软件2010组合数学第四章容斥原理(二)
2容斥相关
容斥原理（1）容斥原理（2）知识点-并集：A 和B 并集是有所有A 的元素和所有B 的元素，而没有其他元素的集合。
A 和B 的并集通常写作"A ∪B"。
在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
容斥原理是公务员考试行政职业能力测验数量关系中较难的一类题，一般的解题思路有两种：1、公式法，适用于“条件与问题”都可直接代入公式的题目；2、文氏图示意法，即当条件与问题不能直接代入公式时，需要利用该方法解决。
一般而言，能够直接代入公式的题较容易，而需要利用文氏图的题目相对灵活，容易给考生解题带来不便。
如果考生能够对公式中的各个要素以及文氏图上的各个部分所代表的含义有深入了解，则可以快速抓住解题关键。
例：某班有35个学生，每个学生至少参加英语小组、语文小组、数学小组中的—个课外活动小组。
现已知参加英语小组的有17人。
参加语文小组的有30人，参加数学小组的有13人。
如果有5个学生三个小组全参加了，问有多少个学生只参加了一个小组？A.15B.16C.17D.18对于这道题，一般思路为：将题目条件带入三集合文氏图，假设只参加两个小组的人数分别为x，y，z人，由加减关系可以得到只参加一个小组的人数的表示形式，根据总人数可以列出方程：（13-5-x-y）+（17-5-x-y）+（30-5-x-y）+x+y+z+5=35，从而得到x+y+z=15，即为所求。
该方法是利用文氏图和列方程的方法进行解题，方法简单易懂，但是实际操作起来消耗时间较多，下文将给出本题的另外两种解法：解法1：文氏图与三集合标准型公式相结合。
三集合标准型的公式如下：AUBUC=A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC。
将语文小组的人数视为A，数学小组人数视为B，英语小组人数视为C，分别代入公式可以得到AB+AC+BC=30。
组合数学中的容斥原理及其应用实例
技术创新33组合数学申的容斥原理及其应用实例◊宝鸡文理学院数学与信息科学学院李海侠容斥原理是组合数学中的一个重要计数工具，在集合论、概率论和初等数论等学科中占有非常重要的地位。
本文讨论容斥原理的思想以及在计数问题中的若干应用，帮助大家更方便的利用容斥原理解决相关问题。
容斥原理冋是组合数学中的基本计数原理，是解决计数问题的一个重要工具。
掌握容斥原理的主要思想可以大大简化计数问题的计算，给解决相关问题带来方便，具有非常重要的研究意义。
但纵观容斥原理的已有研究成果，目前对容斥原理在圆排列（非夫妻围坐问题）、多重集排列和与棋盘多项式有关的禁区排列等方面的应用很少。
因此，本文在容斥原理相关定理的基础上探析容斥原理的主要思想以及若干应用,并通过举例进行详细说明，从而使大家更好地理解并灵活应用容斥原理。
1预备知识为了后面讨论的需要，下面给出容斥原理的相关定理和思想。
定理1（容斥原理）呦设有限集S,P=｛片，马,…，好｝是与S中元素有关的性质集合，4,&，…,4,是分别具有性质£，妁，…上的元素构成的s的子集，贝U：|4U4U-U^…|»,,,,（1）=ZW-Z|4-n^|+s l4.n4.nAl—■+（-ir1l4n^n-n4.li=l l<i<j<n l<i<j<k<n|4A4n-n4；|⑵=l^|-il4l+Z|4A4|-z|4n4n^|+-+（-ir|4n4n-n4.li=l l<i<j<k<n运用容斥原理和组合販易得定理2如果有限集s的子集4,4,…,4.具有对称性，即|4|=^（1<«<«）,|4-C1勺| =J R2（i<i</<»）,-）|4n4n-AA|=^,”则14u U•••U Al=ex-CX+•-+（-1）"_1CX=（3）冈n瓦n…n可=国-c：x+c江-…+（-i）”c：&=同-x（-i）/_I c火（4）利用容斥原理解题的思想和步骤：J（1）根据题意,找出全集s并构造出s中具有性质P t的元素组成的s的子集4（i= 1,2,•••,»）,这里4（21,2,…，”）的寻找非常关键，目标是既能用容斥原理又使得⑷，|4ri24y|,---,|4/容易求出。
容斥原理
思路：注意到m最大只有1000，这是此题的关键，于是 对于每一次询问我们可以先求出在原始数列中与p互质的 数之和（分解质因数，容斥，与hdu1695类似），最后 若区间内数字有修改再处理一下就是答案了。
参考代码：
#include <iostream> #include <stdio.h> #include <string.h> #include <algorithm> #include <map> using namespace std;
if((1 << j) & i){ cnt ++; nu *= p[b][j];
} } if(cnt & 1) ans += h/nu; else ans -= h/nu; } return ans; } int main(){
int t,a,b,c,d,k; init(); scanf("%d",&t); int ca = 1; while(t --){
ans[i] = (quick(m/i,n-sum) * quick(m/i
for(int j = i * 2;j <= m;j += i) ans[i] = (ans[i] - ans[j] + mod) %
} printf("%I64d",ans[1]); for(int i = 2;i <= m;i ++)
hdu4675 GCD of Sequence
题意：给定一个序列a: , ,... ,(1<=
，将该序
列修改K位后得到一个序列b: , ... ,求分别有多少种方
组合4容斥原理
| A I B | | A I B | | B I A | (| A I B | | A I B |)
( | B I A | | B I A |) | A I B |
∴| A∪B |＝| A | + | B |－| A∩B |
定理2 A U B UC A B C A I B
A2 A3 A5 A7 120 A2 A3 A5 A7 A2 A3
A2 A5 A2 A7 A3 A5 A3 A7 A5 A7
A2 A3 A5 A2 A3 A7 A2 A5 A7
A3 A5 A7 A2 A3 A5 A7
120 (60 40 24 17) (20 12 8 8 5 3)
已学过的一些计数方法：如 加法法则，母函 数方法等； 两个重要的计数原理：容斥原理和PÓlya计数 定理。
本次课我们学习容斥原理及其应用。
4.1 引例
【例1】 求不超过20的正整数中2或3的倍数的个数。
解： 2的倍数是：2，4，6，8，10，12，14，16， 18，20。共10个； 3 的倍数是：3，6，9，12，15，18。共 6个； 答案是10+6=16个吗？ 否！因为6，12，18在两类中重复计数，应减去。 故答案是：16-3=13
A1 A2 ... An U A1 A2
An
n
n
n
U Ai Ai Aj - Ai Aj Ak
i 1
i1 ji
i=1 ji k j
(1)n A1 A2
An
4.2 容斥原理
又 A U A , 我们有如下推论
推论4.2.1：设S是一有限集合,与S相关的性质集合 P={P1,P2,···,Pm}，Ai为S中具有第 i 种性质的元素的集 合.i=1,2,…,m, 则S中具有P中至少一种性质的元素个
组合数学lunw
浅谈容斥原理及其应用摘要:容斥原理是一个重要的计数公式。
关键词:容斥原理、R 组合、错排。
回忆加法原理在集合间不重叠的情况下，即在这些集合确定一个划分的情况下，给出了这些集合的并的成员的简单计数公式。
容斥原理则给出一个最一般情形下的一个公式，此时集合间可以重叠而没有限制。
这个公式应该更复杂，但是应用更广泛。
定理1.1(容斥原理) 设S 是一个有限集，m P P P ,,,21 是S 上的元素，可能具有的性质{}()m i A S A P x S x x A i i i ,,2,1, , i =-=∈=具有性质且，则()m m mj i k j i m j i j i m i i m A A A A A A A A A A A A 211111211+≤<≤≤<≤=-+-+-=∑∑∑原理一：给定两个集合A 和B ，要计算A ∪B 中元素的个数，可以分成两步进行：第一步：先求出∣A ∣+∣B ∣（或者说把A ，B 的一切元素都“包含”进来，加在一起）； 第二步：减去∣A ∩B ∣（即“排除”加了两次的元素）总结为公式：|A ∪B|=∣A ∣+∣B ∣-∣A ∩B ∣原理二：给定三个集合A ，B ，C 。
要计算A ∪B ∪C 中元素的个数，可以分三步进行： 第一步：先求∣A ∣+∣B ∣+∣C ∣；第二步：减去∣A ∩B ∣，∣B ∩C ∣，∣C ∩A ∣；第三步：再加上∣A ∩B ∩C ∣。
即有以下公式：∣A ∪B ∪C ∣=∣A ∣+∣B ∣+∣C ∣-∣A ∩B ∣-∣B ∩C ∣- |C ∩A|+|A ∩B ∩C ∣ 例1 求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少个。
分析：设A={20以内2的倍数}，B={20以内3的倍数}，显然，要求计算2或3的倍数个数，即求∣A ∪B ∣。
解1：A={2，4，6，…20}，共有10个元素，即|A|=10B={3，6，9，…18}，共有6个元素，即|B|=6A ∩B={既是2的倍数又是3的倍数}={6，12，18}，共有3个元素，即|A ∩B|=3 所以∣A ∪B ∣=∣A ∣+∣B ∣-∣A ∩B ∣=10+6-3=13，即A ∪B 中共有13个元素。
容斥原理及其应用
容斥原理及其应用１ 序言数学知识是人类社会文明的一个重要组成部分．在当今世界，数学已不仅是一门单一的科学，而是一种普适性的技术，正广泛地渗透到物质世界的每一个领域内，对科学技术和社会的发展起着日益突出的作用，但随着社会的向前推进，时代的进步，数学科学的思想、方法与内容伴随着远古时期的结绳记事，屈指记数到现在的办公自动化而日趋完善．人类的现实生活需要数学，而国家的经济发展，科学技术的进步更与数学知识息息相关．具备一些必要的数学知识和一定数学思想方法，是现代人才基本素质的重要组成部分．早期的组合数学是带着数学趣味性和益智魅力的问题，逐渐与数论、概率统计，以及后来新兴的拓扑学、线性规划等学科相互交织在一起，在二十世纪下半叶与电子计算机相结合足以显示了数学的用途．容斥原理是组合数学中解决计数问题的一个重要工具，是离散数学的一个重要组成部分，容斥原理在排列、组合、概率计算中有着广泛的应用．随着近代科学技术的发展，特别是计算机科学的长足进步，给与计算机密切相关的组合数学和离散数学注入了新的活力和生机，使它们与其他基础数学学科的联系更加紧密，让应用数学的适用范围进一步扩大，在现代科学技术中发挥出极为重要的作用．２ 容斥原理定理2.1 设S 是有限集，P 表示某种性质，令A 表示S 中具有性质P 的元素的集合，则S 中不具有性质P 的元素的个数为： A S A =-．定理2.2 设S 是有限集，12,P P 表示某种性质，令,A B 表示S 中具有性质12,P P 的元素的集合，则S 中不具有性质12,P P 的元素的个数为：A B S A B A B =--+I I ．定理2.3 设S 是有限集，123,,P P P 表示某种性质，令,,A B C 表示S 中具有性质123,,P P P 的元素的集合，则S 中不具有性质123,,P P P 的元素的个数为：A B C S A B C A B A C B C A B C =---+++-I I I I I I I定理2.4 设S 是有限集，()1,2,,i P i n =L 表示某种性质，令()1,2,,i A i n =L 表示S 中具有性质()1,2,,i P i n =L 的元素的集合，则S 中至少具有某一性质()1,2,,i P i n =L 的元素的个数为 1121121211n i i i i ni i nA A A A A A ≤≤≤<≤=-++∑∑U UL U I L()()12121112111k k k n i i i n i i i nA A A A A A --≤<<<≤-++-∑L I I L I L I I L I()12121111k k n k i i i k i i i nA A A -=≤<<<≤=-∑∑L I I L I ．现给出这个公式的证明． 证明[]()145P 当2n =时， 121212A A A A A A =+-U I因为 12112A A A A A -=-I ，12A A A ⊆I ，所以 12112112A A A A A A A A -=-=-I I ，所以 当2n =时，结论成立．假设当()2n s s =≥时结论成立，则当1n s =+时，111111111n s n ss i i i s is i s i i i i i A A AA A A ++++=====⎛⎫⎛⎫A =A ==+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U I U U U U U ()1111ssis i s i i AA A A ++===+-I U U()11212111211kk sk i i i i i s k i i i sA A A A -≤≤+=≤<<<≤=+-∑∑∑L I I L I ()()1212111211111k s ksi i s s s k i i i sA A A A A A A -++=≤<<<≤+-+-∑∑L I I L I I I L I I 111i i s A ≤≤+=∑()()1212112121111211111k k k k s s k k i i i i i i s k i i i s k i i i s A A A A A A A ----+=≤<<<≤=≤<<<≤⎡⎤+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑L L I I L I I I L I I ()1211ss A A A ++-I I L I ()()1121211211121111k k sk si i i i s i s k i i i s A A A A A A A -+≤≤+=≤<<<≤+=+-+-∑∑∑L I I L I I I L I ()1212112111kk s k i i i k i i i s A A A +-=≤<<<≤+=-∑∑L I I L I()12121211k k nk i i i k i i i nA A A -=≤<<<≤=-∑∑L I I L I所以 当1n s =+时，结论成立．由数学归纳法可知，对任意的自然数()2n n ≥结论成立．S 中不具有性质()1,2,,i P i n =L 的元素的个数为： ()121212111k k nkn i i i k i i i nA A A S A A A =≤<<<≤=+-∑∑L I I L I I I L I ．３ 应用举例３.１ 容斥原理的一些简单应用例３.1.1 由1至300的整数中, 有多少个整数能被7整除且能被2或5整除?解 设所求为N , 令{}1,2,,300S =L , A ={能被7214⨯=整除的整数}，B ={能被7535⨯=整除的整数}，A B I ={能被72570⨯⨯=整除的整数}，则N A B A B A B ==+-U I 3003003007275725⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⨯⨯⨯⨯⎣⎦⎣⎦⎣⎦218425=+-= 例 3.１.2 有2008盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着，现将其顺序编号为1,2,3,,2008L ．将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，拉完后还有几盏灯是亮的？解 令A ={不大于2008的2的倍数},B ={不大于2008的3的倍数}, C ={不大于2008的5的倍数}, 则200810042A ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦, 20086693B ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦, 20084015C ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦． 又 A B I ={不大于2008的236⨯=的倍数}，A C I ={不大于2008的2510⨯=的倍数}，BC I ={不大于2008的3515⨯=的倍数}, A B C I I ={不大于2008的23530⨯⨯=的倍数},200833423A B ⎡⎤==⎢⎥⨯⎣⎦I , 200820025A C ⎡⎤==⎢⎥⨯⎣⎦I , 200813335B C ⎡⎤==⎢⎥⨯⎣⎦I , 200866235A B C ⎡⎤==⎢⎥⨯⨯⎣⎦I I ,所以拉过开关的灯的只数为：A B C A B C A B A C B C A B C =++---+I I I I I I I 1004669401334200133661473=++---+= (只)所以没拉开关的灯的只数为：20081473535-=（只） 只拉两次的开关的灯的只数为：3A B A C B C A B C ++-I I I I I 334200133366469=++-⨯=（只）所以最后亮着的灯的只数为：5354691004+=（只）3.2 容斥原理在重排问题中的应用 例3.2.1[]()21P 4只小鸟飞入四个不同的笼子里，每只小鸟都有自己的一个笼子（不同的笼子，笼子也不同）,每个笼子只能飞进一只小鸟，若都不飞进自己的笼子，应有多少种不同的飞法？分析 设4只小鸟是甲、乙、丙、丁，相对应的笼子分别是1号、2号、3号、4号，由题意可推算出有9种不同的飞法，分别是乙甲丁丙；乙丙丁甲；乙丁甲丙；丙甲丁乙；丙甲丁乙；丙丁乙甲；丙丁甲乙；丁甲乙丙；丁丙甲乙；丁丙乙甲。
组合数学(西安电子科技大学(第二版))第四章容斥原理
容斥原理
应用 限制排列与棋盘多项式 的木棍上有两种刻度线，第一种刻度线将木棍分 成10等份，第二种将木棍分成12等份。如果沿每条刻度线将 木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？
4.1 引言
例 在一根长的木棍上有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分 成10等份，第二种将木棍分成12等份，第三种将木棍分成15 等份。如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少 段？
那么，A1中的元素可以看作是由S∞的10－4＝6组合再拼上4个 6 3 1 a构成的，所以 A1 28
5 3 1 4 3 1 同理，A2 21, A3 15. 5 4
6
4.3 应用
类似地， A1
(2) |Ai∩Aj|=5!.......
|Ai1∩Ai 2∩… 所以，
A1 A2 A8 8 8 8 8 8 8 8 7! 6! 5! 4! 3! 2! 1 0! 1 1 2 3 4 5 6 7
4.3 应用
例 确定{1,2,…,n}的恰有k个整数在它们的自然位置上的排列数。
例 确定{1,2,3,4,5,6,7,8}的没有偶数在它的自然位置上的排列数。
4.3 应用
4.3 应用
4.3 应用
4.3 应用
4.3 应用
4.3 应用
4.3 应用
4.4 限制排列与棋盘多项式
4.4 限制排列与棋盘多项式
4.4 限制排列与棋盘多项式
4.4 限制排列与棋盘多项式
4.4 限制排列与棋盘多项式
4.4 限制排列与棋盘多项式
4.4 限制排列与棋盘多项式
4.4 限制排列与棋盘多项式
组合数学之容斥原理
对个人学习建议
01
深入理解容斥原理的 基本概念
要学好容斥原理，首先要深入理解其 基本概念和公式，掌握其基本原理和 思想。
02
多做练习题
通过大量的练习题，可以加深对容斥 原理的理解和掌握，提高解题能力和 思维水平。
03
拓展相关数学知识
容斥原理涉及到许多相关的数学知识 ，如集合论、概率论等。为了更好地 理解和应用容斥原理，建议学习者拓 展相关数学知识，建立完整的知识体 系。
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感谢聆听
有限制的排列问题
在n个元素中取出m个元素进行排列，要求某些元素必须相邻或某些元素不能相邻。可以 利用容斥原理，通过计算不满足条件的排列数，进而求得满足条件的排列数。
棋盘多项式问题
在n×n的棋盘上放置k个棋子，要求任意两个棋子不在同一行或同一列上。可以利用容斥原理， 通过计算至少有两对棋子在同一行或同一列上的放置方式数，进而求得满足条件的放置方式 数。
图论基本概念
01
图
02
顶点
03 边
04
度
路径
05
由顶点集和边集构成的一种数据结构，表示对象及其之间的 关系。 图中的基本元素，表示对象。
连接两个顶点的线段，表示对象之间的关系。
与顶点相关联的边的数目。
从一个顶点到另一个顶点的一条边的序列。
容斥原理在图论中应用
计算图的着色数
利用容斥原理，通过计算不同 颜色着色的子图个数，进而求 得图的着色数。
当某些元素不能同时选取或某些选取 方式不符合要求时，可以通过容斥原 理来求解符合条件的排列组合数。
典型问题解析
错排问题
n个元素进行排列，要求每个元素都不在原来的 位置，求这样的排列有多少种。
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例4.2.2 确定方程 x1+x2+x3=12
(-1≤ x1 ≤2, 1≤ x2 ≤5, 2≤ x3 ≤7) 的整数解的个数.
解：令y1= x1+1, y2= x2-1, y3= x3-2, 则有0≤ y1 ≤3， 0≤ y2 ≤4， 0≤ y3 ≤5，
用y1-1代替 x1 ，y2+1代替x2，y3+2代替x3得： y1+y2+y3=10 (0≤ y1 ≤3， 0≤ y2 ≤4， 0≤ y3 ≤5) 这个 方程的整数解的个数就是原来方程的整数解的个 数，即为多重集{3·a,4·b,5·c}的10-组合数。参 照例4.2.1的方法，结果为6。
2143,2341,2413,3142,3412,3421,4123,4312,4321， D4=9; … … … … … … 对于一般的n, 有以下的定理.
定理4.3.1 对于n≥1有
D n!(1 1 1 1 (1)n 1 )
n
1! 2! 3!
n!
证明：
设 τ = 12,…,n，
5
1! 2! 3! 4! 5!
60 20 5 1 44
（2）先从123456789中选取4个数的取法 为C(9,4), 再对其他5个数的错位排列，错 位排列数为D5，根据乘法法则有：
9 D 126 44 5544 5 5
例P71(4.8) 证明下列等式
则 Qn | A1 A2 An1 | (1) 先计算|A1|,一个排列属于A1当且仅当12
出现在这个排列里. 所以A1中的排列就是 {12,3,4,…,n}的一个排列, 因此|A1|=(n1)!,同理对j=2,…,n-1,也有|Aj|=(n-1)!,
(2)然后计算|Ai∩Aj|，其中{i,j}是{1,2,…,n-1}的 一 i(i+个12)和-组j(合j+1，)都一出个现排在列这属个于排Ai列∩A里j 当. 分且两仅种当情 况：
§ 4.3 错位排列
错位排列源自一个古老的“装错信封问题”， 它是由数学家约翰·伯努利(Johann Bernoulli)的 儿子丹尼尔·伯努利(Danid Bernoull)提出来的， 并曾被著名数学家欧拉(Euler)称为“组合数论 的一个妙题”。其大意为：一个人写了n封不同 的信及相应的n个不同的信封，他把这n封信都 装错了信封，问都装错信封的装法有多少种？
| A |
28
1
6
6 2
同理可得：
3 5 1 7 7
| A |
21
2 5 5 2
3 4 1 6 6
| A |
15
3
4
4 2
用类似的方法可以计算
| A A | 3 11 3, 1 2 1
| A A | 3 0 1 3,
1
3
0
| A A | 0,| A A A | 0.
2
3
1
2
3
所以S的10-组合数为
| A A A | 66 （28 21 15）（3 1 0） 0 6.
b的个数小于等于4， 并且c的个数小于等于5的10组合个数。
令Ai={ x|x∊W并且x具有性质Pi} A1中的每个10-组合至少含有4个a, 把4个a 拿走就得到T的一个6-组合。反之，对T的
任意一个6-组合加上4个a就得到A1的一个 10-组合，所以|A1|就是T的6-组合数，即
3 6 1 8 8
n
D n! (n 1)! (n 2)!
n
1
2
(1)n n 0! n
n! n! n! n! (1)n n!
1! 2! 3!
n!
n!(1 1 1 1 (1)n 1 )
1! 2! 3!
1
2
同理，对于{1,2,…,n}的任何一个2-组合{i,j}
有：
| A A | (n 2)!
i
j
(3) 一般的，对于任意的整数k, 1≤k≤n, 有
其中i1,i2…,ik是{1,2,…,n}的一个k-组合。
| A A A | (n k)!
i1
i2
ik
根据容斥原理得：
n
其中i1i2…in是{2,3,…,n}的一个排列，
所以 | A | (n 1)! 。 1
同理，对于j= 2,3,…,n,有 | A | (n 1)! j
Hale Waihona Puke (2) A A 中的排列具有下面的形式：
1
2
12i3…in ，其中i3i4…in是{3,4,…,n}的一个
排列，所以 | A A | (n 2)!
| A1 A2 Am | W (0) W (1) W (2) W (3) (1)m W (m)
定理4.1.2（Jordan公式） 集合 S中恰具有 r(0≤r ≤m)种性质的事物的个数
N(r) W (r) r 1W (r 1) r 2W (r 2) (1)mrmW (m)
S中不具有性质P1, P2,…,Pm的元素数是
A1 A2 Am
m
S Ai Ai Aj Ai Aj Ak
i1
1i jm
1i jkm
A A (1)m
1
2
Am
这样定理4.1.1就变成下面的形式：
N(0) N mN(1) mN(2) (1)mmN(m)
成一列，记作a1 a2 …a8,其中a1排在最前面， a8排在最后面。现在对这八个孩子重新排列成 ai1 ai2 …ai8,使得没有ai和ai+1在队列中出现， 1≤i≤7, 问有多少种排列的方式？
这个问题就是一个有限制条件的排列问题.
一、定义 一般来说，令I={1,2,…,n}，在I的排列 中不出现12,23,34,…(n-1)n的排列就叫做 有限制条件的排列，把这种排列的个数 记为Qn.
n! nD nD n D nD
0 n 1 n1
n 1 1 n 0
证明：将S={1,2,…,n}的所有排列分成下列 情况，没有一个数在其自然位置上的排列
数为
n 0 Dn
；恰有i个数在其自然位
1
2
3
列出这6个10-组合如下： {1·a,4·b,5·c}， {2·a,3·b,5·c}， {2·a,4·b,4·c} {3·a,2·b,5·c}， {3·a,3·b,4·c}， {3·a,4·b,3·c}
• 多重集的r－组合数等于方程的非负整数解 的个数。 • 用容斥原理来确定方程的非负整数解的个数
X={1,2,…,n}.
S---X的所有排列的集合。
性质Pj---在一个排列中，如果j在第j个位置 上，则该排列具有性质Pj,对j=1,2,…,n,.
Aj表示S中具有性质Pj的排列的集合，
则 τ 的错位排列数就是 A A2 A
1
n
中的排列。
（1）A1中的排列具有下面的形式1i1i2…in,
Qn
n! n11
(n
1)! n21
(n
2)!
(1)
n1
n n
11 1!
证明：设I={1,2,…,n}，I的排列有n!个，
S----这些排列构成的集合.
性质Pj ----如果X的排列中有j(j+1)出现，则 称这个排列具有性质Pj,对于j= 1,2,…,n-1, Aj ----具有性质Pj的排列构成的子集，
四、例题（例4.3.1） （1）重新排列123456789，使得偶数在
原来的位置上而奇数不在原来的位置上，问 有多少种排法？
（2）如果要求只有4个数在原来的位置 上，问有多少种排法？
解：（1）这是1，3，5，7，9五个数的错 排问题，根据定理4.3.1得：
D 5!(1 1 1 1 1 1 )
这个问题就是一个典型的错位排列问题。
一、定义
设τ={1,2,…,n}, τ的一个错位排列就是排列
i1i2…in, 且ij≠j, j=1,2, …,n.
用Dn表示τ的错位排列数。
二、计算公式
当n=1时，不存在错位排列， D1=0; 当n=2时，错位排列只有21， D2=1;
当n=3时，错位排列有231, 312， D3=2; 当n=4时，错位排列有
例4.2.1 确定多重集S={3·a,4·b,5·c} 的10-组合数。
解：令T= {∞·a,∞ ·b，∞ ·c} ,T的所有10-组合构成 集合W,根据定理3.3.3得：
| W | 3 10 1 12 12 66 10 10 2
任取T的一个10-组合， 如果其中的a多于3个，则称它具有性质P1; 如果其中的b多于4个，则称它具有性质P2; 如果其中的c多于5个，则称它具有性质P3， 因的此元S的素1个0-数组，合即数W就中是同W时中满同足时a不的具个有数性小质于P等1,P于2和3，P3
第四章 容斥原理
Inclusion and Exclusion Principle
(包含排斥原理)
主要内容
§4.1 容斥原理
§4.2 多重集的r-组合数
§4.3 错位排列
应用
§4.4 有限制条件的排列问题
§4.5 有禁区的排列问题
§4.6 Möbius反演
这时容斥原理可叙述为：
定理4.1.1 （容斥原理）
(2.1) i+1=j, 这时排列中出现i(i+1)(i+2),这种排 列就是 {1,2,…,i-1,i(i+1)(i+2),i+3,…,n-1}的一 个排列, 因此|Ai∩Aj|=(n-2)!