南开大学数学文化-11若干数学典故中的数学文化-历史上的三次数学危机
一、第一次数学危机
第一次数学危机是由 2 不能写成两 个整数之比引发的，我们在第二章已专 门讨论过，现再简要回顾一下。
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这一危机发生在公元前5世纪，危机 来源于：当时认为所有的数都能表示为整 数比，但突然发现 2 不能表为整数比。
其实质是： 2 是无理数，全体整数之比 构成的是有理数系，有理数系需要扩充，需 要添加无理数。
正因为如此，此后近二百年间的数学家， 都不能满意地解释贝克莱提出的悖论。
所以，由“无穷小”引发的第二次数学 危机，实质上是缺少严密的极限概念和极限 理论作为微积分学的基础。
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莱布尼茨
牛顿
25
3．危机的解决 1）必要性
微积分虽然在发展，但微积分逻辑 基础上存在的问题是那样明显，这毕竟 是数学家的一块心病。
但是彻底解决这一危机是在19世纪，依赖实数 理论的建立。
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二、第二次数学危机
第二次数学危机发生在牛顿创立微积分 的十七世纪。第一次数学危机是由毕达哥拉 斯学派内部提出的，第二次数学危机则是由 牛顿学派的外部、贝克莱大主教提出的，是 对牛顿 “无穷小量”说法的质疑引起的。
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1．危机的引发 1）牛顿的“无穷小”
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第三章 若干数学典故中的数学文化
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第二节 历史上的三次数学危机（2）
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历史上，数学的发展有顺利也有曲折。大 的挫折也可以叫做危机。危机也意味着挑战， 危机的解决就意味着进步。所以，危机往往 是数学发展的先导。数学发展史上有三次数 学危机。每一次数学危机，都是数学的基本 部分受到质疑。实际上，也恰恰是这三次危 机，引发了数学上的三次思想解放，大大推 动了数学科学的发展。
刘英华
（经济学院 经济学专业 002008001）
摘 要：本文研究了一类物价的非线性经济模型的渐近性态。
关键词：经济模型；非线性微分方程；极限环
1 问题的提出
我们对物价变化的处理采用线性微分方程模型，……
1.1 对原有模型的评价
原有模型的……
参考文献
[1]秦元勋，微分方程所定义的积分曲线（下册），科学出版社，1959，309-311.
牛顿的微积分是一项划时代的科学成就，蕴 含着巨大的智慧和创新，但也有逻辑上的问题。 我们来看一个例子。
微积分的一个来源，是想求运动物体在某一 时刻的瞬时速度。在牛顿之前，只能求一段时间 内的Βιβλιοθήκη 均速度，无法求某一时刻的瞬时速度。
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t 例如，设自由落体在时间 下落的距离为S(t)，
有公式 S(t) 1 gt，2 其中 g 是固定的重力加速度。我
它是两个无穷小之比。
牛顿的这一方法很好用，解决了大量过 去无法解决的科技问题。但是逻辑上不严 格，遭到责难。
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2）贝克莱的发难 英国的贝克莱大主教发表文章猛烈 攻击牛顿的理论。 贝克莱问道：“无穷小”作为一个 量，究竟是不是0？
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S t
gt0
1 2
g(t)
（*）
如果是0，上式左端当t 成无穷小后分母为0，就
2.对数学方法和数学思想的体会； 3.关于数学与本学科的联系； 4.对数学某知识点的进一步思考； 5.对数学之美的感悟和对数学文化的理解。 稿件格式要求： 1、稿件要求有题目、作者情况（姓名、学院、专业、学号）、摘要、关键词、正文、参考文献共6个部分。 2、稿件一律要求采用word格式录入的电子版。 3、论文题目用黑体四号字，居中，单独成行；论文题目副标题用宋体小四号字，居中，单独成行，且以波折号引导。 4、作者用楷体五号字，居中。作者所属学院、专业、学号用仿宋体五号字，居中，且用圆括号括住。 摘 要、关键词等字样用黑体五号字体，后面紧跟黑体冒号；摘要、关键词内容用楷体小四号字。摘要的内容一般不超过150个汉字。关键词之间以分号分割，最后一个关键词之后不加标点符号。关 键词一般为3至5个。 文章正文内容用宋体五号字，不要在正文开始之前写“正文”两字。数学公式请一律用word的公式编辑器书写（在正文中出现的变量等也请用公式编辑器书写）。正文的第一级标题用黑体五号字， 标题编号请用阿拉伯数字，如“1 前言”；正文第二级标题用楷体五号字，如“1.1 数学抽象的特点”，以下依次类推。一般情况下，标题请不要超过三级。 插图应有图注。图注包含图的编号和图的说明两部分，如“图1 文艺复兴时期的油画”，图注用加粗宋体小五号字。即使全文只有一幅插图，也需编号。 表格应有表头。表头包括表的编号和表的说明两部分，如“表1 2007年各月的商品房平均售价”，表头用加粗宋体小五号字。即使全文只有一张表格，也请编号。 参考文献位于正文最后，参考文献字样左对齐用黑体五号字，参考文献内容用楷体五号字。 全文行间距为“单倍行间距”。
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当时古希腊的欧多克索斯部分地解决了这一危 机。他采用了一个十分巧妙的关于“两个量之比” 的新说法，回避了2 是无理数的实质，而是用几 何的方法去处理不可公度比。这样做的结果，使几 何的基础牢靠了，几何从全部数学中脱颖而出。欧 几里得的《几何原本》中也采用了这一说法，以致 在以后的近二千年中，几何变成了几乎是全部严密 数学的基础。
趣题——找次品：
1）有5个外形相同的乒乓球，其中只有 1个重量不标准的次品乒乓球。
现再给你一个标准球；请用一架不带 砝码的天平，最多两次使用该天平，找 出上述次品乒乓球。
1
关于“读书报告”
不少于3000字； 着重在“读书”及“数学思想”； 于第15周以前交来（即12月12日以前交来）； 既交电子稿，也交打印稿（电子稿要见到我的“回复”邮件才算“交
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们要求物体在 t0 的瞬时速度，先求
S t
。
S
S (t1 )
S(t0 )
1 2
gt12
1 2
gt02
1 2
g[(t0
t ) 2
t02
]
1 2
g[2t0t
(t)2 ]
∴
S
1
t gt0 2 g(t)
（*）
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当 t 变成无穷小时，右端的
1 g (t) 2
也变成无穷小，因而上式右端就可以认为
是 gt0 ，这就是物体在 t0 时的瞬时速度，
没有意义了。如果不是0，上式右端的1 g(t) 就不能
任意去掉。
2
在推出上式时，假定了t 0才能做除法，所以
上式的成立是以 t 0为前提的。那么，为什么又
可以让 t 0而求得瞬时速度呢？
因此，牛顿的这一套运算方法，就如同从
5 0 3 0 出发，两端同除以0，得出5=3一样
的荒谬。
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贝克莱还讽刺挖苦说：即然 t 和 S 都变 成“无穷小”了，而无穷小作为一个量，既 不是0，又不是非0，那它一定是“量的鬼魂” 了。
关键词：经济模型；非线性微分方程；极限环
1 问题的提出
我们对物价变化的处理采用线性微分方程模型，……
1.1 对原有模型的评价
原有模型的……
参考文献
[1]秦元勋，微分方程所定义的积分曲线（下册），科学出版社，1959，309-311.
[2]张世英，李文杰，非均衡微观市场的调控机制研究，系统工程学报，1995，102）.
全文行间距为“单倍行间距”。
4
投稿方式：1、随时用邮件发送到《数学之美》编辑部 nksxzm@；
（请改为：邮件发送到gupei@ ）
2、电子邮件主题请注明“《数学之美》投稿”（请 改为：电子邮件主题为“数学文化读书报告”）， 并在“作者姓名”后留下手机号码以便联系。
稿”）； 有的“图”如果在电子稿上有困难，可以在打印稿上“手绘”； 详细“要求”请看 “数学文化”课件1； “格式要求”与《数学之美》的投稿要求相同
2
《数学之美》征稿启事
本刊采用数学大师陈省身先生的“数学之美”题词作为刊名，希望通过学生对数学之美的感悟，激发学习数学的兴趣，培养创新的意识，锻炼写作的能力；同时也提供一个交流的平台。 本刊是面向全校本科生征稿的内部刊物，原则上每年出版一期，热忱地欢迎全校学生踊跃投稿。 稿件内容可以包括：1.学习数学的心得和感想；
这就是著名的“贝克莱悖论”。 对牛顿微积分的这一责难并不是由数学家 提出的，但是，
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贝克莱的质问是击中要害的
数学家在将近200年的时间里，不能彻底 反驳贝克莱的责难。
直至柯西创立极限理论，才较好地反驳了 贝克莱的责难。
直至魏尔斯特拉斯创立“ ”语言，
才彻底地反驳了贝克莱的责难。
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3）实践是检验真理的唯一标准 应当承认，贝克莱的责难是有道理的。“无
《数学之美》编委会每年将评选优秀论文。优秀论文设 一等奖、二等奖、三等奖各若干名。
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稿件样例
(放到ppt上以后，字体及样式全都改变了，所以还要请大家从网上看真正的“稿件样 例”)
物价的非线性经济模型的渐近性态
——简论近期物价走势
刘英华
（经济学院 经济学专业 002008001）
摘 要：本文研究了一类物价的非线性经济模型的渐近性态。
插图应有图注。图注包含图的编号和图的说明两部分，如“图1 文艺复兴时期的油画”，图注 用加粗宋体小五号字。即使全文只有一幅插图，也需编号。
表格应有表头。表头包括表的编号和表的说明两部分，如“表1 2007年各月的商品房平均售价”， 表头用加粗宋体小五号字。即使全文只有一张表格，也请编号。
参考文献位于正文最后，参考文献字样左对齐用黑体五号字，参考文献内容用楷体五号字。
当然，牛顿也曾在他的著作中说明，所谓“最 终的比”，就是分子、分母要成为0还不是0时的 比——例如（*）式中的gt，它不是“最终的量的 比”，而是“比所趋近的极限”。
他这里虽然提出和使用了“极限”这个词，但 并没有明确说清这个词的意思。
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德国的莱布尼茨虽然也同时发明了微积 分，但是也没有明确给出极限的定义。
4、作者用楷体五号字，居中。作者所属学院、专业、学号用仿宋体五号字，居中，且用圆括号 括住。
数学史上的三次危机
毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。
他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。
由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。
而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。
然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。
毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。
希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2 的诞生。
小小√2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。
它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。
实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。
对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。
这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。
这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的√2的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。
更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。
这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。
第二次数学危机导源于微积分工具的使用。
伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹各自独立发现。
这一工具一问世，就显示出它的非凡威力。
许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如翻掌。
但是不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。
两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。
(整理)数学史上的三次危机.
数学史上的三次危机张清利第一次数学危机在古代的数学家看来与有理数对应的点充满了数轴，现在尚未深入了解数轴性质的人也会这样认为。
因此，当发现在数轴上存在不与任何有理数对应的一些点时，在人们的心理上引起了极大震惊，这个发现是早期希腊人的重大成就之一。
它是在公元前5世纪或6世纪的某一时期由毕达哥拉斯学派的成员首先获得的。
这是数学史上的一个里程碑。
毕达哥拉斯学派发现单位正方形的边与对角线不可公度，即对角线的长不能表为q p /的形式，也就是说不存在作为公共度量单位的线段。
后来，又发现数轴上还存在许多点也不对应于任何有理数。
因此，必须发明一些新的数，使之与这样的点对应，因为这些数不能是有理数，所以把它们称为无理数。
例如， ,22,8,6,2等都是无理数。
无理数的发现推翻了早期希腊人坚持的另一信念：给定任何两个线段，必定能找到第三线段，也许很短，使得给定的线段都是这个线段的整数倍。
事实上，即使现代人也会这样认为，如果他还不知道情况并非如此的话。
第一次数学危机表明，当时希腊的数学已经发展到这样的阶段：1． 数学已由经验科学变为演绎科学；2． 把证明引入了数学；3． 演绎的思考首先出现在几何中，而不是在代数中，使几何具有更加重要的地位。
这种状态一直保持到笛卡儿解析几何的诞生。
中国、埃及、巴比伦、印度等国的数学没有经历这样的危机，因而一直停留在实验科学。
即算术阶段。
希腊则走上了完全不同的道路，形成了欧几里得的《几何原本》与亚里士多得的逻辑体系， 而成为现代科学的始祖。
在当时的所有民族中为什么只有希腊人认为几何事实必须通过合乎逻辑的论证而不能通过实验来建立？这个原因被称为希腊的奥秘。
总之，第一次数学危机是人类文明史上的重大事件。
无理数与不可公度量的发现在毕达哥拉斯学派内部引起了极大的震动。
首先，这是对毕达哥拉斯哲学思想的核心，即“万物皆依赖于整数”的致命一击；既然像2这样的无理数不能写成两个整数之比，那么，它究竟怎样依赖于整数呢？其次，这与通常的直觉相矛盾，因为人们在直觉上总认为任何两个线段都是可以公度的。
数学史上的三次危机
数学史上的三次危机第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。
毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数，而仅看作两个整数之比，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。
毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。
希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2 的诞生。
小小√2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。
由于当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知，这一发现对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。
这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。
这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。
腰长为1的等腰直角三角形的斜边长度，是一个无法写成为有理数的数。
亦即是说有理数并非一切数，存在有理数以外的数，原来第一次数学危机是无理数的发现，它还说出了有理数的不完备性，这些都是可被证明的事实。
面对着事实，数学家展开广阔的胸襟，将无理数引入数学的大家庭，令数学更丰富更完备。
第二次数学危机导源于微积分工具的使用。
微积分这一数学工具为牛顿、莱布尼兹各自独立发现，但是不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。
两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。
因而，从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。
数学是讲究严谨的学科，数学家必不逃避问题，面对困难，接受挑战，是数学家的不朽格言。
另一位伟大的数学家柯西（1789–1857），重新建立微积分学的基础—数学分析。
数学分析是透过一套严格的数学语言—ε语言来说明什么是变量、无穷小和极限等的概念和定义，解决了什么是既不是零又不是非零的问题，另外Weistrass创立了极限理论，加上实数理论，集合论的建立，从而把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来，第二次数学危机基本解决。
三次数学危机
数学史上的三次数学危机分别是什么?答案一：毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。
他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。
由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。
而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。
然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。
毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。
希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2 的诞生。
小小√2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。
它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。
实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。
对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。
这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。
这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的√2的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。
更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。
这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。
第二次数学危机导源于微积分工具的使用。
伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹各自独立发现。
这一工具一问世，就显示出它的非凡威力。
许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如翻掌。
但是不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。
两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。
数学小讲师--三次数学危机
学
小
讲
师
三次数学危机
01
第一次数学危机
公元前六世纪，在古希腊学 术界占统治地位的毕达哥拉斯 学派，其思想在当时被认为是 绝对权威的真理。其主要奉献 之一就是证明了毕达哥拉斯定 理，也就是勾股定理。
当时，毕达哥拉斯倡导的是一 种称为“唯数论〞的哲学观点，他 们认为宇宙的本质就是数的和谐。 他们认为万物皆数〔数字神化〕， 而数只有两种，就是正整数和可通 约的数〔即分数，两个整数的比〕， 除此之外不再有别的数，即是说世 界上只有整数或分数。
有理数 无理数
02
第二次数学Байду номын сангаас机
•
0.9
1
03
第三次数学危机
危机：既是危险，也是机遇。数学史上的每 一次危机都极大地推动了数学的开展。每一 次开展都是人们认识这个世界的更进一步。 数学也有着自己独特的文化与韵味。
谢谢欣赏
史上数学三大危机简介
数学三大危机术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。
由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。
毕达哥拉斯学派所说的数仅指整数。
而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。
然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。
毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。
希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生。
小小的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。
它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。
实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击，对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。
这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。
这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。
更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。
这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。
第二次数学危机导源于微积分工具的使用。
伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹共同发现。
这一工具一问世，就显示出它的非凡威力。
许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如反掌。
但是不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。
两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。
因而，从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。
若干数学典故中的数学文化
（八）第三章 若干数学典故中的数学文化第一节历史上的三次数学危机历史上，数学的发展有顺利也有曲折。
大的挫折也可以叫做危机，危机也意味着挑战，危机的解决就意味着进步。
所以，危机往往是数学发展的先导。
数学发展史上有三次数学危机。
每一次数学危机，都是数学的基本部分受到质疑。
实际上，也恰恰是这三次危机，引发了数学上的三次思想解放，大大推动了数学科学的发展。
一、第一次数学危机第一次数学危机是由2不能写成两个整数之比引发的，我们在第一章已专门讨论过，现再简要回顾一下。
这一危机发生在公元前5世纪，危机来源于：当时认为所有的数都能表示为整数比，但突然发现2不能表为整数比。
其实质是：2是无理数，全体整数之比构成的是有理数系，有理数系需要扩充，要添加无理数。
当时古希腊的欧多克索斯部分地解决了这一危机。
他采用了一个十分巧妙的关于“两个量之比”的新说法，回避了2是无理数的实质，用几何的方法去处理不可公度比。
这样做的结果，使几何的基础牢靠了，几何从全部数学中脱颖而出。
欧几里得的《几何原本》中也采用了这一说法，以致在以后的近二千年中，几何变成了几乎是全部严密数学的基础。
但是彻底解决这一危机是在19世纪，依赖实数理论的建立。
二、第二次数学危机第二次数学危机发生在牛顿创立微积分的十七世纪。
第一次数学危机是由毕达哥拉斯学派内部提出的，第二次数学危机则是由牛顿学派的外部、贝克莱大主教提出的，是对牛顿“无穷小量”说法的质疑引起的。
1．危机的引发1）牛顿的“无穷小”牛顿的微积分是一项划时代的科学成就，蕴含着巨大的智慧和创新，但也有逻辑上的问题。
我们来看一个例子。
微积分的一个来源，是想求运动物体在某一时刻t的瞬时速度。
在牛顿之前，只能求一段时间内的平均速度，无法求某一时刻的瞬时速度。
牛顿的思路是：让时间从0t 变到1t ，这段时间记作01t t t −=∆，而这段时间里物体走过的距离记作S ∆。
比值tS ∆∆便是0t 到1t 这段时间内物体的平均速度。
三次数学危机的产生与解决
感谢观看
解决措施
针对三次数学危机，数学家们提出了各种解决措施。在第一次数学危机中， 欧多克索斯提出了实数的概念，将数学从困境中解脱出来；在第二次数学危机中， 数学家们对集合论进行严格的公理化，提出了公理化集合论；在第三次数学危机 中，
数学家们发展出了新的数学逻辑系统——模态逻辑，为数学的发展提供了更 加坚实的基础。
三次数学危机的产生与解决
目录
01 第一次数学危机
03 第三次数学危机
02 第内容
目录
06 总结
数学作为一门基础学科，是人类文明的重要组成部分。然而，在数学发展史 上，曾先后出现过三次严重的危机。本次演示将分别探讨这三次数学危机的产生 背景、原因及后果，并提出相应的解决措施。
第一次数学危机
第一次数学危机发生在公元前580年至568年之间的古希腊时期。这场危机的 起因主要在于当时数学界对无理数认识的不足。古希腊的数学家们认为，所有的 数都可以表示为整数或分数，即有理数。然而，当时希腊数学家希帕索斯发现了 一个问题：如果将
正方形的对角线进行等分，那么所得的线段长度就无法用有理数来表示。这 个发现动摇了当时数学界的基础，引发了第一次数学危机。
第二次数学危机
第二次数学危机发生在19世纪末期。这次危机源于康托尔的集合论，由于集 合论的某些基本概念含混不清，引发了数学界的恐慌。这场危机的根本原因是， 当时数学家们并未对集合论进行严格的公理化。为了解决这次危机，数学家们对 集合论进行了深入
研究，最终由策梅洛提出了公理化集合论，平息了这次危机。
发展。而在第三次数学危机时期，人们对数学的认知发生了根本性的改变， 使数学进入了一个全新的发展阶段。
总结
三次数学危机的产生与解决，是人类文明发展的重要组成部分。这些危机不 仅推动了数学的快速发展，而且也启示人们要不断深入思考和探索数学的内涵和 基础。通过了解三次数学危机的历史背景、原因、后果及解决措施，我们可以更 好地理解数学的
史上数学三大危机简介
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------史上数学三大危机简介数学三大危机数学三大危机简述：第一，希帕索斯（Hippasu，米太旁登地方人，公元前 5 世纪）发现了一个腰为 1 的等腰直角三角形的斜边（即根号 2）永远无法用最简整数比（不可公度比）来表示，从而发现了第一个无理数，推翻了毕达哥拉斯的著名理论。
相传当时毕达哥拉斯派的人正在海上，但就因为这一发现而把希帕索斯抛入大海；第二，微积分的合理性遭到严重质疑，险些要把整个微积分理论推翻；第三，罗素悖论：S 由一切不是自身元素的集合所组成，那 S 包含 S 吗？用通俗一点的话来说，小明有一天说：我正在撒谎！问小明到底撒谎还是说实话。
罗素悖论的可怕在于，它不像最大序数悖论或最大基数悖论那样涉及集合高深知识，它很简单，却可以轻松摧毁集合理论！第一次数学危机毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。
他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。
由毕达哥拉斯提出的著名命题万物皆数是该学派的哲学基石。
毕达哥拉斯学派所说的数仅指整数。
而一切数均可表成整数或整数之比则是这一学派的数学信仰。
1 / 6然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的掘墓人。
毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为 1 的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。
希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生。
小小的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。
它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。
实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击，对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。
数学的三次危机
数学的三次危机在数学史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。
当矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就会产生数学危机。
而危机的解决，往往能给数学带来新的内容、新的进展，甚至引起革命性的变革。
数学的进展就经历过三次关于基础理论的危机。
一、第一次数学危机从某种意义上来讲，现代意义下的数学，也就是作为演绎系统的纯粹数学，来源予古希腊毕达哥拉斯学派。
它是一个唯心主义学派，兴旺的时期为公元前500年左右。
他们认为，“万物皆数”(指整数)，数学的知识是可靠的、准确的，而且能够应用于现实的世界，数学的知识由于纯粹的思维而获得，不需要观察、直觉与日常经验。
整数是在关于对象的有限整合进行计算的过程中产生的抽象概念。
日常生活中，不仅要计算单个的对象，还要度量各类量，比如长度、重量与时间。
为了满足这些简单的度量需要，就要用到分数。
因此，假如定义有理数为两个整数的商，那么由于有理数系包含所有的整数与分数，因此关于进行实际量度是足够的。
有理数有一种简单的几何解释。
在一条水平直线上，标出一段线段作为单位长，假如令它的定端点与右端点分别表示数0与1，则可用这条直线上的间隔为单位长的点的集合来表示整数，正整数在0的右边，负整数在0的左边。
以q为分母的分数，能够用每一单位间隔分为q等分的点表示。
因此，每一个有理数都对应着直线上的一个点。
古代数学家认为，这样能把直线上所有的点用完。
但是，毕氏学派大约在公元前400年发现：直线上存在不对应任何有理数的点。
特别是，他们证明了：这条直线上存在点p不对应于有理数，这里距离op等于边长为单位长的正方形的对角线。
因此就务必发明新的数对应这样的点，同时由于这些数不可能是有理数，只好称它们为无理数。
无理数的发现，是毕氏学派的最伟大成就之一，也是数学史上的重要里程碑。
无理数的发现，引起了第一次数学危机。
首先，关于全部依靠整数的毕氏哲学，这是一次致命的打击。
其次，无理数看来与常识大概相矛盾。
在几何上的对应情况同样也是令人惊讶的，由于与直观相反，存在不可通约的线段，即没有公共的量度单位的线段。