第一章电磁场矢量分析

第一章 矢量分析
【例2】 设 S 为以(0, 0, a) 为心，半径为 R（<|a|）的球面。 求积分
D dS
S
，其中
q D r 3 。 4π r
解：根据散度定理，有 D d S D dV 。 因为在 S 面内部，r≠ 0 ，由例1知，在 S 面内，
q r D 3 0 4 r
第一章 矢量分析
若 > 0 ，表明由闭面 S 中穿出的通量多于由外面 穿入中的通量， 称 S 中存在发出通量的净 ―源‖； 若 < 0，则由外面穿入闭面 S 中通量多于由 S 中穿出 的通量，称 S中存在吸纳通量的净 “洞”。可见，穿过 闭面的通量反映了闭合面所围空间内通量源的总体情况。 但是，有限大闭合面的通量不能反映源在面内各点的 具体分布。
j k e jk r
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1.2 矢量场的散度
1.2.1 通量
设 S 为空间中的某一曲面。在 S 上的一个给定点 r 处 取一矢量面元，规定其法向单位矢量 en 与面元周界线的绕 向成右手螺旋，则矢量场穿过面元的通量定义为
dΦ A d S
A 穿过整个曲面 S 的通量为
S
中取 A = ，则有
V
( ) dV d S
S
利用
( ) 2
第一章 矢量分析
即得格林第一恒等式：
2 ( ) dV d S S
V
在上式中交换 和 ，有
Φ AdS
S
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若 S 为闭曲面，则
Φ AdS
S
对于闭曲面，规定其法矢量向外。 矢量场 的空间分布可用矢量线形象地表示：矢量线上
任一点的切线方向沿 在该点的方向，穿过该点垂直于切线 方向的单位面积的矢量线数目等于 在该点的大小。由此可 见，矢量 穿过曲面 的通量 的直观意义就是穿过曲面 的矢 量线数目。
V 2 ( ) dV d S S
与第一格林恒等式相减，又得第二格林恒等式：
2 2 ( ) dV ( ) dS S
V
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1.3 矢量场的旋度
1.3.1 环量
回路积分 A d l 称为 A 沿闭合曲线 C 的环量。
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1.2.2 散度
为了解矢量场 A 中某空间点 a 处通量源的强弱，可以包 围 a 点取一小的闭曲面，然后令其向 a 点无限收缩。极限 情况下，单位体积内发出的通量就反映了 a 点处通量源的 强弱，这就是散度，记为 divA ，即
div A lim [
ΔV 0
1 A d S] V S
A (e x ey ez ) (e x Ax e y Ay e z Az ) x y z
Ax Ay Az x y z
高斯公式的矢量形式
S
A d S ( A) dV
V
上式也称为散度定理。
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C
A dl A d S
S
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1.3.3 旋度的运算法则
( A B) A B
( A) A A
A 0
0
grad
e l l
注意到 为任意标量函数，故可有算符等式：
el l
等值面： 值相等的空间点组成的面，即 (r)= const。
设 el 为等值面的任一切向单位矢，则有
el 0 l
可见梯度矢量总垂直于等值面。
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grad G e x ey ez x y z
引入哈米顿算符 ，在直角坐标系中
ex ey ez x y z
算符为矢量微分算符，规定其作用于右边的函数或矢量 上时，总是先做微分运算，后做矢量运算。
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利用算符 ，梯度可写成 从而有
1.1.3 梯度的运算法则
设 u、v 为标量函数，则容易证明以下公式：
C 0 （C为空间常数）
(Cu) C u
(u v) u v
(uv) vu uv
u 1 ( ) 2 (vu uv) v v
df [ f (u )] u du
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于是，直角坐标系中方向导数的表达式为
cos cos cos l x y z
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1.1.2 梯度
标量场的梯度为空间点的矢量函数，其方向是标量场 在该点有最大增加率的方向，其值则为沿该方向的方向导 数值。 设射线 l 的单位矢为
el ex cos e y cos ez cos
R R R
【例3】求 e jk r ，其中 k 为与坐标无关的常矢量。 解：
e jk r e jk r ( j kr ) j e jk r ( kr )
je jk r ( kx x k y y kz z)
j e j k r ( e x k x e y k y e z k z )
e x ( x x ) e y ( y y ) e z ( z z ) ( x x ) 2 ( y y ) 2 ( z z ) 2 R R
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注意，本例证明了一个常用的公式：
R R R R
类似地还可以证明： 1 1 R 3
1.2.3 散度的运算法则
设 A、B 为矢量函数， 为标量函数，则可证明：
( A B) A B
( A) ( ) A A
2
这里 2 = · 为拉普拉斯算符。在直角坐标系中，
2 2 2 2 2 2 2 x y z
引入矢量
G ex
ey ez x y z
则有
el G | G | cos(G, el ) l
显然，当 el 与 G 同向时，
有正的最大值。因此，矢量 l
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函数 G 同时给出了有最大方向导数的方向和该最大导数值。
按前面的定义，G 就是标量场 (r, t) 的梯度，记为 grad 。 因此，直角坐标系中梯度的表达式为
R R R e x ( x x ) e y ( y y ) e z ( z z ) R R e x ey ez 2 2 2 R x y z ( x x ) ( y y ) ( z z )
R R R R e x ey ez x y z
r (e x 3
r 1 1 1 3 ( 3 r ) ( 3 ) r 3 r r r r r
3 3 4 r r 3 0 r r
ey ez ) (e x x e y y e z z ) x y z
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【例2】若 R = r – r, r = ex x+ ey y+ ez z, r = ex x+ ey y+ ez z， 求R 和 R ，其中 R = | r – r|， 和 分别对 r 和 r 进行运 算。 解：
R ( x x ) 2 ( y y ) 2 ( z z ) 2
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1.1 标量场的梯度
1.1.1 方向导数
标量场 (r,t) 的方向导数 描写标量函数 (r,t) 在空间 中每一点上沿给定方向的 变化率。 在 M0 点沿 l 方向的方向 导数为
(M ) (M 0 ) lim lim Δ l 0 l 0 l l l
【例1】 对标量函数 求 r 和 1
r
r ( x, y , z )
x2 y2 z2
解：
r r r r e x ey ez x y z
ex x e y y ez z x2 y2 z 2 r er r
1 d 1 1 r ( ) r 2 er 3 r dr r r r
式中 V 是闭面 S 包围的体积，点 a 始终在 S 内。
散度是标量。矢量场的散度构成标量场。
由散度的定义可知，矢量线发自 divA > 0 处的 “源”， 止于 divA < 0 处的 “洞”。
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由高斯公式可以证明，利用 算符，散度可以写为
div A A
在直角坐标系中
第一章 矢量分析
第一章 矢量分析
物理量的空间分布构成一个物理的“场”。
标量场： (r,t) 矢量场：A (r,t) 处理场的数学方法是矢量分析。本章将讨论标量场的梯度、 矢量场的散度和旋度的运算。 主要内容：
梯度、散度和旋度的定义和相关的运算公式，以及它们 在直角坐标系、圆柱坐标、球坐标系和一般正交曲线坐标系 中的表达式。
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关于 ( A) ( ) A A
的证明：
( A) (e x ey ez ) ( Ax e x Ay e y Ay e y ) x y z
Ay Ax Az ( Ax )( Ay )( Az ) x x y y z z
C
若此积分不为 0，则称回路 C 中存在环量源。环量源又 称涡旋源。
1.3.2 旋度
定义环量强度
1 lim [ A dl ] Δ S 0 S C
其中 S、C 如图所示。
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对于矢量场中的给定点，环量强度将随面元的取向而改