8.数学史第八讲：19世纪的代数
林寿数学史教案-第十讲：19世纪的分析
林寿数学史教案-第十讲：19世纪的分析第一篇：林寿数学史教案-第十讲：19世纪的分析第十讲：19世纪的分析1、分析的严格化经过近一个世纪的尝试与酝酿，数学家们在严格化基础上重建微积分的努力到19世纪初开始获得成效。
1.1 分析的算术化所谓分析是指关于函数的无穷小分析，主要贡献归功于柯西（法，1789－1857年）和魏尔斯特拉斯（德，1815－1897），前者著有《分析教程》（1821）、《无穷小分析教程概论》（1823）和《微分学教程》（1829），后者创造了ε－δ语言，是“现代分析之父”。
1837年狄里克雷（德，1805－1859年）的函数定义。
魏尔斯特拉斯简介。
1.2 实数理论19世纪60年代魏尔斯特拉斯提出“单调有界原理”，康托、戴德金各自独立地给出了无理数定义，建立了严格的实数论。
实数的定义及其完备性的确立，标志着由魏尔斯特拉斯倡导的分析算术化运动大致宣告完成。
1.3 集合论康托（德，1845－1918年），1874年发表了“关于一切代数实数的一个性质”，引入了无穷的概念。
康托简介。
2、分析的拓展 2.1 复变函数论在18世纪后半叶到19世纪初，开始了复函数的偏导数与积分性质的探索。
复分析真正作为现代分析的一个研究领域是在19世纪建立起来的，主要奠基人：柯西（法，1789－1857年）、黎曼（德，1826－1866年）和魏尔斯特拉斯（德，1815－1897年）。
柯西建立了复变函数的微分和积分理论。
1814年、1825年的论文《关于积分限为虚数的定积分的报告》建立了柯西积分定理，1826年提出留数概念，1831年获得柯西积分公式，1846年发现积分与路径无关定理。
柯西简介。
背景：波旁王朝、捷克简史、哈布斯堡王朝、拿破仑三世、欧洲1848年革命。
黎曼的几何观点，引入“黎曼面”的概念。
1851年博士论文《单复变函数一般理论基础》，建立了柯西－黎曼条件、黎曼映射定理。
魏尔斯特拉斯于19世纪40年代，以追求绝对的严格性为特征，建立了幂级数基础上的解析函数理论，解析开拓。
数学史话：数学史话(8)十九世纪的数学
8、十九世纪的数学十九世纪是数学史上创造精神和严格精神高度发扬的时代。
复变函数论的创立和数学分析的严格化，非欧几何的问世和射影几何的完善，群论和非交换代数的诞生，是这一世纪典型的数学成就。
它们所蕴含的新思想，深刻地影响着二十世纪的数学。
十九世纪数学发展的概貌十八世纪数学发展的主流是微积分学的扩展，它与力学和天文学的问题紧密相联。
微积分的运用使这些自然科学领域迅猛发展，至十八世纪末，它们达到了一种相对完美的程度。
然而，将数学和这些自然科学基本上视为一体的观念，使当时一些著名的数学家，如拉格朗日、欧拉、达朗贝尔等对数学的前途产生了悲观情绪，他们觉得数学泉源已近枯竭。
而实际上，此时的数学正处于兴旺发达的前夜：18世纪的数学家忙于获取微积分的成果与应用，较少顾及其概念与方法的严密性，到十八世纪末，为微积分奠基的工作已紧迫地摆在数学家面前；另一方面，处于数学中心课题之外的数学分支已积累了一批重要问题，如复数的意义、欧式几何中平行公设的地位，高次代数方程根式解的可能性等，它们大都是从数学内部提出的课题；再者，自十八世纪后期开始，自然科学出现众多新的研究领域，如热力学、流体力学、电学、磁学、测地学等等，从数学外部给予数学以新的推动力。
上述因素促成了十九世纪数学充满活力的创新与发展。
十九世纪欧洲的社会环境也为数学发展提供了适宜的舞台，法国资产阶级大革命所造成的民主精神和重视数学教育的风尚，鼓励大批有才干的青年步入数学教育和研究领地。
法国在十九世纪一直是最活跃的数学中心之一，涌现出一批优秀人才，如傅里叶、泊松、彭赛列、柯西、刘维尔、伽罗华、埃尔米特、若尔当、达布、庞加莱、阿达马。
他们在几乎所有的数学分支中都作出了卓越贡献。
法国革命的影响波及欧洲各国，使整个学术界思想十分活跃，突破了一切禁区。
英国新一代数学家克服近一个世纪以来以牛顿为偶像的固步自封局面，成立了向欧洲大陆数学学习的“分析学会”，使英国进入世界数学发展的潮流。
十九世纪的数学发展史
十九世纪的数学发展史十九世纪是数学史上创造精神和严格精神高度发扬的时期。
复变函数论的创建和数学分析的严格化，非欧几何的问世和射影几何的完善，群论和非互换代数的诞生，是这一世纪典型的数学成绩。
它们所包含的新思想，深刻地影响着二十世纪的数学。
十九世纪数学发展的概貌十八世纪数学发展的主流是微积分学的扩展，它与力学和天文学的问题紧密相联。
微积分的运用使这些自然科学领域迅猛发展，至十八世纪末，它们达到了一种相对完美的程度。
但是，将数学和这些自然科学大体上视为一体的观念，使那时一些著名的数学家，如拉格朗日、欧拉、达朗贝尔等对数学的前途产生了悲观情绪，他们感觉数学泉源已近枯竭。
而实际上，此时的数学正处于兴旺发达的前夜：18世纪的数学家忙于获取微积分的功效与应用，较少顾及其概念与方式的周密性，到十八世纪末，为微积分奠基的工作已紧迫地摆在数学家眼前；另一方面，处于数学中心课题之外的数学分支已积累了一批重要问题，如复数的意义、欧式几何中平行公设的地位，高次代数方程根式解的可能性等，它们多数是从数学内部提出的课题；再者，自十八世纪后期开始，自然科学出现众多新的研究领域，如热力学、流体力学、电学、磁学、测地学等等，从数学外部给予数学以新的推动力。
上述因素促成了十九世纪数学充满活力的创新与发展。
十九世纪欧洲的社会环境也为数学发展提供了适宜的舞台，法国资产阶级大革命所造成的民主精神和重视数学教育的风尚，鼓励大量有才华的青年步入数学教育和研究领地。
法国在十九世纪一直是最活跃的数学中心之一，涌现出一批优秀人材，如傅里叶、泊松、彭赛列、柯西、刘维尔、伽罗华、埃尔米特、若尔当、达布、庞加莱、阿达马。
他们在几乎所有的数学分支中都作出了卓越贡献。
法国革命的影响波及欧洲各国，使整个学术界思想十分活跃，冲破了一切禁区。
英国新一代数学家克服近一个世纪以来以牛顿为偶像的固步自封局面，成立了向欧洲大陆数学学习的“分析学会”，使英国进入世界数学发展的潮流。
数学史8
哈密顿为四元数制定一种不可交换的 乘法运算。他规定，原始单元相乘必须 满足下列规则：i2=j2=k2=-1 ij=-ji=k , jk=-kj=i , ki=-ik=j 任给四元数pq≠qp。一种数系的乘法没 有交换性，是数学史上的一大革新。 有了复数的几何解释后不久，数学家 们发现，复代数是研究平面向量，而物 理学中的大量问题是三维空间的向量， 需要一种能处理空间向量的数学理论， 他们在四元数中找到了思想的源泉。
高斯特别研究了x2≡o(modp)(其中p是 素数，a不是p的倍数)这种同余式方程． 如果它有解，就称x是p的二次剩余，否则 称a是p的二次非剩余．关于二次剩余和二 次非剩余，有一个著名的定理与之相联系 ，高斯称它为二次互反律
[(q-1)/2]. （p/q）· （q/p）=（－1）[(p-1)/2]·
8.3 布尔代数 19世纪中后叶，代数学还开拓了另一 个完全不同的领域．早在17世纪，莱布 尼茨想要发明一种通用的语言，借助它 的符号和专门语法来指导推理．他认为 逻辑语言应该用一些表意的符号，每一 个符号代表一个简单的概念，通过各种 符号的组合表达复杂的思想．他也认真 地考虑过建立一种推理的代数，试图通 过演算完成一切正确的推理过程．
由布尔开创的逻辑代数，在施罗德的 三大卷《逻辑代数讲义》(1890—1905) 中发展到了顶峰．而在1879年，德国数 学家弗雷格(G．Frege)则开创了数理逻 辑研究的另一种传统——数学基础传统 ．他的目标不是把数学应用于逻辑以实 现逻辑规律和逻辑推理的数学化，而是 利用精密化的逻辑为数学建立一个可靠 的基础．以后，通过佩亚诺(G．Peano) 、怀特黑德和罗素等人的工作，就将数 理逻辑研究中的逻辑代数传统和数学基 础传统汇合在一起．
8.1代数方程的可解性与群的发现 18世纪末和19世纪初，方程的代数解 法是数学的中心问题，意大利人在16世 纪解决丁三次、四次方程根式求解的一 般法则后，数学家一直在寻找五次以上 代数方程的求解问题，将近3个世纪， 数学家们绞尽脑汁毫无进展。 1770年拉格朗日发表论文《关于代数 方程解的思考》提出，五次和五次以上 方程没有根式解。
19世纪数学史
(2).1796年宣布完成正十七边形作图法 (2).1796年宣布完成正十七边形作图法 • 一个正多边形 其边数为奇数时,可用尺规作 一个正多边形,其边数为奇数时 可用尺规作 其边数为奇数时 图的充分条件是p为形如 图的充分条件是 为形如
2 +1
2v
的素数或此形式素数之积(v为任意非负整数 的素数或此形式素数之积 为任意非负整数). 为任意非负整数 (3).关于素数个数的结论 (3).关于素数个数的结论
B. 在数学上的主要成就 ①.泊松分布; 泊松分布; ②.偏微分方程; 偏微分方程; ③.欧拉－麦克劳林求和公式余项的第一人; 欧拉－麦克劳林求和公式余项的第一人; ④.第一个沿复平面上的路径实行积分的人; 第一个沿复平面上的路径实行积分的人 ⑤.在变分法中，引用了一般坐标系，为变分 在变分法中，引用了一般坐标系， 法提供了重要的新观念; 法提供了重要的新观念; ⑥.证明了三元二次式的特征值为实数; 证明了三元二次式的特征值为实数; ⑦.对发散级数的奇怪态度; 对发散级数的奇怪态度;
几何基础问题， 几何基础问题，即平行分设在欧几里德几何 学中的地位（1792年 学中的地位（1792年）； 由归纳发现数论中关于二次剩余的基本定 二次互反定律（ 理——二次互反定律（1795年）； 二次互反定律 1795年 研究素数分布，猜想出素数定理(1792年 研究素数分布，猜想出素数定理(1792年). (1792 • 哥廷根Göttingne大学; 大学; 哥廷根 大学 • 作为数学家还是作为语言学家？ 作为数学家还是作为语言学家？ • 学术生涯转折点:1796,正十七边形作图法; 学术生涯转折点:1796,正十七边形作图法; :1796,正十七边形作图法 • 著名的“数学日记”:1796年-1814年 著名的“数学日记”:1796年 1814年 EYPHKA! num=△+△+△ △ △ △
数学史第八讲：19世纪的代数
不受重视
1826年7月，阿贝尔抵达巴黎。他见到了那里所有出名的数学家， 他们全都彬彬有礼地接待他，然而却没有一个人愿意仔细倾听他 谈论自己的工作。在这些社会名流的高贵天平上，这个外表腼腆、 衣着寒酸、来自僻远落后国家的年轻人能有多少份量呢？阿贝尔 在写给霍姆伯谈巴黎观感的信中说道：“法国人对陌生的来访者 比德国人要世故得多。你想和他们亲密无间简直是难上加难，老 实说我现在也根本不奢望能有些荣耀。到头来，任何一个开拓者 要想在此间引起重视，都得遇到巨大的障碍。尽管阿贝尔非常自 信，但对这一工作能否得到合理评价已经深有疑虑了。他通过正 常渠道将论文提交法国科学院。科学院秘书傅立叶读了论文的引 言，然后委托勒让得和柯西负责审查。柯西把稿件带回家中，究 竟放在什么地方，竟记不起来了。直到两年以后阿贝尔已经去世， 失踪的论文原稿才重新找到，而论文的正式发表，则迁延了12年 之久。
第二年6月，又以企图暗杀国王的罪名被捕。由于警方没有证据，不久即被 释放。7月，被反动王朝视为危险分子的伽罗瓦再次被抓。他在狱中曾遭暗 枪射击，幸未击中。
1832年4月伽罗瓦被释放出狱。1832年5月29日，才出狱后一个月的年轻气 盛的伽罗瓦为了所谓的“爱情与荣誉”打算和一个军官决斗。我们先来了解 一下当时的历史。 为名誉而决斗，对于19世纪前的欧洲人来说，是一件再普 通不过的事情。在法国和俄罗斯这样决斗成风的国家，男人们可以因为任何 一个微不足道的原因就拔剑相向。 但事实上，决斗并不是骑士和贵族的专利， 也不仅仅是争夺爱情和捍卫名誉的危险游戏。 他知道对手的枪法很好，自己获胜的希望很小，很可能会死去。他问自己， 如何度过这最后的夜晚？为了证明自己数学理论的价值，他先写了绝笔信。
数学史第八讲：19世纪的代数43页PPT
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
40、学而不思则罔，思而在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
数学简史(十九世纪的数学)
十九世纪欧洲的社会环境也为数学发展提供了适宜的舞台，法国资产阶级大革命所造成的民主精神和重视数学教育的风尚，鼓励大批有才干的青年步入数学教育和研究领地。法国在十九世纪一直是最活跃的数学中心之一，涌现出一批优秀人才，如傅里叶、泊松、彭赛列、柯西、刘维尔、伽罗华、埃尔米特、若尔当、达布、庞加莱、阿达马。他们在几乎所有的数学分支中都作出了卓越贡献。法国革命的影响波及欧洲各国，使整个学术界思想十分活跃，突破了一切禁区。
但欧氏几何的平行公设曾引起数学家的持久的关注，以弄清它和其他公理、公设的关系。这个烦扰了数学家千百年的问题，终于被高斯、罗巴切夫斯基和波尔约各自独立解决。高斯在1816年已认识到平行公设不可能在欧氏几何其他公理、公设的基础上证明，得到在逻辑上相容的非欧几何，其中平行公设不成立，但由于担心受人指责而未发表。
十九世纪前半叶最热门的几何课题是射影几何。1822年，彭赛列发表《论图形的射影性质》，这是他1813～1814年被俘关在俄国时开始研究的总结。他探讨几何图形在任一投影下所有截影所共有的性质，他的方法具有象解析几何那样的普遍性。1827年左右，普吕克等人引进齐次坐标，用代数方法研究射影性质，丰富了射影几何的内容。
1807年，傅里叶向巴黎科学院提交了一篇关于热传导的文章，在解热传导方程时，提出任意函数可用三角级数表示。这是分析学在十九世纪的首项重要工作，它不仅使分析方法进入新的物理领域，而且扩展了函数概念，推进了偏微分方程理论。对傅里叶级数收敛点的研究，最终导致康托尔创立集合论。由于傅里叶级数在应用中的重要性，研究其收敛性成为分析严格化的动力之一。
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行列式与矩阵
拉普拉斯 凯莱 关孝和 埃尔米特 弗 罗 贝 尼 斯
克莱姆
西尔维斯特
若 尔 当
布尔代数
来源于对数学和逻辑基础的探讨, 莱布尼茨(德, 1646-1716)提出思 维演算和逻辑的数学化思想 德 • 摩根(英, 1806-1871)1847年《形式逻辑》首创关系逻辑研究 布尔(英, 1815-1864)用代数方法建立了逻辑代数, 1847年和1854年 布尔出版《逻辑的数学分析》和《思维规律研究》 施罗德(德, 1841-1902)《逻辑代数讲义》(1890-1905)把布尔的逻 辑代数推向顶峰
美国数学家库珀和化学家布恩, 2005年12月15日发现第43个梅森素 数M30402457, 有9152052位数; 他们在2006年9月4日又发现第44个梅 森素数M32582657, 有9808358位数, 如果用普通字号将这个数字连续写 下来, 它的长度超过40公里.
布 尔 德 摩 根 • 施 罗 德
布尔代数
全称肯定命题 全称否定命题 特称肯定命题 特称否定命题 所有 X 是 Y 所有 X 不是 Y 有些 X 是 Y 有些 X 不是 Y x(1-y)=0 xy=0 xy≠0 x(1-y)≠0
布尔(英, 1815-1864)，数学、逻辑学家，50篇学术论文和两部教
1811，1831年高斯(德, 1777-1855)讨论了复数几何表示
数系扩张
1837年哈密顿(爱尔兰, 1805-1865)表示复数为有序实数对 1843年哈密顿(爱尔兰, 1805-1865)定义了四元数
a bi cj dk
i 2 j2 k 2 -1
ij -ji k, jk -kj i, ki -ik j
阿贝尔
数学奖
阿贝尔奖(2003- )
1898年挪威数学家李(1842-1899)提议设 立阿贝尔奖。 挪威政府拨款2亿挪威克郎(约合人民币 2.73亿元)设立阿贝尔纪念基金，在阿贝尔 诞辰200周年之际设立阿贝尔奖, 从2003年 起每年颁发一次。 阿贝尔奖颁发给那些在数学领域做出杰 出贡献的数学家，奖金额为600万挪威克朗。
数论、代数、非欧几何、复变函数和 微分几何等方面做出了开创性的贡献
近代数学奠基者之一，“数学王子” “宁可少些，但要好些。”
高斯(联邦德国, 1955)
代数方程根式解
高斯和正十七边形 (民主德国, 1977)
代数方程根式解
高斯墓
代数方程根式解
1770年拉格朗日(法, 1736-1813)《关于代数方程解的思考》：预解式 1799年鲁菲尼(意, 1765-1822)定理
同余理论，复整数理论和型的理论
“数学，科学的女皇；数论，数学的女皇。” 开创德国数学成为世界数学的中心之路
高斯和哥廷根(尼加拉瓜， 1994)
德国马克上的高斯 (1989)
代数数论
1801年高斯(德, 1777-1855)出版《算术研究》：二次互反律
1844-1847年库默尔(德, 1810-1893)提出理想数
或者是 19个四次方数之和 , 等等.
1743年欧拉发现二次互反律: 代数数论
1, x 2 a(mod p)有解 a ( ) p - 1, x 2 a(mod p)无解
p q 2 2 ( )( ) (-1) q p p-1 q -1
代数数论
高斯《算术研究》（1801）
实数
1873年和1882年埃尔米特(法, 1822-1901)和林德曼(德, 1852-1939) 分别证明了e和π是超越数，“化圆为方”问题的不可能
复数
欧拉常数 lim (1
n
1 1 1 - logn) 是否是无理数? 2 3 n
1747年达朗贝尔(法, 1717-1783)断言复数表示为a+ib， 1777年欧拉(瑞, 1701-1783)支持用i表示虚数单位 1797年威塞尔(挪, 1745-1818)、1806年阿甘德 (瑞, 1768-1822)讨论了复数几何表示
梅 森
美国电子新领域基金会设立了10万美元的奖金, 鼓励第一个找到超过千万位素数的人; 25万美元 奖第一个找到超过十亿位素数的人.
素数判定
在“手算笔录年代”仅找到12个梅森素数, 近10多年来通过GIMPS 项目找到了10个(35至44个)梅森素数.
德国眼科专家马丁•诺瓦克2005年2月18日发现第42个梅森素数 M25964951, 有7816230位数.
鲁菲尼
阿贝尔 伽罗瓦
拉格朗日
1824年阿贝尔(挪, 1802-1829)定理 1829－1831年伽罗瓦(法, 1811-1832)理论
代数方程根式解
阿贝尔（挪，1802－1829）贡献：方程 论、无穷级数和椭圆函数论 16岁开始阅读牛顿、欧拉、拉格朗日、 高斯的著作 1821年，阿贝尔进入奥斯陆大学，1824 年，证明了一般五次方程根式解的不可 能性 1825.5到柏林，五次方程论文发表于克 雷勒杂志、完成了椭圆函数的论文 1826.7到巴黎，论文提交法国科学院 1827.5回到奥斯陆 1841年椭圆函数论论文发表 1908年维格兰(挪, 186列式与矩阵
1683年关孝和(日, 1642-1708，“算圣”)完成《解伏题之法》提出行列式 理论和代数方程变换理论 1750年克莱姆(瑞, 1704-1752)法则 1772年范德蒙(法, 1735-1796)、拉普拉斯(法, 1749-1827)行列式展开定理 1841年凯莱(英, 1821-1895)行列式记号 1852年西尔维斯特(英, 1814-1897)惯性定理 1854年埃尔米特(法, 1822-1910)使用了正交矩阵 1858年凯莱证明了凯莱-哈密顿(爱尔兰, 1805-1865)定理 1870年若尔当(法, 1838-1921)建立了若尔当标准形 1879年弗罗贝尼斯(德, 1849-1917)引入矩阵的秩
解析几何
微积分 概率论
数论
II： 每个正整数可表示成不 超过4个平方数之和
“业余数学家之王”－费马 （法，1601－1665年）
费马数: 1640年给梅森(法, 1588-1648)的信
形如
Fn 2 2 1
n
的数永远是素数
18世纪的数论
1732年欧拉(瑞, 1701-1783)证明F5不是素数 1736年欧拉证明了费马小定理 1742年哥德巴赫(德, 1690-1764)猜想 1753年欧拉宣布证明了n=3时的费马大定理(1770发表) 1754年欧拉证明了费马平方数I问题 1770年拉格朗日(法，1736-1813)证明了费马平方数II问题 1770年华林 (英, 1734-1798) 问题 每个自然数或者是 4个平方数之和 , 或者是9个立方数之和 ,
阿贝尔的塑 像 (挪威, 1983)
数学奖
阿贝尔奖(2003- )
2003年塞尔(法, 1926- )关于代数拓 扑、代数几何获奖
数学奖
阿贝尔奖(2003- )
2003年塞尔(法, 1926- )关于代数拓扑、代数几何获奖
代数方程根式解
伽罗瓦贡献：群论，宣告方程根式解这 我请求我的爱国同胞们，我的朋友们，不要指责我不是为我的国家而死。 一经历了300年问题的彻底解决，及尺 我是作为一个不名誉的风骚女人和她的两个受骗者的牺牲品而死的。我将在可 规作图中“三等分任意角”问题和“倍 耻的诽谤中结束我的生命。噢！为什么要为这么微不足道的，这么可鄙的事去死呢？ 立方”问题不可能 我恳求苍天为我作证，只有武力和强迫才使我在我曾想方设法避开的挑衅中倒下。 在中学读书时，已经熟悉欧拉、高斯、 我亲爱的朋友，我已经得到分析学方面的一些新发现 ……。 雅可比（德，1804－1851年）的著作 在我一生中，我常常敢于预言当时我还不十分有把握的一些命题。但是我在这 1829年进入巴黎高等师范学校 里写下的这一切已经清清楚楚地在我的脑海里一年多了，我不愿意使人怀疑我宣布 1829－1831年提交法国科学院的数学 伽罗瓦(法,1811-1832) 了自己未完全证明的定理。 奖论文，分别交柯西、傅里叶、泊松 (法国, 1984) 请公开请求雅可比或高斯就这些定理的重要性（不是就定理的正确与否）发表 1831年1月被校方开除，两次入狱，死 他们的看法。然后，我希望有人会发现将这些整理清楚会是很有益处的一件事。 于为“爱情与荣誉”的决斗 热烈地拥抱你。 1846年论文发表 伽罗瓦
1820年已阅读牛顿《自然哲学的数学原 理》，拉普拉斯的《天体力学》，1823 年进入剑桥大学三一学院
1834年发表论文“一种动力学的普遍方 法” 1843年10月16日定义了四元数－－“思 想电路接通之火花” 1837－1845年任爱尔兰皇家科学院院长 英国声誉仅次于牛顿的数学家，物理学家
哈密顿的四元数 (爱尔兰, 1983)
伽罗瓦的遗书
代数方程根式解
抽象化尝试
有限置换群 1849-1854年凯莱(英, 1821-1895)引入抽象群
伽罗瓦域 1893年韦伯(德, 1842-1913)抽象域
数系扩张
1737年欧拉(瑞, 1701-1783)证明了e是无理数 1761年兰伯特(法, 1728-1777)证明了π是无理数 1844年刘维尔(法, 1809-1882)第一次显示了超越数的存在
因式分解6 2 3 (1 - 5)(1- - 5)
6 212 , 其中 2, 1 (1 - 5)/ 2, 2 (1- - 5)/ 2