三角函数课件
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《三角函数的概念》PPT教学课件(第1课时三角函数的概念)
象限．
(2)先判断已知角分别是第几象限角，再确定各三角函数值的符号，最
后判断乘积的符号．
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25
(1)C
[因为点P在第四象限，所以有tan cos
α>0， α<0，
由此可判断角α终边
在第三象限．]
(2)[解] ①∵145°是第二象限角，
∴sin 145°＞0，
∵－210°＝－360°＋150°，
终边关于
x
轴对称，若
sin
α＝15，则
交于点P(x，y)， 则角β的终边与单位圆相交于点
sin β＝________.
Q(x，－y)，
由题意知y＝sin α＝15，所以sin β
＝－y＝－15.]
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4．求值：(1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°. (2)cos253π＋tan－154π. [解] (1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°＝0＋0＋0＝0. (2)cos253π＋tan－154π ＝cos8π＋π3＋tan－4π＋π4 ＝cosπ3＋tanπ4＝12＋1＝32.
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24
三角函数值符号的运用
【例 2】 (1)已知点 P(tan α，cos α)在第四象限，则角 α 终边在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(2)判断下列各式的符号：
①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5.
[思路点拨] (1)先判断 tan α，cos α 的符号，再判断角 α 终边在第几
5．公式一
sin α cos α tan α
8
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1．sin(－315°)的值是( )
三角函数认识ppt课件
辅助角公式
总结词
用于将三角函数式化为单一三角函数的形式。
详细描述
辅助角公式是三角函数中常用的化简工具，它可以将复杂的三角函数式化为单一三角函数的形式，便于计算和理 解。具体公式如下：sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny， tan(x+y)=(tanx+tany)/(1-tanxtany)。
三角函数认识ppt课件
目录
• 三角函数的定义 • 三角函数的图像与性质 • 三角函数的应用 • 三角函数的变换公式 • 三角函数的特殊值
01
三角函数的定义
角度与弧度的关系
角度制
以度（°）为单位，规定一周为 360度，每度分为60分，每分为 60秒。
弧度制
以弧度（rad）为单位，规定圆的 周长为2π弧度。角度与弧度的转 换公式为：1° = π/180 rad。
三角函数的基本恒等式
正弦、余弦、正切之间的基本恒等式。
利用这些恒等式，可以方便地进行三角函数的转换和化简，对于解决三角函数问 题非常有用。
THANK YOU
积的和差公式
总结词
用于计算两个角的三角函数值的乘积之和或之差。
详细描述
积的和差公式也是三角函数中常用的公式之一，它可以计算两个角的三角函数值 的乘积之和或之差。具体公式如下：sin(x-y)=sinxcosy-cosxsiny，cos(xy)=cosxcosy+sinxsiny，tan(x-y)=(tanx-tany)/(1+tanxtany)。
详细描述
和差角公式是三角函数中非常重要的公式之一，它可以将两个角的三角函数值 相加或相减，得到新的三角函数值。具体公式如下： sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny， tan(x+y)=(tanx+tany)/(1-tanxtany)。
5.2.1三角函数的概念课件高一数学(人教A版必修第一册)
【解析】射线 = − 3 < 0 经过第二象限，
在射线上的取点 −1, 3 ，
即角 的终边经过点 −1, 3 ，
则 =
−1
2
+
3
2
= 2，
利用三角函数定义可得
sin =
=
3
，cos
2
tan =
=
3
−1
3
2
所以sin =
=
=
−1
2
1
=− ，
2
= − 3；
1
, cos = − 2 , tan = − 3.
（3）在角− 的终边上取一点 , − ，即 = , = −, = ，
= − , −
（4）在角 的终边上取一点
则 −
则 =
,
=−
=
,
−
= −；
−, ，即 = −, = , = ，
当 = 或
时，点的坐标是(, )和(− ， )
一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆交点的坐标能唯一确定吗？
∀ ∈ , 其终边与单位圆交点的横坐标, 纵坐标唯一确定.
新知1：三角函数的定义
（1）把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作 ，
即 = .
π
转 3 弧度，滚珠 按顺时针方向每秒钟转 6 弧度，相遇后发生碰撞，各自按照原来的速度大小反向运动．
(1)求滚珠 ， 第一次相遇时所用的时间及相遇点的坐标；
在射线上的取点 −1, 3 ，
即角 的终边经过点 −1, 3 ，
则 =
−1
2
+
3
2
= 2，
利用三角函数定义可得
sin =
=
3
，cos
2
tan =
=
3
−1
3
2
所以sin =
=
=
−1
2
1
=− ，
2
= − 3；
1
, cos = − 2 , tan = − 3.
（3）在角− 的终边上取一点 , − ，即 = , = −, = ，
= − , −
（4）在角 的终边上取一点
则 −
则 =
,
=−
=
,
−
= −；
−, ，即 = −, = , = ，
当 = 或
时，点的坐标是(, )和(− ， )
一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆交点的坐标能唯一确定吗？
∀ ∈ , 其终边与单位圆交点的横坐标, 纵坐标唯一确定.
新知1：三角函数的定义
（1）把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作 ，
即 = .
π
转 3 弧度，滚珠 按顺时针方向每秒钟转 6 弧度，相遇后发生碰撞，各自按照原来的速度大小反向运动．
(1)求滚珠 ， 第一次相遇时所用的时间及相遇点的坐标；
人教版高中数学必修1《三角函数的概念》PPT课件
• [方法技巧]
• 有关三角函数值符号问题的解题策略
• (1)已知角α的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两 个的符号，可分别确定出角α终边所在的可能位置，二者的 公共部分即角α的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情 况．
• (2)对于多个三角函数值符号的判断问题，要进行分类讨 论．
()
• A．第一象限 二象限
B．第
• C．第三象限
D．第四象限
• (2)判断下列各式的符号：
• ①sin 2 020°cos 2 021°tan 2 022°；
• ②tan 191°－cos 191°；
• ③sin 2cos 3tan 4.
• [解析] (1)由点P(sin θ，sin θcos θ)位于第二象限，
则 sin θ＋tan θ＝3 1100＋30；
当 θ 为第二象限角时，sin θ＝31010，tan θ＝－3，
则 sin θ＋tan θ＝3
10－30 10 .
(2)直线 3x＋y＝0，即 y＝－ 3x 经过第二、四象限． 在第二象限取直线上的点(－1， 3)， 则 r＝ －12＋ 32＝2， 所以 sin α＝ 23，cos α＝－12，tan α＝－ 3； 在第四象限取直线上的点(1，－ 3)， 则 r＝ 12＋－ 32＝2， 所以 sin α＝－ 23，cos α＝12，tan α＝－ 3.
• 可得sin θ＜0，sin θcos θ＞0，可得sin θ＜0，cos θ＜0，
• 所以角θ所在的象限是第三象限．
答案：C (2)①∵2 020°＝1 800°＋220°＝5×360°＋220°， 2 021°＝5×360°＋221°，2 022°＝5×360°＋222°， ∴它们都是第三象限角，∴sin 2 020°<0，cos 2 021°<0，tan 2 022°>0， ∴sin 2 020°cos 2 021°tan 2 022°>0. ②∵191°角是第三象限角，∴tan 191°>0，cos 191°<0， ∴tan 191°－cos 191°>0. ③∵π2<2<π，π2<3<π，π<4<32π， ∴2 是第二象限角，3 是第二象限角，4 是第三象限角， ∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0，∴sin 2cos 3tan 4<0.
三角函数的诱导公式 课件
公式三
sin(－α)=－sinα cos(－α)=cosα tan(－α)=－tanα
y
P(x,y)
α
O
x
-α
P(x,-y)
(3)终边与角α的终边关于y轴对称的角与α 有什么关系?它们的三角函数之间有什么 关系?
公式四
sin(π-α)=sinα cos(π-α)=－cosα tan(π-α)=－tanα
y
P(-x,y)
π-α P(x,y)
α
α
O
x
公式二 公式三 公式四
sin(π+α)=－sinα cos(π+α)=－cosα tan(π+α)=tanα
sin(－α)=－sinα cos(－α)=cosα tan(－α)=－tanα
sin(π-α)=sinα cos(π-α)=－cosα tan(π-α)=－tanα
cos180 cos
原式=
cos
sin
sin cos
1
练习 利用公式求下列三角函数值:
1 cos 420 cos60 cos 60 1 2
2 sin
7 6
sin
5 6
sin
6
1 2
3sin 1300 sin140 sin 40 0.6428
4
cos
79 6
公式一～公式六 叫到诱导公式
例3
证明
:1
sin
3
2
cos
;
2
cos
3
2
sin.
1 sin
3
2
sin
2
sin
2
sin
2
cos
2
人教A版必修第一册第五章三角函数5.2三角函数的概念-课件
研究：变量 x, y 与 的关系.
M
问题 2: 如何求角 终边与单位圆的交点P的坐标呢？
追问1：如何研究一般性问题？
不妨设 ，此时点P在第一象限, 过点 P作 PM x轴于M ,
3
在RtOMP中,可得OM 1 ,PM 3 ,
2
2
即x 1,y 3,
2
2
M
所以点
P的坐标为
1 2
,
3 2
三角函数的概念
问题引入
问题：匀速圆周运动是现实生活中周期现象的代表，在前面的 学习中，我们知道函数是描述客观世界变化规律的重要数学模 型，那么匀速圆周运动的运动规律该用什么函数模型刻画呢？
任务：建立一个函数模型，刻画点 P 的位置变化情况
新课学习
如图，以单位圆的圆心O 为坐标原点，以射线OA为 x轴的非负半轴，建立直角坐标系 xOy，点 A的坐标是
正切函数的定义域为 x
x
2
k, k
Z.
追问3： 这个定义相对于锐角三角函数的定义有什么不同呢?
任意角的三角函数是通过角与单位圆交点的坐标定义的，锐角三角函 数是通过直角三角形边长的比值定义的，在单位圆中直角三角形斜边 为1，所以锐角三角函数也可用角的终边与单位圆交点的坐标定义. 此 时终边上的点都在第一象限，因此锐角三角函数值都是正数，而任意 角的三角函数值可以是负数.
把点 P的纵坐标与横坐标的比值 y 叫做 的正切函数，
x
记做tan ，即 y tan x 0.
x
问题3: 正弦函数、余弦函数、正切函数的对应关系各是什么？
实数 (弧度)对应于点P的纵坐标 y——正弦函数； 实数 (弧度)对应于点P的横坐标 x——余弦函数；
当 kk Z 时，角 的终边在 y轴上，这时点P的
M
问题 2: 如何求角 终边与单位圆的交点P的坐标呢？
追问1：如何研究一般性问题？
不妨设 ，此时点P在第一象限, 过点 P作 PM x轴于M ,
3
在RtOMP中,可得OM 1 ,PM 3 ,
2
2
即x 1,y 3,
2
2
M
所以点
P的坐标为
1 2
,
3 2
三角函数的概念
问题引入
问题：匀速圆周运动是现实生活中周期现象的代表，在前面的 学习中，我们知道函数是描述客观世界变化规律的重要数学模 型，那么匀速圆周运动的运动规律该用什么函数模型刻画呢？
任务：建立一个函数模型，刻画点 P 的位置变化情况
新课学习
如图，以单位圆的圆心O 为坐标原点，以射线OA为 x轴的非负半轴，建立直角坐标系 xOy，点 A的坐标是
正切函数的定义域为 x
x
2
k, k
Z.
追问3： 这个定义相对于锐角三角函数的定义有什么不同呢?
任意角的三角函数是通过角与单位圆交点的坐标定义的，锐角三角函 数是通过直角三角形边长的比值定义的，在单位圆中直角三角形斜边 为1，所以锐角三角函数也可用角的终边与单位圆交点的坐标定义. 此 时终边上的点都在第一象限，因此锐角三角函数值都是正数，而任意 角的三角函数值可以是负数.
把点 P的纵坐标与横坐标的比值 y 叫做 的正切函数，
x
记做tan ，即 y tan x 0.
x
问题3: 正弦函数、余弦函数、正切函数的对应关系各是什么？
实数 (弧度)对应于点P的纵坐标 y——正弦函数； 实数 (弧度)对应于点P的横坐标 x——余弦函数；
当 kk Z 时，角 的终边在 y轴上，这时点P的
第五章 第四节 三角函数的图象与性质 课件(共63张PPT)
，解
得 ω＝32 .
法二：由题意，得 f(x)max＝fπ3
2．(必修 4P35 例 2 改编)若函数 y＝2sin 2x－1 的最小正周期为 T，最大
值为 A，则( )
A．T＝π，A＝1
B．T＝2π，A＝1
C．T＝π，A＝2
D．T＝2π，A＝2
A [T＝22π ＝π，A＝2－1＝1.]
3．(必修 4P40 练习 T4 改编)下列关于函数 y＝4cos x，x∈[－π，π]的单 调性的叙述，正确的是( )
求三角函数单调区间的两种方法 (1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个 角 u(或 t)，利用复合函数的单调性列不等式求解．(如本例(1)) (2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间． [注意] 要注意求函数 y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间时 ω 的符号，若 ω<0， 那么一定先借助诱导公式将 ω 化为正数．同时切莫漏掉考虑函数自身的定义 域．
又当 x∈[0，π2
]时，f(x)∈[－
2 2
，1]，所以π2
≤ω2π
－π4
≤5π4
，解得
3 2
≤ω≤3，故选 B.
π
π
π
优解：当 ω＝2 时，f(x)＝sin (2x－ 4 ).因为 x∈[0，2 ]，所以 2x－ 4 ∈
π [－ 4
，3π4
π ]，所以 sin (2x－ 4
)∈[－
2 2
，1]，满足题意，故排除 A，C，
B．[kπ，kπ＋π2 ](k∈Z)
C．[kπ＋π6 ，kπ＋23π ](k∈Z)
D．[kπ－π2 ，kπ](k∈Z)
(2)函数 y＝tan x 在－π2，32π 上的单调减区间为__________．
三角函数的概念 课件(39张)
tan cos = × +1× = .
数学
方法总结
诱导公式一的实质是:终边相同的角,其同名三角函数的值相等.因为这些
角的终边都是同一条射线,根据三角函数的定义可知这些角的三角函数值
相等.其作用是可以把任意角转化为0°～360°之间的角.
因为 a<0,所以 a=- ,所以 P 点的坐标为( ,- ),
所以 sin α=- ,cos α= ,
所以 sin α+2cos α=- +2× = .
数学
[变式训练1-1] 若将本例中“a<0”删掉,其他条件不变,结果又是什么?
解:因为点 P 在单位圆上,则|OP|=1,即 (-) + () =1,解得 a=± .
②若 a<0,则 r=-5a,且 sin α=
-
-
-
=- ,cos α=
所以 sin α+2cos α=- +2× = .
= .
数学
方法总结
由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值
(1)已知角α的终边在直线上时,常用的解题方法有以下两种:
①先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后再利用正弦函数、余
弦函数、正切函数的定义求出相应三角函数值.
②在α的终边上任选一点 P(x,y),P 到原点的距离为 r(r>0),则 sin α= ,
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注意
sinA、cosA、tanA、是一个完整的符号， 它表示∠A的余弦、正切，记号里习惯省 去角的符号“∠”； sinA、cosA，tanA没有单位，它表示一 个比值，即直角三角形中∠A的对边与斜 边的比、邻边与斜边的比，对边与邻边的 比； sinA不表示“sin”乘以“A”，cosA不表 示“cos”乘以“A”， tanA不表示“tan” 乘以“A”
5 cosB=______ 13 ，
5 12 tanA = ______
二、几个重要关系式
B
c
tanA· tan(90°- A )=1
a
b
C
tanA= sin A
cos A
sin2A+cos2A=1
A
sinA=cos（90°- A ）=cosB cosA=sin（90°- A）=sinB
练 习 2
边与角的关系： 三角函数关系 式
b a cos A ,cos B c c a b tan A , tan B b a
在直角三角形的5个元素中（除直角外），根据 以上关系只要已知两个（至少有一个是边），就可 求出其余的三个来
例1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC的平分线 AD 4 3 ，解这个直 200)米
45° 30°
O
B
400米
A
合作与探究
例2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上 方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰 角为30°和45°，求飞机的高度PO .
P
30°
A
200米
答案: (100 3 300)米
O
45°
B
L U
合作与探究
例2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上 方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰 角为30°和45°，求飞机的高度PO .
rldmm8989889
练 习 1
思 考
如右图所示的Rt⊿ ABC中∠C=90°， a=5，b=12， 5
13 ， 那么sinA= _____
12 cosA=______ 13
A c
(1)互余两角的 正弦与余弦有 何关系？
b a C
,
B
(2)同角的正弦 与余弦的平方 和等于？
(3)同角的正弦 和余弦,与正切 有何关系？
α
β
OA
450 450 3, 450米 tan 30
450 OB 450 tan 45
AB OA OB (450 3 450)(m) O 答：大桥的长AB为 (450 3 450)m.
B
A
合作与探究
变题1：如图，直升飞机在长400米的跨江大桥 AB的上方P点处，且A、B、O三点在一条直线 上，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为30° 和45 °，求飞机的高度PO .
一、基本概念
a sinA= c b cosA= c a tanA= b
B
c
A
a
b
C
1.正弦
2.余弦
3.正切
锐角三角函数的定义:
锐角A的正弦、余弦、 正切、都叫做∠A的锐角三角 函数.
对于锐角A的每 一个确定的值sinA 有唯一确定的值与 它对应，所以sinA 是A的函数。
同样地， cosA， tanA也是A的函数。
cos 45o sin 30o cos 45o sin 30o
☆ 应用练习
1.已知角，求值 2.已知值，求角
求锐角A的值
1. 已知 tanA= 3 ，求锐角A . 2. 已知2cosA 解：∵ 2cosA 3 =0, 3 =0 3
求锐角A的度数 .
∴ 2cosA =
∴cosA=
3 2
∴∠A= 30°
AC 6 3 解：cos CAD AD 4 3 2
A
6
CAD 30
因为AD平分∠BAC
4 3
CAB 60, B 30
C
D
B
AB 12, BC 6 3
3 tanB , AC 2 3, 例2、 如图，在△ABC中，∠A=30度， 2
求AB。 解：过点C作CD⊥AB于点D ∠A=30度， AC 2 3
那么（ A ）
(A)0°＜∠A≤ 30 ° (B) 30°＜∠A≤45°
(C)45°＜∠A≤ 60 ° (D) 60°＜∠A≤ 90 °
思考：
在Rt△ABC中，∠C=90°斜边AB=2，直角 边AC=1，∠ABC=30°,延长CB到D，连接 AD使∠D=15°求tan15°的值。
A
D
B
C
四、解直角三角形
在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形； （1）a = 30 , b = 20 ;
解：根据勾股定理
B
c
C a2 b2 302 202 10 13
a=30
a 30 3 tan A 1.5 b 20 2
A
b=20 C
A 56.3
B 90 A 90 56.3 33.7
B
A
0 300 45 ┌ B 4cmC D
C
2、航海问题
北 58 西 28 南偏西 28° B 南
方向角
北偏东 58° A 东
例题：某船自西向东航行，在A出测得某岛在北偏东 60°的方向上，前进8千米测得某岛在船北偏东45 ° 的方向上，问（1）轮船行到何处离小岛距离最近？ （2）轮船要继续前进多少千米？
☆ 应用练习
1.已知角，求值 2.已知值，求角
确定值的范围
1. 当 锐角A>45°时，sinA的 值（ B ）
(A)小于 (C) 小于
2 2 3 2
3. 确定值的范围
(B)大于 (D)大于
2 2 3 2
2. 当锐角A>30°时，cosA的 值（ C ） (A)小于 (C) 小于
1 2
3 2
(B)大于 (D)大于
北
西 东
南
A
某船自西向东航行，在A出测得某岛在北偏东60°的 方向上，前进8千米测得某岛在船北偏东45 °的方向 上，问（1）轮船行到何处离小岛距离最近？ （2）轮船要继续前进多少千米？
北
西 东
南
练习1：如图所示，某船以每小时36海里的速度 向正东航行，在A点测得某岛C在北偏东60°方 向上，航行半小时后到B点，测得该岛在北偏东 30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁． （1）试说明B点是 否在暗礁区域外． （2）若继续向东 航行，有无触礁危 险？请说明理由．
1 2 3 2
☆ 应用练习
1.已知角，求值 2.已知值，求角
确定角的范围
1. 当∠A为锐角，且tgA的值 大于 3 时，∠A（ B ）
3
3. 确定值的范围
4. 确定角的范围
(A)小于30° (C) 小于60°
(B)大于30° (D)大于60°
2. 当∠A为锐角，且tanA的 值小于 3 时，∠A（ C ） (A)小于30° (C) 小于60° (B)大于30° (D)大于60°
B D 20m 30° B A 45° C D 20 m 30° A 45° C 塔
建筑物
(2)该建筑物的高度。
4、如图,根据图中已知数据,求△ABC其余 各边的长,各角的度数和△ABC的面积.
A
4cm 450 300
5、 如图,根据图中已知 数据,求△ABC其余各边的 长,各角的度数和△ABC的 面积.
北 D C
A
B
东
练习2：如图所示，气象台测得台风中心在某港 口A的正东方向400公里处,向西北方向BD移动， 距台风中心300公里的范围内将受其影响，问港 口A是否会受到这次台风的影响？
D C 北
A
45 ° B
东
3、坡度问题
新概念：坡度、坡比 如图：坡面的垂直高度h和
水平宽度L的比叫坡度
B h A α L
?
30°
1.65米
10米
解：如图，在Rt△ABC中
AC tan ABC BC 即 AC = tan 300 BC 3 AC 10 5.77 3 AD CD+AC=1.65 5.77 7.42 答：旗杆顶到地面的高度为7.42米
想一想：此类实际问题用什么方法解决？此法 解题的一般过程是什么？
（2）、 在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形； ∠B＝72°，c = 14. 解：
A
b sin B c
c=14 B a
b C
b c sin B 14 sin 72 13.3
a cos B c
a c cos B 14 cos 72 4.34
A 90 72 18
五、锐角三角函数的应用
1、测高问题
【例1】、 操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度， 小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线 的夹角为30度，并已知目高为1.65米．然后他很快就算出旗杆顶 到地面的高度了（保留0.01， 3＝ 1.73 ）。 你想知道小明怎样算出的吗？
sin A 1 CD 1 CD 2 3 3 2 AC 2
A
C
D
B
3 AD 3 AD 2 3 3 cos A 2 AC 2 CD 3 BD 3 2 2 tan B 3 BD 2
AB AD BD 3 2 5
练习
1、解直角三角形的定义：
由直角三角形中除直角外的已知两个元 素（至少有一个是边），求出其余的三个未 知元素的过程，叫做解直角三角形．
2、几个常用关系（依 据）：