有限长单位脉冲响应滤波器设计
有限长单位脉冲响应(FIR)滤波器的设计方法-第一节
在通信系统中的应用
信号调制与解调
频分复用
FIR滤波器在通信系统的信号调制与解 调过程中起到关键作用，能够实现信 号的频谱搬移。
FIR滤波器可以实现频分复用，将多个 信号调制到不同的频段上，实现多路 信号同时传输。
信道均衡
在通信过程中，信号经过信道时会受 到各种干扰和失真，FIR滤波器可以用 于信道均衡，减小信号失真。
特点
稳定性好、易于实现、无递归结 构、相位线性等。
FIR滤波器的应用领域
01
02
03
信号处理
FIR滤波器广泛应用于信 号去噪、滤波、增强等处 理。
图像处理
在图像处理中，FIR滤波 器用于图像平滑、锐化等 操作。
通信系统
FIR滤波器用于通信系统 的调制、解调、信道均衡 等。
FIR滤波器与IIR滤波器的比较
群时延
群时延
群时延是描述滤波器对信号延迟影响 的参数。在通信和音频处理中，群时 延的稳定性非常重要，在设计FIR 滤波器时考虑使用特定的窗函数或优 化算法，以减小信号通过滤波器时的 延迟。
幅度响应
幅度响应
幅度响应描述了滤波器对不同频率信号的衰减程度。理想的幅度响应应该是对 所有频率成分具有相同的衰减，但在实际中很难实现。
VS
总结词：计算量较小，需要较高的存 储空间和通信开销，适用于大规模数 据和分布式系统。
05
FIR滤波器的应用实例
在音频处理中的应用
音频信号降噪
FIR滤波器能够有效地去除 音频信号中的噪声，提高 音频质量。
音频压缩
通过FIR滤波器对音频信号 进行压缩，可以减小音频 文件的大小，便于存储和 传输。
最优化方法
最优化方法是一种基于数学优化的FIR滤波器设计方法， 其基本思想是通过优化算法来求解FIR滤波器的系数，
课后习题及答案_第7章有限脉冲响应数字滤波器设计--习题（精品pdf）
第6章 有限脉冲响应(FIR)数字滤波器的设计习题1． 已知FIR 滤波器的单位脉冲响应为：（1） h (n )长度N =6h (0)=h (5)=1.5h (1)=h (4)=2h (2)=h (3)=3（2） h (n )长度N =7h (0)=－ h (6)=3h (1)=－ h (5)=－ 2h (2)=－h (4)=1h (3)=0试分别说明它们的幅度特性和相位特性各有什么特点。
2． 已知第一类线性相位FIR 滤波器的单位脉冲响应长度为16， 其16个频域幅度采样值中的前9个为：H g (0)=12， H g (1)=8.34， H g (2)=3.79， H g (3)~H g (8)=0根据第一类线性相位FIR 滤波器幅度特性H g (ω)的特点， 求其余7个频域幅度采样值。
3． 设FIR 滤波器的系统函数为求出该滤波器的单位脉冲响应h (n )， 判断是否具有线性相位， 求出其幅度特性函数和相位特性函数。
4． 用矩形窗设计线性相位低通FIR 滤波器， 要求过渡带宽度不超过π/8 rad 。
希望逼近的理想低通滤波器频率响应函数H d (e j ω)为（1） 求出理想低通滤波器的单位脉冲响应h d (n )；（2） 求出加矩形窗设计的低通FIR 滤波器的单位脉冲响应h (n )表达式， 确定)9.01.29.01(101)(4321−−−−++++=z z z z z Hα与N之间的关系；（3）简述N取奇数或偶数对滤波特性的影响。
5．用矩形窗设计一线性相位高通滤波器，要求过渡带宽度不超过π/10 rad。
希望逼近的理想高通滤波器频率响应函数H d(e jω)为（2）用h1(n)和h2(n)分别构成的低通滤波器是否具有线性相位？群延时为多少？题8图9．对下面的每一种滤波器指标，选择满足FIRDF设计要求的窗函数类型和长度。
（1）阻带衰减为20 dB，过渡带宽度为1 kHz，采样频率为12 kHz；（2）阻带衰减为50 dB，过渡带宽度为2 kHz，采样频率为20 kHz；（3）阻带衰减为50 dB，过渡带宽度为500 Hz，采样频率为5 kHz。
第3章 无限长单位脉冲响应(IIR)滤波器的设计方法
ˆ H a ( s)
[ha (t ) (t nT )]e
n
st
dt
n
h
ha (t ) (t nT )e st dt
nsT
n
a
(nT )e
n
h(n )e nsT
H ( z)
ut e e u nT e u n e u n
nT 3nT
T n 3T n
1 1 H ( z) 1 T 1 z e 1 z 1e 3T
z (e e ) 1 z 1 (e T e 3T ) e 4T z 2
数字滤波器的设计步骤： 1）按照实际需要确定滤波器的性能要求。 2）用一个因果稳定系统的 H(z) 或 h(n) 去逼近这个 性能要求，即求 h(n) 的表达式。 确定系数 a i 、 bi 或零极点 c i 、 d，以使滤波器 i 满足给定的性能要求——第三章、四章讨论 3）用一个有限精度的运算去实现这个系统函数。包 括 选择运算结构：如级联型、并联型、卷积型、频 率采样型以及快速卷积（FFT）型等; 选择合适的字长和有效数字的处理方法等(第五 章)。
这时数字滤波器的频响才能不失真地重现模拟滤 波器的频响（存在于折叠频率ΩS/2以内）
H (e
j
1 ) Ha ( j ) T T
但任何一个实际的模拟滤波器，其频响都不可能 是真正带限的，因此不可避免地存在频谱的交叠， 即混淆，如图，这时，数字滤波器的频响将不同于 原模拟滤波器的频响而带有一定的失真。模拟滤波 器频响在折叠频率以上衰减越大，失真则越小，这 时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得 到良好的效果。
实验四FIR数字滤波器设计与软件实现
实验四FIR数字滤波器设计与软件实现
实验目的：
掌握FIR数字滤波器的设计与软件实现方法，了解滤波器的概念与基
本原理。
实验原理：
FIR数字滤波器全称为有限脉冲响应数字滤波器，其特点是具有有限
长度的脉冲响应。
滤波器通过一系列加权系数乘以输入信号的延迟值，并
将这些值相加得到输出信号。
FIR滤波器的频率响应由滤波器系数所决定。
实验步骤：
1.确定所需的滤波器的设计规格，包括截止频率、通带波纹、阻带衰
减等。
2.选择适当的滤波器设计方法，如窗函数、最佳近似法、最小二乘法等。
3.根据所选方法，计算滤波器的系数。
4.在MATLAB环境下，使用滤波器的系数实现滤波器。
5.输入所需滤波的信号，经过滤波器进行滤波处理。
6.分析输出的滤波信号，观察滤波效果是否符合设计要求。
实验要求：
1.完成FIR数字滤波器的设计和软件实现。
2.对比不同设计方法得到的滤波器性能差异。
3.分析滤波结果，判断滤波器是否满足设计要求。
实验器材与软件：
1.个人电脑；
2.MATLAB软件。
实验结果：
根据滤波器设计规格和所选的设计方法，得到一组滤波器系数。
通过
将滤波器系数应用于输入信号，得到输出滤波信号。
根据输出信号的频率
响应、通带波纹、阻带衰减等指标，评估滤波器的性能。
实验注意事项：
1.在选择设计方法时，需要根据滤波器要求和实际情况进行合理选择。
2.在滤波器实现过程中，需要注意滤波器系数的计算和应用。
3.在实验过程中，注意信号的选择和滤波结果的评估方法。
第5章 有限长单位脉冲响应(FIR)滤波器的实现
17
4.
h(n)奇对称，h(n)=-h(N-1-n)，N为偶数
j N N 1 1 j 2 2 2
He
e
N 1 2hn sin n n 0 h(n) 2
3 0 1 2 4 5
h(n) 奇对称
图5.1.1 线性相位特性
8
5.1.2 线性相位FIR滤波器的幅度特性
对于线性相位FIR 滤波器h(n)有奇对 称和偶对称两种情 况，且每种情况包 含了N为奇数和偶 数，所以共分四种 情况:
h(n) h(n)
0
1
2
3 4
5
6ห้องสมุดไป่ตู้
n
0
1
2
3
4
5
n
(a) h(n) h(n)
(b)
4 1 2 3
16
N 1 2 H c(n) sin n n 1 所以 N 1 n c ( n) 2h 2
由于 对这些点也奇对称，有
点呈奇对称，所以 。
由于 时， 相当 于H(z)在 处有两个零点，不能用于 的滤波器设计，故不能用作低通、高通和带阻滤波器的设计。
( )
式中为常数，表示此时通过这一系统的各频率分量的时
延； 系统的群时延为:
d ( ) g d
5
线性相位FIR滤波器的DTFT为
H e j h n e jn H e j ( ) H e j
5
6
3
4
5
n
0
1
2
n
(c)
(d)
图5.1.2
线性相位FIR滤波器h(n)的四种对称形式
FIR
N 1 ( ) , 2 2 h(n) h( N 1 n), 0≤ n≤ N 1
（7.1.10）
由以上推导结论可知，如果要求单位脉冲响应为
h(n)、长度为N的FIR数字滤波器具有第二类线性相位 特性，则h(n)应当关于n=(N-1)/2点奇对称。N为奇数 和偶数时h(n)的对称情况分别如表7.1.1中情况3和情况 4
1． 线性相位FIR数字滤波器 对于长度为N的h(n)，频率响应函数为
j
H (e )
n 0
N 1
h(n)e jn
（7.1.1）
（7.1.2）
Hale Waihona Puke H (e j ) H g ()e j ( )
式中，Hg(ω)称为幅度特性; θ(ω)称为相位特性。注意，这
里Hg(ω)不同于|H(ejω)|，Hg(ω)为ω的实函数，可能取负值， 而|H(ejω)|总是正值。线性相位FIR滤波器是指θ(ω)是ω的线 性函数，即
低通滤波器的幅频特性技术指标示意图
ωp到ωs称为过渡带。
通带内和阻带内允许的衰减一般用分贝数表示，通带内允许
的最大衰减用p表示，阻带内允许的最小衰减用s表示。对
低通滤波器， 定义为：
max | H (e j ) | p 20lg dB , 0 p j min | H (e ) |
n 0
N 1
(7.1.6)
将（7.1.6）式中两式相除得到：
cos sin
h(n) cos n h(n)sin n
n0 n0 N 1
N 1
即
h(n) cos n sin h(n)sin n cos
有限脉冲响应滤波器
n
h1[n]
w[n]
h[n]
新的 n
因果脉冲响应
滤波器形状 - 0.0014 dB
10.11 kHz
- 75 dB
21.685 kHz
音频信号的带宽比较小，并且其频率主要集中在低频段，通常是 2 kHz 以下。 而噪声的带宽一般很大。为了提高音频信号的质量，往往需滤除高频的噪音。
Sample value x(n)
bk
FIR 滤波器可以保证稳定， 消除通带内的相位失真等， IIR 滤波器不具备的优点。
IIR滤波器，通常需要的系数较少。
9.2 滑动平均滤波器
滤波器项数越多，低通 滤波效果越强，滤除的 高频分量越多。
虚 部
截止频率约为：
实部
增益为0的最低数字频率：
（ ≈ 455 Hz ）
虚 部
实部
9.3 相位失真
矩形窗得到 的滤波器形状
如果通带增益为 1，21dB的衰减相当于 0.089125的增益。这个值似乎很小，但 一个信号与其相乘后仍然可以听到。 因此，阻带内对信号的衰减仅为 21dB 的滤波器是很差的，较好的滤波器应 具有更大的衰减。
汉宁窗脉冲响应
N=35 汉宁窗幅度响应
汉宁窗
汉宁窗得到 的滤波器形状
1
Amplitude |X(f)|
被 噪 声 污 染 的 音 频 信 号
0
-1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Number of samples 1.4 1.6 1.8 x 10 2
0.5
设计时 Ω1 的选 择 必须大于所要求 的通带边缘频率
截 断 的 脉 冲 响 应
截 断 并 移 位 的 脉 冲 响 应
汉宁窗
数字信号处理课程设计题目：用汉宁窗设计FIR数字低通滤波器对给定数据进行滤波院系：自动化与信息工程学院专业：通信工程班级: 通信 081学号: ************: *******:***职称: 副教授2011年6月26日－2011年6月30日一、设计原理：1.1 FIR 滤波器:有限长单位脉冲响应数字滤波器（Finite Impulse Response Digital Filter,缩写FIRDF ）：有限长单位冲激响应滤波器，是数字信号处理系统中最基本的元件，最大优点是可以实现线性相性滤波，它可以在保证任意幅频特性的同时具有严格的线性相频特性，同时其单位抽样响应是有限长的，因而滤波器是稳定的系统。
因此，FIR 滤波器在通信、图像处理、模式识别等领域都有着广泛的应用。
FIR 滤波器的设计方法主要分为两类：第一类是基于逼近理想滤波器器特性的方法包括窗函数法、频率采样法、和等波纹最佳逼近法；第二类是最优设计法。
设FIRDF 的单位脉冲响应)(n h 的长度为N ，则其频率响应函数为∑-=-=10)()(N n n j j e n h e H ωω（1-1）一般将)(ωj e H 表示成如下形式：)()()(ωθωωj g j e H e H = （1-2）式中，)(ωg H 是ω的实函数（可以去负值）。
与前面的表示形式，即)()()(ωθωωj g j e H e H =相比， )(ωg H 与ω不同。
)(ωθ与 )(ωϕ不同。
为了区别于幅频响应函数)(ωj e H 和相频响应函数)(ωϕ，称)(ωg H 为幅频特性函数，称)(ωθ为相频特性函数。
第一类线性相位FIRDF 的相位特性函数是ω的严格线性函数：()ωτωθ-= （1-3）第二类线性相位FIRDF 的相位特性函数如下：()ωτθωθ-=0 （1-4）式中，τ是常数，0θ是起始相位。
2/0πθ-=在信号处理中很有实用价值（如希伯尔特变换器），这是FIRDF 除了线性相位滤波外，还具有真正交变换作用。
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n n
1 2
由此看出：
①由于
奇对称，所以 0,2 对
为偶对称。
也为奇对称，对
H ( ) 0,
②且由于
时，
处必有一零点。
③因此这种情况不能用于设计
时
的滤波器，如高通、带阻滤波器。
3. h(n)奇对称，N为奇数，h(n)=-h(N-1-n)
满足；
（5）无反馈运算，运算误差小。
（6）由于单位脉冲响应为有限长序列，因此可以 采用FFT快速算法实现信号过滤，可以提高效率。
缺点：（1）因为无极点，要获得好的过渡带特性， 需以较高的阶数为代价；
（2）无法利用模拟滤波器的设计结 果，一般无解 析设计 公式，要借助计算机辅助设 计程序完成。
三、FIR滤波器的设计方法
() (3)
利用类似的关系，可以得出新的解答为
hn Nh22N11 n (4)
（4）式是FIR滤波器具有（3）的线性相位的必要且 充分条件，它要求单位冲击响应的h（n）序列以
n (N 1)/ 2
为奇对称中心，此时，时
间延迟h(n)
(N 1)/ 2
等于
h(长n) 度N-1的一半，即
设计任务：选择有限长度的脉冲响 h(n)
应
H，(z得) 到系统函
数
，使幅频特性满足技术指标，
同时是相频特性达到线性相位。
• 设计方法：
• 窗函数法 • 频率采样法
• 切比雪夫等波纹逼近法
§4.1 线性相位FIR数字滤波器的特性
一、 线性相位的条件
1、线性相位的定义
线性相位意味着一个系统的相频特性是频率的 线性函数，即
2
2
2
N 1/ 2
则 H a(n) cos n n0
由于 ，因此 种滤波器的设计。
偶对称 对这些频率也呈偶对称。可以用于各
2．h(n)偶对称，N为偶数 h(n)=h(N-1-
n)
N 1
N 1
2
H e j
2
h n e jn
h N 1 n e j N 1n
n0
n0
N 1
2
分四种情况: 1、h(n)偶对称 、
N为偶数 2、h(n)偶对称
N为奇数
3、h(n)奇对称 N为偶数
4、h(n)奇对称 N为奇数
二、线性相位FIR滤波器的幅度特性 1．h(n) 偶对称，N为奇数
h(n)=h(N-1-n)
H e j H e j
N 1
h(n)e jn
n0
N 3
2
N 1
y(n) ai x(n i)
①
对应的系统函数
i0 N 1
H (z) ai zi
i0
因为它是一种线性时不变系统，可用卷积和形式表示
N 1
③
y(n) h(i)x(n i) i0
比较①、③得：
ai h(i)
N 1
H (z) h(i)zi
i0
二、FIR数字滤波器的特点(与IIR数字滤波器比较)
第四章 有限长单位脉冲响应（FIR） 滤波器的设计方法
序言 §4.1 线性相位FIR数字滤波器的特性 §4.2 窗口设计法（时间窗口法）设计FIR滤波 器§4.3 频率取样法设计FIR滤波器
§4.4 FIR数字滤波器的最优化设计 §4.5 IIR与FIR数字滤器的比较
序言
一、FIR滤波器的表示
FIR数字滤波器的差分方程描述
e
j
N 1 2
N 3
2 n0
2hnc
os
n
N 1 2
h
N 1 2
H
()
h
N 1 2
( N 3)/ 2 n0
2h(n)
cos
n
N21
() N 1
2
令
，则
H () h N 1 (N1)/2 2h( N 1 m) cosm
2 m1
2
令
a(0) h N 1, a(n) 2h N 1 n, n 1,2,, N 1
h
n
e jn
h
N
1
e
j
N 1 2
N 1
h n e jn
n0
2
n N 1
2
N 3
2
hn
e jn e jN 1n
h
N
1 e
j
N 1 2
n0
2
H (e
j
)
j
e
N 1 2
N 3 2
h
n0
n
j n N 1
(e 2
j n N 1
e 2 )
h
N 1 2
() (1)
式中为常数，此时通过这一系统的各频率分
量的时延为一相同的常数，系统的群时延为
g
d() d
2、线性相位的条件
FIR滤波器的DTFT为
N
H e j H e j hne jn
n
式中 H(ω)是正或负的实函数。等式中间和等式右
边的实部与虚部应当各自相等，同样实部与虚部的
比值应当相等:
个抽h(样N 周1)期 。h(在N 1)
满足 2
2
的这h种( N奇对1)称 0情况下，
2
，因
而
2 。这种线性相位情况和前一
种不同之处是，除了产生线性相位外，还有
的固定相移。0Biblioteka 2 022
(N 1)
(N 0.5)
h(n) 偶
对称
h(n) 奇
对称
图1 线性相位特性
二、 线性相位FIR滤波器的幅度特性
N
sin cos
hnsinn
n N
hncosn
n
将上式两边交叉相乘，再将等式右边各项移到左边， 应用三角函数的恒等关系
N
hnsin n
n
满足上式的条件（线性相位的条件）是
N 1
2
(2)
hn hN 1 n ,0 n N 1
（2）式是FIR滤波器具有（1）的线性相位的必要且 充分条件，它要求单位冲击响应的h（n）序列以
n (N 1)/ 2
延迟 h(n)
等于
为偶对称中心，此时，时间 (N 1)/ 2
长度N-1的一半，即
个抽样周期。N为偶数时，延时为整数，N为奇数时，
延时等于整h(n数) 加半个抽样周n期 (。N不管1)N/ 2为奇偶，此
时
都应满足对
轴呈偶
对称。
另外一种情况是，除了上述的线性相位外，还有一附 加的相位，即
h n e jn e j N 1n
n0
j
N 1
N 2
1
e 2 2h
n0
n
cos n
N 2 1
H
N / 21 n0
2h(n)
cos
n
N21
令
，则
H
N / 22h m1
N 2
1
m
cos
m
1 2
或写为：
H
N /2
b(n)
n1
b(n) 2h
cos
N 1 2
优点 ：（1）很容易获得严格的线性相位，避免被处理
的信号 产生相位失真，这一特点在 宽频带信
号处理、阵 列信号处理、数据传输等系统中
非常重要；
（2 ）可得到多带幅频特性；
性问题；
（3 ）极点全部在原点（永远稳定），无稳定
过一
（4 ）任何一个非因果的有限长序列，总可以通
因果性总是
定的延时，转变为因果序列， 所以