1.3.4三角函数应用(2015年人教A版数学必修四导学案)
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高中数学 人教A版必修4 第1章 1.3三角函数的诱导公式(一)
的运用．利用诱导公式把求任意角的三角函数值转化为求锐角 的三角函数值，清晰地体现了化归的思想.
填一填·知识要点、记下疑难点
§1.3（一）
1．设 α 为任意角，则 π＋α，－α，π－α 的终边与 α 的终边之间
本 课 时 栏 目 开 关
的对称关系.
相关角 π＋ α 与 α －α 与 α π－ α 与 α 终边之间的对称关系 关于 原点 对称 关于 x轴 对称 关于 y轴 对称
研一研·问题探究、课堂更高效
由三角函数的定义得
§1.3（一）
y sin α＝ y ，cos α＝ x ，tan α＝ x ，
－y y 本 又 sin(π＋α)＝－y ，cos(π＋α)＝－x ，tan(π＋α)＝ －x ＝ x ，
课 时 栏 ∴sin(π＋α)＝－sin α ， cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝ tan α . 目 开 关 (3)公式作用：第三象限角的三角函数转化为第一象限角的三
§1.3（一）
(1)公式内容：
sinπ＋α＝－sin α，
本 课 时 栏 目 开 关
cosπ＋α＝－cos α， tanπ＋α＝tan α.
(2)公式推导： 如图，设角 α 的终边与单位圆交于点 P1(x， y)，则角 π＋α 的终边与单位圆的交点为 P2(－x，－y)，下面是根据三角函数定义推 导公式的过程，请你补充完整：
§1.3（一）
本 课 时 栏 目 开 关
§1.3（一）
【学习要求】 1．了解三角函数的诱导公式的意义和作用．
本 课 化简和证明问题． 时 3．能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、 栏 目 【学法指导】 开 关 1．本节将要学习的诱导公式既是
1 3 2π － ， 2 2 (4)角 的终边与单位圆的交点坐标为_______________ ，所以
3.1.3两角和与差的正切(1)(2015年人教A版数学必修四导学案)
例 3、如图：三个相同的正方形相接，求证：
4
。
【学后反思】
课题: 3.1.3 两角和与差的正切 检测案
班级： 【课堂检测】
1、已知 tan 2， tan 5 ，求 tan( )
姓名：
学号：
第
学习小组
2、(1) tan 75 3、已知 tan( )
（3）cos2 ( )
课题: 3.1.3 两角和与差的正切(1)
班级： 姓名： 学号： 第 学习小组
【学习目标】
1.理解两角和(差)的正切公式的推导过程； 2.会用两角和(差)的正切公式进行简单三角函数式的化简，求值和证明。
【课前预习】 1、求 tan 15 的值。
2、两角和的正切公式的推导：
4、已知 tan x 5、若 0
1 ， tan y 3 ，求 tan(x y) 7
， 0
2
2
，且 tan
1 3 ， tan ，求 的值。 7 4
6、 （1）若 45 ，求证： (tan 1) (tan 1) 2 ； （2）若 (tan 1) (tan 1) 2 且 、 为锐角, 求 的值。
4
。
【学后反思】
课题: 3.1.3 两角和与差的正切 检测案
班级： 【课堂检测】
1、已知 tan 2， tan 5 ，求 tan( )
姓名：
学号：
第
学习小组
2、(1) tan 75 3、已知 tan( )
(2)
1 tan 75 1 tan 75
1.3.3函数y=sin(ωx+φ)的图像(2015年人教A版数学必修四导学案)
数图象，那么这个新函数的解析式是 。
（2 x 6．如何将正弦函数 y sin x 的图象变为 y sin
4
） 的图象
课题:
班级：
学习目标
1.3.3 函数 y＝sin（ωx＋Φ）的图像 学号： 第 学习小组
姓名：
2. 通过探究理解参数 , , A 对
y A sin( x ) （ 0, A 0 ）的图象的影响。
y sin( x ) y sin( x ) y Asin( x ) y sin x y sin( x ) y Asin( x )
1 3
y sin( x ) y sin( x )
方法 2： y sin x
个单位，再把横坐标缩小到原来的一半，纵坐标 3
扩大到原来的 4 倍，则所得的图象的解析式是 4.下列命题正确的是( ).
（1）. y cosx的图象向左平移 （2）. y sinx 的图象向右平移
得 y sinx 的图象 2
2 得y cosx 的图象
（3）. 当 <0 时， y sinx 向左平移 个单位可得 y sin(x ) 的图象
）
个单位 6 C. 向左平移 个单位 3
4. 要得到函数 y sin(2 x A. 向左平移
3
个单位 6 D. 向右平移 个单位 3
B. 向右平移
) 的图象,只需将 y sin 2 x 图象（
）
个单位 B. 向右平移 个单位 3 3 C. 向左平移 个单位 D. 向右平移 个单位 6 6 1 1 5．将函数 y 2 sin x 的图象上所有点的横坐标和纵坐标都缩短到原来的 ，得到新的函 2 2
（2 x 6．如何将正弦函数 y sin x 的图象变为 y sin
4
） 的图象
课题:
班级：
学习目标
1.3.3 函数 y＝sin（ωx＋Φ）的图像 学号： 第 学习小组
姓名：
2. 通过探究理解参数 , , A 对
y A sin( x ) （ 0, A 0 ）的图象的影响。
y sin( x ) y sin( x ) y Asin( x ) y sin x y sin( x ) y Asin( x )
1 3
y sin( x ) y sin( x )
方法 2： y sin x
个单位，再把横坐标缩小到原来的一半，纵坐标 3
扩大到原来的 4 倍，则所得的图象的解析式是 4.下列命题正确的是( ).
（1）. y cosx的图象向左平移 （2）. y sinx 的图象向右平移
得 y sinx 的图象 2
2 得y cosx 的图象
（3）. 当 <0 时， y sinx 向左平移 个单位可得 y sin(x ) 的图象
）
个单位 6 C. 向左平移 个单位 3
4. 要得到函数 y sin(2 x A. 向左平移
3
个单位 6 D. 向右平移 个单位 3
B. 向右平移
) 的图象,只需将 y sin 2 x 图象（
）
个单位 B. 向右平移 个单位 3 3 C. 向左平移 个单位 D. 向右平移 个单位 6 6 1 1 5．将函数 y 2 sin x 的图象上所有点的横坐标和纵坐标都缩短到原来的 ，得到新的函 2 2
高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式课件新人教A版必修4
sin
2
cos
,
cos
2
sin .
sin
2
cos
,
cos
2
sin
.
cos180 cos
原式=
cos
sin
sin cos
1
练习 利用公式求下列三角函数值:
1 cos 420 cos60 cos 60 1 2
2 sin
7 6
sin
5 6
sin
6
1 2
3sin 1300
4
cos
79 6
cos
5 6
cos
6
3 2
练习
化简 1sin 180 cos sin 180
4 tan 324 32 __ta_n__3_5_2_8_;
化简11scio原ns式52=cs2ions•22sin•2sin •c•osco2s
;
= sin • sin • cos
cos
= sin2
化简
2 cos2
tan 360
sin .
原式=cos2 tan sin
1.思考
给定一个角α (1)终边与角α的终边关于原点对称的角 与α有什么关系?它们的三角函数之间有 什么关系?
公式二
y
P(x,y)
sin(π+α)=－sinα cos(π+α)=－cosα
π +α α
O
x
tan(π+α)=tanα
P(-x,-y)
(2)终边与角α的终边关于x轴对称的角与α 有什么关系?它们的三角函数之间有什么 关系?
y
P(-x,y)
π-α P(x,y)
【红对勾】2015-2016学年人教A版高中数学必修4课件：1-3-1诱导公式二、三、四 (数理化网)
＝－ 23·23·1＝－34. (2)sin2n＋1π－23π
＝sinπ－23π＝sinπ3＝
3 2.
给值求值
【例2】
(1)已知sin(π＋α)＝
3 5
，且α是第四象限
角，则cos(α－2π)的值是( )
A．－45
4 B.5
C．－35
3 D.5
(2)已知sin57π＝m，则cos27π的值等于(
sin70°－cos70°2 cos70°－sin70°
＝scions7700°°－－csoins7700°°＝－1.
(3)原式＝(cos
π 7
＋cos
6π 7
)＋(cos
2π 7
＋cos
5π 7
)＋(cos
3π 7
＋
cos47π)＝[cosπ7＋cos(π－7π)]＋[cos27π＋cos(π－27π)]＋[cos37π＋
提高篇03
自我超越
——易错警示系列—— 混淆公式导致错误 对本节知识的理解与运用中，常出现的错误是混淆nπ ＋α(n∈Z)与2kπ＋α(k∈Z)三角函数，原因是忽略了n的奇偶 性．
【例】
化简：cos(
4n＋1 4
π＋x)＋cos(
4n－1 4
π－x)(n∈
Z)．
【错解】 原式＝cos(nπ＋4π＋x)＋cos(nπ－4π－x) ＝cos(π4＋x)＋cos[－(π4＋x)] ＝2cos(π4＋x)
)
A．m
B．－m
C. 1－m2
D．－ 1－m2
(3)已知cos π6－α ＝
3 3
，则cos
56π＋α
－sin2
α－π6
的值
为________．
1.2.2同角三角函数关系(2015年人教A版数学必修四导学案)
4、化简： （1） cos tan
2 cos2 1 （2） 1 2 sin 2 a
5、求证： （1） 1 tan
2
1 cos 2
（2） sin cos sin cos
4 4 2 2
课题：1.2.2 同角三角函数关系 班级： 【学习目标】 姓名： 备 注
4 ， 且 为第三象限角， 则 sin =_______， tan =________。 5 1 2、已知 sin =－ ，则 cos ________，tan =_________。 2
1、 已知 cos －
3、已知 sin =－ （ A、－ ）
3 3 ， ∈( ，2 )，则 tan 等于 5 2
1 (0 ) ， 则 sin cos ___________ ， 5
tan _____。
3 、 已 知 sin cos
60 ， 且 ， 则 sin __________ ， 169 4 2
cos __________。
2
【课堂研讨】 例 1、已知 sin
4 ，且 是第二象限角，求 cos ， tan 的值。 5
练习：已知 tan
12 ，求 sin ， cos 的值。 5
例 2、已知 tan 2，求下列各式的值： （ 1 ）
4 sin 2 cos 3 cos 3 sin
（ 2 ）
sin 2 2 sin cos 3 cos2
例 3、已知 sin cos
sin cos （1）
4 ，求下列各式的值： 3 sin 3 cos3 sin 4 cos4 （2） （3）
2 cos2 1 （2） 1 2 sin 2 a
5、求证： （1） 1 tan
2
1 cos 2
（2） sin cos sin cos
4 4 2 2
课题：1.2.2 同角三角函数关系 班级： 【学习目标】 姓名： 备 注
4 ， 且 为第三象限角， 则 sin =_______， tan =________。 5 1 2、已知 sin =－ ，则 cos ________，tan =_________。 2
1、 已知 cos －
3、已知 sin =－ （ A、－ ）
3 3 ， ∈( ，2 )，则 tan 等于 5 2
1 (0 ) ， 则 sin cos ___________ ， 5
tan _____。
3 、 已 知 sin cos
60 ， 且 ， 则 sin __________ ， 169 4 2
cos __________。
2
【课堂研讨】 例 1、已知 sin
4 ，且 是第二象限角，求 cos ， tan 的值。 5
练习：已知 tan
12 ，求 sin ， cos 的值。 5
例 2、已知 tan 2，求下列各式的值： （ 1 ）
4 sin 2 cos 3 cos 3 sin
（ 2 ）
sin 2 2 sin cos 3 cos2
例 3、已知 sin cos
sin cos （1）
4 ，求下列各式的值： 3 sin 3 cos3 sin 4 cos4 （2） （3）
1.3《三角函数的诱导公式》课件(新人教A必修4)
π
2
− θ ) D. sin(
2
4 在第四象限， cos( + α ) = α在第四象限， 2 5 3π 则 sin( + α )的值是 2
牛刀小试
π
A
3 3 3 4 A. − B . C . ± D. 5 5 5 5
牛刀小试
sin 280 = m , 则 cos 10 等于
B
A : m B : −m C : 1 − m D : − 1 − m
4 10、 α + π ) = 且 sin α ⋅ cos α < 0, 求 sin( 5 2 sin(α − π ) + 3 tan( 3π − α ) 4 cos(α − 3π )
1 6.已知 sin( 7π + α ) = − ,求tan(π 已知 求 3
1 17π cos( − ) 3
+ α ) 的值 的值.
π 1 7.已知 cos α = ,且 − < α < 0 ,求 已知 且 求 3 2 sin( 2π + α ) 的值. 的值 cos( −α ) tan α tan( −α − π )
2π 3π 4π 5π 4 : cos + cos + cos + cos + cos + cosπ 6 6 6 6 6
π
π
巩固练习 1 利用公式求下列三角函数值 利用公式求下列三角函数值.
(1) cos 750
0
11π ( 2) sin( − ) 6 (4) cos( −14100 )
的值是_______. 的值是
8.已知 tan α = −3 ,求sin(π + α ) cos(π − α ) 的值 已知 的值. 求
1.2.3三角函数的诱导公式(1)(2015年人教A版数学必修四导学案)
cos（π－ α）ຫໍສະໝຸດ =－ cosα三：课堂研讨
例1 求值：
（1） sin
7 6
（2） cos
11 4
（3） tan(1560 )
例 2、例 2
判断下列函数奇偶性． （2） g ( x) x sin x
（1） f ( x) 1 cos x
例 3、3)tan（π +a）=3，求[2cos(π - a)-sin(π + a)]/[4cos(- a)+sin(2π - a)]的 值
公式三： 任意角 α 与-α 的三角函数值之间的关系：
sin（－ α） =－ sinα ； cos（－ α） =-cosα tan（－ α） =－ tanα
公式四： 利用公式二和公式三可以得到 π-α 与 α 的三角函数值之间的关系：
sin（ π－ α） =-sinα ； tan（ π－α） =－tanα
公式一： 设 α 为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等．
sin（ 2kπ+α） =sinα k∈ z ; cos（ 2kπ+α） =cosα k∈ z tan（ 2kπ+α） =tanα k∈ z
公式二： 设 α 为任意角，π+α 的三角函数值与 α 的三角函数值之间的关系：
sin（ π+α） =—sinα ； cos（ π+α） =－ cosα tan（ π+α） =-tanα
、
课外作业——三角函数诱导公式 （1）
班级：
姓名：
3．已知 cosα= 1 ，cos（α+β）=1，求证：cos（2α+β）= 1 ．
3 3
4．求证：
tan(2 π ) sin(2 π ) cos(6 π ) =tanθ cos( π ) sin(5 π )
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y A sin x b
1.这一天 6～14 时的最大温差是多少？ 2.函数式中 A、b 的值分别是多少？ 3.写出这段曲线的函数解析式.
y
30 20
课题：
1.3.4 三角函数应用
班级：
姓名： 备 注
一：学习目标
1. 会用三角函数解决一些简单的问题， 体会三角函数是描述周期变化现象 的重要函数模型。 2. 观察函数图像，学会用待定系数法求解析式，能够将所发现的规律抽象 为恰当的三角函数模型。
二：课前预习
1．如果某种变化着的现象具有 角函数来描述。 2 ． y A sin(x ) 是 ，初相是 （性质） ，那么它就可以借助三
y A sin x b
1.这一天 6～14 时的最大温差是多少？ 2.函数式中 A、b 的值分别是多少？ 3.写出这段曲线的函数解析式.
y
30 20
10
O
6
10
14
x
例 2. 1、如图，点 O 为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物 体位移的正方向，若已知振幅为 3cm ，周期为 3s ，且物体向右运动到距平 衡位置最远处时开始计时。 （1）求物体对平衡位置的位移 x(cm) 和时间 t ( s ) 的函数关系； （2）求该物体在 t 5s 时的位置。 O
2、一根长 lcm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时，
离 开 平 衡 位 置 的 位 移 s(cm) 和 时 间 t ( s ) 的 函 数 关 系 式 是
g t ),t [0,) 。 l 3 （1）求小球摆动的周期； （2）已知 g 980cm / s 2 ，要使小球摆动的周期是 1s ，线的长度应 当是多少？ （精确到 0.1cm ， 取 3.14 ） s 3 cos(
A 0, 0 的振幅是
3 ) 先向右平移
，周期是
，
3. 把函数 y sin( 2 x
个单位，然后向下平移 2 个单位后 2
所得的函数解析式为________________________________。 4.一单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置 O 的距离 s(cm)和时间 t(s)的函 数 关 系 式 为 s 6 sin( 2t _____________. 5.某城市一天的温度 C 波动近似按照 20 5 sin
1.3.4 三角函数应用 一：学习目标
课题：
班级：
姓名： 备 注
3. 会用三角函数解决一些简单的问题， 体会三角函数是描述周期变化现象的 重要函数模型。 4. 观察函数图像，学会用待定系数法求解析式，能够将所发现的规律抽象为 恰当的三角函数模型。
二：课前预习
1．如果某种变化着的现象具有 函数来描述。 2． y A sin(x ) 初相是 。 （性质） ，那么它就可以借助三角
（2）在摩天轮转动一圈内，有多长时间
课外作业——
1、 弹簧挂着的小球作上下振动， 它在时间 t （秒） 内离开平衡位置 （就
是静止时的位置）的距离 h（cm）由下列函数关系决定：h=3sin （2t+π /4 ） ，则小球上升到最高点的位置是 ___________，经过 ______s， 小球往返振动一次， 每秒内小球能往返振动________次。
2 ） 3
P
O -2
P0
x
四：学后反思
课堂检测—— 1.3.4 三角函数的应用
班级：
姓名：
1、已知如图，下图表示电流 I 与时间 t 的关系式 I=Asin（ω t+φ ） 在一个周期内的图象． （A＞0，ω ＞0，-π ＜φ ＜π ） 根据图象写出 I=Asin（ω t+φ ）的解析式；
2. 如图所示，摩天轮的半径为 40m， 点距地面的高度为 50m，摩天 轮作匀速转动， 每 3min 转一圈，摩天轮上的 低处. （1）试确定在时刻 min 时 点距离地面的高度； 点距离地面超过 70m. 点的起始位置在最
A 0, 0 的 振 幅 是
。
，周期
3. 把函数 y sin( 2 x
3
) 先向右平移
个单位，然后向下平移 2 个单位 2
后所得的函数解析式为________________________________。 4.一单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置 O 的距离 s(cm)和时间 t(s)的 函数关系式为 s 6 sin( 2t _____________. 5.某城市一天的温度 C 波动近似按照 20 5 sin
6
) ，那么单摆来回摆动一次所需的时间
t 的规律 3 12
变化，其中 t (h) 是从该日 0:00 开始计时，且 t 24 ，则这一天的最高 气温是__________；最低气温是__________.
三：课堂研讨
例 1. 如图，某地一天从 6～14 时的温度变化曲线近似满足函数:
6
) ，那么单摆来回摆动一次所需的时间
t 的规律变 3 12
化，其中 t (h) 是从该日 0:00 开始计时，且 t 24 ，则这一天的最高气温是 __________；最低气温是__________.
三：课堂研讨
例 1. 如图，某地一天从 6～14 时的温度变化曲线近似满足函数:
3、如图，一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行，已知圆 环的半径为 2/3m，圆环的圆心距离地面的高度为 ，蚂蚁每分
钟爬行一圈，若蚂蚁的起始位置在最低点 P0 处.(1)试确定在时刻t 时蚂蚁距离地面的高度;(2)画出函数在
时的图
象；(3)在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内,有多长时间蚂蚁距离地面超 过 2/3m？
例 3. 一半径为 3m 的水轮如右图所示,水轮圆心 O 距离水面 2m,已知水轮每 分钟转动 4 圈,如果当水轮上 P 点从水中浮现时(图中 P0)点开始计算时间. (1) 求 P 点相对于水面的高度 h(m)与时间 t(s)之间的函数关系式; y (2) P 点第一次达到最高点约要多长时间? （参考数据： sin 0.73