数学文化《纳皮尔与对数》
对数
对数如果不等于1的正数a的b次幂等于正数N，那么幂指数b叫做正数N的以N＝b．a为底的对数．记为loga16、17世纪之交，精密的三角函数表已经出现．天文与航海等事业中的计算越来越精确；数字计算的工作量越来越繁重．这时迫切需要改进计算方法．在这样的历史条件下，苏格兰人纳皮尔在1594年创立了对数，那时指数的概念尚未完成，也没有指数符号．一直到18世纪，欧拉才发现指数与对数的天然关系，对数的建立先于指数，堪称历史上的珍闻．在纳皮尔之前，人们已懂得利用一个等比数列与一个等差数列的对应，可以把数的乘除运算转化为加减运算．例如下面两个数列各项依次对应：0 1 2 3 4 5 6 7 8…1 2 4 8 16 32 64 128 258…欲求第二行任意两数的积(或商)，只需要求与这两数所对应的第一行的两数的和(或差)，这个和(或差)数在第二行所对应的数即为所求之积(或商)．1544年德国人斯提非在《整数算术》中把第一行数叫做“代表者”．数学史家推测他的意愿可能是：要求两数之积(或商)，只需求两数的“代表者”的和(或差)即可，在斯提非时代还没有指数的概念，很多积与商(例如15×129，2047÷258)的“代表者”，斯提非是无法得到的，他只好说：“这个问题太狭窄了，所以不值得研究．”事实上，他已走到发明的边缘．可惜！纳皮尔不从指数出发，怎样得到对数的概念呢？斯提非所考察的等比数列与等差数列各项是离散的量，纳皮尔的方法是用连续的量来代替离散的量．他取一个定长的线段AB及一个从D点出发的射线DE(如图)．设质点C从A 向B作变速运动，其速度与它到B的距离成正比；质点F从D向右作匀速运动，其速度与C的初速度相同，当质点C运动到图中C点的时候，质点F运动到图中的F点，设CB＝x，DF＝y，纳皮尔称y为x的对数．“对数”这个术语是他创造的．纳皮尔觉察到，经过一系列相等的时间，x依等比数列减少，y依等差数列增加．和斯提非一样，“等差数列”y就是“等比数列”x的“代表者”(对数)．不过，纳皮尔比斯提非高明的地方是x和y作连续变化，所以打破了斯提非数列中均为整数的限制．如果用现代数学语言来叙述，就可以看出纳皮尔实质上是给出一个微分方程的近似解．然而，当时甚至连微分方程的概念都没有．纳皮尔完全没有用现代数学术语，而借用物理知识，直观地加以描述，得出了“对数”概念，后人把他引进的对数叫纳皮尔对数．纳皮尔花了20年的心血，编造了世界上第一个对数表，实际上是一个正弦对数列．我国“对数”的名称是这样来的：1653年波兰传教士穆尼阁与薛凤祚合编《比例对数表》，对数与对数表始传入我国．其中，lg2＝0.30103叫做“假数”(即借数)，“真数与假数对列成表”，所以叫做“对数表”．后来“假数”这个名称渐渐不用，把0.30103叫做2的“对数”．对数创立后，使乘方、开方三级运算可转化为乘、除二级运算；使乘、除二级运算可转化为加减一级运算，从而使繁难的运算转化为较简单的运算．18世纪大数学家拉普拉斯说，对数“用缩短计算的方式使天文学的寿命加倍”．可见发明对数在历史上的作用．。
对数函数的发展史
对数函数的发展史对数函数的发展史是一个跨越数个世纪，涉及众多数学家和科学家的历史。
它既包括了数学理论的重大突破，也包括了人类对自然世界的深入理解。
以下是对数函数发展史的详细介绍。
**一、背景**对数函数的发展史始于16世纪，当时科学家们面临着解决复杂的数字计算问题，例如求解高次方程，或是进行大量乘法运算。
这些问题在当时是非常困难的，因为它们需要大量的计算时间和精力。
**二、约翰·纳皮尔的贡献**1. 纳皮尔是一位苏格兰数学家和天文学家，他在16世纪末解决了这个问题。
他发明了一种新的数学方法，可以简化大量计算，使这些问题变得相对容易。
这种方法就是对数。
2. 纳皮尔的对数概念是基于一种称为“幂”的概念，即一个数的指数运算。
例如，2的3次方是8，这个“8”就是2的3次幂的结果。
纳皮尔发现，对于任何两个正数a和b （其中b>1），都存在一个数x，使得a等于b的x次幂。
这个数x就被称为“以b为底数的a的对数”。
**三、亨利·布里格斯和微积分**1. 布里格斯是英国的一位数学家，他对纳皮尔的对数概念进行了改进和推广。
他引入了“自然对数”的概念，即以e为底数的对数（e是一个无理数，约为2.71828）。
布里格斯的贡献对于现代数学有着重大影响。
2. 17世纪，微积分学开始兴起。
微积分是研究变化率和变化量的数学分支。
在对数函数的发展过程中，微积分学提供了一种新的工具来研究和理解对数函数的性质和行为。
**四、查尔斯·洛夫斯托尔和欧拉**1. 洛夫斯托尔是英国的一位数学家和天文学家，他在对数函数的研究中取得了重要进展。
他发现对数函数与指数函数之间存在一种密切的关系，这为研究它们的性质提供了新的视角。
2. 欧拉是瑞士的数学家，被誉为“数学界的巨匠”。
他对对数函数有着深入的研究，并发现了许多重要的性质和应用。
欧拉还对对数表的发展做出了重要贡献，这对后来的科学计算和对数函数的应用具有重要意义。
北师大版高中数学必修1-3.5对数的发明者约翰-纳皮尔
对数的发明者约翰·纳皮尔
约翰，纳皮尔，苏格兰数学家、神学家.1550年出生于苏格兰爱丁堡附近的小镇梅奇斯顿，是梅奇斯顿城堡的第八代地主.他一生研究数学，对数字计算特别有研究.
他的兴趣在于球面三角学的运算，而球面三角学乃因天文学的发展而兴起的．他重新建立了用于解球面直角三角形的10个公式的巧妙记法——圆的部分法则(“纳皮尔圆部法则”)，建立了解球面非直角三角形的两个公式——“纳皮尔比拟式”，发明了做乘除法用的“纳皮尔算筹”．此外，他还发明了纳皮尔尺，这种尺子可以机械地进行数的乘除运算和求数的平方根.
而约翰·纳皮尔主要的数学成就，则是发明对数运算.那时候天文学家在进行天文学研究时，需要进行很多非常繁琐的计算，工作量大得让他们苦不堪言，伤透脑筋，因此他们向约翰·纳皮尔求助，寻求更为简捷的运算方法，由此拉开了对数运算发现的序幕.
而约翰·纳皮尔完成这个发现过程花费了他整整20年的工夫．1614年6月他在爱丁堡出版的第一本对数专著《奇妙的对数表的描述》中阐明了对数原理，后人称为纳皮尔对数.
1616年亨利·布里格斯去拜访纳皮尔，建议将对数改良为以10作底.可惜纳
皮尔于隔年春天去世，所以这项工作后来就由布里格斯以毕生精力完成.布里格斯以10为底列出一个很详细的对数表，这也就是后来的常用对数表.自从有了对数，天文学家就可省去一半计算时间.
难怪著名的天体力学专家拉普拉斯会说：“对数的发明简化了计算，使天文学家的寿命增加了一倍．”约翰·纳皮尔也因此青史留名．。
对数
对数是由苏格兰数学家纳皮尔发明的，纳皮尔为了简化天文学问题的球面三角计算，在没有指数概念的情况下发明了对数，并于1614年在《奇妙对数定律说明书》中，介绍了他的方法和研究成果.
18世纪的欧拉深刻地揭示了指数与对数的密切联系，他曾说“对数源出于指数”。
在纳皮尔的著作发表40年后，对数传入我国，logarithm一词被译成“比例数”，后又逐步演变成“对数”，意指“对（照）表中的数”，清代数学家戴照等，经过独立的刻苦研究，也取得了很多成就。
现在通用的“常用对数”，是与纳皮尔同时期的英国数学家布里格斯引入的，并于1617年出版了常用对数表.1622年，英国数学家斯皮德尔给出了以e为底的自然对数表.
恩格斯在他的著作《自然辩证法》中，曾经把笛卡儿的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼茨的微积分共同称为17世纪的三大数学发明.法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯曾说：对数可以缩短计算时间，“在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”
由此可见，对数的发明对于人们研究科学和了解自然起了重大作用.。
近代数学中的革命性发明——对数
近代数学中的革命性发明——对数欧洲文艺复兴之后，科学也也迎来大发展时代，而出于实际的需要，天文和航海等领域的研究更是进行得如火如荼。
但到了十六世纪后，科学家们往往会被一个问题所困扰，那就是处理数据时所进行的复杂数字运算。
为此，不少数学家都在寻找一种可以减少计算量的更先进的数字处理方法，对数的概念也就应运而生。
以今天的眼光来看，对数的发明无疑是数学计算史上革命性的里程碑事件。
对数的概念萌芽于德国数学家施蒂费尔(Stifel)，他在自己1544年的著作《整数算术》中详细探讨了几何级数1，r,r^2,r^3……中的各项与其指数之间的关系，例如我们今天所熟知的两数相乘所得之数的指数为原两数指数之和，更进一步，他还将这种运算规律推广到了指数为负数和分数的情形。
如今这样的规律初中学生都已熟知，但在施蒂费尔的时代，这样的问题仍是模糊的，甚至在当时并没有“指数”这样的概念。
但可惜的是，限于时代的陈旧观念，施蒂费尔并没有提出类似于对数的概念，遗憾地错失了这次数学大发现和名垂千古的机会。
发明，或者说发现对数的重要功劳当属苏格兰数学家纳皮尔。
纳皮尔(John Napier,1550~1617)本是苏格兰地区的贵族，对天文学尤其是相关的计算很有兴趣，擅长于把天文问题转化为球面三角的问题。
如今没有资料显示纳皮尔产生对数概念的具体过程，但这显然与他长期从事天文计算研究相关。
大约在1594年，纳皮尔得到了对数概念的雏形，为此他专门写信将想法告诉了当时著名的天文学家第谷(Tycho Brahe,1546~1601,近代天文学奠基人，开普勒的老师)。
而后经过长时间的思考，纳皮尔的对数概念开始逐渐清晰起来，和当时的传统做法一样，纳皮尔需要著作来详细阐释他的思想，为此他完成了两本著作：《论述对数的奇迹》(1614)和《做出对数的奇迹》(1619)。
纳皮尔的出发点与之前的施蒂费尔完全不同，他借助了物理中的直线运动和连续几何变量来引入对数。
对数的概念PPT课件
1 024个？
多少次分裂可以得到个细胞呢？8=2x 1 024=2x
x=
例3.计算：（1）lo g 9 2 7
（2）log 4 3 81
思考： a 0且a 1
a loga n ?
a loga n n
loga an ? loga an n
loga 1 ? loga 1 0 loga a ? loga a 1
课后作业：
1.(1)若 log(x1)(3 x)有意义，则x的取值
范围 _____________
(2)若(lg x)2 2 lg x 3 0,则x _____
(3)若
log2
log 1
(log2
x)
0, 求x
____
2
2.计算
1
（1） 3log3 5 3 log3 5
a (2)
loga b•logb c•log c N
１．关系：
底数对底数
指数对以a为底N的对数
指数式
a x= N
x = log a N
对数式
幂值对真数
2.特殊对数：1）常用对数 — 以10为底的对数；lg N
2）自然对数— 以 e 为底的对数；ln N
3.重要结论：
loga a 1 loga 1 0
aloga n n loga an n
a 0,且a 1时
对数的文化意义
恩格斯说，对数的发明与解析几何的创立、 微积分的建立是17世纪数学史上的3大成 就。
伽利略说，给我空间、时间及对数， 我可以创造一个宇宙。
布里格斯（常用对数表的发明者）说，对数 的发明，延长了天文学家的寿命。
对数的概念
一般地，如果 a x N (a 0, 且a 1), 那么数x叫做以a为底N的对数， 记作 x loga N , 其中a叫做对数的底数， N叫做真数
数学文化《纳皮尔与对数》19页PPT
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。
延长天文学家寿命的发现——纳皮尔发现对数
延长天文学家寿命的发现——纳皮尔发现对数自古以来，人们的日常生活和所从事的许多领域，都离不开数值计算，并且随着人类社会的进步，对计算的速度和精确程度的需要愈来愈高，这就促进了计算技术的不断发展。
印度阿拉伯记数法、十进小数和对数是文艺复兴时期计算技术的三大发明，它们是近代数学得以产生和发展的重要条件。
其中对数的发现，曾被18世纪法国大数学家、天文学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”。
对数思想的萌芽对数的基本思想可以追溯到古希腊时代。
早在公元前500年，阿基米德就研究过几个10的连乘积与10的个数之间的关系，用现在的表达形式来说，就是研究了这样两个数列：1，10，102，103，104，105，……；0，1，2，3，4，5，……他发现了它们之间有某种对应关系。
利用这种对应可以用第二个数列的加减关系来代替第一个数列的乘除关系。
阿基米德虽然发现了这一规律，但他却没有把这项工作继续下去，失去了对数破土而出的机会。
2000年后，一位德国数学家对对数的产生作出了实质性贡献，他就是史蒂非。
1514年，史蒂非重新研究了阿基米德的发现，他写出两个数列：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11……；1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048……他发现，上一排数之间的加、减运算结果与下一排数之间的乘、除运算结果有一种对应关系，例如，上一排中的两个数2、5之和为7，下一排对应的两个数4、32之积128正好就是2的7次方。
实际上，用后来的话说，下一列数以2为底的对数就是上一列数，并且史蒂非还知道，下一列数的乘法、除法运算，可以转化为上一列数的加法、减法运算。
例如，23×25＝23＋5，等等。
就在史蒂非悉心研究这一发现的时候，他遇到了困难。
由于当时指数概念尚未完善，分数指数还没有认识，面对像17×63，1025÷33等情况就感到束手无策了。
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对数是数学中非常重要的发明
提到对数就不得不提到
他 是 一 名 贵 族 地 主 他 的 爱 好 很 广 泛
被现代人称为最欢乐的苏格兰 数学家 物理学家 天文学家 神学家 还有军事学家
约翰纳皮尔 John Napier
欧洲宗教革命时期
苏格兰也加入了新教政营对抗旧教 的政营
他就在思考如 何才能为国家 做贡献？
我们需要处理的部分其实就是前面 在指数运算当中的指数部分问题
对数运算的加法原则
减法原则
基于一般的加法公式
由上我们可以推出
基于换底公式的基础 还有一个非常重要的推论
这个公式的推导如下
对数运算的基本公式就是
加乘：
减除：
顶在外： 仙位不变：
本课到此结束
谢 谢
还有人把书名翻译为《棒棒的对数规律的描述》
这本书的价值很快就被许多名人所认同
恩格斯认为——笛卡尔坐 标，纳皮尔的对数，牛 顿和莱布尼茨的微积分 是十七世纪的三大数学 最伟大的发明
拉普拉斯认为————纳皮尔对科学的贡献，特别是 天文学的贡献是毋庸置疑的。有效地提高了天文学 家们的计算效率，在实效上等于让天文学家的寿命 延长了许多倍。
约翰纳皮尔 作为一名有 才有志的贵 族
约翰纳皮尔没日没夜的研究和设计新的军事武器
这就是他设计的武 器图纸也是后来坦 克和潜水艇的原型
以求打败当时的海上马车夫西班牙
然而他的武器图纸还没有设计 完成西班牙就被英国打败了
约翰纳皮尔虽然在军 事上没有太多的成绩
但他对数学的贡献是巨大的
哥白尼的除了没有望远镜
也没有代替人脑计算的计算机
各种天文数字都是依靠天文学家 没日没夜的计算才得的结果
约翰纳皮尔花了整整20年的时间才在前人的基础上写出 一本让他在数学史上留下浓墨重彩的一本书 《奇妙的对数表的描述》 《 Mirifici logarithmorum canonis descriptio》
关于对数问题我们依然用澳大利亚兔子问题来探讨，以下 的内容不同于《数学文化》45页所提到的斐波拉契数列
等到第五年的时候 兔子的总数为248832只
我们再练习指数与对数的变换
对数函数的函数表达式就是
当a>1时 当0<a<1时
由于对数运算是指数的逆运算
所以结合指数运算一起看 会更容易理解
通过类比
我们能够直观看出在对数运算当中