数学模型在生态系统的应用研究
生态系统动态模型的研究与应用
生态系统动态模型的研究与应用生态系统动态模型是指对生态系统的结构和功能进行描述、分析、预测、优化和管理的数学模型。
它是将生态学和数学结合的产物，可以有效地表现生态系统的时间和空间变化，对于生态环境的评估、管理和保护具有重要意义。
本文将从生态系统动态模型的基本原理、应用场景和发展前景三个方面进行探讨。
一、生态系统动态模型的基本原理生态系统动态模型的建立是基于生态学的基本原理和模型构建理论，包括生态系统的物质循环、能量流动、种群动态、物种互动、群落结构和演替等关键要素。
这些要素可以用代数方程、微分方程、差分方程、随机模拟等各种数学方法建模，以描述生态系统在时间和空间上的变化。
此外，生态系统动态模型还需要考虑人类活动、非生物因素、生态系统响应和适应性等因素对生态过程的影响，以便更好地预测生态系统的变化趋势和应对措施。
二、生态系统动态模型的应用场景1.生态环境评估与预测生态系统动态模型可以用来评估和预测污染物质的传递路径和环境影响，对于环境监测和评估具有重要意义。
例如，利用气候变化模型和生态系统动态模型，可以预测气候变化对生态系统的影响，为生态保护和自然资源管理提供基础数据。
2.自然资源管理生态系统动态模型可以帮助管理者确定最佳的资源利用策略和生态敏感区的合理界定，预测人类活动的影响，以保护和可持续利用自然资源。
3.生态系统重建生态系统动态模型可以为生态系统重建提供参考，如要恢复湖泊生态系统，可以基于生态系统动态模型构建适合生态系统发展的水文模型，并根据水文模型制定管理措施。
4.生态系统演替研究生态系统动态模型可以研究生态系统演替，例如对一个砍伐后的森林，可以建立森林演替模型，模拟各种森林类型出现的时间和数量，从而预测生态系统的演替过程。
三、生态系统动态模型的发展前景随着人们对环境保护和可持续发展越来越重视，生态系统动态模型的应用前景越来越广泛。
随着科技的不断发展，如卫星遥感、社交网络等技术的普及，生态系统动态模型的构建和应用将会更加精细化和智能化。
数学模型在生态环境保护中的应用
数学模型在生态环境保护中的应用近年来，随着环境问题的日益严重，环境保护变得越来越重要。
在环境保护中，数学模型的应用越来越受到重视。
本文将探讨数学模型在生态环境保护中的应用，包括数学模型的基本概念、数学模型在生态环境保护中的应用示例、以及数学模型在未来的应用前景。
一、数学模型的基本概念数学模型是利用数学方法对某个实际问题进行抽象和简化后得到的数学描述，用来预测和解释某些实际问题的行为特征和规律。
数学模型的建立一般分为四个步骤：问题的分析与抽象、模型的建立、模型的求解和模型的验证。
模型的建立是数学模型中最重要的一步，它决定了模型的运用。
模型的建立需要掌握相关的专业知识和信息，需要对实际问题进行深入的研究和思考，同时需要运用高深的数学工具和算法。
二、数学模型在生态环境保护中的应用示例数学模型在生态环境保护中有着广泛的应用。
其中，常见的应用包括生态系统模型、气候模型、水文模型、环境风险评估模型等。
下面，我们将介绍生态系统模型和气候模型两个应用示例。
1. 生态系统模型生态系统模型是对生态系统的结构、功能及其动态变化规律进行数学描述的模型。
通常采用数理统计方法，对种间和种内的关系进行分析和建模。
具有定量性、可重复性和可预测性等特点，能够对生态环境进行全面和准确的评估。
生态系统模型可以应用于生态保护区的管理和规划，农田生态系统的评估和调控，生态系统恢复和重建，等等。
例如，在野生动物的保护中，可以利用生态系统模型分析物种的生态需求和适宜分布区，阐明生态环境对物种丰富度的影响，为制定保护措施提供了依据。
在农业生态系统评估中，可以运用生态系统模型分析土壤污染、农药残留和养殖废弃物的处理等问题，为制定农业生态保护政策提供支持。
2. 气候模型气候模型是对地球气候系统进行描述的模型，包括大气、海洋和陆地系统。
气候模型运用物理过程、数学方法和计算机技术，模拟气候系统的变化和演化。
气候模型不仅可以用来研究未来气候变化的趋势，也可以用来预测天气，评价灾害风险，以及制定气候政策等。
偏微分方程模型在生态系统研究中的应用
偏微分方程模型在生态系统研究中的应用生态系统是由各种生物体及其周围环境相互作用而形成的一个动态平衡系统。
为了更好地理解和预测生态系统中的变化，科学家们通过运用数学模型来模拟和分析各种生态过程。
而偏微分方程模型作为一种强大的工具，在生态系统研究中发挥着重要作用。
一、物种扩散模型物种的扩散是生态系统中一个重要的现象，它关系到生物在空间上的分布和演化。
偏微分方程模型可以用来描述物种的扩散过程。
典型的例子是 Fisher 方程，它描述了一个物种在空间中的扩散和繁殖，可以用来预测物种在不同环境条件下的扩散速度和范围。
二、捕食者-猎物模型捕食者-猎物系统是生态系统中一个典型的相互作用模式，捕食者和猎物之间的关系影响着整个生态系统的平衡。
通过建立偏微分方程模型，可以模拟捕食者和猎物之间的数量动态变化，研究二者之间的稳定性和周期性，进而预测整个生态系统的稳定性。
三、生态位模型生态位是描述一个生物在其生态系统中所占据的生活方式和作用的概念。
通过偏微分方程模型，可以从数学上描述各个生物种群在生态位上的分布和竞争关系。
这有助于我们理解生物群落内的种群结构和相互作用，为生态保护和管理提供科学依据。
四、栖息地模型栖息地是生物生存和繁殖的场所，栖息地的变化直接影响着生物种群的数量和分布。
利用偏微分方程模型可以描述栖息地的空间变化和动态过程，预测栖息地的退化和扩展对生态系统的影响，为自然保护和栖息地恢复提供理论支持。
五、气候变化模型气候变化对生态系统的影响是全面的，从环境温度到降水量，都会直接影响生物的生长和繁殖。
通过建立偏微分方程模型，可以模拟气候变化对生态系统的影响，预测生物种群对气候变化的适应性和生态系统的稳定性，为全球变暖和生态环境保护提供科学依据。
总之，偏微分方程模型在生态系统研究中发挥着不可替代的作用，它通过数学建模的方式，帮助我们深入理解生物群落的结构与功能，预测生态系统的动态变化，为保护生物多样性和生态平衡提供科学支持。
数学在生态学研究中的应用
数学在生态学研究中的应用生态学是一门跨学科的学科，同时也是一个关注环境与生态系统的科学。
生态学关注的问题包括生物种群、生态圈、生态系统等等。
现在，随着大数据和人工智能技术的发展，数学在生态学研究中的应用越来越广泛，为生态学研究提供了更好的工具和方法。
数学在生态学研究中的应用主要体现在以下几个方面：生态模型的建立生态模型是描述生物与环境交互作用的数值模型。
生态模型可以用来研究生态系统和生态问题，比如生物群落的动态变化、资源利用和管理、种类之间的竞争和协同等。
数学在生态模型的建立中具有非常重要的作用。
因为生态系统是非线性和复杂的，如果只是简单地观测生态系统的现象，很难对生态系统进行系统性的研究和认识。
数学模型的出现受到了大家的关注，因为它能够对生态系统进行系统性建模，而且可以人为地控制模型的变量，进而预测生态系统的未来变化。
其中，生态模型一般分为三种类型：数量相似模型、时间动态模型和空间相似模型。
数量相似模型是指以数值形式描述物种个体的生命历程和种群数量的模型。
通过这种模型可以观察和预测种群数量和物种个体数量的变化趋势。
而时间动态模型一般是指通过数学陈述来描述物种之间互相作用和演化的模型，比如物种之间的捕食与逃避，种群数量调节等。
空间相似模型一般围绕着地理空间进行模拟，主要研究生物地理学和生境模型。
这些模型把生态系统看成是一个有机整体，但不忽视生态系统内不同生物群体之间的相互关系。
生态数据分析在生态研究中，大量的生态数据可用于分析，如采样数据，实验数据，遥感数据等等。
而生态数据分析的工具主要是统计学和计算机科学。
在分析生态数据之前，我们需要选择合适的统计工具和计算机科学工具，这些工具通常包括回归分析、多元统计、数据挖掘和基于人工智能的方法等等。
通过这些工具，我们可以更加深入地研究生态系统内部的因果关系和机制，并从中发现新的规律。
例如，关于森林生态系统的研究中，通过对森林气候、森林土壤、森林动植物等生态因素的统计分析，我们可以得出森林采样数据的规律，并以此来发现森林生态系统中的新规律。
数学模型在生态保护中的应用
数学模型在生态保护中的应用在当今社会，生态保护已经成为了全球关注的重要议题。
随着人类活动对自然环境的影响日益加剧，如何有效地保护生态系统、维护生态平衡成为了摆在我们面前的紧迫任务。
数学模型作为一种强大的工具，在生态保护领域发挥着越来越重要的作用。
数学模型是对现实世界中复杂生态系统的简化和抽象表示。
它通过运用数学语言和方法，将生态系统中的各种因素和相互关系转化为数学方程和函数，从而能够对生态系统的行为和变化进行预测、分析和评估。
在生态保护中，数学模型可以帮助我们更好地理解生态系统的结构和功能。
例如，通过建立食物网模型，我们可以清晰地了解不同物种之间的捕食关系和能量流动。
这种模型能够揭示生态系统中物种的相互依存关系，以及某个物种的变化如何影响整个生态系统的稳定性。
数学模型在预测生态系统的动态变化方面具有显著优势。
比如，我们可以利用种群增长模型来预测某个物种的数量变化趋势。
这类模型通常考虑了出生率、死亡率、迁入率和迁出率等因素，从而为保护濒危物种、控制有害物种的扩散提供了重要的依据。
在评估人类活动对生态系统的影响方面，数学模型也发挥着关键作用。
以森林砍伐为例，我们可以建立一个生态系统服务价值评估模型。
这个模型会综合考虑森林提供的木材、水源涵养、土壤保持、气候调节等多种服务功能，并计算出森林砍伐所导致的生态系统服务价值的损失。
这样的评估结果可以为政策制定者提供决策依据，促使他们采取更加有效的措施来保护森林资源。
数学模型还能够帮助我们优化生态保护策略。
比如，在自然保护区的规划中，我们可以建立一个空间优化模型。
这个模型会考虑到物种的分布、栖息地的需求、生态廊道的建设等因素，以确定最佳的保护区范围和布局，从而最大程度地保护生物多样性。
另外，数学模型在应对气候变化对生态系统的影响方面也有着不可替代的作用。
通过建立气候生态模型，我们可以模拟不同气候情景下生态系统的响应，如植被分布的变化、物种迁徙的模式等。
这有助于我们提前制定适应策略，减轻气候变化对生态系统造成的负面影响。
数学模型在生态学中的应用
数学模型在生态学中的应用生态系统是由生物与环境因素所构成的系统，是一个相互依存、相互制约的系统。
而对于这个系统，我们的认识主要从两个方面入手：实验和建模。
其中建模是由数学模型来实现的。
数学模型是将复杂的现象用数学符号和方程式来表示和描述的方法，也是研究和揭示生态学规律的重要工具之一。
在此，我们将重点探讨数学模型在生态学中的应用。
一、数学模型的概念与分类数学模型是用数学语言和符号描述实际事物、过程和现象的虚拟图像。
按照数学表达形式可分为方程模型、微分方程模型、差分方程模型、随机模型等。
按照应用领域可分为物理模型、经济模型、生态模型等。
二、生态学中的数学模型生态学的数学模型主要用于对生态系统的结构与功能进行理解、模拟、优化、调节，以及对生态环境问题进行研究、预测与解决。
1. 种群动态模型种群动态模型是通过分析种群数量随时间变化的变化规律，探究影响生物种群数量的内外环境因素。
比如SIR模型，SIR模型是传染病传播的最基本模型，即将个体划分成健康者(S)、感染者(I)、免疫者(R)三类，在某些前提条件下可定量解释传染病的流行程度与发展动态，提出了疫情管理的一系列方法和策略。
2. 群落动态模型群落动态模型是对生态系统中不同物种的关系以及它们对环境资源的利用与消耗进行分析、建立数学模型，并通过模型的参数研究、预测群落的变化与演替过程。
比如Lotka-Volterra模型，Lotka-Volterra模型基于食物链理论，描述捕食者和被捕食者的数量随时间变化的规律，从而揭示了生物之间的捕食关系。
3. 系统生态学模型系统生态学模型是把生态系统看作一个综合体系，以系统理论和控制工程为基础，运用数学建立模型来研究系统稳态、震荡、分岔等大规模复杂生态学问题。
比如SHAN模型，SHAN模型是一个营养循环的模型，能够分析生态系统中元素的跨越地域界限的可再利用，解决了生态系统中元素失衡的问题。
三、生态学模型在实践中的应用1. 生物多样性保护物种分布模型可以对物种分布与栖息地面积的关系进行研究，从而实现为保护生物多样性的制定保护策略。
数学模型在生态学领域的应用
数学模型在生态学领域的应用生态学作为一门关于生物种群及其环境相互关系的科学，致力于寻求生物与自然环境平衡、优化生态系统的发展，是当下社会发展的重要领域之一。
而想要实现生态系统的优化发展，不仅需要对生态系统本身有着透彻的理解，更需要能够全面利用现代科技手段，以更加准确的方式来分析与预测环境变化对生物种群和群落的影响。
而这些科技手段中，数学模型的应用则是不可或缺的一部分。
一. 生态学中数学模型的定义和作用生态学中的数学模型指的是基于生物学、生态学和环境科学等学科的基础上，运用数学方法和计算机模拟技术构建的模型，以期对生态系统的动态变化进行预测、分析和评估。
生态学中的数学模型可以包括但不限于生物多样性、能量流、物质循环、环境污染等方面的模型，它们基于不同的学科及各自的专业知识，采用不同的数学手段来建立各自的数学模型。
其中，数学模型在生态学领域所起的作用主要有以下几方面：1.方便对复杂生态系统的研究和探究生态系统由于涉及的因素比较复杂, 进而使生态系统的运行和变化更为复杂, 如果依靠传统的实验手段进行研究，显然是困难的。
而数学模型不仅可以对这些因素进行建模分析，更可以在不同的时间尺度、空间范围和生物层次上，对生态系统的运行和变化进行理解和解释，从而更好地反映实际情况。
2.预测生态系统的运行变化通过建立生态系统的数学模型，科学家们可以对未来的生态系统进行预测和评估，这是对于生态系统的管理、改善和重建都非常重要的，因为根据单纯的实验数据，人们难以准确地预测生态系统变化和未来的结果。
3.优化生态系统的管理通过模拟生态系统的运行和变化，可以识别和量化因素之间的相互关系，从而更好地发现问题点，在分析分析了这些问题后，对改善生态系统中的人力、物资和其他资源进行优化分配，从而最大效益地实现生态系统的持续发展。
二. 数学模型在生态学中的运用在现代社会中，各种数学模型在生态学领域中的应用正在深刻地改变我们对生态系统的认识和理解。
数学在生态学研究中的应用
数学在生态学研究中的应用生态学是研究生物与环境之间相互作用的科学学科，而数学是一种能够提供精确量化和模拟分析的工具。
因此，数学在生态学研究中扮演着重要的角色。
本文将探讨数学在生态学研究中的应用，并讨论数学对于生态学研究的意义和价值。
一、数据分析在生态学研究中，收集大量的数据是必不可少的。
而数学提供了处理和分析数据的方法。
通过数学统计学的技术，生态学家可以对采集到的数据进行处理和解读，从而得出有意义的结论。
例如，生态学家可以使用回归分析来研究环境因素与物种分布之间的关系，通过计算相关系数和回归方程来评估这种关系的强度和方向。
此外，数学还可以用于生态系统的模拟和预测，通过建立数学模型来预测种群数量、环境变化等动态过程，为生态保护和管理提供决策支持。
二、生态网络建模生态系统是一个复杂的网络，包含了许多相互连接的物种和环境要素。
数学可以用于建立生态网络模型，帮助我们理解不同种群之间的相互作用和能量流动。
例如，食物链和食物网是生态系统中一个重要的概念，可以用数学模型来描述和分析。
数学模型可以通过设立一系列的方程和参数来描述不同物种之间的捕食关系和能量传递。
这样的模型可以帮助我们预测和阐明生态系统的稳定性、物种多样性和营养网络的结构。
三、种群动力学种群动力学是研究种群数量和结构随时间变化的学科。
数学在种群动力学研究中发挥着重要的作用。
生态学家可以使用微分方程和差分方程等数学工具来建立种群动态的数学模型。
通过解析这些方程，可以了解种群数量受到哪些因素的影响，并对未来的种群走势进行预测。
这对于保护濒危物种、控制害虫和预防疾病传播等方面具有重要意义。
四、景观生态学景观生态学研究的是生物群落在空间上的分布格局和相互关系。
数学可以帮助我们量化和分析不同景观指标的变化和对生物多样性的影响。
例如，数学可以用于计算和评估不同土地利用类型对物种组成和群落结构的影响，从而为生态保护和土地规划提供决策支持。
总结起来，数学在生态学研究中发挥着至关重要的作用。
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数学模型在生态系统的应用研究蔡卫中国矿业大学，江苏徐州（221008）E-mail ：caiwei3594967@摘 要: 本文研究的是种群在一定的生态系统中数量消长的问题，考虑到种群的增长只受环境承载能力的影响；受种群间相互竞争、相互依存、竞争合作以及捕食等方面的制约。
因此，本文建立了种群间互动关系的Logistic 模型、相互竞争模型、共生模型、竞争合作模型和捕食模型, 并且对这些模型进行初步的生态学分析。
关键词：种群，数学模型，生态环境，竞争合作中图分类号：Q1481. 引言随着我国经济的发展，环境受到人类的破坏越来越严重，人们逐渐意识到环境的重要性。
野生动物的生长受到环境的制约，特别人们生活对环境的干预加大。
近年来，许多生态学专家研究一些野生动物的生长规律，取得了很好的成就，为人类对野生动物的保护打下了坚实的理论基础。
本文利用生态学知识，将自然界种群间的关系定义为：相互竞争、相互依存、竞争合作以及捕食等关系，然后建立数学模型，量化生物种群增长受环境制约的关系，为研究种群长期的生存和发展提供了理论依据。
2. 种群数学模型的构建和分析2.1 种群增长的Logistic 模型假设种群的生长只受环境承载能力的影响，与其他因素无关；种群是在有限的环境中生长的；种群该地区的空间范围是封闭的,即在所研究的时间范围内不存在迁移的现象。
用()t N 代表种群在时间t 的数量，则假设种群()t N 只是时间t 的函数，且()t N 是连续和充分光滑的。
那么它的导数dt dN （•N ）给出了这个种群的增长率。
而N N •则给出了种群个体的平均增长率。
记()N r 为个体的平均增长率，K 为种群在此环境中总的饱和水平，r 为种群个体的内禀增长率[1]，则()N r 应该是种群大小的一个减函数，为了简单起见，假设()N r 为N的线性减函数，则()N r =⎟⎠⎞⎜⎝⎛−K N r 1，并且存在一个饱和水平0>K ，使()0=K r 。
于是可以得到如下种群增长的模型：N K N r dtdN )1(−= （1）利用分离变量法和分项分式，得到方程（1）的解析解为：rt ce K t N −+=1)(，00N N K c −= 其中c —— 00N N K c −=，0N ——（0=t ）时种群的个体数量 Logistic [1]模型种群数量随时间增长曲线如图所示：图1种群数量随时间增长曲线Fig1 Kinds amount with the growth curve in time2.2 种群的相互竞争模型种群Logistic 模型只描述了给定环境中单个种群数量增长的演变过程, 而在实际生态环境中, 更多的情况下是一个环境中有两个或两个以上种群生存, 那么这些企业之间就要存在相互竞争, 或相互依存,或弱肉强食的关系。
为了分析的简便, 本文只考察自然生态系统中两个种群相互关系( 以下同)。
假定种群 1 和种群2独自在一个生态系统中生存时, 两个种群数量增长演变均遵循Logistic 规律。
记()t x 1、()t x 2分别是两个种群的数量, 1r 、2r 是两个种群的增长率,1N 、2N 是它们数量的最大增长量。
种群1 和种群2 在一个环境中生存时, 存在着相互竞争关系, 相互影响对方的产出量, 建立的模型[2]为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=112222222211111111N x q N x x r dt dx N x q N x x r dt dx 其中因子⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−111N x 反映由于种群 1 对于生态系统有限资源的消耗而导致的对它本身增长量的阻滞作用。
由于种群2 是在同一环境中生存, 它消耗环境中相同的有限资源对种群1 产生影响因子为221N x q −,其中1q 表示单位数量的种群2( 相对于2N 而言) 消耗的供养种群1的资源为单位数量的种群1 ( 相对于1N 而言) 消耗的供养种群1的资源的1q 倍。
类似地, 对种群2中的各因子可作相应的解释。
2.3 种群相互依存模型假设种群 1 生存能力比种群2的大的多，种群1可以独立存在，其种群增长数量按Logistic 模型规律增长,种群2为种群1提供必要的资源，有助于种群1 的生存。
种群2没有种群1 存在会死亡，方程中的2r 为其种群数量的负增长率,如果没有种群1, 种群2单独存在的生态系统中, 其产出水平可以描述为:222x r dtdx −= 由于种群1 的存在, 对种群2 意味着直接的生存环境的扩大、稳定的生存条件的需求, 这样种群2 的增长水平可以描述为:⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=1122221N x q x r dt dx 这里2q 表示每单位种群1生态环境饱和度对种群2增长水平的贡献。
1q 表示单位种群2( 相对于2N 而言) 提供的供养种群1的生存资源为单位种群1( 相对于1N 而言) 消耗的供养种群1 的资源的1q 倍。
这样种群1和种群2的共生模型[2]为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=112222222211111111N x q N x x r dt dx N x q N x x r dt dx 假设种群1 的生存能力和种群2的相近，它们各自对对方的生存有促进作用。
此时，两者的共生模型为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=112222222211111111N x q N x x r dt dx N x q N x x r dt dx 2.4 种群的竞争合作模型在这个模型中，本文不单独考虑竞争的一面, 也不单独考虑合作的一面, 而是将竞争和合作两个方面结合起来考虑，并由此建立生态模型。
两个种群之间的竞争或两个种群之间的合作, 对某个种群的作用并非只是积极或消极单一方面作用。
不管是竞争, 还是合作, 都有可能促进种群的发展, 也可能抑制种群的发展。
用ij a ，ij b 分别表示j 种群对i 种群的相关影响系数, 其中- 1<ij a <1, - 1<ij b <1。
于是,建立模型:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−−=11211212222222122121111111N x b x a N x x r dt dx N x b x a N x x r dt dx 2.5种群间捕食模型自然界中最常见的种群关系是竞争和捕食,而捕食关系的现实形态表现为种群数量随时间的增减变化, 根据Volterra 的捕食模型[3]，可以得到种群的数量随时间的变化模型：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+−=−=)()(1222221111x r x dt dx x r x dt dx λλ （2）其中1r 为种群独立生存时的增长率，2r 为捕食者独立生存时的死亡率，1λ反映捕食者掠食能力，2λ反映种群对捕食者的供养能力。
通过对方程(1)的平衡点分析,研究()t x 1的变化规律,易得到方程(2)的平衡点为0p ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛22λr ,()0,01p ,利用分析相轨线[4]的方法,可以得出()t x 1存在周期解，方程（2）可写作： )⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛+=122211r x dt dx t x λ 所以计算出()t x 1在T 的平均值为：()()220111λr dt t x T t x t==∫ 其中1x 为()t x 1在一周期的平均值，即被捕食种群数量的近似量度。
某种群与其捕食者的数量曲线[5]如图所示：图2种群与其捕食者的数量曲线Fig2 The kinds prey for food the amount curve of with it3. 实例分析野兔生长问题：在某地区野兔的数量在连续十年的统计数量(单位十万)如下：表1 某地区野兔在连续十年的统计数量表Tab.1 Hare in the certain place in the continuous decade of covariance amount formT=0 T=1 T=2 T=3 T=4 T=5 T=6 T=7 T=8 T=9 1 2.31969 4.50853 6.90568 6.00512 5.56495 5.328077.56101 8.9392 9.5817通过分析表中数据，建立适当的模型反映野兔的生长规律。
并指出在哪些年内野兔的增长有异常现象，并用所建模型对 T=10 时野兔的数量进行预测。
Logistic [1] 模型即模型1在种群生长仅受环境承载能力影响的这个最主要假设的前提下，忽略次要因素，很好地解释了题目中的野兔种群在0=T 到3=T 以及7=T 到9=T 两个时间段的生长规律。
然而在解释4=T 到6=T 这个时间段野兔的生长规律时却出现了很大的误差。
对此本文认为野兔的生长在这三年是异常的，于是通过对Malthus [1]模型的修正而建立了第二个模型，即：aNdtdN −= 在模型2中引入了一个新的参数a ——野兔个体的平均净死亡率，来代替原模型中的参数r ——野兔个体的平均增长率，并假设a 为常量。
经计算验证，模型2较好地反映了野兔种群在生长情况发生异常时的生长规律。
本文将利用模型1和2计算所得的理论值和题目中的实际值进行了比较，现列表如下：(表中M,S,L,W 分别代表：模型，实际值，理论值，误差)表2 计算所得理论值和实际值的比较表Tab.2 Compute income theories to be worth with the comparison sheet of the actual valueM 模型1 模型2 模型1T T=0 T=1 T=2 T=3 T=4 T=5 T=6 T=7 T=8 T=9 S 1 2.31969 4.50853 6.90568 6.00512 5.56495 5.328077.56101 8.9392 9.5817L 1 2.31969 4.50853 6.90570 5.95553 5.57329 5.364467.73284 8.93919 9.5817W 0 0 0 0.0003%0.83%0.15%0.68% 2.3% 0.001% 0然后利用这两个模型对第十年野兔的数量进行预测。
考虑了两种情况：若第十年时野兔的生长是正常的，则利用模型1进行预测，预测结果为9.84194（单位十万）；若第十年时野兔的生长又发生了类似4=T 到6=T 时的异常情况，我们利用模型2进行预测，预测结果为6.64706（单位十万）。
模型1，模型2中的假设，组建成了一个相当简单的模型，不仅成功的解决了题干的问题，而且构成了一条使模型逐渐完善的途径，只要放宽其中的假设，就可以更加实际的解释种群生长的相关问题。