立体几何——求异面直线距离
立体几何——求异面直线距离
异面直线距离一. 直接法直接法就是根据定义，直接找出公垂线段，再求其长，这是解题时首先要考虑的方法。
例1. 如图1所示，已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1，点E 在棱D 1D 上，截面EAC//D 1B ，且平面EAC 与底面ABCD 所成的角为45°，AB=a ，求异面直线A B 11与AC 之间的距离。
解：连结DB ，设DB 交AC 于点O 由题设知ABCD A B C D -1111是正四棱柱 则A A ABCD A A AC A A A B 11111⊥⊥⊥底面，即，而 所以A A 1是异面直线A B 11与AC 的公垂线段由题意分析知∠为平面与底面DOE EAC ABCD 所成的角 则∠DOE=45°又∵截面EAC//D 1B ，且平面D 1BD 与平面EAC 的交线为EO ∴D 1B//EO ，∠DBD 1=∠DOE=45° ∴D 1D=DB=2a ∵AA 1=D 1D∴异面直线A 1B 1与AC 之间的距离为2a二. 间接法间接法就是当采用直接法不便于求解或证明时，可利用已知条件进行间接求解或证明的方法。
（1）线面距离法线面距离法就是选择异面直线中的一条，过它作另一条直线的平行平面，则此直线与平行平面的距离即为异面直线间的距离。
例2. 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，AD=3，AA1=4，求异面直线AB与A1C间的距离。
解：如图2所示，连结A1D由AB//DC，得AB//平面A1DC故AB到平面A1DC的距离即为AB与A1C间的距离又平面A1D⊥平面A1DC及平面A1D⊥AB故可在平面A1D内过A作AE⊥A1D于点E则AE为AB到平面A1DC的距离即为异面直线AB与A1C间的距离。
由AD AA A D AE ··11=可得AE=125图2（2）面面距离法面面距离法就是把所求异面直线间的距离转化为分别过两条异面直线的两个平行平面间的距离。
异面直线距离的求解方法
墨
法
异
面
直
线
距
离
的
求 解
方
朱 志 洪
（ 德 财 经学 校 ， 常 湖南 常德
摘 要 ： 数 学教 学 中 ， 分 运 用数 学知 识 的 解题 功 能 ． 在 充
４５０ ） １ １ １
Ａ
பைடு நூலகம்
解 ：如 图 ，’ ＣＤ为 等 边 ｉ ‘ＡＡ ．
有利 于学 生 的全 面 发展 ， 养 学 生分 析 问题 解 决 问题 的 能 力 ． 培
从 而 挖掘 学 生更 深 层 次 的 学 习 潜 能 本 文 从 四 个 方 面 探 讨 了 如 何根 据 各 种 情 形 运 用 不 同 的 方 法求 异 面直 线 的 距 离 ．有 助 于教 学难 点 的 突破 ， 以 引导 学 生 更 新 解题 思路 ， 高 学 生 的 可 提
二 、 值 法 最 如 果 两 条 异 面直 线 分 别 在 两 个 互 相 垂 直 的平 面 内 ．应 用
学 生５： 我在 刚才 同学 的基 础 上 想 到 只 要 用一 个有 点 硬 的 纸 条插 到 杯 子 的底 部 ， 拿 出来 对 折 一 下 ， 能看 出湿 的部 分 再 就 有 没有 一 半 了 。 学 生６： 到 刚 才 同 学 的 启 发 ， 觉 得 办 法 还 可 以 更 简 单 ． 受 我 只要 将 杯子 斜 过 来 ， 水 刚好 到杯 口 ． 看 有 没 有 形 成 象 对 角 让 看 线 一 样 ， 果 是那 就 刚 好 可 以证 明杯 子 里 的水 有 １ 。 如 ／ ２ 学 生 是 多 么 富 有 智 慧 ，对 于 １２的 理 解 是 多 么 深 刻 。 ／ 而 如 何 证 明 自己 的 观 点 ， 面 的 判 断 ， 化 的 思 想 ， 向 的 思 正 转 逆 考 ， 接 已有 的 经 验 解 决 问 题 ． 种 策 略 的呈 现 源 于 提 供 的 连 各 现 实 问题 ， 这 个 现 实 问 题 的 解 决 有 着 开 放 的 空 间 对 于 一 而 个 目标 的 达 成 有 着 不 同 的 路 径 ．但 教 师 是 数 学 实 践 活 动 的 领航人 。 三 、 究活 动 内 容 。 位 数 学 文化 探 品 数 学 实践 活 动 充 满 着 探 索 与 创 造 ，经 常 有 意识 引导 学 生 参 与探 索 创造 的过 程 中 ，让 学 生 体 验 数 学 问 题 的探 索 性 和 挑 战性 ． 以激 发起 学 生 的创 新精 神 可 如 ： 文 学 中 的 数 学 问 题 》就 是 让 学 生 通 过 欣 赏 在 课 前 《 收 集 到 的 有 趣 的 数 字 诗 词 、 字 对 联 、 字 成 语 ． 略 文 学 数 数 领 中 蕴 藏 着 的 丰 富 的 数 学 问题 ， 会 数 学 只 是 在 文 学 中 的 妙 体 用 。如 ： 山 上 的 一 副 对 联 ： 一 蓑 一 笠 一 叶 舟 ， 只 竹 竿 ～ 崂 “ 一 条 沟 ， 山 一 水 一 明 月 ， 人 独 钓 一 江 秋 ” ０ “ ” 恰 到 一 一 １个 一 字 好 处 的 渲 染 了 月 夜 的 幽 静 ， 托 了 无 尽 的 秋 思 ； 如 ： ～ 烘 又 “ 去 二 三 里 ， 村 四 五 家 ： 台 六 七 座 ， 几 ｛ 枝 花 ”， 勾 勒 烟 亭 八 就 出 了一幅 令人心 醉 的山村风 景 画 ； 视剧 《 相 刘 罗锅 》 电 宰 中 的 “ 片 两 片 四 片 ， 片六 片 七八 片 ， 片 十 片十 一 片 ． 一 五 九 飞人 草丛都 不 见” 利用数 数 ， 使 得全 诗妙 趣横 生 ； 如 ， ， 也 再 根 据 成 语 中 的 数 字 我 们 来 设 计 算 式 ： 打 碎 敲 ＋口 鸣 惊 口 人 ＝ 望 无 际 ， 丝 万 缕 Ｘ 全 十 美 ＝ 古 长 青 … … 学 生 在 口 口 口 口 收 集 资 料 的 活 动 中 ， 定 会 对 数 学 有 全 新 的 认 识 ， 全 新 必 从 的 视 角 看 待 数 学 ． 而 喜 爱 数 学 。在 交 流 收 集 资 料 、 赏 诗 从 欣 词佳句 的过 程中 ， 冶情操 感受 数学 价值 、 赏 数学 美 、 陶 欣 品
异面直线间的距离(多种方法详细例题)
异面直线间的距离求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一。
常有利用图形性质，直接找出该公垂线，然后求解；或者通过空间图形性质，将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离，或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离，或转为求一元二次函数的最值问题，或用等体积变换的方法来解。
一下是一些常用的方法 1、 定义法2、 垂直平面法（转化为线面距）3、 转化为面面距4、 代数求极值法5、 公式法6、 射影法7、 向量法8、 等积法其中定义法、垂直平面法和向量法是常用的方法，可多练这三种方法。
1 定义法 就是先作出这两条异面直线的公垂线，然后求出公垂线的长，即异面直线之间的距离。
例1 已知：边长a 为的两个正方形ABCD 和CDEF 成1200的二面角，求异面直线CD 与AE 间的距离。
思路分析：由四边形ABCD 和CDEF 是正方形，得CD ⊥AD ，CD ⊥DE ，即CD ⊥平面ADE ，过D 作DH ⊥AE 于H ，可得DH ⊥AE ，DH ⊥CD ，所以DH 是异面直线AE 、CD 的公垂线。
在⊿ADE 中，∠ADE=1200，AD=DE=a ，DH=2a 。
即异面直线CD 与AE 间的距离为2a 。
2 垂直平面法：转化为线面距离，若a 、b 是两条异面直线，过b 上一点A 作a 的平行线a /，记a /与b 确定的平面α。
从而，异面直线a 、b 间的距离等于线面a 、α间的距离。
例1 如图，BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，和棱分别成α、β角，又它们和棱的交点间的距离为d ，求两条异面直线BF 、AE 间的距离。
思路分析：BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，∠EAB=α，∠FAB=β，AB=d ，在平面Q 内，过B 作BH ‖AE ，将异面直线BF 、AE 间的距离转化为AE 与平面BCD 间的距离，即为A 到平面BCD 间的距离，又因二面角P-AB-Q 是直二面角，过A 作AC ⊥AB 交BF 于C ，即AC ⊥平面ABD ，过A 作AD ⊥BD 交于D ，连结CD 。
立体几何的求距离问题 2
立体几何的求距离问题1、两点间的距离：连接两点的线段的长。
求法：（1）纳入三角形，将其作为三角形的一边，通过解三角形求得（2）用公式，A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)，则。
（3）利用向量的模，|AB|=||==…（4）两点间的球面距离：A，B为半径是R的球O上的两点，若＜,＞=? 则A，B两点间的球面距离为2、点到直线的距离：从点向直线作（相交）垂线，该点与垂足间的线段长。
求法：（1）解三角形：所求距离是某直角三角形的直角边长，解此三角形即可。
（2）等积法：所求距离是某三角形的一高，利用面积相等可求此距离。
(3 ) 利用三垂线定理：所求距离视作某平面的斜线段长，先求出此平面的垂线段和射影的长，再由勾股定理求出所求的距离。
（4）利用公式：A(x0,y0),到直线l:Ax?By?C?0的距离为。
基本思想是将点线距转化为点点距。
3、点到平面的距离与直线到平面的距离（重点）（1）从平面外一点引平面的一条垂线，这个点和___的距离，叫做这个点到这个平面的距离。
求法;①利用定义、做出平面的垂线，将垂线段纳入某个三角形内，通过解三角形求距离；②利用等积法、将此距离看作某个三棱锥的高，利用体积相等求出此距离；③利用向量、点A，平面?，满足A??,O??,??，则点A到平面?的距离d? （ n是平面?的法向量）（2）一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意_________到这个平面的_________，叫做这条直线和这个平面的距离。
（一条直线和一个平面平行时，直线上任意两点到平面的距离相等）求法：转化为点到平面的距离来求；（具体方法参照点到平面的距离的求法）4、两个平行平面的距离一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也_________另一个平面，这条直线叫做两个平面的__________，它夹在两个平行平面间的部分叫做这两个平面的_______,它的长度叫做两个平行平面的____________。
选修2＊1-空间向量与立体几何(空间向量法求异面直线的距离)(2)课件
2.异面直线的距离的向量计算公式
异面直r 线a、rb之间的距离：
D1 b
C1
n ra, n b 我们 称 n为公垂向量。
uuuur
uuuur r
d AC1 cos AC1, n
A1 n
B1
uuuur r
uuuur r
uuuur r
D
C
AC1 n cos AC1, n r
空间向量法求异面直线的距离
继点到平面距离的求法进一步拓展到异面直线的求法
1
1.异面直线的距离的定义
（1）公垂线：和两条异面 直线都垂直相交的直线， 我们称之为异面直线的公 垂线。
（2）公垂线段：在这两条 异面直线间的线段叫做公 垂线段。
D1 b
A1
D
Aa
C1 B1
C B
（3）公垂线段的长度，叫做两条异面直线的 距离。
AC1 n r
n
uuuur r AC1 n
n
Aa
B
r n
为异面直线的公垂向量
d AA1
r n
uuuur AC1 为异面直线的连接向量
3
3.异面直线距离的向量计算示例
例1 已知正方体AC1的棱长为a,求B1C与BD间的距离。
解：如图建立空间直角坐标系，则 z D1
C1
D(0u,u0ur,
5：代入公式：uuur r AD n
d r n
x
z
b C
nr
aA
D
y
B
即可求得异面直线的距离。
5
微诊断
棱长为a的正方体AC1，求异面直线A1C与DB的距离。
异面直线间距离的多种解法
异面直线间距离的多种解法作者：华瑞芬来源：《中学生理科应试》2014年第11期求异面直线之间的距离是立体几何中比较常见的问题，既是立体几何的重点，也是难点，更是高考的热点.对于此类问题，许多同学常常会感到比较困难，往往无从入手.求解此类问题的方法其实是多种多样的，主要有“定义法”和“转化法”，特别是转化的思想技巧性强，有利于培养同学们的创新能力.“转化法”常将两条异面直线之间的距离，转化成直线与平面的距离或平面与平面的距离来求解，有时还会借助于棱锥体积来求.这种解法与直线与平面、多面体、平面几何、代数等许多知识紧密联系，因此有利于知识的巩固与深化.下面举例说明求解异面直线之间距离的多种解法，希望同学们能够从中得到有益的启示.例1已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求直线DA1与AC之间的距离.图1一、定义法利用异面直线距离的定义，做（找）出公垂线段并求其长度.图2解法1如图1所示，易证BD1⊥AC，BD1⊥DA1.设DD1的中点为E，BD交AC于O，则OE∥BD1，连接AE交DA1于M，做MN∥OE交AC于N，则MN∥BD1，且MN为AC与DA1的公垂线段.如图2，在正方形ADD1A1中，易证M为AE的一个三等分点.同理可知N为AC的一个三等分点，从而MN=23OE=13BD1=33.二、转换法利用异面直线的距离，等于其中一条直线（a）到经过另一条直线（b）且与这条直线（a）平行的平面的距离，进而转化为点面的距离.图3解法2如图3，易证AC∥面DA1C1，则AC到DA1的距离等于AC到面A1DC1的距离.设AC与BD交于O，则O点到面A1DC1的距离等于异面直线DA1与AC的距离.∵AC⊥BD，AC⊥B1B，∴AC⊥面BB1D1D，∴A1C1⊥面BB1D1D，∴面A1DC1⊥面BB1D1D且交线为O1D，作OE⊥O1D，则OE⊥面A1DC1，易求得OE=33，即异面直线DA1与AC之间的距离为33.解法3 转化为两平行平面之间的距离.易证面A1C1D∥面AB1C，则面A1C1D与面AB1C的距离等于异面直线DA1与AC的距离.易证BD1⊥面A1C1D，BD1⊥面AB1C，设垂足分别为O1和O2，易证O1、O2为BD1的三等分点，所以O1O2=33，为异面直线DA1与AC的距离.三、等积法利用三棱锥体积不变，求点到面的距离.解法4由解法2知，AC与DA1的距离等于AC到平面A1DC1的距离.如图4所示.巩固练习1.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为（）.图52.某几何体的三视图如图5所示，则该几何体的体积为（）.A16+8πB.8+8πC.16+16πD.8+16π参考答案：1.A2.A（收稿日期：2014-04-28）。
求异面直线的方法
七种求异面直线距离的方法陶双喜 湖南省长沙县一中数学组异面直线的距离是空间距离的一种重要类型，也是高考经久不衰的热点问题。
求这种 距离的方法多种多样，本文通过一个例题的多种解法来谈其求解方略，以供大家参考 例：正方体ABCD - AB^I C J U 的棱长为a ，求异面直线AC 和BG 的距离. 解法1 （直接法）： 如图1，取BC 的中点E ，连接DE 、BE ，分别交AC 、 BG 于M 、N 两点，连接MN 、B 1D ，则可证空 ENMD NB 1.MN // B 1D ,由三垂线定理可得 B 1D _ AC , RD —BG , . MN_AC,MN_BG 。
故 MN 的长即为异 面直线AC 和BC 1的距离。
显然，MN =1 3D 3a . 3 3 MB C图1D 1B 1即异面直线 AC 和BG 的距离为 a . 3 评注：此法叫定义法，即根据定义作出异面直线的公垂线段，但难度较大 解法2 （线线距=线面距）： V AC // AC 1 -AC 与BC 1的距离等于AC 与 平面ABG 的距离。
如图2，过AC 的中点0作0E -BO 1于E ，易证平面BDD 1B 1 -平面ABG , OE —平面A 1BC 1 o OE 的长即为AC 与BG 的距离。
图272 46 在 Rt BOO 中，BO aQO^i =a,BO 1 a ,2 2 B !■ OE 二B0 0013a .即异面直线AC 和BC 1的距离为3BO 1、3a .3评注：此法是将线线距离转化为线面距离来求，这是求线线距离的一种常用方法解法3 （线线距=•线面距=•点面距）T AC // A1C1. AC与BG的距离等于AC与平面ABG 的距离,即点C到平面ABG的距离，记为h，则由V C^B C I二V~CC1二V A」B I C I得1•氾C、.2a）2.h ，h -a。
即AC 和BC1的距离为—a.3 4 3 2 3 3评注：此法是将线线距离转化为线面距离，然后转化为点面距离来求。
两异面直线之间的距离公式向量法
两异面直线之间的距离公式向量法在咱们学习立体几何的时候，经常会碰到两异面直线之间距离的问题。
这可是个让不少同学头疼的事儿，但别怕，今天咱们就来聊聊用向量法搞定它！先给大家讲讲啥是异面直线哈。
比如说，你在教室里，你的铅笔放在课桌上，同桌的尺子放在他的抽屉里，这铅笔和尺子所在的直线就是异面直线，它们不在同一个平面内，没法直接测量它们之间的距离。
那向量法是咋解决这个问题的呢？咱们假设两条异面直线分别为 l₁和 l₂，在直线 l₁上取一点 A ，在直线 l₂上取一点 B 。
然后分别找到与这两条直线平行的向量 a 和向量 b 。
这时候，两异面直线之间的距离 d 就等于向量 AB 在向量 a 和向量b 所确定的平面的法向量 n 上的投影的绝对值。
这可能有点抽象，咱来举个具体的例子。
就说有一个正方体，棱长为 2 ，其中一条棱在坐标原点 O ，沿着 x 轴正方向，另一条异面的棱一个端点在顶点 (2, 2, 2) 。
咱们就来求这两条棱之间的距离。
先找到这两条棱对应的向量，比如说沿着 x 轴的棱对应的向量 a = (2, 0, 0) ，另一条棱对应的向量 b = (0, 2, 2) 。
然后找两个点，比如在第一条棱上取点 A(1, 0, 0) ，在第二条棱上取点 B(2, 2, 2) ，那向量 AB 就等于 (1, 2, 2) 。
接下来就得找法向量 n 啦，假设法向量 n = (x, y, z) ，根据法向量和向量 a 、向量 b 垂直的关系，能列出方程组，解出来就能得到法向量n 。
经过一番计算，假设得到法向量 n = (2, -2, 2) 。
最后，距离 d 就等于向量 AB 在法向量 n 上投影的绝对值，算出来就是2√3 / 3 。
其实啊，刚开始学这个的时候，我自己也晕头转向的。
记得有一次做作业，我算了好几遍都没算对，心里那个着急啊！后来我静下心来，把书上的例题又看了好几遍，一步一步对照着自己的步骤找错误，终于弄明白了。
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异面直线距离
一. 直接法
直接法就是根据定义，直接找出公垂线段，再求其长，这是解题时首先要考虑的方法。
例1. 如图1所示，已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1，点E 在棱D 1D 上，截面EAC//D 1B ，且平面EAC 与底面ABCD 所成的角为45°，AB=a ，求异面直线A B 11与AC 之间的距离。
解：连结DB ，设DB 交AC 于点O 由题设知ABCD A B C D -1111是正四棱柱 则A A ABCD A A AC A A A B 11111⊥⊥⊥底面，即，而
所以A A 1是异面直线A B 11与AC 的公垂线段
由题意分析知∠为平面与底面DOE EAC ABCD 所成的角
则∠DOE=45°
又∵截面EAC//D 1B ，且平面D 1BD 与平面EAC 的交线为EO ∴D 1B//EO ，∠DBD 1=∠DOE=45°
∴D 1D=DB=2a
∵AA 1=D 1D
∴异面直线A 1B 1与AC 之间的距离为2a
二. 间接法
间接法就是当采用直接法不便于求解或证明时，可利用已知条件进行间接求解或证明的方法。
（1）线面距离法
线面距离法就是选择异面直线中的一条，过它作另一条直线的平行平面，则此直线与平行平面的距离即为异面直线间的距离。
例2. 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，AD=3，AA1=4，求异面直线AB与A1C间的距离。
解：如图2所示，连结A1D
由AB//DC，得AB//平面A1DC
故AB到平面A1DC的距离即为AB与A1C间的距离
又平面A1D⊥平面A1DC及平面A1D⊥AB
故可在平面A1D内过A作AE⊥A1D于点E
则AE为AB到平面A1DC的距离即为异面直线AB与A1C间的距离。
由AD AA A D AE
··
11
=
可得AE=12
5
图2
（2）面面距离法
面面距离法就是把所求异面直线间的距离转化为分别过两条异面直线的两个平行平面间的距离。
例3. 如图3所示，正方体ABCD A B C D
-
1111
的棱长为1，求异面直线A1D与
AC 间的距离。
图3
解：连结A C C D AB B C A D AC 11111、、、，与分别在两个相互平行的平面A DC 11和B CA 1内，则A 1D 与AC 间的距离就是两个相互平行的平面A 1DC 1和B 1CA 之间的距离。
连结BD ，且交AC 于点O ，作OO 1⊥平面AC 交平面A 1C 1于O 1 连结DO 1，作OE ⊥DO 1于E
可知OE 为两平行平面A 1DC 1和B 1CA 之间的距离
在Rt △DOO 1中，OO DO DO 1112262==
=，，。
∴·
OE OO DO DO ==1133 ∴异面直线A 1D 与AC 间的距离为
33。