立体几何——求异面直线距离

异面直线距离

一. 直接法

直接法就是根据定义，直接找出公垂线段，再求其长，这是解题时首先要考虑的方法。

例1. 如图1所示，已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1，点E 在棱D 1D 上，截面EAC//D 1B ，且平面EAC 与底面ABCD 所成的角为45°，AB=a ，求异面直线A B 11与AC 之间的距离。

解：连结DB ，设DB 交AC 于点O 由题设知ABCD A B C D -1111是正四棱柱 则A A ABCD A A AC A A A B 11111⊥⊥⊥底面，即，而

所以A A 1是异面直线A B 11与AC 的公垂线段

由题意分析知∠为平面与底面DOE EAC ABCD 所成的角

则∠DOE=45°

又∵截面EAC//D 1B ，且平面D 1BD 与平面EAC 的交线为EO ∴D 1B//EO ，∠DBD 1=∠DOE=45°

∴D 1D=DB=2a

∵AA 1=D 1D

∴异面直线A 1B 1与AC 之间的距离为2a

二. 间接法

间接法就是当采用直接法不便于求解或证明时，可利用已知条件进行间接求解或证明的方法。

（1）线面距离法

线面距离法就是选择异面直线中的一条，过它作另一条直线的平行平面，则此直线与平行平面的距离即为异面直线间的距离。

例2. 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，AD=3，AA1=4，求异面直线AB与A1C间的距离。

解：如图2所示，连结A1D

由AB//DC，得AB//平面A1DC

故AB到平面A1DC的距离即为AB与A1C间的距离

又平面A1D⊥平面A1DC及平面A1D⊥AB

故可在平面A1D内过A作AE⊥A1D于点E

则AE为AB到平面A1DC的距离即为异面直线AB与A1C间的距离。

由AD AA A D AE

··

11

=

可得AE=12

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图2

（2）面面距离法

面面距离法就是把所求异面直线间的距离转化为分别过两条异面直线的两个平行平面间的距离。

例3. 如图3所示，正方体ABCD A B C D

-

1111

的棱长为1，求异面直线A1D与

AC 间的距离。

图3

解：连结A C C D AB B C A D AC 11111、、、，与分别在两个相互平行的平面A DC 11和B CA 1内，则A 1D 与AC 间的距离就是两个相互平行的平面A 1DC 1和B 1CA 之间的距离。

连结BD ，且交AC 于点O ，作OO 1⊥平面AC 交平面A 1C 1于O 1 连结DO 1，作OE ⊥DO 1于E

可知OE 为两平行平面A 1DC 1和B 1CA 之间的距离

在Rt △DOO 1中，OO DO DO 1112262==

=，，。 ∴·

OE OO DO DO ==1133 ∴异面直线A 1D 与AC 间的距离为

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