第八章 傅里叶变换
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傅里叶变换
r x2 y2
无吸收、反射能量损耗
P′
透镜将平面波变成球面波
(x,y)
a( x, y ) A2 / A1 1 ~ TL ( x, y ) exp[ i L ( x, y )]
透镜相位 变换函数
t1
L
Q
t2 t
T ( x, y) e
L′ Q′
iL ( x , y )
e
长大的，衍射角大，谱线距0级较远；
同样对于二级光谱而言，也有同样的情况。但可 能造成二级光谱与一级光谱的重叠，而且具有最 大强度的光处于0级（为未分开的白光）！
二. 任意光栅的屏函数及其傅里叶级数展开 严格空间周期性函数的衍射屏 (透射式或反射式) 光栅 一 维 衍 射 屏
周期性 T ( x d ) T ( x)
2 2
远离中心的Q 点相位延迟
结论：在傍轴条件下理想薄透镜的相位变换函数具有 纯二次型的相位因子。
例 设入射平面波振幅为A，并将L平面处相位取作零， 则经透镜后出射光波的复振幅为：
ik ( x y ) ~ ~ EL AT ( x, y) A exp[ ] 2f'
2 2
讨 论 (1) 会聚透镜 f 0 表示中心在光轴上距透镜为 f 处会聚球面波 (2) 发散透镜 f 0 表示中心在光轴上距透镜 f 处的发散球面波
频谱分析:周期性振动具有离散谱。 这种将任一振动分解为简谐振动的 方法称为频谱分析。 非周期函数的频谱分析与付里叶变换
任一非周期函数也都可表示为简谐函数的合成：
F (t ) A( ) costd B( ) sintd
0
F (t )
1 2
第八章傅氏变换
并称F(ω)为f (t)的象函数
或傅里叶变换，记为
F[f(t)]；称f (t)为F(ω)的象 原函数或傅里叶逆变换，
记为F-1[F(ω)]
傅氏变换对的物理意义
• 1. f (t) 与 F（）构成一个傅氏变换对，它们是由
许多频率的正、余弦分量合成，且非周期函数包
含 0 - - 分量；
• 2. f (t) 是 F（）中各频率分量的分布密度，
即
lim
T
fT (t)
f
(t)
f (t) 1
2
f
( )e-j d e jtd
这个公式称为函数f (t)的傅里叶积分公式
• 余弦傅氏积分公式
f (t) 2
0 0
f
( ) cos
d
cost
d
• 正弦傅氏积分公式
f (t) 2
0
f
(
)
sin
d
sin
t
d
f
(t)
a0 2
n1
(an
cos nwt
bn
sin
nwt)
an cosnwt bn sin nwt an2 bn2 sin(nwt n )
An an2 bn2
n 1,2,;
f (t) Cne jwnt n
Cn
an
jbn 2
,
Cn
an
jbn 2
Cn Cn
an2 bn2 2
称为频谱密度函数 F（） 为振幅谱
arg F()为相位谱
正弦、余弦傅氏变换
余弦傅氏变换
f (t) 2
0 0
f
(
) cos
d
cost
8.1傅里叶变换的概念
k s i n 0
2
F
2
3
0
0
2 | t | 1 s in c o s t d 4 | t | 1 0 0 | t | 1 因 此 可 知 当 t 0时 ,有 s in x 0 x d x 0 s in c ( x ) d x 2 s i n 另 外 ， 由 F = 2 可 作 出 频 谱 图 :
, t 0 0 例 8 . 4求 指 数 衰 减 函 数 f() t t e 0 , t
f (t)
的 傅 氏 变 换 , 其 中 0 .
练习 求矩形脉冲函数 表达式。
1, t 1 的付氏变换及其积分 f (t ) 0, t 1
1 i t i t1
而 仅 是 一 系 列 具 有 离 散 频 率 的 谐 波 组 成 ， 信 号 ft ( ) 并 不 含 有 各 种 频 率 成 分 ， T
称为振幅； 其 中 A 反 映 了 频 率 为 n 的 谐 波 在 f ( t ) 中 所 占 的 份 额 ， n 0 T
n
则 反 映 了 频 率 为 n 的 谐 波 沿 着 轴 移 动 的 大 小 ， 称 为 相 位 . 0
二、非周期函数的Fourier变换
1.简单分析 （1）非周期函数可以看成是一个周期为无穷大 的“周期函数”
T
l i m f () t f() t T
二、非周期函数的Fourier变换
1.简单分析 （2）当T趋向无穷时，频率特性发生了什么变化 分析：傅立叶级数表明周期函数仅包含离散的频 率成分，其频谱以 w 0 2 为间隔离散取值的.
傅里叶变换
1.课题综述第一章中我们主要学习了信号、测试、测控、信号分析处理的概念、测试技术的应用情况、测试技术的发展动态及主要信号测试仪器生产厂商。
信号是指那些代表一定意义的现象，比如声音、动作、旗语、标志、光线等，它们可以用来传递人们想表达的事情。
从广泛意义上来说，信号是指事物运动变化的表现形式，它代表事物运动变化的特征。
信号采集测量系统由传感器、中间变换装置和显示记录装置三部分组成，如今传感器技术越来越趋向于新型化和智能化。
在工程领域，科学实验、产品开发、生产监督、质量控制等，都离不开测试技术。
测试技术应用涉及到航天、机械、电力、石化和海洋运输等每一个工程领域。
第二章我们主要学习了信号分类方法、信号时域波形分析方法、信号时差域相关分析方法、信号频域频谱分析方法及其它信号分析方法。
首先学习了信号的分类，其主要是依据信号波形特征来划分的，从信号描述上分可分为确定性信号与非确定性信号；从信号的幅值和能量上分可分为能量信号与功率信号；从分析域上分可分为时域与频域；从连续性上分可分为连续时间信号与离散时间信号；从可实现性上分可分为物理可实现信号与物理不可实现信号。
信号的时域波形分析，信号的时域波形分析是最常用的信号分析手段，用示波器、万用表等普通仪器直接显示信号波形，读取特征参数。
可以求得信号的均值、均方值、方差以及概率密度函数等参数。
信号的时差域相关分析，用相关函数来描述与时间有关的变量τ、x(t)和y(t)，三者之间的函数关系，相关函数表征了x、y之间的关联程度。
信号频域分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t)变换为频域信号X(f)，频域分析能明确揭示信号的频率组成和各频率分量大小。
第三章我们主要学习了传感器的分类、常用传感器测量原理及传感器测量电路。
传感器是借助检测元件将一种形式的信息转换成另一种信息的装置。
传感器由敏感器件与辅助器件组成。
敏感器件的作用是感受被测物理量，并对信号进行转换输出。
辅助器件则是对敏感器件输出的电信号进行放大、阻抗匹配，以便于后续仪表接入。
工程数学第八章傅里叶变换课件
[
f ( )e j d ]ejtd
2π
2π
（8-5）
这样就得到了 f (t) 的一个积分形式的展开式，称为非周期函
数 f (t) 的傅里叶积分公式,等号右端称为傅里叶积分．
定理 1（傅里叶积分定理） 若函数 f (t) 在 (-,+) 上的任一
有限区间内满足狄利克雷条件，并且在 (-,+) 上绝对可积，
2
2π
j
1 1 sin t d
2 π0
利用狄利克雷积分 sin d π ，可知
0
2
若 t 0 ，令 t u ，则
sin t d sin u du π
0
0u
2
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返回
结束
若 t 0 ，令t u ，则
sin t d
sin u
π
du
0
2
a0
1( 2
0
0d t
2
2
1d t) 1
0
an
1 2
2 0
cos
ntdt
1
2n
sin
nt
|02
sin 2n sin nπ 0(n 0) 2n nπ
上页
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返回
结束
bn
1 2
2 0
sin
n
tdt
1
2n
cos
nt
|02
1 (1 cos 2n) 1 (1 cos nπ)
2n
nπ
2
t
d
.
注意到上式被积函数关于 的奇偶性，可得 f (t) 的傅里叶积分公式为
f (t) 1
π
0
傅立叶变换的性质
t
[
1 f (t ) d t ] F ( ) . j 1 f (t ) d t 2π
2
| F ( ) |2 d .
( 直接进入 Parseval 等式举例? )
15
§8.3 傅里叶变换的性质 第 例 设 f ( t ) u( t ) 2 cos 0 t , 求 [ f ( t )]. 八 1 章 解 已知 [ u( t )] π ( ) , j 傅 f ( t ) u( t ) (e j 0t e j 0t ) , 里 又 叶 变 根据线性性质和频移性质有 换 1 1 [ f (t )] π ( 0 ) π ( 0 ) j ( 0 ) j ( 0 )
[ f (t ) ] j [ g( t ) ] ,
[
t
1 f (t ) d t ] F ( ) . j
11
§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 章 6. 帕塞瓦尔(Parseval)等式
1 f (t ) d t 2π
2
| F ( ) |2 d .
7
§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 章 4. 微分性质 傅 性质 若 | t lim f ( t ) 0 , 则 [ f (t ) ] jF ( ) . | 里 叶 证明 由 lim f ( t ) 0 , 有 lim f ( t ) e j t 0 , | t | | t | 变 换 [ f ( t ) ] f ( t ) e j t d t
f (t ) e
j t
j f ( t ) e j t d t
[
1 f (t ) d t ] F ( ) . j 1 f (t ) d t 2π
2
| F ( ) |2 d .
( 直接进入 Parseval 等式举例? )
15
§8.3 傅里叶变换的性质 第 例 设 f ( t ) u( t ) 2 cos 0 t , 求 [ f ( t )]. 八 1 章 解 已知 [ u( t )] π ( ) , j 傅 f ( t ) u( t ) (e j 0t e j 0t ) , 里 又 叶 变 根据线性性质和频移性质有 换 1 1 [ f (t )] π ( 0 ) π ( 0 ) j ( 0 ) j ( 0 )
[ f (t ) ] j [ g( t ) ] ,
[
t
1 f (t ) d t ] F ( ) . j
11
§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 章 6. 帕塞瓦尔(Parseval)等式
1 f (t ) d t 2π
2
| F ( ) |2 d .
7
§8.3 傅里叶变换的性质 第 一、基本性质 八 章 4. 微分性质 傅 性质 若 | t lim f ( t ) 0 , 则 [ f (t ) ] jF ( ) . | 里 叶 证明 由 lim f ( t ) 0 , 有 lim f ( t ) e j t 0 , | t | | t | 变 换 [ f ( t ) ] f ( t ) e j t d t
f (t ) e
j t
j f ( t ) e j t d t
单位冲激函数的傅里叶变换
(2) 由 cos 0 t
1 j 0 t j 0 t (e e )， 2 有 F2 ( ) [ f 2 ( t )]
1 j 0 t j 0 t [ ]) [ ] e ( e 2 π ( 0 ) π ( 0 ) .
0
0
休息一下 ……
11
§8.2 单位冲激函数 第 附：单位冲激函数的其它定义方式 八 1 / , 0 t , 章 方式一 令 ( t ) 其它 , 0, 傅 里 则 ( t ) lim ( t ) . 叶 0 变 换 方式二 (20 世纪 50 年代，Schwarz) 单位冲激函数 ( t ) 满足
§8.2 单位冲激函数 第 八 章 傅 里 叶 变 换
§8.2 单位冲激函数
一、为什么要引入单位冲激函数 二、单位冲激函数的概念及性质 三、单位冲激函数的 Fourier 变换 四、周期函数的 Fourier 变换
1
§8.2 单位冲激函数 第 上次要点： (1) Fourier 变换(简称傅氏正变换) 八 章 F (ω) f ( t ) e j t d t [ f ( t )] (2) Fourier 逆变换(简称傅氏逆变换) 傅 1 j t 1 里 f (t ) F ( ) e d [ F ( )] 2π 叶 （3） f(t) 的傅里叶积分公式： 变 1 换 j t j t f (t ) [ f ( t ) e d t ] e dω 2π 1 t Re 0 (4) 3个常用公式： e dt ,
1 Βιβλιοθήκη (t )t (t ) (t ) d t (0) ,
其中， ( t ) C 称为检验函数。
傅里叶变换课件
快速傅里叶变换的算法原理
快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的计算DFT的算法，其基本思想是将DFT运算分解为一系列简单 的复数乘法和加法运算。
FFT算法可以分为基于分治策略的递归算法和基于蝶形运算的迭代算法。其中，递归算法将DFT运算 分解为两个子序列的DFT运算，迭代算法则通过一系列蝶形运算逐步逼近DFT的结果。
，实现图像的压缩。
解压缩
通过插值或重构算法，可以恢复 压缩后的图像，使其具有原始的
质量和细节。
压缩与解压缩算法
常见的压缩与解压缩算法包括 JPEG、PNG等。这些算法在压 缩和解压缩过程中都利用了傅里
叶变换。
06
傅里叶变换在通信系统中的应用
调制与解调技术
调制技术
利用傅里叶变换对信号进行调制，将 低频信号转换为高频信号，以便在信 道中传输。
在频域中，可以使用各种滤波器 对图像进行滤波操作，以减少噪 声、平滑图像或突出特定频率的
细节。
边缘增强
通过在频域中增强高频成分，可以 突出图像的边缘信息，使图像更加 清晰。
对比度增强
通过调整频域中的频率系数，可以 改变图像的对比度，使图像更加鲜 明。
图像的压缩与解压缩
压缩
通过减少图像的频域表示中的频 率系数，可以减少图像的数据量
快速傅里叶变换的应用
• FFT在信号处理、图像处理、语音处理等领域有着广泛的应用。例如，在信号处理中，可以通过FFT将时域信号转换为频域 信号，从而对信号进行频谱分析、滤波等操作。在图像处理中，可以通过FFT将图像从空间域转换到频域，从而对图像进行 去噪、压缩等操作。在语音处理中，可以通过FFT对语音信号进行频谱分析，从而提取语音特征、进行语音合成等操作。
分析、系统优化等。
傅里叶变换及反变换课件
傅里叶变换及反变换 课件
• 傅里叶变换概述 • 傅里叶正变换 • 傅里叶反变换 • 傅里叶变换的应用 • 傅里叶变换的实践操作
目录
01
傅里叶变换概述
傅里叶变换的定义
傅里叶变换是一种数学工具，用于将一个时间域的信号转换为其频域表示。在数 学上，它被定义为函数f(t)与其复指数函数e^(iωt)之间的积分变换。
定义函数
定义需要变换的函数 ，例如正弦函数、余 弦函数等。
进行傅里叶变换
使用fft库中的fft函 数进行傅里叶变换。
绘图
使用matplotlib库将 变换后的结果绘制成 图形。
感谢观看
THANKS
通过傅里叶正变换，可以将一个复杂的信号分解成多个简 单的正弦波分量，每个分量都有自己的频率、幅度和相位 。这种分解方式有助于更好地理解信号的组成和特性，在 信号处理、通信、图像处理等领域有广泛应用。
03
傅里叶反变换
傅里叶反变换的定义
傅里叶反变换是数学和工程领域中常用的工具，用于将频域函数转换回时域函数。 它与傅里叶变换是逆操作，通过傅里叶反变换可以将频域信息还原为时域信息。
积分运算的取值范围是整个实数 轴，代表着所有可能的频率成分
。
傅里叶反变换的物理意义
傅里叶反变换的物理意义在于将频域 信息还原为时域信息，从而可以分析 信号的时域特性。
例如，在音频处理中，傅里叶反变换 可以将音频信号从频域转换回时域， 以便更好地感知声音的细节和变化。
通过傅里叶反变换，可以了解信号在 不同时间点的强度和相位变化，这对 于信号处理和通信系统等领域非常重 要。
数值计算和绘图。
定义函数
定义需要变换的函数，例如正 弦函数、余弦函数等。
进行傅里叶变换
• 傅里叶变换概述 • 傅里叶正变换 • 傅里叶反变换 • 傅里叶变换的应用 • 傅里叶变换的实践操作
目录
01
傅里叶变换概述
傅里叶变换的定义
傅里叶变换是一种数学工具，用于将一个时间域的信号转换为其频域表示。在数 学上，它被定义为函数f(t)与其复指数函数e^(iωt)之间的积分变换。
定义函数
定义需要变换的函数 ，例如正弦函数、余 弦函数等。
进行傅里叶变换
使用fft库中的fft函 数进行傅里叶变换。
绘图
使用matplotlib库将 变换后的结果绘制成 图形。
感谢观看
THANKS
通过傅里叶正变换，可以将一个复杂的信号分解成多个简 单的正弦波分量，每个分量都有自己的频率、幅度和相位 。这种分解方式有助于更好地理解信号的组成和特性，在 信号处理、通信、图像处理等领域有广泛应用。
03
傅里叶反变换
傅里叶反变换的定义
傅里叶反变换是数学和工程领域中常用的工具，用于将频域函数转换回时域函数。 它与傅里叶变换是逆操作，通过傅里叶反变换可以将频域信息还原为时域信息。
积分运算的取值范围是整个实数 轴，代表着所有可能的频率成分
。
傅里叶反变换的物理意义
傅里叶反变换的物理意义在于将频域 信息还原为时域信息，从而可以分析 信号的时域特性。
例如，在音频处理中，傅里叶反变换 可以将音频信号从频域转换回时域， 以便更好地感知声音的细节和变化。
通过傅里叶反变换，可以了解信号在 不同时间点的强度和相位变化，这对 于信号处理和通信系统等领域非常重 要。
数值计算和绘图。
定义函数
定义需要变换的函数，例如正 弦函数、余弦函数等。
进行傅里叶变换
[理学]第8章 傅里叶变换_OK
f (t)
F () f (t) e jtd t
t
ete jtd t
0
e( j)td t
0
1
j
j 2 2
f (t) 1
2
F () e jtd 1
2
j 2 2
e jtd
1
0
cost 2
sin 2
t
d
16
f (t) 1
0
cost 2
sin 2
作周期为T的函数fT(t), 使其在[-T/2,T/2]之内 等于f (t), 在[-T/2,T/2]之外按周期T延拓到整个数轴 上, 则T越大, fT(t)与f (t)相等的范围也越大, 这就说 明当T时, 周期函数fT(t)便可转化为f (t), 即有
lim
T
fT (t)
f
(t)
6
Fourier积分公式与Fourier积分存在定理
f
(t
)
1,
t 1 的付氏变换及其积分
表达式。
0, t 1
F () f (t)e jt dt 1 e jt dt e jt 1
1
i
1
1 e j e j 2sin
i
f (t) 1
F ()e jtd 1
F ()costd
2
0
1 2sin costd 2 sin cost d
性电路受具有脉冲性质的电势作用后所产生的电 流；在力学中,要研究机械系统受冲击力作用后的 运动情况等.研究这类问题就会产生我们要介绍的 单位脉冲函数.有了这种函数,对于许多集中在一点 或一瞬间的量,例如点电荷、点热源、集中于一点 的质量以及脉冲技术中的非常狭窄的脉冲等,就能 够像处理连续分布的量那样,用统一的方式来加以18 解决.
F () f (t) e jtd t
t
ete jtd t
0
e( j)td t
0
1
j
j 2 2
f (t) 1
2
F () e jtd 1
2
j 2 2
e jtd
1
0
cost 2
sin 2
t
d
16
f (t) 1
0
cost 2
sin 2
作周期为T的函数fT(t), 使其在[-T/2,T/2]之内 等于f (t), 在[-T/2,T/2]之外按周期T延拓到整个数轴 上, 则T越大, fT(t)与f (t)相等的范围也越大, 这就说 明当T时, 周期函数fT(t)便可转化为f (t), 即有
lim
T
fT (t)
f
(t)
6
Fourier积分公式与Fourier积分存在定理
f
(t
)
1,
t 1 的付氏变换及其积分
表达式。
0, t 1
F () f (t)e jt dt 1 e jt dt e jt 1
1
i
1
1 e j e j 2sin
i
f (t) 1
F ()e jtd 1
F ()costd
2
0
1 2sin costd 2 sin cost d
性电路受具有脉冲性质的电势作用后所产生的电 流；在力学中,要研究机械系统受冲击力作用后的 运动情况等.研究这类问题就会产生我们要介绍的 单位脉冲函数.有了这种函数,对于许多集中在一点 或一瞬间的量,例如点电荷、点热源、集中于一点 的质量以及脉冲技术中的非常狭窄的脉冲等,就能 够像处理连续分布的量那样,用统一的方式来加以18 解决.
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n 1
n 1
如果以fT (t )代表信号，则上式说明，一个周期 为T的信号可以分解为简谐波之和。这些谐波 的(角)频率分别为一个基频0的倍数。
2013-7-25 19
换句话说，信号fT (t )并不含有各种频率成分，而仅由一系列 具有离散频率的谐波所构成，其中An反映了频率为n0的谐波 在fT (t )中所占的份额，称为振幅； n则反映了频率为n0的谐 波沿时间轴移动的大小，称为相位。
1 2sin jt f (t ) e d 2π
1 2sin j 2sin cos td 2π sin td 2π
1,| t | 2 sin cos td 1/ 2,| t | π 0 0,| t |
2013-7-25
40
上面两式可以看出，f(t)和F()通过指定的积 分运算可以相互表达。 (8.9)式叫做f(t)的傅氏变换式，可记为 F() = F [f(t)]。 F()叫做f(t)的像函数。 (8.10）式叫做F( )的傅氏逆变换式，可记为 f(t) F –1 [F()] f(t)叫做F()的像原函数。 这时我们称f(t)和F()构成了一个傅氏变换对。
2 n 2 n
cosn an / An ,sin n bn / An , n 1, 2,
则式（8.1)式变为 fT (t ) A0 An (cos n cos n0t sin n sin n0t )
A0 An cos(n0t n )
2013-7-25 41
f(t)与F()构成一个傅氏变换对。与傅氏 级数一样，傅氏变换也有明显的物理含 义。可以说明非周期函数与周期函数一 样，也是由许多不同频率的正、余弦分 量合成，所不同的是，非周期函数包含 了从零到无穷大的所有频率分量。而F() 是f(t)中各频率分量的分布密度，因此称 F()为频谱密度函数（简称为频谱或连续 频谱），称|F()|为振幅频谱。 argF()为相位谱.
2013-7-25
12
此时，(8.1)可写为
2013-7-25
13
2013-7-25
14
2013-7-25
15
2013-7-25
16
2013-7-25
17
cn
2013-7-25
18
傅里叶级数有非常明确的物理含义。事实上， 在(8.1)式中，令
A0 a0 / 2, An a b ,
2013-7-25
9
1.傅氏级数的复数形式
傅氏级数收敛定理：设fT(t)是以T为周期的 函数，如果在[-T/2,T/2]上满足（Dirichlet条 件）： （1）连续或只有有限多个第一类间断点， （2）只有有限多个极值点。 则在[-T/2,T/2]上就可以展开成傅氏级数：
2013-7-25
10
a0 fT (t ) (an cosn0t bn sin n0t ) 2 n 1 (8.1) 2π 其中 : 0 T 2 T /2 an fT (t ) cos n0tdt , n 0,1, 2, T T / 2
2013-7-25 49
上式中令t 0可得重要积分公式
2013-7-25
50
0,| | 例3 已知f (t )的频谱为F ( ) , 0 1,| |
1
求f (t ).
1 jt 解：f (t ) F [ F ( )] F ( )e d 2π
当t 0时，定义f (0)
sin t 记Sa(t ) , 则f (t ) Sa( t ), π t
.信号
sin t sin t 1 jt e d πt π t 2π
π π 称为抽样信号，由于它具有非常特殊的频谱形式，
2013-7-25
21
0, T / 2 t 0 例1 求以T 为周期的函数fT (t ) 2, 0 t T / 2 的离散频谱和它的傅里叶级数的复指数形式。
解：令0 2π / T，当n 0时，
c0 F (0)
1 T /2 1 T /2 T / 2 fT (t )dt T 0 2dt 1 T
26
2013-7-25
27
我们作周期函数fT(t),使其在 [ -T/2 ,T/2 ] 之内等于f(t),而在 [ -T/2 ,T/2 ]之外按周期 延拓到整个数轴上去，则
2013-7-25
28
2π 2π 2π T T T
2 T
2013-7-25
29
2013-7-25
30
1 jn jn t (n） [ （）e f d ]e 2π
第八章 傅里叶变换
2013-7-25
1
§8.0 §8.1 §8.2 §8.3 §8.4
前言 傅氏积分 傅氏变换 傅氏变换的性质 卷积与相关函数
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前言
积分变换是通过积分运算，把一个函数变成 另一个函数的变换，与复变函数有着密切的联 系。它的理论与方法不仅在数学的许多分支中， 而且在其他自然科学和各种工程技术领域中均 有着广泛的应用，它已成为不可缺少的运算工 具。 “积分变换”的中心思想是把复杂的、耗费时 间的计算简化为简单的、节省时间的计算． 为了理解“数学”是如何完成这项任务的，让 我们从大家熟悉的对数说起．十七世纪，航海 和天文学积累了大批观测数据， 需要对它们进 行大量的乘法和除法运算．
得到D中数 z1 ln
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1 1
Z1 Z2
z 2 ln
积分变换：通过积分运算，把一个函 数变成另一个函数的变换。 一般是含有参变量的积分
F ( ) f (t ) K (t , )dt
a
b
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F ( ) f (t ) K (t , )dt
fT (t )的傅里叶级数的复指数形式为 2 j j(2 n 1)0t fT (t ) 1 e n (2n 1)π
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1, n0 | F (n0 ) | 0, n 2, 4, 2 , n 1, 3, | n | π
பைடு நூலகம்
当n 0时，
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1 T /2 jn0t cn F (n0 ) fT (t )e dt T T / 2 T jn 0 2 T / 2 jn0t j e dt (e 2 1) T 0 nπ
j jnπ (e nπ
0,当n为偶数, 1) 2 j nπ , 当n为奇数
a
b
它实质上就是把某函数类A中的函数f (t)通过 上述积分的运算变成另一函数类 F ()。 K(t, )是一个确定的二元函数，称为积分变换 的核； F() — 像函数 f (t) — 像原函数 在一定的条件下，F()与 f (t)是一一对应的。
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§8.1 傅氏积分
本节从周期函数在区间(-T/2,T/2)上的 Fourier级数展开式出发，讨论当T+时 它的极限形式，得出非周期函数的Fourier 积分公式。主要内容 1.傅氏级数的复数形式 2.傅氏积分定理 3.傅氏积分公式的其他形式
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j 2 2
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关于ω是 奇函数
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F [ f (t )] F ( )
f (t )e
jt
dt e jt dt
1 jt 1 j e | (e e j ) j j sin sin 2 2 sin 振幅谱为 | F ( ) | 2 | |
Sa ( t )(或者Sa (t ))
因而在连续时间信号的离散化、离散时间信号的恢
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复以及信号滤波中发挥了重要的作用。
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2.单位脉冲函数及其傅氏变换
在物理学和工程中常常产生脉冲现象。如运动 中物体间的碰撞在力学中称为冲击脉冲，如：矩形 脉冲
尤其当 a 很小，E 较大的情况，类似的物理现象有： 点电荷、点质量、线光源等等，此时的点电场强度、 点密度可以理想的认为是“无穷大”，事实上并不 存在！ 这些物理量都不能用通常的函数形式去描述。
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在当时，这是非常繁重的工作．为了克服 这个困难，1614年纳皮尔 (Napier)发明对 数．随后，人们造出以10 为底和以e为底 的对数表． 令 D＝{x： x为正实数} (1) R＝{X:X为实数} ; (2) 指数函数y＝ex是定义在R上取值于D 的单值函数．对数函数y=lnx是指数函数的 反函数，它是定义在D上取值于R的单值函 数． 它们建立了D和R之间的一一对应：
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傅里叶积分定理
(8.5)
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上节小结
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第二节 傅氏变换
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本节内容
1.傅氏变换的概念 2.单位脉冲函数及其傅氏变换 3.非周期函数的频谱
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1.傅氏变换的概念
当函数f(t)满足傅氏积分定理中的条件时， 则在f(t)的连续点处有
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f (t ) (n )dn
即f (t ) ( )d
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1 j jt 即f (t ) [ f ( )e d ]e d 2π
n 1
如果以fT (t )代表信号，则上式说明，一个周期 为T的信号可以分解为简谐波之和。这些谐波 的(角)频率分别为一个基频0的倍数。
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换句话说，信号fT (t )并不含有各种频率成分，而仅由一系列 具有离散频率的谐波所构成，其中An反映了频率为n0的谐波 在fT (t )中所占的份额，称为振幅； n则反映了频率为n0的谐 波沿时间轴移动的大小，称为相位。
1 2sin jt f (t ) e d 2π
1 2sin j 2sin cos td 2π sin td 2π
1,| t | 2 sin cos td 1/ 2,| t | π 0 0,| t |
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上面两式可以看出，f(t)和F()通过指定的积 分运算可以相互表达。 (8.9)式叫做f(t)的傅氏变换式，可记为 F() = F [f(t)]。 F()叫做f(t)的像函数。 (8.10）式叫做F( )的傅氏逆变换式，可记为 f(t) F –1 [F()] f(t)叫做F()的像原函数。 这时我们称f(t)和F()构成了一个傅氏变换对。
2 n 2 n
cosn an / An ,sin n bn / An , n 1, 2,
则式（8.1)式变为 fT (t ) A0 An (cos n cos n0t sin n sin n0t )
A0 An cos(n0t n )
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f(t)与F()构成一个傅氏变换对。与傅氏 级数一样，傅氏变换也有明显的物理含 义。可以说明非周期函数与周期函数一 样，也是由许多不同频率的正、余弦分 量合成，所不同的是，非周期函数包含 了从零到无穷大的所有频率分量。而F() 是f(t)中各频率分量的分布密度，因此称 F()为频谱密度函数（简称为频谱或连续 频谱），称|F()|为振幅频谱。 argF()为相位谱.
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此时，(8.1)可写为
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cn
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傅里叶级数有非常明确的物理含义。事实上， 在(8.1)式中，令
A0 a0 / 2, An a b ,
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1.傅氏级数的复数形式
傅氏级数收敛定理：设fT(t)是以T为周期的 函数，如果在[-T/2,T/2]上满足（Dirichlet条 件）： （1）连续或只有有限多个第一类间断点， （2）只有有限多个极值点。 则在[-T/2,T/2]上就可以展开成傅氏级数：
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a0 fT (t ) (an cosn0t bn sin n0t ) 2 n 1 (8.1) 2π 其中 : 0 T 2 T /2 an fT (t ) cos n0tdt , n 0,1, 2, T T / 2
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上式中令t 0可得重要积分公式
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0,| | 例3 已知f (t )的频谱为F ( ) , 0 1,| |
1
求f (t ).
1 jt 解：f (t ) F [ F ( )] F ( )e d 2π
当t 0时，定义f (0)
sin t 记Sa(t ) , 则f (t ) Sa( t ), π t
.信号
sin t sin t 1 jt e d πt π t 2π
π π 称为抽样信号，由于它具有非常特殊的频谱形式，
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0, T / 2 t 0 例1 求以T 为周期的函数fT (t ) 2, 0 t T / 2 的离散频谱和它的傅里叶级数的复指数形式。
解：令0 2π / T，当n 0时，
c0 F (0)
1 T /2 1 T /2 T / 2 fT (t )dt T 0 2dt 1 T
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我们作周期函数fT(t),使其在 [ -T/2 ,T/2 ] 之内等于f(t),而在 [ -T/2 ,T/2 ]之外按周期 延拓到整个数轴上去，则
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2π 2π 2π T T T
2 T
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1 jn jn t (n） [ （）e f d ]e 2π
第八章 傅里叶变换
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§8.0 §8.1 §8.2 §8.3 §8.4
前言 傅氏积分 傅氏变换 傅氏变换的性质 卷积与相关函数
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前言
积分变换是通过积分运算，把一个函数变成 另一个函数的变换，与复变函数有着密切的联 系。它的理论与方法不仅在数学的许多分支中， 而且在其他自然科学和各种工程技术领域中均 有着广泛的应用，它已成为不可缺少的运算工 具。 “积分变换”的中心思想是把复杂的、耗费时 间的计算简化为简单的、节省时间的计算． 为了理解“数学”是如何完成这项任务的，让 我们从大家熟悉的对数说起．十七世纪，航海 和天文学积累了大批观测数据， 需要对它们进 行大量的乘法和除法运算．
得到D中数 z1 ln
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Z1 Z2
z 2 ln
积分变换：通过积分运算，把一个函 数变成另一个函数的变换。 一般是含有参变量的积分
F ( ) f (t ) K (t , )dt
a
b
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F ( ) f (t ) K (t , )dt
fT (t )的傅里叶级数的复指数形式为 2 j j(2 n 1)0t fT (t ) 1 e n (2n 1)π
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1, n0 | F (n0 ) | 0, n 2, 4, 2 , n 1, 3, | n | π
பைடு நூலகம்
当n 0时，
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1 T /2 jn0t cn F (n0 ) fT (t )e dt T T / 2 T jn 0 2 T / 2 jn0t j e dt (e 2 1) T 0 nπ
j jnπ (e nπ
0,当n为偶数, 1) 2 j nπ , 当n为奇数
a
b
它实质上就是把某函数类A中的函数f (t)通过 上述积分的运算变成另一函数类 F ()。 K(t, )是一个确定的二元函数，称为积分变换 的核； F() — 像函数 f (t) — 像原函数 在一定的条件下，F()与 f (t)是一一对应的。
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§8.1 傅氏积分
本节从周期函数在区间(-T/2,T/2)上的 Fourier级数展开式出发，讨论当T+时 它的极限形式，得出非周期函数的Fourier 积分公式。主要内容 1.傅氏级数的复数形式 2.傅氏积分定理 3.傅氏积分公式的其他形式
2013-7-25 42
j 2 2
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关于ω是 奇函数
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F [ f (t )] F ( )
f (t )e
jt
dt e jt dt
1 jt 1 j e | (e e j ) j j sin sin 2 2 sin 振幅谱为 | F ( ) | 2 | |
Sa ( t )(或者Sa (t ))
因而在连续时间信号的离散化、离散时间信号的恢
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复以及信号滤波中发挥了重要的作用。
51
2.单位脉冲函数及其傅氏变换
在物理学和工程中常常产生脉冲现象。如运动 中物体间的碰撞在力学中称为冲击脉冲，如：矩形 脉冲
尤其当 a 很小，E 较大的情况，类似的物理现象有： 点电荷、点质量、线光源等等，此时的点电场强度、 点密度可以理想的认为是“无穷大”，事实上并不 存在！ 这些物理量都不能用通常的函数形式去描述。
2013-7-25 3
在当时，这是非常繁重的工作．为了克服 这个困难，1614年纳皮尔 (Napier)发明对 数．随后，人们造出以10 为底和以e为底 的对数表． 令 D＝{x： x为正实数} (1) R＝{X:X为实数} ; (2) 指数函数y＝ex是定义在R上取值于D 的单值函数．对数函数y=lnx是指数函数的 反函数，它是定义在D上取值于R的单值函 数． 它们建立了D和R之间的一一对应：
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傅里叶积分定理
(8.5)
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上节小结
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第二节 傅氏变换
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本节内容
1.傅氏变换的概念 2.单位脉冲函数及其傅氏变换 3.非周期函数的频谱
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1.傅氏变换的概念
当函数f(t)满足傅氏积分定理中的条件时， 则在f(t)的连续点处有
2013-7-25 31
f (t ) (n )dn
即f (t ) ( )d
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1 j jt 即f (t ) [ f ( )e d ]e d 2π