天津大学电磁场与电磁波(矢量分析)
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电磁场与电磁波矢量分析
两矢量的叉积又可表示为：
v v aˆx aˆy aˆz A B Ax Ay Az
Bx By Bz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
（3）三重积：
三个矢量相乘有以下几种形式：
v vv (A B)C
矢量，标量与矢量相乘。
vvv A (B C)
标量，标量三重积。
v vv A (B C)
矢量，矢量三重积。
v A
根据矢量加法运算：
vv v v A Ax Ay Az
vo
Ax
x
其中：
v
v
v
Ax Axaˆx , Ay Ayaˆy , Az Azaˆz
v Ay
y
v 所以： A Axaˆx Ayaˆy Azaˆz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
v
矢量： A Axaˆx Aya相反，互为逆矢量。
v
vv
D
v
A
AD
v
v
v
B
B
B
v
v C
Bv v v
v
ABC 0
A
推论：
任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形，其矢量和必为零。
在直角坐标系中两矢量的减法运算：
vv A B (Ax Bx )aˆx (Ay By )aˆy (Az Bz ) aˆz
电磁场与电磁波
其结果是一标量。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
推论1：满足交换律
vv vv A B B A
推论2：满足分配律
v v v vv vv A(B C) A B AC
推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。
•在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即 aˆx aˆy 0, aˆx aˆz 0, aˆy aˆz 0 aˆx aˆx 1, aˆy aˆy 1, aˆz aˆz 1
《电磁场与电磁波》矢量分析
梯度:增加最快的方向
l M0 g el
方向导数=梯度在该方向上的投影
小结 等值面:只能反映标量分布的总体趋势 梯度:场中每点变化最快的方向和最大的变化率
求场
解：
在点(0,0.5,1) 处的梯度。
矢量场的通量和散度
矢量线：描述矢量场的线 形象直观地描述矢量场
大小：疏密 方向：切线方向
矢量线的疏密可定性表征矢量场的大小 实际需定量描述，故引入通量
A dS
V 0 V S
对散度作体积分，就得到通量
高斯公式 通量=散度的体积积分 矢量函数的面积分与体积分的相互转换
S A dS 面
divA lim 1
A dS 点
V 0 V S
体
实现了“面-点-体 ”的转化
矢量场的环量和旋度
通量: 有向曲面上的面积分值，表示体积内 的通量源,分布强度用散度来描述
A B AB cos =Ax Bx Ay By Az Bz
Bcosθ:B在A方向上的投影 B
A ex 2ey 3ez
B 4ex 5ey 6ez
A
B cos
A B 14 25 36 32
矢量标量积满足交换律和结合律
AB B A
kA pB kpA B AB+C A B AC
l M0 =0, 沿l方向不变
l M0
几个问题：
1）方向导数是标量？矢量？ 标量 2）不同方向的变化快慢是一样的？ 不是
l 方向改变，方向导数值也变 3）方向导数能反映哪方向的变化率最大？ 不能 4）标量能准确刻画标量场的空间变化率？不能
3 梯度
l M0 g el | g | cos(g, el )
场中的每一点只与一等值面/线对应 等值面的稀密程度反映场量的空间分布
电磁场与电磁波矢量分析亥姆霍兹定理
A ( B C) B( A C) C( A B)
电磁场与电磁波
第一章 矢量分析
§1 .2 通量与散度, 散度定理
一、通量
面元:
ˆ ds ds n
ˆ 是面元的法线方向单位矢量 其中： n ˆ 的取向问题: n
对开曲面上的面元, 设这个开曲面是由封闭曲线l所围成的, 则当选定绕行l的方向后, 沿绕行方向按右手螺旋的姆指方 ˆ 的方向 向就是n ˆ 取为封闭面的外法线方向。 对封闭曲面上的面元, n
ˆ (gradient)为 grad n n
grad lˆ l
在直角坐标系中梯度的计算公式
ˆ grad x
ˆ ˆ y z x y z
电磁场与电磁波
第一章 矢量分析
例1 .6
在点电荷q的静电场中, P(x, y, z)点的电位为
注意：x ˆx ˆ
ˆ y ˆz ˆ z ˆ0 y ˆ y ˆz ˆz ˆ, z ˆy ˆ ˆ, y ˆx ˆ x x
直角坐标系中的计算公式：
ˆ x yA ˆ y zA ˆ x yB ˆ y zB ˆ z ) ( xB ˆ z) A B ( xA ˆ ( Ay Bz Az By ) y ˆ ( Az Bx Ax Bz ) z ˆ( Ax By Ay Bx ) x
散度计算公式： divA A
Ax Ay Az ˆ y ˆ z ˆAx y ˆAy z ˆ ˆAz ) A (x x y z x y z x
电磁场与电磁波
第一章 矢量分析
三、散度定理
n2
q ˆds e D ds r r 3 s 4r s q q 2 ds 4 r q 2 s 2 4r 4r
电磁场与电磁波
第一章 矢量分析
§1 .2 通量与散度, 散度定理
一、通量
面元:
ˆ ds ds n
ˆ 是面元的法线方向单位矢量 其中： n ˆ 的取向问题: n
对开曲面上的面元, 设这个开曲面是由封闭曲线l所围成的, 则当选定绕行l的方向后, 沿绕行方向按右手螺旋的姆指方 ˆ 的方向 向就是n ˆ 取为封闭面的外法线方向。 对封闭曲面上的面元, n
ˆ (gradient)为 grad n n
grad lˆ l
在直角坐标系中梯度的计算公式
ˆ grad x
ˆ ˆ y z x y z
电磁场与电磁波
第一章 矢量分析
例1 .6
在点电荷q的静电场中, P(x, y, z)点的电位为
注意：x ˆx ˆ
ˆ y ˆz ˆ z ˆ0 y ˆ y ˆz ˆz ˆ, z ˆy ˆ ˆ, y ˆx ˆ x x
直角坐标系中的计算公式：
ˆ x yA ˆ y zA ˆ x yB ˆ y zB ˆ z ) ( xB ˆ z) A B ( xA ˆ ( Ay Bz Az By ) y ˆ ( Az Bx Ax Bz ) z ˆ( Ax By Ay Bx ) x
散度计算公式： divA A
Ax Ay Az ˆ y ˆ z ˆAx y ˆAy z ˆ ˆAz ) A (x x y z x y z x
电磁场与电磁波
第一章 矢量分析
三、散度定理
n2
q ˆds e D ds r r 3 s 4r s q q 2 ds 4 r q 2 s 2 4r 4r
电磁场与电磁波第四版课后答案
答案：① aA =
1 14
(ax
+
2ay
−
3az
)
；②
A−B =
53 ；③ A • B = −11；
④
θ AB = 135.48 ； ⑤
A× C = −(4ax +13ay +10az ) ； ⑥
A •（B × C）=（A • B）× C = −42 ； ⑦
（A× B）× C = 2ax − 40ay + 5az 和
托克斯定理求解此线积分。
∫ ∫ 答案：① A •dl = π a4 ；② (∇ × A) dS = π a4 。
l
4
l
4
1-18 试在直角坐标系下证明： − 1 ∇2 (1 R)=δ(r − r′)。 4π
∫ 1-19 若矢量 A = a（R cos2 ϕ
R3 ），1 ≤ R ≤ 2 ，求
∇• AdV 。
⎡ 2 sinhξ cosη
⎢ ⎢
cosh 2ξ − cos 2η
⎢
答案：[M ] = ⎢−
2 coshξ sinη
⎢ cosh 2ξ − cos 2η
⎢
⎢
0
⎢⎢⎣
2 coshξ sinη cosh 2ξ − cos 2η
2 sinhξ cosη cosh 2ξ − cos 2η
0
⎤ 0⎥
⎥ ⎥ 0⎥ 。 ⎥ ⎥ 1⎥ ⎥⎥⎦
+ ay
y − 2x x2 + y2
。
1-22 已知 A = a a x + b a y + c a z ，写出圆柱坐标系和圆球坐标系下 A 的表达式。
答案： A = (a cosϕ + b sinϕ )ar + (b cosϕ − a sin ϕ )aϕ + caz ；
电磁场与电磁波矢量分析
03
电磁场与电磁波的矢量 分析
麦克斯韦方程组
描述电磁场的基本规律，包括电场和 磁场的变化关系。
揭示了电磁场之间的相互依存和制约 关系，是电磁波传播和辐射的基础。
由四个基本方程组成，包括高斯定律、 高斯磁定律、法拉第定律和安培定律。
波动方程与亥姆霍兹方程
01
波动方程描述了电磁波在空间中传播的规律，是麦克斯韦方程 的简化形式。
电磁场与电磁波的特性
01
02
03
波动性
电磁波以波动的形式传播， 具有振幅、频率和相位等 波动特性。
横波
电磁波的电场和磁场振动 方向与波的传播方向垂直， 是一种横波。
传播速度
电磁波在真空中的传播速 度为光速，在其他介质中 的传播速度受介质影响。
电磁场与电磁波的应用
通信
探测
加热
科学研究
无线电波、微波等电磁 波广泛应用于通信领域， 实现信息的传输和接收。
总结词
磁偶极子是由两个电流环组成的系统，其产生的电磁波磁场 分量占主导地位，具有与电偶极子不同的辐射特性。
详细描述
磁偶极子由两个平行的环形电流组成，当其受到激发时，将 产生电磁波向外传播。磁偶极子的辐射场在远场近似下遵循 朗道辐射模式，其磁场分量占主导地位，且具有与电偶极子 不同的方向性和强度分布。
不均匀介质中的传播
折射与反射
当电磁波遇到不同介质的分界面时，会发生折射和反射现象。折 射和反射的角度、强度等特性与介质的性质有关。
散射与吸收
在不均匀介质中，电磁波的传播路径会发生散射，能量会因为介质 的吸收而逐渐减小。
多层介质传播
当电磁波在多层介质中传播时，需要考虑到不同介质分界面上的折 射、反射、散射和吸收等复杂现象。
《电磁场与电磁波》习题参考答案
况下，电场和磁场可以独立进行分析。（ √ ）
12、静电场和恒定磁场都是矢量场，在本质上也是相同的。（ × ）
13、静电场是有源无旋场，恒定磁场是有旋无源场。（ √ ） 14、位移电流是一种假设，因此它不能象真实电流一样产生磁效应。（
×）
15、法拉第电磁感应定律反映了变化的磁场可以产生变化的电场。（ √ ） 16、物质被磁化问题和磁化物质产生的宏观磁效应问题是不
D.有限差分法
6、对于静电场问题，仅满足给定的泊松方程和边界条件，
而形式上不同的两个解是不等价的。（ × ）
7、研究物质空间内的电场时，仅用电场强度一个场变量不能完全反映物 质内发生的静电现象。（ √ ）
8、泊松方程和拉普拉斯方程都适用于有源区域。（ × ）
9、静电场的边值问题，在每一类的边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方 程的解都是唯一的。（ √ ）
是（ D ）。
A．镜像电荷是否对称
B．电位所满足的方程是否未改变
C．边界条件是否保持不变 D．同时选择B和C
5、静电场边值问题的求解，可归结为在给定边界条件下，对拉普拉斯
方程的求解，若边界形状为圆柱体，则宜适用( B )。
A.直角坐标中的分离变量法
B.圆柱坐标中的分离变量法
C.球坐标中的分离变量法
两个基本方程：
3、写出麦克斯韦方程组，并简述其物理意义。
答：麦克斯韦方程组的积分形式：
麦克斯韦方程组的微分形式：
每个方程的物理意义： (a) 安培环路定理，其物理意义为分布电流和时变电场均为磁
场的源。 (b) 法拉第电磁感应定律，表示时变磁场产生时变电场，即动
磁生电。 (c) 磁场高斯定理，表明磁场的无散性和磁通连续性。 (d)高斯定理，表示电荷为激发电场的源。
《电磁场与电磁波》复习纲要(含答案)
S
第二类边值问题（纽曼问题） 已知场域边界面上的位函数的法向导数值，即 第三类边值问题（混合边值问题） 知位函数的法向导数值，即
|S f 2 ( S ) n
已知场域一部分边界面上的位函数值，而其余边界面上则已
|S1 f1 ( S1 )、 | f (S ) S 2 2 n 2
线处有无限长的线电流 I，圆柱外是空气（µ0 ），试求圆柱内 外的 B 、 H 和 M 的分布。 解：应用安培环路定理，得 H C dl 2 H I I H e 0 磁场强度 2π I e 0 a 2 π 磁感应强度 B I e 0 a 2 π 0 I B e 2π M H 磁化强度 0 0 0
C
F dl F dS
S
5、无旋场和无散场概念。 旋度表示场中各点的场量与旋涡源的关系。 矢量场所在空间里的场量的旋度处处等于零，称该场为无旋场（或保守场） 散度表示场中各点的场量与通量源的关系。 矢量场所在空间里的场量的散度处处等于零，称该场为无散场（或管形场） 。 6、理解格林定理和亥姆霍兹定理的物理意义 格林定理反映了两种标量场 （区域 V 中的场与边界 S 上的场之间的关系） 之间满足的关系。 因此，如果已知其中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种场的分布 在无界空间，矢量场由其散度及旋度唯一确定 在有界空间，矢量场由其散度、旋度及其边界条件唯一确定。 第二章 电磁现象的普遍规律 1、 电流连续性方程的微分形式。
D H J t B E t B 0 D
D ) dS C H dl S ( J t B E dl dS S t C SB dS 0 D dS ρdV V S
电磁场与电磁波—矢量分析
两个矢量的点积：写成
A B
其值为： A B AB cos
A
点积的性质：
θ
交换律 分配律 按乘数比例
A B C A B A C k A B kA B A kB
A B B A
若该物理量为矢量，则称矢量场, 可用矢性函数表示F(x,y,z)； F(x,y,z,t) f(x,y,z,t)
若该物理量与时间无关，则该场称为静态场； 若该物理量与时间有关，则该场称为动态场或称为时变场。
第一章
矢量分析
笛卡尔坐标系
我们的标量函数（标量场）通常用笛卡 尔坐标系表示，我们的矢性函数也可以 用笛卡尔坐标系来表示 根据矢量的运算规则，多个矢量可以进 行矢量相加，反过来，一个矢量以可以 分解为多个矢量的和
B
第一章
矢量分析
两个矢量的叉积：写成 r F M 其值为： r F rF sin e n
M
r
F
第一章
矢量分析
叉积的性质：
不服从交换律 但服从分配 按乘数比例
A B C A B A C kA B k A B A kB
0
第一章
矢量分析
△z
z
若函数φ=φ(x, y, z)在点M0(x0, y0, z0)处可 微， cosα 、 cosβ 、 cosγ 为 l 方向的方向余弦， 则函数 φ在点M0处沿l方向的方向导数必定存 在，且为
γ M0 α
△x
ρ
β
M
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S
0.3 矢量场的环流 旋度
环流
定义矢量 A 沿一条有向闭合曲线C的线积分
S nS
= A dl
C
P
C
环流的计算
A
旋度
S e 在矢量场中任取一点M，围绕M作一条闭合的有向曲线 l ，其包围面积为 ，方向 n 与 l 满足右手定则，则该旋度的大小等于最大环量密度，方向是具有最大环量密
1 er r F (r , ,z ) r Fr e rF 1 ez r z Fz
f
f 1 f f er e ez r r z
0.6 坐标系
球坐标系 坐标变量
r , ,
e 单位矢量 r , e , e r er r 位置矢量
并验证散度定理。 解： A(r )=r (r )=rer
散度
例：矢量场 A为位置矢量，计算 A 穿过一个球心在原点，半径为a的球面的通量，
z
球面上各点的矢量（球坐标系下）为
r
r (a)=aer
= A( r ) dS r (a) dS aer dSer a dS 4 a3
散度场（无旋场） Fs =0 Fs =u 旋度场（无散场） Fl =0 Fl = A 有散有旋场 F=Fs Fl u + A
0.6 坐标系
圆柱坐标系 坐标变量
r, , z
e 单位矢量 r , e , e z 位置矢量 r e ez z
1 r 2sin F r Fr er 1 e r rsin F 1 e rsin rF
f 1 f 1 f f er e e r rsin r
S S S S
通量
y
x
散度 r (r )
ex ey ez xex yey zez y z x
4 3 3 r ( r ) d 3 d 3 a 4 a 3 A( r ) d S r 综上 (r )d
散度
Φ S A dS 若 S 为闭合曲面 A dS ，可判断该矢量是
流入还是穿出的。 散度 如果包围点P 的闭合面S 所围区域 以任意方式缩小为点P 时, 通量与体积之比的极限存在，定义该极限为矢量场 A 在P 点的散度。即 1 divA lim A dS
rotΑ e n lim
C
Α dl S
c2
S 0
(rotA) S = lim
S 0
c
A dl
S
(rotA) dS =
c
A dl
斯托克斯定理
C
A dl (rotA) dS= ( A) dS
度的方向。
max rotΑ en lim
S 0
C
Α dl
A
S
在直角坐标系下 rotA
ex
x
ey
y
ez
z
Ax
Ay
Az
0.3 矢量场的环流 旋度
旋度的物理意义
◇ 矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。 ◇ 点P的旋度的大小是该点环流密度的最大值。 ◇ 点P的旋度的方向是该点最大环流密度的方向。
矢量分析
0.1 标量场和矢量场
0.2 矢量场的通量 散度 0.3 矢量场的环流 旋度 0.4 标量场的梯度 0.5 亥姆霍兹定理 0.6 坐标系
内容概要
◇ 理解标量场与矢量场的概念和描述方法 ◇ 掌握矢量场的散度和旋度、标量场的梯度 ◇ 掌握高斯定理和斯托克斯定理 ◇ 理解亥姆霍兹定理的意义
0.1 标量场和矢量场
体积元
dV rdrd dz
er e e z e e z er e z er e
0.6 坐标系
圆柱坐标系中的表达式
1 er e ez r r z
1 (rFr ) 1 F Fz F (r , ,z) r r r z
在直角坐标系中梯度的计算公式
grad u
u u u ex ey ez u x y z
0.5 亥姆霍兹定理
亥姆霍兹定理 若矢量场在无界空间中处处单值，且其导数连续有界，场源分布在有限区域中， 则该矢量场由其散度和旋度唯一地确定。
意义
在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件唯一地确定。 研究电磁场的一条主线。 场的表示
S S
0.4 标量场的梯度
方向导数
标量场在某点处沿某一方向的变化率。 ◇ 考虑标量场中两个等值面 u, u u ◇ 定义标量函数 u( x, y, z) 沿给定方向 el 的变化率。
u u N
en
M el
lim
u 0
u u u u u lim PM PM l u 0
场：在一个给定区域用一组数来定义一个量的特性时，若该区域中每个点都具备 这种特性的量。 标量场：标量的空间分布构成的场。
如温度场、电位场、高度场等。
矢量场：矢量的空间分布构成的场。
如速度场、电场、磁场等。
0.1 标量场和矢量场
0.1 标量场和矢量场
0.1 标量场和矢量场
0.2 矢量场的通量
通量
0 S
定义矢量 A 沿有向曲面 S的面积分
S
矢量场的通量
直角坐标系中散度的计算公式 divA A
∂ Ax ∂ x
+
∂ Ay ∂ y
Az +∂ ∂ z
0.2 矢量场的通量
散度的物理意义 ◇ 矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数。 ◇ 散度代表矢量场的通量源分布特性。
u
P
为标量场 u x, y, z, 在P点沿 el 方向的方向导数，其大小与方向 el 有关。
梯度 标量场在某点的梯度大小为该点的最大方向导数，方向为该点 具有最大方向导数的方向。
0.4 标量场的梯度
大小：最大方向性导数 标量场 u x, y, z, 在P点的梯度是一个矢量 方向：最大方向性导数所在的方向
C
A dl 0
无旋场
C
A dl 0 漩涡场
旋度的重要性质 ◇ 旋度的散度恒等于零。
A 0
0.3 矢量场的环流 旋度
斯托克斯定理
对于有限大面积S，可将其按如图方 式进行分割，对每一小面积元有
c
(rotA) dS1 A dl c1 (rotA) dS2 A dl
体积元 dV r sin drd d
2
er e e e e er e er e
0.6 坐标系
球坐标系中的表达式
1 1 er e e r rsin r
1 (r 2 Fr ) 1 F 1 (sin F ) F 2 r r r sin rsin
散度
S
A dS = 0 (无源）
S
A dS 0 (正源)
S
A dS 0 (负源)
第一种情况称为无源场；后两种情况称为有源场。
0.2 矢量场的通量
高斯定理(散度定理)
散度
对于有限大体积 ，可将其
按如图方式进行分割，对每一 小体积元有 divA 1 A dS1 S1 divA 2 A dS2
S2
divA lim
0
1
S
A dS
A dS
divAd
divA lim
0
S
v
V
S
A dS
高斯定理
S
A dS divAd Ad
v
0.2 矢量场的通量
由方向性导数的定义可知，沿等值面法线 en 的方向性导数最大。
故
u grad u en n
可得
u grad u e x x u u grad u el grad u ey l y u grad u e z z
0.3 矢量场的环流 旋度
环流
定义矢量 A 沿一条有向闭合曲线C的线积分
S nS
= A dl
C
P
C
环流的计算
A
旋度
S e 在矢量场中任取一点M，围绕M作一条闭合的有向曲线 l ，其包围面积为 ，方向 n 与 l 满足右手定则，则该旋度的大小等于最大环量密度，方向是具有最大环量密
1 er r F (r , ,z ) r Fr e rF 1 ez r z Fz
f
f 1 f f er e ez r r z
0.6 坐标系
球坐标系 坐标变量
r , ,
e 单位矢量 r , e , e r er r 位置矢量
并验证散度定理。 解： A(r )=r (r )=rer
散度
例：矢量场 A为位置矢量，计算 A 穿过一个球心在原点，半径为a的球面的通量，
z
球面上各点的矢量（球坐标系下）为
r
r (a)=aer
= A( r ) dS r (a) dS aer dSer a dS 4 a3
散度场（无旋场） Fs =0 Fs =u 旋度场（无散场） Fl =0 Fl = A 有散有旋场 F=Fs Fl u + A
0.6 坐标系
圆柱坐标系 坐标变量
r, , z
e 单位矢量 r , e , e z 位置矢量 r e ez z
1 r 2sin F r Fr er 1 e r rsin F 1 e rsin rF
f 1 f 1 f f er e e r rsin r
S S S S
通量
y
x
散度 r (r )
ex ey ez xex yey zez y z x
4 3 3 r ( r ) d 3 d 3 a 4 a 3 A( r ) d S r 综上 (r )d
散度
Φ S A dS 若 S 为闭合曲面 A dS ，可判断该矢量是
流入还是穿出的。 散度 如果包围点P 的闭合面S 所围区域 以任意方式缩小为点P 时, 通量与体积之比的极限存在，定义该极限为矢量场 A 在P 点的散度。即 1 divA lim A dS
rotΑ e n lim
C
Α dl S
c2
S 0
(rotA) S = lim
S 0
c
A dl
S
(rotA) dS =
c
A dl
斯托克斯定理
C
A dl (rotA) dS= ( A) dS
度的方向。
max rotΑ en lim
S 0
C
Α dl
A
S
在直角坐标系下 rotA
ex
x
ey
y
ez
z
Ax
Ay
Az
0.3 矢量场的环流 旋度
旋度的物理意义
◇ 矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。 ◇ 点P的旋度的大小是该点环流密度的最大值。 ◇ 点P的旋度的方向是该点最大环流密度的方向。
矢量分析
0.1 标量场和矢量场
0.2 矢量场的通量 散度 0.3 矢量场的环流 旋度 0.4 标量场的梯度 0.5 亥姆霍兹定理 0.6 坐标系
内容概要
◇ 理解标量场与矢量场的概念和描述方法 ◇ 掌握矢量场的散度和旋度、标量场的梯度 ◇ 掌握高斯定理和斯托克斯定理 ◇ 理解亥姆霍兹定理的意义
0.1 标量场和矢量场
体积元
dV rdrd dz
er e e z e e z er e z er e
0.6 坐标系
圆柱坐标系中的表达式
1 er e ez r r z
1 (rFr ) 1 F Fz F (r , ,z) r r r z
在直角坐标系中梯度的计算公式
grad u
u u u ex ey ez u x y z
0.5 亥姆霍兹定理
亥姆霍兹定理 若矢量场在无界空间中处处单值，且其导数连续有界，场源分布在有限区域中， 则该矢量场由其散度和旋度唯一地确定。
意义
在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件唯一地确定。 研究电磁场的一条主线。 场的表示
S S
0.4 标量场的梯度
方向导数
标量场在某点处沿某一方向的变化率。 ◇ 考虑标量场中两个等值面 u, u u ◇ 定义标量函数 u( x, y, z) 沿给定方向 el 的变化率。
u u N
en
M el
lim
u 0
u u u u u lim PM PM l u 0
场：在一个给定区域用一组数来定义一个量的特性时，若该区域中每个点都具备 这种特性的量。 标量场：标量的空间分布构成的场。
如温度场、电位场、高度场等。
矢量场：矢量的空间分布构成的场。
如速度场、电场、磁场等。
0.1 标量场和矢量场
0.1 标量场和矢量场
0.1 标量场和矢量场
0.2 矢量场的通量
通量
0 S
定义矢量 A 沿有向曲面 S的面积分
S
矢量场的通量
直角坐标系中散度的计算公式 divA A
∂ Ax ∂ x
+
∂ Ay ∂ y
Az +∂ ∂ z
0.2 矢量场的通量
散度的物理意义 ◇ 矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数。 ◇ 散度代表矢量场的通量源分布特性。
u
P
为标量场 u x, y, z, 在P点沿 el 方向的方向导数，其大小与方向 el 有关。
梯度 标量场在某点的梯度大小为该点的最大方向导数，方向为该点 具有最大方向导数的方向。
0.4 标量场的梯度
大小：最大方向性导数 标量场 u x, y, z, 在P点的梯度是一个矢量 方向：最大方向性导数所在的方向
C
A dl 0
无旋场
C
A dl 0 漩涡场
旋度的重要性质 ◇ 旋度的散度恒等于零。
A 0
0.3 矢量场的环流 旋度
斯托克斯定理
对于有限大面积S，可将其按如图方 式进行分割，对每一小面积元有
c
(rotA) dS1 A dl c1 (rotA) dS2 A dl
体积元 dV r sin drd d
2
er e e e e er e er e
0.6 坐标系
球坐标系中的表达式
1 1 er e e r rsin r
1 (r 2 Fr ) 1 F 1 (sin F ) F 2 r r r sin rsin
散度
S
A dS = 0 (无源）
S
A dS 0 (正源)
S
A dS 0 (负源)
第一种情况称为无源场；后两种情况称为有源场。
0.2 矢量场的通量
高斯定理(散度定理)
散度
对于有限大体积 ，可将其
按如图方式进行分割，对每一 小体积元有 divA 1 A dS1 S1 divA 2 A dS2
S2
divA lim
0
1
S
A dS
A dS
divAd
divA lim
0
S
v
V
S
A dS
高斯定理
S
A dS divAd Ad
v
0.2 矢量场的通量
由方向性导数的定义可知，沿等值面法线 en 的方向性导数最大。
故
u grad u en n
可得
u grad u e x x u u grad u el grad u ey l y u grad u e z z