相交的⼦集T1，T2，…，Tm。
每个集合本⾝⼜是⼀棵树，并且称为根的⼦树（subtree）树的固有特性---递归性。
即⾮空树是由若⼲棵⼦树组成，⽽⼦树⼜可以由若⼲棵更⼩的⼦树组成。
树的基本操作1、InitTree(&T) 初始化2、DestroyTree(&T) 撤消树3、CreatTree(&T,F) 按F的定义⽣成树4、ClearTree(&T) 清除5、TreeEmpty(T) 判树空6、TreeDepth(T) 求树的深度7、Root(T) 返回根结点8、Parent(T,x) 返回结点 x 的双亲9、Child(T,x,i) 返回结点 x 的第i 个孩⼦10、InsertChild(&T,&p,i,x) 把 x 插⼊到 P的第i棵⼦树处11、DeleteChild(&T,&p,i) 删除结点P的第i棵⼦树12、traverse(T) 遍历树的结点：包含⼀个数据元素及若⼲指向⼦树的分⽀。
●结点的度: 结点拥有⼦树的数⽬●叶结点: 度为零的结点●分枝结点: 度⾮零的结点●树的度: 树中各结点度的最⼤值●孩⼦: 树中某个结点的⼦树的根●双亲: 结点的直接前驱●兄弟: 同⼀双亲的孩⼦互称兄弟●祖先: 从根结点到某结点j 路径上的所有结点（不包括指定结点）。
详解平衡二叉树
一、平衡二叉树的概念平衡二叉树(Balanced binary tree)是由阿德尔森-维尔斯和兰迪斯(Adelson-Velskii and Landis)于1962年首先提出的，所以又称为AVL树。
定义：平衡二叉树或为空树,或为如下性质的二叉排序树:（1）左右子树深度之差的绝对值不超过1;（2）左右子树仍然为平衡二叉树.平衡因子BF=左子树深度－右子树深度.平衡二叉树每个结点的平衡因子只能是1，0，-1。
若其绝对值超过1，则该二叉排序树就是不平衡的。
如图所示为平衡树和非平衡树示意图：二、平衡二叉树算法思想若向平衡二叉树中插入一个新结点后破坏了平衡二叉树的平衡性。
首先要找出插入新结点后失去平衡的最小子树根结点的指针。
然后再调整这个子树中有关结点之间的链接关系，使之成为新的平衡子树。
当失去平衡的最小子树被调整为平衡子树后，原有其他所有不平衡子树无需调整，整个二叉排序树就又成为一棵平衡二叉树。
失去平衡的最小子树是指以离插入结点最近，且平衡因子绝对值大于1的结点作为根的子树。
假设用A表示失去平衡的最小子树的根结点，则调整该子树的操作可归纳为下列四种情况。
1）LL型平衡旋转法由于在A的左孩子B的左子树上插入结点F，使A的平衡因子由1增至2而失去平衡。
故需进行一次顺时针旋转操作。
即将A的左孩子B向右上旋转代替A作为根结点，A向右下旋转成为B的右子树的根结点。
而原来B的右子树则变成A的左子树。
（2）RR型平衡旋转法由于在A的右孩子C 的右子树上插入结点F，使A的平衡因子由-1减至-2而失去平衡。
故需进行一次逆时针旋转操作。
即将A的右孩子C向左上旋转代替A作为根结点，A向左下旋转成为C的左子树的根结点。
而原来C的左子树则变成A的右子树。
（3）LR型平衡旋转法由于在A的左孩子B的右子数上插入结点F，使A的平衡因子由1增至2而失去平衡。
故需进行两次旋转操作（先逆时针，后顺时针）。
即先将A结点的左孩子B的右子树的根结点D向左上旋转提升到B结点的位置，然后再把该D结点向右上旋转提升到A结点的位置。
二叉树的顺序存储及基本操作
二叉树的顺序存储及基本操作二叉树的顺序存储是将树中的节点按照完全二叉树从上到下、从左到右的顺序依次存储到一个一维数组中，采用这种方式存储的二叉树也被称为完全二叉树。
一、在使用顺序存储方式时，可以使用以下公式来计算一个节点的左右子节点和父节点：
1. 左子节点：2i+1（i为父节点的在数组中的下标）
2. 右子节点：2i+2
3. 父节点：(i-1)/2（i为子节点在数组中的下标）
二、基本操作：
1. 创建二叉树：按照上述公式将节点存储到数组中。
2. 遍历二叉树：可采用递归或非递归方式，进行前序、中序、后序、层次遍历。
3. 插入节点：先将节点插入到数组末尾，然后通过比较节点和其父节点的大小，进行上浮操作直到满足二叉树的性质。
4. 删除节点：先将待删除节点和最后一个节点交换位置，然后通过比较交换后的节点和其父节点的大小，进行下沉操作直到满足二
叉树的性质。
5. 查找节点：根据节点值进行查找，可采用递归或非递归方式。
6. 修改节点：根据节点值进行查找，然后进行修改操作。
太空人平衡树的技巧-概述说明以及解释
太空人平衡树的技巧-概述说明以及解释1.引言1.1 概述太空人平衡树是一种旨在解决二叉搜索树不平衡的问题的数据结构。
它通过使用节点的"权重"来调整树的结构，使得左子树和右子树的高度差尽量小，从而提供更快速的搜索和插入操作。
太空人平衡树的技巧是一套操作和策略，用于在实际应用中有效地构建和维护平衡的树结构。
这些技巧包括节点的旋转、子树的重建以及权重调整等操作。
通过旋转操作，太空人平衡树可以根据特定情况将节点进行左旋或右旋，从而重新构建树的结构。
这样，较高的子树可以通过旋转操作被转移到较低的位置，使得左子树和右子树的高度差得以减小。
另外，当进行插入或删除操作时，太空人平衡树会通过重建子树的方式来调整整个树的平衡。
这意味着，在插入或删除节点时，可能需要将一部分子树重新构建，以保持整个树的平衡状态。
权重调整是太空人平衡树中的一个重要操作，在插入或删除节点后，树的权重可能会发生变化。
通过适时地增加或减少节点的权重，太空人平衡树可以保持树的整体平衡，避免发生不平衡的情况。
总而言之，太空人平衡树的技巧是一种有效解决二叉搜索树不平衡问题的方法。
通过合理地运用节点旋转、子树重建以及权重调整等操作和策略，可以构建出一个高效、平衡的数据结构，提供更快速的搜索和插入操作。
在接下来的文章中，我们将详细介绍太空人平衡树的基本原理以及实际操作技巧。
1.2文章结构本文包括引言、正文和结论等3个子章节。
引言部分概述了太空人平衡树的技巧，并介绍了本文的目的。
正文部分分为两个部分，即基本原理和技巧讲解。
基本原理部分解释了太空人平衡树的基本原理，包括其数据结构和算法等方面的内容。
技巧讲解部分则介绍了太空人平衡树的实际操作技巧，包括如何构建太空人平衡树和应用中的注意事项等。
结论部分总结了太空人平衡树的技巧和应用，以及展望了其未来的发展方向。
通过本文的阅读，读者可以全面了解太空人平衡树的相关知识和在实际应用中的技巧。
1.3 目的本文的目的是探讨太空人平衡树的技巧及其应用。
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平衡二叉树操作的演示1.需求分析本程序是利用平衡二叉树，实现动态查找表的基本功能：创建表，查找、插入、删除。
具体功能：（1）初始，平衡二叉树为空树，操作界面给出创建、查找、插入、删除、合并、分裂六种操作供选择。
每种操作均提示输入关键字。
每次插入或删除一个结点后，更新平衡二叉树的显示。
（2）平衡二叉树的显示采用凹入表现形式。
（3）合并两棵平衡二叉树。
（4）把一棵二叉树分裂为两棵平衡二叉树，使得在一棵树中的所有关键字都小于或等于x，另一棵树中的任一关键字都大于x。
如下图：2．概要设计平衡二叉树是在构造二叉排序树的过程中，每当插入一个新结点时，首先检查是否因插入新结点而破坏了二叉排序树的平衡性，若是则找出其中的最小不平衡子树，在保持二叉排序树特性的前提下，调整最小不平衡子树中各结点之间的链接关系，进行相应的旋转，使之成为新的平衡子树。
具体步骤：（1）每当插入一个新结点，从该结点开始向上计算各结点的平衡因子，即计算该结点的祖先结点的平衡因子，若该结点的祖先结点的平衡因子的绝对值不超过1，则平衡二叉树没有失去平衡，继续插入结点；（2）若插入结点的某祖先结点的平衡因子的绝对值大于1，则找出其中最小不平衡子树的根结点；（3）判断新插入的结点与最小不平衡子树的根结点个关系，确定是那种类型的调整；（4）如果是LL型或RR型，只需应用扁担原理旋转一次，在旋转过程中，如果出现冲突，应用旋转优先原则调整冲突；如果是LR型或RL型，则需应用扁担原理旋转两次，第一次最小不平衡子树的根结点先不动，调整插入结点所在子树，第二次再调整最小不平衡子树，在旋转过程中，如果出现冲突，应用旋转优先原则调整冲突；（5）计算调整后的平衡二叉树中各结点的平衡因子，检验是否因为旋转而破坏其他结点的平衡因子，以及调整后平衡二叉树中是否存在平衡因子大于1的结点。
流程图3.详细设计二叉树类型定义：typedef int Status;typedef int ElemType;typedef struct BSTNode{ElemType data;int bf;struct BSTNode *lchild ,*rchild;} BSTNode,* BSTree;Status SearchBST(BSTree T,ElemType e)//查找void R_Rotate(BSTree &p)//右旋void L_Rotate(BSTree &p)//左旋void LeftBalance(BSTree &T)//插入平衡调整void RightBalance(BSTree &T)//插入平衡调整Status InsertAVL(BSTree &T,ElemType e,int &taller)//插入void DELeftBalance(BSTree &T)//删除平衡调整void DERightBalance(BSTree &T)//删除平衡调整Status Delete(BSTree &T,int &shorter)//删除操作Status DeleteAVL(BSTree &T,ElemType e,int &shorter)//删除操作void merge(BSTree &T1,BSTree &T2)//合并操作void splitBSTree(BSTree T,ElemType e,BSTree &T1,BSTree &T2)//分裂操作void PrintBSTree(BSTree &T,int lev)//凹入表显示附录源代码：#include<stdio.h>#include<stdlib.h>//#define TRUE 1//#define FALSE 0//#define OK 1//#define ERROR 0#define LH +1#define EH 0#define RH -1//二叉类型树的类型定义typedef int Status;typedef int ElemType;typedef struct BSTNode{ElemType data;int bf;//结点的平衡因子struct BSTNode *lchild ,*rchild;//左、右孩子指针} BSTNode,* BSTree;/*查找算法*/Status SearchBST(BSTree T,ElemType e){if(!T){return 0; //查找失败}else if(e == T->data ){return 1; //查找成功}else if (e < T->data){return SearchBST(T->lchild,e);}else{return SearchBST(T->rchild,e);}}//右旋void R_Rotate(BSTree &p){BSTree lc; //处理之前的左子树根结点lc = p->lchild; //lc指向的*p的左子树根结点p->lchild = lc->rchild; //lc的右子树挂接为*P的左子树lc->rchild = p;p = lc; //p指向新的根结点}//左旋void L_Rotate(BSTree &p){BSTree rc;rc = p->rchild; //rc指向的*p的右子树根结点p->rchild = rc->lchild; //rc的左子树挂接为*p的右子树rc->lchild = p;p = rc; //p指向新的根结点}//对以指针T所指结点为根结点的二叉树作左平衡旋转处理，//本算法结束时指针T指向新的根结点void LeftBalance(BSTree &T){BSTree lc,rd;lc=T->lchild;//lc指向*T的左子树根结点switch(lc->bf){ //检查*T的左子树的平衡度，并做相应的平衡处理case LH: //新结点插入在*T的左孩子的左子树，要做单右旋处理T->bf = lc->bf=EH;R_Rotate(T);break;case RH: //新结点插入在*T的左孩子的右子树上，做双旋处理rd=lc->rchild; //rd指向*T的左孩子的右子树根switch(rd->bf){ //修改*T及其左孩子的平衡因子case LH: T->bf=RH; lc->bf=EH;break;case EH: T->bf=lc->bf=EH;break;case RH: T->bf=EH; lc->bf=LH;break;}rd->bf=EH;L_Rotate(T->lchild); //对*T的左子树作左旋平衡处理R_Rotate(T); //对*T作右旋平衡处理}}//右平衡旋转处理void RightBalance(BSTree &T){BSTree rc,ld;rc=T->rchild;switch(rc->bf){case RH:T->bf= rc->bf=EH;L_Rotate(T);break;case LH:ld=rc->lchild;switch(ld->bf){case LH: T->bf=RH; rc->bf=EH;break;case EH: T->bf=rc->bf=EH;case RH: T->bf = EH; rc->bf=LH;break;}ld->bf=EH;R_Rotate(T->rchild);L_Rotate(T);}}//插入结点Status InsertAVL(BSTree &T,ElemType e,int &taller){//taller反应T长高与否if(!T){//插入新结点，树长高，置taller为trueT= (BSTree) malloc (sizeof(BSTNode));T->data = e;T->lchild = T->rchild = NULL;T->bf = EH;taller = 1;}else{if(e == T->data){taller = 0;return 0;}if(e < T->data){if(!InsertAVL(T->lchild,e,taller))//未插入return 0;if(taller)//已插入到*T的左子树中且左子树长高switch(T->bf){//检查*T的平衡度，作相应的平衡处理case LH:LeftBalance(T);taller = 0;break;case EH:T->bf = LH;taller = 1;break;case RH:T->bf = EH;taller = 0;break;}}else{if (!InsertAVL(T->rchild,e,taller)){}if(taller)//插入到*T的右子树且右子树增高switch(T->bf){//检查*T的平衡度case LH:T->bf = EH;taller = 0;break;case EH:T->bf = RH;taller = 1;break;case RH:RightBalance(T);taller = 0;break;}}}return 1;}void DELeftBalance(BSTree &T){//删除平衡调整BSTree lc,rd;lc=T->lchild;switch(lc->bf){case LH:T->bf = EH;//lc->bf= EH;R_Rotate(T);break;case EH:T->bf = EH;lc->bf= EH;R_Rotate(T);break;case RH:rd=lc->rchild;switch(rd->bf){case LH: T->bf=RH; lc->bf=EH;break;case EH: T->bf=lc->bf=EH;break;case RH: T->bf=EH; lc->bf=LH;break;}rd->bf=EH;L_Rotate(T->lchild);R_Rotate(T);}}void DERightBalance(BSTree &T) //删除平衡调整{BSTree rc,ld;rc=T->rchild;switch(rc->bf){case RH:T->bf= EH;//rc->bf= EH;L_Rotate(T);break;case EH:T->bf= EH;//rc->bf= EH;L_Rotate(T);break;case LH:ld=rc->lchild;switch(ld->bf){case LH: T->bf=RH; rc->bf=EH;break;case EH: T->bf=rc->bf=EH;break;case RH: T->bf = EH; rc->bf=LH;break;}ld->bf=EH;R_Rotate(T->rchild);L_Rotate(T);}}void SDelete(BSTree &T,BSTree &q,BSTree &s,int &shorter){if(s->rchild){SDelete(T,s,s->rchild,shorter);if(shorter)switch(s->bf){case EH:s->bf = LH;shorter = 0;break;case RH:s->bf = EH;shorter = 1;break;case LH:DELeftBalance(s);shorter = 0;break;}return;}T->data = s->data;if(q != T)q->rchild = s->lchild;elseq->lchild = s->lchild;shorter = 1;}//删除结点Status Delete(BSTree &T,int &shorter){ BSTree q;if(!T->rchild){q = T;T = T->lchild;free(q);shorter = 1;}else if(!T->lchild){q = T;T= T->rchild;free(q);shorter = 1;}else{SDelete(T,T,T->lchild,shorter);if(shorter)switch(T->bf){case EH:T->bf = RH;shorter = 0;break;case LH:T->bf = EH;shorter = 1;break;case RH:DERightBalance(T);shorter = 0;break;}}return 1;}Status DeleteAVL(BSTree &T,ElemType e,int &shorter){ int sign = 0;if (!T){return sign;}else{if(e == T->data){sign = Delete(T,shorter);return sign;}else if(e < T->data){sign = DeleteAVL(T->lchild,e,shorter);if(shorter)switch(T->bf){case EH:T->bf = RH;shorter = 0;break;case LH:T->bf = EH;shorter = 1;break;case RH:DERightBalance(T);shorter = 0;break;}return sign;}else{sign = DeleteAVL(T->rchild,e,shorter);if(shorter)switch(T->bf){case EH:T->bf = LH;shorter = 0;break;case RH:T->bf = EH;break;case LH:DELeftBalance(T);shorter = 0;break;}return sign;}}}//合并void merge(BSTree &T1,BSTree &T2){int taller = 0;if(!T2)return;merge(T1,T2->lchild);InsertAVL(T1,T2->data,taller);merge(T1,T2->rchild);}//分裂void split(BSTree T,ElemType e,BSTree &T1,BSTree &T2){ int taller = 0;if(!T)return;split(T->lchild,e,T1,T2);if(T->data > e)InsertAVL(T2,T->data,taller);elseInsertAVL(T1,T->data,taller);split(T->rchild,e,T1,T2);}//分裂void splitBSTree(BSTree T,ElemType e,BSTree &T1,BSTree &T2){ BSTree t1 = NULL,t2 = NULL;split(T,e,t1,t2);T1 = t1;T2 = t2;return;}//构建void CreatBSTree(BSTree &T){int num,i,e,taller = 0;printf("输入结点个数:");scanf("%d",&num);printf("请顺序输入结点值\n");for(i = 0 ;i < num;i++){printf("第%d个结点的值",i+1);scanf("%d",&e);InsertAVL(T,e,taller) ;}printf("构建成功，输入任意字符返回\n");getchar();getchar();}//凹入表形式显示方法void PrintBSTree(BSTree &T,int lev){int i;if(T->rchild)PrintBSTree(T->rchild,lev+1);for(i = 0;i < lev;i++)printf(" ");printf("%d\n",T->data);if(T->lchild)PrintBSTree(T->lchild,lev+1);void Start(BSTree &T1,BSTree &T2){int cho,taller,e,k;taller = 0;k = 0;while(1){system("cls");printf(" 平衡二叉树操作的演示\n\n");printf("********************************\n");printf(" 平衡二叉树显示区\n");printf("T1树\n");if(!T1 )printf("\n 当前为空树\n");else{PrintBSTree(T1,1);}printf("T2树\n");if(!T2 )printf("\n 当前为空树\n");elsePrintBSTree(T2,1);printf("\n*********************************************************************** *******\n");printf("T1操作：1.创建2.插入3.查找4.删除10.分裂\n");printf("T2操作：5.创建6.插入7.查找8.删除11.分裂\n");printf(" 9.合并T1,T2 0.退出\n");printf("************************************************************************* *****\n");printf("输入你要进行的操作：");scanf("%d",&cho);switch(cho){case 1:CreatBSTree(T1);break;case 2:printf("请输入要插入关键字的值");scanf("%d",&e);InsertAVL(T1,e,taller) ;break;case 3:printf("请输入要查找关键字的值");scanf("%d",&e);if(SearchBST(T1,e))printf("查找成功！\n");elseprintf("查找失败！\n");printf("按任意键返回87"); getchar();getchar();break;case 4:printf("请输入要删除关键字的值"); scanf("%d",&e);if(DeleteAVL(T1,e,k))printf("删除成功！\n");elseprintf("删除失败！\n");printf("按任意键返回");getchar();getchar();break;case 5:CreatBSTree(T2);break;case 6:printf("请输入要插入关键字的值"); scanf("%d",&e);InsertAVL(T2,e,taller) ;break;case 7:printf("请输入要查找关键字的值"); scanf("%d",&e);if(SearchBST(T2,e))printf("查找成功！\n");elseprintf("查找失败！\n");printf("按任意键返回");getchar();getchar();break;case 8:printf("请输入要删除关键字的值"); scanf("%d",&e);if(DeleteAVL(T2,e,k))printf("删除成功！\n");elseprintf("删除失败！\n");printf("按任意键返回");getchar();getchar();break;case 9:merge(T1,T2);T2 = NULL;printf("合并成功，按任意键返回"); getchar();getchar();break;case 10:printf("请输入要中间值字的值"); scanf("%d",&e);splitBSTree(T1,e,T1,T2) ;printf("分裂成功，按任意键返回"); getchar();getchar();break;case 11:printf("请输入要中间值字的值"); scanf("%d",&e);splitBSTree(T2,e,T1,T2) ;printf("分裂成功，按任意键返回"); getchar();getchar();break;case 0:system("cls");exit(0);}}}main(){BSTree T1 = NULL;BSTree T2 = NULL;Start(T1,T2);}。