政治经济学-运筹学-网络最优化问题
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运筹学 网络最优化问题
D 6 4 3 4 0 7 7 4
E 1 3 3 7 0 5 11
F 6 11 7 8 7 5 0 6
T 3 1 4 1 1 6 0
A
(1 )
再构造由两个中间点的矩阵:
a ij
(2)
m in{ a ij , a i 2 a 2 j },
11.阶和度:图G的顶点个数称为它的阶数， 与某顶点关联边的数称为该顶点的度(也称 为次)(degree）,如图a的阶为5，其中 d(v1)=3.d(v4)=4(环包括入次与出次) 12.孤立点:度为“0”的点,如图a中v5;
13.悬挂点:度为“1”的点,如图a中v3; 14.悬挂边:与悬挂点相连的边,如图a中 e3. 15.奇点:度为奇数的点,如图a中v1和v3 16.偶点:度为偶数的点;
1 0
2 1 0
3 2 1 0
4 3 2 0
6 5 4 3 6 0
A
(4)
0
6 5 4 ( 5) ( 6) A A 3 6 0
a 16 6 表示从 v 1到 v 6的最短有向路的长度为 a 35 2 表示从 v 3到 v 5的最短有向路的长度为 a 42 表示从 v 4 到 v 2 没有有向路。
5
F
在所有弧的权都非负的
[例]单线程最短路问题.求v1到各点的最短路.
情况下，目前公认最好的 求最短路的方法是 Dijkstra标号法。用实例 介绍如下：
6 v2 7 3 0 v1
2
8 v6
3 7
11 v8
4 v9 15
3 2
v3 3 2
8
6 5 10 3 v7 14 4
经管类书籍运筹学-网络最优化问题
网络最优化问题?法国国家铁路网每年运载约5000万乘客?通过网络最优化问题来适应乘客的喜好并且调整日运行量来满足需求?每年增加收入1500万美元降低成本的同时提高了服务质量?获得了1997年度弗兰茨
Operations Research
Chapter 6. Network Optimization Problems
Chapter 7.网络最优化问题
17
Assumptions of a Minimum-Cost Flow Problem
At least one of the nodes is a supply node. (至少有一个节点是供应点) At least one of the other nodes is a demand node. (至少有一个节点是需 求点) All the remaining nodes are transshipment nodes. (所有剩下的节 点都是转运点)
Chapter 7.网络最优化问题
18
Assumptions of a Minimum-Cost Flow Problem
Flow through an arc is only allowed in the direction indicated by the arrowhead, where the maximum amount of flow is given by the capacity of that arc. (If flow can occur in both directions, this would be represented by a pair of arcs pointing in opposite directions.) (通过弧的流只允许沿着箭头的方向流动， 通过弧的最大流量取决于该弧的容量[如果 流是双向的话，则需要用一对箭头指向相 反的弧来表示])
Operations Research
Chapter 6. Network Optimization Problems
Chapter 7.网络最优化问题
17
Assumptions of a Minimum-Cost Flow Problem
At least one of the nodes is a supply node. (至少有一个节点是供应点) At least one of the other nodes is a demand node. (至少有一个节点是需 求点) All the remaining nodes are transshipment nodes. (所有剩下的节 点都是转运点)
Chapter 7.网络最优化问题
18
Assumptions of a Minimum-Cost Flow Problem
Flow through an arc is only allowed in the direction indicated by the arrowhead, where the maximum amount of flow is given by the capacity of that arc. (If flow can occur in both directions, this would be represented by a pair of arcs pointing in opposite directions.) (通过弧的流只允许沿着箭头的方向流动， 通过弧的最大流量取决于该弧的容量[如果 流是双向的话，则需要用一对箭头指向相 反的弧来表示])
运筹学网络最优化问题
第5章 网络 最优化问题
▪ 许多研究的对象往往可以用一个图表示，研究 的目的归结为图的极值问题。
▪ 运筹学中研Байду номын сангаас的图具有下列特征：
(1) 用点表示研究对象，用连线（不带箭头的边 或带箭头的弧）表示对象之间某种关系；
(2) 强调点与点之间的关联关系，不讲究图的比 例大小与形状；
(3) 每条边上都赋有一个权，其图称为赋权图。 实际中权可以代表两点之间的距离、费用、利 润、时间、容量等不同的含义；
5.3 最大流问题
第5章 网络 最优化问题
50
vs
70
40
v1
60
v4 40
v2 50
v5
v3
30
天津财经大学 珠江学院
80 vt
70
5.3 最大流问题
第5章 网络 最优化问题
例 5.2 最 大 流 问 题 的 线 性
规划数学模型：
（1）决策变量
Max F=fvsv1 fvsv2 fvsv3
送货物到目的地vt（收点），其网络 图如图5－4（下一张幻灯片）所示。 图中每条弧（节点i->节点j）旁边的 权cij表示这段运输线路的最大通过能 力（容量）。要求制定一个运输方案 ， 使 得 从 vs 到 vt 的 运 货 量 达 到 最 大 ， 这个问题就是寻求网络系统的最大流 问题。
天津财经大学 珠江学院
（3）转运问题：有出发地(供应点-供应量)和目的地 (需求点-需求量)，有转运点，但没有弧的容量限 制(或有容量限制)，目标是总流量费用最小（或 总利润最大）。
天津财经大学 珠江学院
5.2 最小费用流问题
第5章 网络 最优化问题
最小费用流问题有五种重要的特殊类型(续)：
第六章-运筹学图与网络优化
9
6 3
3
4
7
2
53
4 31
5
1
7
4
4
第3节 最短路问题
一、最短路的含义
赋权有向图D (V，A)，图中各弧(vi，v j )有权wij， vs，vt为图D中任意两点，求一条路P， 使它是从vs到vt的所有路中总权最小的路，
即w(
P
)
min
wij 。
(vi，vj )P
定义：路P的权是P中所有弧的权之和，记为w(P)
习题6-3：用Dijkstra方法求解下图从v1到v9的 最短‘路’。
v2
11
v7
3 6
2
5
5
v5
8
v1
v3
v9
2 4
4
3
7
v4
4
v6
6
v8
第3节 最短路问题
三、最短路问题的应用 ✓ 设备更新问题
第3节 最短路问题
例10：某工厂使用一台设备，每年年初工厂都要作出决定， 如果继续使用旧的，要付维修费；若购买一台新设备， 要付购买费。试制定一个5年的更新计划，使总支出最 少。已知设备在各年的购买费，及不同机器役龄时的 维修费如下表所示：
5
2
5 v6
v4
v7 8
习题6-2
2、
v2
2
v5
5
1
5
1
8
v1
7
5 v4 9
v6
6
v7
2
1
12
v3
第3节 最短路问题
（二）赋权无向图的最短‘路’问题的求解方 法
赋权无向图G=(V，E)，边[vi，vj]表示既可以 从vi到达vj，也可以从vj到达vi，所以边[vi， vj]可以看作是两条弧(vi，vj)和(vj，vi)，且 它们具有相同的权ωij。
运筹与决策PPT：网络优化问题
▪ SUMIF（向量1，v，向量2）
若向量1的第i个分量＝v，则 SUMIF = SUMIF +向量2的第i个分量值
该函数可用于计算流出或流入节点v的流量
5.2 最大流问题
最大流问题，是要在网络中找出一个可 行流方案，使得通过网络的流量最大。
案例2： BMZ公司的配送中心问题
▪ BMZ是欧洲的一家豪华汽车制造商，其对美国的出口 至关重要;
5.1 最小费用流问题
最小费用流问题，也即网络配送问题， 解决如何以最小成本在一个配送网络中运输 货物。
案例1： Distribution Unlimited公司问题
▪ 该公司有两个工厂，生产一种产品，运往两个仓库;
– 工厂 1 生产 80 单位 – 工厂 2 生产 70 单位 – 仓库 1 需要 60 单位 – 仓库 2 需要 90 单位
C
To Rotterdam Bordeaux
Lisbon New York New York New Orleans New Orleans Los Angeles Los Angeles
▪工厂 1 与仓库 1 之间、工厂 2 与仓库 2 之间分别有铁 路相连；
▪ 也可通过卡车先将产品运至配送中心（DC），再从 配送中心运至仓库（每车至多装50单位）
问题：如何运输才能使费用最小？
配送网络图
80 units produced
F1
$700/unit
W1
60 units needed
$300/unit
Bordeaux
[40 units max.]
[50 units max.]
LI Lisbon [30 units max.]
BMZ问题的网络模型
若向量1的第i个分量＝v，则 SUMIF = SUMIF +向量2的第i个分量值
该函数可用于计算流出或流入节点v的流量
5.2 最大流问题
最大流问题，是要在网络中找出一个可 行流方案，使得通过网络的流量最大。
案例2： BMZ公司的配送中心问题
▪ BMZ是欧洲的一家豪华汽车制造商，其对美国的出口 至关重要;
5.1 最小费用流问题
最小费用流问题，也即网络配送问题， 解决如何以最小成本在一个配送网络中运输 货物。
案例1： Distribution Unlimited公司问题
▪ 该公司有两个工厂，生产一种产品，运往两个仓库;
– 工厂 1 生产 80 单位 – 工厂 2 生产 70 单位 – 仓库 1 需要 60 单位 – 仓库 2 需要 90 单位
C
To Rotterdam Bordeaux
Lisbon New York New York New Orleans New Orleans Los Angeles Los Angeles
▪工厂 1 与仓库 1 之间、工厂 2 与仓库 2 之间分别有铁 路相连；
▪ 也可通过卡车先将产品运至配送中心（DC），再从 配送中心运至仓库（每车至多装50单位）
问题：如何运输才能使费用最小？
配送网络图
80 units produced
F1
$700/unit
W1
60 units needed
$300/unit
Bordeaux
[40 units max.]
[50 units max.]
LI Lisbon [30 units max.]
BMZ问题的网络模型
网络优化图及网络(运筹学)
27
(2,1) (0,S)
28
(2,1) (0,S)
(3,3)
29
(0,S) (3,3)
(2,1) (5,2)
30
(0,S)
(2,1) (5,2)
(3,3) (7,5)
31
(0,S)
(2,1) (5,2)
(3,3)
(7,5)
(8,4)
32
用WinQSB求解 把节点数和节点之间边的长度输入，节 点间没有边则不输入任何值 注意：无向图中i-j的边与j-i的边的长度相 同
C1 根
C2
C3
C4
叶
6
例5（石油流向管网示意图，P131）
此为一个有向图
v2
24
v5
20 8
11 10
v1
15
10
v4 8
v7
20
v3
6
v6
7
1 图的基本概念
无向图：G={V，E} V v1,v2,...,vp E e1,e2,...,eq
顶点或节点：v 边：e=eij=[vi,vj] =[vj,vi] 链：连接两个顶点的一个序列；例1中{a,b,c}，{a,b,e,d}等 圈：两个端点重合的链，例1中{a,b,c,a}，{a,b,d,a}等
v5
38
(16, v1)
v2
22
41
16 16
30
30
(0,S) v1
59
41(22, v1) v3
23
(30, v1) v4 23 17
v6
18 v5 (41, v1) 39
(16, v1) v2
16 16
30
v1
59
(2,1) (0,S)
28
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(3,3)
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(0,S) (3,3)
(2,1) (5,2)
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(0,S)
(2,1) (5,2)
(3,3) (7,5)
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(0,S)
(2,1) (5,2)
(3,3)
(7,5)
(8,4)
32
用WinQSB求解 把节点数和节点之间边的长度输入，节 点间没有边则不输入任何值 注意：无向图中i-j的边与j-i的边的长度相 同
C1 根
C2
C3
C4
叶
6
例5（石油流向管网示意图，P131）
此为一个有向图
v2
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v5
20 8
11 10
v1
15
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v4 8
v7
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v3
6
v6
7
1 图的基本概念
无向图：G={V，E} V v1,v2,...,vp E e1,e2,...,eq
顶点或节点：v 边：e=eij=[vi,vj] =[vj,vi] 链：连接两个顶点的一个序列；例1中{a,b,c}，{a,b,e,d}等 圈：两个端点重合的链，例1中{a,b,c,a}，{a,b,d,a}等
v5
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(16, v1)
v2
22
41
16 16
30
30
(0,S) v1
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41(22, v1) v3
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(30, v1) v4 23 17
v6
18 v5 (41, v1) 39
(16, v1) v2
16 16
30
v1
59
网络优化图及网络(运筹学)
详细描述
最短路径问题有多种算法，如Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。这些算法通 过不断优化路径长度，最终找到最短路径。在现实生活中，最短路径问题广泛 应用于交通网络、通信网络和电力网络等领域。
最小生成树问题
总结词
最小生成树问题是图论中的另一个经典问题，旨在在给定连 通图中找到一棵包含所有节点且总权重最小的树。
网络优化图及网络(运筹学)
目 录
• 网络优化图概述 • 网络(运筹学)基础 • 网络优化模型 • 网络优化算法 • 网络优化实例分析 • 网络(运筹学)的未来发展与挑战
01
网络优化图概述
定义与特点
定义
网络优化图是一种数学模型，用于描 述现实世界中各种网络系统的结构和 行为。
特点
网络优化图具有节点和边的概念，能 够表示各种对象之间的关系和交互作 用，同时可以引入各种参数和约束条 件，以实现特定的优化目标。
详细描述
大数据的爆炸式增长使得传统的数据 处理和分析方法难以应对，需要采用 新的数据处理和分析技术，如分布式 计算、流处理等，以提高数据处理效 率。
人工智能与网络优化
总结词
人工智能技术的发展为网络优化提供了 新的思路和方法，可以更好地解决复杂 的问题。
VS
详细描述
人工智能技术如机器学习、深度学习等可 以用于网络优化，例如通过学习历史数据 来预测未来的流量和需求，从而更好地进 行资源调度和路径选择。
遗传算法通过模拟生物进化 过程中的自然选择和遗传机 制，不断迭代和优化种群中 的个体，最终找到最优解。
遗传算法适用于多目标优化、 约束满足问题等复杂问题，具 有较好的鲁棒性和全局搜索能
力。
05
网络优化实例分析
最短路径问题
最短路径问题有多种算法，如Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。这些算法通 过不断优化路径长度，最终找到最短路径。在现实生活中，最短路径问题广泛 应用于交通网络、通信网络和电力网络等领域。
最小生成树问题
总结词
最小生成树问题是图论中的另一个经典问题，旨在在给定连 通图中找到一棵包含所有节点且总权重最小的树。
网络优化图及网络(运筹学)
目 录
• 网络优化图概述 • 网络(运筹学)基础 • 网络优化模型 • 网络优化算法 • 网络优化实例分析 • 网络(运筹学)的未来发展与挑战
01
网络优化图概述
定义与特点
定义
网络优化图是一种数学模型，用于描 述现实世界中各种网络系统的结构和 行为。
特点
网络优化图具有节点和边的概念，能 够表示各种对象之间的关系和交互作 用，同时可以引入各种参数和约束条 件，以实现特定的优化目标。
详细描述
大数据的爆炸式增长使得传统的数据 处理和分析方法难以应对，需要采用 新的数据处理和分析技术，如分布式 计算、流处理等，以提高数据处理效 率。
人工智能与网络优化
总结词
人工智能技术的发展为网络优化提供了 新的思路和方法，可以更好地解决复杂 的问题。
VS
详细描述
人工智能技术如机器学习、深度学习等可 以用于网络优化，例如通过学习历史数据 来预测未来的流量和需求，从而更好地进 行资源调度和路径选择。
遗传算法通过模拟生物进化 过程中的自然选择和遗传机 制，不断迭代和优化种群中 的个体，最终找到最优解。
遗传算法适用于多目标优化、 约束满足问题等复杂问题，具 有较好的鲁棒性和全局搜索能
力。
05
网络优化实例分析
最短路径问题
运筹学第十章图与网络优化
1 ai j 0 (v i , v j ) E (v i , v j ) E
16
称矩阵A为网络G的邻接矩阵。
v1
4
v2
7 3 2 v3 5
图的矩阵表示
3
v6 3 4
6
2 v5 v4
权矩阵为：
v1 0 v 2 4 v 3 0 A v 4 6 v 5 4 v 6 3 v1 4 0 6 4 3 0 2 7 0 0 2 0 5 0 3 7 5 0 2 0 0 0 2 0 3 0 3 0 3 0 v 2 v 3 v4 v5 v6
17
三、基本定理
• 定理1 图G=(V,E)中，所有点的次之和 是边数的两倍，即
d (v ) 2q
vV
• 定理2 任一图中奇点的个数为偶数。
18
第二节
一、定义
树
树的定义：一个无圈的连通图。 例1 在五个城市之间架设电话线，要求任两个城市之间都可 以相互通话（允许通过其他城市），并且电话线的根数最少。 用v1,v2,v3,v4,v5代表五个城市,如 果在某两个城市之间架设电话 线,则在相应的两点之间联一条 边,这样一个电话线网就可以用 一个图来表示。显然,这个图必 须是连通的,而且是不含圈的连 通图。如右图所示。 v1 v5
10
v1
e4
e3 e2 v3
v4
e5
v5
•链
•中间点 •初等链
e1
v2
e6
e7 e8
e9
•圈 •初等圈
v6
v7
•简单圈
在上图中,(v1,v2,v3,v4,v5,v3,v6,v7)是一条链, 但不是初等链
在该链中,v2,v3,v4,v5,v3,v6是中间点
16
称矩阵A为网络G的邻接矩阵。
v1
4
v2
7 3 2 v3 5
图的矩阵表示
3
v6 3 4
6
2 v5 v4
权矩阵为：
v1 0 v 2 4 v 3 0 A v 4 6 v 5 4 v 6 3 v1 4 0 6 4 3 0 2 7 0 0 2 0 5 0 3 7 5 0 2 0 0 0 2 0 3 0 3 0 3 0 v 2 v 3 v4 v5 v6
17
三、基本定理
• 定理1 图G=(V,E)中，所有点的次之和 是边数的两倍，即
d (v ) 2q
vV
• 定理2 任一图中奇点的个数为偶数。
18
第二节
一、定义
树
树的定义：一个无圈的连通图。 例1 在五个城市之间架设电话线，要求任两个城市之间都可 以相互通话（允许通过其他城市），并且电话线的根数最少。 用v1,v2,v3,v4,v5代表五个城市,如 果在某两个城市之间架设电话 线,则在相应的两点之间联一条 边,这样一个电话线网就可以用 一个图来表示。显然,这个图必 须是连通的,而且是不含圈的连 通图。如右图所示。 v1 v5
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v1
e4
e3 e2 v3
v4
e5
v5
•链
•中间点 •初等链
e1
v2
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e7 e8
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•圈 •初等圈
v6
v7
•简单圈
在上图中,(v1,v2,v3,v4,v5,v3,v6,v7)是一条链, 但不是初等链
在该链中,v2,v3,v4,v5,v3,v6是中间点
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（50，200）
（50，400） W2
70
90
5.2 最小费用流问题
最小费用流问题的三个基本概念：
第5章 网络 最优化问题
1、最小费用流问题的构成（网络表示）
（ 1 ）节点：包括供应点、需求点和转 运点；
（2）弧：可行的运输线路（节点i->节 点 j ），经常有最大流量（容量）的限 制。
5.2 最小费用流问题
5.2 最小费用流问题
第5章 网络 最优化问题
例5.1最小费用流问题的数学模型为： （1）决策变量：设fij为通过弧(节点i->节点j)的流 量。 （2）目标函数 本问题的目标是总运输成本最小
Min z = 700 f F1W 1 300 f F1DC 200 f DC W 1 400 f F 2DC 900 f F 2W 2 400 f DC W 2
5.2 最小费用流问题
（3）约束条件(节点
第5章 网络 最优化问题
净流量、弧的容量 限制、非负） Min z = 700 f F 1W 1 300 f F 1 DC 200 f DC W 1
① 供应点 F1: 供应点 F2: ② 转运点 DC: ③ 需求点 W1: s.t. 需求点 W2: ④ 弧的容量限制： ⑤ 非负：
5.1 网络最优化问题基本概念
第5章 网络 最优化问题
（ 4 ）点 vi 表示自来水厂及用户， vi 与 vj 之间的边 表示两点间可以铺设管道，权为 vi 与 vj 间铺设 管道的距离或费用，极值问题是如何铺设管 道，将自来水送到其他 5个用户并且使总的费 用最小。这属于最小支撑树问题。 (5) 售货员从某个点vi出发走过其他所有点后回 到原点vi，如何安排路线使总路程最短。这属 于货郎担问题或旅行售货员问题。 （6）邮递员从邮局vi出发要经过每一条边将邮件 送到用户手中，最后回到邮局vi，如何安排路 线使总路程最短。这属于中国邮递员问题。
5.2 最小费用流问题
第5章 网络 最优化问题
最小费用流问题的数学模型为： （ 1 ）决策变量：设 fij 为通过弧（节点 i-> 节点 j ）的 流量。 （2）目标是通过网络供应的总成本最小。 （3）约束条件
① ② ③ ④ ⑤ 所有供应点：净流量（总流出－总流入）为正； 所有转运点：净流量为零； 所有需求点：净流量为负； 所有弧的流量fij受到弧的容量限制； 所有弧的流量fij非负。
5.1 网络最优化问题基本概念
第5章 网络 最优化问题
网络在各种实际背景问题中以各种各样的形式 存在。交通、电子和通讯网络遍及我们日常生 活的各个方面，网络规划也广泛用于解决不同 领域中的各种问题，如生产、分配、项目计划 、厂址选择、资源管理和财务策划等等。 网络规划为描述系统各组成部分之间的关系提 供了非常有效的直观和概念上的帮助，广泛应 用于科学、社会和经济活动的各个领域中。 近些年来，运筹学（管理科学）中一个振奋人 心的发展是它的网络最优化问题的方法论和应 用方面都取得了不同寻常的飞速发展。
5.1 网络最优化问题基本概念
第5章 网络 最优化问题
许多研究的对象往往可以用一个图表示，研究的 目的归结为图的极值问题。 运筹学中研究的图具有下列特征： (1) 用点表示研究对象，用连线（不带箭头的边 或带箭头的弧）表示对象之间某种关系； (2) 强调点与点之间的关联关系，不讲究图的比 例大小与形状； (3) 每条边上都赋有一个权，其图称为赋权图。 实际中权可以代表两点之间的距离、费用、利润 、时间、容量等不同的含义； (4) 建立一个网络模型，求最大值或最小值。
5.2 最小费用流问题
第5章 网络 最优化问题
3、最小费用流问题的解的特征 （1）具有可行解的特征：在以上的假设下，当 且仅当供应点所提供的流量总和等于需求点 所需要的流量总和时（即平衡条件），最小 费用流问题有可行解； （2）具有整数解的特征：只要其所有的供应、 需求和弧的容量都是整数值，那么任何最小 费用流问题的可行解就一定有所有流量都是 整数的最优解（与运输问题和指派问题的解 一样）。因此，没有必要加上所有决策变量 都是整数的约束条件。
第5章 网络 最优化问题
几个例子
第5章 网络 最优化问题
例1 是北京、上海等 十个城市间的铁路交 通图。与此类似的还 有电话线分布图、煤 气管道图、航空路线 图等。 北京 天津
济南 徐州
青岛
郑州
连云港
武汉
南京
上海
例2旅行商问题/货郎（担）问题 (TSP-Traveling Salesman Problem)
5.2 最小费用流问题
第5章 网络 最优化问题
例 5.1 某公司有两个工厂生产产品，这些产品需要运 送到两个仓库中。其配送网络图如图 5-2 所示。目 标是确定一个运输方案（即每条路线运送多少单位 的产品），使通过配送网络的总运输成本最小。
（无限制，700） 80 F1 W1 60
（50，300） DC （50，400） F2 （无限制，900）
5.1 网络最优化问题基本概念
8 7 5 8 2 v2 3 v4 6 v6 1
第5章 网络 最优化问题
v1
v3
v5
5
4
对于该网络图，可以提出许多极值问题
5.1 网络最优化问题基本概念
第5章 网络 最优化问题
（ 1 ）将某个点 vi 的物资或信息送到另一 个点 vj ，使得运送总成本最小。这属 于最小费用流问题。 （ 2 ）将某个点 vi 的物资或信息送到另一 个点 vj ，使得总流量最大。这属于最 大流问题。 （ 3 ）从某个点 vi 出发到达另一个点 vj ， 怎样安排路线使得总距离最短或总费 用最小。这属于最短路问题。
5.2 最小费用流问题
第5章 网络 最优化问题
最小费用流问题有五种重要的特殊类型： （ 1 ）运输问题：有出发地 ( 供应点 - 供应量 ) 和目的 地 ( 需求点 - 需求量 ) ，没有转运点和弧的容量限 制，目标是总运输成本最小（或总利润最大）。 （2）指派类型：出发地(供应点-供应量为1)是人， 目的地(需求点-需求量为1)是任务，没有转运点 和弧的容量限制，目标是总指派成本最小（或总 利润最大）。 （ 3 ）转运问题：有出发地 ( 供应点 - 供应量 ) 和目的 地 ( 需求点 - 需求量 ) ，有转运点，但没有弧的容 量限制(或有容量限制)，目标是总流量费用最小 （或总利润最大）。
5.2 最小费用流问题
第5章 网络 最优化问题
例5.1的电子表格模型：列出了网络中的弧和各弧所对应的容量 、单位成本。决策变量为通过弧的流量。目标是计算流量的总 成本。每个节点的净流量为约束条件。供应点的净流量为正， 需求点的净流量为负，而转运点的净流量为0。 这里用了一个窍门：用两个 SUMIF函数的差来计算每个节点的 净流量，这样快捷且不容易犯错。
第5章 网络 最优化问题
一名推销员准备前往若干城市推销产品. 如 何为他(她)设计一条最短的旅行路线(从 驻地出发，经过每个城市恰好一次，最 后返回驻地)？这一问题的研究历史十分 悠久，通常称之为旅行商问题.
例3 稳定婚配
第5章 网络 最优化问题
假设有n个男人和n个女人, 每人都希望从n个异性中选 择一位自己的配偶. 假设每人都对n个异性根据自己的 偏好进行了排序, 以此作为选择配偶的基础. 当给定一 种婚配方案(即给每人指定一个配偶)后, 如果存在一个 男人和一个女人不是互为配偶, 但该男人喜欢该女人 胜过其配偶, 且该女人喜欢该男人也胜过其配偶, 则该 婚配方案称为不稳定的. 安排稳定的婚配方案的问题 称为稳定婚配问题。
5.2 最小费用流问题
第5章 网络 最优化问题
大规模的最小费用流问题的求解一般采 用“网络单纯法（ The Network Simplex Method ）”。现在，许多公司都使用网 络单纯法来解决他们的最小费用流问题 。有些问题是非常庞大的，有着数万个 节点和弧。有时，弧的数量甚至可能会 多得多，达到几百万条。 但Excel 学生版（非专业版）的“规划求 解”中没有网络单纯法，但其他的线性 规划的商业软件包通常都有这种方法。
图论的起源和发展
1736年，欧拉的哥尼斯堡七桥问题
第5章 网络 最优化问题
ADCຫໍສະໝຸດ B图论的起源和发展• 1847年，基尔霍夫 ，电网络，树”；
• 1852年，《四色猜想》； • 1857年，凯莱 ， 同分异构，“树”； 哈密顿回路 ； • 1859年，哈密顿，
第5章 网络 最优化问题
• 1956年，杜邦公司，CPM，关键路线法； • 1958年，美国海军部， PERT，计划评审技术； • 1962年，管梅谷， 《中国邮路问题》； • 1964年，华罗庚，《统筹方法平话》。
5.1 网络最优化问题基本概念
第5章 网络 最优化问题
网络最优化问题类型主要包括：
（1）最小费用流问题； （2）最大流问题； （3）最短路问题； （4）最小支撑树问题； （5）货郎担问题和中国邮路问题，等等
5.2 最小费用流问题
第5章 网络 最优化问题
最小费用流问题的模型在网络最优化中 扮演着重要的角色，因为它的适用性很 广，并且求解方法容易。通常最小费用 流问题用于最优化货物从供应点到需求 点的网络。目标是在通过网络配送货物 时，以最小的成本满足需求，一种典型 的应用就是使得配送网络的运营最优。 最小费用流问题的特殊类型包括运输问 题和指派问题，以及在下面将要提到的 两种重要类型：最大流问题和最短路问 题。
第5章 网络 最优化问题
网络最优化问题基本概念 最小费用流问题 最大流问题 最短路问题 最小支撑树问题 货郎担问题和中国邮路问题
本章主要内容框架图
第5章 网络 最优化问题
点 连线（边或弧） 基本概念 权（赋权图） 网络图 最小费用流问题 最大流问题 网络最优化问题 主要类型 最短路问题 最小支撑树问题 货郎担问题和中国邮路问题 节点（供应点、转运点、需求点） 净流量 建模和求解 数学模型 电子表格模型