2019_2020学年九年级数学下册期中检测卷新版浙教版
2019-2020年浙教版九年级下学期期中试卷 数学(含答案)
2019-2020年浙教版九年级下学期期中试卷数学【本检测题满分:120分，时间:120分钟】一、选择题（每小题3分，共30分）1.（2015·广州中考）已知⊙O 的半径是5，直线l 是⊙O 的切线，则点O 到直线l 的距离是( )A.2.5B.3C.5D.102.如图是教学用的直角三角板，边AC =30 cm ，∠C =90°，tan∠BAC=错误!未找到引用源。
，则边BC 的长为（ ）A.30 cmB.20 cmC.10错误!未找到引用源。
cmD.5 cm3.一辆汽车沿坡角为错误!未找到引用源。
的斜坡前进500米，则它上升的高度为（ ）A.500sin 错误!未找到引用源。
B.500sin αC.500cos 错误!未找到引用源。
D.500cos α4.如图，在△错误!未找到引用源。
中，错误!未找到引用源。
=10，∠错误!未找到引用源。
=60°，∠错误!未找到引用源。
=45°，则点错误!未找到引用源。
到错误!未找到引用源。
的距离是（ ）A.1053B.5+53C.1553D.151035.（2014·四川南充中考）如图，PA 和PB 是⊙O 的切线，点A 和B 是切点，AC 是⊙O 的直径，已知∠P ＝40°，则∠ACB 的大小是（ ）A.40°B.60°C.70°D.80°6.计算6tan 452cos 60︒-︒ 的结果是( )A.43B.4C.53D.57.如图，在ABC △中，90,5,3,∠C AB BC =︒== 则sin A 的值是( )A.34B.34C.35D.45 第2题8.上午9时，一船从错误!未找到引用源。
处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30 分到达错误!未找到引用源。
处，如图所示，从错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
两处分别测得小岛错误!未找到引用源。
2019-2020学年度第二学期期中检测九年级数学试题及答案
2019—2020学年度第二学期期中考试初三数学试题（考试时间：120分钟 试卷分值：150分） 命题、校对：一、选择题（每题只有一个是正确的，每题3分，共18分） 1、－12 的相反数是（ ）A 、12B 、－2C 、－12D 、22、在一条东西向的跑道上，小亮先向东走了8米，记作“＋8米”，又向西走了10米，此时他的位置可记作（ ）A 、＋2米B 、－2米C 、＋18米D 、－18米 3、在下列四个几何体中，主视图与俯视图都是圆的为（ ）4、一组数据3，4，x ，6，8的平均数是5，则这组数据的中位数是（ ）A 、4B 、5C 、6D 、7 5、如图，AB 、AC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，若∠A ＝70°， 则∠BOC 的度数为（ ）A 、130°B 、120°C 、110°D 、100°6．如图，在钝角△ABC 中，分别以AB 和AC 为斜边向△ABC 的外侧作等腰直角三角形ABE 和等腰直角三角形ACF ，EM 平分∠AEB 交AB 于点M ，取BC 中点D ，AC 中点N ，连接DN 、DE 、DF ．下列结论： ①EM=DN ； ②S △CDN =31S 四边形ABDN ； ③DE=DF ； ④DE ⊥DF ．其中正确的结论的个数是（ ）7、实数16的算术平方根是__________．8、在函数y ＝ 1x －2中，自变量x 的取值范围是__________．9、今年一季度东台财政收入列江苏沿海各县市区财政收入前茅达3 230 000 000元，将这个数用科学计数法表示为________________________10、分解因式：2ax ax -＝ ．11、抛物线y ＝x 2－bx ＋3的对称轴是直线x ＝1，则b 的值为__________． 12、已知圆锥的底面半径为3，高为4，则这个圆锥的侧面积为 ． 13、如图，在2×2的网格中，每个小正方形的边长都是1，图中的阴影部分图案是由一个点为圆心，半径分别为1和2的圆弧围成，则阴影部分的面积为 ．14、在平面直角坐标系中，已知线段MN 的两个端点的坐标分别是M （－4，－1）、N （0，1）， 将线段MN 平移后得到线段M ′N ′（点M 、N 分别平移到点M ′、N ′的位置），若点M ′的 坐标为（－2，2），则点N ′的坐标为 ．15、质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这个骰子 一次，则向上一面的数字是偶数的概率为 ． 16、如图，在平面直角坐标系中，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2， △P 3A 2A 3，…都是等腰直角三角形，其直角顶点P 1（3，3），P 2，P 3，…均在直线y =﹣x +4上．设△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，…的面积分别为S 1，S 2，S 3，…，依据图形所反映的规律，S 2019=． 三、解答题（共11大题，合计102分） 17、（8分）计算： 203(4)(π3)2|5|-+----18、（8分）解不等式组⎩⎨⎧-≥+>+14201x x x19、（8分） 化简)31(96922a a a a -÷++-，并选一个你喜欢的a 的值代入求值。
【浙教版】九年级数学下期中试题(含答案)
一、选择题1．把二次函数243y x x =-+化成2()y a x h k =++的形式是（ ）A ．2(2)1y x =++B ．2(2)7y x =++C ．2(2)1y x =--D ．2(2)7y x =--2．已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c 与自变量x 的部分对应值如表所示，下列说法正确的是（ ） x … 0 1 3 … y…131…A ．a ＞0B ．x ＞1时y 随x 的增大而减小C ．y 的最大值是3D ．关于x 的方程ax 2＋bx ＋c=3的解是x 1=1，x 2=23．抛物线222=++y x x 与y 轴的交点坐标为（ ） A ．（1，0）B ．（0，1）C ．（0，0）D ．（0，2）4．如图，抛物线22y x x m =-+交x 轴于点(),0A a ，(),0B b ，交y 轴于点C ，抛物线的顶点为D ，下列四个结论：①无论m 取何值，2CD =恒成立；②当0m =时，ABD △是等腰直角三角形；③若2a =-，则6b =；④()11,P x y ，()22,Q x y 是抛物线上的两点，若121x x ，且122x x +>，则12y y <．正确的有（ ）A ．①②③④B ．①②④C ．①②D ．②③④5．在同一直角坐标系中，一次函数y ax c =+和二次函数2y ax c =--的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知二次函数()()20y a x m a =->的图象经过点()1,A p -，()3,B q ，且p q <，则m 的值不可能．．．是（ ） A ．2-B ．2-C ．0D ．527．sin45cos45︒+︒的值为（ ） A ．1B ．2C ．2D ．228．如图，AC 垂直于AB ，P 为线段AC 上的动点，F 为PD 的中点， 2.8m =AC ，2.4m =PD ， 1.2m =CF ，15∠=︒DPE ．若90PEB ∠=︒，65∠=︒EBA ，则AP 的长约为（ ）（参考数据：sin650.91︒≈，cos650.42,sin500.77,cos500.64︒≈︒≈︒≈）A ．1.2B ．1.3mC ．1.5mD ．2.0m9．在Rt △ABC 中，若∠C=90°，BC=2AC ，则cosA 的值为（ ） A ．12B ．32 C ．25D ．5 10．在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =3BC ，则sin B 的值为（ ） A ．12B ．22C ．32D ．22311．如图在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，如果AC ＝3，sin B ＝35，那么BC 等于（ ）A ．3B ．4C ．5D ．612．tan60︒的值为( ) A 3B ．23C 3D 2二、填空题13．已知二次函数y=ax 2﹣4ax+4，当x 分别取x 1、x 2两个不同的值时，函数值相等，则当x 取x 1+x 2时，y 的值为________________________14．已知二次函数y ＝a （x ﹣2）2+c （a ＞0），当自变量x 分别取﹣1、4、6时，对应的函数值分别为y 1，y 2，y 3，则y 1，y 2，y 3的大小关系是_____（用“＜”号连接）． 15．将抛物线()214y x =+-向上平移a 个单位后得到的抛物线恰好与x 轴只有一个交点，则a 的值为_________；16．将抛物线2y x =-先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式是______．17．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A ，B ，C ，D 都在这些小正方形的顶点上，AB ，CD 相交于点O ，则cos ∠BOD ＝_____．18．如图，ABC ∆的顶点都是正方形网格中的格点，则cos CAB ∠=__________．19．如图，在一笔直的海岸线l 上有A B 、两个观测站，4AB km =，从A 测得船C 在北偏东45°的方向，从B 测得船C 在北偏东22.5︒的方向，则船C 离海岸线l 的距离（即CD 的长）为_____km ．20．如图，边长为4的等边△ABC ，AC 边在x 轴上，点B 在y 轴的正半轴上，以OB 为边作等边△OBA 1，边OA 1与AB 交于点O 1，以O 1B 为边作等边△O 1BA 2，边O 1A 2与A 1B 交于点O 2，以O 2B 为边作等边△O 2BA 3，边O 2A 3与A 2B 交于点O 3，…，依此规律继续作等边△O n ﹣1BA n ，记△OO 1A 的面积为S 1，△O 1O 2A 1的面积为S 2，△O 2O 3A 2的面积为S 3，…，△O n ﹣1O n A n ﹣1的面积为S n ，则S n ＝__．（n ≥2，且n 为整数）三、解答题21．某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．已知跳板AB 长为2米，跳板距水面CD 高BC 为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度4米，现以CD 为横轴，CB 为纵轴建立直角坐标系．（1）求这条抛物线的解析式； （2）求运动员落水点与点C 的距离．22．已知抛物线y ＝x 2+bx +c 经过点（2，﹣3）和（4，5）． （1）求抛物线的函数解析式及顶点坐标；（2）将抛物线沿x 轴翻折，得到图象G ，直接写出图象G 的函数解析式．23．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是()0,2．试寻找一些点，使他们满足“到点A 与到x 轴的距离相等”．小明在探究过程中首先想到了OA 的中点M 满足条件，点M 到点A 和x 轴的距离都是1．接着，小明过x 轴上一点()4,0B 作x 轴的垂线l ．他认为在l 上应该有一个点N 到点A 与到x 轴的距离相等．（1）请你用尺规作图找出点N（不写画法，保留作图痕迹）并求出点N的坐标；（2）小明用同样的方法又找出了一些符合条件的点，并把这些点用平滑的曲线连接起来他发现这些点在一条对称轴为y轴的抛物线上．请你根据以上探究和发现，求出这条抛物线的解析式；y=-距离相等的点所在抛物线的解析式．（3）请直接写出平面内到点A和直线224．随着科学技术的发展，机器人早已能按照设计的指令完成各种动作．在坐标平面上，根据指令[S，α]（S≥0，0°＜α＜180°）机器人能完成下列动作：先原地顺时针旋转角度α，再朝其对面方向沿直线行走距离s．（1）如图，若机器人在直角坐标系的原点，且面对y轴的正方向，现要使其移动到点A （2，2），则给机器人发出的指令应是什么；（2）机器人在完成上述指令后，发现在P（6，0）处有一小球正向坐标原点做匀速直线运动，已知小球滚动的速度与机器人行走的速度相同，若忽略机器人原地旋转的时间，请你给机器人发一个指令，使它能最快截住小球．（如图，点C为机器人最快截住小球的位置，角度精确到度；参考数据：sin49°≈0．75，cos37°≈0．80，tan37°≈0．75）25．如图，旗杆AB 竖立在斜坡CB 的顶端，斜坡CB 长为65米，坡度为i ＝125．小明从与点C 相距115米的点D 处向上爬12米到达建筑物DE 的顶端点E ．在此测得旗杆顶端点A 的仰角为39°，求旗杆的高度AB ．（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81）26．李威在A 处看一兜大树的顶端D 处的仰角是30°，向树的方向前进30米到B 处看树顶D 处的仰角是60°（李威的眼睛离地面高是1.5米），求树高多少？（结果可带根号）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，即可把一般式转化为顶点式． 【详解】解：()()22243443421y x x x x x =-+=-++-=--．故选：C ． 【点睛】此题考查了二次函数的顶点式，掌握利用配方法将二次函数一般式转化为顶点式是解题的关键．2．D解析：D【分析】利用表中函数值的变换情况可判断抛物线的开口方向，则可对A进行判断；利用x=0和x=3时函数值相等可得到抛物线的对称轴，则可对B、C进行判断；利用抛物线的对称性可得x=1和x=2的函数值相等，则可对D进行判断．【详解】解：∵二次函数值先由小变大，再由大变小，∴抛物线的开口向下，a＜0，故A错误；∵抛物线过点(0，1)和(3，1)，∴抛物线的对称轴为直线x=3，2∴x=3对应的y的值最大，故C错误；2∵抛物线开口向下，∴x＞3时y随x的增大而减小，故B错误；2∵抛物线的对称轴为直线x=3，且抛物线经过点(1，3)，2∴点(1，3)关于对称轴的对称点为(2，3)，∴关于x的方程ax2＋bx＋c=3的解是x1=1，x2=2，故D正确；故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称性．熟练掌握二次函数的性质和抛物线的对称性是解决此题的关键．3．D解析：D【分析】令x=0，则y=2，抛物线与y轴的交点为 (0，2)【详解】令x=0，则y=2，∴抛物线与y轴的交点为(0，2)，故选：D．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，会求函数图象与坐标轴的交点是解题的关键；4．B解析：B【分析】①先求出C、D的坐标，再根据两点距离公式求得CD，便可判断；②当m=0时，可得抛物线与x轴的两个交点坐标和顶点坐标即可判断；③根据抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴即可得另一个交点坐标即可判断；④根据二次函数图象当x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，根据离对称越远的点的纵坐标就越大得出结论．【详解】解：①∵y=x2-2x+m=（x-1）2+m-1，∴C（0，m），D（1，m-1），∴，故①正确；②当m=0时，抛物线与x轴的两个交点坐标分别为A（0，0）、B（2，0），顶点D（1，-1），∴，∴△ABD是等腰直角三角形，故②正确；③当a=-2时，抛物线与x轴的一个交点坐标为（-2，0），∵对称轴x=1，∴另一个交点坐标为（4，0），∴b=4，故③错误；④观察二次函数图象可知：当x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则1-x1＜x2-1∴y1＜y2．故④正确．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点、等腰直角三角形，解决本题的关键是综合利用以上知识．5．D解析：D【分析】根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象．【详解】解：∵一次函数经过y轴上的（0，c），二次函数经过y轴上的（0，-c），∴两个函数图象交于y轴上的不同点，故A，C选项错误；当a ＜0，c ＜0时，二次函数开口向上，一次函数经过二、三、四象限，故B 选项错误； 当a ＜0，c ＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、二、四象限，故D 选项正确； 故选：D ． 【点睛】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y 轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．6．D解析：D 【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征得到m +1＜3﹣m 或m ≤﹣1，解得即可． 【详解】解：∵二次函数y ＝a （x ﹣m ）2（a ＞0）， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x ＝m ， ∵图象经过点A （﹣1，p ），B （3，q ），且p ＜q ， ∴m +1＜3﹣m 或m ≤﹣1 解得m ＜1， 故选：D ． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．7．C解析：C 【分析】直接用特殊的锐角三角函数值代入求值即可； 【详解】∵ sin45°=2 ，cos45°=2，∴sin45°+ cos45°=2+2， 故选：C ． 【点睛】本题考查了特殊的锐角三角函数值，正确记忆锐角三角函数值是解题的关键 ．8．B解析：B 【分析】过点F 作FG ⊥AC 于点G ，根据题意，∠BEP=90°，根据四边形内角和定理可得∠CPF 的度数，再根据锐角三角函数即可求出CP 的长，进而可得AP 的长．【详解】解：如图，过点F 作FG ⊥AC 于点G ，根据题意可知：∠BEP=90°，∠B=65°， ∵AC ⊥AB ∴∠A=90°，∴∠EPA=360°-90°-90°-65°=115°， ∵∠DPE=15°， ∴∠APD=130°， ∴∠CPF=50°， ∵F 为PD 的中点， ∴DF=PF=12PD=1.2， ∴CF=PF=1.2，∴CP=2PG=2×PF•cos50°≈2×1.2×0.64≈1.54， ∴AP=AC-PC=2.8-1.54≈1.3（m ）． 故选：B ． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，借助辅助线构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形是关键．9．D解析：D 【分析】设AC=k ，则BC=2k ，5k ，根据三角函数的定义计算即可. 【详解】如图，设AC=k ，则BC=2k ，根据勾股定理，得22AC BC +5k ，∴cosA=5AC AB k=5， 故选D.【点睛】本题考查了锐角三角函数，熟记三角函数的定义，并灵活运用勾股定理是解题的关键. 10．D解析：D【分析】设BC=a，则AB=3a，根据勾股定理求出AC，再根据正弦的定义求sin B．【详解】解：设BC=a，则AB=3a，2222922AC AB BC a a a-=-=，sin B=2222 AC aAB==，故选：D．【点睛】本题考查了三角函数，勾股定理，解题关键是明确三角函数的意义，通过设参数，求出需要的边长．11．B解析：B【分析】直接利用锐角三角函数关系得出AB的长度，然后由勾股定理求得BC的长度．【详解】解：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， AC＝3，sin B＝35，∴sin B＝ACAB，335AB=，∴AB＝5．∴由勾股定理，得BC2222534AB AC-=-=．故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练识记锐角三角函数的定义是解题关键，正弦：我们把锐角A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的正弦，记作sin A ．12．C解析：C【分析】根据特殊角的三角函数值解答即可.【详解】tan60°，故选C.【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．二、填空题13．4【分析】根据二次函数的性质和二次函数图象具有对称性可以求得的值从而可以求得相应的y 的值【详解】解：∵y=当x 分别取两个不同的值时函数值相等∴∴当x 取时y=故答案为4【点睛】本题考查二次函数图象上的解析：4【分析】根据二次函数的性质和二次函数图象具有对称性，可以求得12x x +的值，从而可以求得相应的y 的值．【详解】解：∵y=()2244244ax ax a x a -+=--+，当x 分别取 12,x x 两个不同的值时，函数值相等，∴124x x +=，∴当x 取12x x +时，y=()242444a a --+=，故答案为4．【点睛】本题考查二次函数图象上的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 14．y2＜y1＜y3【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可分别求出y1y2y3的值结合a ＞0即可得出4a+c ＜9a+c ＜16a+c 即y2＜y1＜y3【详解】解：当x ＝﹣1时y1＝a （﹣1﹣2）2+c ＝解析：y 2＜y 1＜y 3．【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可分别求出y 1，y 2，y 3的值，结合a ＞0，即可得出4a+c ＜9a+c ＜16a+c ，即y 2＜y 1＜y 3．【详解】解：当x ＝﹣1时，y 1＝a （﹣1﹣2）2+c ＝9a +c ；当x ＝4时，y 2＝a （4﹣2）2+c ＝4a +c ；当x ＝6时，y 3＝a （6﹣2）2+c ＝16a +c ．∵a ＞0，∴4a +c ＜9a +c ＜16a +c ，∴y 2＜y 1＜y 3．故答案为：y 2＜y 1＜y 3．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征，分别求出y 1，y 2，y 3的值是解题的关键．15．4【分析】根据上加下减左加右减的规律写出平移后抛物线的解析式由新抛物线恰好与x 轴有一个交点得到△由此求得的值【详解】抛物线y ＝（x+1）2﹣4向上平移a 个单位后得到的抛物线的解析式为y ＝（x+1）2解析：4【分析】根据“上加下减，左加右减”的规律写出平移后抛物线的解析式，由新抛物线恰好与x 轴有一个交点得到△0=，由此求得a 的值．【详解】抛物线y ＝（x +1）2﹣4向上平移a 个单位后得到的抛物线的解析式为y ＝（x +1）2﹣4+a ，即223y x x a =+-+∵新抛物线恰好与x 轴有一个交点，∴△()244430b ac a =-=--+= 解得4a =故答案为：4．【点睛】此题考查了抛物线与x 轴的交点坐标，二次函数图象与几何变换．由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．16．【分析】根据左加右减上加下减的原则进行解答即可【详解】解：将抛物线向左平移1个单位所得直线解析式为：；再向上平移2个单位为：故答案为：【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换要求熟练掌握平移的规 解析：()212y x =-++【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：将抛物线2y x =-向左平移1个单位所得直线解析式为：()2+1y x =-； 再向上平移2个单位为：()2+21+y x =-．故答案为：()212y x =-++．【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 17．【分析】设左下角顶点为点F 取BF 的中点E 连接CEDE 由点C 为AF 的中点点E 为BF 的中点可得出进而可得出∠BOD ＝∠DCE 在△DCE 中由DC2＝CE2＋DE2可得出∠DEC ＝90°再利用余弦的定义即可 解析：5 【分析】设左下角顶点为点F ，取BF 的中点E ，连接CE ，DE ，由点C 为AF 的中点、点E 为BF 的中点可得出//CE AB ，进而可得出∠BOD ＝∠DCE ，在△DCE 中，由DC 2＝CE 2＋DE 2可得出∠DEC ＝90°，再利用余弦的定义即可求出cos ∠BOD 的值，此题得解．【详解】解：设左下角顶点为点F ，取BF 的中点E ，连接CE ，DE ，如图所示．∵点C 为AF 的中点，点E 为BF 的中点，∴//CE AB ，∴∠BOD ＝∠DCE ，在△DCE 中，DC 10，DE ＝2，CE 2，∵DC 2＝CE 2＋DE 2，∴∠DEC ＝90°，∴cos ∠DCE ＝CE CD 2510= ∴cos ∠BOD ＝55 故答案为55．【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理逆定理、余弦的定义、中位线以及平行线的性质，构造出含有一个锐角等于∠AOD 的直角三角形是解题的关键．18．【分析】根据题意和图形可以得到ACBC 和AB 的长然后根据等面积法可以求得CD 的长再利用勾股定理求得AD 的长从而可以得到cos ∠CAB 的值【详解】解：作CD ⊥AB 交AB 于点D 由图可得∵解得∴∴故答案为 解析：25 【分析】根据题意和图形，可以得到AC 、BC 和AB 的长，然后根据等面积法可以求得CD 的长，再利用勾股定理求得AD 的长，从而可以得到cos ∠CAB 的值． 【详解】解：作CD ⊥AB ，交AB 于点D ，由图可得，22221310,2,3332AC BC AB =+===+=∵322ABC AB CD BC S ∆⋅⨯==， 解得，2CD =， ∴2222(10)(2)22AD AC CD =-=-= ∴2225cos 510CAB A A C D ∠===， 25． 【点睛】 本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 19．【分析】构造点B 的正北方向交AC 于点E 利用特殊角和已知条件可证AB=BE=EC 三角形ACD 是等腰直角三角形从而问题得证【详解】构造点B 的正北方向交AC 于点E 如图所示根据题意得∠BAE=∠AEB=∠A解析：(422)+.【分析】构造点B 的正北方向，交AC 于点E ，利用特殊角和已知条件，可证AB=BE=EC ，三角形ACD 是等腰直角三角形，从而问题得证.【详解】构造点B 的正北方向，交AC 于点E ，如图所示，根据题意，得∠BAE=∠AEB=∠ACD=45°，∠EBC=∠ECB=22.5°，∴AB=BE=EC=4,AD=CD,∴AE=42， ∴AC=AE+EC=42+4，∴CD=22AC =22+4， 故答案为:22+4.【点睛】本题考查了方位角视角下的解直角三角形，熟记特殊角的函数值，灵活运用方位角知识，规范解直角三角形是解题的关键.20．【分析】由题意：△△△△相似比：探究规律利用规律即可解决问题【详解】由题意：△△△△相似比：故答案为【点睛】此题考查等边三角形的性质解题关键在于结合题意找到图形的规律解析：133()42n -⋅. 【分析】由题意：△1OO A ∽△121O O A ∽△232O O A ，⋯，∽△11n n n O O A --，相似比：1113sin 60O A OO OA OA ==︒，探究规律，利用规律即可解决问题． 【详解】由题意：△1OO A ∽△121O O A ∽△232O O A ，⋯，∽△11n n n O O A --，相似比：1113sin 60O A OO OA OA ==︒， 1113132AOO S S ==⨯=，2134S S =， 2134S S ∴=，2313()4S S =，⋯，111333()()44n n n S S --==，故答案为133()4n ． 【点睛】此题考查等边三角形的性质，解题关键在于结合题意找到图形的规律.三、解答题21．（1）y ＝﹣（x ﹣3）2＋4；（2）5米【分析】（1）建立平面直角坐标系，列出顶点式，代入点A 的坐标，求得a 的值，则可求得抛物线的解析式；（2）令y =0，得关于x 的方程，求得方程的解并根据题意作出取舍即可．【详解】解：（1）如图所示，建立平面直角坐标系，由题意可得抛物线的顶点坐标为（3，4），点A 坐标为（2，3），设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣3）2＋4，将点A 坐标（2，3）代入得：3＝a （2﹣3）2＋4，解得：a ＝﹣1，∴这条抛物线的解析式为y ＝﹣（x ﹣3）2＋4；（2）∵y ＝﹣（x ﹣3）2＋4，∴令y ＝0得：0＝﹣（x ﹣3）2＋4，解得：x 1＝1，x 2＝5，∵起跳点A 坐标为（2，3），∴x 1＝1，不符合题意，∴x ＝5，∴运动员落水点与点C 的距离为5米．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键．22．（1）y =（x ﹣1）2﹣4，抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；（2）y ＝﹣x 2+2x +3【分析】（1）直接把A 、B 两点的坐标代入y ＝x 2+bx +c 得到关于b 、c 的方程组，然后解方程组求出b 、c 即可得到抛物线的解析式；利用配方法把解析式变形为顶点式，然后写出顶点坐标．（2）根据关于x 轴对称的两点x 坐标相同，y 坐标互为相反数，即可求得图象G 的表达式．【详解】解：（1）∵抛物线y ＝x 2+bx +c 经过点（2，﹣3）和（4，5），∴将点（2，﹣3）和（4，5）代入，得4231645b c b c ++=-⎧⎨++=⎩， 解得23b c =-⎧⎨=-⎩， 所以抛物线的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3．∵抛物线的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3＝（x ﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）．（2）将抛物线沿x 轴翻折后，得出﹣y ＝x 2﹣2x ﹣3，则图象G 的函数解析式y ＝﹣x 2+2x +3．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征以及翻折的性质，用待定系数法求出二次函数的解析式是解题的关键．23．（1）见解析；N ()4,5；（2）2114y x =+；（3）218y x = 【分析】（1）利用尺规作图，作出线段AB 的垂直平分线即可；（2）设出抛物线的解析式，结合题意分析出点M 为抛物线的顶点，点N 在抛物线上，利用待定系数法直接求解即可；（3）设出抛物线解析式，结合题意分析出抛物线经过原点，且经过点（4、2）点（-4、2）利用待定系数法求解即可．【详解】解：（1）如图，连接AB ，作线段AB 的垂直平分线，与直线l 相交于点N ，点N 即为所求．连接AN ，过点A 作AH BN ⊥于点H ，设点N 的坐标为()4,y由作图可知AN y =，在Rt ANH ∆中，4AH =，2NH y =-，22(2)16y y ∴=-+，解得5y =∴点N 的坐标为()4,5；（2）此抛物线关于y 轴对称，∴点()0,1M 是抛物线的顶点，设抛物线的解析式为21y ax =+，将点()4,5N 代入得，14a =， ∴抛物线的解析式为2114y x =+． （3）设抛物线的解析式为：2y ax bx c =++，结合题意可知抛物线经过原点，和点（4、2）点（-4、2）则有164216420a b b c +=⎧⎪-=⎨⎪=⎩解得1800a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩∴抛物线的解析式为：218y x =． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图，待定系数法求函数解析式，解题关键是结合题意确定满足条件的点．24．（1），45°]；（2）[2.5，98°]．【分析】（1）求出∠AOB 与OA 的大小即可得解；（2）作AC=PC ，设PC=x ，则BC=4-x ，根据勾股定理可以求得PC 的值，然后根据锐角三角函数的定义可以得到∠DAC 的值，从而得到答案．【详解】解（1）作AB ⊥x 轴，∵A （2，2），∴，∴∠AOB=45°，∴给机器人发的指令为：，45°]；（2）作AC=PC ，设PC=x ，则BC=4-x ，在Rt △ABC 中：()22224x x +-=，解得x=2.5，又∵tan ∠BAC=4 2.50.752BC AB -==， ∴∠BAC=37°，∵∠OAB=45°，∴∠OAC=37°+45°=82°，∴∠DAC=180°-82°=98°，∴输入的指令为[2.5，98°]．【点睛】本题考查新定义下的实数运算及旋转的综合应用，在给定的定义框架下利用勾股定理及锐角三角函数求解是解题关键．25．9米．【分析】过点B 作CD 的垂线，设垂足为F ，再过点E 作EG ⊥BF ，垂足为G ，依题意分别求出线段BF 、CF 、DF 、AG 的长度，即可求得旗杆的高度AB ．【详解】解：过点B 作CD 的垂线，设垂足为F ，再过点E 作EG ⊥BF ，垂足为G ，如图，∵斜坡CB 长为65米，坡度为i ＝125， 设BF=12x ，则CF=5x ，∴()()22212565x x +=， 解得x=5，∴BF=60，CF=25，∵DC=115，∴EG=DF=115-25=90，在Rt AEG ∆中，39AEG ∠=︒，∴AG=tan39900.8172.9EG ︒≈⨯=，∴AB=AG+FG-BF=72.9+12-60=24.9，答：旗杆的高度AB 为24.9米．【点睛】本题考查了坡度的定义，锐角三角比的定义，勾股定理的应用，解题的关键是准确作出辅助线，构造直角三角形．26．（153 1.5+）米．【分析】树的高度等于CG+DG ，只需利用母子直角三角形求得DG 的长即可．【详解】解：由题意知EF =30，GC =1.5，∠E =30°，∠DFG =60°，∠DGF =90°∴∠EDF =∠E =30°，∴DF =EF =30，又∵在RtΔDGF 中，sin ∠DGF =DG DF， ∴DG =DF ·sin ∠DGF =30·sin60° =330=153 ∴DC =DG +GC =（153 1.5）（米），）米．∴树的高是（153 1.5【点睛】本题考查了母子直角三角形的求解，熟练掌握解直角三角形的基本要领是解题的关键．。
【浙教版】初三数学下期中试卷及答案(1)
一、选择题1．抛物线222=++y x x 与y 轴的交点坐标为（ ）A ．（1，0）B ．（0，1）C ．（0，0）D ．（0，2） 2．如图是二次函数y ＝mx 2+nx +k 图象的一部分且过点P （3，0），二次函数图象的对称轴是直线x ＝1，下列结论正确的是（ ）A ．n 2﹣4mk ＜0B ．mk ＞0C ．n ＝2mD ．m ﹣n +k ＝0 3．汽车刹车后行驶的距离s （单位：m ）关于行驶的时间t （单位：s ）的函数解析式是2156s t t =-．汽车刹车后到停下来前进了多远？（ ）A ．10.35mB ．8.375mC ．8.725mD ．9.375m 4．二次函数()210y ax bx c a =++>的图象与x 轴的一个交点为()3,0-，对称轴为直线1x =-，一次函数()20y kx n k =+<的图象过点()3,0-和二次函数()210y ax bx c a =++>图象的顶点．下列结论：（ ）①0abc <；②若31x -<<-，则12y y <；③若二次函数1y 的值大于0，则1x >；④过动点(),0P m 且垂直于x 轴的直线与函数12,y y 的图象的交点分别为,C D ，当点C 位于点D 上方时，m 的取值范围是3m <-或1m >-．错误的是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④5．某商场经营一种小商品，已知进购时单价是20元．调查发现：当销售单价是30元时，月销售量为240件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件商品的售价不能高于40元．当月销售利润最大时，销售单价为（ ）A ．35元B ．36元C ．37元D ．36或37元6．已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，若方程20ax bx c ++=的两个根为11x =，25x =-，下列结论中：①0bc >；②4b a =；③0a b c -+>；④540b c +=．其中所有正确的结论有（ ）A ．①②B ．③④C ．②③④D ．②③ 7．下表是小亮填写的实践活动报告的部分内容： 题目 测量树顶到地面的距离测量目标示意图 相关数据 30AB =米，28α∠=︒，45β∠=︒A ．()30tan 28x x =-︒B ．()30tan 28x x =+︒C ．30tan 28x x +=︒D ．30tan 28x x -=︒ 8．关于直角三角形，下列说法正确的是（ ） A ．所有的直角三角形一定相似B ．如果直角三角形的两边长分别是3和4，那么第三边的长一定是5C ．如果已知直角三角形两个元素（直角除外），那么这个直角三角形一定可解D ．如果已知直角三角形一锐角的三角函数值，那么这个直角三角形的三边之比一定确定 9．在Rt ABC 中，∠C ＝90º，下列关系式中错误的是（ ）A ．BC ＝AB•sinAB ．BC ＝AC•tanA C ．AC ＝BC•tanBD ．AC ＝AB•cosB10．在ABC 中，90C ∠=︒，tan 2A =，则sin A 的值是（ ） A ．23 B ．13 C ．25 D ．5 11．如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，3cos 5A =，BE ＝2，则tan ∠DBE 的值是（ ）A ．12B ．2C 5D 5 12．如图，河堤横断面迎水坡AB 的坡比是1:34BC m =，则坡面AB 的长度是（ ）A ．433mB ．43mC ．23mD ．8m二、填空题13．如图所示，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像与x 轴交于点()3,0，对称轴为直线1x =．则方程20cx bx a ++=的两个根为_____．14．将二次函数y ＝﹣（x ﹣k ）2+k +1的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，顶点恰好在直线y ＝2x +1上，则k 的值为_____．15．将抛物线21:23C y x x =-+向左平移一个单位长度，得到抛物线2C ，抛物线2C 与抛物线3C 关于y 轴对称，则抛物线3C 的表达式为____．16．将抛物线()214y x =+-向上平移a 个单位后得到的抛物线恰好与x 轴只有一个交点，则a 的值为_________；17．若sin cos 2A A +=，则锐角A ∠=______．18．如图，在Rt ABC 中，C 90∠=︒，25AC =，2cos 3B =，则AB =______．19．江堤的横断面如图，堤高BC 10=米，迎水坡AB 的坡比是1:3，则堤脚AC 的长是______．20．如图，四边形ABCD 中，AB=BC=3，∠A=∠C=90°，∠ABC=120°，点E 是对角线BD 上的一个动点，过点E 分别作AB ，BC ，CD ，AD 的垂线，垂足分别为点F ，H ，I ，G ，连结FG 和HI ，则FG+HI 的最小值为________．三、解答题21．平安路上，多“盔”有你．在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价1元，平均每周可多售出20顶．（1）若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶头盔应降价多少？（2）商店降价销售后，决定每销售1顶头盔，就向某慈善机构捐赠m 元（m 为整数，且15m <），帮助做“交通安全”宣传．捐赠后发现，该商店每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，求m 的值．22．如图，已知抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中A （﹣2，0），B （4，0）．（1）求该抛物线的表达式；（2）根据图象，直接写出y ＞0时，x 的取值范围；（3）若要使抛物线与x 轴只有一个交点，则需将抛物线向下平移几个单位？23．跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线，正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB 为6米，到地面的距离AO 和BD 均为0.9米，身高为1.4米的小丽站在距点O 的水平距离为1米的点F 处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E ．以点O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为20.9y ax bx =++．（1）求该抛物线的表达式；（2）如果小明站在OD之间，且离点O的距离为3米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶上方0.4米处，求小明的身高是多少？此时小明若向点O方向走多少米，就能让绳子甩到最高处时，绳子刚好通过他的头顶；（3）如果有若干个与小明同身高的同学一起站在OD之间玩跳绳，现知只要绳子甩到最高处时超过她们的头顶且每个同学同方向站立时的脚跟之间距离不小于0.55米就可以一起玩，问最多可以几个同学一起玩．24．如图，一艘船在A处测得北偏东60的方向上有一个小岛C，当它以每小时60海里的速度向正东方向航行了20分钟到达B处后，测得小岛C在B北偏东15的方向上，求此时船与小岛之间的距离BC．25．如图，某渔船在完成捕捞作业后准备返回港口C，途经某海域A处时，港口C的工作人员监测到点A在南偏东30方向上，另一港口B的工作人员监测到点A在正西方向上．已知港口C在港口B的北偏西60︒方向，且B、C两地相距120海里．（1）求出此时点A到港口C的距离（计算结果保留根号）；（2）若该渔船从A处沿AC方向向港口C驶去，当到达点A'时，测得港口B在A'的南偏东75︒的方向上，求此时渔船的航行距离（计算结果保留根号）．26．（1）解方程：x2﹣4x＝12；（2）计算：sin30°3tan45°．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】令x=0，则y=2，抛物线与y 轴的交点为 (0，2)【详解】令x=0，则y=2，∴抛物线与y 轴的交点为(0，2)，故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，会求函数图象与坐标轴的交点是解题的关键；2．D解析：D【分析】根据抛物线与x 轴有两个交点可对A 进行判断；由抛物线开口向上得m ＞0，由抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得k ＜0，则可对B 进行判断；根据抛物线的对称轴是x ＝1对C 选项进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点为（−1，0），所以m−n ＋k ＝0，则可对D 选项进行判断．【详解】解：A ．∵抛物线与x 轴有两个交点，∴n 2﹣4mk ＞0，所以A 选项错误；B ．∵抛物线开口向上，∴m ＞0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴k ＜0，∴mk ＜0，所以B 选项错误；C ．∵二次函数图象的对称轴是直线x ＝1，∴﹣2n m＝1， ∴n ＝﹣2m ，所以C 选项错误；D ．∵抛物线过点A （3，0），二次函数图象的对称轴是x ＝1，∴抛物线与x 轴的另一个交点为（﹣1，0），∴m ﹣n +k ＝0，所以D 选项正确；故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的图象为抛物线，当a ＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线2b x a=-；抛物线与y 轴的交点坐标为（0，c ）；当b 2−4ac ＞0，抛物线与x 轴有两个交点；当b 2−4ac ＝0，抛物线与x 轴有一个交点；当b 2−4ac ＜0，抛物线与x 轴没有交点．3．D解析：D【分析】求出函数的最大值即可得求解．【详解】 ∵22575156648s t t t ⎛⎫--- ⎪⎝⎭＝＝＋， ∴当54t ＝时，s 取得最大值759.3758=，即汽车刹车后到停下来前进的距离是9.375m 故选D ．【点睛】 本题主要考查二次函数的应用，根据题意理解其最大值的实际意义是解题的关键． 4．C解析：C【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性，以及一次函数的性质逐个进行判断，即可得出答案．【详解】解：根据题意，∵对称轴12b x a=-=-，0a >， ∴20b a =>， ∵抛物线与x 轴的一个交点为()3,0-，∴另一个交点为()1,0，∴抛物线与y 的负半轴有交点，则0c <，∴0abc <；故①正确；∵一次函数()20y kx n k =+<的图象过点()3,0-和顶点()1,a b c --+，∴若31x -<<-，则12y y <；故②正确；∵抛物线与x 轴的一个交点为()3,0-和()1,0，若二次函数1y 的值大于0，则1x >或3x <-；故③错误；由题意，当12y y >时，有3m <-或1m >-；故④正确；故选：C ．【点睛】考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握a 、b 、c 的值决定抛物线的位置，抛物线的对称性是解决问题的关键．5．C解析：C【分析】根据利润=数量×每件的利润就可以求出关系式，根据（1）的解析式，将其转化为顶点式，根据二次函数的顶点式的性质就可以求出结论．【详解】解：依题意得：y=（30-20+x ）（240-10x ）y=-10x 2+140x+2400．∵每件首饰售价不能高于40元．∴0≤x≤10．∴求y 与x 的函数关系式为：y=-10x 2+140x+2400，x 的取值范围为0≤x≤10；∴y=-10（x-7）2+2890．∴a=-10＜0．∴当x=7时，y 最大=2890．∴每件首饰的售价定为：30+7=37元．∴每件首饰的售价定为37元时，可使月销售利润最大，最大的月利润是2890元． 故选C ．【点睛】本题考查了二次函数的解析式的运用，根据解析式的函数值求自变量的值的运用，二次函数的顶点式的性质的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．6．C解析：C【分析】由方程20ax bx c ++=的两个根为11x =，25x =-方程变为2450ax ax a +-=，比较系数得4=5b a c a =-，，①()245200bc a a a =⋅-=-<，故①不正确，②4b a =正确，③80a b c a -+=->③正确，④54b c +换成a 计算即可确定④正确．【详解】解：二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象开口向下，0a <，∵方程20ax bx c ++=的两个根为11x =，25x =-，∴()()150a x x -+=，∴2450ax ax a +-=，比较系数得：4=5b a c a =-，，①()245200bc a a a =⋅-=-<，故①不正确，②4b a =正确，③4580a b c a a a a -+=--=->，③正确，④()54=544520200b c a a a a +⨯+⨯-=-=，④正确．故选择：C ．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数关系，二次函数的性质，掌握一元二次方程的根与系数关系，二次函数的性质，解题关键是找出b,c 与a 的关系．7．B解析：B【分析】根据∠β=45°，得出BC ＝CD ＝x ，再根据28α∠=︒，用它的正切列方程即可．【详解】解：∵45β∠=︒，∴BC ＝CD ＝x ，∵AB ＝30，∴AC ＝x +30，∴tan28°＝30CD x AC x =+， ∴x ＝（x +30）tan28°，故选：B ．【点睛】 本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．8．D解析：D【分析】根据题目条件，利用举反例的方法判断即可.【详解】∵因为等腰直角三角形和一般直角三角形是不相似的，∴选项A 错误；若斜边长为4，∴选项B 错误；已知两个角分别为45°，45°，这个直角三角形是无法求解的，缺少解直角三角形需要的边元素，∴选项C 错误；∵已知直角三角形的一个锐角的三角函数值，∴就能确定斜边与直角边的比或两直角边的比，根据勾股定理可以确定第三边的量比，∴直角三角形的三边之比一定确定，故选D.【点睛】本题考查了命题的真伪，以数学基本概念，基本性质，基本法则为基础，通过举反例的方法判断是解题的关键.9．D解析：D【分析】根据三角函数的定义即可作出判断．【详解】解：A 、∵sin BC A AB=， ∴sin BC AB A =，故正确，不符合题意；B 、∵tanA= BC AC， ∴BC=AC•tanA ，故正确，不符合题意；C 、∵tanB=AC BC， ∴AC=BC•tanB ， 故正确，不符合题意；D 、∵cos BC B AB=， ∴cos BC AB B =，故错误，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．10．C解析：C【分析】由tanA=BC AC=2，设BC=2x ，可得AC=x ，Rt △ABC 中利用勾股定理算出，然后利用三角函数在直角三角形中的定义，可算出sinA 的值．【详解】解：由tanA=BC AC=2，设BC=2x ，则AC=x ， ∵Rt △ABC 中，∠C=90°，∴根据勾股定理，得==，因此，sinA=BC AB == 故选：C ．【点睛】本题已知正切值，求同角的正弦值．着重考查了勾股定理、三角函数的定义等知识，属于基础题． 11．B解析：B 【分析】在直角三角形ADE 中，3AE AB BE cos 5AD AD A -===，求得AD ，AE ．再求得DE ，即可得到tan ∠DBE ．【详解】设菱形ABCD 边长为t ．∵BE ＝2，∴AE ＝t−2．∴3AE AB BE cos 5AD AD A -===， ∴3t 25t-=， ∴t ＝5．∴AE ＝5−2＝3．∴DE4． ∴tan ∠DBE ＝DE 4=BE 2＝2． 故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握边角之间的关系． 12．D解析：D【分析】直接利用坡比的定义得出AC 的长，进而利用勾股定理得出答案．【详解】∵河堤横断面迎水坡AB 的坡比是∴BC AC = ∴4AC =解得：AC ＝故AB 8（m ），故选：D ．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握坡比的定义是解题关键．二、填空题13．【分析】根据题意和二次函数的性质可以得到二次函数的图像与轴的另一个交点然后得到的解然后再变形即可得到方程的两个根；【详解】∵二次函数的图象与x 轴交于点对称轴为直线∴该函数与x 轴的另一个交点为∴当时可 解析：11x =-，213x =【分析】根据题意和二次函数的性质，可以得到二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像与x 轴的另一个交点，然后得到20ax bx c ++=的解，然后再变形，即可得到方程的两个根；【详解】∵二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于点()3,0，对称轴为直线1x =， ∴该函数与x 轴的另一个交点为()1,0-，∴当0y =时，20ax bx c =++，可得：11x =-，23x =，当20ax bx c ++=，0x ≠时，可得2110a b c x x ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 设1t x=，可得20ct bt a ++=， ∴11t =-，213t =，由上可得，方程20cx bx c++=的两个根为11x =-，213x =； 故答案为：11x =-，213x =． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的应用，准确分析计算是解题的关键． 14．0【分析】先求出二次函数y ＝﹣（x ﹣k ）2+k+1的图象平移后的顶点坐标再将它代入y ＝2x+1即可求出k 的值【详解】解：∵二次函数y ＝﹣（x ﹣k ）2+k+1的顶点坐标为（kk+1）∴将y ＝﹣（x ﹣k解析：0【分析】先求出二次函数y ＝﹣（x ﹣k ）2+k +1的图象平移后的顶点坐标，再将它代入y ＝2x +1，即可求出k 的值．【详解】解：∵二次函数y ＝﹣（x ﹣k ）2+k +1的顶点坐标为（k ，k +1），∴将y ＝﹣（x ﹣k ）2+k +1的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位后顶点坐标为（k +1，k +3）．根据题意，得k +3＝2（k +1）+1，解得k ＝0．故答案是：0．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，难度适中．根据点的平移规律：右加左减，上加下减正确求出二次函数y ＝−（x−k ）2＋k ＋1的图象平移后的顶点坐标是解题的关键．15．【分析】根据抛物线的解析式得到顶点坐标根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得抛物线的顶点坐标而根据关于y 轴对称的两条抛物线的顶点的纵坐标相等横坐标互为相反数由此可得到抛物线所对应的函数表达式【详解 解析：22y x =+【分析】根据抛物线1C 的解析式得到顶点坐标，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得抛物线 2C 的顶点坐标，而根据关于y 轴对称的两条抛物线的顶点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，由此可得到抛物线3C 所对应的函数表达式．【详解】抛物线1C ：2223=(1)2y x x x =-+-+， ∴抛物线1C 的顶点为（1,2），向左平移一个单位长度，得到抛物线2C ，∴抛物线2C 的顶点为（0,2），抛物线2C 与抛物线3C 关于y 轴对称，∴抛物线3C 的开口方向相同，顶点为（0,2），∴抛物线3C 的解析式为22y x =+．故答案为22y x =+．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可，关于y 轴对称的两条抛物线的顶点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，难度适中． 16．4【分析】根据上加下减左加右减的规律写出平移后抛物线的解析式由新抛物线恰好与x 轴有一个交点得到△由此求得的值【详解】抛物线y ＝（x+1）2﹣4向上平移a 个单位后得到的抛物线的解析式为y ＝（x+1）2解析：4【分析】根据“上加下减，左加右减”的规律写出平移后抛物线的解析式，由新抛物线恰好与x 轴有一个交点得到△0=，由此求得a 的值．【详解】抛物线y ＝（x +1）2﹣4向上平移a 个单位后得到的抛物线的解析式为y ＝（x +1）2﹣4+a ，即223y x x a =+-+∵新抛物线恰好与x 轴有一个交点，∴△()244430b ac a =-=--+= 解得4a =故答案为：4．【点睛】此题考查了抛物线与x 轴的交点坐标，二次函数图象与几何变换．由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．17．45【分析】根据特殊锐角的三角函数值即可求解【详解】解：∵∵即∴∠A=45°【点睛】本题主要考查特殊锐角三角函数值解题的关键是熟记特殊锐角的三角函数值解析：45︒【分析】根据特殊锐角的三角函数值即可求解．【详解】解：∵sin cos 2A A +=∵sin 45=cos 4522︒︒=，即sin 45cos 45︒+︒=∴∠A =45°【点睛】 本题主要考查特殊锐角三角函数值，解题的关键是熟记特殊锐角的三角函数值． 18．6【分析】设BC=2x 根据余弦的定义用x 表示出AB 根据勾股定理列式计算得到答案【详解】解：设BC=2x 在Rt △ABC 中∠C=90°∴∴AB=3x 由勾股定理得AC2+BC2=AB2即（2）2+（2x ）解析：6【分析】设BC=2x ，根据余弦的定义用x 表示出AB ，根据勾股定理列式计算，得到答案．【详解】解：设BC=2x ，在Rt △ABC 中，∠C=90°，2cos 3B =， ∴23BC AB =， ∴AB=3x ，由勾股定理得，AC 2+BC 2=AB 2，即（2+（2x ）2=（3x ）2，解得，x=2，∴AB=3x=6，故答案为：6．【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的余弦是解题的关键．19．米【分析】在Rt △ABC 中已知了坡面AB 的坡比是铅直高度BC 和水平宽度AC 的比值据此即可求解【详解】解：根据题意得：BC ：AC=1：解得：AC=BC=10（米）故答案为：10米【点睛】本题考查了解直解析：【分析】在Rt △ABC 中，已知了坡面AB 的坡比是铅直高度BC 和水平宽度AC 的比值，据此即可求解．【详解】解：根据题意得：BC ：AC=1解得：故答案为：【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，理解坡度坡角定义是关键． 20．3【分析】先证明得到再证明：四边形四边形为矩形得到所以只要求的最小值即可当时最小再利用锐角三角函数可得答案【详解】解：AB=BC=3∠A=∠C=90°由过点E 分别作ABBCCDAD 的垂线垂足分别为点解析：【分析】先证明,Rt ABD Rt CBD ≌得到60,30,ABD CBD GDE IDE ∠=∠=︒∠=∠=︒再证明：,FG HI =四边形,AFEG 四边形CHEI 为矩形，得到AE FG =，所以只要求AE 的最小值即可，当AE BD ⊥时，AE 最小，再利用锐角三角函数可得答案．【详解】 解： AB=BC=3，∠A=∠C=90°，,120,BD BD ABC =∠=︒,Rt ABD Rt CBD ∴≌60,30,ABD CBD GDE IDE ∴∠=∠=︒∠=∠=︒由过点E 分别作AB ，BC ，CD ，AD 的垂线，垂足分别为点F ，H ，I ，G ，,,EF EH EG EI ∴== 四边形,AFEG 四边形CHEI 为矩形，90,FEG HEI ∴∠=∠=︒,FEG HEI ∴≌∴ ,FG HI =当FG 最小，则FG HI +最小，四边形AFEG 为矩形，,AE FG ∴=所以：当AE BD ⊥时，AE 最小，3,60,AB ABE =∠=︒sin 60,AE AB∴︒=3AE ∴==所以：FG 的最小值是：2所以：FG HI +的最小值是：2=故答案为：【点睛】本题考查的是点到直线的距离垂线段最短，三角形全等的判定与性质，矩形的判定与性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．三、解答题21．（1）20元；（2）3或4【分析】（1）设每顶头盔应降价x 元，根据题意列出方程求解即可；（2）设每周扣除捐赠后可获得利润为w 元，每顶头盔售价a 元，根据题意列出函数求解即可；【详解】解：（1）设每顶头盔应降价x 元．根据题意，得(10020)(6840)4000x x +--=．解得123,20x x ==．当3x =时，68365-=；当20x 时，682048-=；每顶售价不高于58元，∴每顶头盔应降价20元．（2）设每周扣除捐赠后可获得利润为w 元，每顶头盔售价a 元，根据题意，得 [10020(68)](40)w a a m =+---220(202260)1460(40)a m a m =-++-+ 抛物线对称轴为直线1132m a +=，开口向下， 当58a 时，利润仍随售价的增大而增大，113582m +∴，解得3m ． 15,35m m <∴<． m 为整数，3m ∴=或4． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，结合一元二次方程的求解是解题的关键．22．（1）y ＝﹣x 2+2x +8；（2）当﹣2＜x ＜4时，y ＞0；（3）把抛物线y ＝﹣x 2+2x +8向下平移9个单位，抛物线与x 轴只有一个交点．【分析】（1）把A 点和B 点坐标分别代入y=-x 2+bx+c 得到关于b 、c 的方程组，然后解方程组即可；（2）根据函数图象直接得到答案；（3）先利用配方法得到抛物线的顶点坐标，然后把抛物线的平移问题转化为点的平移问题；【详解】解：（1）把A(﹣2，0)，B(4，0)代入y ＝﹣x 2+bx+c ，得4201640b c b c --+=⎧⎨-++=⎩， 解得28b c =⎧⎨=⎩， 抛物线解析式为y ＝﹣x 2+2x+8；（2）∵A(﹣2，0)，B(4，0)∴由图象知，当﹣2＜x ＜4时，y ＞0；（3）∵y ＝﹣x 2+2x+8＝﹣（x ﹣1）2+9，∴抛物线的顶点坐标为(1，9)，∴把抛物线y ＝﹣x 2+2x+8向下平移9个单位，抛物线与x 轴只有一个交点．【点睛】本题主要考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数图象与几何变换，待定系数法确定函数关系式等知识点，注意“数形结合”数学思想的应用；23．（1）20.10.60.9y x x =-++；（2）1.4米；（3）8个【分析】（1）已知抛物线解析式，求其中的待定系数，选定抛物线上两点E （1，1.4），B （6，0.9）坐标代入即可；（2）小明站在OD 之间，且离点O 的距离为3米，即OF=3，求当x=3时的函数值即可得出小明身高；将y=1.4代入解析式求出x 的值，再减去1即可得出答案；（3）求出y=1.4时x 的值，再用两者之间的差除以0.55，取整得出答案．【详解】解：（1）由题意得把点E （1，1.4），B （6，0.9），代入y=ax 2+bx+0.9得，0.9 1.43660.90.9a b a b ++=⎧⎨++=⎩， 解得0.10.6a b =-⎧⎨=⎩ ， ∴所求的抛物线的解析式是y=-0.1x 2+0.6x+0.9；（2）把x=3代入y=-0.1x 2+0.6x+0.9得：y=-0.1×32+0.6×3+0.9=1.8；1.8-0.4=1.4（米），∴小明的身高是1.4米；把y=1.4代入y=-0.1x 2+0.6x+0.9得-0.1x 2+0.6x+0.9=1.4，解得：x 1=1，x 2=5（舍），则3-1=2（米），此时小明向点O 方向走2米就能让绳子甩到最高处时绳子刚好通过他的头顶．（3）当y=1.4时，-0.1x 2+0.6x+0.9=1.4，解得x 1=1，x 2=5，∴5-1=4，∴4÷0.55≈7.27，∴最多可以8个同学一起玩．【点睛】本题考查了二次函数的应用及坐标的求法，此题为数学建模题，解题的关键是注意审题，将实际问题转化为求函数最值问题，培养自己利用数学知识解答实际问题的能力． 24．102【分析】作BD AC ⊥，根据题意求出AB ，根据直角三角形的性质求出BD ，再根据正弦的定义求出BC ；【详解】作BD AC ⊥，由题意可得30CAB ∠=︒，105ABC ∠=︒，160203AB =⨯=（海里）， ∴1803010545C ∠=︒-︒-︒=︒，在Rt △ABD 中，30CAB ∠=︒，∴1102BD AB ==， 在Rt △CBD 中，45C ∠=︒， ∴102sin BDBC C ==∠；∴船与小岛之间的距离BC 的长为102海里．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，准确计算是解题的关键．25．（1）此时点A 到港口C 的距离为403海里；（2）此时该渔船的航行距离为(60203)-海里．【分析】（1）延长BA ，过点C 作CD ⊥BA 延长线与点D ，由直角三角形的性质和锐角三角函数的定义求出AC 即可；（2）过点A′作A′N ⊥BC 于点N ，由（1）得：CD=60海里，403AC =海里，证出A′B 平分∠CBA ，得A'E=A'N ，设AA′=x ，则AE=12AA'，A'N=A′E=3AE=32x ，证出A'C=2A'N=3x ，由题意得出方程，解方程即可．【详解】（1）如图所示：延长BA ，过点C 作CD BA ⊥延长线与点D ，由题意可得：30CBD ∠=︒，120BC =海里，则6201CD BC ==海里， 3cos cos30CD ACD AC ∠==︒= 即603AC =403AC ∴=即此时点A 到港口C 的距离为3（2）过点A′作A′N ⊥BC 于点N ，如图：由（1）得：CD=60海里，3∵A'E ∥CD ，∴∠AA'E=∠ACD=30°，∴∠BA′A=45°，∵∠BA'E=75°，∴∠ABA'=15°，∴∠2=15°=∠ABA'，即A′B 平分∠CBA ，∴A'E=A'N ，设AA′=x ，则AE=12AA'，， ∵∠1=60°-30°=30°，A'N ⊥BC ，∴x ，∵A'C+AA'=AC ， ∴，解得：∴AA'=（答：此时渔船的航行距离为（答：此时该渔船的航行距离为(60-海里．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义． 26．（1）x 1＝6，x 2＝﹣2；（2）1【分析】（1）采用分解因式法解方程；（2）将特殊角度的三角函数值代入计算即可.【详解】解：（1）x 2﹣4x ﹣12＝0，（x ﹣6）（x +2）＝0，x ﹣6＝0或x +2＝0，所以x 1＝6，x 2＝﹣2；（2）原式＝1122， 13=22+， ＝1．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，特殊三角函数值的计算，掌握一元二次方程的解法，特殊三角函数值的计算，熟记特殊角度的三角函数值是关键．。
【浙教版】初三数学下期中试题(附答案) (4)
一、选择题1．疫情防控，我们一直在坚守．某居委会组织两个检查组，分别对“居民体温”和“居民安全出行”的情况进行抽查．若这两个检查组在辖区内的某三个校区中各自随机抽取一个小区进行检查，则他们恰好抽到同一个小区的概率是（）A．13B．49C．19D．232．典典、诺诺、悦悦三人参加学校的“幸运就是我”节目．幸运的是，她们都得到了一件精美的礼物．其过程是这样的：墙上挂着两串礼物（如下图），每次只能从其中一串的最下端取一件，直到礼物取完为止．典典第一个取得礼物，然后诺诺、悦悦依次取得第2件、第3件礼物．事后她们打开这些礼物品仔细比较发现礼物B最精美，那么取得礼物B可能性最大的是（）A．典典B．诺诺C．悦悦D．无法确定3．从2，cos45°，π，0，17五个数中，随机抽取一个数，抽到无理数的概率是（）A．15B．25C．35D．454．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共40个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中黄球的个数最有可能是（）A．10 B．15 C．20 D．305．将一个正方形剪成①、②、③、④四块（如图1），恰能拼成如图2的矩形，若1a=，则这个正方形的面积为（）A．512B．512C．9 D．7352+6．关于x的一元二次方程2430x x-+=的实数根有（）A．0个B．1个C．2个D．3个7．某养殖户的养殖成本逐年增长，已知第1年的养殖成本为10万元，第3年的养殖成本为16万元，设每年平均增长的百分率为x，则下面所列方程中正确的是（）A ．10（1﹣x ）2=16B ．16（1﹣x ）2=10C ．16（1+x ）2=10D ．10（1+x ）2=168．用配方法解一元二次方程29190x x -+=，配方后的方程为（ ）A ．29524x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ B ．29524x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭C ．()2962x -=D ．()2962x +=9．如图，在平面直角坐标系中，将边长为a 的正方形OABC 绕点O 顺时针旋转45︒后得到正方形111OA B C ，依此方式连续旋转2021次得到正方形202120212021OA B C ，那么点2021A 的坐标是（ ）A ．22,22a a ⎛⎫⎪⎝⎭B ．22,22a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．22,22a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．22,22a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 10．顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，所得到的四边形一定是（ ） A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．以上都不对11．如图， 菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，连接OE ．若OB =6，菱形ABCD 的面积为54，则OE 的长为（ ）A ．4B ．4.5C ．8D ．912．如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 的中点，EBC ∠的平分线交CD 于点F ，将DEF 沿EF 折叠，点D 恰好落在BE 上M 点处，延长BC 、EF 交于点N ．有下列四个结论：① DF CF =；②BF EN ⊥；③BEN 是等边三角形；④3BEF DEF S S =△△． 其中，将正确结论的序号全部选对的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④二、填空题13．布袋中有2个红球．3个黄球，每一个球除颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球是黄球的概率是__________．14．如图，在43⨯的矩形方框内有一个不规则的区城A （图中阴影部分所示），小明同学用随机的办法求区域A 的面积．若每次在矩形内随机产生10000个点，并记录落在区域A 内的点的个数，经过多次试验，计算出落在区域A 内点的个数的平均值为6700个，则区域A 的面积约为___________．15．设12,x x 是一元二次方程2750x x --=的两个实数根，则实数1211+x x 的值为____． 16．在实数范围内分解因式:231x x -+=_______________________．17．在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m ，设雕像下部高为m x ，则可得到方程______．18．如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，30ACB ∠=︒，8AB =，点P 为BC 上任意一点，连接PA ，以PA ，PC 为邻边作平行四边形PAQC ，连接PQ ，则PQ 的最小值为______．19．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，H 为BC 中点，AC ＝6，BD ＝8，则线段OH 的长为_____．20．如图，平面直角坐标系中有一正方形OABC ，点C 的坐标为()2,1--点B 坐标为________．三、解答题21．小辉和小聪两人在玩转盘游戏时，把一个可以自由转动的转盘A 分成3等份的扇形区域，把转盘B 分成2等份的扇形区域，并在每一小区域内标上数字（如图所示），游戏规则：同时转动两个转盘，当两转盘停止后，若指针所指两个区域的数字之和为2的倍数，则小辉获胜：若指针所指两个区域的数字之和为3的倍数，则小聪获胜，如果指针落在分割线上，则需要重新转动转盘．（1）请用画树状图或列表法的方法表示出所有可能的结果．（2）在这个游戏中，小辉、小聪两人获胜的概率分别是多少？该游戏规则对双方公平吗？ 22．4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品．在这4件产品中加入x 件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，由此可以推算出x 的值大约是多少？ 23．如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如，一元二次方程x 2+x ＝0的两个根是x 1＝0，x 2＝﹣1，则方程x 2+x ＝0是“邻根方程”； （1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”． ①x 2﹣x ﹣12＝0； ②x 2﹣9x +20＝0；（2）已知关于x 的方程x 2+（m ﹣1）x ﹣m ＝0（m 是常数）是“邻根方程”，求m 的值． 24．如果关于x 的一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 有两个实数根、且其中一个根比另一个根大 1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如、一元二次方程20x x +=的两个根是120,1x x ==-，则方程20x x +=是“邻根方程”．通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”： （1）260x x --=； （2）222310x x -+=．25．如图1，长方形ABCD 中，8AB cm =，6BC cm =，点P 从点A 出发，以每秒1cm 的速度沿折线A B →C D →→运动，设点P 运动的时间为t （秒），ADP △的面积为()2y cm ，图2是y 关于t 的部分图象．（1）填写下列表格：t … 2 5 10 14 20 … y…6_____24____________…y （3）当ADP △的面积超过15时，求点P 运动的时间t 的取值范围． 26．如图，在ABC 中，90ACB ︒∠=，30B ，CE 垂直于AB 于点E ，D 是AB的中点．（1）求证：AE ED=；（2）若2AC=，求DE的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】将三个小区分别记为A、B、C，列举出所有等情况数和他们恰好抽到同一个小区的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【详解】将三个小区分别记为A、B、C，根据题意列表如下：A B CA（A，A）（B，A）（C，A）B（A，B）（B，B）（C，B）C（A，C）（B，C）（C，C）所以他们恰好抽到同一个小区的概率为31 = 93.故选：A．【点睛】此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．2．C解析：C【分析】因为数量不多，所以可直接列举出所有情况，比较得到B的可能性即可．【详解】解：∵取得礼物共有三种情况：（1）典典A ，诺诺B ，悦悦C ；（2）典典C ，诺诺A ，悦悦B ；（3）典典A ，诺诺C ，悦悦B ．∴典典取得礼物B 的概率=0；诺诺取得礼物B 的概率1=3；悦悦取得礼物B 的概率2=3∴悦悦取得礼物B 可能性最大 故选：C ． 【点睛】本题考查随机事件发生的可能性，当数量不大时可直接列举出所有的情况，当数量比较大时通常都会用列表法或是树状图来列举．3．C解析：C 【分析】先确定这5个数中无理数的个数，再利用概率公式计算得出答案． 【详解】∵cos45°=2是无理数， ∴，cos45°，π，0，17，cos45°，π，共3个， ∴，cos45°，π，0，17五个数中，随机抽取一个数，抽到无理数的概率是35. 故选C. 【点睛】此题主要考查了概率公式，正确得出无理数的个数是解题关键．4．D解析：D 【分析】设袋子中红球有x 个，根据摸出红球的频率稳定在0.25左右列出关于x 的方程，求出x 的值，从而得出答案． 【详解】解：设袋子中红球有x 个，根据题意，得：40x=0.25， 解得x=10，∴袋子中红球的个数最有可能是10个，黄球有40-10=30（个） 故选：D ． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．5．D解析：D 【分析】从图中可以看出，正方形的边长＝a ＋b ，所以面积＝（a ＋b ）2，矩形的长和宽分别是a ＋2b ，b ，面积＝b （a ＋2b ），两图形面积相等，列出方程得＝（a ＋b ）2＝b （a ＋2b ），其中a ＝1，求b 的值，即可求得正方形的面积． 【详解】解：根据图形和题意可得：（a ＋b ）2＝b （a ＋2b ），其中a ＝1，则方程是（1＋b ）2＝b （1＋2b ），解得：b ，∴正方形的面积为（1＋2）2． 故选：D ． 【点睛】此题主要考查了图形的剪拼，本题的关键是从两图形中，找到两图形的边长的值，然后利用面积相等列出等式求方程，解得b 的值，从而求出边长，求面积．6．C解析：C 【分析】根据一元二次方程根的判别式判断即可． 【详解】解：一元二次方程2430x x -+=的根的判别式为： b 2-4ac=（-4）2-4×3×1=4>0， 所以，方程有两个不相等的实数根， 故选：C ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，求出根的判别式的值是解题关键．7．D解析：D 【分析】根据第一年的养殖成本×(1+平均年增长率)2=第三年的养殖成本，列出方程即可． 【详解】设增长率为x ，根据题意得210(1)16x +=．故选：D ． 【点睛】本题考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为2(1)a x b ±=．（当增长时中间的“±”号选“+”，当下降时中间的“±”号选“-”）．8．A解析：A 【分析】两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得到答案. 【详解】∵29190x x -+=， ∴2919x x -=-， 则2818191944x x -+=-+， 即29524x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 故选：A. 【点睛】此题考查配方法解一元二次方程，掌握配方法的计算方法是解题的关键.9．C解析：C 【分析】由正方形的性质和旋转的性质探究规律，利用规律解决问题即可． 【详解】解：∵四边形OABC 是正方形，且OA=1，∴A （0，a ），∵将正方形OABC 绕点O 顺时针旋转45°后得到正方形OA 1B 1C 1， ∴A 122,)22a a ，A 2（a ，0），A 322,)22a a ，A 4（0，-a ）…， 发现是8次一循环， ∵2021÷8=252…5，∴点A 2021的坐标为22,22a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故选：C．【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．10．B解析：B【分析】根据三角形中位线的性质，可得到这个四边形是平行四边形，再由对角线垂直，能证出有一个角等于90°，则这个四边形为矩形；【详解】如图，AC⊥BD，E、F、G、H分别为各边的中点，连接点E、F、G、H，∵点E、F、G、H，分别为各边的中点，∴EF∥AC，GH∥AC，EH∥BD，FG∥BD，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AC⊥BD，EF∥AC，EH∥BD，∴∠EMO=∠ENO=90°，∴四边形EMON是矩形，∴∠MEN=90°，∴四边形EFGH是矩形；故选：B．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质、平行四边形的判定以及矩形的判定方法，正确掌握知识点是解题的关键．11．B解析：B【分析】由菱形的性质得出BD＝12，由菱形的面积得出AC＝9，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD＝1BD，BD⊥AC，2∴BD＝2OB＝12，∵S菱形ABCD═1AC×BD＝54，2∴AC＝9，∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴OE＝1AC＝4.5，2故选：B．【点睛】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．12．B解析：B【分析】由折叠的性质、矩形的性质与角平分线的性质，可证得CF＝FM＝DF，即可判断①；易求得∠BFE＝∠BFN，则可得BF⊥EN，即可判断②；易证得△BEN是等腰三角形，但无法判定是等边三角形，即可判断③；易求得BM＝2EM＝2DE，即可得EB＝3EM，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，即可判断④．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠BCD＝90°，DF＝MF，由折叠的性质可得：∠EMF＝∠D＝90°，即FM⊥BE，CF⊥BC，∵BF平分∠EBC，∴CF＝MF，∴DF＝CF；故①正确；∵∠BFM＝90°−∠EBF，∠BFC＝90°−∠CBF，∴∠BFM＝∠BFC，∵∠MFE＝∠DFE＝∠CFN，∴∠BFE＝∠BFN，∵∠BFE＋∠BFN＝180°，∴∠BFE＝90°，即BF⊥EN，故②正确；∵在△DEF和△CNF中，90D FCN DF CFDFE CFN ∠∠︒⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝＝ ∴△DEF ≌△CNF （ASA ），∴EF ＝FN ，∴BF 垂直平分EN ，∴BE ＝BN ，假设△BEN 是等边三角形，则∠EBN ＝60°，∠EBA ＝30°，则AE ＝12BE ， 又∵AE ＝12AD ，则AD ＝BC ＝BE ， 而明显BE ＝BN ＞BC ，∴△BEN 不是等边三角形；故③错误；∵∠BFM ＝∠BFC ，BM ⊥FM ，BC ⊥CF ，∴BM ＝BC ＝AD ＝2DE ＝2EM ，∴BE ＝3EM ，∴S △BEF ＝3S △EMF ＝3S △DEF ；故④正确．故选：B ．【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．二、填空题13．【分析】直接根据概率公式求解【详解】∵袋中有2个红球3个黄球共有5个球∴从袋中任意摸出一个球是黄球的概率是故答案为：【点睛】本题考查了概率公式随机事件A 的概率P （A ）＝事件A 可能出现的结果数除以所有 解析：35【分析】直接根据概率公式求解．【详解】∵袋中有2个红球、3个黄球，共有5个球，∴从袋中任意摸出一个球是黄球的概率是35． 故答案为：35．【点睛】本题考查了概率公式，随机事件A 的概率P （A ）＝事件A 可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．14．04【分析】先利用古典概型的概率公式求概率再求区域A 的面积的估计值【详解】解：由题意∵在矩形内随机产生10000个点落在区域A 内点的个数平均值为6700个∴概率P=∵4×3的矩形面积为12∴区域A 的解析：04【分析】先利用古典概型的概率公式求概率，再求区域A 的面积的估计值．【详解】解：由题意，∵在矩形内随机产生10000个点，落在区域A 内点的个数平均值为6700个，∴概率P=67000.6710000=， ∵4×3的矩形面积为12， ∴区域A 的面积的估计值为：0.67×12=8.04；故答案为：8.04；【点睛】本题考查古典概型概率公式，考查学生的计算能力，属于中档题．15．【分析】根据根的判别式变形计算即可；【详解】∵是一元二次方程的两个实数根∴∴；故答案是：【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系准确计算是解题的关键 解析：75- 【分析】根据根的判别式变形计算即可；【详解】∵12,x x 是一元二次方程2750x x --=的两个实数根， ∴127b x x a +=-=，125c x x a ==-， ∴2112121175x x x x x x ++==-； 故答案是：75-． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，准确计算是解题的关键．16．【分析】先解方程0然后把已知的多项式写成的形式即可【详解】解：解方程0得∴故答案为：【点睛】本题考查了利用解一元二次方程分解因式掌握解答的方法是解题的关键解析：3322x x ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】先解方程231x x -+=0，然后把已知的多项式写成()()12a x x x x --的形式即可．【详解】解：解方程231x x -+=0，得12x x ==，∴2333122x x x x ⎛-+=-- ⎝⎭⎝⎭．故答案为：x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题考查了利用解一元二次方程分解因式，掌握解答的方法是解题的关键．17．【分析】根据雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比等于下部与全部（全身）的高度比列方程整理为整式方程即可【详解】设雕像下部高为则可得到方程：整理得：故答案为：【点睛】此题考查一元二次方程的实际 解析：2240x x +-=【分析】根据雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，列方程22x x x -=，整理为整式方程即可． 【详解】设雕像下部高为m x ，则可得到方程：22x x x -=， 整理得：2240x x +-=，故答案为：2240x x +-=．【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 18．【分析】设PQ 与AC 交于点O 作OP′⊥BC 于P′首先求出OP′当P 与P′重合时PQ 的值最小PQ 的最小值=2OP′【详解】解：设PQ 与AC 交于点O 作OP′⊥BC 于P′如图所示：在Rt △ABC 中∠ACB解析：【分析】设PQ 与AC 交于点O ，作OP ′⊥BC 于P ′．首先求出OP ′，当P 与P ′重合时，PQ 的值最小，PQ 的最小值=2OP ′．解：设PQ 与AC 交于点O ，作OP ′⊥BC 于P ′．如图所示：在Rt △ABC 中，∠ACB =30°，∴BC =2AB =16，AC =3AB =83，∵四边形PAQC 是平行四边形，∴OA =OC =43，∵OP ′⊥BC ，∠ACB =30°，∴OP '=12OC =23， 当P 与P ′重合时，OP 的值最小，则PQ 的值最小，∴PQ 的最小值=2OP ′=43，故答案为：43．【点睛】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质以及垂线段最短的性质，判断出PQ 的值最小时的情况是解题的关键．19．5【分析】先根据菱形的性质得到AC ⊥BDOB ＝OD ＝BD ＝4OC ＝OA ＝AC ＝3再利用勾股定理计算出BC 然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到OH 的长【详解】∵四边形ABCD 为菱形AC ＝6BD ＝8∴解析：5【分析】先根据菱形的性质得到AC ⊥BD ，OB ＝OD ＝12BD ＝4，OC ＝OA ＝12AC ＝3，再利用勾股定理计算出BC ，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到OH 的长．【详解】∵四边形ABCD 为菱形，AC ＝6，BD ＝8，∴AC ⊥BD ，OB ＝OD ＝12BD ＝4，OC ＝OA ＝12AC ＝3， 在Rt △BOC 中，BC 22OB OC +2243+5，∵H 为BC 中点，∴OH ＝12BC ＝2.5． 故答案为：2.5．本题考查菱形的性质、勾股定理及直角三角形斜边中线的性质，菱形的对角线互相垂直且平分；直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；熟练掌握相关性质是解题关键． 20．【分析】过点作轴于过点作轴过点作交CE 的延长线于先证明得到根据点的坐标定义即可求解【详解】解：如图过点作轴于过点作轴过点作交CE 的延长线于四边形是正方形易求又∴点的坐标为点到轴的距离为点的坐标为故答 解析：()3,1-【分析】过点A 作AD y ⊥轴于D ，过点C 作CE x ⊥轴，过点B 作BF CE ⊥交CE 的延长线于F ．先证明AOD COE BCF ∆∆∆≌≌，得到1AD CE BF ===，2OD OE CF ===，根据点的坐标定义即可求解．【详解】解：如图，过点A 作AD y ⊥轴于D ，过点C 作CE x ⊥轴，过点B 作BF CE ⊥交CE 的延长线于F ．()2,1C --，2OE ∴=，1CE =．四边形OABC 是正方形，OA OC BC ∴==．易求AOD COE BCF ∠=∠=∠．又90ODA OEC F ∠=∠=∠=︒∴AOD COE BCF ∆∆∆≌≌，1AD CE BF ∴===，2OD OE CF ===，∴点A 的坐标为()1,2-，211EF =-=，点B 到y 轴的距离为123+=，∴点B 的坐标为()3,1-．故答案为：()3,1-【点睛】本题考查了平面直角坐标系点的坐标，全等三角形的判定与性质，根据题意，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．三、解答题21．（1）见解析；（2）小辉获胜的概率为12，小聪获胜的概率为13，该游戏规则对双方不公平．【分析】（1）根据题目中两个转盘的数字及游戏规则，即可画出树状图；（2）根据树状图展示所有等可能的结果数6种，计算出小辉获胜的概率和小聪获胜的概率，然后通过比较概率的大小判断该游戏规则对双方是否公平．【详解】解：（1）画树状图为：（2）根据树状图，共有6种等可能的结果数，其中数字和为2的倍数有3种，数字和为3的倍数有2种，∴小辉获胜的概率＝3162=，小聪获胜的概率＝21 63 =，∵12＞13，∴该游戏规则对双方不公平．【点睛】本题考查了概率的应用，掌握树状图或列表法计算出概率并利用概率进行判断是解答此题的关键．22．x的值大约是16【分析】根据频率估计出概率，利用概率公式列式计算即可求得x的值．【详解】解：由题意，得30.954xx+=+，解得16x=．经检验，16x=是分式方程的解．答：x的值大约是16．【点睛】本题考查了用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中事件发生的频率可以估计概率．23．(1)②是“邻根方程”,(2) m ＝0或﹣2【分析】（1）解方程求得方程的根即可判断；（2）解方程得x ＝﹣m 或x ＝1，根据题意﹣m ＝1+1或﹣m ＝1﹣1，解得m ＝0或﹣2．【详解】解：（1）①分解因式得：（x ﹣4）（x +3）＝0，解得：x ＝4或x ＝﹣3，∵4≠﹣3+1，∴x 2﹣x ﹣12＝0不是“邻根方程”；②分解因式得：（x ﹣4）（x ﹣5）＝0，解得：x ＝4或x ＝5，∵5＝4+1，∴x 2﹣9x +20＝0是“邻根方程”；（2）分解因式得：（x +m ）（x ﹣1）＝0，解得：x ＝﹣m 或x ＝1，∵方程程x 2+（m ﹣1）x ﹣m ＝0（m 是常数）是“邻根方程，∴﹣m ＝1+1或﹣m ＝1﹣1，∴m ＝0或﹣2．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣﹣因式分解法，“邻根方程”的定义，熟练掌握因式分解法是解题的关键．24．（1）不是；（2）是．【分析】（1）求出方程解，然后根据“邻根方程”的定义进行判定；（2）求出方程解，然后根据“邻根方程”的定义进行判定．【详解】解：（1）260x x --=，解得13x =，22x =-，∵125x x -=，不符合邻根方程的定义∴260x x --=不是邻根方程．（2）2210x -+=，解得1x =，2x = ∴121x x -=∴符合邻根方程的定义 ∴2210x -+=是邻根方程．【点睛】本题主要考查了一元二次方程解法．理解题意，掌握“邻根方程”的定义是关键．25．（1）15，24，6；（2）见详解；（3）517t <<．【分析】（1）根据点P 的位置，利用三角形面积公式写出y 与t 的函数关系，把表中t 的值代入求解即可；（2）根据（1）中所得y 与t 的函数关系，在自变量t 取值范围内画出图像即可； （3）把15y =代入到y 与t 的函数关系式， t 即可求出t 的取值范围．【详解】解：在矩形ABCD 中，8AB =，6BC =，8,6CD AB AD BC ∴====，（1）当点P 在AB 上，即 08t ≤≤ 时，AP t = ，12APD S AP AD=△， 1632y t t ∴=⨯=， ∴当5t =时，156152y =⨯⨯=， 当点P 在BC 上，即814t <≤时，12ADP S AD AB =△， 168242y ∴=⨯⨯=， ∴当14t =时，24y =，当点P 在CD 上，即1422t <≤时，22DP t =- ，12ADP S AD DP =△ ， ∴ 当20t =时，()1622663666062y t t =⨯⨯-=-=-=， 故答案为：15，24，6；（2）由（1）知：()()()308248143661422t t y t t t ≤≤⎧⎪=<≤⎨⎪-+<≤⎩， 画出y 与t 的图像，如图2所示（3）把15y =代入3y t =，得5t =，把15y =代入663y t =- 得，15663t =- ，解得17t =，∴当ADP △的面积超过15时，点P 运动的时间t 的取值范围为：517t <<．【点睛】本题考查了矩形的性质，一次函数的应用，一次函数的图像，解答本题时注意分类讨论思想、数形结合思想、方程思想的运用．26．（1）见解析；（2）１．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线性质解得CD=BD ，得到30DCB B ==︒∠∠，继而得到60ADC A ∠=∠=︒再根据等腰三角形的判定推出AC=CD ，最后根据等腰三角形的性质解题；（2）先解得30ACE ∠=︒，根据含30°角的直角三角形的性质解得AE 的长，即可解题．【详解】（1）证明：在ABC 中，90ACB ︒∠=，D 是AB 的中点，12CD AD BD AB ∴=== DCB B ∴∠=∠30,90B ACB ∠=︒∠=︒30,180903060DCB A ∴∠=︒∠=︒-︒-︒=︒60ADC B DCB ∴∠=∠+∠=︒A ADC ∴∠=∠AC DC ∴=CE 垂直AB 于点EAE ED ∴=；（2）CE AB ⊥90AEC ∴∠=︒60A ∠=︒30ACE ∴∠=︒12AE AC ∴= 2,AC AE DE ==1DE AE ∴==．【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边的中线、含30°角的直角三角形、三角形外角的性质、三角形内角和定理等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．。
【浙教版】九年级数学下期中试卷(带答案)
一、选择题1．如图，Rt △ABC 中，AC ＝BC ＝2，正方形CDEF 的顶点D 、F 分别在AC 、BC 边上，设CD 的长度为x ，△ABC 与正方形CDEF 重叠部分的面积为y ，则下列图象中能表示y 与x 之间的函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．对于二次函数2y x bx c =++(b ，c 是常数）中自变量x 与函数y 的部分对应值如下表：x1- 0 1 2 34 y10 52 125A ．函数图像开口向上B ．当5x =时，10y =C ．当2x >时，y 随x 的增大而增大．D ．方程20x bx c ++=有两个不相等的实数根3．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图，给出下列四个结论：①20ac b -<；②320b c +<；③()m am b b a ++≤；④22()a c b +<；其中正确结论的个数有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 4．抛物线221y x =--的顶点坐标是（ ）A ．(2,1)--B ．(2,1)C ．(0,1)-D ．(0,1)5．已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数0a ≠，1c >）经过点(2,0)，其对称轴是直线12x =．有下列结论：①0abc >；②关于x 的方程20ax bx c ++=有两个不等的实数根；③12a <-．其中正确结论的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．36．已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，若方程20ax bx c ++=的两个根为11x =，25x =-，下列结论中：①0bc >；②4b a =；③0a b c -+>；④540b c +=．其中所有正确的结论有（ ）A ．①②B ．③④C ．②③④D ．②③7．如图，在平面直角坐标系中，点A 坐标为()3,4，那么cos α的值是（ ）A ．34B ．43C ．35D ．458．在Rt △ABC 中，若∠C=90°，BC=2AC ，则cosA 的值为（ ）A ．12B ．32 C ．25D ．5 9．cos60︒的值是（ ） A ．12B ．33C ．32D ．310．在ABC 中，90,13,12C AB BC ∠=︒==，则sin B 的值为（ ） A ．1213B ．512C ．513D ．13511．如图，△ABC 、△FED 区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB 与地面BE 的央角∠PBE ＝43°，视线PE 与地面BE 的夹角∠PEB ＝20°，点A ，F 为视线与车窗底端的交点，AF //BE ，AC ⊥BE ，FD ⊥BE ．若A 点到B 点的距离AB ＝1.6m ，则盲区中DE 的长度是（ ）（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4）A ．2.6mB ．2.8mC ．3.4mD ．4.5m12．tan60︒的值为( ) A ．33B ．23C 3D 2二、填空题13．在平面直角坐标系中，函数21y ax bx c =++，2y ax b =+，3y ax c =+，其中a ，b ，c 为常数，且a<0，函数1y 的图象经过点A （1，0），B （1x ，0），且满足143x -<<-，函数y 2的图象经过点（x 2，0）；函数y 3的图象经过点（x 3，0），若2311m x m n x n <<+<<+，，且m ，n 是整数，则m=_______；n=________．14．当x ＞m 时，二次函数y ＝﹣x 2+3x 的函数值y 随x 的增大而减小，则实数m 的取值范围是_____．15．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的自变量x 与函数值y 之间满足下列数量关系：x0 1 2 3 y75713则代数式的值为_______．16．将抛物线2y x =-先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式是______．17．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A 和C 分别在x 轴和y 轴上，点B的坐标为(8,10)，点E 为边BC 上一动点，连接OE ，将OCE △沿OE 折叠，点C 落在点C '处，当C CB '△为直角三角形时，直线OC '的解析式为__________．18．如图1，动点P 从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿A C D →→以1/cm s 的速度运动到点D 停止．设点P 的运动时间为(),x s PAB 的面积为()2y cm．表示y 与x 的函数关系的图象如图2所示，则a 的值为________________________．19．如图，四边形ABCD 中，AB=BC=3，∠A=∠C=90°，∠ABC=120°，点E 是对角线BD 上的一个动点，过点E 分别作AB ，BC ，CD ，AD 的垂线，垂足分别为点F ，H ，I ，G ，连结FG 和HI ，则FG+HI 的最小值为________．20．已知：等边△ABC ，点P 是直线BC 上一点，且PC:BC=1:4,则tan ∠APB=_______，三、解答题21．如图，直线y x m =+和抛物线2y x bx c =++都经过点A (1，0)，B (3，2)． （1）求m 的值；（2）求不等式2x bx c x m ++>+的解集（直接写出答案）．22．如图，在平面直角坐标系中，已知AOB ，90AOB ∠=︒，AO BO =，点A 的坐标为()3,1-．（1）求点B 的坐标．（2）求过点A ，O ，B 的二次函数的表达式．（3）设点B 关于二次函数的对称轴l 的对称点为1B ，求1AB B 的面积．23．如图，一农户要建一矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m 的住房墙，另外三边用27m 长的建筑材料围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m 宽的门．所围成矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍的面积最大，最大面积是多少？24．按要求完成下列各小题： （1）解方程：()2549x +=（2）计算：2sin 30cos 603tan 30+-25．如图，某高为16.5米的建筑物AB 楼顶上有一避雷针BC ，在此建筑物前方E 处安置了一高度为1.5米的测倾器DE ，测得避雷针顶端的仰角为45°，避雷针底部的仰角为37°，求避雷针BC 的长度．（参考数据： sin370≈0.60，cos370≈0.80，tan370≈0.75）26．（1）计算：()()01tan 30tan 60cos57sin 45tan 302sin 60-︒︒+︒-︒-︒+︒； （2）用配方法解方程：2820x x +-=．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】分类讨论：当0＜x≤1时，根据正方形的面积公式得到2yx ；当1＜x≤2时，ED 交AB 于M ，EF 交AB 于N ，利用重叠的面积等于正方形的面积减去△MNE 的面积得到()2221y x x =--，配方得到()222y x =--+，然后根据二次函数的性质对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：当0＜x≤1时，2yx ，当1＜x≤2时，ED 交AB 于M ，EF 交AB 于N ，如图，CD=x ，则2AD x =-， ∵Rt △ABC 中，AC=BC=2，∴△ADM 为等腰直角三角形， ∴2DM x =-，∴()222EM x x x =--=-， ∴S △ENM ()()22122212x x =-=-， ()()2222214222y x x x x x =--=-+-=--+∴()()()22012212y x x y x x ⎧=≤⎪⎨=--+≤⎪⎩﹤﹤， 故选：A ． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象：通过看图获取信息，考查学生问题分析能力，解题的关键是分两种情况考虑：当0＜x≤1和当1＜x≤2．2．D解析：D 【分析】根据表格中的数据和二次函数图象具有对称性即可判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由表格可得，当x ＜2时，y 随x 的值增大而减小；当x ＞2时，y 随x 的值增大而增大，该函数开口向上，故选项A 、C 不符合题意； ∴点（−1，10）的对称点是（5，10），∴点（5，10）在该函数的图象上，故选项B 不符合题意；由表格可得，该抛物线开口向上，且最小值是1，则该抛物线与x 轴没有交点， ∴方程20x bx c ++=无实数根，故选项D 符合题意． 故选：D ． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．3．D解析：D 【分析】利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要根据图形，逐一判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下，所以a<0，与y 轴交于正半轴，所以c ＞0， ∴ac<0，∵b²≥0，∴20ac b -<，∴①正确； ∵把x=1代入抛物线得：y=a+b+c ＜0， ∴2a+2b+2c ＜0，∵-2ba -=-1， ∴b=2a ，∴3b+2c ＜0，∴②正确； ∵抛物线的对称轴是直线x=-1， ∴y=a-b+c 的值最大，即把x=m 代入得：y=am 2+bm+c≤a -b+c ， ∴am 2+bm+b≤a ，即m （am+b ）+b≤a ，∴③正确； ∵a+b+c ＜0，a-b+c ＞0， ∴（a+c+b ）（a+c-b ）＜0， 则（a+c ）2-b 2＜0， 即（a+c ）2＜b 2，故④正确； 故选：D ． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特殊点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程ax 2+bx+c=0的解的方法，同时注意特殊点的运用．4．C解析：C 【分析】根据题目中的函数解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标． 【详解】 解：∵y=-2x 2-1，∴该抛物线的顶点坐标为（0，-1）， 故选：C ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次和函数的性质解答．5．C解析：C 【分析】由二次函数的对称性及题意可得该抛物线与x 轴的另一个交点坐标为()1,0-，进而可得抛物线的开口方向向下，则有a 0,b 0,c 0<>>，然后根据二次函数的性质可进行排除选项． 【详解】解：∵抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数0a ≠，1c >）经过点(2,0)，其对称轴是直线12x =， ∴抛物线与x 轴的另一个交点的横坐标为12212⨯-=-， ∴该点坐标为()1,0-，∴抛物线的开口方向向下，即0a <， 根据“左同右异”可得0b >， ∴0abc <，故①错误；∴令y=0，则关于x 的方程20ax bx c ++=的解为：122,1x x ==-，故②正确； 根据根与系数的关系可得122cx x a==-， ∴21c a =->，解得12a <-，故③正确； ∴正确的个数有2个； 故选C ． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．6．C解析：C 【分析】由方程20ax bx c ++=的两个根为11x =，25x =-方程变为2450ax ax a +-=，比较系数得4=5b a c a =-，，①()245200bc a a a =⋅-=-<，故①不正确，②4b a =正确，③80a b c a -+=->③正确，④54b c +换成a 计算即可确定④正确． 【详解】解：二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象开口向下，0a <，∵方程20ax bx c ++=的两个根为11x =，25x =-， ∴()()150a x x -+=， ∴2450ax ax a +-=， 比较系数得：4=5b a c a =-，，①()245200bc a a a =⋅-=-<，故①不正确，②4b a =正确，③4580a b c a a a a -+=--=->，③正确，④()54=544520200b c a a a a +⨯+⨯-=-=，④正确． 故选择：C ．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数关系，二次函数的性质，掌握一元二次方程的根与系数关系，二次函数的性质，解题关键是找出b,c 与a 的关系．7．C解析：C 【分析】作AB ⊥x 轴于B ，先利用勾股定理计算出OA ＝5，然后在Rt △AOB 中利用余弦的定义求解即可． 【详解】解：作AB ⊥x 轴于B ，如图， ∵点A 的坐标为（3，4）， ∴OB ＝3，AB ＝4， ∴OA ＝2234+＝5， 在Rt △AOB 中，cosα＝35OB OA =． 故选：C ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、坐标与图形性质、勾股定理等知识；熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．8．D解析：D 【分析】设AC=k ，则BC=2k ，5k ，根据三角函数的定义计算即可. 【详解】如图，设AC=k ，则BC=2k ，根据勾股定理，得22AC BC +5k ，∴cosA=5AC AB k =5， 故选D.【点睛】本题考查了锐角三角函数，熟记三角函数的定义，并灵活运用勾股定理是解题的关键. 9．A解析：A【分析】根据特殊角三角函数值直接判断即可．【详解】解：∵1cos 60=2︒， 故选：A ．【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 10．C解析：C【分析】先根据勾股定理求得AC ，再根据正弦的定义求解即可；【详解】∵在ABC 中，90C ∠=︒，13AB =,12BC =， ∴2213125AC =-=， ∴5sin 13AC B AB ==； 故答案选C ．【点睛】本题主要考查了勾股定理与解直角三角形，准确理解计算是解题的关键．11．B解析：B【分析】首先证明四边形ACDF是矩形，利用∠PBE的正弦值可求出AC的长，即可得DF的长，利用∠PEB的正切值即可得答案．【详解】∵FD⊥AB，AC⊥EB，∴DF∥AC，∵AF∥EB，∴四边形ACDF是平行四边形，∵∠ACD＝90°，∴四边形ACDF是矩形，∴DF＝AC，在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，∠ABE=43°，∴AC＝AB•sin43°≈1.6×0.7＝1.12（m），∴DF＝AC＝1.12（m），在Rt△DEF中，∵∠FDE＝90°，∠PEB=20°，∴tan∠PEB＝DF≈0.4，DE∴DE≈1.12＝2.8（m），0.4故选：B．【点睛】本题考查解直角三角形的应用及矩形的判定与性质，熟练掌握各三角函数的定义是解题关键．12．C解析：C【分析】根据特殊角的三角函数值解答即可.【详解】tan60°，故选C.【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．二、填空题13．-33【分析】根据二次函数对称轴的性质一次函数与坐标轴的交点坐标列式计算即可；【详解】解:由题意得∴；故答案是：；【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合准确计算是解题的关键解析：-3 3【分析】根据二次函数对称轴的性质，一次函数与坐标轴的交点坐标列式计算即可；【详解】解:由题意得，0a b c ++=，2b x a=-，3c x a =- 1131222+-<-=<-x b a ，232-<=-<-b x a， ∴3314+<==+<a b b x a a， 3m ∴=-，3n =；故答案是：3-，3；【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，准确计算是解题的关键．14．m≥【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以得到当x 为何值时y 随x 的增大而减小从而可以得到m 的取值范围【详解】解：∵二次函数y ＝﹣x2+3x ＝﹣（x ﹣）2+∴当x≥时y 随x 的增大而减小∵当解析：m ≥32 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到当x 为何值时，y 随x 的增大而减小，从而可以得到m 的取值范围．【详解】解：∵二次函数y ＝﹣x 2+3x ＝﹣（x ﹣32）2+94， ∴当x≥32时，y 随x 的增大而减小，∵当x ＞m 时，二次函数y ＝﹣x 2+3x 的函数值y 随x 的增大而减小，∴m≥32， 故答案为：m≥32． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 15．91【分析】观察表格可知：x=0时y=7x=2时y=7即可求得抛物线的对称轴为直线x==1根据抛物线的对称性求得x=-1时y=13从而求得4a+2b+c=7a-b+c=13【详解】解：观察表格可知：解析：91【分析】观察表格可知：x=0时，y=7，x=2时，y=7，即可求得抛物线的对称轴为直线x=022+=1，根据抛物线的对称性求得x=-1时，y=13，从而求得4a+2b+c=7，a-b+c=13．【详解】解：观察表格可知：x=0时，y=7，x=2时，y=7，∴抛物线的对称轴为直线x=022+=1， ∵x=3时，y=13，∴x=-1时，y=13，∴4a+2b+c=7，a-b+c=13，∴（4a+2b+c ）（a-b+c ）的值为91，故答案为91．【点睛】本题考查二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 16．【分析】根据左加右减上加下减的原则进行解答即可【详解】解：将抛物线向左平移1个单位所得直线解析式为：；再向上平移2个单位为：故答案为：【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换要求熟练掌握平移的规 解析：()212y x =-++【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：将抛物线2y x =-向左平移1个单位所得直线解析式为：()2+1y x =-； 再向上平移2个单位为：()2+21+y x =-．故答案为：()212y x =-++．【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 17．【分析】分两种情况讨论：当在AB 边上的时候和在正方形内部的时候分别计算一次函数的解析式即可；【详解】①当在AB 边上此时OA=8则∴解析式为：；②当在正方形内部时设CE=m 则BE=8-m ∴故∵∴即解得 解析：34y x =，2120y x = 【分析】分两种情况讨论：当C '在AB 边上的时候和C '在正方形内部的时候，分别计算一次函数的解析式即可；【详解】①当C '在AB 边上，此时10C O CO '== ， 6C A '= ，OA=8， 则63tan 84C OA '==∠ ， ∴ 解析式为：34y x = ； ②当C '在正方形内部时，设CE=m ，则EC m '= ，BE=8-m ，∴ 222CE CO EO += ，故EO =，∵ 2OCE ECOC S S ∆'=四边形 ，∴ 222CE OC CC OE '⨯⨯⨯= ，即102m CC '= ，解得：CC '=，由∠CBC ' +∠BCC ' =90°，∠OCC ' +∠BCC '=90°，∴∠CBC '=∠OCC '，CO BC FO CC ='，即10820m FO = ， ∴FO = ，在△CFO 中，由勾股定理得222CF FO CO +=得：m=4， ∴2tan 5EOC '=∠ ，∴2522tan 202tan 41tan 21125EOC EOC ⨯''=='--∠∠COC =∠ ， ()21tan tan 9020C OA COC ''=︒-=∠∠ ， ∴解析式为：2120y x = ； 故答案为：2120y x =或34y x =．【点睛】本题考查了锐角三角函数的应用，一次函数的解析式，勾股定理以及分情况讨论的问题，重点是注意分情况讨论求解．18．【分析】由函数图像可得：当时此时面积最大可得当时重合可得如图过作于求解再求解再利用列方程解方程可得答案【详解】解：由函数图像可得：当时重合此时面积最大当时重合如图过作于菱形经检验：符合题意故答案为： 43 【分析】由函数图像可得：当4x s =时，=PAB S a ，此时面积最大，可得=4AC ， 当4x a =+时，,P D 重合，可得,AB CD a == 如图，过C 作CK AB ⊥于,K 求解2,CK = 再求解30CAK ∠=︒，30BCK ∠=︒， 再利用cos ,CK BCK BC ∠= 列方程，解方程可得答案． 【详解】解：由函数图像可得：当4x s =时，,P C 重合，=PAB Sa ，此时面积最大，14=4AC ∴=⨯，当4x a =+时，,P D 重合，()144,AB CD a a ∴==⨯+-=如图，过C 作CK AB ⊥于,K1,2a CK a ∴= 2,CK ∴=1sin ,2CK CAK CA ∴∠== 30CAK ∴∠=︒，60ACK ∴∠=︒，菱形ABCD ，,30,AB BC a BCA BAC ∴==∠=∠=︒603030BCK ∴∠=︒-︒=︒，cos ,CK BCK BC ∠=23cos30a ∴=︒= 34,a =33a ∴= 经检验：43a =43 【点睛】 本题考查的是从函数图像中获取信息，菱形的性质，锐角三角函数的运用，掌握以上知识是解题的关键．19．3【分析】先证明得到再证明：四边形四边形为矩形得到所以只要求的最小值即可当时最小再利用锐角三角函数可得答案【详解】解：AB=BC=3∠A=∠C=90°由过点E 分别作ABBCCDAD 的垂线垂足分别为点 解析：33 【分析】 先证明,Rt ABD Rt CBD ≌得到60,30,ABD CBD GDE IDE ∠=∠=︒∠=∠=︒再证明：,FG HI =四边形,AFEG 四边形CHEI 为矩形，得到AE FG =，所以只要求AE 的最小值即可，当AE BD ⊥时，AE 最小，再利用锐角三角函数可得答案．【详解】解： AB=BC=3，∠A=∠C=90°，,120,BD BD ABC =∠=︒,Rt ABD Rt CBD ∴≌60,30,ABD CBD GDE IDE ∴∠=∠=︒∠=∠=︒由过点E 分别作AB ，BC ，CD ，AD 的垂线，垂足分别为点F ，H ，I ，G ，,,EF EH EG EI ∴== 四边形,AFEG 四边形CHEI 为矩形，90,FEG HEI ∴∠=∠=︒,FEG HEI ∴≌∴ ,FG HI =当FG 最小，则FG HI +最小，四边形AFEG 为矩形，,AE FG ∴=所以：当AE BD ⊥时，AE 最小，3,60,AB ABE =∠=︒sin 60,AE AB∴︒= 3333,AE ∴=⨯= 所以：FG 的最小值是：33, 所以：FG HI +的最小值是：3323 3.⨯= 故答案为：3 3.【点睛】本题考查的是点到直线的距离垂线段最短，三角形全等的判定与性质，矩形的判定与性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．20．或【分析】过A作AD⊥BC于D设等边△ABC的边长为4a则DC=2aAD=2aPC=a分类讨论：当P在BC的延长线上时DP=DC+CP=2a+a=3a；当P 点在线段BC上即在P′的位置则DP′=DC解析：23或23．【分析】过A作AD⊥BC于D，设等边△ABC的边长为4a，则DC=2a，AD=23a，PC=a，分类讨论：当P在BC的延长线上时，DP=DC+CP=2a+a=3a；当P点在线段BC上，即在P′的位置，则DP′=DC-CP′=a，然后分别利用正切的定义求解即可．【详解】解：如图，过A作AD⊥BC于D，设等边△ABC的边长为4a，则DC=2a，3a，PC=a，当P在BC的延长线上时，DP=DC+CP=2a+a=3a，在Rt△ADP中，tan∠APD=2323 AD aDP==；当P点在线段BC上，即在P′的位置，则DP′=DC-CP′=a，在Rt△ADP′中，tan∠AP′D=33 AD aDP a=='故答案为：233或3【点睛】本题考查解直角三角形；等边三角形的性质．三、解答题21．（1）1m=-；（2）x<1或x>3【分析】（1）将点A坐标代入y=x+m可得m的值；（2）由函数图象中双曲线在直线上方时x的范围可得．【详解】解：（1）将点A(1，0)代入y=x+m 可得1+m=0，解得：m=-1；（2）由函数图象可知不等式的解集为x ＜1或x ＞3．【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数与一元二次不等式的关系，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式．22．（1）点B 的坐标是()1,3；（2）251366y x x=+；（3）1 235=AB B S △． 【分析】（1）过点A 作AD x ⊥轴于点D ．过点B 作BE x ⊥轴于点E ．证明()OEB AAS ADO ≌△△，利用三角形全等的性质可得1OE AD ==，3==BE OD ，从而可得答案；（2） 设过点A ，O ，B 的抛物线的函数表达式为2y ax bx c =++，把()()()3,1,0,0,1,3,A O B -代入解析式，利用待定系数法列方程组解方程组可得答案； （3）如图，延长DA 交1BB 于,M 由1,B B 关于l 对称，则1,DA BB ⊥ 先求解抛物线的对称轴1313651026x =-=-⨯，1,B B 关于l 对称，再求解1,,BB AM 利用三角形的面积公式可得答案．【详解】解（1）过点A 作AD x ⊥轴于点D ．过点B 作BE x ⊥轴于点E ．∴ 90,ADO BEO ∠=∠=︒90AOD DAO ∠+∠=︒，()3,1,A -3,1,OD AD ∴==∵90AOB ∠=︒，∴90AOD BOE ∠+∠=︒．∴DAO BOE ∠=∠．在Rt AOD 和Rt OBE 中，90ADO BEO DAO BOEAO BO ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()OEB AAS ADO ≌△△．∴1OE AD ==，3==BE OD∴ 点B 的坐标是()1,3．（2）()()()3,1,0,0,1,3,A O B -设过点A ，O ，B 的抛物线的函数表达式为2y ax bx c =++，∴ 39310a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩． ∴561360ab c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩． 过点A ，O ，B 的抛物线的函数表达式为251366y x x =+． （3）如图，延长DA 交1BB 于,M 由1,B B 关于l 对称，则1,DA BB ⊥251366y x x =+的对称轴1313651026x =-=-⨯．1,B B 关于l 对称，()()1,3,3,1,B A -1132321,105BB ⎛⎫∴=⨯+= ⎪⎝⎭()33M -，， 312,AM ∴=-=∴ 1123232255AB B S =⨯⨯=． 【点睛】本题考查的是图形与坐标，三角形全等的判定与性质，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，掌握以上知识是解题的关键．23．矩形猪舍的长、宽分别为12米、8米时，猪舍的面积最大，最大面积是96平方米．【分析】设猪舍的宽为m x ，则长为(2721)m x -+，由题意可得2(2721)2(7)98y x x x =-+=--+，然后再根据二次函数的性质进行求最大值即可；【详解】设猪舍的宽为m x ，则长为(2721)m x -+，由题意得2(2721)2(7)98y x x x =-+=--+，对称轴为7x =， 272112x -+≤，27210x -+>，814x ∴≤<，在22(7)98y x =--+中，∵20-<，∴在对称轴右侧y 随着x 的增大而减小，所以当8x =米时，即矩形猪舍的长、宽分别为12米、8米时，猪舍的面积最大，最大面积是96平方米．【点睛】本题考查了二次函数的应用，矩形的面积公式的运用及二次函数的性质，解答时寻找题目的等量关系是关键；24．（1）12122x x =-=，；（2）14-【分析】（1）原方程移项后根据平方差公式分解因式，即可得到方程的解；（2）求出式中特殊角的三角函数值即可得到解答．【详解】（1）原方程可化为22x 570+-=（）， ()x 1220x +-=（）得:120x +=,或20x -=1212,2x x ∴=-=解：（2）原式=2113322+-⨯（） 11124=+- 14=- 【点睛】本题考查一元二次方程与特殊角三角函数的应用，熟练掌握一元二次方程的解法及特殊角三角函数的值是解题关键．25．5米【分析】过点D 作DF ⊥AB ，交AB 于点F ，知DE=AF=1.5米，BF=AB-AF=15（米），在Rt △BFD 中，由tan37BF DF︒=，求得DF≈20米，再在Rt △DFC 中，由∠CDF=45°知CF=DF≈20米，根据BC=CF-BF 求解可得答案．【详解】解：如图，过点D 作DF ⊥AB 交AB 于点F ，则DE=AF=1.5米，∴BF=AB-AF=16.5-1.5=15米.在Rt △BFD 中，∠CDF=37︒，∴tan37BF DF︒=, 150.75DF ≈ ∴DF≈20米.在Rt △DFC 中，∠CDF=45︒，∴CF=DF≈20米，∴BC=CF -BF≈20-15=5米；答：避雷针BC 的长度为约为5米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，正确记忆三角函数的定义，把直角梯形的问题转化为解直角三角形的问题是解决本题的关键．26．（1）2；（2）14x =-+24x =--【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，解出对应的函数值，代入计算即可（2）将常数项移到等号的右侧，两边同时加上一次项系数一半的平方，然后利用平方根的定义开方，转化成两个一元一次方程求解即可【详解】（1）解：原式12= （2）解：原方程变形得：282x x +=配方得：2228442x x ++=+即：()2418x +=开方得：4x +=±解得：14x =-+24x =--．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，配方法解一元二次方程，熟记特殊角的三角函数值，配方法解一元二次方程的步骤是解题关键．。
浙教新版九年级下册数学期中复习试卷(有答案)
浙教新版九年级下册数学期中复习试卷一．选择题（共10小题,满分40分,每小题4分）1．已知x+2y与x+4互为相反数,则x+y的值为（）A．﹣4B．﹣1C．﹣2D．22．银西高铁是宁夏、内蒙古等西部地区联通陕西及华东、中南、西南地区的快捷客运通道．高铁宁夏段全长183公里,总投资217亿元,2016年9月全面开工建设,将于2019年下半年开通运营．总投资217亿元用科学记数法表示,正是（）A．217×108B．21.7×109C．2.17×1010D．0.217×1011 3．下列运算正确的是（）A．x3+x3＝2x6B．x6÷x2＝x3C．（﹣3x3）2＝3x6D．x3•x2＝x54．如图所示的几何体是由五个小正方体组合而成的,它的俯视图是（）A．B．C．D．5．某青年排球队12名队员年龄情况如下：年龄（岁）1819202122人数14322则这12名队员年龄的众数、中位数分别是（）A．20岁,19岁B．19岁,19岁C．19岁,20.5岁D．19岁,20岁6．一个两位数,它的十位数字是5,个位数字是抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面分别标有数1﹣6）朝上一面的数字,任意抛掷这枚骰子一次,得到的两位数是4的整倍数的概率等于（）A．B．C．D．7．给出命题,其中真命题的个数是（）①是的平方根；②（﹣4）2的平方根是﹣4；③64的立方根是±4；④平方根等于它本身的数是0．A．1个B．2个C．3个D．4个8．已知一个圆锥形零件的高线为,底面圆半径为2,则它的侧面积为（）A．2B．2πC．6πD．3π9．如图,二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象的顶点为点D,其图象与轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1、3,与y轴负半轴交于点C,在下面四个结论中,其中正确的结论是（）A．2a﹣b＝0B．a+b+c＞0C．c＜﹣3aD．当ax2+bx+c+2＝0有实数解时,则a≥0.510．如图,以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA1,再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A1BB1,……,如此作下去,若OA＝OB＝1,则第n个等腰直角三角形的面积S n＝（）A．2n B．2n﹣2C．2n+1D．2n﹣1二．填空题（共6小题,满分30分,每小题5分）11．若式子有意义,则实数x的取值范围是．12．分解因式：a﹣ax2＝．13．已知单项式x m y2m+4与﹣3x2n﹣4y8是同类项,则3m﹣5n的值为．14．三位同学分别用m根长度相同的火柴棒,摆出了如图1、图2、图3的图案,各自恰好用完了这m根火柴棒,这些图案中的小正方形边长均为一根火柴棒的长度．则m的最小值为．15．如图,PA是⊙O的切线,切点为A,PO的延长线交⊙O于点B,若∠ABP＝35°,则∠P ＝．16．如图,点A（14,0）,点B（5,12）,P为△OAB内心,若反比例函数y＝的图象经过点P,则k＝．三．解答题（共8小题,满分80分）17．（8分）计算：（1）（2）+（﹣π）0﹣（）﹣118．（8分）在我校举办的“读好书、讲礼仪”的活动中,各班积极行动,图书角的新书、好书不断增多,除学校购买的图书外,还有师生捐献的图书则九（1）班全体同学捐献图书情况的统计图（第人都有捐书）．请你根据以上统计图中的信息,解答下列问题：（1）该班共有学生人,并补全条形统计图；（2）“捐6本书”的人数对应的扇形圆心角的度数是；（3）请你估计全校2000名学生所捐图书的数量．19．（8分）你能把一个等边三角形分成2个、3个、4个、6个全等三角形吗？在图中分别画出分割图形．20．（10分）小明在A点测得C点在A点的北偏西75°方向,并由A点向南偏西45°方向行走到达B点测得C点在B点的北偏西45°方向,继续向正西方向行走2km后到达D点,测得C点在D点的北偏东22.5°方向,求A,C两点之间的距离．（结果保留0.1km．参数数据≈1.732）21．（10分）为迎接十四运,推进全民健身活动,某社区计划购进A、B两种健身器材若干件,已知购进B种健身器材的单价是A种健身器材的3倍,用3850元购买A种健身器材比用4950元购买B种健身器材多4件．（1）A,B两种健身器材的单价分别是多少元？（2）若购进A、B两种健身器材共20件,且购买A、B两种健身器材的总费用不超过20000元,求至少购买A种健身器材多少件？22．（10分）跳台滑雪是北京冬奥会的项目之一．某跳台滑雪训练场的横截面示意图如图并建立平面直角坐标系．抛物线C1：y＝﹣x2+x+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡,某运动员从点O正上方4米处的A点滑出（即A点坐标为（0,4））,滑出后沿一段抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c运动．（1）当运动员运动到距A处的水平距离为4米时,距图中水平线的高度为8米（即经过点（4,8））,求抛物线C2的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）在（1）的条件下,当运动员运动的水平距离为多少米时,运动员与小山坡的竖直距离为1米？23．（12分）如图,正方形ABCD边长为a,正方形CEFG边长为b,（1）如图1,若点F在线段BC上移动,且不与B、C两点重合,连接AF、AE、DE,点M、K、L分别为AF、AE、DE中点．①求证：ML＜（a+b）；②求线段ML与线段ED的关系；（2）若点F从点C出发,沿边CB→BA向终点A运动,整个运动过程中,求点E所经过的路径长（用含a的代数式表示）．24．（14分）如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A（0,4）,点B是x轴正半轴上一点,连接AB,过点A作AC⊥AB,交x轴于点C,点D是点C关于点A的对称点,连接BD,以AD为直径作⊙Q交BD于点E,连接并延长AE交x轴于点F,连接DF．（1）求线段AE的长；（2）若AB﹣BO＝2,求tan∠AFC的值；（3）若△DEF与△AEB相似,求EF的值．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题,满分40分,每小题4分）1．解：∵x+2y与x+4互为相反数,∴x+2y+x+4＝0,则2x+2y＝﹣4,故x+y＝﹣2．故选：C．2．解：217亿＝21700000000＝2.17×1010．故选：C．3．解：A、合并同类项系数相加字母部分不变,故A错误；B、同底数幂的除法底数不变指数相减,故B错误；C、积的乘方等于乘方的积,故C错误；D、同底数幂的乘法底数不变指数相加,故D正确；故选：D．4．解：从上面看共有3列,从左到右小正方形的个数分别为2、1、1,故选：C．5．解：19出现了4次,次数最多,所以这12名队员年龄的众数为19岁；共有12个数据,最中间两个数分别为20,20,所以这12名队员年龄的中位数为（20+20）÷2＝20岁．故选：D．6．解：根据题意,得到的两位数有51、52、53、54、55、56这6种等可能结果,其中两位数是4的倍数的有52、56这2种结果,∴得到的两位数是4的倍数的概率等于＝；故选：A．7．解：①是的平方根,说法正确；②（﹣4）2的平方根是±4,说法错误；③64的立方根是4,说法错误；④平方根等于它本身的数是0,说法正确；故选：B．8．解：∵高线长为,底面半径为2,∴母线长为：＝3,∴圆锥侧面积公式为：S＝πrl＝π×2×3＝6π,故选：C．9．解：∵图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1、3,∴对称轴x＝＝1∴﹣＝1∴b＝﹣2a,∴2a﹣b＝2a+2a＝4a≠0,故A错误；由图象可知：x＝1时,y＜0,∴a+b+c＜0,故B错误；∵x＝﹣1,y＝0,∴y＝a﹣b+c＝0,∵b＝﹣2a,∴c＝﹣3a,∴c+3a＝﹣3a+3a＝0,即c＝﹣3a,故C错误；当x＝1时,y＝a+b+c,若ax2+bx+c+2＝0有实数解时,∴此时y＝a+b+c≤﹣2,即a﹣2a﹣3a≤﹣2∴a≥0.5,故D正确；故选：D．10．解：根据等腰直角三角形的性质,AB＝OA＝,A1B＝AB＝×＝2,A1B1＝A1B＝2,所以,第1个等腰直角△AOB的面积S1＝×1×1＝,第2个等腰直角△ABA1的面积S2＝××＝1,第3个等腰直角△A1BB1的面积S3＝×2×2＝2,第4个等腰直角△A1B1B2的面积S4＝×2×2＝4,…,依此类推,第n个等腰直角三角形的面积S n＝2n﹣2,故选：B．二．填空题（共6小题,满分30分,每小题5分）11．解：∵3x﹣6≠0,∴x≠2,故答案为：x≠2．12．解：a﹣ax2＝a（1﹣x2）＝a（1+x）（1﹣x）．故答案为：a（1+x）（1﹣x）．13．解：∵单项式x m y2m+4与﹣3x2n﹣4y8是同类项,∴m＝2n﹣4,2m+4＝8．∴m＝2,n＝3．∴3m﹣5n＝3×2﹣5×3＝6﹣15＝﹣9．故答案为：﹣9．14．解：设用a,b,c表示图1、图2、图3中小正方形的个数,观察图1发现：摆成1个正方形需要4根火柴棒,以后每多摆1个正方形增加3根火柴棒,所以图1中摆成a个小正方形所需的火柴棒的个数为（3a+1）根火柴棒,同理可得：图2中火柴棒的总数是（5b+2）根,图3中有3c个正方形,所以火柴棒的总数是（7c+3）根．由题意得m＝3a+1＝5b+2＝7c+3,所以c＝＝,∵a,b,c均是正整数,∴a＝17,b＝10,c＝7时m的值最小,m＝3×17+1＝5×10+2＝7×7+3＝52．故答案为：52．15．解：连接OA,如图：∵PA是⊙O的切线,切点为A,∴OA⊥AP,∴∠OAP＝90°,∵∠ABP＝35°,∴∠AOP＝2∠ABP＝70°,∴∠P＝90°﹣70°＝20°．故答案为：20°．16．解：如图,过点B作BQ⊥OA于点Q,则OQ＝5,BQ＝12,∴OB＝＝13,AQ＝OA﹣OQ＝9,∴AB＝＝15,设⊙P的半径为r,则r＝＝4,过点P作PC⊥OA于C,PD⊥AB于D,PE⊥OB于E,设OE＝OC＝x,则AC＝AD＝14﹣x,BE＝13﹣x,∴BD＝AB﹣AD＝15﹣（14﹣x）＝1+x,由BD＝BE可得13﹣x＝1+x,解得：x＝6,∴点P的坐标为（6,4）,则k＝6×4＝24,故答案为：24．三．解答题（共8小题,满分80分）17．解：（1）原式＝（3）2﹣（2）2＝18﹣12＝6；（2）原式＝﹣2+1﹣3＝﹣4．18．解：（1）15÷30%＝50人,50﹣10﹣15﹣6﹣5＝14人,补全条形统计图如图所示：故答案为：50；（2）360°×＝36°,故答案为：36°；（3）本．答：全校2000名学生共捐图书6240本．19．解：如图所示,能分成两个、三个、四个、六个全等的三角形．20．解：过点A作AM∥BD,过B点作BM⊥BD,AM与BM交于点M,∵在A点测得C点在A点的北偏西75°方向,∴∠NAC＝75°,∴∠CAM＝15°,∵由A点向南偏西45°方向行走到达B点,∴∠MAB＝45°,∴∠MBA＝45°,∵C点在B点的北偏西45°方向,∴∠CBM＝45°,∴∠CBA＝90°,∠CBD＝45°,∵C点在D点的北偏东22.5°方向,∴∠PDC＝22.5°,∴∠BDC＝67.5°,∴∠DCB＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°,∴BD＝BC,由题可得DB＝2km,∴BC＝2km,在Rt△ABC中,∠CAB＝15°+45°＝60°,BC＝2,∴AC＝≈2.3km．21．解：（1）设A种型号健身器材的单价为x元/件,B种型号健身器材的单价为3x元/件,根据题意得：﹣＝4,解得：x＝550,经检验x＝550是原方程的解,且符合题意,则3×550＝1650（元）,答：A,B两种健身器材的单价分别是550元,1650元；（2）设购买A种型号健身器材m件,则购买B种型号的健身器材（20﹣m）件,根据题意得：550m+1650（20﹣m）≤20000,解得：m≥11,答：A种型号健身器材至少购买12件．22．解：（1）由题意可知抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c过点（0,4）和（4,8）,将其代入得：,解得：,∴抛物线C2的函数解析式为：y＝﹣x2+x+4；（2）设运动员运动的水平距离为m米时,运动员与小山坡的竖直距离为1米,依题意得：：﹣m2+m+4﹣（﹣m2+m+1）＝1,整理得：（m﹣12）（m+4）＝0,解得：m1＝12,m2＝﹣4（舍去）,故运动员运动的水平距离为12米时,运动员与小山坡的竖直距离为1米．23．解：（1）如图1,连接MK,KL,∵M、K分别是AF,AE的中点,∴MK＝EF,∵K、L分别是AE、DE的中点,∴KL＝AD,∵MK+KL＞ML（三角形两边之和大于第三边）,正方形ABCD边长为a,正方形CEFG边长为b,∴ML＜（a+b）；（2）作LQ∥CE交CD于Q,∵KL为△ADE的中位线,∴KL＝AD,∵LQ∥CE,∴＝1,即DQ＝,∵AD＝CD,∴KL＝DQ,∵MK是△AEF的中位线,LQ是△DEC的中位线,∴MK＝,LQ＝,∴MK＝LQ,∵∠ECD＝∠LQD＝90°+45°＝135°,∠MKA＝∠FEA,∠APC＝∠AKC,∴∠FPE+∠FED＝∠MKL＝180°﹣45°＝135°＝∠ECD,在△MKL和△LQD中,,∴△MKL≌△LQD（SAS）,∴ML＝DL＝ED；（2）在F运动过程中,点E的轨迹是C﹣P﹣B,△CPB为以P为顶点的等腰直角三角形,∴CP+PB＝BC＝a,①当点F在CB上时,如图中正方形F1E1CG1,∵四边形F1E1CG1为正方形,CF1为对角线,∴∠F1CE1＝45°,∵△BPC为等腰直角三角形,∴∠BCP＝45°,∴E1在CP上运动,当点F1到达点B时,E1与点P重合；②当点F在BA上时,如图中正方形F2E2CG2,连接E2P,由①得,∠F2CE2＝45°,∠BCP＝45°,∴∠F2CB＝∠E2CP,∵,∴△CF2B∽△CE2P,∴∠CPE2＝∠CBF2＝90°,∴E2在BP上,当F2到达A时,E2与B重合；综上所述,点E的轨迹在C﹣P﹣B上,轨迹长度为a．24．解：（1）∵点A（0,4）,∴AO＝4,∵AD是⊙Q的直径,∴∠AEB＝∠AED＝90°,∴∠AEB＝∠AOB＝90°,∵BA垂直平分CD,∴BC＝BD∴∠ABO＝∠ABE在△ABE和△ABO中,,∴△ABE≌△ABO（AAS）∴AE＝AO＝4；（2）设BO＝x,则AB＝x+2,在Rt△ABO中,由AO2+OB2＝AB2得：42+x2＝（x+2）2,解得：x＝3,∴OB＝BE＝3,AB＝5,∵∠EAB+∠ABE＝90°,∠ACB+∠ABC＝90°,∴∠EAB＝∠ACB,∵∠BFA＝∠AFC,∴△BFA∽△AFC∴＝＝,设EF＝x,则AF＝4+x,BF＝（4+x）,∵在Rt△BEF中,BE2+EF2＝BF2,∴32+x2＝[（4+x）]2,解得：x＝,即EF＝,∴tan∠AFC＝＝＝；（3）①当△DEF∽△AEB时,∠BAE＝∠FDE,∴∠ADE＝∠FDE,∴BD垂直平分AF,∴EF＝AE＝4；②当△DEF∽△BEA时,∠ABE＝∠FDE,∴AB∥DF,∴∠ADF＝∠CAB＝90°,∴DF相切⊙Q,∴∠DAE＝∠FDE,设⊙Q交y轴于点G,连接DG,作FH⊥DG于H,如图所示：则∠FDH＝∠DAG,四边形OGHF是矩形,∴OG＝FH,∵△ABE≌△ABO,∴∠OAB＝∠EAB,∵AB⊥AD,∴∠DAE＝∠CAO,∵∠CAO＝∠DAE,∴∠DAE＝∠DAE,∴∠DAE＝∠DAG＝∠FDE＝∠FDH,∴AG＝AE＝4,∴EF＝FH＝OG＝AO+AG＝4+4＝8,综上所述,若△DEF与△AEB相似,EF的值为4或8．。
【浙教版】初三数学下期中试题附答案(3)
一、选择题1．双曲线(0)a y a x =≠的图象过点()1,2A -，(),4B m -，则m 的值是（ ） A ．2B ．2-C ．12D ．12- 【答案】C【分析】把A 点坐标代入，求出比例系数a ，再把B 点坐标代入即可．【详解】解：把()1,2A -代入(0)a y a x=≠得， 21a =-， 解得，a =-2， ∴双曲线解析式为：2y x -=， 把(),4B m -代入2y x-=得， 24m--=， 解得，m=12， 故选C ．【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数解析式和利用反比例函数解析式求点的坐标，熟练运用待定系数法是解题关键．2．反比例函数y ＝1k x -的图象在每一象限内，y 随x 的增大而减小，则k 的取值范围是（ ）A ．k >1B ．k <1C ．k ＝1D ．k ≠1 【答案】A【分析】根据反比例函数y ＝1k x-的图象在每一象限内和y 随x 的增大而减小得出k ﹣1＞0，再求出k 的范围即可．【详解】解：∵反比例函数y＝1kx-的图象在每一象限内，y随x的增大而减小，∴k﹣1＞0，解得：k＞1，故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键．3．如图所示，已知菱形OABC，点C在x轴上，直线y x=经过点A，菱形OABC的面积是42，若反比例函数的图象经过点B，则此反比例函数表达式为（）A．4yx=B．42y=C．442yx+=D．82yx=【答案】C【分析】过点B作BD⊥x轴，由四边形OABC菱形，直线y=x经过点A，可得∠AOC=∠BCD=45°，得出CD＝BD，设CD＝BD＝x，根据菱形的面积列方程可求出x，进而确定点B的坐标，进而确定反比例函数的关系式．【详解】解：过点B作BD⊥x轴，垂足为D，∵四边形OABC菱形，直线y＝x经过点A，∴∠AOC＝∠BCD＝45°，∴CD＝BD，设CD＝BD＝x，则BC2x＝OC，∵菱形OABC的面积是2，∴OC•BD ＝42， 即x•2x ＝42，解得x 1＝2，x 2＝﹣2＜0（舍去） ∴BC ＝OC ＝22，∴OD ＝OC+CD ＝22+2，∴点B （22+2，2），又∵点B 在反比例函数y ＝k x的图象上， ∴k ＝2×（22+2）＝42+4， ∴反比例函数的关系式为y ＝424+， 故选：C ．【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数关系式，等腰直角三角形的判定和性质，菱形的性质，得出点B 的坐标是解决问题的关键．4．由5个相同的小正方体组成的几何体如图所示，该几何体的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ． 5．用大小和形状完全相同的小正方体木块搭成一个几何体，使得它的正视图和俯视图如图所示，则搭成这样的一个几何体至少需要小正方体木块的个数为（ ）A ．13个B ．16个C ．19个D ．22个 6．如图，长方体的底面是长为4cm 、宽为2cm 的长方形，如果从左面看这个长方体时看到的图形面积为6cm 2，则这个长方体的体积等于( )A ．36cmB ．38cmC ．312cmD ．324cm 7．已知点P 是线段AB 的黄金分割点（AP PB >），2AB =，那么AP 的长约为（ ）A ．0.618B ．1.382C ．1.236D ．0.7648．如图，矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，动点P 从A 点出发，按A B C →→的方向在AB 和BC 上移动，记PA x =，点D 到直线PA 的距离为y ，则y 关于x 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，直线123////l l l ，直线a 、b 与1l 、2l 、3l 分别交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ，若:1:2AB BC =，6DF =，则EF 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510．如图，电路图上有四个开关A 、B 、C 、D 和一个小灯泡，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（ ）A ．12B ．13C ．14D ．1611．某小区附近新建一个游泳馆，馆内矩形游泳池的面积为2300m ，且游泳池的宽比长短10m ．设游泳池的长为xm ，则可列方程为（ ）A ．()10300x x -=B ．()10300x x +=C ．()2210300x x -=D ．()2210300x x +=12．如图，长方形ABCD 是由6个正方形组成，其中有两个一样大的正方形，且最小正方形边长为1，则长方形ABCD 的边长DC 为（ ）A ．10B ．13C ．16D ．19二、填空题13．如图，点A 在反比例函数k y x =（k ≠0）的图象上，且点A 是线段OB 的中点，点D 为x 轴上一点，连接BD 交反比例函数图象于点C ，连接AC ，若BC ：CD =2：1，S △AD C =53．则k 的值为________．14．反比例函数()0k y k x=>在第一象限内的图象如图，点M 是图象上一点，MP 垂直x 轴于点P ，如果MOP ∆的面积为4，那么k 的值是__________．15．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正六边形，则该几何体的所有侧面积之和为_____．16．写出图中圆锥的主视图名称________.17．如图，ABC 中，10AB AC ==，16BC =．P 为边BC 上的一个动点，点D 在边AC 上，且始终保持APD B ∠=∠，若PCD 为直角三角形，则线段BP 的长为__________．18．如图，在43⨯的矩形方框内有一个不规则的区城A （图中阴影部分所示），小明同学用随机的办法求区域A 的面积．若每次在矩形内随机产生10000个点，并记录落在区域A 内的点的个数，经过多次试验，计算出落在区域A 内点的个数的平均值为6700个，则区域A 的面积约为___________．19．一件商品的标价为108元，经过两次降价后的销售价是72元，求平均每次降价的百分率．若设平均每次降价的百分率为x ，则可列方程_________．20．如图，点P 是矩形ABCD 的对角线AC 上一点，过点P 作//EF BC 分别交AB 、CD 于E 、F ，连接PB ，PD ．若2AE =，8PF =．则图中阴形部分的面积为_________．三、解答题21．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点C 与原点O 重合，点B 在y 轴的正半轴上，点A 在反比例函数(0,0)k y k x x=>>的图象上，点D 的坐标为(4,3)，设AB 所在直线解析式为y ax b =+(0)a ≠．（1）求k 的值，并根据图象直接写出关于x 的不等式k ax b x+>的解集； （2）若将菱形ABCD 沿x 轴正方向平移m 个单位，在平移中，若反比例函数图象与菱形的边AD 始终有交点，求m 的取值范围．22．如图，若干个完全相同的小正方体堆成一个几何体，请从正面、左面、上面观察该几何体，分别在所给的网格图中画出你所看到的形状图．【答案】见解析．【分析】从正面看可得到从左往右3列的正方形的个数依次为3，1，2；从正面看可得到从左往右3列的正方形的个数依次为3，2，1；从上面看可得从左往右3列的正方形的个数依次为3，2，1；据此分别画出图形即可得答案．【详解】从正面看可得到从左往右3列的正方形的个数依次为3，1，2；从正面看可得到从左往右3列的正方形的个数依次为3，2，1；从上面看可得从左往右3列的正方形的个数依次为3，2，1；如图所示：【点睛】此题主要考查了画三视图，三视图分为主视图、左视图、俯视图，分别是从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；注意根据所给题意考虑可能存在的多种情况．23．在平面直角坐标系中，已知点1,0A ，()0,3B ，()3,0C -，D 是线段AB 上一点，CD 交y 轴于E ，且2BCE AOB S S =△△，（1）求直线AB 的解析式：（2）求点D 的坐标；（3）猜想线段CE 与线段AB 的数量关系和位置关系，并说明理由；（4）若F 为射线CD 上一点，且45DBF ∠=︒，求点F 的坐标．24．如图，转盘中A ，B ，C 三个扇形的圆心角均为120°，让转盘自由转动两次，当转盘停止转动时，求指针两次都落在A 扇形的概率．（转盘停止转动时，若指针箭头恰好停留在分界线上，则重转一次）25．解下列方程：（1）24830x x --=； （2）2(3)5(3)x x +=+．26．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是边BC 上的中线，过点A 作AE //BC ，过点D 作DE //AB ，DE 与AC ，AE 分别交于点O ，E ，连接EC ．（1）求证：四边形ADCE 是菱形；（2）若AB＝AO，OD＝1，则菱形ADCE的周长为．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．无2．无3．无4．D解析：D【分析】找到从几何体的正面看所得到的图形即可．【详解】解：主视图有3列，每列小正方形数目分别为2，1，1，故选：D．【点睛】此题主要考查了简单几何体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．5．A解析：A【分析】由几何体的正视图和俯视图，我们可以判断出这个几何体由一些相同的小正方体构成，其中根据俯视图我们可以判断该几何体共有7摞小正方体组成，然后根据主视图推算每摞小正方体的最少个数，即可得到答案．【详解】根据俯视图我们可以判断该几何体共有7摞小正方体组成，根据正视图，可得：左边2摞，最高层数为3，故小正方体最少有3+1=4个，中间2摞，最高层数为2，故小正方体最少有2+1=3个，右边3摞，最高层数为4，故小正方体最少有4+1+1=6个，故小正方体最少有13个．故选A．【点睛】本题主要考查几何体的三视图，掌握三视图的定义，是解题的关键．6．D解析：D【解析】【分析】根据长方体的体积公式可得．【详解】根据题意，得：6×4=24（cm 3），因此，长方体的体积是24cm 3．故选：D ．【点睛】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握长方体的体积公式．7．C解析：C【分析】根据黄金分割点的定义，由题意知AP 是较长线段；则AB ，代入数据即可． 【详解】解：∵线段AB=2，点P 是线段AB 的黄金分割点（AP PB >），∴AP=12-+AB=1-+≈1.236 故选：C 【点睛】本题考查了黄金分割点的概念，熟记黄金分割的比值是解题的关键．8．A解析：A【分析】①点P 在AB 上时，点D 到AP 的距离为AD 的长度，②点P 在BC 上时，根据同角的余角相等求出∠APB=∠PAD ，再利用相似三角形的列出比例式整理得到y 与x 的关系式，从而得解．【详解】解：①当点P 在AB 上运动时，D 到PA 的距离8y AD ==，∴当06x ≤≤时，8y =，②当P 在BC 上运动时，∵∠APB+∠BAP=90°， ∠PAD+∠BAP=90°， ∴∠APB=∠PAD ， 又∵∠B=∠DEA=90°， ∴△ABP ∽△DEA ，∴AB APDE AD=，即：68x y =，∴当610x <≤时，48y x=， ∴()()80648610x y x x ⎧≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩，即当06x ≤≤时，函数图象为平行于x 轴的线段，且8y =； 当610x <≤时，函数图象为反比例函数， 故选项A 符合题意， 故选：A ． 【点睛】本题考查动点问题函数图象，解题关键是利用相似三角形的判定与性质，难点在于根据点Ｐ的位置分情况讨论．9．C解析：C 【分析】连接AF 交2l 于点G ，根据平行线分线段成比例，得出12AB AG BC GF ==和21FG FE GA ED ==，则23EF DF =，即可求出结果． 【详解】解：如图，连接AF 交2l 于点G ，∵23//l l ， ∴12AB AG BC GF ==， ∵12l l //， ∴21FG FE GA ED ==， ∵6DF =，∴243EF DF ==． 故选：C ． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例的性质．10．A解析：A 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小灯泡发光的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】 解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有6种情况， ∴小灯泡发光的概率为612＝12． 故选：A ． 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．11．A解析：A【分析】因为游泳池的长为xm，那么宽可表示为（x-10）m，根据面积为300，即可列出方程．【详解】解：因为游泳池的长为xm，那么宽可表示为（x-10）m；则根据矩形的面积公式：x（x-10）=300；故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，掌握“矩形面积=长×宽”是关键．12．B解析：B【分析】利用正方形的性质，用两种方法表示CD，从而建立等式求解即可．【详解】设两个一样大的正方形边长为x，则各正方形边长表示如图，由AD＝BC可列方程：x＋2＋x＋1＝2x－1＋x，解得x＝4，则DC＝x＋1＋x＋x＝13，故选B【点睛】本题考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的性质，构造等式求解是解题的关键．二、填空题13．8【分析】作AE⊥OD于ECF⊥OD于F由BC：CD=2：1S△ADC=可求S△ACB=由OA=OBS△AOC=S△ACB=设B（2m2n）可得A（mn）由AC在y=上BC=2CD可求k=mnC（m解析：8【分析】作AE⊥OD于E，CF⊥OD于F．由BC：CD=2：1，S△ADC=53，可求S△ACB=103，由OA=OB，S△AOC=S△ACB=103，设B（2m，2n），可得A（m，n），由A、C在y=kx上，BC=2CD，可求k=mn，C（32m，23n），可推得S△AOC= S梯形AEFC即可解决问题．【详解】解：作AE⊥OD于E，CF⊥OD于F．∵BC：CD=2：1，S△ADC=53，∴S△ACB=103，∵OA=OB，∴B（2m，2n），S△AOC=S△ACB=103，A（m，n），∵A、C在y=kx上，BC=2CD，∴k=mn，∴C（32m，23n），∵S△AOC=S△AOE+S梯形AEFC﹣S△OCF=S梯形AEFC，∴12•（n+23n）×12m=103，∴mn=8，∴k=8．故答案为：8．【点睛】过反比例函数y=kx（k≠0），图像上一点P（x,y），作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积S=x y k.过反比例函数过一点，作垂线，三角形的面积为12k.所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数从而有k的绝对值.在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k的几何意义，会给解题带来很多方便．14．8【分析】利用反比例函数k的几何意义得到|k|=4然后利用反比例函数的性质确定k的值【详解】解：∵△MOP的面积为4∴|k|=4∴|k|=8∵反比例函数图象的一支在第一象限∴k＞0∴k=8故答案为：解析：8【分析】利用反比例函数k的几何意义得到12|k|=4，然后利用反比例函数的性质确定k的值．【详解】解：∵△MOP的面积为4，∴12|k|=4，∴|k|=8，∵反比例函数图象的一支在第一象限，∴k＞0，∴k=8，故答案为：8．【点睛】本题考查了比例系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k|，且保持不变．也考查了反比例函数的性质．15．48【分析】观察该几何体的三视图发现该几何体为正六棱柱然后根据提供的尺寸求得其侧面积即可【详解】由三视图知该几何体是底面边长为2高为4的正六棱柱∴其侧面积之和为2×4×6=48故答案为48【点睛】本解析：48【分析】观察该几何体的三视图发现该几何体为正六棱柱，然后根据提供的尺寸求得其侧面积即可．【详解】由三视图知该几何体是底面边长为2、高为4的正六棱柱，∴其侧面积之和为2×4×6=48．故答案为48．【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是能够根据三视图判断几何体的形状及各部分的尺寸，难度不大．16．等腰三角形【解析】主视图是指从正面看圆锥体从正面看是等腰三角形故答案为:等腰三角形解析：等腰三角形 【解析】主视图是指从正面看,圆锥体从正面看是等腰三角形,故答案为:等腰三角形.17．8或【分析】因为∠C 为定角DP 为动点所以△PCD 为直角三角形有两种情况：∠PDC=90°时△PCD 为直角三角形如详解图根据等腰三角形三线合一的性质求出BP 的长；当∠DPC=90°时△PCD 为直角三角解析：8或252【分析】因为∠C 为定角，D 、P 为动点，所以△PCD 为直角三角形有两种情况：①∠PDC=90°时，△PCD 为直角三角形，如详解图，根据等腰三角形三线合一的性质求出BP 的长；②当∠DPC=90°时，△PCD 为直角三角形，如详解图，作AF BC ⊥，根据△BFA ∽△BAP 求出BP 的长． 【详解】 分两种情况:①∠PDC=90°时，△PCD 为直角三角形，如图：∵AB=AC ∴∠B=∠C ∵∠APD=∠B ∴∠APD=∠C ∵90C DPC ∠+∠=︒ ∴90APD DPC ∠+∠=︒AP BC ∴⊥∴点P 为BC 中点∴12BP BC =16BC =11682BP ∴=⨯=②当∠DPC=90°时，△PCD 为直角三角形，如图，作AF BC ⊥，10,16AB AC BC ===，AF BC ⊥90AFB ∴∠=︒ ∴点F 为BC 中点1116822BF BC ∴==⨯= ∵∠APD=∠B ，∠DPC=9090APB APD ∴∠+∠=∠︒ 90APB B ∴∠+∠=︒ 90BAP ∴∠=︒BFA BAP ∴△∽△ AB BF BP AB ∴= 10810BP ∴= 252BP ∴=故答案为：8或252． 【点睛】本题考查了等腰三角形，相似三角形的性质和判定，同时还运用了分类讨论的思想，利用相似三角形对应边成比例求线段长是解题关键．18．04【分析】先利用古典概型的概率公式求概率再求区域A 的面积的估计值【详解】解：由题意∵在矩形内随机产生10000个点落在区域A 内点的个数平均值为6700个∴概率P=∵4×3的矩形面积为12∴区域A 的解析：04 【分析】先利用古典概型的概率公式求概率，再求区域A 的面积的估计值． 【详解】解：由题意，∵在矩形内随机产生10000个点，落在区域A 内点的个数平均值为6700个，∴概率P=67000.6710000=， ∵4×3的矩形面积为12，∴区域A 的面积的估计值为：0.67×12=8.04； 故答案为：8.04； 【点睛】本题考查古典概型概率公式，考查学生的计算能力，属于中档题．19．【分析】设平均每次降价的百分率为x 根据一件商品的标价为108元经过两次降价后的销售价是72元即可列出方程【详解】解：设平均每次降价的百分率为x 根据题意可得：故答案为：【点睛】本题考查一元二次方程的实 解析：()2108172x -=【分析】设平均每次降价的百分率为x ，根据“一件商品的标价为108元，经过两次降价后的销售价是72元”即可列出方程． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x ， 根据题意可得：()2108172x -=， 故答案为：()2108172x -=． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意，找出等量关系是解题的关键．20．16【分析】作PM ⊥AD 于M 交BC 于N 由矩形的性质可证明S △PEB ＝S △PFD 解答即可【详解】解：作PM ⊥AD 于M 交BC 于N 则有四边形AEPM 四边形DFPM 四边形CFPN 四边形BEPN 都是矩形∴S △解析：16 【分析】作PM ⊥AD 于M ，交BC 于N ，由矩形的性质可证明S △PEB ＝S △PFD 解答即可． 【详解】解：作PM ⊥AD 于M ，交BC 于N ．则有四边形AEPM ，四边形DFPM ，四边形CFPN ，四边形BEPN 都是矩形， ∴S △ADC ＝S △ABC ，S △AMP ＝S △AEP ，S △PBE ＝S △PBN ，S △PFD ＝S △PDM ，S △PFC ＝S △PCN ， ∴S △DFP ＝S △PBE ＝12×2×8＝8，∴S 阴＝8+8＝16， 故答案为：16． 【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S △PEB ＝S △PFD ．三、解答题21．（1）32k =，4x >；（2）2003m ≤≤． 【分析】（1）根据菱形的性质和D 的坐标即可求出A 的坐标，代入求出即可； （2）A 和D 可能落在反比例函数的图象上，根据平移求出即可． 【详解】解：（1）延长AD 交x 轴于F ，由题意得AF x ⊥轴， 点D 的坐标为(4,3)，4OF ∴=，3DF =，5OD ∴=， 5AD ∴=，∴点A 坐标为(4,8)，4832k xy ∴==⨯=，由图象得关于x 的不等式kax b x+>的解集为：4x >； （2）将菱形ABCD 沿x 轴正方向平移m 个单位，使得点D 落在函数32(0)y x x=>的图象D 点处， ∴点D 的坐标为(4,3)m +，点D 在32y x=的图像上， 3234m∴=+，解得：203m =2003m ∴≤≤．．【点睛】本题考查了菱形的性质，反比例函数图形上点的坐标特点，坐标与图形性质和平移等知识点，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键．22．无23．（1）33y x =-+；（2）36,55D ⎛⎫⎪⎝⎭；（3）猜想：CE AB =，CE AB ⊥．理由见解析；（4）163,55F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2129,55F ⎛⎫⎪⎝⎭． 【分析】（1）设直线AB 的解析式为y kx b =+，把1,0A ，()0,3B 代入03k b b +=⎧⎨=⎩，解方程组即可；（2）设()0,E t ，由1,0A ，()0,3B ，可求1OA =，3OB =，利用面积公式可求32AOBS=．由2BCE AOB S S =△△，可求3BCES =，利用面积求法()13332t -⨯=，求出1t =，可求点()0,1E ．可求直线CD 的解析式为113y x =+．联立11333y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，求解即可；（3）猜想：CE AB =，CE AB ⊥．理由如下：可证COE BOA △≌△， 由性质得CE AB =，OCE OBA ∠=∠，再求90CDA ∠=︒即可；（4）在射线CD 上存在两个F 点，使45DBF ∠=︒，记为1F 、2F ，过B 点作//GH x 轴，1FG GH ⊥于G ，2F H GH ⊥于H ．由CD AB ⊥，45DBF ∠=︒，可证12BF F △为等腰直角三角形，再证12BFG F BH △≌△（AAS ），可得2F HBG =，1BH FG =，设11,13F m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则2F HBG m ==-，求出212,33F m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，由点2F 在直线CD ：113y x =+上，构造方程1132133m m ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，解之即可．【详解】解：（1）设直线AB 的解析式为y kx b =+，把1,0A ，()0,3B 代入3k b b +=⎧⎨=⎩， 解得33k b =-⎧⎨=⎩，∴直线AB 的解析式为33y x =-+．（2）设()0,E t ，∵1,0A ，()0,3B ，∴1OA =，3OB =， ∴11313222AOB S OA OB =⋅=⨯⨯=△． ∵2BCE AOB S S =△△，∴3BCE S =， ∴()1133322BE OC t ⋅=-⨯=， 解得1t =，∴()0,1E ．设直线CD 的解析式为y=mx+n ，将C 、E 坐标代入得，-301m n n +=⎧⎨=⎩， 解方程组得131m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，直线CD 的解析式为113y x =+． 联立11333y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩， 解得35x =，65y =， ∴36,55D ⎛⎫ ⎪⎝⎭； （3）猜想：CE AB =，CE AB ⊥．理由如下：∵1OE OA ==，3OC OB ==，90COE BOA ∠=∠=︒，∴COE BOA △≌△，∴CE AB =，OCE OBA ∠=∠，∵90OBA BAO ∠+∠=︒，∴90OCE BAO ∠+∠=︒．∴90CDA ∠=︒，∴CE AB ⊥．（4）在射线CD 上存在两个F 点，使45DBF ∠=︒，记为1F 、2F ，过B 点作//GH x 轴，1FG GH ⊥于G ，2F H GH ⊥于H ． ∵CD AB ⊥，45DBF ∠=︒，∴∠BF 1D=∠BF 2D=45°，∴12BF F △为等腰直角三角形，∴12BF BF =，1290F BF ︒∠=，∴∠GBF 1+∠HBF 2=90°，∠HBF 2+∠HF 2B =90°，∴∠GBF 1=∠HF 2B∵∠G=∠H=90°，12BFG F BH △≌△（AAS ），∴2F H BG =，1BH FG =， 设11,13F m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则2F H BG m ==-， 11131233BH FG m m ⎛⎫==-+=- ⎪⎝⎭． ∴212,33F m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， ∵点2F 在直线CD ：113y x =+上， ∴1132133m m ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭， 解得65m =-． ∴163,55F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2129,55F ⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查直线的解析式，三角形面积，直线的位置关系与线段数量关系，三角形全等的判定与性质，利用点的坐标构造方程，掌握直线的解析式的求法，利用三角形面积求点坐标，判断直线的位置关系与线段数量关系方法，三角形全等的判定与性质，利用点的坐标构造方程，解题关键是引辅助线构造图形．24．19【分析】画出树状图，得出总结果数和指针两次都落在A 扇形的结果数，利用概率公式即可得答案．【详解】画树状图如下：∵共有9种等可能的结果，其中指针两次都落在A 扇形的结果有1种，∴指针两次都落在A 扇形的概率为19． 【点睛】 本题考利用列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．熟练掌握概率公式是解题关键． 25．（1）12771,122x x =-+=+；（2）123,2x x =-= 【分析】（1）根据配方法，可得答案；（2）根据因式分解法，可得答案．【详解】解：（1）移项，得2483x x -=．方程两边都除以4，得2324x x -=． 方程两边都加1，得232114x x -+=+． 配方，得27(1)4x -=． 开平方，得71x -=． 712x ∴=±+，121,122x x ∴=-+=+． （2）移项，得（2(3)5(3)0x x +-+=．(3)(35)0x x ∴++-=，(3)(2)0x x ∴+-=，123,2x x ∴=-=．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题关键．26．（1）见解析；（2）【分析】（1）先证四边形ABDE 为平行四边形，再证得AE ＝CD ，得四边形ADCE 是平行四边形，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得AD ＝CD ，即可得出结论；（2）先由菱形的性质得AD ＝AE ＝CE ＝CD ，AC ⊥DE ，OA ＝OC ，再证OD 是△ABC 的中位线，得AB ＝2OD ＝2，则AO ＝AB ＝2，然后由勾股定理求出AD 的长即可解决问题．【详解】解：（1）证明：∵AE ∥BC ，DE ∥AB ，∴四边形ABDE 为平行四边形，∴AE ＝BD ，∵AD 是边BC 上的中线，∴BD ＝CD ，∴AE ＝CD ，∴四边形ADCE 是平行四边形，又∵∠BAC ＝90°，AD 是边BC 上的中线，∴AD ＝12BC ＝CD ， ∴平行四边形ADCE 是菱形；（2）解：∵四边形ADCE 是菱形，∴AD ＝AE ＝CE ＝CD ，AC ⊥DE ，OA ＝OC ，∵BD ＝CD ，∴OD 是△ABC 的中位线，∴AB ＝2OD ＝2，∴AO ＝AB ＝2，∴AD∴菱形ADCE 的周长＝4AD ＝故答案为：【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理等知识；证得四边形ADCE为菱形是解题的关键．。
【浙教版】初三数学下期中试卷(带答案)
一、选择题1．如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，连接AD ，点E 在AC 边上，过点E 作//EF BC ，交AD 于点F ，过点E 作//EG AB ，交BC 于G ，则下列式子一定正确的是（ ）A ．AE EF EC CD =B ．BF EG CD AB =C ．AF BC FD GC = D ．CG AF BC AD = 2．如图，已知////AB CD EF ，它们依次交直线1l 、2l 于点A 、D 、F 和点B 、C 、E ，如果:3:1AD DF =，10BE =，那么CE 等于（ ）A ．103B ．203C ．52D ．1523．如图，△ABC 、△FGH 中，D 、E 两点分别在AB 、AC 上，F 点在DE 上，G 、H 两点在BC 上，且DE ∥BC ，FG ∥AB ，FH ∥AC ，若BG ：GH ：HC=4：6：5，则△ADE 与△FGH 的面积比为何？（ ）A ．2：1B ．3：2C ．5：2D ．9：4第II 卷（非选择题） 请点击修改第II 卷的文字说明参考答案4．如图在ABC 中，其中D 、E 两点分别在AB 、AC 上，且31AD =，29DB =，30AE =，32EC =．若50A ∠=︒，则图中1∠、2∠、3∠、4∠的大小关系正确的是（ ）．A ．13∠=∠B ．24∠∠=C ．23∠∠=D ．14∠<∠ 5．如图，在矩形OABC 中，点A 和点C 分别在y 轴和x 轴上．AC 与BO 交于点D ，过点C 作CE BD ⊥于点E ，2DE BE =．若5CE =，反比例函数(0,0)k y k x x=>>经过点D ，则k =（ ）A ．2B ．352C ．36D ．306．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，12AD BD =，则AE EC=（ ）A ．13B ．12C ．23D ．327．正比例函数1y 的图像与反比例函数2y 的图像相交于点(2,4)A ，下列说法正确的是（ ）A ．反比例函数2y 的解析式是28y x =-B ．两个函数图像的另一个交点坐标为(2,4)C ．当2x <-或02x <<时，12y y <D ．正比例函数1y 与反比例函数2y 都随x 的增大而增大8．如图，过反比例函数()0k y x x=>的图象上一点A 作AB x ⊥轴于点B ，连接AO ，若2AOB S =△，则k 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．59．已知反比例函数ab y x=,当x ＞0时,y 随x 的增大而增大,则关于x 的方程220ax x b -+=的根的情况是（ ） A ．有两个正根 B ．有两个负根C ．有一个正根一个负根D ．没有实数根 10．如图，四边形OABC 是矩形，ADEF 是正方形，点A 、D 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，点F 在AB 上，点B 、E 在反比例函数y ＝k x的图象上，OA ＝1，OC ＝6，则正方形ADEF 的边长为( )A ．1.5B ．1.8C ．2D ．无法求 11．若函数2m y x +=的图象在其每一个分支中y 的值随x 值的增大而增大，则m 的取值范围是( )A ．2m ≥B ．2m ＜C ．2m ≤-D ．2m -＜12．已知1(3A -，1)y 、1(2B -，2)y 、3(1,)C y 是一次函数3y x b =-+的图象上三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是( )A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．321y y y <<二、填空题13．如图，点О是正方形ABCD 的中心，DE 与О相切于点E ，连接,BE 若10,DE =102BE =О的面积是________________．14．如果23a c b d ==，其中20b d +≠，那么22a c b d +=+________． 15．如图，线段CD 两个端点的坐标分别为C （1，2）、D （2，0），以原点为位似中心，将线段CD 放大得到线段AB ，若点B 坐标为（5，0），则点A 的坐标为__________．16．若2a c e b d f===，且4b d f ++=，则a c e ++=_______． 17．双曲线y ＝k x经过点A （a ，﹣2a ），B （﹣2，m ），C （﹣3，n ），则m _____n （＞，＝，＜）． 18．已知点(,7)M a 在反比例函数21y x=的图象上，则a=______． 19．如图，在平面直角坐标系中，函数y kx =与2y x =-的图像交于A 、B 两点，过点A 作y 轴的垂线，交函数1y x=的图像于点C ，连接BC ，则ABC ∆的面积为 _________．20．已知点(1,),(3,)A a B b 都在反比例函数4y x=的图像上，则,a b 的大小关系为____．（用“<”连接）三、解答题21．如图，在等边ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，连接DE ，DC （E ，C 两点不重合），当AED DCB ∠=∠时，我们把AE EC 称为AD DB 的“类似比”，（1）若12AD DB =，则“类似比”AE EC =___________； （2）若(1)AD k k DB =<时，求“类似比”AE EC的值（用含k 的代数式表示）； （3）直接写出AED ∠和“类似比”AE EC的取值范围． 22．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°．（1）在斜边AB 上确定一点E ，使点E 到点B 距离和点E 到AC 的距离相等；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若BC=6，点E 到AC 的距离为ED=4，求BD 的长．23．如图，已知点O 是坐标原点，B 、C 两点的坐标分别为（3，－1），（2，1）．（1）以O 点为位似中心在y 轴的左侧将△OBC 放大到原图的2倍（即新图与原图的相似比为2），画出对应的△OB ꞌC ꞌ；（2）若△OBC 内部一点M 的坐标为（a ，b ），则点M 对应点M ′的坐标是 ；（3）求出变化后△OB ꞌC ꞌ的面积 ．24．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，点C 的坐标为()0,3，点A 在x 轴的负半轴上，点M 、D 分别在OA 、AB 上，且2AD AM ==；一次函数y kx b =+的图象过点D 和M ，反比例函数m y x=的图像经过点D ，与BC 交点为N ．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）直接写出使一次函数值大于反比例函数值的x 的取值范围；（3）若点P 在y 轴上，且使四边形OMDP 的面积与四边形OMNC 的面积相等，求点P 的坐标．25．已知x 1，x 2，x 3是y ＝1x图象上三个点的横坐标，且满足x 3＞x 2＞x 1＞0．请比较11x +21x 与32x 的大小，并说明理由．26．如图，已知一次函数1332y x =-与反比例函数2k y x =的图象相交于点A (4，n )和M(m ，﹣6)，与x 轴相交于点B ．（1）求m ，n 的值； （2）观察图象，当y 2≥﹣6且y 2≠0时，自变量x 的取值范围为 ，若y 1﹣y 2＜0时自变量x 的取值范围为 ；（3）若P 点为x 轴上一点， Q 点为平面直角坐标系中的一点，以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形为菱形，求Q 点的坐标．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据平行线分线段成比例性质进行解答便可．【详解】解：∵EF ∥BC ， ∴AF AE FD EC=， ∵EG ∥AB ， ∴AE BG EC GC =， ∴AF BC FD GC=， 故选：C ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例性质，关键是熟记定理，找准对应线段．2．C解析：C【分析】 根据平行线分线段成比例得到BC AD CE DF =，代入已知解答即可． 【详解】解：∵////AB CD EF ， ∴BC AD CE DF=， ∵:3:1AD DF =，10BE =，∴1031CE CE -=， 解得：CE=52， 故选：C ．【点睛】 本题考查平行线分线段成比例、比例的性质，掌握平行线分线段成比例是解答的关键，注意对应线段的顺序．3．D解析：D【解析】分析：只要证明△ADE ∽△FGH ，可得2⎛⎫= ⎪⎝⎭△△FGH ADE S DE S GH ，由此即可解决问题. 详解：∵BG ：GH ：HC=4：6：5，可以假设BG=4k ，GH=6k ，HC=5k ，∵DE ∥BC ，FG ∥AB ，FH ∥AC ，∴四边形BGFD 是平行四边形，四边形EFHC 是平行四边形，∴DF=BG=4k ，EF=HC=5k ，DE=DF+EF=9k ，∠FGH=∠B=∠ADE ，∠FHG=∠C=∠AED ， ∴△ADE ∽△FGH ， ∴2299=64ADE FGH S DE k S GH k ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选D ．点睛：本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．4．C解析：C 【分析】根据31AD =，30AE =，可得21∠<∠；根据题意，通过计算AB 和CD ，可得12AD AE ACAB ，即证明ADE ACB ∽，即可得到各个角度的大小关系． 【详解】∵31AD =，30AE =∴21∠<∠∵31AD =，29DB =，30AE =，32EC =∴60AB AD BD =+=，62AC AE EC =+= ∴12AD AE AC AB ∵50A ∠=︒∴ADE ACB ∽∴14∠=∠，23∠∠=∴13∠>∠，24∠<∠故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解．5．B解析：B【分析】作DF ⊥OC 于F ，根据矩形的性质和相似三角形的性质求得OD=3，OE=5，根据勾股定理求得30OC =，然后通过三角形相似求得DF 和OF ，从而求得D 的坐标，代入解析式即可求得k 的值．【详解】解：作DF ⊥OC 于F ，在矩形OABC 中，∠OCB=90°，OD=BD ，90,OCE BCE ∴∠+∠=︒∵CE ⊥OB ，90,CEO BEC ∴∠=∠=︒90,OCE COE ∴∠+∠=︒,COE BCE ∴∠=∠,COE BCE ∴∽,CE OE BE CE∴= ∴2,CE BE OE =∵2DE BE =，5,CE = 设,BE x =则DE=2x ，3,OD BD x ==∴OE=5x ，∴255,x x =解得，x=1（负根舍去），∴OD=3，OE=5，∴()22225530,OC OE CE =+=+=∵∠OFD=∠OEC=90°，∠DOF=∠EOC ，∴△DOF ∽△COE ， ∴,DF OF OD CE OE OC==5OF ==∴22OF DF ==∴D 的坐标为22⎛ ⎝⎭，∵反比例函数k y x =（k ＞0，x ＞0）经过点D ，∴k == 故选：B ．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，求得D 的坐标是解题的关键．6．B解析：B【分析】直接利用平行线分线段成比例定理得出答案即可．【详解】解：∵DE ∥BC ， ∴AE EC =12AD BD =． 故选：B ．【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例定理，了解定理的内容是解答此题的关键．7．C解析：C【分析】由题意可求正比例函数解析式和反比例函数解析式，由正比例函数和反比例函数的性质可分别进行判断求解，即可得出结论．【详解】解：∵正比例函数y 1的图象与反比例函数y 2的图象相交于点A （2，4），∴正比例函数12y x =，反比例函数28y x =，∴两个函数图象的另一个交点为（−2，−4），∴A ，B 选项错误；∵正比例函数12y x =中，y 随x 的增大而增大， 反比例函数28y x=中，在每个象限内y 随x 的增大而减小， ∴D 选项错误；∵当x ＜−2或0＜x ＜2时，y 1＜y 2，∴选项C 正确；故选：C ．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练运用反比例函数与一次函数的性质解决问题是本题的关键． 8．C解析：C【分析】根据点A 在反比例函数图象上结合反比例函数系数k 的几何意义，即可得出关于k 的含绝对值符号的一元一次方程，解方程求出k 值，再结合反比例函数在第一象限内有图象即可确定k 值．【详解】解：∵点A 在反比例函数k y x=的图象上，且AB x ⊥轴于点B ， ∴设点A 坐标为(,)x y ，即||k xy =， ∵点A 在第一象限，x y ∴、都是正数，1122AOB S OB AB xy ∴=⋅=， 2AOB S =，4k xy ∴==．故选：C ．【点睛】本题考查了反比例函数的性质以及反比例函数系数k 的几何意义，解题的关键是找出关于k 的含绝对值符号的一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数系数k 的几何意义找出关于k 的含绝对值符号的一元一次方程是关键． 9．C解析：C【分析】先根据反比例函数的性质得到0ab <，再利用根的判别式进行判断．【详解】解：因为反比例函数ab y x=，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大， 所以0ab <，所以△440ab =->， 所以方程有两个实数根， 再根据120b x x a=<， 故方程有一个正根和一个负根．故选C ．10．C解析：C【分析】根据OA 、OC 的长度，可得反比例函数的比例系数k=6，设正方形ADEF 的边长为x ，则OD DE=(1x)x=6⋅+⋅，解得x 即为正方形的边长．【详解】解：根据OA=1，OC=6，可得反比例函数的比例系数k=OA OC=6⋅，设正方形ADEF 的边长为x ，则OD=OA+AD=1+x ，DE=x ，则OD DE=(1x)x=6⋅+⋅，解得：x=2或-3（舍），故选：C ．【点睛】本题主要考察了反比例函数与几何图形的综合、解一元二次函数，解题的关键在于根据图形求出反比例函数的比例系数k ．11．D解析：D【分析】根据k ＜0，反比例函数的函数值y 在每一个分支中随x 值的增大而增大列出不等式计算即可得解．【详解】解：∵2m y x+=在其每一个分支中y 的值随x 值的增大而增大， 20m ∴+<，2m ∴<-．故选：D ．【点睛】此题考查反比例函数的性质．解题关键在于掌握反比例函数y=k x，当k ＞0时，在每一个象限内，函数值y 随自变量x 的增大而减小；当k ＜0时，在每一个象限内，函数值y 随自变量x 增大而增大．12．C解析：C【分析】 分别计算自变量为13-，12-和1时的函数值，然后比较函数值的大小即可． 【详解】 1(3A -，1)y 、1(2B -，2)y 、3(1,)C y 是一次函数3y x b =-+的图象上三点， 11y b ∴=+，232y b =+，33y b =-+． 3312b b b -+<+<+， 312y y y ∴<<．故选：C ．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了一次函数的性质．二、填空题13．25【分析】连接EO 可知EO ⊥ED 延长DE 到点F 作BF ⊥DF 根据题意可知△DEO ∽△DFB 在△EFB 中根据勾股定理求解得出半径的长然后再根据圆的面积公式求解即可；【详解】如图：连接EO 可知EO ⊥ED解析：25π【分析】连接EO ，可知EO ⊥ED ，延长DE 到点F ，作BF ⊥DF ，根据题意可知△DEO ∽△DFB ，在△EFB 中，222EB EF FB =+，根据勾股定理求解得出半径的长，然后再根据圆的面积公式求解即可；【详解】如图：连接EO ，可知EO ⊥ED ，延长DE 到点F ，作BF ⊥DF ，∵∠FDB=∠EDO ，∠DEO=∠DFB ，∴△DEO ∽△DFB ，∵EO=r ，ED=10，EB=∵DO=OB ，∴12DO EO DE DB FB DF===， ∴EF=10，FB=2r ， 在△EFB 中，222EB EF FB =+，(22=1004r +，∴ r=5，∴ 圆的面积为225r ππ=，故答案为：25π【点睛】本题考查了圆的面积公式、相似三角形的判定、勾股定理等知识，熟练掌握这些公式是解题的关键；14．【分析】根据已知条件得出再根据b+2d≠0即可得出答案【详解】解：∵∴∵b+2d≠0∴；故答案为：【点睛】本题考查了比例的性质熟练掌握比例的性质是解题的关键 解析：23【分析】 根据已知条件得出2223a c b d ==，再根据b+2d≠0，即可得出答案． 【详解】解：∵23a c b d ==， ∴2223a cb d ==， ∵b+2d≠0， ∴2223a cb d +=+； 故答案为：23． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．15．（255）【分析】利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出A 点坐标【详解】解：∵以原点O 为位似中心在第一象限内将线段CD 放大得到线段AB ∴B 点与D 点是对应点则位似比为：5：2∵C （12）∴解析：（2.5，5）．利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出A 点坐标．【详解】解：∵以原点O 为位似中心，在第一象限内，将线段CD 放大得到线段AB ，∴B 点与D 点是对应点，则位似比为：5：2，∵C （1，2），∴点A 的坐标为：（2.5，5）故答案为（2.5，5）．【点睛】本题考查位似图形的应用，熟练掌握位似图形的相似比和两点间的距离公式是解题关键． 16．8【分析】根据等比性质可得答案【详解】由等比性质得所以故答案为：8【点睛】本题考查了比例的性质利用了等比性质解析：8【分析】根据等比性质，可得答案．【详解】2a c e b d f===， 由等比性质，得24a c e a c eb d f ++++==++， 所以8ac e ++=．故答案为：8．【点睛】本题考查了比例的性质，利用了等比性质．17．＞【分析】先求出反比例函数解析式判断函数的增减性﹣2>﹣3即可判断mn 的大小【详解】∵双曲线y ＝经过点A （a ﹣2a ）∴k ＝﹣2a2＜0∴双曲线在二四象限在每个象限内y 随x 的增大而增大∵B （﹣2m ）C解析：＞．【分析】先求出反比例函数解析式，判断函数的增减性﹣2>﹣3，即可判断m ，n 的大小．．【详解】∵双曲线y ＝k x经过点A （a ，﹣2a ）， ∴k ＝﹣2a 2＜0， ∴双曲线在二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大，∵B （﹣2，m ），C （﹣3，n ），﹣2＞﹣3，∴m ＞n ，故答案为：＞．本题利用函数的性质比较大小，关键是求出函数解析式，掌握反比例函数的性质． 18．3【分析】把点代入反比例函数解析式求解即可【详解】解：∵点在反比例函数的图象上∴解得故答案为：3【点睛】本题考查反比例函数上点的坐标特征掌握反比例函数上点的坐标特征是解题的关键解析：3【分析】把点(,7)M a 代入反比例函数解析式，求解即可．【详解】解：∵点(,7)M a 在反比例函数21y x=的图象上， ∴217a=，解得3a =， 故答案为：3．【点睛】 本题考查反比例函数上点的坐标特征，掌握反比例函数上点的坐标特征是解题的关键． 19．3【分析】连接OC 设AC 交y 轴于E 根据反比例函数k 的几何意义求出△AOC 的面积再利用反比例函数关于原点对称的性质推出OA=OB 即可解决问题【详解】解：如图连接OC 设AC 交y 轴于E ∵AC ⊥y 轴于E ∴S解析：3【分析】连接OC ，设AC 交y 轴于E ．根据反比例函数k 的几何意义求出△AOC 的面积，再利用反比例函数关于原点对称的性质，推出OA=OB 即可解决问题．【详解】解：如图，连接OC 设AC 交y 轴于E ．∵AC ⊥y 轴于E ，∴S △AOE =12×2=1，S △OEC =12×1=12， ∴S △AOC =32，∵A ，B 关于原点对称，∴OA=OB ，∴S △ABC =2S △AOC =3，故答案为：3．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数系数k 的几何意义．20．【分析】根据题意把所给点的横纵坐标代入反比例函数的解析式求出a 与b 的值比较大小即可【详解】解：点A （1a ）在反比例函数的图像上则有点B （3b ）在反比例函数的图像上则有所以故答案为：【点睛】本题主要考 解析：b a <【分析】根据题意把所给点的横纵坐标代入反比例函数的解析式，求出a 与b 的值，比较大小即可．【详解】解：点A （1，a ）在反比例函数4y x =的图像上，则有441a ==， 点B （3，b ）在反比例函数4y x=的图像上，则有43b =， 所以b a <.故答案为：b a <.【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，注意掌握所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积等于比例系数． 三、解答题21．（1）1；（2）1k k -；（3）3060AED ︒<∠≤︒，0AE EC ≥． 【分析】（1）先根据“类似比”的定义、等边三角形的性质可得ADE BDC ，再根据相似三角形的性质即可得；（2）参照（1）的方法，利用相似三角形的判定与性质即可得；（3）先根据0,0AD AE BD EC≥≥求出k 的取值范围，再根据等边三角形的性质可求出DCB ∠的取值范围，由此即可得．【详解】（1）ABC 是等边三角形，60,ACB A B AC BC ∴∠=∠=∠=︒=，由“类似比”的定义得：AED DCB ∠=∠，在ADE 和BDC 中，A B AED BCD∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ADEBDC ∴， 12AE AD BC BD ∴==， 又BC AC AE EC ==+，12AE AE EC ∴=+，即AE EC =， 1AE EC∴=， 故答案为：1；（2）由（1）已证：AE AD k BC BD==， BC AC AE EC ==+，AE k AE EC∴=+， 解得1AE k EC k=-； （3）由题意得：001AD k BD AE k EC k ⎧=≥⎪⎪⎨⎪=≥⎪-⎩， 解得01k ≤<，01AD BD∴≤<，即0AD BD ≤<， 当0AD =，即点D 与点A 重合时，60DCB ACB ∠=∠=︒， 当AD BD =，即点D 是AB 的中点时，1302DCB ACB ∠=∠=︒， 3060DCB ∴︒<∠≤︒，又AED DCB ∠=∠，3060AED ∴︒<∠≤︒，综上，AED ∠的取值范围为3060AED ︒<∠≤︒，“类似比”AE EC 的取值范围为0AE EC≥． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．22．（1）见解析；（2）【分析】（1）先作B 的角平分线，与AC 交于点D ，再以D 为圆心DC 为半径画弧，在AD 上截取DF=DC ，再作CF 的垂直平分线，交AB 于点E ，此时BE=DE ；（2）根据ADE ACB 得DE AE BC AB=，求出AE 的长，再用勾股定理求出AC 和AD 的长，从而得到CD 的长，最后再用勾股定理求出BD 的长．【详解】 解：（1）如图所示，证明过程如下：∵BD 平分B ， ∴EBD CBD ∠=∠，∵ED AC ⊥，BC AC ⊥， ∴//ED BC ，∴CBD EDB ∠=∠，∴EBD EDB ∠=∠，∴BE DE =；（2）∵//DE BC ，∴ADE ACB ， ∴DE AE BC AB =， ∵4DE =，4AB AE BE AE =+=+，6BC =， ∴464AE AE =+，解得8AE =， ∴8412AB =+=， 根据勾股定理，2263AC AB BC -=2243AD AE DE =-=，∴634323CD =-=∴2243BD CD BC +=【点睛】本题考查尺规作图，勾股定理，相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握尺规作图的方法，以及利用几何的性质定理进行证明求解．23．（1）见解析；（2）（－2a ，－2b ）；（3）10【分析】（1）把B 、C 的横纵坐标都乘以-2得到B′、C′的坐标，然后描点即可；（2）利用（1）中对应点的关系求解；（3）先计算△OBC 的面积，然后利用相似的性质把△OBC 的面积乘以4得到△OB ꞌC ꞌ的面积．【详解】（1）如下图，△OB ꞌC ꞌ为所作；（2）点M 对应点M ′的坐标为（－2a ，－2b ）；（3）''11144(23212131)10222OB C OCB S S ∆∆==⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=． 【点睛】本题考查了作图、位似变换，熟练应用以原点为位似中心的两位似图形对应点的坐标的关系确定变换后对应点的坐标，然后描点得到变换后的图形．24．（1）反比例函数的解析式为6y x=-，一次函数的解析式为1y x =--；（2）x ＜-3或0＜x ＜2；（3）703⎛⎫ ⎪⎝⎭， 【分析】（1）由正方形OABC 的顶点C 坐标，确定出边长，及四个角为直角，根据2AD AM ==，求出AD 的长，确定出D 坐标，代入反比例解析式求出m 的值，再由2AD AM ==，确定出MO 的长，即M 坐标，将M 与D 坐标代入一次函数解析式求出k 与b 的值，即可确定出一次函数解析式；（2）联立方程组求得一次函数与反比例函数的交点坐标，然后结合函数图像确定使一次函数值大于反比例函数值的x 的取值范围；（3）设P （0，y ），根据四边形OMDP 的面积与四边形OMNC 的面积相等，列方程求出y 的值，确定出P 坐标即可．【详解】解：（1）∵正方形OABC 的顶点C （0，3），∴OA=AB=BC=OC=3，∠OAB=∠B=∠BCO=90°，∵2AD AM ==∴D （-3,2），M （-1,0）把D （-3,2）代入反比例函数m y x =中，23m =-，解得m=-6 把D （-3,2），M （-1,0）代入一次函数y kx b =+中320k b k b -+=⎧⎨-+=⎩，解得11k b =-⎧⎨=-⎩∴反比例函数的解析式为6y x =-，一次函数的解析式为1y x =--（2）联立方程组61y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=--⎩，解得1132x y =-⎧⎨=⎩，222-3x y =⎧⎨=⎩ ∴使一次函数值大于反比例函数值的x 的取值范围为x ＜-3或0＜x ＜2（3）连接MN ，DP ，OD由题意可得N （-2,3）∴119()(12)3222OMNC S OM NC OC =+=+⨯=四边形 1131231222OMD OPD OMDP S S S y y =+=⨯⨯+⨯=+△△四边形 由题意，391=22y +，解得7=3y ∴P 点坐标为703⎛⎫ ⎪⎝⎭，【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数、反比例函数解析式，坐标与图形性质，正方形的性质，以及三角形面积计算，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．25．123112+>x x x ，理由见解析 【分析】先判断11x +21x 与32x 的大小，然后根据函数图象和题意，即可得到11x +21x 与32x 的大小关系．【详解】解：11x +21x ＞32x ，理由：∵x 1，x 2，x 3是y ＝11x 图象上三个点的横坐标，且满足x 3＞x 2＞x 1＞0， ∴11x ＞31x ，21x ＞31x ， ∴11x +21x ＞31x +31x 即11x +21x ＞32x ． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．26．（1）m =－2，n=3 ；（2）x ≤﹣2或x ＞0；0＜x ＜4或x ＜﹣2； （3）点Q 的坐标为（4，3）或（43）或（34，3）或（4，﹣3） 【分析】（1）把点A 、B 的坐标代入直线的解析式求解即可；（2）满足条件y 2≥﹣6且y 2≠0时的x 的取值范围即为反比例函数2k y x=在直线y =﹣6与x 轴之间的图象与第一象限内的图象对应的x 的范围，满足y 1﹣y 2＜0时自变量x 的取值范围即为反比例函数比直线高的图象部分对应的x 的取值范围，据此解答即可；（3）先求出点B 的坐标，再分三种情况：①AB 、BP 为菱形的边，如图1；②AB 为菱形的对角线，如图2；③AB 为边、BP 为对角线，如图3；分别利用菱形的性质和勾股定理求解即可．【详解】解：（1）把点A (4，n )和M (m , ﹣6)代入一次函数1332y x =-， 得：34332n =⨯-=，3632m -=-， ∴2m =-，3n =； （2）对2k y x=，当y 2≥﹣6且y 2≠0时，自变量x 的取值范围为x ≤﹣2或x ＞0； 若y 1﹣y 2＜0即y 1＜y 2时自变量x 的取值范围为0＜x ＜4或x ＜﹣2； （3）对1332y x =-，可得点B 的坐标为（2，0）， ①若AB 、BP 为菱形的边，则AB ==若点P 在点B 右侧，如图1，则所以点Q 的坐标为（43）；若点P 在点B 左侧，同理可得点Q 的坐标为（413-，3）；②若AB 为菱形的对角线，如图2，设点Q 坐标为（n ，3），则BQ=AQ=4－n ， 过点Q 作QF ⊥x 轴于点F ，则BF=2－n ，QF=3，在Rt △BQF 中，根据勾股定理，得()()222324n n +-=-，解得34n =， ∴点Q 的坐标为（34，3）；③若AB 为边、BP 为对角线，如图3，由菱形的性质知：点Q 、A 关于x 轴对称， ∴点Q 的坐标为（4，﹣3）；综上，点Q 的坐标为（413，3）或（413+，3）或（34，3）或（4，﹣3）． 【点睛】 本题主要考查了一次函数与反比例函数的图象与性质、菱形的性质以及勾股定理等知识，属于常考题型，熟练掌握相关知识、灵活应用数形结合的思想是解题的关键．。
【浙教版】初三数学下期中试卷(含答案)
一、选择题1．抛物线()2212y x =+-的对称轴是（ ）A ．直线1x =B ．直线1x =-C ．直线2x =D ．直线2x =- 2．已知二次函数2(2)1y mx m x =+--（m 为常数，且0m ≠），（ ）A ．若0m >，则1x <，y 随x 的增大而增大B ．若0m >，则1x >，y 随x 的增大而减小C ．若0m <，则1x <，y 随x 的增大而增大D ．若0m <，则1x >，y 随x 的增大而减小 3．二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，下列结论中正确的有①abc ＞0；②b 2﹣4ac ＜0；③2a ＞b ；④（a +c ）2＜b 2；⑤a ﹣2b +4c ＞0．（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如图是抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的一部分，抛物线的顶点坐标A （1，3），与x 轴的一个交点为B （4，0），直线y 2＝mx ＋n （m≠0）与抛物线交于A 、B 两点，结合图象分析下列结论：①2a ＋b ＝0；②abc ＞0；③方程ax 2＋bx ＋c ＝3有两个相等的实数根；④当1＜x ＜4时，有y 2＜y 1；⑤抛物线与x 轴的另一个交点是（﹣1，0）．其中正确的是（ ）A ．①②③B ．②④C ．①③④D ．①③⑤ 5．已知二次函数223y x x =--+，下列叙述中正确的是（ ）A ．图象的开口向上B ．图象的对称轴为直线1x =C ．函数有最小值D ．当1x >-时，函数值y 随自变量x 的增大而减小6．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，给出下列四个结论：①240b ac -<；②0a b c ++<；③2a b >；④0abc >，其中正确的结论是（ ）． A ．①② B ．②④ C ．③④ D ．②③④ 7．如图，在Rt ABC 中，90,4,3ACB AC BC ∠=︒==，将ABC 绕直角边AC 的中点O 旋转，得到DEF ，连接AD ，若DE 恰好经过点C ，且DE 交AB 于点G ，则tan DAG ∠的值为（ ）A ．524B ．513C ．512D ．724 8．在Rt △ABC 中，若∠C=90°，BC=2AC ，则cosA 的值为（ ） A ．12 B ．3 C ．25 D ．5 9．如图，在直角坐标系中，P 是第一象限内的点，其坐标是(3,4)，且OP 与x 轴正半轴的夹角为α，则sin α的值为（ ）A ．45B ．54C ．35D ．5310．已知ABC 的三个顶点均在正方形网格的格点上，则tan A 的值为（ ）A ．12B ．2105C ．105D ．25 11．cos45°的值为（ ） A ．1 B ．12 C ．2 D ．3 12．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若1cos 2B =，则sin A 的值为（ ） A ．1 B ．12 C ．32 D ．33二、填空题13．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10cm ，BC ＝8cm ，点P 从点A 沿AC 向点C 以1cm/s 的速度运动，同时点Q 从点C 沿CB 向点B 以2cm/s 的速度运动（点Q 运动到点B 停止），在运动过程中，四边形PABQ 的面积最小值为_____cm 214．将抛物线y ＝2x 2向左平移2个单位，所得抛物线的对称轴是直线_____． 15．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，给出下列四个结论：①a ＜0；②4ac ＞b 2；③4a ＋c ＜2b ；④3b ＋2c ＜0．其中正确的是____________．(填序号)16．抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴的交点是(1,0)-，(5,0)，则这条抛物线的对称轴是直线x =__________．17．如图，∠DBC ＝30°，AB ＝DB ，利用此图求tan75°＝ _____ ．18．如图是一个海绵施把，图1、图2是它的示意图，现用线段BC 表示拉手柄，线段DE 表示海绵头，其工作原理是：当拉动BC 时线段OA 能绕点O 旋转（设定转角AOQ ∠大于等于0°且小于等于180°），同时带动连杆AQ 拉着DE 向上移动．图1表示拖把的初始位置（点O 、A 、Q 三点共线，P 、Q 重合），此时45cm OQ =，图2表示拉动过程中的一种状态图，若DE 可提升的最大距离10cm PQ =．（1）请计算：OA =______cm ；AQ =_____cm ．（2）当1sin 10OQA ∠=时，则PQ =______cm ． 19．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝5，将△ABC 折叠，使点B 落在AC 边上的点D 处，EF 为折痕，若sin ∠CFD 的值为23，则BE ＝_____．20．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，30ACB ∠=︒，2AB =，点E 为AC 上任意一点（不与点A 、C 重合），连结EB ，分别过点A 、B 作BE 、AE 的平行线交于点F ，则EF 的最小值为__________．三、解答题21．如图，已知等边ABC ∆的边长为8，点M 、N 分别在AB 、AC 边上，3CN =．（1）把ABC ∆沿MN 折叠，使得点A 的对应点是点A '落在AB 边上（如图1）．求折痕MN 的长度；（2）如图2，若点P 在BC 上运动，且始终保持60MPN ∠=︒①请判断MBP ∆和PCN ∆是否相似？并说明理由；②当点P 在何位置时线段BM 长度最大，并求出线段BM 长度的最大值．22．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是()0,2．试寻找一些点，使他们满足“到点A 与到x 轴的距离相等”．小明在探究过程中首先想到了OA 的中点M 满足条件，点M 到点A 和x 轴的距离都是1．接着，小明过x 轴上一点()4,0B 作x 轴的垂线l ．他认为在l 上应该有一个点N 到点A 与到x 轴的距离相等．（1）请你用尺规作图找出点N （不写画法，保留作图痕迹）并求出点N 的坐标；（2）小明用同样的方法又找出了一些符合条件的点，并把这些点用平滑的曲线连接起来他发现这些点在一条对称轴为y 轴的抛物线上．请你根据以上探究和发现，求出这条抛物线的解析式；（3）请直接写出平面内到点A 和直线2y =-距离相等的点所在抛物线的解析式． 23．2020年是国家实施精准扶贫、实现贫困人口全面脱贫的决胜之年．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售，在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销售，采取降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克，第x 天的售价为y 元/千克，y 关于x 的函数解析式为()()76120,2030,mx m x x y n x x ⎧-≤<⎪=⎨≤≤⎪⎩为正整数为正整数且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成本是18元/千克，每天的利润是W 元（利润＝销售收入－成本）．（1）m =______，n =______；（2）求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？24．手机软件Smart Measure （智能测量）是一款非常有创意且实用性很高的数码测距工具．它可以利用手机上的摄像头和距离传感器来测量目标的距离、高度、宽度、角度和面积．测量过程非常简单；如图1、图2，打开软件后先将手机摄像头对准物体的底部按测量键，保持相同姿势，再把手机相机镜头对准测量物体的顶端按测量键，最后按下“大树键”即可测量出物体的高度智能软件的运行离不开数学原理．如图3，测量者AB 使用Smart Measure 测量一棵大树CD 的高，软件显示8m AC =，10m AD =，53CAD ∠=︒，请你根据数学知识求出大树CD 的高．（结果可保留根号）（为了计算方便，约定434sin53,cos53,tan53555︒=︒=︒=）． 25．（3.14﹣π）0﹣3tan30°3﹣2|﹣11()2-． 26．（1）计算：()10122sin 45tan 50192-⎛⎫--︒--︒-+ ⎪⎝⎭（2）已知4cos60x =︒，先化简，再求2221111x x x x ++---的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】根据二次函数的顶点式的性质求对称轴即可；【详解】∵ ()2212y x =+- ， ∴对称轴为：x=-1，故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数顶点式的性质，正确掌握知识点是解题的关键．2．D解析：D【分析】先求出二次函数图象的对称轴，然后根据m 的符号分类讨论，结合图象的特征即可得出结论．【详解】该二次函数图象的对称轴为直线21122m x m m -=-=-+， 若0m >，对于22m x m -=-无法判断其符号，故A 、B 选项不一定正确； 若0m <，则202m x m -=-<，即22m m--<1，且抛物线的开口向下， ∴当1x >时，y 随x 的增大而减小，故选：D ．【点睛】此题考查的是二次函数的图象及性质，解决此题的关键是分类讨论确定对称轴的位置，再结合开口方向进行综合分析．3．C解析：C【分析】由函数图象可知a ＜0，对称轴﹣1＜x ＜0，图象与y 轴的交点c ＞0，函数与x 轴有两个不同的交点；即可得出b ﹣2a ＞0，b ＜0；△＝b 2﹣4ac ＞0；再由图象可知当x ＝1时，y ＜0，即a +b +c ＜0；当x ＝﹣1时，y ＞0，即a ﹣b +c ＞0；当x ＝﹣12时，y ＞0，即14a ﹣12b +c ＞0，即可求解．【详解】解：由函数图象抛物线开口向下，对称轴﹣1＜x ＜0，图象与y 轴的交点c ＞0， ∴a ＜0，2b a -＜0，c ＞0， ∴b ＜0，∴abc ＞0，故①正确；∵函数与x 轴有两个不同的交点，∴△＝b 2﹣4ac ＞0，故②错误； ∵2b a-＞﹣1， ∴2a ＜b ，故③错误；当x ＝1时，y ＜0，即a +b +c ＜0；当x ＝﹣1时，y ＞0，即a ﹣b +c ＞0；∴（a +b +c ）（a ﹣b +c ）＜0，即（a +c ）2＜b 2；故④正确；∵x ＝﹣12时，y ＞0， ∴14a ﹣12b +c ＞0，即a ﹣2b +4c ＞0，故⑤正确； 故选：C ．【点睛】此题考查二次函数的图象，根据图象确定式子的正负，正确理解函数图象，由图象得到相关信息，掌握二次函数的性质，根的判别式与图象的关系是解题的关键．4．C解析：C【分析】根据抛物线对称轴方程对①进行判断；由抛物线开口方向得到a ＜0，由对称轴位置可得b ＞0，由抛物线与y 轴的交点位置可得c ＞0，于是可对②进行判断；根据顶点坐标对③进行判断；根据函数图象得当1＜x ＜4时，一次函数图象在抛物线下方，则可对④进行判断；根据抛物线的对称性对⑤进行判断．【详解】∵抛物线的顶点坐标A （1，3），∴抛物线的对称轴为直线x ＝2b a-＝1， ∴2a ＋b ＝0，所以①正确；∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∴b ＝﹣2a ＞0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0，∴abc ＜0，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标A （1，3），∴x ＝1时，二次函数有最大值，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝3有两个相等的实数根，所以③正确；∵抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c 与直线y 2＝mx ＋n （m≠0）交于A （1，3），B 点（4，0）， ∴当1＜x ＜4时，y 2＜y 1，所以④正确．∵抛物线与x 轴的一个交点为（4，0），而抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴抛物线与x 轴的另一个交点为（﹣2，0），所以⑤错误；故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像、一次函数图像、二次函数的图象与系数的关系等知识，考查知识点较多，解答的关键在于读懂图象信息，掌握二次函数知识，灵活运用所学知识解决问题． 5．D解析：D【分析】将函数图形变成顶点式，依照二次函数的性质对比四个选项即可得出结论．【详解】解：A. 2223=(1)4y x x x =--+-++∵a=-1<0，∴图象的开口向下，故选项A 错误；B.2223=(1)4y x x x =--+-++∴图象的对称轴为直线1x =-，故选项B 错误；C.2223=(1)4y x x x =--+-++∵a=-1<0，∴图象的开口向下，函数有最大值，故选项C 错误；D. 2223=(1)4y x x x =--+-++∴当1x >-时，函数值y 随自变量x 的增大而减小，故选项D 正确；故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是将二次函数关系式变为顶点式，联立二次函数性质对比四个选项即可．6．B解析：B【分析】根据抛物线与x 轴交点可判断①；根据x=1时，y ＜0，可判断②；对称轴x=-1可判断③；根据抛物线开口方向、对称轴、与y 轴交点可判断④．【详解】解：①由抛物线图象与x 轴有两个交点可知240b ac ->，故①错误；②由图象知，当x=1时，y=a+b+c ＜0，故②正确；③抛物线对称轴x=-1，即-2b a=-1＜0，即b=2a ＜0，即③错误； ④由抛物线图象得：开口向下，即a ＜0；c ＞0，b ＜0，∴abc ＞0，故④正确； 所以正确的有：②④，故选：B ．【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，掌握二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定是解题的关键． 7．D解析：D【分析】连接OG ，由勾股定理求出AB=5，由直角三角形的性质求出CG ，CD ，AD 的长，由锐角三角函数的定义可得出答案．【详解】解：连接OG ，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，∴222243AC BC+=+，∵点O是AC边的中点，∴OC=OA=OD=12AC=2，∴∠GCO=∠ODC=∠BAC，∠ADC=90°，∴AG=CG，∴OG⊥AC，在Rt△ABC中，sin∠BAC=35BCAB=，cos∠BAC=45ACAB=，∴sin∠OCG=35，cos∠OCG=45，在Rt△OCG中，CG=5 cos2OCOCG=∠，在Rt△ACD中，CD=AC•cos∠OCG=165，AD=AC•sin∠OCG=125，∴DG=CD-CG=165-52=710，∴tan∠DAG=771012245DGAD==．故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．8．D解析：D【分析】设AC=k，则BC=2k，5k，根据三角函数的定义计算即可.【详解】如图，设AC=k ，则BC=2k ，根据勾股定理，得AB= 22AC BC +=5k ， ∴cosA=5AC AB k==5， 故选D.【点睛】本题考查了锐角三角函数，熟记三角函数的定义，并灵活运用勾股定理是解题的关键. 9．A解析：A【分析】根据坐标与图形的关系得到OA ＝3，AP ＝4，根据勾股定理得到OP ＝5，根据正弦的概念解答即可．【详解】作PA ⊥x 轴于A ，由题意得，OA ＝3，AP ＝4，由勾股定理得，OP ＝5，则sinα＝PA OP ＝45， 故选：A ．【点睛】 本题考查的是锐角三角函数的定义、坐标与图形的关系，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．10．A解析：A【分析】作BD ⊥AC 于D ，根据勾股定理，可得BD 、AD 的长，根据正切为对边比邻边，可得答案．【详解】解：如图：作BD ⊥AC 于D ，， 2，AD=22 tanA=21222BD AD ==， 故选：A ．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．11．C解析：C【分析】直接根据特殊角的三角函数值即可得出结论；【详解】 ∵2cos 452=° ， 故选：C ．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键． 12．B解析：B【分析】根据互余角的三角函数间的关系：sin （90°-α）=cosα，cos （90°-α）=sinα解答即可．【详解】解：解：∵在△ABC 中，∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴sinA= cosB=12， 故选：B ．【点睛】本题考查了互余两角的三角函数关系式，掌握当∠A+∠B=90°时， sinA= cosB 是解题的关键． 二、填空题13．15【分析】在Rt△ABC中利用勾股定理可得出AC=6cm设运动时间为t （0≤t≤4）则PC=（6-t）cmCQ=2tcm利用分割图形求面积法可得出S四边形PABQ=S△ABC-S△CPQS四边形P解析：15【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理可得出AC=6cm，设运动时间为t（0≤t≤4），则PC=（6-t）cm，CQ=2tcm，利用分割图形求面积法可得出S四边形PABQ=S△ABC-S△CPQ，S四边形PABQ=（t-3）2+15，则可求出四边形PABQ的面积最小值，此题得解．【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，∴=6cm．设运动时间为t（0≤t≤4），则PC=（6-t）cm，CQ=2tcm，∴S四边形PABQ=S△ABC-S△CPQ，代入得：S四边形PABQ =12×6×8-12（6-t）×2t变形得：S四边形PABQ =（t-3）2+15，∴当t=3时，四边形PABQ的面积取最小值，最小值为15．故答案为：15．【点睛】本题考查了二次函数的最值以及勾股定理，利用分割图形求面积法，列出二次函数并进行变形求极值是解题的关键．14．x＝-2【分析】利用平移可求得平移后的抛物线的解析式可求得其对称轴【详解】解：∵将抛物线y＝2x2向左平移2个单位长度后抛物线解析式为y＝2(x+2)2∴所得抛物线的对称轴为直线x＝-2故答案是：x解析：x＝-2【分析】利用平移可求得平移后的抛物线的解析式，可求得其对称轴．【详解】解：∵将抛物线y＝2x2向左平移2个单位长度后抛物线解析式为y＝2(x+2)2，∴所得抛物线的对称轴为直线 x＝-2．故答案是：x＝-2．【点睛】主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握函数图象平移的规律并准确运用平移规律求函数解析式是解题的关键．15．①④【分析】根据二次函数的性质和系数之间的关系和图象逐个判断即可【详解】解：∵抛物线开口向下∴a＜0；①正确；∵图象与x轴有两个交点∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根∴b2-4ac＞0∴解析：①④【分析】根据二次函数的性质和系数之间的关系和图象逐个判断即可．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a ＜0；①正确；∵图象与x 轴有两个交点，∴方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根，∴b 2-4ac ＞0，∴4ac ＜b 2，②错误；∵当x=-2时，y ＞0，∴4a-2b+c ＞0，∴4a+c ＞2b ，③错误；∵抛物线的对称轴为12b x a=-=-， ∴b=2a ，∵当x=1时，y ＜0，∴a+b+c ＜0 ∴102b b c ++<， ∴320b c +<，④正确故答案为①④．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象为抛物线，当a ＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线2b x a=-，抛物线与y 轴的交点坐标为（0，c ）；当b 2-4ac ＞0，抛物线与x 轴有两个交点；当b 2-4ac=0，抛物线与x 轴有一个交点；当b 2-4ac ＜0，抛物线与x 轴没有交点．16．【分析】根据抛物线的对称性即可求解【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c 与x 轴的公共点的坐标是（-10）（50）∴这条抛物线的对称轴是直线x=（5-1）=2故答案为2【点睛】本题考查了抛物线与x 轴解析：2【分析】根据抛物线的对称性即可求解．【详解】解：∵抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的公共点的坐标是（-1，0），（5，0），∴这条抛物线的对称轴是直线x=12（5-1）=2， 故答案为2．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 17．【分析】由推出根据三角形的外角等于与它不相邻的两内角和知设表示出进一步表示根据求解【详解】解：设故答案是：【点睛】本题考查了解直角三角形的知识熟悉相关性质是解题的关键解析：2+【分析】由AB BD =推出∠=∠A ADB ，根据三角形的外角等于与它不相邻的两内角和知15A ∠=︒，75ADC ∠=︒．设CD x =，表示出AB 、BD 、BC ，进一步表示AC ．根据tan tan 75AC ADCCD 求解． 【详解】解：AB BD =，A ADB ∴∠=∠．302DBC A ，15A ∴∠=︒，75ADC ∠=︒．设CD x =， 21sin 2CDx AB BD x DBC ， 222223BC BD CD x x x ， (23)AC AB BC x ，tan tan75ADCAC CD=2=故答案是：2+【点睛】本题考查了解直角三角形的知识，熟悉相关性质是解题的关键．18．40或【分析】（1）由题意可知：OA 定义DE 使得最大值的一半AQ ＝OQ-OA 即可解决问题（2）分两种情形分别画出图形解直角三角形即可解决问题【详解】解：（1）由题意故答案为540（2）当是钝角时如图解析：40 42-48-【分析】（1）由题意可知：OA 定义DE 使得最大值的一半，AQ ＝OQ -OA 即可解决问题． （2）分两种情形分别画出图形，解直角三角形即可解决问题．【详解】解：（1）由题意11052OA cm =⨯=，45540AQ cm =-=，故答案为5，40．（2）当OAQ ∠是钝角时，如图1中，作AH PQ ⊥于H ．在Rt AHQ ∆中，1sin 10AH AQH AQ ∠==，40AQ =， 4AH ∴=，22224041211QH AQ AH ∴=-=-=，在Rt QOH ∆中，223OHOA AH ，31211OQ ∴=+，45(31211)(421211)PQ cm ∴=-+=-， 当OAQ ∠是锐角时，如图2中，作AH OP ⊥交PO 的延长线于H ．同法可得：12113OQ =-，45(12113)(481211)PQ cm ∴=--=-．故答案为：421211-或481211-．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．19．3【分析】由题意得△BEF ≌△DEF 故∠EDF=∠B ；由三角形的外角性质即可解决【详解】解：∵在△ABC 中∠BAC=90°AB=AC=5∴∠B=∠C 设BE=x ∵AB=5∴AE=AB-BE=5-x ∵将解析：3【分析】由题意得△BEF ≌△DEF ，故∠EDF=∠B ；由三角形的外角性质，即可解决．【详解】解：∵在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=5，∴∠B=∠C ，设BE=x ，∵AB=5∴AE=AB-BE=5-x ，∵将△ABC 折叠，使点B 落在AC 边上的点D 处，∴△BEF ≌△DEF∴BE=DE=5-x ，∠B=∠EDF=∠C∵∠ADE+∠EDF=∠C+∠DFC∴∠ADE=∠DFC∴sin ∠CFD=sin ∠ADE=523AE x DE x -==， 解得，x=3，即，BE=3故答案为：3【点睛】主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用全等三角形的性质、三角形外角性质等知识来解决问题． 20．【分析】由题意过点B 作BH ⊥AC 于H 先解直角三角形求出BH 再根据垂线段最短进行分析即可求解【详解】解：如图过点B 作BH ⊥AC 于H 在Rt △ABC 中∵∠ABC=90°AB=2∠C=30°∴AC=2AB=解析：3【分析】由题意过点B 作BH ⊥AC 于H ，先解直角三角形求出BH ，再根据垂线段最短进行分析即可求解．【详解】解：如图，过点B 作BH ⊥AC 于H ，在Rt △ABC 中，∵∠ABC=90°，AB=2，∠C=30°，∴AC=2AB=4，3∵∠BHC=90°，∴BH=12， ∵BF//AC ，∵当EF ⊥AC 时，EF 的值最小，最小值【点睛】本题考查解直角三角形的应用和平行线的性质以及垂线段最短等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．三、解答题21．（1）MN =2）①相似，见解析；②当点P 位于BC 的中点时，线段BM 长度最大值为163【分析】(1)根据等边三角形的性质和三角函数解答即可；(2)①根据相似三角形的判定解答即可；②根据相似三角形的判定和性质得出二次函数，进而利用二次函数的最值解答即可.【详解】解：（1）等边ABC ∆的边长为8 60A B C ∴∠=∠=∠=︒，8AB BC AC ===，3CN =，5AN ，把ABC ∆沿MN 折叠，点A 的对应点A '恰好落在AB 边上90NMA ∴∠=︒sin MN A AN∴=sin 6052MN AN ∴=⋅︒=⨯=（2）①60MPN ∠=︒，120MPB NPC ∴∠+∠=︒60B ∠=︒120MPB BMP ∴∠+∠=︒，NPC BMP ∴∠=∠，60B C ∠=∠=︒MBP PCN ∴∆∆②设BP x =，BM y =，则8PC x =- ∵ΔMBP ∼ΔPCNBM BP PC CN ∴= 83y x x ∴=- ()()22211116881616(4)3333y x x x x x ∴=--=--+-=--+ 当4x =时，y 最大值为163，因此，当点P 位于BC 的中点时，线段BM 长度最大值为163． 【点睛】 此题考查相似三角形的综合题，关键是根据相似三角形的判定和性质以及二次函数的最值解答.22．（1）见解析；N ()4,5；（2）2114y x =+；（3）218y x = 【分析】（1）利用尺规作图，作出线段AB 的垂直平分线即可；（2）设出抛物线的解析式，结合题意分析出点M 为抛物线的顶点，点N 在抛物线上，利用待定系数法直接求解即可；（3）设出抛物线解析式，结合题意分析出抛物线经过原点，且经过点（4、2）点（-4、2）利用待定系数法求解即可．【详解】解：（1）如图，连接AB ，作线段AB 的垂直平分线，与直线l 相交于点N ，点N 即为所求．连接AN ，过点A 作AH BN ⊥于点H ，设点N 的坐标为()4,y由作图可知AN y =，在Rt ANH ∆中，4AH =，2NH y =-，22(2)16y y ∴=-+，解得5y =∴点N 的坐标为()4,5；（2）此抛物线关于y 轴对称，∴点()0,1M 是抛物线的顶点，设抛物线的解析式为21y ax =+，将点()4,5N 代入得，14a =， ∴抛物线的解析式为2114y x =+． （3）设抛物线的解析式为：2y ax bx c =++，结合题意可知抛物线经过原点，和点（4、2）点（-4、2）则有164216420a b b c +=⎧⎪-=⎨⎪=⎩解得1800a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩∴抛物线的解析式为：218y x =． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图，待定系数法求函数解析式，解题关键是结合题意确定满足条件的点．23．（1）12m =-，25n =；（2）当18x =时，968W =最大． 【分析】（1）根据题意将第12天的售价、第26天的售价代入即可得；（2）在（1）的基础上分段表示利润，讨论最值．【详解】解：（1）第12天的售价为32元/件，代入76y mx m =-得 321276m m =-，解得12m =-， 当地26天的售价为25元/千克时，代入y n =，则25n =， 故答案为：12m =-，25n =． （2）由（1）第x 天的销售量为()2041x +-即416x +．当120x ≤<时，()()22141638182723202189682W x x x x x ⎛⎫=+-+-=-++=--+ ⎪⎝⎭， ∴当18x =时，968W =最大．当2030x ≤≤时，()()416251828112W x x =+-=+，∵280>，∴W 随x 的增大而增大，∴当30x =时，952W =最大．∵968952>，∴当18x =时，968W =最大．【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，弄清题意，找准题中的数量关系，运用分类讨论思想是解题的关键．24．【分析】过点D 作DH AC ⊥于H ，首先利用三角函数求出AH ，DH 的长度，进而求出CH 的长度，最后利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图，过点D 作DH AC ⊥于H ．在Rt ADH 中，在Rt ADH 中，cos AH CAD AD∠=， sin DH CAD AD∠=， ∴3cos53106(m)5AH AD =⋅︒≈⨯=， 4sin53108(m)5DH AD =⋅︒≈⨯=． ∵8m AC =， ∴2(m)CH AC AH =-=． ∴222282217(m)CD DH CH =+=+=． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，构造出直角三角形是解题的关键．25．3【分析】先计算0指数、三角函数值、负指数和绝对值，再加减．【详解】解：（3.14﹣π）0﹣3tan30°32|﹣11()2-． 33， 3【点睛】本题考查了包含三角函数、0指数和负指数的实数计算，解题关键是熟记特殊角三角函数值，明确0指数、负指数的意义．26．（1）0；（2）1x x -，2． 【分析】 （1）原式先根据绝对值的代数意义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零次幂以及算术平方根进行化简，再求出答案即可；（2）先求出x 的值，再根据异分母分式的减法进行通分并化简，最后把x 的代入化简结果中求值即可．【详解】解：（1）()1012sin 45tan 5012-⎛⎫︒--︒- ⎪⎝⎭=22132⨯--+=213-+=0；（2）2221111x x x x ++--- =2211(1)(1)x x x x x ++--+- =(1)(1)(1)x x x x ++- =1x x - ∵14cos60=4=22x =︒⨯， ∴原式=2221=-． 【点睛】 本题考查了分式的化简求值，绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零次幂以及算术平方根等知识点，能灵活运用知识点进行计算和化简是解此题的关键．。
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期中检测卷（满分:120分 时间:120分钟）一、选择题（每小题3分，共30分）1.已知⊙O 的半径是5，直线l 是⊙O 的切线，则点O 到直线l 的距离是( ) A.2.5B.3C.5D.102.如图是教学用的直角三角板，边AC =30 cm ，∠C =90°，tan∠BAC =，则边BC 的长为（ ）A.30 cmB.20 cmC.10cmD.5 cm3.一辆汽车沿坡角为的斜坡前进500米，则它上升的高度为（ ）A.500sinB.500sin αC.500cosD.500cos α4.如图，在△ABC 中，BC =10，∠B =60°，∠C =45°，则点A 到BC 的距离是（ ） A.1053 B.5+53 C.1553D.151035.如图，PA 和PB 是⊙O 的切线，点A 和B 是切点，AC 是⊙O 的直径，已知∠P ＝40°，则∠ACB 的大小是（ ）A.40°B.60°C.70°D.80° 6.计算6tan 452cos 60︒-︒ 的结果是( ) A.43 B.4C.53D.57.如图，在ABC △中，90,5,3,∠C AB BC =︒== 则sin A 的值是( ) A.34 B.34 C.35D.45第2题8.上午9时，一船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30 分到达B 处，如图所示，从A，B两处分别测得小岛M在北偏东45°和北偏东15°方向，那么B处与小岛M的距离为（）A.20海里B.202海里C.153海里D.203海里9.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上一点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（）A．40° B. 50° C. 60° D.70°第9题图10.如图，AB是的直径，AC是的切线，A为切点，连结BC交⊙于点D，连结AD，若∠ABC＝45°，则下列结论正确的是（）A． B. C. D.二、填空题（每小题3分，共24分）11.在离旗杆20 m的地方用测角仪测得旗杆杆顶的仰角为，如果测角仪高1.5 m，那么旗杆的高为________m.12.如图，PA，PB切⊙于点A，B，点C是⊙上一点，∠ACB=60°，则∠P= °13.已知∠A为锐角，且sin A=817，则tan A的值为__________.14.如图，在离地面高度为5 m的C处引拉线固定电线杆，拉线与地面成角，则拉线AC 的长为__________m(用的三角函数值表示).15.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，CD 切⊙O 于点D ，连结AD ，若∠A =25°，则∠C =__________度.16.如图，直线l 与半径为4的⊙O 相切于点A ， P 是⊙O 上的一个动点（不与点A 重合），过点P 作PB ⊥l ，垂足为B ，连结PA ．设PA ＝x ，PB ＝y ，则（x －y ）的最大值是 ．17.如图，PA ，PB 切⊙O 于A ，B 两点，若60APB o ∠，⊙O 的半径为3，则阴影部分的面积为_______.18.已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝8，∠BAC ＝30°．将△ABC 绕点A 旋转，使点B 落在原△ABC 的点C 处，此时点C 落在点D 处．延长线段AD ，交原△ABC 的边BC 的延长线于点E ，那么线段DE 的长等于___________． 三、解答题（共66分）19.(8分)计算:6 tan 230°－cos 30°·tan 60°－2 sin 45°+cos 60°.20.(8分)如图，李庄计划在山坡上的A 处修建一个抽水泵站，抽取山坡下水池中的水用于灌溉，已知A 到水池C 处的距离AC 是50米，山坡的坡角∠ACB =15°，由于受大气压的影响，此种抽水泵的实际吸水扬程AB 不能超过10米，否则无法抽取水池中的水，试问抽水泵站能否建在A 处?21.(8分) 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q.（1）在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连结DC，试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若cos B=35，BP=6，AP=1，求QC的长.22.(8分)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=50°，c=3，求∠B和a(边长精确到0.1).23.(8分)如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向C处，测得∠CAO=45°.轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45 km/ h和36 km/h.经过0.1 h，轮船甲行驶至B处，轮船乙行驶至D处，测得∠DBO ＝58°，此时B处距离码头O有多远？（参考数据：sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60）第23题图24.(8分)某电视塔和楼的水平距离为100 m，从楼顶处及楼底处测得塔顶的仰角分别为45°和60°，试求楼高和电视塔高(结果精确到0.1 m).第24题图25.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点M，交BC于点N，连结AN，过点C的切线交AB的延长线于点P.（1）求证:∠BCP=∠BAN;（2）求证:第25题图26.（10分）如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE的延长线交切线DB于点F，AF交⊙O于点H，连结BH.（1）求证：AC=CD；（2）若OB=2，求BH的长.参考答案1. C 【解析】根据切线的性质可知：圆心到直线的距离d =r =5.2.C 【解析】在直角三角形ABC 中，tan∠BAC =tan30°=根据三角函数定义可知：tan∠BAC =，则BC =AC tan∠BAC =30×=10(cm)．故选C ．3.A 【解析】如答图，∠=，=500米，则=500sin ．故选A ．第3题答图 第4题答图 4.C 【解析】如答图，作AD ⊥BC ，垂足为点D .在Rt△中，∠=60°，∴ =． 在Rt△中，∠=45°，∴=，∴=（1+）=10．解得=15﹣5．故选C.5. C 【解析】∵ PA 和PB 是⊙O 的切线，∴ PA PB =，∴ PAB PBA ∠=∠.∵ ∠P ＝40°， ∴ PAB PBA ∠=∠=180180407022P ︒-∠︒-︒︒＝＝.∵ OA PA ⊥，∴ 90PAB BAC ∠+∠=︒.∵ AC 是⊙O 的直径，∴ 90ABC ∠=︒，∴ 90ACB BAC ∠+∠=︒.∴ 70ACB PAB ∠=∠=︒，故选C.6.D 【解析】16tan 452cos 6061252︒-︒=⨯-⨯= .7.C 【解析】3sin 5BC A AB == .8.B 【解析】如答图，过点作⊥于点．由题意得，=40×=20（海里），∠=105°．在Rt△中，=•45°=10．在Rt△中，∠=60°，则∠=30°，所以=2=20（海里）．故选B．第8题答图9.B【解析】连结OC，如答图.∵ 圆心角∠BOC与圆周角∠CDB都对弧BC，∴∠BOC=2∠CDB，又∠CDB=20°，∴ ∠BOC=40°，又∵ CE为的切线，∴OC⊥CE，即∠OCE=90°，∴ ∠E=90°40°=50°．故选B.10.A 【解析】∵ 是的直径，与切于点且∠＝，∴Rt△，Rt△和Rt△都是等腰直角三角形.∴ 只有成立.故选A.11.（1.5+20tan ）【解析】根据题意可得旗杆比测角仪高20tan m，测角仪高1.5 m，故旗杆的高为（1.5+20tan ）m．12. 50 【解析】连结OA，OB．PA，PB切⊙O于点A、B，则∠PAO=∠PBO=90°，由圆周角定理知，∠AOB=2∠C=130°，∵∠P+∠PAO+∠PBO+∠AOB=360°，∴∠P=180°﹣∠AOB=50°．第12题答图13.815【解析】由sin==知，如果设=8，则17，结合2+2=2得=15．∴ tan=．第13题答图14.5sinα【解析】∵ ⊥且=5 m，∠CAD=α，∴ =．15.40 【解析】连结OD，由CD切⊙O于点D，得∠ODC=90o.∵ OA=OD，∴ 250DOC A∠=∠=o，∴ 90905040.C DOC∠=-∠=-=o o o o16. 2 【解析】如答图，连结OA，过点O作APOC⊥于点C，所以∠ACO=90°.根据垂径定理可知，xAPAC2121==.根据切线性质定理得，lOA⊥.因为lPB⊥，所以∠PBA=90°，OA∥PB，所以APBOAC∠=∠.又因为∠ACO=∠PBA，所以OAC△∽APB△，所以,PBACAPOA=即yxx24=，所以82xy=，所以82xxyx-=-=2)4(812+--x，所以yx-的最大值是2.17. 3-3π【解析】连接OA，OB，OP，因为PA，PB切⊙O于A，B两点，所以∠OAP=∠OBP=90°，所以∠AOB=120°，AP= 33所以=3OABSπ扇形，93=OAPS△所以阴影部分的面积为2-=93-3OAP OABS Sπ△扇形18.434-【解析】根据题意画出图形，如答图，过点B作BF⊥AE于点F. ∵ 在△ABC 中，AB=AC，∠BAC＝30°，∴ ∠ABC=∠ACB=75°.由旋转过程可知AD=AC=AB=8，∠CAD=∠BAC=30°，∴ ∠BAE=60°，∴ ∠BEF=180°－60°－75°=45°，∴ EF=BF.在Rt△ABF中，cos8cos604AF AB BAF=⋅∠=⨯︒=，sin8sin6043BF AB BAF=⋅∠=⨯︒=.∴443AE AF EF AF BF=+=+=+.∴4438434DE AE AD=-=+-=-.19.解：原式=23321316322212222⎛⎫⨯-⨯-⨯+=--+=-⎪⎪⎝⎭.20.解：∵AC=50，∠ACB=15°，又sin∠ACB=AB AC，∴ AB=AC·sin∠ACB= 50sin 15°≈13>10，故抽水泵站不能建在A处.21.分析：（1）连结OC，通过证明OC⊥DC得CD是⊙O的切线；（2）连结AC，由直径所对的圆周角是直角得△ABC为直角三角形，在Rt△ABC中根据cos B=35，BP=6，AP=1，求出BC的长，在Rt△BQP中根据cos B=BPBQ求出BQ的长，BQ BC即为QC的长.解：（1）CD是⊙O的切线.理由如下：如答图，连结OC，∵ OC=OB，∴ ∠B=∠1.又∵ DC=DQ，∴ ∠Q=∠2.∵ PQ⊥AB，∴ ∠QPB=90°.∴ ∠B+∠Q=90°.∴ ∠1+∠2=90°.∴ ∠DCO=∠QCB(∠1+∠2)=180°90°=90°.∴ OC⊥DC.∵ OC是⊙O的半径，∴ CD是⊙O的切线.（2）如答图，连结AC，∵ AB是⊙O的直径，∴ ∠ACB=90°.在Rt△ABC 中， BC =AB cos B =(AP +PB )cos B=(1+6)×35= 215.在Rt△BPQ 中，BQ =cos BP B = 635=10.∴ QC =BQ BC =10-215=295.22.解：∠B =90°50°=40°. ∵ sin A =ac，c =3， ∴a =sin A ≈3×0.766 0≈2.298≈2.3. 23. 解：设B 处距离码头O x km. 在Rt△CAO 中，∠CAO =45°. ∵ tan∠CAO = CO AO∴ CO =AO ·tan∠CAO =(45×0.1+x )·tan 45°=4.5+x. 在Rt△DBO 中，∠DBO =58°. ∵ tan∠DBO =DOBO，∴ DO=BO ·tan∠DBO=x ·tan 58°. ∵ DC =DO CO ，∴ 36×0.1= x ·tan 58°(4.5+x )， ∴360.1 4.513.5tan 581x ⨯+=≈︒-.因此，B 处距离码头O 大约13.5 km.24.解：设CD =x m ，∵ CE =BD =100 m ，∠ACE =45°， ∴AE =CE ·tan 45°=100(m).∴ AB =(100+)m. 在Rt△ADB 中，∵∠ADB =60°，∠ABD =90°， ∴ tan 60°=ABBD，∴3AB BD =，即+100=1003，=100310073.2(m)， 即楼高约为73.2 m ，电视塔高约为173.2 m.25．证明：（1）∵ AC 是⊙O 的直径，∴ ∠ANC =90°.∴ AN ⊥BC . 又∵ AB =AC ，∴ ∠1=∠2.∵ CP 切⊙O 于点C ，∴ CP ⊥A C.∴ ∠3+∠4=90°.∵ ∠1+∠3=90°，∴ ∠1=∠4.∴ ∠2=∠4，即∠BCP =∠BAN .（2）∵ AB =AC ，∴ ∠3=∠5.又∵ 四边形AMNC 为⊙O 的内接四边形，∴ ∠3+∠AMN =180°.又∵ ∠5+∠CBP =180°，∴ ∠AMN =∠CBP .又∵ ∠2=∠4，∴ △AMN ∽△CBP.∴AM CB MN BP =.26.（1）证明：如答图，连结OC .∵ C 是弧AB 的中点，AB 是⊙O 的直径，∴ OC ⊥AB .∵ BD 是⊙O 的切线，∴BD ⊥AB ，∴ OC ∥BD .∵ AO =BO ，∴ AC =CD .(2)解：∵ OC ⊥AB ，AB ⊥BF ， ∴OC ∥BF ，∴ ∠COE =∠FBE .∵ E 是OB 的中点，∴ OE =BE .在△COE 和△FBE 中，,,,CEO FEB OE BE COE FBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ △COE ≌△FBE (ASA).∴ BF =CO .∵ OB =OC =2，∴ BF =2，AB =4.∴ 222 5.AF AB BF =+=∵ AB 是直径，∴ BH ⊥AF .∵ AB ⊥BF ，∴ △ABH ∽△AFB . ∴ AB BH AF BF =，∴45,.25AB BF AB BF AF BH BH AF ⋅⋅=⋅===∴。