《数字信号处理》第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计

N为奇数：
H ( z ) = ∑ h(n) z
−n
=
∑ h(n)[ z
−n
±z
− ( N −1− n )
N −1 − ] + h( )z 2
N −1 2
第一类线性相位
⎧ N / 2−1 −n − ( N −1− n ) ( )[ ], h n z z N为偶数 + ∑ ⎪ ⎪ n =0 H ( z ) = ⎨( N −1) −1 N −1 2 N −1 − 2 ⎪ −n − ( N −1− n ) ] + h( )z ， ⎪ ∑ h(n)[ z + z 2 ⎩ n =0
−n
+
n= N / 2 − ( N −1− n )
∑ h(n) z
N −1
−n
= =
N / 2 −1 n =0
∑ h(n) z
n =0
−n
±
N / 2 −1 n =0
∑ h( N − 1 − n) z
N / 2 −1
∑ h(n)[ z
N −1 n=0
−n
± z − ( N −1− n ) ]
( N −1) −1 2 n =0
ωi ，输出延迟都一致； 或者说，对于每个频率为 ωi 的复正弦信号，经过系统后的延迟均一致
满足第一类线性相位特点的时域序列：实序列且对(N-1)/2偶对称
θ (ω) = −τω
H ( z ) = ∑ h(n) z
n=0 N −1 −n
N −1 n =0
h(n) = h( N − n −1)
= ∑ h( N − 1 − n) z − n
§ 7.2 利用窗函数法设计FIR数字滤波器
理想FIR低通滤波器：
Hd (e jω ) = Hd (e jω ) e jθ (ω)
− jωα ⎧ e , ω ≤ ωc ⎪ =⎨ ωc < ω ≤ π ⎪ ⎩0,
|H(ejw)|
·
· -π · -π
ωc
0
· π
·
w
幅频响应
θ (ω )
0
− ωα
·
ωc
N −1
h(n) = h( N − n −1)
b. N为偶数
N = 2M
h(n) = h(2M − 1 − n)
M~2M+1
0~M-1
M −1
2 M −1 1 H g (ω ) = ∑ h( n) cos[( n − M + )ω ] + ∑ h(n) cos[(n − M + 1 )ω ] 2 n =0 2 n=M M −1 1 = 2 ∑ h(n) cos[(n − M + )ω ]
严格意义上的线性相位 广义意义上的线性相位
群时延/群延迟：
示例：
dθ (ω ) = −τ dω x(n) = ξ1(n) + ξ2 (n) + ξ3 (n)
ω1
ω2
ω3
ξ 1(n − τ )
ξ 2(n − τ )
ξ 1(n)
x(n)
ξ 2(n)
h( n)
ξ 3(n)
对于每个输入频率
ξ 3(n − τ )
z－1 z －1 z －1 z－1
N为奇数
x (n )
－1
h (0) y (n ) z－1 h (1)
－1
z－1 h (2)
－1
z －1
－1
h (N /2－1)
－1
z －1
N ＝偶数
x (n )
z －1
z －1
－1
h (0) y (n ) h (1)
－1
z－1 h (2)
－1
z －1
－1
z －1
N ＝奇数 h ((N －1)/2)
h(n) = −h(2M − n)
N −1 N −1 − n ), n = 1, " , 2 2
∑ c(n) sin ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ n,
c(n) = 2h(
Hg (kπ) = 0 即 Hg (ω) 在 ω = kπ 处存在零点，
且关于这些点呈奇对称
H g (ω )
ω = 0, π , 2π 一个周期内：
π
0
2π
时域截短
时域截短的要求：
z截取长度为N点的时域序列； z截取过程中要保证线性相位；
N-1阶FIR网络 时域序列以中心点 为偶对称或奇对称
RN (n)
n =0
M −1 n =0
M −1
M
M+1~2M
+ h( M ) +
= h( M ) + 2 ∑ h(n) cos[(n − M )ω ]
n = M +1
∑ h(n) cos[( n − M )ω ]
2M
( N −1) / 2 N −1 N −1 m = M − n h( ) + 2 ∑ h( − m) cos ωm 2 2 m =1
m = N −1 − n
− ( N −1) N −1 m =0
m =0
−( N −1− m ) h ( m ) z ∑
N −1
=z
m h ( m ) z ∑ = z −( N −1) H (z −1)
1 1 H ( z ) = [ H ( z ) + H ( z )] = [ H ( z ) + z −( N −1) H ( z −1 )] 2 2
且关于这些点呈奇对称 在
ω =π 处呈偶对称
一个周期内： ω = 0, 2π
H g (ω )
0
π
2π
ω
三、线性相位FIR的零点分布 线性相位条件：
H ( z ) = ± z − ( N −1) H ( z −1 ) h(n) = ± h( N − 1 − n)
1
z3
Im(Z )
* z1
z1
z4
z2
n =0
m = M −n
M=
N 2
N 2
2 N /2 N 1 2 ∑ h( − m) cos[( − m)ω ] 2 2 m =1
1 = ∑ b ( n ) cos[( n − )ω ], 2 n =1
b(n) = 2h(
N − n) 2
N 1 H g (ω ) = ∑ b(n) cos[(n − )ω ], b(n) = 2h( − n), n = 1, ", N 2 2 2 n =1 1 1 cos( n − )(π − ω ) = − cos( n − )(π + ω ) 2 2 1 cos ω ( n − ) 或 H g (ω ) 对 ω = (2k + 1)π 均呈奇对称 2 一周期内： ω = π
· π
·
w
相频响应
1 ∞ 1 ω c − jωα jω n jω jω n hd ( n ) = H d ( e )e dω = e ⋅ e dω ∫ ∫ 2π − ∞ 2π −ω c sin[ ω c ( n − α )] ω c = = Sa[ω c ( n − α )] π (n − α ) π
2
N
H g (( 2 k + 1)π ) = 0
在 π 的奇数倍处存在一个零点
不能用于通带位于高频位置的滤波器设计——高通、带阻
H g (ω )
π
2π
ω
满足第二类线性相位特点的时域序列： 实序列且对(N-1)/2奇对称
a. N为奇数
H g (ω ) =
( N −1) / 2 n =1
N = 2M +1
1 1 H ( z ) = [ H ( z ) + H ( z )] = [ H ( z ) − z −( N −1) H ( z −1 )] 2 2
z =e
jω
=
N −1 ) ω N −1 2 n=0
z
−
N −1 2 N −1 n =0
2
∑ h(n)[ z
−( n −
N −1 ) 2
−z
n−
N −1 2
bi i x (n − i ) FIR: y (n ) = ∑ h
i=0
N −1
hn h b(n) = bn
h (n) ∗ x(n) b
N-1阶网络
h0
h1
h2
hN −3
hN −2
h N −1
sin[ ω c ( n − α )] ω c 理想FIR低通滤波器： hd ( n ) = = Sa [ω c ( n − α )] π π (n − α )
1 N −1 z −n − ( N −1) n = ∑ h(n)[ z + z z ]= 2 n =0 2
−
N −1 2 N −1 n =0
∑ h(n)[ z
−( n −
N −1 ) 2
+z
n−
N −1 2
]
z = e jω
H ( e jω ) = e
− j( N −1 ) ω N −1 2 n=0
ω
b. N为偶数
N = 2M
N /2
h(n) = −h(2M − 1 − n)
N N d (n) = 2h( − n), n = 1, " , 2 2
1 H g(ω ) = ∑ d (n) sin ω (n − ), 2 n =1
Hg (2kπ) = 0 即 Hg (ω) 在 ω = 2kπ 处存在零点，
cos( kπ − ω ) n = cos( kπ + ω ) n
cos ω n 对 ω = kπ 均呈偶对称
H g (ω ) 对 ω = kπ 呈偶对称