高考数学一轮复习专题14导数与函数的单调性(含解析)
高考数学一轮复习专题14导数与函数的单调性（含解析）
最新考纲
1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．
2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．
3.会利用导数解决某些实际问题(生活中的优化问题).
基础知识融会贯通
1．函数的单调性
在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．
2．函数的极值
(1)一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：
①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；
②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．
(2)求可导函数极值的步骤
①求f′(x)；
②求方程f′(x)＝0的根；
③考查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．
3．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，
b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
【知识拓展】
1．在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．
2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．
3．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．
重点难点突破
【题型一】不含参数的函数的单调性
【典型例题】
已知函数，则f（x）的增区间为（）
A．（0，1）B．（0，e）C．（1，+∞）D．（e，+∞）
【解答】解：易知函数f（x）的定义域为（0，+∞），
又，令f′（x）＞0，解之得0＜x＜e，
故选：B．
【再练一题】
用导数求单调区间
f（x）．
【解答】解：∵f（x）1，
∴f′（x）0，
∴﹣1＜x＜1，
∴函数的单调增区间是（﹣1，1），单调减区间是（﹣∞，﹣1]，[1，+∞）．
思维升华确定函数单调区间的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域．
(2)求f′(x)．
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间．
(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
【题型二】含参数的函数的单调性
【典型例题】
求下列函数的单调区间，并求[1，e]上的最值．
（1）f（x）＝lnx﹣ax；
（2）f（x）＝ax2﹣2lnx3；
（3）f（x）＝e x﹣ax﹣1，求单调区间．
【解答】解：（1）f（x）＝lnx﹣ax，
∴f′（x）a，
当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴函数f（x）在[1，e]上单调递增，
∴f（x）max＝f（e）＝1﹣ae，f（x）min＝f（1）＝﹣a，
当a＞0时，f′（x）a，
令f′（x）＝0，解得x，
当f′（x）＞0，即0＜x时，函数单调递增，
当f′（x）＜0，即x时，函数单调递减，
∴函数f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，当x时，函数有极大值，即极大值为f（）＝﹣1﹣lna
①当1时，即a≥1时，函数f（x）在[1，e]上单调递减，
∴f（x）min＝f（e）＝1﹣ae，f（x）max＝f（1）＝﹣a，
②当e时，即0＜a时，函数f（x）在[1，e]上单调递增，
∴f（x）max＝f（e）＝1﹣ae，f（x）min＝f（1）＝﹣a，
③1e时，即a＜1时，
函数f（x）在[1，）上单调递增，在（，e]上单调递减，
∴f（x）max＝f（）＝﹣1﹣lna，
f（1）＝﹣a，f（e）＝1﹣ae，
当a＜1，f（1）＞f（e），
故f（x）min＝f（e）＝1﹣ae，
当a时，f（1）≤f（e），
故f（x）min＝f（1）＝﹣a；
（2）f（x）＝ax2﹣2lnx3＝ax2﹣6lnx，
∴f′（x）＝2ax，
当a≤0时，f′（x）＜0恒成立，
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴函数f（x）在[1，e]上单调递减，
∴f（x）min＝f（e）＝ae2﹣6，f（x）max＝f（1）＝a，
当a＞0时，令f′（x）＝0，解得x，
当f′（x）＜0，即0＜x时，函数单调递减，
当f′（x）＞0，即x时，函数单调递减，
∴函数f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，
当x时时，函数有极小值，即极小值为f（）3ln，①当1时，即a≥3时，函数f（x）在[1，e]上单调递增，
∴f（x）max＝f（e）＝ae2﹣6，f（x）min＝f（1）＝a，
②当e时，即0＜a时，函数f（x）在[1，e]上单调递减，∴f（x）max＝f（1）＝a，f（x）min＝f（e）＝ae2﹣6，
③1e时，即a＜3时，
函数f（x）在[1，）上单调递减，在（，e]上单调递增，
∴f（x）min＝f（）3ln，
f（1）＝a，f（e）＝ae2﹣6，
当a＜3，f（1）＞f（e），
故f（x）max＝f（1）＝a，
当a a＜3，f（1）＜f（e），
故f（x）max＝f（e）＝ae2﹣6；
（3）f（x）＝e x﹣ax﹣1，
∴f′（x）＝e x﹣a，
当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴函数f（x）在[1，e]上单调递增，
∴f（x）max＝f（e）＝e e﹣ae﹣1，f（x）min＝f（1）＝e﹣a﹣1，
当a＞0时，f′（x）＝e x﹣a，
令f′（x）＝0，解得x＝lna，
当f′（x）＜0，即0＜x＜lna时，函数单调递减，
当f′（x）＞0，即x＞lna时，函数单调递增，
∴函数f（x）在（0，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，
当x＝lna时，函数有极小值，即极小值为f（lna）＝a﹣1﹣alna
①当lna≤1时，即0＜a≤e时，函数f（x）在[1，e]上单调递增，
∴f（x）max＝f（e）＝e e﹣ae﹣1，f（x）min＝f（1）＝e﹣a﹣1，
②当lna≥e时，即a≥e e，函数f（x）在[1，e]上单调递减，
∴f（x）max＝f（1）＝e﹣a﹣1，f（x）min＝f（e）＝e e﹣ae﹣1，
③1＜lna＜e时，即e＜a＜e e时，
函数f（x）在[1，lna）上单调递减，在（lna，e]上单调递增，
∴f（x）min＝f（lna）＝a﹣1﹣alna，
f（1）＝e﹣a﹣1，f（e）＝e e﹣ae﹣1，
当a＜e e，f（1）＞f（e），
故f（x）max＝f（1）＝e﹣a﹣1，
当e＜a，f（1）＜f（e），
故f（x）max＝f（e）＝e e﹣ae﹣1．
【再练一题】
已知函数f（x）＝x alnx（a∈R）．
（1）当a＞0时，讨论f（x）的单调区间；
（2）设g（x）＝x lnx，当f（x）有两个极值点为x1，x2，且x1∈（0，e）时，求g（x1）﹣g（x2）的最小值．
【解答】解：（1）f（x）的定义域（0，+∞），
f′（x）＝1，
令f′（x）＝0，得x2﹣ax+1＝0，
①当0＜a≤2时，△＝a2﹣4≤0，此时f′（x）≥0恒成立，
∴f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；
②当a＞2时，△＝a2﹣4＞0，x2﹣ax+1＝0的两根为：
x1，x2，且x1，x2＞0．
当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
综上，当0＜a≤2时，f（x）的递增区间为（0，+∞），无递减区间；
当a＞2时，f（x）的递增区间为（0，），（，+∞），
递减区间为（，）．
（2）由（1）知，f（x）的两个极值点x1，x2是方程x2﹣ax+1＝0的两个根，则，所以x2，a＝（x1），
∴g（x1）﹣g（x2）＝x1lnx1﹣（ln）
＝x1alnx1＝x1（x1）lnx1．
设h（x）＝（x）﹣（x）lnx，x∈（0，e]，
则（g（x1）﹣g（x2））min＝h（x）min，
∵h′（x）＝（1）﹣[（1）lnx+（x）]，
当x∈（0，e]时，恒有h′（x）≤0，∴h（x）在（0，e]上单调递减；
∴h（x）min＝h（e），。
高考数学(理)函数与导数 专题14 恒成立及存在性问题(解析版)
函数与导数14 导数及其应用 恒成立及存在性问题一、具体目标： 1.导数在研究函数中的应用：①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（对多项式函数一般不超过三次）。
②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（对多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（对多项式函数一般不超过三次）. 2.生活中的优化问题：会利用导数解决某些实际问题。
考点透析：1.以研究函数的单调性、单调区间、极值（最值）等问题为主，与不等式、函数与方程、函数的图象相结合；2.单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现，综合研究函数的性质以大题呈现；3.适度关注生活中的优化问题. 3.备考重点：(1) 熟练掌握导数公式及导数的四则运算法则是基础；(2) 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值（最值）的基本方法，灵活运用数形结合思想、分类讨论思想、函数方程思想等，分析问题解决问题. 二、知识概述： 一）函数的单调性：1.设函数y =f (x )在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则函数y =f (x )为增函数；如果f ' (x )<0，则函数y ＝f (x )为减函数；如果恒有f ' ( x )＝0，则y =f (x )为常函数.2.应当理解函数的单调性与可导性并无本质的联系，甚至具有单调性的函数并不一定连续．我们只是利用可导来研究单调性，这样就将研究的范围局限于可导函数．3.f (x )在区间I 上可导，那么0)(>'x f 是f (x )为增函数的充分条件，例如f (x )=x 3是定义于R 的增函数， 但 f '(0)=0，这说明f '(x )>0非必要条件．)(x f 为增函数，一定可以推出0)(≥'x f ，但反之不一定．4. 讨论可导函数的单调性的步骤： （1）确定)(x f 的定义域；【考点讲解】（2）求)(x f '，令0)(='x f ，解方程求分界点； （3）用分界点将定义域分成若干个开区间；（4）判断)(x f '在每个开区间内的符号，即可确定)(x f 的单调性.5.我们也可利用导数来证明一些不等式．如f (x )、g (x )均在[a 、b ]上连续，(a ，b )上可导，那么令h (x )＝f (x )－g (x )，则h (x )也在[a ，b ]上连续，且在(a ，b )上可导，若对任何x ∈(a ，b )有h '(x )>0且 h (a )≥0，则当x ∈(a ，b )时 h (x )>h (a )=0，从而f (x )>g (x )对所有x ∈(a ，b )成立． 二）函数的极、最值： 1．函数的极值 (1)函数的极小值：函数y ＝f(x)在点x ＝a 的函数值f(a)比它在点x ＝a 附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x ＝a 附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a 叫做函数y ＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y ＝f(x )的极小值． (2)函数的极大值：函数y ＝f(x)在点x ＝b 的函数值f(b)比它在点x ＝b 附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x ＝b 附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b 叫做函数y ＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y ＝f(x)的极大值． 极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 2．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f(x)在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a ，b ]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a ，b ]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．三）高考中全称命题和存在性命题与导数的结合是近年高考的一大亮点，下面结合高考试题对此类问题进行归纳探究相关结论：结论1：1212min max [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ∀∈∀∈>⇔>； 结论2：1212max min [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ∃∈∃∈>⇔>； 结论3：1212min min [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ∀∈∃∈>⇔>； 结论4：1212max max [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ∃∈∀∈>⇔>；结论5：1212[,],[,],()()()x a b x c d f x g x f x ∃∈∃∈=⇔的值域和()g x 的值域交集不为空.1. 【2019年高考天津理数】已知a ∈R ，设函数222,1,()ln ,1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x ≥【真题分析】在R 上恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．[]0,1B ．[]0,2C ．[]0,eD ．[]1,e【解析】当1x =时，(1)12210f a a =-+=>恒成立；当1x <时，22()22021x f x x ax a a x =-+≥⇔≥-恒成立，令2()1x g x x =-，则222(11)(1)2(1)1()111x x x x g x x x x -----+=-=-=----112201x x ⎛⎫⎛⎫=--+-≤-= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，当111x x-=-，即0x =时取等号，∴max 2()0a g x ≥=，则0a >. 当1x >时，()ln 0f x x a x =-≥，即ln x a x ≤恒成立，令()ln xh x x=，则2ln 1()(ln )x h x x -'=，当e x >时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，当0e x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减， 则e x =时，()h x 取得最小值(e)e h =，∴min ()e a h x ≤=，综上可知，a 的取值范围是[0,e]. 【答案】C2.【优选题】设函数()()21xf x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数t ，使得()0f t <，则a的取值范围是（ ） A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B ．33,24e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．33,24e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】本题考点是函数的单调性、存在性问题的综合应用.令()()()21,xg x e x h x ax a =-=-.由题意知存在唯一整数t ，使得()g t 在直线()h x 的下方.()()21'=+xg x ex ，当12x <-时，函数单调递减，当12x >-，函数单调递增，当12x =-时，函数取得最小值为122e --.当0x =时，(0)1g =-，当1x =时，(1)0g e =>，直线()h x ax a =-过定点()1,0，斜率为a ，故()0a g ->且()113g e a a --=-≥--，解得3,12⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭a e . 【答案】D3.【2019年高考北京】设函数()e e xxf x a -=+（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________．【解析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用()0f x '≥可得a 的取值范围.若函数()e e xxf x a -=+为奇函数，则()(),f x f x -=-即()ee e e xx x x a a --+=-+，即()()1e e0xxa -++=对任意的x 恒成立，则10a +=，得1a =-.若函数()e e xxf x a -=+是R 上的增函数，则() e e 0x xf x a -'=-≥在R 上恒成立，即2e x a ≤在R 上恒成立，又2e 0x >，则0a ≤，即实数a 的取值范围是(],0-∞. 【答案】(]1,0--∞4.【优选题】已知函数f (x )＝mx 2－x ＋ln x ，若在函数f (x )的定义域内存在区间D ，使得该函数在区间D 上为减函数，则实数m 的取值范围为________．【解析】f ′(x )＝2mx －1＋1x ＝2mx 2－x ＋1x ，即2mx 2－x ＋1<0在(0，＋∞)上有解．当m ≤0时，显然成立；当m >0时，由于函数y ＝2mx 2－x ＋1的图象的对称轴x ＝14m >0，故只需Δ>0，即1－8m >0，解得m <18.故实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，18. 【答案】⎝⎛⎭⎫－∞，18 5.【优选题】若曲线3()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 取值范围是_____________. 【解析】 由题意可知'21()2f x ax x=+，又因为存在垂直于y 轴的切线， 所以231120(0)(,0)2ax a x a x x+=⇒=->⇒∈-∞. 【答案 】 (,0)-∞ 6.【2018年江苏卷】若函数()()R a ax x x f ∈+-=1223在()∞+，0内有且只有一个零点，则()x f 在[]11，-上的最大值与最小值的和为________．【解析】本题考点是函数的零点、函数的单调性与最值的综合应用. 由题意可求得原函数的导函数为()0262=-='ax x x f 解得3,0ax x ==，因为函数在()∞+，0上有且只有一个零点，且有()10=f ，所以有03,03=⎪⎭⎫⎝⎛>a f a，因此有3,0133223==+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a a ，函数()x f 在[]01，-上单调递增，在[]10，上单调递减，所以有()()10max ==f x f ，()()41min -=-=f x f ，()()3min max -=+x f x f .【答案】–37.【2018年理新课标I 卷】已知函数()x x x f 2sin sin 2+=，则()x f 的最小值是_____________．【解析】本题考点是函数的单调性、最值与三角函数的综合应用. 由题意可()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+=+='21cos 1cos 42cos 2cos 42cos 2cos 22x x x x x x x f ，所以当21cos <x 时函数单调减，当21cos >x 时函数单调增，从而得到函数的减区间为 ()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡--32,352ππππ，函数的增区间为()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-32,32ππππ，所以当()Z k k x ∈-=,32ππ时，函数()x f 取得最小值，此时232sin ,23sin -=-=x x ，所以()23323232min-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x f ，故答案是233-. 【答案】233-8.【优选题】已知21()ln (0)2f x a x x a =+>，若对任意两个不等的正实数12x x 、都有1212()()2f x f x x x ->-恒成立，则a 的取值范围是 . 【解析】由题意可知()'2af x x x=+≥（x ＞0）恒成立，∴22a x x ≥-恒成立， 令()()22211g x x x x =-=--+则()max x g a ≥，∵()22g x x x =-为开口方向向下，对称轴为x =1的抛物线，∴当x =1时，()22g x x x =-取得最大值()11=g ，∴1≥a 即a 的取值范围是[1，+∞）．【答案】[)1,+∞9. 【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数32()2f x x ax b =-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由.【解析】（1）2()622(3)f x x ax x x a '=-=-．令()0f x '=，得x =0或3ax =. 若a >0，则当(,0),3a x ⎛⎫∈-∞+∞⎪⎝⎭U 时，()0f x '>；当0,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在0,3a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；若a =0，()f x 在(,)-∞+∞单调递增；若a <0，则当,(0,)3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭U 时，()0f x '>；当,03a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在,,(0,)3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在,03a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.（2）满足题设条件的a ，b 存在.（i ）当a ≤0时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递增，所以()f x 在区间[0，l ]的最小值为(0)=f b ，最大值为(1)2f a b =-+.此时a ，b 满足题设条件当且仅当1b =-，21a b -+=，即a =0，1b =-． （ii ）当a ≥3时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递减，所以()f x 在区间[0，1]的最大值为(0)=f b ，最小值为(1)2f a b =-+．此时a ，b 满足题设条件当且仅当21a b -+=-，b =1，即a =4，b =1．（iii ）当0<a <3时，由（1）知，()f x 在[0，1]的最小值为3327a a f b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最大值为b 或2a b -+．若3127a b -+=-，b =1，则a =，与0<a <3矛盾.若3127a b -+=-，21a b -+=，则a =或a =-或a =0，与0<a <3矛盾．综上，当且仅当a =0，1b =-或a =4，b =1时，()f x 在[0，1]的最小值为-1，最大值为1．10.【2019年高考浙江】已知实数0a ≠，设函数()=ln 0.f x a x x +>（1）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）对任意21[,)e x ∈+∞均有()f x ≤ 求a 的取值范围． 注：e=2.71828…为自然对数的底数．【解析】（1）当34a =-时，3()ln 04f x x x =->．3()4f 'x x =-+=()f x 的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+∞）．（2）由1(1)2f a≤，得04a <≤．当04a <≤时，()f x ≤2ln 0x ≥．令1t a=，则t ≥．设()22ln ,g t tx t =≥2()2ln g t t x=-．（i ）当1,7x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭≤()2ln g t g x ≥=．记1()ln ,7p x x x =≥，则1()p'x x =-==. 故所以，()(1)0p x p ≥=．因此，()2()0g t g p x ≥=≥．（ii ）当211,e 7x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()g t g =…．令211()(1),,e 7q x x x x ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦，则()10q'x =>， 故()q x 在211,e 7⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以1()7q x q ⎛⎫ ⎪⎝⎭„． 由（i ）得，11(1)07777q p p ⎛⎫⎛⎫=-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以，()<0q x ．因此()0g t g =>…． 由（i ）（ii ）知对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，),()0t g t ∈+∞…，即对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，均有()2f x a „． 综上所述，所求a的取值范围是0,4⎛ ⎝⎦． 【答案】（1）()f x 的单调递增区间是()3,+∞,单调递减区间是()0,3；（2）0,4⎛ ⎝⎦.1.设函数a ax x x x f -+--=53)(23，若存在唯一的正整数0x ，使得0)(0<x f ，则a 的取值范围是（ ）A ．)31,0( B ．]45,31( C ．]23,31( D ．]23,45(【解析】当32a =时，3237()322f x x x x =--+，()()20,30f f <<，不符合题意，故排除C ，D.当54a =时，32515()344f x x x x =--+，()()()()10,20,30,40f f f f ><=>，故54a =符合题意.【答案】B2.设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ） A ．3[,1)2e -B ．33[,)24e - C ．33[,)24e D ．3[,1)2e【解析】 ()0(21)xf x e x ax a <⇔-<-，记()(21)xg x e x =-，则题意说明存在唯一的整数0x ，使()g x 的图象在直线y ax a =-下方，【模拟考场】'()(21)x g x e x =+，当12x <-时，'()0g x <，当12x >-时，'()0g x >，因此当12x =-时，()g x 取得极小值也是最小值21()22g e --=-，又(0)1g =-，(1)0g e =>，直线y ax a =-过点（1,0）且斜率为a ，故1(0)1(1)3a g g e a a-->=-⎧⎨-=-≥--⎩，解得312a e≤<． 【答案】D3.若函数()()2ln 201x f x a x x a m a a =+-⋅-->≠且有两个零点，则m 的取值范围（ ） A.()1,3- B.()3,1- C.()3,+∞ D.(),1-∞- 【解析】考查函数()2ln xg x a x x a m =+--，则问题转化为曲线()y g x =与直线2y =有两个公共点，则()()ln 2ln 1ln 2x x g x a a x a a a x '=+-=-+，则()00g '=， 当01a <<时，ln 0a <，当0x <时，10x a ->，()1ln 0x a a -<，20x <，则()1ln 20x a a x -+<， 当0x >，10x a -<，()1ln 0x a a ->，20x >，则()1ln 20x a a x -+>，此时，函数()2ln xg x a x x a m =+--在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增，同理，当1a >时，函数()2ln xg x a x x a m =+--在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增，因此函数()2ln xg x a x x a m =+--在0x =处取得极小值，亦即最小值，即()()min 01g x g m ==-，)由于函数()()2ln 201x f x a x x a m a a =+-⋅-->≠且有两个零点， 结合图象知12m -<，解得13m -<<，故选A. 【答案】A 4. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若当[]1,2x ∈-时()f x m <恒成立，求m 的取值范围 【解析】试题分析：（1）由原函数求出导数，通过导数的正负求出相应的单调区间（2）将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，本题中需求函数()f x 的最大值，可通过导数求解.试题解析：（1）由()'2320fx x x =--> 得1x >或()1,+∞（2上递减，在区间[]1,2上递增，又，所以在区间[]1, 2-上max 7f =要使()f x m <恒成立，只需7m >即可.【答案】（1，()1,+∞ 2）7m >5.【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数1()ln f x x a x x=-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--．【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，22211()1a x ax f x x x x -+'=--+=-.（i ）若2a ≤，则()0f x '≤，当且仅当2a =，1x =时()0f x '=，所以()f x 在(0,)+∞单调递减.（ii ）若2a >，令()0f x '=得，2a x =或2a x =.当)x ∈+∞U 时，()0f x '<；当x ∈时，()0f x '>.所以()f x在)+∞单调递减，在单调递增. （2）由（1）知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >.由于()f x 的两个极值点12,x x 满足210x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则21x >. 由于12121221212121222()()ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a a x x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----， 所以1212()()2f x f x a x x -<--等价于22212ln 0x x x -+<.设函数1()2ln g x x x x=-+，由（1）知，()g x 在(0,)+∞单调递减，又(1)0g =，从而当(1,)x ∈+∞时，()0g x <.所以22212ln 0x x x -+<，即1212()()2f x f x a x x -<--. 6.已知函数()ln 2a xf x x x =++． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）设函数()()ln 1g x x x f x =+-，若1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x >恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()222112222a x x af x x x x +-'=-+=，令()0f x '=，则2220x x a +-=，480a ∆=+>时，即12a >-，方程两根为11x ==--2x =-122x x +=-，122x x a =-，①当12a ≤-时，0∆≤，()0f x '≥恒成立，()f x 的增区间为()0,+∞；②当102a -<≤时，1220x x a =-≥，10x <，20x ≤，()0,x ∈+∞时，()0f x '≥，()f x 的增区间为()0,+∞；③当0a >时，10x <，20x >，当()20,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当()2+x x ∈∞,时，()0f x '>，单调递增；综上，当0a ≤时，()f x 的增区间为()0,+∞； 当0a >时，()f x的减区间为(0,1-，增区间为()1-+∞．（2）1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x >恒成立，即ln ln 102a x x x x x ---+>，∴22ln ln 2x a x x x x x <--+，令()221ln ln 22x h x x x x x x x ⎛⎫=--+> ⎪⎝⎭，()2ln ln 11h x x x x x x '=+---+，()()21ln h x x x '=-，当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 单调递减；当()1+x ∈∞,时，()0h x '>，()h x 单调递减； ∴()()min 112h x h ==，∴12a <，则实数a 的取值范围时12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,．【答案】（1）当0a ≤时，()f x 的增区间为()0,+∞；当0a >时，()f x的减区间为(0,1-，增区间为()1-+∞；（2）12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,．7.已知函数f (xln x ．（Ⅰ）若f (x )在x =x 1，x 2(x 1≠x 2)处导数相等，证明：f (x 1)+f (x 2)>8−8ln2；（Ⅱ）若a ≤3−4ln2，证明：对于任意k >0，直线y =kx +a 与曲线y =f (x )有唯一公共点．【解析】（Ⅰ）函数f （x）的导函数1()f x x '=-，由12()()f x f x ''=1211x x -=-， 因为12x x ≠12+==≥ 因为12x x ≠，所以12256x x >．由题意得121212()()ln ln ln()f x f x x x x x +=+=．设()ln g x x =，则1()4)4g x x'=， 所以所以g （x ）在[256，+∞）上单调递增，故12()(256)88ln 2g x x g >=-，即12()()88ln 2f x f x +>-． （Ⅱ）令m =()e a k -+，n =21()1a k++，则f （m ）–km –a >|a |+k –k –a ≥0， f （n ）–kn –a <)a n k n --≤)n k -<0，所以，存在x 0∈（m ，n ）使f （x 0）=kx 0+a ， 所以，对于任意的a ∈R 及k ∈（0，+∞），直线y =kx +a 与曲线y =f （x ）有公共点． 由f （x ）=kx +a 得k =设()h x =22ln )1)((12x ag x x x a x h '=-+--+=，其中(n )l g x x -=． 由（Ⅰ）可知g （x ）≥g （16），又a ≤3–4ln2，故–g （x ）–1+a ≤–g （16）–1+a =–3+4ln 2+a ≤0， 所以h ′（x ）≤0，即函数h （x ）在（0，+∞）上单调递减，因此方程f （x ）–kx –a =0至多1个实根． 综上，当a ≤3–4ln 2时，对于任意k >0，直线y =kx +a 与曲线y =f （x ）有唯一公共点． 8.【优选题】已知函数21()(2)2ln 2f x x a x a x =-++(0)a >. （1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线为2y x b =+，求2a b +的值； （2）讨论函数()f x 的单调性；（3）设函数()(2)g x a x =-+，若至少存在一个0[,4]x e ∈，使得00()()f x g x >成立，求实数a 的取值范围．【解析】本题是函数的综合问题.（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，2()(2)'=-++a f x x a x， ∴1(1)(2)22f a b =-+=+，(1)1(2)22'=-++=f a a ， 解得132,2a b ==-，∴210a b +=-．（2）2(2)2(2)()()-++--'==x a x a x x a f x x x，当2a =时，()0(0,)'≥⇒∈+∞f x x ，∴()f x 的单调增区间为(0,)+∞.当02a <<时，由'()0(0,)(2,)f x x a >⇒∈+∞U ，∴()f x 的单调增区间为(0,)a ，(2,)+∞由'()0(,2)f x x a <⇒∈，∴()f x 的单调减区间为(,2)a .当2a >时，由'()0(0,2)(,)f x x a >⇒∈+∞U ，∴()f x 的单调增区间为(0,2)，(,)a +∞由'()0(2,)f x x a <⇒∈，∴()f x 的单调减区间为(2,)a .综上所述：当2a =时，'()0(0,)f x x ≥⇒∈+∞，∴()f x 的单调增区间为(0,)+∞，当02a <<时，∴()f x 的单调增区间为(0,)a ，(2,)+∞，()f x 的单调减区间为(,2)a 当2a >时，∴()f x 的单调增区间为(0,2)，(,)a +∞，()f x 的单调减区间为(2,)a .（3）若至少存在一个0[,4]x e ∈，使得00()()f x g x >，∴212ln 02x a x +>， 当[,4]x e ∈时，ln 1x >，∴2122ln xa x>-有解，令212()ln x h x x=-，∴min 2()a h x >.2'22111ln (ln )22()0(ln )(ln )x x x x x x h x x x -⋅-=-=-<， ∴()h x 在[,4]e 上单调递减，min 4()(4)ln 2h x h == ∴42ln 2a >得，2ln 2a >． 9.【2018山东模拟】设函数0),(,)1(31)(223>∈-++-=m R x x m x x x f 其中 （Ⅰ）当时，1=m 曲线））（，在点（11)(f x f y =处的切线斜率.（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；（Ⅲ）已知函数)(x f 有三个互不相同的零点0，21,x x ，且21x x <.若对任意的],[21x x x ∈，)1()(f x f > 恒成立，求m 的取值范围.【解析 】本小题主要考查导数的几何意义，导数的运算，以及函数与方程的根的关系解不等式等基础知识，考查综合分析问题和解决问题的能力. （1）当1)1(,2)(,31)(1'2/23=+=+==f x x x f x x x f m 故时， 所以曲线））（，在点（11)(f x f y =处的切线斜率为1.（2） 12)(22'-++-=m x x x f ，令0)('=x f ，得到m x m x +=-=1,1因为m m m ->+>11,0所以当x 变化时，)(),('x f x f 的变化情况如下表：x )1,(m --∞m -1)1,1(m m +-m +1),1(+∞+m)('x f+0 - 0 +)(x f极小值极大值)(x f 在)1,(m --∞和),1(+∞+m 内减函数，在)1,1(m m +-内增函数。
高考数学复习、高中数学 导数与函数的单调性附答案解析
第2节 导数与函数的单调性课标要求 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性；2.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间。
【知识衍化体验】知识梳理1.函数的导数与单调性的关系函数y ＝f (x )在某个区间内可导：(1)若f ′(x )＞0，则f (x )在这个区间内 ； (2)若f ′(x )＜0，则f (x )在这个区间内 ； (3)若f ′(x )＝0，则f (x )在这个区间内是 . 【微点提醒】1．在某区间内f ′(x )>0(f ′(x )<0)是函数f (x )在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．2．可导函数f (x )在(a ，b )上是增(减)函数的充要条件是对∀x ∈(a ，b )，都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)且f ′(x )在(a ，b )上的任何子区间内都不恒为零．基础自测 1．函数f(x)＝ln x －x 的单调递增区间是( )A ．(－∞，1)B ．(0，1)C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)2．函数f (x )＝x 3－ax 为R 上增函数的一个充分不必要条件是( ) A ．a ≤0 B ．a <0 C ．a ≥0 D ．a >03．函数y ＝f(x)的导函数f′(x)的图象如下图，则函数y ＝f(x)的图象可能是( )4．若函数f(x)＝ln x ＋ax 2－2在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2内单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－2，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－18 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－18，＋∞ 【考点聚焦突破】考点1利用导数求函数的单调区间【例1】已知函数f(x)＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ，讨论f (x )的单调性．规律方法当方程f′(x)＝0可解时，确定函数的定义域，解方程f′(x)＝0，求出实数根，把函数f(x)的间断点即f(x)的无定义点的横坐标和实根按从小到大的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，确定f′(x)在各个区间内的符号，从而确定单调区间.【训练1】函数f(x)＝axx2＋1(a>0)的单调递增区间是( )A．(－∞，－1) B．(－1,1)C．(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)2．函数f(x)＝x＋2cos x(x∈(0，π))的单调递减区间为________．考点2利用导数讨论函数的单调区间【例2】 (2015江苏节选)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R)．试讨论f(x)的单调性．规律方法1.研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.遇二次三项式因式常考虑二次项系数、对应方程的判别式以及根的大小关系，以此来确定分界点，分情况讨论.2.划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点.3.个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f x＝x3，f′x＝3x2≥0f′x＝0在x＝0时取到，f x在R上是增函数.【训练2】已知函数f(x)＝e x(ax2－2x＋2)(a＞0)，试讨论f(x)的单调性．考点3函数单调性的简单应用角度1比较大小或解不等式【例3-1】(1)已知函数f (x )＝－xex ＋ln 2，则( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e >f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12D ．大小关系无法确定 (2)已知定义域为R 的函数f (x )满足f (4)＝－3，且对任意的x ∈R 总有f ′(x )<3，则不等式f (x )<3x －15的解集为________．角度2 根据函数的单调性求参数【例3-2】已知函数f (x )＝x 3－ax －1.(Ⅰ)若f (x )在(－1，1)上为减函数，则实数a 的取值范围为 ； (Ⅱ)若f (x )的单调递减区间为(－1，1)，则实数a 的值为 ； (Ⅲ)若f (x )在(－1，1)上不单调，则实数a 的取值范围为 .【训练3】（1）若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上是增函数，则a 的取值范围是________．(2)若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________．（3）定义在R 上的奇函数f (x )，其导函数为f ′(x )，当x ∈(－∞，0]时，恒有xf ′(x )＜f (－x )，则满足13(2x －1)f (2x －1)＜f (3)的实数x 的取值范围是________．规律方法1.利用导数比较大小或解不等式的常用技巧，利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．2. f(x)在区间D上单调递增(减)，只要f′(x)≥0(≤0)在D上恒成立即可，如果能够分离参数，则尽可能分离参数后转化为参数值与函数最值之间的关系．反思与感悟【思维升华】1．函数的导数与函数的单调性在一个区间上，f′(x)≥0(个别点取等号)⇔f(x)在此区间上为增函数．在一个区间上，f′(x)≤0(个别点取等号)⇔f(x)在此区间上为减函数．2．根据函数单调性求参数的一般思路：(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．(2)转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0”来求解．【易错防范】1．解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f′(x)＝0时的情况；区分极值点和导数为0的点．2．研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．第2节 导数与函数的单调性【知识衍化体验】 知识梳理1.(1)单调递增；(2)单调递减；(3)常数函数．基础自测 1．B 2．B 3.D 4.D【考点聚焦突破】【例1】解：f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2(x ＋2)＝2(x ＋2)(2e x－1).令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝ln 12.当x 变化时， f (x )， f ′(x )的变化情况如下表：x (－∞，－2)－2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，ln 12 ln 12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12，＋∞ f ′(x ) ＋－＋f (x )极大值极小值∴y ＝f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)，(ln 12，＋∞)，单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫－2，ln 12.【训练1】B函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝a 1－x 2x 2＋12＝a 1－x 1＋xx 2＋12.由于a >0，要使f ′(x )>0，只需(1－x )·(1＋x )>0，解得x ∈(－1,1)．故选B.2．⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6解析 f ′(x )＝1－2sin x ，令f ′(x )<0得sin x >12，故π6<x <5π6.【例2】解：由题意， f (x )的定义域为R ， f ′(x )＝3x 2＋2ax ，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝－2a 3当a ＝0时，有f ′(x )＝3x 2≥0，所以函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增.当a ＞0时，令f ′(x )>0，得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－ 2a 3∪(0，＋∞)；令f ′(x )<0，得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－2a 3，(0，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，0上单调递减.当a ＜0时，令f ′(x )>0，得x ∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，＋∞；令f ′(x )<0，得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2a 3，所以函数f (x )在(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2a 3上单调递减.综上，当a＝0时，f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－2a 3，(0，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，0上单调递减；当a ＜0时， f (x )在(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫0，－2a 3上单调递减 【训练2】解 由题意得f ′(x )＝e x[ax 2＋(2a －2)x ](a ＞0)，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2－2a a.(1)当0＜a ＜1时，f (x )的单调递增区间为(－∞，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2a a ，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，2－2a a ；(2)当a ＝1时，f (x )在(－∞，＋∞)内单调递增；(3)当a ＞1时，f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2－2a a 和(0，＋∞)，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2a a ，0. 【例3-1】C 解析 f ′(x )＝－e x－－x exe x ·e x＝x －1ex，当x <1时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．∵1e <12<1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e >f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.故选C. (2) (4，＋∞)令g (x )＝f (x )－3x ＋15，则g ′(x )＝f ′(x )－3<0，所以g (x )在R 上是减函数．又g (4)＝f (4)－3×4＋15＝0，所以f (x )<3x －15的解集为(4，＋∞)．【例3-2】 解(Ⅰ)(法一)由题意，f ′(x )＝3x 2－a ，由f (x )在(－1，1)上为减函数，得f ′(x )≤0在(－1，1)上恒成立，即a ≥3x 2恒成立.又因为当x ∈(－1，1)时，函数y ＝3x 2的值域是[0，3)，所以实数a 的取值范围是[3，＋∞).(法二)当a ≤0时， f ′(x )＝3x 2－a ≥0，显然没有单调递减区间，不符合题意.当a ＞0时，令f ′(x )＝3x 2－a ＝0，得x ＝±3a 3，易知当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3时， f (x )单调递减.若f (x )在(－1，1)上为减函数，则(－1，1)应为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3的子区间，即3a 3≥1，解得a ≥3，所以实数a 的取值范围是[3，＋∞).(Ⅱ)由(Ⅰ)知f (x )的单调递减区间为( －3a 3， 3a 3)，所以3a 3＝1，解得a ＝3. (Ⅲ)由(Ⅰ)知，当a ≤0时，f (x )在R 上单调递增，不符合题意.当a >0时，由f ′(x )＝0，得x ＝±3a 3，因为f (x )在(－1，1)上不单调，所以0<3a3<1，解得0<a <3，所以a 的取值范围是(0，3).【训练3】（1） [3，＋∞)由条件知f ′(x )＝2x ＋a －1x 2≥0在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，即a ≥1x 2－2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立．∵函数y ＝1x 2－2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为减函数，∴y max ＜1⎝ ⎛⎭⎪⎫122－2×12＝3，∴a ≥3.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞ 对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋2a .当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29＋2a .令29＋2a ＞0，解得a ＞－19.所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞.（3）(－1，2)∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴由xf ′(x )<f (－x )可得xf ′(x )＋f (x )<0，即[xf (x )]′<0，∵当x ∈(－∞，0]时，恒有xf ′(x )<f (－x )，∴当x ∈(－∞，0]时，恒有[xf (x )]′<0，设F (x )＝xf (x )，则函数F (x )＝xf (x )在(－∞，0]上为减函数，∵F (－x )＝(－x )f (－x )＝(－x )(－f (x ))＝xf (x )＝F (x )，∴函数F (x )为R 上的偶函数，∴函数F (x )＝xf (x )为[0，＋∞)上的增函数，∵13(2x －1)f (2x －1)<f (3)，∴(2x －1)f (2x －1)<3f (3)，∴F (2x －1)<F (3)，∴|2x －1|<3，解得－1<x <2.。
高考数学一轮复习导数与函数的单调性
第十一节导数与函数的单调性[考纲传真](教师用书独具)了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)．(对应学生用书第32页)[基础知识填充]函数的导数与单调性的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数．[知识拓展]1．在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对?x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒为零．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么在区间(a，b)上一定有f′(x)>0.()(2)如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0，则函数f(x)在此区间上没有单调性．()(3)f′(x)＞0是f(x)为增函数的充要条件．()[答案](1)×(2)√(3)×2．f(x)＝x3－6x2的单调递减区间为()A．(0,4)B．(0,2)C．(4，＋∞) D．(－∞，0)A[f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)，由f′(x)<0，得0<x<4，∴递减区间为(0,4)．]3．(教材改编)如图2-11-1所示是函数f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断中正确的是() 【导学号：79170063】图2-11-1A．函数f(x)在区间(－3,0)上是减函数B．函数f(x)在区间(1,3)上是减函数C．函数f(x)在区间(0,2)上是减函数D．函数f(x)在区间(3,4)上是增函数A[当x∈(－3,0)时，f′(x)＜0，则f(x)在(－3,0)上是减函数．其他判断均不正确．]4．(2015·陕西高考)设f(x)＝x－sin x，则f(x)()A．既是奇函数又是减函数B．既是奇函数又是增函数C．是有零点的减函数D．是没有零点的奇函数B[因为f′(x)＝1－cos x≥0，所以函数为增函数，排除选项A和C．又因为f(0)＝0－sin 0＝0，所以函数存在零点，排除选项D，故选B．] 5．(2017·浙江高考)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图2-11-2所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()图2-11-2D[观察导函数f′(x)的图象可知，f′(x)的函数值从左到右依次为小于0，大于0，小于0，大于0，∴对应函数f(x)的增减性从左到右依次为减、增、减、增．观察选项可知，排除A、C．如图所示，f′(x)有3个零点，从左到右依次设为x1，x2，x3，且x1，x3是极小值点，x2是极大值点，且x2>0，故选项D正确．故选D．](对应学生用书第32页)判断或证明函数的单调性已知函数f(x)＝ln x－ax2＋(2－a)x.讨论f(x)的单调性．[解]f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝1x－2ax＋2－a＝－2x＋1ax－1x.①若a≤0，则f′(x)＞0.所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．②若a＞0，则由f′(x)＝0，得x＝1 a ，且当x∈0，1a时，f′(x)＞0，当x∈1a，＋∞时，f′(x)＜0.所以f(x)在0，1a上单调递增，在1a，＋∞上单调递减．综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a＞0时，函数f(x)在0，1a上单调递增，在1a，＋∞上单调递减．[规律方法]用导数证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤一求：求f′(x)；二定：确认f′(x)在(a，b)内的符号；三结论：作出结论：f′(x)＞0时为增函数；f′(x)＜0时为减函数．易错警示：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．[变式训练1](2016·四川高考节选)设函数f(x)＝ax2－a－ln x，g(x)＝1x－ee x，其中a∈R，e＝2.718,为自然对数的底数．(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x>1时，g(x)>0. 【导学号：79170064】[解](1)由题意得f′(x)＝2ax－1x＝2ax2－1x(x>0). 2分当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减．当a>0时，由f′(x)＝0有x＝12a，当x∈0，12a时，f′(x)<0，f(x)单调递减；5分当x∈12a，＋∞时，f′(x)>0，f(x)单调递增. 7分(2)证明：令s(x)＝e x－1－x，则s′(x)＝e x－1－1. 9分当x>1时，s′(x)>0，所以e x－1>x，从而g(x)＝1x－1e x－1>0. 12分求函数的单调区间(2016·天津高考节选)设函数f(x)＝x3－ax－b，x∈R，其中a，b∈R.求f(x)的单调区间．[解]由f(x)＝x3－ax－b，可得f′(x)＝3x2－A．下面分两种情况讨论：①当a≤0时，有f′(x)＝3x2－a≥0恒成立，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞). 5分②当a＞0时，令f′(x)＝0，解得x＝3a3或x＝－3a3.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x －∞，－3a3－3a3－3a3，3a33a33a3，＋∞f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以f(x)的单调递减区间为－3a3，3a3，单调递增区间为－∞，－3a3，3a3，＋∞. 12分[规律方法]求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x)；(3)在定义域内解不等式f′(x)＞0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f′(x)＜0，得单调递减区间．[变式训练2]已知函数f(x)＝(－x2＋2x)e x，x∈R，e为自然对数的底数，则函数f(x)的单调递增区间为________．(－2，2)[因为f(x)＝(－x2＋2x)e x，所以f′(x)＝(－2x＋2)e x＋(－x2＋2x)e x＝(－x2＋2)e x.令f′(x)＞0，即(－x2＋2)e x＞0，因为e x＞0，所以－x2＋2＞0，解得－2＜x＜2，所以函数f(x)的单调递增区间为(－2，2)．]已知函数的单调性求参数已知函数f(x)＝x3－ax－1.若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围．[解]因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立．因为3x2≥0，所以只需a≤0.又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0，即实数a的取值范围为(－∞，0]．[母题探究1](变换条件)函数f(x)不变，若f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，求a的取值范围．[解]因为f′(x)＝3x2－a，且f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，所以f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x2－a≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3x2在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3，即a的取值范围为(－∞，3]．[母题探究2](变换条件)函数f(x)不变，若f(x)在区间(－1,1)上为减函数，试求a 的取值范围．[解]由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，得a≥3x2在(－1,1)上恒成立．因为－1＜x＜1，所以3x2＜3，所以a≥3.即当a的取值范围为[3，＋∞)时，f(x)在(－1,1)上为减函数．[母题探究3](变换条件)函数f(x)不变，若f(x)在区间(－1,1)上不单调，求a的取值范围．[解]∵f(x)＝x3－ax－1，∴f′(x)＝3x2－A．由f′(x)＝0，得x＝±3a3(a≥0)．∵f(x)在区间(－1,1)上不单调，∴0＜3a3＜1，得0＜a＜3，即a的取值范围为(0,3)．[规律方法]根据函数单调性求参数的一般方法(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．(2)转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0”来求解．易错警示：(1)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0，且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．(2)函数在其区间上不具有单调性，但可在子区间上具有单调性，如迁移3中利用了3a3∈(0,1)来求解．[变式训练3]已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝12ax2＋2x(a≠0)(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围；(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围.【导学号：79170065】[解](1)h(x)＝ln x－12ax2－2x，x∈(0，＋∞)，所以h′(x)＝1x－ax－2，由h(x)在[1,4]上单调递减得，当x∈[1,4]时，h′(x)＝1x－ax－2≤0恒成立，即a≥1x2－2x恒成立．令G(x)＝1x2－2x，所以a≥G(x)max，而G(x)＝1x－12－1，因为x∈[1,4]，所以1x∈14，1，所以G(x)max＝－716(此时x＝4)，所以a≥－716，即a的取值范围是－716，＋∞.(2)h′(x)＝1x－ax－2，由于h(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x∈(0，＋∞)时，1x－ax－2＜0有解，即a＞1x2－2x有解．设G(x)＝1x2－2x，所以只要a＞G(x)min即可．而G(x)＝1x－12－1，所以G(x)min＝－1.所以a＞－1.。
2024年高考数学一轮复习(新高考版)《导数与函数的单调性》课件
探究核心题型
第三部分
课时精练
第
一 部 分
落实主干知识
知识梳理
1.函数的单调性与导数的关系
条件
函数y＝f(x)在区间 (a，b)上可导
恒有 f′(x)>0 f′(x)<0 f′(x)＝0
结论 f(x)在区间(a，b)上_单__调__递__增__ f(x)在区间(a，b)上_单__调__递__减__ f(x)在区间(a，b)上是_常__数__函__数__
题型二 含参数的函数的单调性
例2 已知函数f(x)＝(2－a)x－ln x－1，a∈R. (1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的单调递增区间；
当 a＝1 时，f(x)＝x－ln x－1，则 f′(x)＝1－1x＝x－x 1(x>0)， 当x>1时，f′(x)>0，∴f(x)的单调递增区间为(1，＋∞).
知识梳理
2.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的 定义域 ； 第2步，求出导数f′(x)的 零点 ； 第 3 步 ， 用 f′(x) 的 零 点 将 f(x) 的 定 义 域 划 分 为 若 干 个 区 间 ， 列 表 给 出 f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.
综上，当－2<a<0 时，g(x)的单调递减区间为0，12，－1a，＋∞， 单调递增区间为12，－1a； 当a＝－2时，g(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间； 当 a<－2 时，g(x)的单调递减区间为0，－1a，12，＋∞，单调递增 区间为－1a，12.
思维升华
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进 行分类讨论. (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数 为零的点和函数的间断点.
高考数学复习考点知识专题讲解课件16---导数与函数的单调性
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新高考 大一轮复习 · 数学 题型三 函数单调性的应用 命题点 1 比较大小或解不等式 例 2 (1)已知定义在 R 上的函数 f(x)，g(x)满足：对任意 x∈R，都有 f(x)＞0，g(x) ＞0，且 f′(x)g(x)－f(x)g′(x)＜0.若 a，b∈R＋且 a≠b，则有( ) A．fa＋2 bga＋2 b＞f( ab)g( ab) B．fa＋2 bga＋2 b＜f( ab)g( ab)
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②当 a＞2 时，令 f′(x)＝0，
得 x＝a－
2a2－4或 x＝a＋
a2－4 2.
当 x∈0，a－ 2a2－4∪a＋ 2a2－4，＋∞时，f′(x)＜0；
当 x∈a－
2a2－4，a＋
2a2－4时，f′(x)＞0.
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所以
f(x)
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新高考 大一轮复习 · 数学 2．函数的极值与导数
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3.函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数 f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数 f(x)在[a，b]上单调递增，则 f(a) 为函数的最小值， f(b)为函数的最大值； 若函数 f(x)在[a，b]上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，f(b) 为函数的最小值．
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第14讲 函数的零点、隐零点、极值点偏移问题(学生版) 备战2025年高考数学一轮复习(天津专用)
第14讲函数的零点、隐零点、极值点偏移问题（6类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为16分【备考策略】1.理解、掌握函数零点与方程的关系2.能掌握函数零点的求解方法3.具备数形结合的思想意识，会借助函数图像的交点解决函数的零点问题4.会解隐零点与极值点偏移问题【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出函数的解析式解决函数的零点相关问题。
知识讲解知识点一.函数零点个数问题用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断;另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决，对于函数零点个数问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围，从图象的最高点、最低点、分析函数的最值、极值;从图象的对称性，分析函数的奇偶性;从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等。
但需注意探求与论证之间区别，论证是充要关系，要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数.知识点二.零点存在性赋值理论1.确定零点是否存在或函数有几个零点，作为客观题常转化为图象交点问题，作为解答题一般不提倡利用图象求解，而是利用函数单调性及零点赋值理论.函数赋值是近年高考的一个热点，赋值之所以“热”，是因为它涉及到函数领域的方方面面:讨论函数零点的个数(包括零点的存在性，唯一性);求含参函数的极值或最值;证明一类超越不等式;求解某些特殊的超越方程或超越不等式以及各种题型中的参数取值范围等，零点赋值基本模式是已知f(a)的符号，探求赋值点m(假定m<a)使得f(m)与f(a)异号，则在(m，a)上存在零点2.赋值点遴选要领:讲选赋值点须做到三个确保:确保参数能取到它的一切值;确保赋值点x0落在规定区间内;确保运算可行三个优先:(1)优先常数赋值点;(2)优先借助已有极值求赋值点;(3)优先简单运算.知识点三.隐零点问题1.函数零点按是否可求精确解可以分为两类:一类是数值上能精确求解的，称之为“显零点”;另一类是能够判断其存在但无法直接表示的，称之为“隐零点”2.利用导数求函数的最值或单调区间，常常会把品值问题转化为求导函数的零点问题、若导数零点存在，但无法求出，我们可以设其为0，再利用导函数单调性确定0所在区间，最后根据f’(0)=0，研究f(0)，我们把这类问题称为隐零点问题.注意若f(x)中含有参数a，关系式f(0)=0是关于0,a的关系式，确定0的合适范围，往往和a的范围有关.考点一、函数零点个数问题1.（2024·四川凉山·二模）若=Lin+cos−1，∈−π2,π，则函数的零点个数为（）A．0B．1C．2D．32.（2024高三·全国·专题练习）函数f（x）＝x－sin x的零点个数为．1.（2024高三·全国·专题练习）已知函数f(x)＝x3－x－1.(1)求证：函数f(x)在区间(1，2)内恰有一个零点；(2)将（1）中的零点记为a，且a4r14n的值.2.（2024·山西晋中·模拟预测）已知函数=ln+sin+sinπ10.(1)求函数在区间1,e上的最小值；(2)判断函数的零点个数，并证明.考点二、数形结合法研究零点问题1.（2023·四川甘孜·一模）设定义在上的函数是偶函数，且+π=−π，'是的导函数，当∈0,π时，0<<1；当∈0,π且≠π2时，π2'>0，则函数=−sin在−2π,2π上的零点个数为（）A．2B．4C．5D．82.（2024高三下·全国·专题练习）已知是定义在R上的奇函数，当>0时，=e3−3ln，则函数的零点个数为（）A．2B．3C．4D．51.（24-25高三上·广东·开学考试）若函数op=sin−cos+B+1(>0)，∈[0,2π]的图象与直线=0,=π,=0所围成的封闭图形的面积为12π2+π+2．(1)求的值；(2)求函数op单调区间及最值；(3)求函数op=op−在区间∈[0,2π]上的零点个数．2.（2024·浙江·模拟预测）已知函数=e+sin−−1.(1)当=12时，求的单调区间；(2)当=1时，判断的零点个数.3.（22-23高三上·全国·阶段练习）已知函数op=133−2B2+2，其中≥0．(1)若的极小值为−286，求单调增区间；(2)讨论的零点个数．1.（2024·山东聊城·一模）已知函数=e−1，=ln−B，=e−ln−1.(1)求的单调递增区间；(2)求的最小值；(3)设ℎ=−，讨论函数ℎ的零点个数.2.（2024·湖南·二模）已函数op=3+B2+B+os s∈p，其图象的对称中心为(1,−2).(1)求−−的值；(2)判断函数的零点个数.1.（2024·河南郑州·三模）已知函数=e B−.(1)若=2，求在1,1处的切线方程；(2)讨论的零点个数.2.（2024·湖北·模拟预测）函数op=x−−1(∈p．(1)当=1时，证明：op≥0；(2)讨论函数op的零点个数．3.（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）已知函数=23−32−12+5．(1)求的极值；(2)讨论函数=−的零点个数．4.（23-24高三上·陕西·阶段练习）已知函数=3ln+122−4+1.(1)求的图象在=2处的切线方程；(2)讨论函数=−的零点个数.1.（2024·山西·三模）已知函数op=2+1,>0e,≤0，若函数op=op−+o∈p恰有一个零点，则的取值范围是.2.（2018·全国·高考真题）已知函数=-B2．（1）若=1，证明：当≥0时，≥1；（2）若在(0,+∞)只有一个零点，求的值.1.（2017·全国·高考真题）已知函数=e2+−2e−（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.2.（2024·内蒙古包头·三模）设函数=ln+−．(1)当=1时，求的最小值；(2)若恰有两个零点，求a的取值范围．考点五、隐零点问题1.22-23高三上·河南洛阳·开学考试）（1）证明不等式：e K2>ln（第一问必须用隐零点解决，否则不给分）；（2）已知函数op=(−2)e+o−1)2有两个零点.求a的取值范围.（第二问必须用分段讨论解决，否则不给分）2.（23-24高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数=2−En∈R．(1)判断函数的单调性；(2)设=2−−2ln，证明：当=2时，函数有三个零点．1.（22-23高三上·河北·期中）已知函数=2e+o2−lnp+.(1)若=−2e−1，求的单调区间；(2)记函数=−2−En+1++4，若+1≥恒成立，试求实数的取值范围.2.（23-24高三下·广东广州·阶段练习）已知函数=e−2．(1)求函数的极值；(2)讨论函数=−sin在R上的零点个数．（参考数据：sin1≈0.84，cos1≈0.54）3.（2024·山东·模拟预测）已知函数=14e−．(1)求曲线=在点1,1处的切线在轴上的截距；(2)探究的零点个数．4.（23-24高三上·福建莆田·阶段练习）已知函数=e−sin.(1)求在0,0处的切线方程；(2)求证：当∈−π,+∞时，函数有且仅有2个零点.1.（2024高三·全国·专题练习）设函数op=e−12e2−13(−1)3+5e2,∈[0,+∞)．(1)判断函数op的单调性；(2)若1≠2，且1+2=6e，求证：1+2<2．2.（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数=B2，=1−ln.(1)若对于任意∈0,+∞，都有<，求实数的取值范围；(2)若函数=−有两个零点1,2，求证：11+12>2.1.（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知函数=ln+12B2−+1∈.(1)当=1时，求函数=的零点个数.(2)若关于的方程=12B2有两个不同实根1,2，求实数的取值范围并证明1⋅2>2.2.（22-23高三上·河北唐山·阶段练习）已知函数=−1ln−2+B∈.(1)若函数='有两个零点，求的取值范围；(2)设1,2是函数的两个极值点，证明：1+2>2.3.（21-22高三上·广东清远·期末）已知函数op=K1−o−1)．(1)讨论op的零点个数．(2)若op有两个不同的零点1,2，证明：1+2>4．4.（21-22高三上·北京昌平·期末）已知函数op=163−2B+8ln．（1）若函数op在定义域内单调递增，求实数的取值范围；（2）若函数op存在两个极值点1,2，求证：1+2>4．1．（22-23高三上·天津和平·期末）设函数op=e−e−,≥0−2−2−4,<0，若函数=−B恰有两个零点，则实数的取值范围为（）A．0,2B．0,2C．2,+∞D．2 2．（2020·重庆·一模）已知为R上的可导函数，当≠0时，'+>0，若=+1，则函数的零点个数为（）A．0B．1C．2D．0或23．（21-22高三上·天津河北·期中）已知函数=En−1，则的零点所在的区间是（）A．0,1B．1,2C．2,3D．3,44．（2024高三·全国·专题练习）函数f（x）＝2x＋x－2的零点个数是（）A．0B．1C．2D．36．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知函数=2+B+e，若函数有两个不同零点，则极值点的个数为.7．（23-24高三上·天津滨海新·阶段练习）已知函数=133−2+1．(1)求曲线=在点1,1处的切线方程；(2)求函数在−2,2上的单调区间、最值．(3)设=−在−2,2上有两个零点，求的范围.1．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）若函数=+2−En−−2，（>0且≠1）有两个零点，则m的取值范围（）A．−1,3B．−3,1C．3,+∞D．−∞,−12．（20-21高三上·天津南开·阶段练习）设函数f(x)=ln， ＞0，e(+1)，≤0，若函数g(x)=f(x)–b有两个零点，则实数b的取值范围是（）A．(–12，0)B．(–12，0]C．(–12，0]∪(1，+∞)D．(–12，1) 3．（2023·吉林·一模）已知函数=eK1,>0且≠1,−−,<0且≠−1,若函数op=2(p−B(p−e4有4个零点．则实数的取值范围是．4．（2023·天津河北·一模）设∈，函数=B2−+1,<0e−B,≥0，若恰有两个零点，则的取值范围是.5．（23-24高三上·天津河北·期中）已知函数=23−22+1.(1)求曲线=在点1,1处的切线方程；(2)求函数=的单调区间和极值；(3)若函数=−在区间−1,1上有一个零点，求实数的取值范围.6．（22-23高三上·天津·期中）已知函数=3+B2+B+在点1,2处的切线斜率为4，且在=−1处取得极值.(1)求函数的单调区间；(2)若函数=+−1恰有两个零点，求实数m的取值范围.7．（21-22高三上·天津东丽·阶段练习）已知函数op=B3−62+1，∈.（1）若=2，求函数op的单调区间；（2）若=−4，求函数在区间[−2,3]的最值；（3）若op恰有三个零点，求a的取值范围.1.（2023·全国·高考真题）函数=3+B+2存在3个零点，则的取值范围是（）A．−∞,−2B．−∞,−3C．−4,−1D．−3,02.（2022·全国·高考真题）已知函数op=B−1−(+1)ln．(1)当=0时，求op的最大值；(2)若op恰有一个零点，求a的取值范围．3.（2020·全国·高考真题）已知函数op=3−B+2．（1）讨论op的单调性；（2）若op有三个零点，求的取值范围．4.（2020·全国·高考真题）已知函数op=−o+2).（1）当=1时，讨论op的单调性；（2）若op有两个零点，求的取值范围.。
利用导数研究函数的单调性-高三数学(新高考)一轮复习PPT优质公开课
②当 a＝1 时，1a＝1， ∴f′(x)≥0 在(0，＋∞)上恒成立， ∴函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增； ③当 a>1 时，0<1a<1，
设 G(x)＝x12－2x，所以 a≥G(x)max，而 G(x)＝1x－12－1， 因为 x∈[1,4]，所以1x∈41，1， 所以 G(x)max＝－176(此时 x＝4)， 所以 a≥－176，又因为 a≠0，
所以 a 的取值范围是－176，0∪(0，＋∞)．
[变式探究] 本例中，若 f(x)在[1,4]上存在单调递减区间，求 a 的取值范围．
(2)已知 a≥0，函数 f(x)＝(x2－2ax)ex，若 f(x)在[－1,1]上是减函数， 则 a 的取值范围是________．
答案：43，＋∞ 解析：f′(x)＝[x2－2(a－1)x－2a]·ex，因为 f(x)在[－1,1]上是减函 数，所以 f′(x)≤0 对 x∈[－1,1]恒成立，所以 x2－2(a－1)x－2a≤0 对 x∈[－1,1]恒成立．设 g(x)＝x2－2(a－1)x－2a，所以gg－ 1≤1≤ 0，0， 所 以11＋ －22aa－ －11－ －22aa≤ ≤00， ， 解得 a≥34.
当 a>1 时，函数 f(x)在0，1a和(1，＋∞)上单调递增，在a1，1上 单调递减．
[变式探究] 把本例中的参数 a 的范围改为 a∈R，结果如何？
解：a>0 时，讨论同上；
第1课时 利当用导数a≤研究0函数时的，单调a性x－1<0，
第1课时 第1课时
2023年新高考数学大一轮复习专题14 导数的概念与运算(原卷版)
专题14 导数的概念与运算【考点预测】知识点一：导数的概念和几何性质1.概念 函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是0000()()limlimx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数,记作0()f x '或0x x y ='．知识点诠释：① 增量x ∆可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．0x ∆→的意义：x ∆与0之间距离要多近有 多近，即|0|x ∆-可以小于给定的任意小的正数；② 当0x ∆→时，y ∆在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限接近； ③ 导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时 刻的瞬间变化率，即00000()()()limlimx x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆． 2.几何意义 函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '的几何意义即为函数()y f x =在点00()P x y ，处的切线的斜率．3.物理意义 函数)(t s s =在点0t 处的导数)(0t s '是物体在0t 时刻的瞬时速度v ，即)(0t s v '=；)(t v v =在点0t 的导数)(0t v '是物体在0t 时刻的瞬时加速度a ，即)(0t v a '=．知识点二：导数的运算 1.求导的基本公式x（1）函数和差求导法则：[()()]()()f x g x f x g x '''±=±； （2）函数积的求导法则：[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+； （3）函数商的求导法则：()0g x ≠，则2()()()()()[]()()f x f xg x f x g x g x g x ''-=． 3.复合函数求导数复合函数[()]y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数间关系为 x u x y y u '''=： 【方法技巧与总结】 1.在点的切线方程切线方程000()()()y f x f x x x '-=-的计算：函数()y f x =在点00(())A x f x ，处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-，抓住关键000()()y f x k f x =⎧⎨'=⎩．2.过点的切线方程设切点为00()P x y ，，则斜率0()k f x '=，过切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-，又因为切线方程过点()A m n ，，所以000()()n y f x m x '-=-然后解出0x 的值．（0x 有几个值，就有几条切线）注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．【题型归纳目录】 题型一：导数的定义 题型二：求函数的导数 题型三：导数的几何意义 1.在点P 处切线 2.过点P 的切线 3.公切线4.已知切线求参数问题5.切线的条数问题6.切线平行、垂直、重合问题7.最值问题 【典例例题】题型一：导数的定义例1．（2022·全国·高三专题练习（文））函数()y f x =的图像如图所示，下列不等关系正确的是（ ）A ．0(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<<-B ．0(2)(3)(2)(3)f f f f ''<<-<C ．0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-<D ．0(3)(2)(2)(3)f f f f ''<-<<例2．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（理））设函数()f x 满足000(2)()lim 2x f x x f x x∆→-∆-=∆，则()0f x '=（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．2例3．（2022·新疆昌吉·二模（理））若存在()()00000,,limx f x x y x y f x ∆→+-∆∆，则称()()00000,,limx f x x y xy f x ∆→+-∆∆为二元函数(),=z f x y 在点()00,x y 处对x 的偏导数，记为()00,x f x y '；若存在()()00000,,limy f x y yy f x y ∆→+-∆∆，则称()()00000,,lim y f x y yy f x y ∆→+-∆∆为二元函数(),=z f x y 在点()00,x y 处对y 的偏导数，记为()00,y f x y '，已知二元函数()()23,20,0f x y x xy y x y =-+>>，则下列选项中错误的是（ ）A ．()1,34x f '=-B ．()1,310y f '=C ．()(),,x y f m n f m n ''+的最小值为13-D ．(),f x y 的最小值为427-例4．（2022·贵州黔东南·一模（文））一个质点作直线运动，其位移s （单位：米）与时间t （单位：秒）满足关系式，()2524s t t =+--，则当1t =时，该质点的瞬时速度为（ ） A ．2-米/秒B ．3米/秒C ．4米/秒D ．5米/秒例5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2ln 8f x x x =+，则()()121lim x f x f x∆→+∆-∆的值为（ ）A ．20-B ．10-C ．10D ．20例6．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数()()2223ln 9f x f x x x '=-+（()f x '是()f x 的导函数），则()1f =（ ） A ．209-B ．119-C ．79D ．169例7．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()32121f x x x f x '=++-，则()2f '=（ ） A ．1B ．9-C ．6-D ．4【方法技巧与总结】对所给函数式经过添项、拆项等恒等变形与导数定义结构相同，然后根据导数定义直接写出. 题型二：求函数的导数例8．（2022·天津·耀华中学高二期中）求下列各函数的导数： (1)ln(32)y x =-； (2)e xxy =； (3)()2cos f x x x =+例9．（2022·新疆·莎车县第一中学高二期中（理））求下列函数的导数： (1)22ln cos y x x x =++； (2)3e x y x = (3)()ln 31y x =-例10．（2022·广东·北京师范大学珠海分校附属外国语学校高二期中）求下列函数的导数： (1)5y x =； (2)22sin y x x =+； (3)ln xy x=； (4)()211ln 22x y e x -=+．【方法技巧与总结】对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则，直接转化为基本函数求导问题. 题型三：导数的几何意义1.在点P 处切线例11．（2022·河北·模拟预测）曲线e sin x y x =在0x =处的切线斜率为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．2-例12．（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））曲线22x ay x +=+在点()1,b 处的切线方程为60kx y -+=，则k 的值为（ ） A ．1-B ．23-C ．12D ．1例13．（2022·海南·文昌中学高三阶段练习）曲线e 2x y x =-在0x =处的切线的倾斜角为α，则sin 2πα⎛⎫+=⎪⎝⎭（ ）A ．BC ．1D ．-1例14．（2022·安徽·巢湖市第一中学高三期中（理））已知()()2cos 0cos 2f x x f x π⎛⎫=-+ '⎪⎝⎭，则曲线()y f x =在点33,44f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线的斜率为（ ）A B ．C ．D ．-例15．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且32()23(1)f x x ax f x '=-+-，则函数()f x 的图象在点(2,(2))f --处的切线的斜率为（ ） A ．21-B ．27-C ．24-D ．25-例16．（2022·广西广西·模拟预测（理））曲线31y x =+在点()1,a -处的切线方程为（ ） A ．33y x =+B ．31yxC ．31y x =--D ．33y x =--例17．（2022·河南省浚县第一中学模拟预测（理））曲线ln(25)y x x =+在2x =-处的切线方程为（ ） A ．4x －y +8＝0 B ．4x +y +8＝0 C ．3x －y +6＝0D ．3x +y +6＝02.过点P 的切线例18．（2022·四川·广安二中二模（文））函数()2e xf x x =过点()0,0的切线方程为（ ）A ．0y =B ．e 0x y +=C ．0y =或e 0x y +=D ．0y =或e 0x y +=例19．（2022·四川省成都市郫都区第一中学高三阶段练习（文））若过点1(,0)2的直线与函数()e x f x x =的图象相切，则所有可能的切点横坐标之和为（ ） A ．e 1+B ．12-C ．1D ．12例20．（2022·陕西安康·高三期末（文））曲线2ln 3y x x =+过点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭的切线方程是（ ）A ．210x y ++=B ．210x y -+=C ．2410x y ++=D ．2410x y -+=例21．（2022·广东茂名·二模）过坐标原点作曲线ln y x =的切线，则切点的纵坐标为（ ） A ．eB ．1CD ．1e例22．（2022·山东潍坊·三模）过点()()1,P m m ∈R 有n 条直线与函数()e xf x x =的图像相切，当n 取最大值时，m 的取值范围为（ ） A ．25e em -<< B ．250e m -<< C ．10em -<<D ．e m <3.公切线例23．（2022·全国·高三专题练习）若函数()ln f x x =与函数2()(0)g x x x a x =++<有公切线，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1ln ,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()1,-+∞C ．()1,+∞D ．()2,ln +∞例24．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线()1:=e x C f x a +和曲线()()22:ln(),C g x x b a a b =++∈R ，若存在斜率为1的直线与1C ，2C 同时相切，则b 的取值范围是（ ） A ．9,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．[)0,+∞C ．(],1-∞D ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦例25．（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）若两曲线y =x 2-1与y =a ln x -1存在公切线，则正实数a 的取值范围为（ ） A ．(]0,2eB ．(]0,eC ．[)2,e +∞D ．(],2e e例26．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（理））若直线()111y k x =+-与曲线e x y =相切，直线()211y k x =+-与曲线ln y x =相切，则12k k 的值为（ ） A ．12B ．1C ．eD ．2e例27．（2022·河北省唐县第一中学高三阶段练习）已知函数()ln f x a x =，()e xg x b =，若直线()0y kx k =>与函数()f x ，()g x 的图象都相切，则1a b+的最小值为（ ）A ．2B ．2eC ．2eD 例28．（2022·重庆市育才中学高三阶段练习）若直线:l y kx b =+（1k >）为曲线()1x f x e -=与曲线()ln g x e x =的公切线，则l 的纵截距b =（ ）A ．0B ．1C ．eD ．e -例29．（2022·全国·高三专题练习）若两曲线ln 1y x =-与2y ax =存在公切线，则正实数a 的取值范围是（ ） A ．(]0,2eB ．31e ,2-⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．310,e 2-⎛⎤⎥⎝⎦D ．[)2e,+∞例30．（2022·全国·高三专题练习）若仅存在一条直线与函数()ln f x a x =（0a >）和2()g x x =的图象均相切，则实数=a （ ）A ．eB C ．2eD ．4.已知切线求参数问题例31．（2022·湖南·模拟预测）已知P 是曲线)2:ln C y x x a x =++上的一动点，曲线C 在P 点处的切线的倾斜角为θ，若32ππθ≤<，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)⎡⎣B ．)⎡⎣C ．(,-∞D ．(,-∞例32．（2022·广西·贵港市高级中学三模（理））已知曲线e ln x y ax x =+在点()1,e a 处的切线方程为3y x b =+，则（ ） A ．e a =，2b =- B ．e a =，2b = C ．1e a -=，2b =-D ．1e a -=，2b =例33．（2022·江苏苏州·模拟预测）已知奇函数()()()()220f x x x ax b a =-+≠在点()(),a f a 处的切线方程为()y f a =，则b =（ ）A ．1-或1B ．C ．2-或2D ．例34．（2022·云南昆明·模拟预测（文））若函数()ln f x x =的图象在4x =处的切线方程为y x b =+，则（ ）A ．3a =，2ln 4b =+B ．3a =，2ln 4b =-+C ．32a =，1ln 4b =-+ D ．32a =，1ln 4b =+ 例35．（2022·河南·方城第一高级中学模拟预测（理））已知直线l 的斜率为2，l 与曲线1C ：()1ln y x x =+和圆2C ：2260x y x n +-+=均相切，则n =（ ） A ．－4B ．－1C ．1D ．45.切线的条数问题例36．（2022·全国·高三专题练习）若过点(,)a b 可以作曲线ln y x =的两条切线，则（ ） A ．ln a b <B ．ln b a <C ．ln b a <D ．ln a b <例37．（2022·河南洛阳·三模（理））若过点()1,P t 可作出曲线3y x =的三条切线，则实数t 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞B ．()0,∞+C ．()0,1D ．{}0,1例38．（2022·河南洛阳·三模（文））若过点()1,0P 作曲线3y x =的切线，则这样的切线共有（ ） A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条例39．（2022·河北·高三阶段练习）若过点(1,)P m 可以作三条直线与曲线:e xxC y =相切，则m 的取值范围为（ ）A ．23,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．(,0)-∞D ．213,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭例40．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））若过点()1,P m -可以作三条直线与曲线C ：e x y x =相切，则m 的取值范围是（ ） A ．23,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．211,e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．231,ee ⎛⎫-- ⎪⎝⎭例41．（2022·广东深圳·二模）已知0a >，若过点(,)a b 可以作曲线3y x =的三条切线，则（ ） A ．0b <B ．30b a <<C ．3b a >D ．()30b b a -=6.切线平行、垂直、重合问题例42．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））对于三次函数()f x ，若曲线()y f x =在点(0,0)处的切线与曲线()y xf x =在点(1,2)处点的切线重合，则(2)f '=（ ）A ．34-B ．14-C ．4-D ．14例43．（2022·山西太原·二模（理））已知函数()sin cos f x a x b x cx =++图象上存在两条互相垂直的切线，且221a b +=，则a b c ++的最大值为（ ）A ．B ．C D 例44．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f (x )＝x 2＋2x 的图象在点A (x 1，f (x 1))与点B (x 2，f (x 2))(x 1＜x 2＜0)处的切线互相垂直，则x 2－x 1的最小值为（ ） A ．12 B ．1 C ．32D ．2例45．（2022·全国·高三专题练习）若直线x a =与两曲线e ,ln x y y x ==分别交于,A B 两点，且曲线e x y =在点A 处的切线为m ，曲线ln y x =在点B 处的切线为n ，则下列结论： ①()0,a ∞∃∈+，使得//m n ；②当//m n 时，AB 取得最小值； ③AB 的最小值为2；④AB 最小值小于52． 其中正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4例46．（2022·全国·高三专题练习）已知函数22(0)()1(0)x x a x f x x x ⎧++<⎪=⎨->⎪⎩的图象上存在不同的两点,A B ，使得曲线()y f x =在这两点处的切线重合，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(,)8-∞-B ．1(1,)8-C ．(1,)+∞D ．1(,1)(,)8-∞⋃+∞例47．（2022·全国·高三专题练习（文））若曲线x y e x =+的一条切线l 与直线220210x y +-=垂直，则切线l 的方程为（ ）A ．210x y -+=B ．210x y +-=C ．210x y --=D ．210x y ++=7.最值问题例48．（2022·全国·高三专题练习）若点P 是曲线232ln 2y x x =-上任意一点，则点P 到直线3y x =-的距离的最小值为（ ） A．4BCD例49．（2022·山东省淄博第一中学高三开学考试）动直线l 分别与直线21y x =-，曲线23ln 2y x x =-相交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ）ABC ．1 D例50．（2022·江苏·高三专题练习）已知a ，b 为正实数，直线y x a =-与曲线ln()y x b =+相切，则22a b-的取值范围是（ ） A ．(0,)+∞B ．(0,1)C ．1(0,)2D ．[1，)+∞例51.（2022·全国·高三专题练习）曲线2x y e =上的点到直线240x y --=的最短距离是（ ） ABCD ．1例52．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知函数2ln ()2xf x x x=-在1x =处的切线为l ，第一象限内的点(,)P a b 在切线l 上，则1111a b +++的最小值为（ ） ABCD．34+ 例53．（2022·山东聊城·二模）实数1x ，2x ，1y ，2y 满足：2111ln 0x x y --=，2240x y --=，则()()221212x x y y -+-的最小值为（ ） A ．0B．C．D ．8例54．（2022·河南·许昌高中高三开学考试（理））已知函数21e x y +=的图象与函数()ln 112x y ++=的图象关于某一条直线l 对称，若P ，Q 分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为（ ）A ．22B 24C ．)4ln 22+D )4ln 2+例55．（2022·河南·灵宝市第一高级中学模拟预测（文））已知直线y kx b =+是曲线1y =的切线，则222k b b +-的最小值为（ ）A ．12-B ．0C ．54D ．3【方法技巧与总结】函数()y f x =在点0x 处的导数，就是曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线的斜率.这里要注意曲线在某点处的切线与曲线经过某点的切线的区别.（1）已知()f x 在点00(,())x f x 处的切线方程为000()()y y f x x x '-=-.（2）若求曲线()y f x =过点(,)a b 的切线方程，应先设切点坐标为00(,())x f x ，由000()()y y f x x x '-=-过点(,)a b ，求得0x 的值，从而求得切线方程.另外，要注意切点既在曲线上又在切线上.【过关测试】 一、单选题1．（2022·河南·高三阶段练习（理））若曲线()ln a xf x x=在点（1，f （1））处的切线方程为1y x =-，则a ＝（ ） A ．1B ．e2C ．2D ．e2．（2022·云南曲靖·二模（文））设()'f x 是函数()f x 的导函数，()f x ''是函数()'f x 的导函数，若对任意R ()0,()0x f x f x '''∈><，恒成立，则下列选项正确的是（ ）A ．0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-<B ．0(3)(2)(2)(3)f f f f ''<-<<C ．0(3)(2)(3)(2)f f f f ''<<<-D ．0(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<<-3．（2022·全国·高三专题练习）设()f x 为可导函数，且()()112lim1x f f x x→--=-△△△，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线斜率为（ ）A ．2B ．-1C ．1D ．12-4．（2022·河南·模拟预测（文））已知3()ln(2)3xf x x x =++，则曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程为( )A ．21010ln510x y -+-=B ．21010ln510x y ++-=C ．1212ln5150x y -+-=D ．1212ln5150x y ++-=5．（2022·贵州黔东南·一模（理））一个质点作直线运动，其位移s （单位：米）与时间t （单位：秒）满足关系式23(43)=-s t t ，则当1t =时，该质点的瞬时速度为（ ） A ．5米/秒 B ．8米/秒 C ．14米/秒D ．16米/秒6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln f x x x =，()()2g x x ax a =+∈R ，若经过点1,0A 存在一条直线l 与()f x 图象和()g x 图象都相切，则=a （ ） A ．0B ．1-C ．3D ．1-或37．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）m 对任意a ∈R ，()0,b ∈+∞恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．2⎛-∞ ⎝⎦C ．(-∞D ．(],2-∞8．（2022·辽宁沈阳·二模）若直线11y k x b =+与直线()2212y k x b k k =+≠是曲线ln y x =的两条切线，也是曲线e x y =的两条切线，则1212k k b b ++的值为（ ） A ．e 1- B ．0 C ．-1D ．11e-二、多选题9．（2022·辽宁丹东·模拟预测）若过点()1,a 可以作出曲线()1e xy x =-的切线l ，且l 最多有n 条，*n ∈N ，则（ ） A ．0a ≤B ．当2n =时，a 值唯一C ．当1n =时，4ea <-D ．na 的值可以取到﹣410．（2022·浙江·高三专题练习）为满足人们对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示，则下列结论中正确的有（ ）A ．在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强B ．在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强C ．在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标D ．甲企业在[]10,t ，[]12,t t ，[]23,t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()xf x e =，则下列结论正确的是（ ）A ．曲线()y f x =的切线斜率可以是1B ．曲线()y f x =的切线斜率可以是1-C ．过点()0,1且与曲线()y f x =相切的直线有且只有1条D ．过点()0,0且与曲线()y f x =相切的直线有且只有2条12．（2022·全国·高三专题练习）过平面内一点P 作曲线ln y x =两条互相垂直的切线1l ､2l ，切点为1P ､2P （1P ､2P 不重合），设直线1l ､2l 分别与y 轴交于点A ､B ，则下列结论正确的是（ ） A ．1P ､2P 两点的横坐标之积为定值 B ．直线12PP 的斜率为定值；C ．线段AB 的长度为定值D ．三角形ABP 面积的取值范围为(]0,1三、填空题13．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知函数()3ln f x x x x =-，则曲线()y f x =在点()()e,e f 处的切线方程为_______.14．（2022·全国·模拟预测（文））若直线l 与曲线2yx 和2249x y +=都相切，则l 的斜率为______． 15．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知函数2()(0)e e x x f x f -'=-，则(0)f =__________.16．（2022·全国·赣州市第三中学模拟预测（理））已知()()()222cos 22cos sin f x xf x x x x x '+=++，且0x >，52f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，那么()f π=___________. 四、解答题17．（2022·全国·高三专题练习（文））下列函数的导函数 （1）42356y x x x --=+； （2）2sin cos 22xx x y =+；（3）2log y x x =-； （4）cos x y x=.18．（2022·辽宁·沈阳二中二模）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若fx 是()f x 的导函数，()f x ''是fx 的导函数，则曲线()y f x =在点()(),x f x 处的曲率()()()3221f x K f x ''='+⎡⎤⎣⎦.(1)若曲线()ln f x xx =+与()g x =()1,1处的曲率分别为1K ，2K ，比较1K ，2K 大小； (2)求正弦曲线()sin h x x =（x ∈R ）曲率的平方2K 的最大值.19．（2022·全国·高三专题练习）设函数()()2ln f x ax x a R =--∈. (1)若()f x 在点()()e,e f 处的切线为e 0x y b -+=，求a ，b 的值； (2)求()f x 的单调区间.20．（2022·浙江·高三专题练习）函数()321f x x x x =+-+， 直线l 是()y f x =在()()0,0f 处的切线.(1)确定()f x 的单调性；(2)求直线l 的方程及直线l 与()y f x =的图象的交点.21．（2022·北京东城·三模）已知函数()e x f x =，曲线()y f x =在点(1(1))f --，处的切线方程为y kx b =+.(1)求k ，b 的值；(2)设函数()1ln 1.kx b x g x x x +<⎧=⎨≥⎩，，，，若()g x t =有两个实数根12,x x （12x x <），将21x x -表示为t 的函数，并求21xx -的最小值.22．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））已知a ∈R ，函数()()ln 1f x x a x =+-，()e xg x =．(1)讨论()f x 的单调性；(2)过原点分别作曲线()y f x =和()y g x =的切线1l 和2l ，求证：存在0a >，使得切线1l 和2l 的斜率互为倒数．。
高考数学复习之函数与导数 函数基础单调性--解析版
第1讲函数与导数【知识框图1】【方法点拨1】函数是中学数学中最重要，最基础的内容之一，是学习高等数学的基础．高中函数以具体的幂函数，指数函数，对数函数和三角函数的概念，性质和图像为主要研究对象，适当研究分段函数，含绝对值的函数和抽象函数；同时要对初中所学二次函数作深入理解．1.活用“定义法”解题．2.重视“数形结合思想”渗透．。
“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．3.强化“分类讨论思想”应用．。
“不漏不重”．4.掌握“函数与方程思想”．【知识框图2】【方法点拨2】导数的应用极其广泛，是研究函数性质、证明不等式、研究曲线的切线和解决一些实际问题的有力工具，也是提出问题、分析问题和进行理性思维训练的良好素材。
同时，导数是初等数学与高等数学紧密衔接的重要内容，体现了高等数学思想及方法。
1．重视导数的实际背景。
2．深刻理解导数概念。
3．强化导数在函数问题中的应用意识。
4．重视“数形结合”的渗透，强调“几何直观”。
5．理解和体会“定积分”的实践应用。
1.1函数基础 【基础练习】1．设有函数组：①y x =，y =y x =，y =y =，y =； ④1(0),1(0),x y x >⎧=⎨-<⎩，x y x =；⑤lg 1y x =-，lg 10x y =．其中表示同一个函数的有___②④⑤___． 2.写出下列函数定义域：(1) ()13f x x =-的定义域为______________； (2) 21()1f x x =-的定义域为______________；(3)1()f x x =的定义域为______________； (4)()f x =_________________． 3.写出下列函数值域：(1) 2()f x x x =+，{1,2,3}x ∈；值域是{2,6,12}． (2) 2()22f x x x =-+； 值域是[1,)+∞． (3) ()1f x x =+，(1,2]x ∈． 值域是(2,3]． 【范例解析】 例1.设有函数组：①21()1x f x x -=-，()1g x x =+；②()f x =，()g x =③()f x ()1g x x =-；④()21f x x =-，()21g t t =-．其中表示同一个函数的有③④．分析：判断两个函数是否为同一函数，关键看函数的三要素是否相同．解：在①中，()f x 的定义域为{1}x x ≠，()g x 的定义域为R ，故不是同一函数；在②中，()f x 的定义域为[1,)+∞，()g x 的定义域为(,1][1,)-∞-⋃+∞，故不是同一函数；③④是同一函数．点评：两个函数当它们的三要素完全相同时，才能表示同一函数．而当一个函数定义域和对应法则确定时，它的值域也就确定，故判断两个函数是否为同一函数，只需判断它的定义域和对应法则是否相同即可． 例2.求下列函数的定义域：①12y x =+- ②()f x =； R {1}x x ≠± [1,0)(0,)-⋃+∞ (,1)(1,0)-∞-⋃-解：（1）① 由题意得：220,10,x x ⎧-≠⎪⎨-≥⎪⎩解得1x ≤-且2x ≠-或1x ≥且2x ≠，故定义域为(,2)(2,1][1,2)(2,)-∞-⋃--⋃⋃+∞．② 由题意得：12log (2)0x ->，解得12x <<，故定义域为(1,2)．例3.求下列函数的值域：（1）242y x x =-+-，[0,3)x ∈；（2）221x y x =+()x R ∈；（3）21y x x =-+． 分析：运用配方法，逆求法，换元法等方法求函数值域． （1） 解：2242(2)2y x x x =-+-=--+，[0,3)x ∈，∴函数的值域为[2,2]-；（2） 解法一：由2221111x y x x ==-++，21011x <≤+，则21101x -≤-<+，01y ∴≤<，故函数值域为[0,1)．解法二：由221x y x =+，则21y x y =-，20x ≥，∴01y y ≥-，01y ∴≤<，故函数值域为[0,1)．（3）解：令1x t +=(0)t ≥，则21x t =-，2221(1)2y t t t ∴=--=--，当0t ≥时，2y ≥-，故函数值域为[2,)-+∞．点评：二次函数或二次函数型的函数求值域可用配方法；逆求法利用函数有界性求函数的值域；用换元法求函数的值域应注意新元的取值范围． 【直击高考】1.【2015高考北京，理7】如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是（ ） A ．{}|10x x -<≤ B ．{}|11x x -≤≤ C ．{}|11x x -<≤ D ．{}|12x x -<≤【解析】如图所示，把函数=2log y x 的图象向左平移一个单位得到2log (1)y x =+的图象，1x =时两图象相交，不等式的解为11x -<≤，用集合表示解集选CAB Oxy -122C2.【2015高考安徽，理9】函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）（A ）0a >，0b >，0c < （B ）0a <，0b >，0c > （C ）0a <，0b >，0c < （D ）0a <，0b <，0c < 【解析】由()()2ax bf x x c +=+及图象可知，x c ≠-，0c ->，则0c <；当0x =时，2(0)0bf c =>，所以0b >；当0y =，0ax b +=，所以0bx a=->，所以0a <.故0a <，0b >，0c <，选C. 3.【2015高考天津，理8】已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是( )（A ）7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）7,24⎛⎫⎪⎝⎭【解析】由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩， 所以222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩，即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--,所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点，由图象可知724b <<. 4.【2015高考山东，理10】设函数()31,1,2,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩则满足()()()2f a f f a =的a 取值范围是（ ）（A ）2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （B ）[]0,1 （C ）2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（D ）[)1,+∞ 【答案】C864224681510551015【反馈演练】1．函数f (x )＝x 21-的定义域是___________． 2．函数)34(log 1)(22-+-=x x x f 的定义域为_________________． 3. 函数21()1y x R x=∈+的值域为_______(0,1]_________． 4. 函数23134y x x =--的值域为_____________． 5．函数)34(log 25.0x x y -=的定义域为_____________________．6.记函数f (x )=132++-x x 的定义域为A ，g (x )=lg [(x －a －1)(2a －x )](a <1) 的定义域为B ． (1) 求A ； (2) 若B ⊆A ，求实数a 的取值范围． 解：(1)由2－13++x x ≥0，得11+-x x ≥0，x <－1或x ≥1， 即A =(－∞，－1)∪[1，+ ∞) ． (2) 由(x －a －1)(2a －x )>0，得(x －a －1)(x －2a )<0．∵a <1，∴a +1>2a ，∴B=(2a ，a +1) ． ∵B ⊆A ， ∴2a ≥1或a +1≤－1，即a ≥21或a ≤－2，而a <1， ∴21≤a <1或a ≤－2，故当B ⊆A 时， 实数a 的取值范围是(－∞,－2]∪[21,1)．1.2函数单调性 【基础练习】1.下列函数中： ①1()f x x=； ②()221f x x x =++； ③()f x x =-； ④()1f x x =-．其中，在区间(0，2)上是递增函数的序号有___②___． 2.函数y x x =的递增区间是___ R ___． 3.函数223y x x =--__________． 4.已知函数()y f x =在定义域R 上是单调减函数，且(1)(2)f a f a +>，则实数a 的取值范围__________． 5.已知下列命题：①定义在R 上的函数()f x 满足(2)(1)f f >，则函数()f x 是R 上的增函数；(,0]-∞ (1,2)(2,3)⋃ (,4]-∞ 13[,0)(,1]44-⋃(,1]-∞- (1,)+∞②定义在R 上的函数()f x 满足(2)(1)f f >，则函数()f x 在R 上不是减函数；③定义在R 上的函数()f x 在区间(,0]-∞上是增函数，在区间[0,)+∞上也是增函数，则函数()f x 在R 上是增函数；④定义在R 上的函数()f x 在区间(,0]-∞上是增函数，在区间(0,)+∞上也是增函数，则函数()f x 在R 上是增函数．其中正确命题的序号有_____②③______． 【范例解析】例1. 求证（定义法）：（1）函数2()231f x x x =-+-在区间3(,]4-∞上是单调递增函数；（2）函数21()1x f x x -=+在区间(,1)-∞-和(1,)-+∞上都是单调递增函数． 分析：利用单调性的定义证明函数的单调性，注意符号的确定．证明：（1）对于区间3(,]4-∞内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <，因为22121122()()231(231)f x f x x x x x -=-+---+-2221122233x x x x =-+-1212()[32()]x x x x =--+，又1234x x <≤，则120x x -<，1232x x +<，得1232()0x x -+>，故1212()[32()]0x x x x --+<，即12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <．所以，函数2()231f x x x =-+-在区间3(,]4-∞上是单调增函数．（2）对于区间(,1)-∞-内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <， 因为1212122121()()11x x f x f x x x ---=-++12123()(1)(1)x x x x -=++，又121x x <<-，则120x x -<，1(1)0x +<，2(1)0x +<得，12(1)(1)0x x ++>，故12123()0(1)(1)x x x x -<++，即12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <．所以，函数21()1x f x x -=+在区间(,1)-∞-上是单调增函数． 同理，对于区间(1,)-+∞，函数21()1x f x x -=+是单调增函数；所以，函数21()1x f x x -=+在区间(,1)-∞-和(1,)-+∞上都是单调增函数．点评：利用单调性定义证明函数的单调性，一般分三步骤：（1）在给定区间内任意取两值1x ，2x ；（2）作差12()()f x f x -，化成因式的乘积并判断符号；（3）给出结论．例2.确定函数()f x =分析：作差后，符号的确定是关键．解：由120x ->，得定义域为1(,)2-∞．对于区间1(,)2-∞内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <， 则1212()()1212f x f x x x -=---211212121212x x x x ---=-⋅-1212121212(1212)x x x x =-⋅--+- 又120x x -<，12121212(1212)0x x x x -⋅--+->，12()()0f x f x ∴-<，即12()()f x f x <．所以，()f x 在区间1(,)2-∞上是增函数．点评：运用有理化可以对含根号的式子进行符号的确定． 【直击高考】1.【2015高考湖北，理6】已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，则（ ）A ．sgn[()]sgn g x x =B ．sgn[()]sgn g x x =-C ．sgn[()]sgn[()]g x f x =D ．sgn[()]sgn[()]g x f x =- 【解析】因为()f x 是R 上的增函数，令x x f =)(，所以x a x g )1()(-=，因为1>a ，所以)(x g 是R 上的减函数，由符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩ 知，1,0sgn[()]0,0sgn 1,0x g x x x x ->⎧⎪===-⎨⎪<⎩.故选B2.【2015高考新课标2，理10】如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=．将动P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）(D)(C)(B)(A)yπ4π23π4ππ3π4π2π4yyπ4π23π4ππ3π4π2π4y【解析】由已知得，当点P 在BC 边上运动时，即04x π≤≤时，2tan 4tan PA PB x x +=++；当点P 在CD 边上运动时，即3,442x x πππ≤≤≠时，2211(1)1(1)1tan tan PA PB x x +=-+++，当2x π=时，22PA PB +=；当点P 在AD 边上运动时，即34x ππ≤≤时，2tan 4tan PA PB x x +=+-，从点P 的运动过程可以看出，轨迹关于直线2x π=对称，且()()42f f ππ>，且轨迹非线型，故选B ．【反馈演练】 1．已知函数1()21x f x =+，则该函数在R 上单调递__减__，（填“增”“减”）值域为_________． 2．已知函数2()45f x x mx =-+在(,2)-∞-上是减函数，在(2,)-+∞上是增函数，则(1)f =__25___. 3.函数y =1[2,]2--.4. 函数2()1f x x x =-+的单调递减区间为1(,1],[,1]2-∞-．5. 已知函数1()2ax f x x +=+在区间(2,)-+∞上是增函数，求实数a 的取值范围． 解：设对于区间(2,)-+∞内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <， 则12121211()()22ax ax f x f x x x ++-=-++2112(12)()0(2)(2)a x x x x --=<++， 120x x -<，1(2)0x +>，2(2)0x +>得12(2)(2)0x x ++>，120a ∴-<，即12a >． (0,1)。
导数与函数的单调性——2021年高考文科数学一轮复习热点题型(附解析)
2021年高考文科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破专题3.2 导数与函数的单调性目录一、题型全归纳 (1)题型一 利用导数判断(证明)函数的单调性 (1)题型二 求函数的单调区间 (2)题型三 函数单调性的应用 (3)命题角度一 比较大小或解不等式 (3)命题角度二 已知函数单调性求参数的取值范围 (3)题型四 分类讨论思想研究函数的单调性 (3)二、高效训练突破 (4)一、题型全归纳题型一 利用导数判断(证明)函数的单调性【题型要点】导数法证明函数f (x )在(a ，b )内的单调性的步骤(1)求f ′(x )．(2)确认f ′(x )在(a ，b )内的符号．(3)作出结论：f ′(x )>0时为增函数；f ′(x )<0时为减函数.【易错提醒】研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．【例1】(2020·高考全国卷一卷节选)已知函数()(2)x f x e a x =-+.当1a =时，讨论()f x 的单调性；【例2】.(2020·高考全国卷二卷节选)已知函数f （x ）=2ln x +1．设a >0时，讨论函数g （x ）=()()f x f a x a--的单调性． 题型二 求函数的单调区间【题型要点】利用导数求函数单调区间的方法(1)当导函数不等式可解时，解不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0求出单调区间．(2)当方程f ′(x )＝0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间内f ′(x )的符号，从而确定单调区间．(3)当导函数的方程、不等式都不可解时，根据f ′(x )的结构特征，利用图象与性质确定f ′(x )的符号，从而确定单调区间．【易错提醒】所求函数的单调区间不止一个时，这些区间之间不能用“∪”及“或”连接，只能用“，”及“和”隔开．【例1】已知函数f (x )＝a ln x －x －a ＋1x(a ∪R )．求函数f (x )的单调区间．【例2】已知函数f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，求函数f (x )的单调区间．题型三 函数单调性的应用命题角度一 比较大小或解不等式【题型要点】利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．【例1】已知函数f ′(x )是函数f (x )的导函数，f (1)＝1e ，对任意实数都有f (x )－f ′(x )>0，设F (x )＝f （x ）e x ，则不等式F (x )<1e 2的解集为( ) A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(1，e)D ．(e ，＋∞)命题角度二 已知函数单调性求参数的取值范围【题型要点】利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路(1)由函数在区间[a ，b ]上单调递增(减)可知f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)在区间[a ，b ]上恒成立，列出不等式．(2)利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题．(3)对等号单独检验，检验参数的取值能否使f ′(x )在整个区间恒等于0，若f ′(x )恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有f ′(x )＝0，则参数可取这个值．【例2】已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x (a ≠0)． (1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围；(2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，求a 的取值范围．题型四 分类讨论思想研究函数的单调性【题型要点】含参数函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能：(1)方程f ′(x )＝0是否有根；(2)若f ′(x )＝0有根，求出根后是否在定义域内；(3)若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法．【例】已知f (x )＝a (x －ln x )＋2x －1x 2，a >0.讨论f (x )的单调性．二、高效训练突破一、选择题1．函数f (x )＝e x －e x ，x ∪R 的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)2.函数f (x )＝cos x －x 在(0，π)上的单调性是( )A ．先增后减B ．先减后增C ．增函数D ．减函数3．(2020·河北省九校第二次联考)函数y ＝x ＋3x＋2ln x 的单调递减区间是( ) A ．(－3，1)B ．(0，1)C ．(－1，3)D ．(0，3)4.已知f (x )＝a ln x ＋12x 2(a >0)，若对任意两个不相等的正实数x 1，x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>2恒成立，则a 的取值范围为( )A.(0，1]B.(1，＋∞)C.(0，1)D.[1，＋∞)5.函数f (x )＝e x x的图象大致为( )6.已知f (x )＝ln x x，则( ) A ．f (2)＞f (e)＞f (3)B ．f (3)＞f (e)＞f (2)C ．f (3)＞f (2)＞f (e)D ．f (e)＞f (3)＞f (2)7.(2020·唐山市摸底考试)设函数f (x )＝x (e x ＋e －x )，则f (x )( )A ．是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数B ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数C ．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数8.(2020·郑州市第二次质量预测)函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的可导函数，f ′(x )为其导函数，若xf ′(x )＋f (x )＝e x (x －2)且f (3)＝0，则不等式f (x )<0的解集为( )A ．(0，2)B ．(0，3)C ．(2，3)D ．(3，＋∞) 9.函数422y x x =-++的图像大致为10.(2020·江西七校第一次联考)若函数f (x )＝2x 3－3mx 2＋6x 在区间(1，＋∞)上为增函数，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，1)C ．(－∞，2]D ．(－∞，2)二、填空题1.函数y ＝4x 2＋1x的单调递增区间为 ． 2．已知函数y ＝f (x )(x ∪R )的图象如图所示，则不等式xf ′(x )≥0的解集为 ．3．若f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (－3)，⎪⎭⎫ ⎝⎛2πf ，f (2)的大小关系为 (用“<”连接)． 4.设函数（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________．5.已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋nx －2的图象过点(－1，－6)，函数g (x )＝f ′(x )＋6x 的图象关于y 轴对称.则m ＝________，f (x )的单调递减区间为________.－3 (0，2)6.已知函数31()2e ex x f x x x =-+-，其中e 是自然对数的底数．若(1)f a -+2(2)0f a ≤，则实数a 的取值范围是 ．7.设函数f (x )＝x －1x ，且f (mx )＋mf (x )<0对任意x ∪[1，＋∞)恒成立，则实数m 的取值范围是 ． 三 解答题1.(2019·高考全国卷Ⅲ节选)已知函数f (x )＝2x 3－ax 2＋2.讨论f (x )的单调性．2.(2020·成都七中检测)设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，g (x )＝1x －e e x ，其中a ∪R ，e ＝2.718…为自然对数的底数． (1)讨论f (x )的单调性；(2)证明：当x >1时，g (x )>0.3．(2020·云南衡水实验中学阶段测试)设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(1)求b ，c 的值；(2)若a ＞0，求函数f (x )的单调区间；(3)设函数g (x )＝f (x )＋2x ，且g (x )在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a 的取值范围．2021年高考文科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破专题3.2 导数与函数的单调性目录一、题型全归纳 (1)题型一 利用导数判断(证明)函数的单调性 (1)题型二 求函数的单调区间 (2)题型三 函数单调性的应用 (3)命题角度一 比较大小或解不等式 (3)命题角度二 已知函数单调性求参数的取值范围 (3)题型四 分类讨论思想研究函数的单调性 (3)二、高效训练突破 (4)一、题型全归纳题型一 利用导数判断(证明)函数的单调性【题型要点】导数法证明函数f (x )在(a ，b )内的单调性的步骤(1)求f ′(x )．(2)确认f ′(x )在(a ，b )内的符号．(3)作出结论：f ′(x )>0时为增函数；f ′(x )<0时为减函数.【易错提醒】研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．【例1】(2020·高考全国卷一卷节选)已知函数()(2)x f x e a x =-+.当1a =时，讨论()f x 的单调性；【答案】()f x 的减区间为(,0)-∞，增区间为(0,)+∞【解析】当1a =时，()(2)x f x e x =-+，'()1xf x e =-， 令'()0f x <，解得0x <，令'()0f x >，解得0x >，所以()f x 的减区间为(,0)-∞，增区间为(0,)+∞； 【例2】.(2020·高考全国卷二卷节选)已知函数f （x ）=2ln x +1．设a >0时，讨论函数g （x ）=()()f x f a x a--的单调性．【答案】()g x 在区间(0,)a 和(,)a +∞上单调递减，没有递增区间 【解析】2ln 1(2ln 1)2(ln ln )()(0x a x a g x x x a x a+---==>--且)x a ≠ 因此22(ln ln )()()x a x x x a g x x x a --+'=-，设()2(ln ln )m x x a x x x a =--+， 则有()2(ln ln )m x a x '=-，当x a >时，ln ln x a >，所以()0m x '<，()m x 单调递减，因此有()()0m x m a <=，即()0g x '<，所以()g x 单调递减；当0x a <<时，ln ln x a <，所以()0m x '>，()m x 单调递增，因此有()()0m x m a <=，即()0g x '<，所以()g x 单调递减，所以函数()g x 在区间(0,)a 和(,)a +∞上单调递减，没有递增区间.题型二 求函数的单调区间【题型要点】利用导数求函数单调区间的方法(1)当导函数不等式可解时，解不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0求出单调区间．(2)当方程f ′(x )＝0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间内f ′(x )的符号，从而确定单调区间．(3)当导函数的方程、不等式都不可解时，根据f ′(x )的结构特征，利用图象与性质确定f ′(x )的符号，从而确定单调区间．【易错提醒】所求函数的单调区间不止一个时，这些区间之间不能用“∪”及“或”连接，只能用“，”及“和”隔开．【例1】已知函数f (x )＝a ln x －x －a ＋1x (a ∪R )．求函数f (x )的单调区间．【解】 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a x －1＋1＋a x 2＝－x 2＋ax ＋1＋a x 2＝－（x ＋1）[x －（1＋a ）]x 2，∪当a ＋1>0，即a >－1时，在(0，1＋a )上f ′(x )>0，在(1＋a ，＋∞)上，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递增区间是(0，1＋a )，单调递减区间是(1＋a ，＋∞)；∪当1＋a ≤0，即a ≤－1时，在(0，＋∞)上，f ′(x )<0，所以，函数f (x )的单调递减区间是(0，＋∞)，无单调递增区间．【例2】已知函数f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，求函数f (x )的单调区间．【解】：f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，x ∪(0，＋∞)，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x ∪(0，5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，5)内为减函数；当x ∪(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数．故函数f (x )的单调递增区间为(5，＋∞)，单调递减区间为(0，5)．题型三 函数单调性的应用命题角度一 比较大小或解不等式【题型要点】利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．【例1】已知函数f ′(x )是函数f (x )的导函数，f (1)＝1e ，对任意实数都有f (x )－f ′(x )>0，设F (x )＝f （x ）e x ，则不等式F (x )<1e 2的解集为( ) A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(1，e)D ．(e ，＋∞)【答案】 B【解析】 F ′(x )＝f ′（x ）e x －e x f （x ）（e x ）2＝f ′（x ）－f （x ）e x ， 又f (x )－f ′(x )>0，知F ′(x )<0，所以F (x )在R 上单调递减．由F (x )<1e 2＝F (1)，得x >1， 所以不等式F (x )<1e 2的解集为(1，＋∞)． 命题角度二 已知函数单调性求参数的取值范围【题型要点】利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路(1)由函数在区间[a ，b ]上单调递增(减)可知f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)在区间[a ，b ]上恒成立，列出不等式．(2)利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题．(3)对等号单独检验，检验参数的取值能否使f ′(x )在整个区间恒等于0，若f ′(x )恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有f ′(x )＝0，则参数可取这个值．【例2】已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x (a ≠0)．(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围；(2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，求a 的取值范围．【解析】(1)h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∪(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x －ax －2，由于h (x )在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x ∪(0，＋∞)时，1x －ax －2<0有解．即a ＞1x 2－2x 有解，设G (x )＝1x 2－2x ，所以只要a ＞G (x )min 即可．而G (x )＝211⎪⎭⎫ ⎝⎛-x －1，所以G (x )min ＝－1.所以a ＞－1，即a 的取值范围是(－1，＋∞)．(2)由h (x )在[1，4]上单调递减得，当x ∪[1，4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x 恒成立．所以a ≥G (x )max ，而G (x )＝211⎪⎭⎫⎝⎛-x －1，因为x ∪[1，4]，所以1x ∪⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,41，。